Operația de găsire a derivatei se numește diferențiere.
Ca urmare a rezolvării problemelor de găsire a derivatelor celor mai simple (și nu foarte simple) funcții prin definirea derivatei ca limită a raportului incrementului la incrementul argumentului, a apărut un tabel de derivate și reguli de diferențiere precis definite. . Primii care au lucrat în domeniul găsirii derivatelor au fost Isaac Newton (1643-1727) și Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716).
Prin urmare, în timpul nostru, pentru a găsi derivata oricărei funcții, nu trebuie să calculați limita menționată mai sus a raportului dintre creșterea funcției și creșterea argumentului, ci trebuie doar să utilizați tabelul de derivate și regulile de diferențiere. Următorul algoritm este potrivit pentru găsirea derivatei.
Pentru a găsi derivata, aveți nevoie de o expresie sub semnul prim descompune funcțiile simple în componenteși stabiliți ce acțiuni (produs, sumă, coeficient) aceste funcții sunt legate. În continuare, găsim derivatele funcțiilor elementare în tabelul de derivate, iar formulele pentru derivatele produsului, sumă și coeficient - în regulile de diferențiere. Tabelul derivatelor și regulile de diferențiere sunt date după primele două exemple.
Exemplul 1. Aflați derivata unei funcții
Soluţie. Din regulile de diferențiere aflăm că derivata unei sume de funcții este suma derivatelor de funcții, adică.
Din tabelul derivatelor aflăm că derivata lui „X” este egală cu unu, iar derivata sinusului este egală cu cosinus. Inlocuim aceste valori in suma derivatelor si gasim derivata ceruta de conditia problemei:
Exemplul 2. Aflați derivata unei funcții
Soluţie. Diferențiem ca derivată a unei sume în care al doilea termen are un factor constant poate fi scos din semnul derivatului:
Dacă încă apar întrebări despre unde provine ceva, acestea sunt de obicei clarificate după familiarizarea cu tabelul derivatelor și cu cele mai simple reguli de diferențiere. Trecem la ele chiar acum.
Tabel de derivate ale funcțiilor simple
| 1. Derivată a unei constante (număr). Orice număr (1, 2, 5, 200...) care se află în expresia funcției. Întotdeauna egal cu zero. Acest lucru este foarte important de reținut, deoarece este necesar foarte des | |
| 2. Derivată a variabilei independente. Cel mai adesea „X”. Întotdeauna egal cu unu. Acest lucru este, de asemenea, important de reținut pentru o lungă perioadă de timp | |
| 3. Derivat de grad. Când rezolvați probleme, trebuie să convertiți rădăcinile nepătrate în puteri. | |
| 4. Derivată a unei variabile la puterea -1 | |
| 5. Derivată de rădăcină pătrată | |
| 6. Derivată de sinus | |
| 7. Derivată a cosinusului |  |
| 8. Derivată a tangentei |  |
| 9. Derivat de cotangente |  |
| 10. Derivată de arcsinus |  |
| 11. Derivată a arccosinusului |  |
| 12. Derivată a arctangentei |  |
| 13. Derivată a cotangentei arcului |  |
| 14. Derivată a logaritmului natural | |
| 15. Derivata unei functii logaritmice |  |
| 16. Derivată a exponentului | |
| 17. Derivata unei functii exponentiale |
Reguli de diferențiere
| 1. Derivată a unei sume sau diferențe |  |
| 2. Derivat al produsului |  |
| 2a. Derivată a unei expresii înmulțită cu un factor constant | |
| 3. Derivată a coeficientului |  |
| 4. Derivata unei functii complexe |  |
Regula 1.Dacă funcţiile
sunt diferențiabile la un moment dat, atunci funcțiile sunt diferențiabile în același punct
şi
aceste. derivata unei sume algebrice de funcții este egală cu suma algebrică a derivatelor acestor funcții.
Consecinţă. Dacă două funcții diferențiabile diferă printr-un termen constant, atunci derivatele lor sunt egale, adică
Regula 2.Dacă funcţiile
sunt diferențiabile la un moment dat, atunci produsul lor este diferențiabil în același punct
şi
aceste. Derivata produsului a două funcții este egală cu suma produselor fiecăreia dintre aceste funcții și derivata celeilalte.
Corolarul 1. Factorul constant poate fi scos din semnul derivatei:
Corolarul 2. Derivata produsului mai multor functii diferentiabile este egala cu suma produselor derivatei fiecarui factor si a tuturor celorlalti.
De exemplu, pentru trei multiplicatori:
Regula 3.Dacă funcţiile
diferentiabil la un moment dat Şi , atunci în acest moment și câtul lor este diferențiabilu/v și
aceste. derivata câtului a două funcții este egală cu o fracție, al cărei numărător este diferența dintre produsele numitorului și derivata numărătorului și numărătorului și derivata numitorului, iar numitorul este pătratul fostul numărător.
Unde să cauți lucruri pe alte pagini
La găsirea derivatei unui produs și a unui coeficient în probleme reale, este întotdeauna necesar să se aplice mai multe reguli de diferențiere simultan, așa că există mai multe exemple despre aceste derivate în articol„Derivată a produsului și coeficientul de funcții”.
Comentariu. Nu trebuie să confundați o constantă (adică un număr) ca termen dintr-o sumă și ca factor constant! În cazul unui termen, derivata acestuia este egală cu zero, iar în cazul unui factor constant, se scoate din semnul derivatelor. Aceasta este o greșeală tipică care apare în etapa inițială a studiului derivatelor, dar pe măsură ce studentul obișnuit rezolvă mai multe exemple cu una sau două părți, el nu mai face această greșeală.
Și dacă, la diferențierea unui produs sau a unui coeficient, ai un termen u"v, în care u- un număr, de exemplu, 2 sau 5, adică o constantă, atunci derivata acestui număr va fi egală cu zero și, prin urmare, întregul termen va fi egal cu zero (acest caz este discutat în exemplul 10).
O altă greșeală comună este rezolvarea mecanică a derivatei unei funcții complexe ca derivată a unei funcții simple. De aceea derivata unei functii complexe este dedicat un articol separat. Dar mai întâi vom învăța să găsim derivate ale funcțiilor simple.
Pe parcurs, nu te poți descurca fără transformarea expresiilor. Pentru a face acest lucru, poate fi necesar să deschideți manualul în ferestre noi. Acțiuni cu puteri și rădăciniŞi Operații cu fracții .
Dacă căutați soluții la derivatele fracțiilor cu puteri și rădăcini, adică atunci când funcția arată ca 
, apoi urmați lecția „Derivată de sume de fracții cu puteri și rădăcini”.
Dacă aveți o sarcină ca 
, apoi veți lua lecția „Derivate ale funcțiilor trigonometrice simple”.
Exemple pas cu pas - cum să găsiți derivatul
Exemplul 3. Aflați derivata unei funcții
Soluţie. Definim părțile expresiei funcției: întreaga expresie reprezintă un produs, iar factorii săi sunt sume, în al doilea dintre care unul dintre termeni conține un factor constant. Aplicam regula de diferentiere a produsului: derivata produsului a doua functii este egala cu suma produselor fiecareia dintre aceste functii prin derivata celeilalte:
În continuare, aplicăm regula de diferențiere a sumei: derivata sumei algebrice a funcțiilor este egală cu suma algebrică a derivatelor acestor funcții. În cazul nostru, în fiecare sumă al doilea termen are semnul minus. În fiecare sumă vedem atât o variabilă independentă, a cărei derivată este egală cu unu, cât și o constantă (număr), a cărei derivată este egală cu zero. Deci, „X” se transformă în unu, iar minus 5 se transformă în zero. În a doua expresie, „x” este înmulțit cu 2, așa că înmulțim doi cu aceeași unitate ca și derivata lui „x”. Obținem următoarele valori derivate:
Inlocuim derivatele gasite in suma produselor si obtinem derivata intregii functii ceruta de conditia problemei:
Exemplul 4. Aflați derivata unei funcții
Soluţie. Ni se cere să găsim derivata coeficientului. Aplicăm formula de diferențiere a câtului: derivata câtului a două funcții este egală cu o fracție, al cărei numărător este diferența dintre produsele numitorului și derivata numărătorului și numărătorului și derivata numitorul, iar numitorul este pătratul fostului numărător. Primim:
Am găsit deja derivata factorilor din numărător în exemplul 2. De asemenea, să nu uităm că produsul, care este al doilea factor la numărător în exemplul curent, este luat cu semnul minus:
Dacă căutați soluții la probleme în care trebuie să găsiți derivata unei funcții, unde există o grămadă continuă de rădăcini și puteri, cum ar fi, de exemplu, 
, atunci bun venit la curs „Derivată a sumelor fracțiilor cu puteri și rădăcini” .
Dacă trebuie să aflați mai multe despre derivatele sinusurilor, cosinusurilor, tangentelor și altor funcții trigonometrice, adică atunci când funcția arată ca , apoi o lecție pentru tine „Derivate ale funcțiilor trigonometrice simple” .
Exemplul 5. Aflați derivata unei funcții
Soluţie. În această funcție vedem un produs, unul dintre factorii căruia este rădăcina pătrată a variabilei independente, a cărei derivată ne-am familiarizat în tabelul de derivate. Folosind regula de diferențiere a produsului și a valorii tabelare a derivatei rădăcinii pătrate, obținem:
Exemplul 6. Aflați derivata unei funcții
Soluţie. În această funcție vedem un coeficient al cărui dividend este rădăcina pătrată a variabilei independente. Folosind regula de diferențiere a coeficientilor, pe care am repetat-o și aplicată în exemplul 4, și valoarea tabelată a derivatei rădăcinii pătrate, obținem:
Pentru a scăpa de o fracție din numărător, înmulțiți numărătorul și numitorul cu .
Dacă urmați definiția, atunci derivata unei funcții într-un punct este limita raportului de creștere a funcției Δ y la argumentul increment Δ x:
Totul pare a fi clar. Dar încercați să utilizați această formulă pentru a calcula, să zicem, derivata funcției f(x) = x 2 + (2x+ 3) · e x păcat x. Dacă faci totul prin definiție, atunci după câteva pagini de calcule vei adormi pur și simplu. Prin urmare, există modalități mai simple și mai eficiente.
Pentru început, observăm că din întreaga varietate de funcții putem distinge așa-numitele funcții elementare. Acestea sunt expresii relativ simple, ale căror derivate au fost mult timp calculate și tabulate. Astfel de funcții sunt destul de ușor de reținut - împreună cu derivatele lor.
Derivate ale funcţiilor elementare
Funcțiile elementare sunt toate cele enumerate mai jos. Derivatele acestor funcții trebuie cunoscute pe de rost. În plus, nu este deloc dificil să le memorezi - de aceea sunt elementare.
Deci, derivate ale funcțiilor elementare:
| Nume | Funcţie | Derivat |
| Constant | f(x) = C, C ∈ R | 0 (da, zero!) |
| Putere cu exponent rațional | f(x) = x n | n · x n − 1 |
| Sinusul | f(x) = păcat x | cos x |
| Cosinus | f(x) = cos x | −păcat x(minus sinus) |
| Tangentă | f(x) = tg x | 1/cos 2 x |
| Cotangentă | f(x) = ctg x | − 1/sin 2 x |
| Logaritmul natural | f(x) = jurnal x | 1/x |
| Logaritmul arbitrar | f(x) = jurnal o x | 1/(x ln o) |
| Funcția exponențială | f(x) = e x | e x(nu s-a schimbat nimic) |
Dacă o funcție elementară este înmulțită cu o constantă arbitrară, atunci derivata noii funcții este, de asemenea, ușor de calculat:
(C · f)’ = C · f ’.
În general, constantele pot fi scoase din semnul derivatei. De exemplu:
(2x 3)’ = 2 · ( x 3)’ = 2 3 x 2 = 6x 2 .
Evident, funcțiile elementare pot fi adăugate între ele, multiplicate, împărțite - și multe altele. Așa vor apărea funcții noi, nu mai deosebit de elementare, dar și diferențiate după anumite reguli. Aceste reguli sunt discutate mai jos.
Derivată a sumei și diferenței
Să fie date funcțiile f(x) Și g(x), ale căror derivate ne sunt cunoscute. De exemplu, puteți lua funcțiile elementare discutate mai sus. Apoi puteți găsi derivata sumei și diferenței acestor funcții:
- (f + g)’ = f ’ + g ’
- (f − g)’ = f ’ − g ’
Deci, derivata sumei (diferența) a două funcții este egală cu suma (diferența) derivatelor. Pot exista mai mulți termeni. De exemplu, ( f + g + h)’ = f ’ + g ’ + h ’.
Strict vorbind, nu există un concept de „scădere” în algebră. Există un concept de „element negativ”. Prin urmare diferența f − g poate fi rescris ca o sumă f+ (−1) g, iar apoi rămâne o singură formulă - derivata sumei.
f(x) = x 2 + sin x; g(x) = x 4 + 2x 2 − 3.
Funcţie f(x) este suma a două funcții elementare, prin urmare:
f ’(x) = (x 2 + păcat x)’ = (x 2)’ + (păcat x)’ = 2x+ cos x;
Raționăm în mod similar pentru funcție g(x). Numai că există deja trei termeni (din punct de vedere al algebrei):
g ’(x) = (x 4 + 2x 2 − 3)’ = (x 4 + 2x 2 + (−3))’ = (x 4)’ + (2x 2)’ + (−3)’ = 4x 3 + 4x + 0 = 4x · ( x 2 + 1).
Răspuns:
f ’(x) = 2x+ cos x;
g ’(x) = 4x · ( x
2 + 1).
Derivat al produsului
Matematica este o știință logică, așa că mulți oameni cred că, dacă derivata unei sume este egală cu suma derivatelor, atunci derivata produsului grevă„>egal cu produsul derivatelor. Dar stricați-vă! Derivatul unui produs se calculează folosind o formulă complet diferită. Și anume:
(f · g) ’ = f ’ · g + f · g ’
Formula este simplă, dar este adesea uitată. Și nu numai școlari, ci și elevi. Rezultatul este probleme rezolvate incorect.
Sarcină. Găsiți derivate ale funcțiilor: f(x) = x 3 cos x; g(x) = (x 2 + 7x− 7) · e x .
Funcţie f(x) este produsul a două funcții elementare, deci totul este simplu:
f ’(x) = (x 3 cos x)’ = (x 3)’ cos x + x 3 (cos x)’ = 3x 2 cos x + x 3 (− păcat x) = x 2 (3cos x − x păcat x)
Funcţie g(x) primul multiplicator este puțin mai complicat, dar schema generală nu se schimbă. Evident, primul factor al funcției g(x) este un polinom și derivata sa este derivata sumei. Avem:
g ’(x) = ((x 2 + 7x− 7) · e x)’ = (x 2 + 7x− 7)’ · e x + (x 2 + 7x− 7) · ( e x)’ = (2x+ 7) · e x + (x 2 + 7x− 7) · e x = e x· (2 x + 7 + x 2 + 7x −7) = (x 2 + 9x) · e x = x(x+ 9) · e x .
Răspuns:
f ’(x) = x 2 (3cos x − x păcat x);
g ’(x) = x(x+ 9) · e
x
.
Vă rugăm să rețineți că în ultimul pas derivata este factorizată. În mod formal, acest lucru nu trebuie făcut, dar majoritatea derivatelor nu sunt calculate singure, ci pentru a examina funcția. Aceasta înseamnă că în continuare derivata va fi egalată cu zero, semnele sale vor fi determinate și așa mai departe. Pentru un astfel de caz, este mai bine să aveți o expresie factorizată.
Dacă există două funcții f(x) Și g(x), și g(x) ≠ 0 pe mulțimea care ne interesează, putem defini o nouă funcție h(x) = f(x)/g(x). Pentru o astfel de funcție puteți găsi și derivata:
Nu slab, nu? De unde a venit minusul? De ce g 2? Și așa! Aceasta este una dintre cele mai complexe formule - nu vă puteți da seama fără o sticlă. Prin urmare, este mai bine să-l studiați cu exemple specifice.
Sarcină. Găsiți derivate ale funcțiilor:
Numătorul și numitorul fiecărei fracții conțin funcții elementare, deci tot ce ne trebuie este formula pentru derivata coeficientului:
Conform tradiției, să factorizăm numărătorul - acest lucru va simplifica foarte mult răspunsul:
O funcție complexă nu este neapărat o formulă lungă de jumătate de kilometru. De exemplu, este suficient să luați funcția f(x) = păcat xși înlocuiți variabila x, să zicem, pe x 2 + ln x. Se va rezolva f(x) = păcat ( x 2 + ln x) - aceasta este o funcție complexă. Are și un derivat, dar nu va fi posibil să îl găsiți folosind regulile discutate mai sus.
Ce ar trebuii să fac? În astfel de cazuri, înlocuirea unei variabile și a unei formule pentru derivata unei funcții complexe ajută:
f ’(x) = f ’(t) · t', Dacă x este înlocuit cu t(x).
De regulă, situația cu înțelegerea acestei formule este și mai tristă decât cu derivata coeficientului. Prin urmare, este mai bine să-l explicați folosind exemple specifice, cu o descriere detaliată a fiecărui pas.
Sarcină. Găsiți derivate ale funcțiilor: f(x) = e 2x + 3 ; g(x) = păcat ( x 2 + ln x)
Rețineți că dacă în funcție f(x) în loc de expresia 2 x+ 3 va fi ușor x, atunci obținem o funcție elementară f(x) = e x. Prin urmare, facem o înlocuire: fie 2 x + 3 = t, f(x) = f(t) = e t. Căutăm derivata unei funcții complexe folosind formula:
f ’(x) = f ’(t) · t ’ = (e t)’ · t ’ = e t · t ’
Și acum - atenție! Efectuăm înlocuirea inversă: t = 2x+ 3. Obținem:
f ’(x) = e t · t ’ = e 2x+ 3 (2 x + 3)’ = e 2x+ 3 2 = 2 e 2x + 3
Acum să ne uităm la funcție g(x). Evident că trebuie înlocuit x 2 + ln x = t. Avem:
g ’(x) = g ’(t) · t’ = (păcat t)’ · t’ = cos t · t ’
Înlocuire inversă: t = x 2 + ln x. Apoi:
g ’(x) = cos ( x 2 + ln x) · ( x 2 + ln x)’ = cos ( x 2 + ln x) · (2 x + 1/x).
Asta este! După cum se poate vedea din ultima expresie, întreaga problemă a fost redusă la calcularea sumei derivate.
Răspuns:
f ’(x) = 2 · e
2x + 3 ;
g ’(x) = (2x + 1/x) cos ( x 2 + ln x).
Foarte des în lecțiile mele, în loc de termenul „derivat”, folosesc cuvântul „prim”. De exemplu, cursa sumei este egală cu suma curselor. Este mai clar? Ei bine, asta e bine.
Astfel, calcularea derivatei se reduce la a scăpa de aceleași lovituri conform regulilor discutate mai sus. Ca exemplu final, să revenim la puterea derivată cu un exponent rațional:
(x n)’ = n · x n − 1
Puțini oameni știu asta în rol n poate fi un număr fracționar. De exemplu, rădăcina este x 0,5. Ce se întâmplă dacă există ceva fantezist sub rădăcină? Din nou, rezultatul va fi o funcție complexă - le place să dea astfel de construcții în teste și examene.
Sarcină. Aflați derivata funcției:
Mai întâi, să rescriem rădăcina ca o putere cu un exponent rațional:
f(x) = (x 2 + 8x − 7) 0,5 .
Acum facem un înlocuitor: let x 2 + 8x − 7 = t. Găsim derivata folosind formula:
f ’(x) = f ’(t) · t ’ = (t 0,5)’ · t’ = 0,5 · t−0,5 · t ’.
Să facem înlocuirea inversă: t = x 2 + 8x− 7. Avem:
f ’(x) = 0,5 · ( x 2 + 8x− 7) −0,5 · ( x 2 + 8x− 7)’ = 0,5 · (2 x+ 8) ( x 2 + 8x − 7) −0,5 .
În sfârșit, înapoi la rădăcini:
CU editarea materialelor pe tema „derivată”. Nivel de școală de bază.
Informații teoretice pentru studenți, profesori și tutori la matematică. Pentru a ajuta la conducerea cursurilor.
Definiţie: derivata unei funcții într-un punct este limita raportului dintre incrementul unei funcții și incrementul unei variabile, adică
Tabel de derivate ale funcțiilor matematice de bază:
Reguli pentru calcularea instrumentelor derivate
Derivată a unei sume oricare două expresii este egală cu suma derivatelor acestor expresii (derivata sumei este egală cu suma derivatelor)
Derivată a diferenței oricare două expresii este egală cu diferența derivatelor acestor termeni (derivata diferenței este egală cu diferența derivatelor).
Derivat al produsului doi factori este egal cu produsul derivatei primului factor și al doilea plus produsul primului factor și derivata celui de-al doilea (suma derivatelor factorilor luate pe rând).
Comentariu profesor de matematică: Când îi reamintesc pe scurt unui student despre regula de calcul a derivatei unui produs, spun asta: derivată a primului factor cu al doilea plus schimba lovituri!
Derivată a coeficientului două expresii este egală cu câtul diferenței dintre derivatele factorilor luate pe rând și pătratul numitorului.
Derivată a produsului dintre un număr și o funcție. Pentru a găsi derivata produsului dintre un număr și o expresie literală (funcție), trebuie să înmulțiți acest număr cu derivata acestei expresii literale.
Derivata unei functii complexe:
Pentru a calcula derivata unei funcții complexe, trebuie să găsiți derivata funcției exterioare și să o înmulțiți cu derivata funcției interioare.
Comentariile și feedback-ul dvs. pe pagina de derivate:
Alexandru S.
Chiar aveam nevoie de o masă. Una dintre cele mai multe de pe internet. Multumesc mult pentru explicatii si reguli. Cel puțin încă un exemplu ar fi grozav pentru ei. Vă mulțumesc foarte mult din nou.
Kolpakov A.N., profesor de matematică: ok, voi încerca să adaug exemple pe pagină în viitorul apropiat.
Carte virtuală de referință matematică.
Kolpakov Alexander Nikolaevici, profesor de matematică.
Ce este o funcție derivată - acesta este un concept matematic de bază care este la același nivel cu integralele în analiză. Această funcție la un anumit punct oferă o caracteristică a ratei de schimbare a funcției la acest punct.
Concepte precum diferențierea și integrarea, primul este descifrat ca acțiune de căutare a unei derivate, al doilea, dimpotrivă, restabilește o funcție pornind de la o derivată dată.
Calculele derivate joacă un rol important în calculele diferențiale.
Pentru un exemplu clar, să descriem derivata pe planul de coordonate.
în funcţia y=f(x) fixăm puncte M la care (x0; f(X0)) şi N f (x0+?x) la fiecare abscisă există un increment de forma?x. Creșterea este procesul când abscisa se schimbă, apoi se schimbă și ordonata. Notat ca?y.
Să găsim tangenta unghiului în triunghiul MPN folosind punctele M și N pentru aceasta.
tg? = NP/MP = ?у/?x.
As?x merge la 0. MN care se intersectează se apropie tot mai mult de tangenta MT și unghiul? voinţă?. Prin urmare, tg? valoarea maximă pentru tg?.
tg? = lim din?x-0 tg ? = lim din?x-0 ?y/?x
Tabelul derivatelor
Daca pronunti formularea fiecaruia formule derivate. Tabelul va fi mai ușor de reținut.
1) Derivata unei valori constante este 0.
2) X cu un prim este egal cu unu.
3) Dacă există un factor constant, pur și simplu îl scoatem ca derivat.
4) Pentru a găsi o putere derivată, trebuie să înmulțiți exponentul unei puteri date cu o putere cu aceeași bază, al cărei exponent este cu 1 mai mic.
5) Găsirea unei rădăcini este egală cu una împărțită la 2 dintre aceste rădăcini.
6) Derivata lui unul împărțit la X este egală cu unul împărțit la X pătrat, cu semnul minus.
7) P sinus este egal cu cosinus
8) P cosinus este egal cu sinusul cu semnul minus.
9) P tangenta este egală cu unu împărțit la cosinus la pătrat.
10) P cotangenta este egală cu una cu semnul minus, împărțită la pătrat sinus.
Există și reguli în diferențiere, care sunt, de asemenea, mai ușor de învățat rostindu-le cu voce tare.
1) Foarte simplu, n de termeni este egal cu suma lor.
2) Derivata în înmulțire este egală cu înmulțirea primei valori cu a doua, adăugându-se la sine înmulțirea celei de-a doua valori cu prima.
3) Derivata în împărțire este egală cu înmulțirea primei valori cu a doua, scăzând înmulțirea celei de-a doua valori cu prima. Fracție împărțită la a doua valoare la pătrat.
4) Formularea este un caz special al celei de-a treia formule.
Fie funcțiile u definite într-o anumită vecinătate a unui punct și au derivate la punct. Apoi produsul lor are o derivată la punctul, care este determinată de formula:
(1)
.
Dovada
Să introducem următoarea notație:
;
.
Aici și sunt funcții ale variabilelor și .
Dar pentru ușurința notării, vom omite denumirile argumentelor lor.
;
.
În continuare observăm că
;
.
După condiție, funcțiile și au derivate la punctul, care sunt următoarele limite:
;
.
Se consideră funcția y a variabilei x, care este produsul funcțiilor și:
.
Să luăm în considerare incrementul acestei funcții la punctul:
.
Acum găsim derivata:
.
Aşa,
.
Regula a fost dovedită.
În loc de o variabilă, puteți utiliza orice altă variabilă. Să o notăm cu x.
.
Atunci, dacă există derivate și , atunci derivata produsului a două funcții este determinată de formula:
(1)
.
Sau într-o versiune mai scurtă
Consecinţă
;
;
Fie ele funcții ale variabilei independente x.
Apoi
.
etc...
Să demonstrăm prima formulă. În primul rând, aplicăm formula derivată a produsului (1) pentru funcțiile și , iar apoi pentru funcțiile și:
Alte formule similare sunt dovedite în mod similar.
Exemple
.
Exemplul 1
Găsiți derivata
(1)
.
.
Soluţie
;
.
Aplicam regula de diferentiere a produsului a doua functii
.
Din tabelul derivatelor găsim:
.
Apoi
În sfârșit avem:
Răspuns
.
Exemplul 1
Exemplul 2
(1)
.
.
Aflați derivata unei funcții dintr-o variabilă x
.
.
Aplicam formula pentru derivata produsului a doua functii:
;
.
;
.
