Dacă trebuie să ridicați un anumit număr la o putere, puteți utiliza . Acum vom arunca o privire mai atentă la proprietăți ale gradelor.
Numerele exponenţiale deschid posibilități mari, ne permit să transformăm înmulțirea în adunare, iar adunarea este mult mai ușoară decât înmulțirea.
De exemplu, trebuie să înmulțim 16 cu 64. Produsul înmulțirii acestor două numere este 1024. Dar 16 este 4x4, iar 64 este 4x4x4. Adică, 16 cu 64 = 4x4x4x4x4, care este, de asemenea, egal cu 1024.
Numărul 16 poate fi reprezentat și ca 2x2x2x2, iar 64 ca 2x2x2x2x2x2, iar dacă înmulțim, obținem din nou 1024.
Acum să folosim regula. 16=4 2 sau 2 4, 64=4 3 sau 2 6, în același timp 1024=6 4 =4 5 sau 2 10.
Prin urmare, problema noastră poate fi scrisă diferit: 4 2 x4 3 =4 5 sau 2 4 x2 6 =2 10 și de fiecare dată obținem 1024.
Putem rezolva o serie de exemple similare și putem vedea că înmulțirea numerelor cu puteri se reduce la adăugând exponenți, sau exponențial, desigur, cu condiția ca bazele factorilor să fie egale.
Astfel, fără a efectua înmulțirea, putem spune imediat că 2 4 x2 2 x2 14 = 2 20.
Această regulă este valabilă și la împărțirea numerelor cu puteri, dar în acest caz din exponentul dividendului se scade exponentul divizorului. Astfel, 2 5:2 3 =2 2, care în numere obișnuite este egal cu 32:8 = 4, adică 2 2. Să rezumăm:
a m x a n =a m+n, a m: a n =a m-n, unde m și n sunt numere întregi.
La prima vedere poate părea că așa este înmulțirea și împărțirea numerelor cu puteri nu foarte convenabil, deoarece mai întâi trebuie să reprezentați numărul în formă exponențială. Nu este dificil să reprezinte numerele 8 și 16, adică 2 3 și 2 4, în această formă, dar cum să faci asta cu numerele 7 și 17? Sau ce să faci în cazurile în care un număr poate fi reprezentat în formă exponențială, dar bazele pentru expresiile exponențiale ale numerelor sunt foarte diferite. De exemplu, 8x9 este 2 3 x 3 2, caz în care nu putem să însumăm exponenții. Nici 2 5 nici 3 5 nu sunt răspunsul și nici răspunsul nu se află în intervalul dintre aceste două numere.
Atunci merită să te deranjezi cu această metodă? Cu siguranță merită. Oferă beneficii enorme, în special pentru calcule complexe și consumatoare de timp.
Cum să înmulțim puterile? Ce puteri pot fi multiplicate și care nu? Cum se înmulțește un număr cu o putere?
În algebră, puteți găsi un produs al puterilor în două cazuri:
1) dacă gradele au aceleași baze;
2) dacă gradele au aceiași indicatori.
La înmulțirea puterilor cu aceleași baze, baza trebuie lăsată aceeași, iar exponenții trebuie adăugați:
Când înmulțiți grade cu aceiași indicatori, indicatorul general poate fi scos din paranteze:
Să ne uităm la cum să înmulțim puteri folosind exemple specifice.
Unitatea nu este scrisă în exponent, dar la înmulțirea puterilor, acestea iau în considerare:
La înmulțire, poate exista orice număr de puteri. Trebuie amintit că semnul de înmulțire nu trebuie scris înainte de literă:
În expresii, exponențiarea se face mai întâi.
Dacă trebuie să înmulțiți un număr cu o putere, trebuie mai întâi să efectuați exponențiarea și numai apoi înmulțirea:
www.algebraclass.ru
Adunarea, scăderea, înmulțirea și împărțirea puterilor
Adunarea și scăderea puterilor
Este evident că numerele cu puteri pot fi adăugate ca și alte cantități , prin adăugarea lor una după alta cu semnele lor.
Deci, suma a 3 și b 2 este a 3 + b 2.
Suma a 3 - b n și h 5 - d 4 este a 3 - b n + h 5 - d 4.
Cote puteri egale ale variabilelor identice poate fi adunat sau scazut.
Deci, suma lui 2a 2 și 3a 2 este egală cu 5a 2.
De asemenea, este evident că dacă luați două pătrate a, sau trei pătrate a sau cinci pătrate a.
Dar grade variabile variateŞi diverse grade variabile identice, trebuie compuse prin adăugarea lor cu semnele lor.
Deci, suma a 2 și a 3 este suma a 2 + a 3.
Este evident că pătratul lui a și cubul lui a nu este egal cu dublul pătratului lui a, ci cu dublul cubului lui a.
Suma a 3 b n și 3a 5 b 6 este a 3 b n + 3a 5 b 6.
Scădere puterile se desfășoară în același mod ca și adunarea, cu excepția faptului că semnele subtraendelor trebuie schimbate în consecință.
Sau:
2a 4 - (-6a 4) = 8a 4
3h 2 b 6 — 4h 2 b 6 = -h 2 b 6
5(a - h) 6 - 2(a - h) 6 = 3(a - h) 6
Înmulțirea puterilor
Numerele cu puteri pot fi înmulțite, ca și alte mărimi, scriindu-le una după alta, cu sau fără semn de înmulțire între ele.
Astfel, rezultatul înmulțirii a 3 cu b 2 este a 3 b 2 sau aaabb.
Sau:
x -3 ⋅ a m = a m x -3
3a 6 y 2 ⋅ (-2x) = -6a 6 xy 2
a 2 b 3 y 2 ⋅ a 3 b 2 y = a 2 b 3 y 2 a 3 b 2 y
Rezultatul din ultimul exemplu poate fi ordonat prin adăugarea de variabile identice.
Expresia va lua forma: a 5 b 5 y 3.
Comparând mai multe numere (variabile) cu puteri, putem vedea că dacă oricare două dintre ele sunt înmulțite, atunci rezultatul este un număr (variabilă) cu o putere egală cu cantitate grade de termeni.
Deci, a 2 .a 3 = aa.aaa = aaaaa = a 5 .
Aici 5 este puterea rezultatului înmulțirii, care este egală cu 2 + 3, suma puterilor termenilor.
Deci, a n .a m = a m+n .
Pentru a n, a este luat ca factor de atâtea ori cât puterea lui n;
Și a m este luat ca factor de câte ori este egal cu gradul m;
De aceea, puterile cu aceleași baze pot fi înmulțite prin adăugarea exponenților puterilor.
Deci, a 2 .a 6 = a 2+6 = a 8 . Și x 3 .x 2 .x = x 3+2+1 = x 6 .
Sau:
4a n ⋅ 2a n = 8a 2n
b 2 y 3 ⋅ b 4 y = b 6 y 4
(b + h - y) n ⋅ (b + h - y) = (b + h - y) n+1
Înmulțiți (x 3 + x 2 y + xy 2 + y 3) ⋅ (x - y).
Răspuns: x 4 - y 4.
Înmulțiți (x 3 + x – 5) ⋅ (2x 3 + x + 1).
Această regulă este valabilă și pentru numerele ai căror exponenți sunt negativ.
1. Deci, a -2 .a -3 = a -5 . Aceasta poate fi scrisă ca (1/aa).(1/aaa) = 1/aaaaa.
2. y -n .y -m = y -n-m .
3. a -n .a m = a m-n .
Dacă a + b sunt înmulțiți cu a - b, rezultatul va fi a 2 - b 2: adică
Rezultatul înmulțirii sumei sau diferenței a două numere este egal cu suma sau diferența pătratelor lor.
Dacă înmulțiți suma și diferența a două numere ridicate la pătrat, rezultatul va fi egal cu suma sau diferența acestor numere în patrulea grade.
Deci, (a - y).(a + y) = a 2 - y 2.
(a 2 - y 2)⋅(a 2 + y 2) = a 4 - y 4.
(a 4 - y 4)⋅(a 4 + y 4) = a 8 - y 8.
Împărțirea gradelor
Numerele cu puteri pot fi împărțite ca și alte numere, prin scăderea din dividend sau prin plasarea lor sub formă de fracție.
Astfel, a 3 b 2 împărțit la b 2 este egal cu a 3.
Scrierea unui 5 împărțit la 3 arată ca $\frac $. Dar acesta este egal cu un 2. Într-o serie de numere
a +4 , a +3 , a +2 , a +1 , a 0 , a -1 , a -2 , a -3 , a -4 .
orice număr poate fi împărțit la altul, iar exponentul va fi egal cu diferenţă indicatori ai numerelor divizibile.
La împărțirea gradelor cu aceeași bază, exponenții acestora sunt scăzuți..
Deci, y 3:y 2 = y 3-2 = y 1. Adică $\frac = y$.
Și a n+1:a = a n+1-1 = a n . Adică $\frac = a^n$.
Sau:
y 2m: y m = y m
8a n+m: 4a m = 2a n
12(b + y) n: 3(b + y) 3 = 4(b +y) n-3
Regula este valabilă și pentru numerele cu negativ valori ale gradelor.
Rezultatul împărțirii a -5 la a -3 este a -2.
De asemenea, $\frac: \frac = \frac .\frac = \frac = \frac $.
h 2:h -1 = h 2+1 = h 3 sau $h^2:\frac = h^2.\frac = h^3$
Este necesar să stăpânești foarte bine înmulțirea și împărțirea puterilor, deoarece astfel de operații sunt foarte utilizate în algebră.
Exemple de rezolvare a exemplelor cu fracții care conțin numere cu puteri
1. Scădeți exponenții cu $\frac $ Răspuns: $\frac $.
2. Scădeți exponenții cu $\frac$. Răspuns: $\frac$ sau 2x.
3. Reduceți exponenții a 2 /a 3 și a -3 /a -4 și aduceți la un numitor comun.
a 2 .a -4 este a -2 primul numărător.
a 3 .a -3 este a 0 = 1, al doilea numărător.
a 3 .a -4 este a -1 , numărătorul comun.
După simplificare: a -2 /a -1 și 1/a -1 .
4. Reduceți exponenții 2a 4 /5a 3 și 2 /a 4 și aduceți la un numitor comun.
Răspuns: 2a 3 /5a 7 și 5a 5 /5a 7 sau 2a 3 /5a 2 și 5/5a 2.
5. Înmulțiți (a 3 + b)/b 4 cu (a - b)/3.
6. Înmulțiți (a 5 + 1)/x 2 cu (b 2 - 1)/(x + a).
7. Înmulțiți b 4 /a -2 cu h -3 /x și a n /y -3 .
8. Împărțiți un 4 /y 3 la un 3 /y 2 . Raspuns: a/a.
Proprietăți ale gradului
Vă reamintim că în această lecție vom înțelege proprietăți ale gradelor cu indicatori naturali si zero. Puterile cu exponenți raționali și proprietățile lor vor fi discutate în lecțiile pentru clasa a VIII-a.
O putere cu exponent natural are câteva proprietăți importante care ne permit să simplificăm calculele în exemple cu puteri.
Proprietatea nr. 1
Produsul puterilor
La înmulțirea puterilor cu aceleași baze, baza rămâne neschimbată și se adaugă exponenții puterilor.
a m · a n = a m + n, unde „a” este orice număr și „m”, „n” sunt orice numere naturale.
Această proprietate a puterilor se aplică și produsului a trei sau mai multe puteri.
b b 2 b 3 b 4 b 5 = b 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = b 15
6 15 36 = 6 15 6 2 = 6 15 6 2 = 6 17
(0,8) 3 · (0,8) 12 = (0,8) 3 + 12 = (0,8) 15
Vă rugăm să rețineți că în proprietatea specificată vorbeam doar despre înmulțirea puterilor cu aceleași baze. Nu se aplică la adăugarea lor.
Nu puteți înlocui suma (3 3 + 3 2) cu 3 5. Acest lucru este de înțeles dacă
calculați (3 3 + 3 2) = (27 + 9) = 36 și 3 5 = 243
Proprietatea nr. 2
Grade parțiale
La împărțirea puterilor cu aceleași baze, baza rămâne neschimbată, iar exponentul divizorului este scăzut din exponentul dividendului.
(2b) 5: (2b) 3 = (2b) 5 − 3 = (2b) 2
11 3 − 2 4 2 − 1 = 11 4 = 44
Exemplu. Rezolvați ecuația. Folosim proprietatea puterilor coeficiente.
3 8: t = 3 4
Răspuns: t = 3 4 = 81
Folosind proprietățile nr. 1 și nr. 2, puteți simplifica cu ușurință expresiile și efectuați calcule.
- Exemplu. Simplificați expresia.
4 5m + 6 4 m + 2: 4 4m + 3 = 4 5m + 6 + m + 2: 4 4m + 3 = 4 6m + 8 − 4m − 3 = 4 2m + 5
Exemplu. Găsiți valoarea unei expresii folosind proprietățile exponenților.
2 11 − 5 = 2 6 = 64
Vă rugăm să rețineți că în Proprietatea 2 vorbeam doar despre împărțirea puterilor cu aceleași baze.
Nu puteți înlocui diferența (4 3 −4 2) cu 4 1. Acest lucru este de înțeles dacă calculezi (4 3 −4 2) = (64 − 16) = 48 și 4 1 = 4
Proprietatea nr. 3
Ridicarea unui grad la putere
La ridicarea unui grad la o putere, baza gradului rămâne neschimbată, iar exponenții sunt înmulțiți.
(a n) m = a n · m, unde „a” este orice număr și „m”, „n” sunt orice numere naturale.
Vă rugăm să rețineți că proprietatea nr. 4, ca și alte proprietăți ale gradelor, se aplică și în ordine inversă.
(a n · b n)= (a · b) n
Adică, pentru a înmulți puteri cu aceiași exponenți, puteți înmulți bazele, dar lăsați exponentul neschimbat.
2 4 5 4 = (2 5) 4 = 10 4 = 10.000
0,5 16 2 16 = (0,5 2) 16 = 1
În exemple mai complexe, pot exista cazuri în care înmulțirea și împărțirea trebuie efectuate pe puteri cu baze diferite și exponenți diferiți. În acest caz, vă sfătuim să faceți următoarele.
De exemplu, 4 5 3 2 = 4 3 4 2 3 2 = 4 3 (4 3) 2 = 64 12 2 = 64 144 = 9216
Un exemplu de ridicare a unei zecimale la o putere.
4 21 (−0,25) 20 = 4 4 20 (−0,25) 20 = 4 (4 (−0,25)) 20 = 4 (−1) 20 = 4 1 = 4
Proprietăți 5
Puterea unui coeficient (fracție)
Pentru a crește un coeficient la o putere, puteți crește dividendul și divizorul separat la această putere și puteți împărți primul rezultat la al doilea.
(a: b) n = a n: b n, unde „a”, „b” sunt orice numere raționale, b ≠ 0, n - orice număr natural.
(5: 3) 12 = 5 12: 3 12
Vă reamintim că un cot poate fi reprezentat ca o fracție. Prin urmare, ne vom opri asupra subiectului ridicării unei fracții la o putere mai detaliat pe pagina următoare.
Puteri și rădăcini
Operații cu puteri și rădăcini. Gradul cu negativ ,
zero și fracțional indicator. Despre expresii care nu au sens.
Operații cu grade.
1. La înmulțirea puterilor cu aceeași bază, se adaugă exponenții acestora:
a m · a n = a m + n .
2. La împărțirea gradelor cu aceeași bază, exponenții acestora sunt deduse .
3. Gradul produsului a doi sau mai multor factori este egal cu produsul gradelor acestor factori.
4. Gradul unui raport (fracție) este egal cu raportul dintre gradele dividendului (numărătorul) și divizorului (numitorului):
(a/b) n = un n / b n .
5. Când ridicați o putere la o putere, exponenții acestora sunt înmulțiți:
Toate formulele de mai sus sunt citite și executate în ambele direcții de la stânga la dreapta și invers.
EXEMPLU (2 3 5 / 15)² = 2² · 3² · 5² / 15² = 900 / 225 = 4 .
Operații cu rădăcini. În toate formulele de mai jos, simbolul înseamnă rădăcină aritmetică(expresia radicală este pozitivă).
1. Rădăcina produsului mai multor factori este egală cu produsul rădăcinilor acestor factori:
2. Rădăcina unui raport este egală cu raportul dintre rădăcinile dividendului și divizorul:
3. Când ridici o rădăcină la o putere, este suficient să ridici la această putere numarul radical:
4. Dacă creșteți gradul rădăcinii de m ori și, în același timp, ridicați numărul radicalului la puterea mth, atunci valoarea rădăcinii nu se va schimba:
5. Dacă reduceți gradul rădăcinii de m ori și extrageți simultan rădăcina a m-a a numărului radical, atunci valoarea rădăcinii nu se va modifica:
Extinderea conceptului de grad. Până acum am considerat grade doar cu exponenți naturali; dar operaţiile cu puteri şi rădăcini pot duce şi la negativ, zeroŞi fracționat indicatori. Toți acești exponenți necesită o definiție suplimentară.
Un grad cu un exponent negativ. Puterea unui anumit număr cu un exponent negativ (întreg) este definită ca fiind una împărțită la puterea aceluiași număr cu un exponent egal cu valoarea absolută a exponentului negativ:
Acum formula a m : un n = a m - n poate fi folosit nu numai pentru m, mai mult decât n, dar și cu m, mai puțin decât n .
EXEMPLU o 4: o 7 =a 4 — 7 =a — 3 .
Dacă vrem formula a m : un n = a m — n a fost corect când m = n, avem nevoie de o definiție a gradului zero.
Un grad cu un indice zero. Puterea oricărui număr diferit de zero cu exponent zero este 1.
EXEMPLE. 2 0 = 1, ( – 5) 0 = 1, (– 3 / 5) 0 = 1.
Gradul cu exponent fracționar. Pentru a ridica un număr real a la puterea m / n, trebuie să extrageți rădăcina a n-a a puterii a m a acestui număr a:
Despre expresii care nu au sens. Există mai multe astfel de expresii.
Unde o ≠ 0 , nu există.
De fapt, dacă presupunem că x este un anumit număr, atunci în conformitate cu definiția operației de împărțire avem: o = 0· x, adică o= 0, ceea ce contrazice condiția: o ≠ 0
— orice număr.
De fapt, dacă presupunem că această expresie este egală cu un anumit număr x, atunci conform definiției operației de împărțire avem: 0 = 0 · x. Dar această egalitate apare atunci când orice număr x, ceea ce trebuia dovedit.
0 0 — orice număr.
Soluție Să luăm în considerare trei cazuri principale:
1) x = 0 – această valoare nu satisface această ecuație
2) când x> 0 obținem: x/x= 1, adică 1 = 1, ceea ce înseamnă
Ce x– orice număr; dar tinand cont ca in
in cazul nostru x> 0, răspunsul este x > 0 ;
Reguli pentru înmulțirea puterilor cu baze diferite
GRAD CU INDICATOR RAȚIONAL,
FUNCȚIA DE PUTERE IV
§ 69. Înmulțirea și împărțirea puterilor cu aceleași baze
Teorema 1. Pentru a multiplica puteri cu aceleași baze, este suficient să adăugați exponenții și să lăsați baza aceeași, adică
Dovada. Prin definiția gradului
2 2 2 3 = 2 5 = 32; (-3) (-3) 3 = (-3) 4 = 81.
Ne-am uitat la produsul a două puteri. De fapt, proprietatea dovedită este adevărată pentru orice număr de puteri cu aceleași baze.
Teorema 2. Pentru a împărți puteri cu aceleași baze, când indicele dividendului este mai mare decât indicele divizorului, este suficient să scădem indicele divizorului din indicele dividendului și să lăsați baza aceeași, adică la t > p
(o =/= 0)
Dovada. Amintiți-vă că câtul împărțirii unui număr la altul este numărul care, înmulțit cu divizorul, dă dividendul. Prin urmare, demonstrați formula unde o =/= 0, este același lucru cu demonstrarea formulei
Dacă t > p , apoi numărul t - p va fi natural; prin urmare, prin teorema 1
Teorema 2 este demonstrată.
Trebuie remarcat faptul că formula
am dovedit-o numai în ipoteza că t > p . Prin urmare, din ceea ce s-a dovedit, nu este încă posibil să se tragă, de exemplu, următoarele concluzii:
În plus, nu am luat în considerare încă grade cu exponenți negativi și nu știm încă ce semnificație i se poate da expresiei 3 - 2 .
Teorema 3. Pentru a ridica un grad la o putere, este suficient să înmulțiți exponenții, lăsând baza gradului aceeași, adică
Dovada. Folosind definiția gradului și teorema 1 din această secțiune, obținem:
Q.E.D.
De exemplu, (2 3) 2 = 2 6 = 64;
518 (Oral) Determinați X din ecuatii:
1) 2 2 2 2 3 2 4 2 5 2 6 = 2 x ; 3) 4 2 4 4 4 6 4 8 4 10 = 2 x ;
2) 3 3 3 3 5 3 7 3 9 = 3 x ; 4) 1 / 5 1 / 25 1 / 125 1 / 625 = 1 / 5 x .
519. (Setul nr.) Simplificați:
520. (Setul nr.) Simplificați:
521. Prezentați aceste expresii sub formă de grade cu aceleași baze:
1) 32 și 64; 3) 8 5 și 16 3; 5) 4 100 și 32 50;
2) -1000 și 100; 4) -27 și -243; 6) 81 75 8 200 și 3 600 4 150.
Au aceleași grade, dar exponenții gradelor nu sunt aceiași, 2² * 2³, atunci rezultatul va fi baza gradului cu aceeași bază identică a termenilor produsului de grade, ridicată la un exponent egal la suma exponenților tuturor gradelor înmulțite.
2² * 2³ = 2²⁺³ = 2⁵ = 32
Dacă termenii unui produs de puteri au baze diferite de puteri, iar exponenții sunt aceiași, de exemplu, 2³ * 5³, atunci rezultatul va fi produsul bazelor acestor puteri ridicate la un exponent egal cu același exponent. .
2³ * 5³ = (2*5)³ = 10³ = 1000
Dacă puterile înmulțite sunt egale între ele, de exemplu, 5³ * 5³, atunci rezultatul va fi o putere cu o bază egală cu aceste baze identice de puteri, ridicată la un exponent egal cu exponentul puterilor, înmulțit cu numărul acestor puteri identice.
5³ * 5³ = (5³)² = 5³*² = 5⁶ = 15625
Sau alt exemplu cu același rezultat:
5² * 5² * 5² = (5²)³ = 5²*³ = 5⁶ = 15625
Surse:
- Ce este o diplomă cu exponent natural?
- produs al puterilor
Operațiile matematice cu puteri pot fi efectuate numai atunci când bazele exponenților sunt aceleași, și când există semne de înmulțire sau împărțire între ei. Baza unui exponent este numărul care este ridicat la o putere.
Instrucţiuni
Dacă numerele sunt divizibile între ele (cm 1), atunci y (în acest exemplu, acesta este numărul 3) apare ca o putere, care se formează prin scăderea exponenților. Mai mult, această acțiune este efectuată direct: a doua este scăzută din primul indicator. Exemplul 1. Să introducem: (a)b, unde între paranteze – a este baza, în afara parantezei – în – exponentul. (6)5: (6)3 = (6)5-3 = (6) 2 = 6*6 = 36. Dacă răspunsul se dovedește a fi un număr la o putere negativă, atunci un astfel de număr este convertit într-o fracție ordinară, al cărei numărător este unul , iar la numitor baza cu exponentul obținut din diferență, numai în formă pozitivă (cu semnul plus). Exemplul 2. (2) 4: (2)6 = (2) 4-6 = (2) -2 = 1/(2)2 = ¼. Împărțirea puterilor poate fi scrisă într-o formă diferită, prin semnul fracției, și nu așa cum este indicat în acest pas prin semnul „:”. Acest lucru nu schimbă principiul soluției, totul se face exact la fel, doar introducerea se va face cu un semn de fracție orizontal (sau oblic), în loc de două puncte Exemplul 3. (2) 4 / (2)6 = (2) 4-6 = (2 ) -2 = 1/(2)2 = ¼.
Când se înmulțesc baze identice care au puteri, puterile sunt adăugate. Exemplul 4. (5) 2* (5)3 = (5)2+3 = (5)5 = 3125. Dacă exponenții au semne diferite, atunci adunarea lor se efectuează conform legilor matematice. (2 )1* (2)-3 = (2) 1+(-3) = (2) -2 = 1/(2)2 = ¼.
Dacă bazele exponenților diferă, atunci cel mai probabil pot fi aduse la aceeași formă prin transformare matematică. Exemplul 6. Să presupunem că trebuie să găsim valoarea expresiei: (4)2: (2)3. Știind că numărul patru poate fi reprezentat ca două pătrate, acest exemplu se rezolvă astfel: (4)2: (2)3 = (2*2)2: (2)3. Apoi, atunci când ridicați un număr la o putere. Având deja o diplomă, indicii gradelor se înmulțesc între ei: ((2)2)2: (2)3 = (2)4: (2)3 = (2) 4-3 = (2)1 = 2 .
Sfaturi utile
Amintiți-vă, dacă o bază dată pare diferită de a doua bază, căutați o soluție matematică. Numerele diferite nu sunt doar date. Cu excepția cazului în care scriitorul a făcut o greșeală de tipar în manual.
Formatul de putere de scriere a unui număr este o formă scurtă de scriere a operației de înmulțire a unei baze de la sine. Cu un număr prezentat în această formă, puteți efectua aceleași operații ca și cu orice alte numere, inclusiv ridicarea lor la o putere. De exemplu, puteți ridica pătratul unui număr la o putere arbitrară și obținerea rezultatului la nivelul actual de dezvoltare tehnologică nu va pune nicio dificultate.
vei avea nevoie
- Acces la internet sau calculator Windows.
Instrucţiuni
Pentru a ridica un pătrat la o putere, utilizați regula generală pentru ridicarea unui pătrat la o putere care are deja un exponent de putere. Cu această operațiune, indicatorii sunt înmulțiți, dar baza rămâne aceeași. Dacă baza este notată cu x, iar indicatorii inițiali și suplimentari cu a și b, această regulă poate fi scrisă în formă generală după cum urmează: (xᵃ)ᵇ=xᵃᵇ.
Operații cu puteri și rădăcini. Gradul cu negativ ,
zero și fracțional indicator. Despre expresii care nu au sens.
Operații cu grade.
1. La înmulțirea puterilor cu aceeași bază, exponenții acestora se adună:
a m · a n = a m + n .
2. La împărțirea gradelor cu aceeași bază, exponenții acestora sunt deduse .
3. Gradul produsului a doi sau mai multor factori este egal cu produsul gradelor acestor factori.
(abc… ) n = un n· b n · c n…
4. Gradul unui raport (fracție) este egal cu raportul dintre gradele dividendului (numărătorul) și divizorului (numitorului):
(a/b ) n = un n / b n .
5. Când ridicați o putere la o putere, exponenții acestora sunt înmulțiți:
(a m ) n = a m n .
Toate formulele de mai sus sunt citite și executate în ambele direcții de la stânga la dreapta și invers.
EXEMPLU (2 · 3 · 5 / 15)² = 2² 3² 5² / 15² = 900 / 225 = 4 .
Operații cu rădăcini. În toate formulele de mai jos, simbolul mijloace rădăcină aritmetică(expresia radicală este pozitivă).
1. Rădăcina produsului mai multor factori este egală cu produsul rădăcinile acestor factori:
2. Rădăcina unui raport este egală cu raportul dintre rădăcinile dividendului și divizorul:
3. Când ridici o rădăcină la o putere, este suficient să ridici la această putere numarul radical:
4. Dacă creștem gradul rădăcinii în m ridica la m a-a putere este un număr radical, atunci valoarea rădăcinii nu se va schimba:
5. Dacă reducem gradul rădăcinii în m extrageți rădăcina o dată și în același timp m puterea unui număr radical, atunci valoarea rădăcinii nu este se va schimba:
Extinderea conceptului de grad. Până acum am considerat grade doar cu exponenți naturali; ci actiuni cu grade și rădăcini pot duce și la negativ, zeroŞi fracționat indicatori. Toți acești exponenți necesită o definiție suplimentară.
Un grad cu un exponent negativ. Puterea unui număr c un exponent negativ (întreg) este definit ca unul împărțit printr-o putere de același număr cu un exponent egal cu valoarea absolutăindicator negativ:
T acum formula a m: un n= a m - n poate fi folosit nu numai pentrum, mai mult decât n, dar și cu m, mai puțin decât n .
EXEMPLU o 4 :o 7 =a 4 - 7 =a - 3 .
Dacă vrem formulaa m : un n= a m - na fost corect cândm = n, avem nevoie de o definiție a gradului zero.
Un grad cu un indice zero. Puterea oricărui număr diferit de zero cu exponent zero este 1.
EXEMPLE. 2 0 = 1, ( – 5) 0 = 1, (– 3 / 5) 0 = 1.
Gradul cu exponent fracționar. Pentru a ridica un număr real iar la puterea m/n , trebuie să extrageți rădăcina a n-a putere a lui m -a-a putere a acestui număr A:
Despre expresii care nu au sens. Există mai multe astfel de expresii. orice număr.
De fapt, dacă presupunem că această expresie este egală cu un anumit număr x, atunci conform definiției operației de împărțire avem: 0 = 0 · x. Dar această egalitate apare atunci când orice număr x, ceea ce trebuia dovedit.
Cazul 3.
0 0 - orice număr.
într-adevăr,
Soluție Să luăm în considerare trei cazuri principale:
1) x = 0 – această valoare nu satisface această ecuație
(De ce?).
2) când x> 0 obținem: x/x = 1, adică 1 = 1, ceea ce înseamnă
Ce x– orice număr; dar tinand cont ca in
În cazul nostru x> 0, răspunsul estex > 0 ;
3) când x < 0 получаем: – x/x= 1, adică de ex . –1 = 1, prin urmare,
În acest caz nu există soluție.
Astfel, x > 0.
Dacă se înmulțesc (sau se împart două puteri), care au baze diferite, dar aceiași exponenți, atunci bazele lor pot fi înmulțite (sau împărțite), iar exponentul rezultatului poate fi lăsat același cu cel al factorilor (sau al dividendului). și divizor).
În general, în limbajul matematic, aceste reguli sunt scrise după cum urmează:
a m × b m = (ab) m
a m ÷ b m = (a/b) m
La împărțire, b nu poate fi egal cu 0, adică a doua regulă trebuie completată cu condiția b ≠ 0.
Exemple:
2 3 × 3 3 = (2 × 3) 3 = 63 = 36 × 6 = 180 + 36 = 216
6 5 ÷ 3 5 = (6 ÷ 3) 5 = 2 5 = 32
Acum, folosind aceste exemple specifice, vom demonstra că regulile-proprietăți ale gradelor cu aceiași exponenți sunt corecte. Să rezolvăm aceste exemple ca și cum nu am ști despre proprietățile puterilor:
2 3 × 3 3 = (2 × 2 × 2) × (3 × 3 × 3) = 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 3 = 8 × 27 = 160 + 56 = 216
65 ÷ 35 = (6 × 6 × 6 × 6 × 6) ÷ (3 × 3 × 3 × 3 × 3) == 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 32
După cum vedem, răspunsurile au coincis cu cele obținute atunci când s-au folosit regulile. Cunoașterea acestor reguli vă permite să simplificați calculele.
Rețineți că expresia 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 3 poate fi scrisă după cum urmează:
(2 × 3) × (2 × 3) × (2 × 3).
Această expresie la rândul ei este altceva decât (2 × 3) 3. adică 6 3.
Proprietățile considerate ale gradelor cu aceiași indicatori pot fi utilizate în direcția opusă. De exemplu, ce este 18 2?
18 2 = (3 × 3 × 2) 2 = 3 2 × 3 2 × 2 2 = 9 × 9 × 4 = 81 × 4 = 320 + 4 = 324
Proprietățile puterilor sunt, de asemenea, folosite la rezolvarea exemplelor:
= 2 4 × 3 6 = 2 4 × 3 4 × 3 × 3 = 6 4 × 3 2 = 6 2 × 6 2 × 3 2 = (6 × 6 × 3) 2 = 108 2 = 108 × 108 = 108 ( 100 + 8) = 10800 + 864 = 11664
