Probabilitatea ca abaterea CB X de la M.O. ei. oîn valoare absolută va fi mai mică decât un număr pozitiv dat, egal

Dacă punem această egalitate, obținem

s w:space="720"/>"> ,

Adică un SV distribuit normal X se abate de la M.O. o, de regulă, cu mai puțin de 3. Acesta este așa-numitul regula 3 sigma, care este adesea folosit în statistica matematică.

Funcția unei variabile aleatoare. Așteptările matematice ale unei funcții de un SV.(tetr)

Dacă pentru fiecare valoare posibilă a unei variabile aleatoare X corespunde unei valori posibile a variabilei aleatoare Y , Asta Y numit funcția unui argument aleatoriu X: Y = φ (X ).

Să aflăm cum să găsim legea distribuției unei funcții folosind legea cunoscută a distribuției argumentelor.

1) Lasă argumentul X – discret variabilă aleatoare, și la valori diferite X valori diferite corespund Y . Apoi probabilitățile valorilor corespunzătoare X Şi Y egal .

2) Dacă sensuri diferite X aceleași valori pot corespunde Y , apoi se adună probabilitățile valorilor argumentului la care funcția ia aceeași valoare.

3) Dacă X – variabilă aleatoare continuă, Y = φ (X ), φ (x ) este o funcție monotonă și diferențiabilă și ψ (la ) – funcție inversă φ (X ).

Așteptarea matematică a unei funcții a unui argument aleatoriu.

Lasă Y = φ (X ) – funcția unui argument aleatoriu X , și se cere să-și găsească așteptările matematice, cunoscând legea distribuției X .

1) Dacă X este o variabilă aleatoare discretă, atunci

2) Dacă X este o variabilă aleatoare continuă, atunci M (Y ) pot fi căutate în diferite moduri. Dacă se cunoaşte densitatea distribuţiei g (y ), Asta

21. Funcția a două argumente aleatorii. Distribuția funcției Z=X+Y pentru SV-uri independente discrete X și Y. (tetr)

Dacă fiecare pereche de valori posibile ale variabilelor aleatoare X și Y corespunde unei valori posibile a variabilei aleatoare Z, atunci Z se numește funcție a două argumente aleatoare X și Y și se scrie Z=φ(X,Y) . Dacă X și Y sunt variabile aleatoare independente discrete, atunci pentru a găsi distribuția funcției Z=X+Y, este necesar să găsim toate valorile posibile ale lui Z, pentru care este suficient să adăugați fiecare valoare posibilă a X cu toate valorile posibile ale lui Y; probabilitățile valorilor posibile găsite ale lui Z sunt egale cu produsele probabilităților valorilor adăugate ale lui X și Y. Dacă X și Y sunt variabile aleatoare independente continue, atunci densitatea distribuției g(z) a suma Z = X+Y (cu condiția ca densitatea de distribuție a cel puțin unuia dintre argumente să fie dată în intervalul (- oo, oo) printr-o formulă) poate fi găsită prin formula , sau printr-o formulă echivalentă , unde f1 și f2 sunt densitățile de distribuție ale argumentelor; dacă valorile posibile ale argumentelor sunt nenegative, atunci densitatea de distribuție g(z) a valorii Z=X + Y se găsește folosind formula sau o formulă echivalentă. În cazul în care ambele densități f1(x) și f2(y) sunt date pe intervale finite, pentru a afla densitatea g(z) a mărimii Z = X+Y este indicat să găsim mai întâi funcția de distribuție G(z) si apoi diferentiati-l fata de z : g(z)=G'(z). Dacă X și Y sunt variabile aleatoare independente specificate de densitățile de distribuție corespunzătoare f1(x) și f2(y), atunci probabilitatea ca un punct aleatoriu (X, Y) să cadă în regiunea D este egală cu integrala dublă din această regiune. a produsului densităţilor de distribuţie: P [( X, Y)cD] = . Variabilele aleatoare independente discrete X și Y sunt specificate prin distribuții:

Р 0,3 0,7 Р 0,6 0,4

Aflați distribuția variabilei aleatoare Z = X + K. Rezolvare. Pentru a crea o distribuție a valorii Z=X+Y, este necesar să găsiți toate valorile posibile ale lui Z și probabilitățile acestora. Valorile posibile ale lui Z sunt sumele fiecărei valori posibile a lui X cu toate valorile posibile ale lui Y: Z 1 = 1+2=3; z2 = 1+4 = 5; z3 =3+2 = 5; z4 = 3+4 = 7. Să aflăm probabilitățile acestor valori posibile. Pentru ca Z=3 este suficient ca valoarea X sa ia valoarea x1=l si valoarea K-valoare y1=2. Probabilitățile acestor valori posibile, după cum rezultă din aceste legi de distribuție, sunt egale cu 0,3 și, respectiv, 0,6. Deoarece argumentele X și Y sunt independente, atunci evenimentele X = 1 și Y = 2 sunt independente, prin urmare, probabilitatea apariției lor comune (adică probabilitatea evenimentului Z = 3) conform teoremei înmulțirii este 0,3 * 0,6 = 0,18. În mod similar găsim:

I B=!-f4 = 5) = 0,3 0,4 = 0,12;

P(Z = 34-2 = 5) = 0,7 0,6 = 0,42;

P(Z = a treia = 7) =0,7-0,4 = 0,28. Să scriem distribuția necesară adunând mai întâi probabilitățile evenimentelor incompatibile Z = z 2 = 5, Z = z 3 = 5 (0,12 + 0,42 = 0,54):

Z357; P 0,18 0,54 0,28. Control: 0,18 + 0,54 + 0,28 = 1.

În practică, majoritatea variabilelor aleatoare care sunt influențate de un număr mare de factori aleatori se supun legii distribuției normale a probabilității. Prin urmare, în diverse aplicații ale teoriei probabilităților, această lege are o importanță deosebită.

Variabila aleatorie $X$ respectă legea distribuției normale a probabilității dacă densitatea distribuției sale de probabilitate are următoarea formă

$$f\left(x\right)=((1)\over (\sigma \sqrt(2\pi )))e^(-(((\left(x-a\right))^2)\over ( 2(\sigma )^2)))$$

Graficul funcției $f\left(x\right)$ este prezentat schematic în figură și se numește „curba gaussiană”. În dreapta acestui grafic se află bancnota germană de 10 mărci, care a fost folosită înainte de introducerea monedei euro. Dacă te uiți cu atenție, poți vedea pe această bancnotă curba Gauss și descoperitorul ei, cel mai mare matematician Carl Friedrich Gauss.

Să revenim la funcția noastră de densitate $f\left(x\right)$ și să dăm câteva explicații cu privire la parametrii de distribuție $a,\ (\sigma )^2$. Parametrul $a$ caracterizează centrul de dispersie al valorilor unei variabile aleatoare, adică are semnificația unei așteptări matematice. Când parametrul $a$ se modifică și parametrul $(\sigma )^2$ rămâne neschimbat, putem observa o deplasare în graficul funcției $f\left(x\right)$ de-a lungul abscisei, în timp ce graficul densității el însuși nu își schimbă forma.

Parametrul $(\sigma )^2$ este varianța și caracterizează forma curbei graficului densității $f\left(x\right)$. La modificarea parametrului $(\sigma )^2$ cu parametrul $a$ neschimbat, putem observa cum graficul densității își schimbă forma, comprimându-se sau întinzându-se, fără a se deplasa de-a lungul axei absciselor.

Probabilitatea ca o variabilă aleatoare distribuită normal să se încadreze într-un interval dat

După cum se știe, probabilitatea ca o variabilă aleatorie $X$ să cadă în intervalul $\left(\alpha ;\ \beta \right)$ poate fi calculată $P\left(\alpha< X < \beta \right)=\int^{\beta }_{\alpha }{f\left(x\right)dx}$. Для нормального распределения случайной величины $X$ с параметрами $a,\ \sigma $ справедлива следующая формула:

$$P\left(\alpha< X < \beta \right)=\Phi \left({{\beta -a}\over {\sigma }}\right)-\Phi \left({{\alpha -a}\over {\sigma }}\right)$$

Aici funcția $\Phi \left(x\right)=((1)\over (\sqrt(2\pi )))\int^x_0(e^(-t^2/2)dt)$ este Funcția Laplace. Valorile acestei funcții sunt preluate din . Pot fi observate următoarele proprietăți ale funcției $\Phi \left(x\right)$.

1 . $\Phi \left(-x\right)=-\Phi \left(x\right)$, adică funcția $\Phi \left(x\right)$ este impară.

2 . $\Phi \left(x\right)$ este o funcție crescătoare monotonă.

3 . $(\mathop(lim)_(x\to +\infty ) \Phi \left(x\right)\ )=0,5$, $(\mathop(lim)_(x\to -\infty ) \ Phi \ stânga(x\dreapta)\ )=-0,5$.

Pentru a calcula valorile funcției $\Phi \left(x\right)$, puteți utiliza și vrăjitorul funcției $f_x$ în Excel: $\Phi \left(x\right)=NORMDIST\left(x ;0;1;1\dreapta )-0,5$. De exemplu, să calculăm valorile funcției $\Phi \left(x\right)$ pentru $x=2$.

Probabilitatea ca o variabilă aleatoare distribuită normal $X\in N\left(a;\ (\sigma )^2\right)$ să se încadreze într-un interval simetric în raport cu așteptarea matematică $a$ poate fi calculată folosind formula

$$P\left(\left|X-a\right|< \delta \right)=2\Phi \left({{\delta }\over {\sigma }}\right).$$

Regula trei sigma. Este aproape sigur că o variabilă aleatoare distribuită normal $X$ va intra în intervalul $\left(a-3\sigma ;a+3\sigma \right)$.

Exemplul 1 . Variabila aleatoare $X$ este supusă legii distribuției normale a probabilității cu parametrii $a=2,\ \sigma =3$. Aflați probabilitatea ca $X$ să cadă în intervalul $\left(0.5;1\right)$ și probabilitatea inegalității $\left|X-a\right|< 0,2$.

Folosind formula

$$P\left(\alpha< X < \beta \right)=\Phi \left({{\beta -a}\over {\sigma }}\right)-\Phi \left({{\alpha -a}\over {\sigma }}\right),$$

găsim $P\left(0.5;1\right)=\Phi \left(((1-2)\peste (3))\right)-\Phi \left((((0.5-2)\ peste (3) ))\right)=\Phi \left(-0.33\right)-\Phi \left(-0.5\right)=\Phi \left(0.5\right)-\Phi \left(0.33\right)=0.191- 0,129=0,062 USD.

$$P\left(\left|X-a\right|< 0,2\right)=2\Phi \left({{\delta }\over {\sigma }}\right)=2\Phi \left({{0,2}\over {3}}\right)=2\Phi \left(0,07\right)=2\cdot 0,028=0,056.$$

Exemplul 2 . Să presupunem că, în cursul anului, prețul acțiunilor unei anumite companii este o variabilă aleatorie distribuită conform legii normale cu o așteptare matematică egală cu 50 de unități monetare convenționale și o abatere standard egală cu 10. Care este probabilitatea ca pe o bază selectată aleatoriu ziua perioadei în discuție prețul promoției va fi:

a) mai mult de 70 de unități monetare convenționale?

b) sub 50 pe acţiune?

c) între 45 și 58 de unități monetare convenționale pe acțiune?

Fie variabila aleatoare $X$ prețul acțiunilor unei companii. Prin condiție, $X$ este supus unei distribuții normale cu parametrii $a=50$ - așteptare matematică, $\sigma =10$ - abatere standard. Probabilitatea $P\left(\alpha< X < \beta \right)$ попадания $X$ в интервал $\left(\alpha ,\ \beta \right)$ будем находить по формуле:

$$P\left(\alpha< X < \beta \right)=\Phi \left({{\beta -a}\over {\sigma }}\right)-\Phi \left({{\alpha -a}\over {\sigma }}\right).$$

$$а)\ P\left(X>70\right)=\Phi \left(((\infty -50)\peste (10))\right)-\Phi \left(((70-50)\ peste (10))\right)=0,5-\Phi \left(2\right)=0,5-0,4772=0,0228.$$

$$b)\P\left(X< 50\right)=\Phi \left({{50-50}\over {10}}\right)-\Phi \left({{-\infty -50}\over {10}}\right)=\Phi \left(0\right)+0,5=0+0,5=0,5.$$

$$in)\ P\left(45< X < 58\right)=\Phi \left({{58-50}\over {10}}\right)-\Phi \left({{45-50}\over {10}}\right)=\Phi \left(0,8\right)-\Phi \left(-0,5\right)=\Phi \left(0,8\right)+\Phi \left(0,5\right)=$$

Legea normală a distribuției probabilităților

Fără exagerare, poate fi numită lege filosofică. Observând diferite obiecte și procese din lumea înconjurătoare, ne întâlnim adesea cu faptul că ceva nu este suficient și că există o normă:


Iată o vedere de bază funcții de densitate distribuție normală de probabilitate și vă urez bun venit la această lecție interesantă.

Ce exemple poți da? Există pur și simplu întuneric din ele. Aceasta este, de exemplu, înălțimea, greutatea oamenilor (și nu numai), a lor forta fizica, abilități mentale etc. Există o „masă principală” (dintr-un motiv sau altul)și există abateri în ambele sensuri.

Acestea sunt caracteristici diferite ale obiectelor neînsuflețite (aceeași dimensiune, greutate). Aceasta este o durată aleatorie a proceselor, de exemplu, timpul unei curse de o sută de metri sau transformarea rășinii în chihlimbar. Din fizică, mi-am amintit moleculele de aer: unele dintre ele sunt lente, altele rapide, dar majoritatea se mișcă la viteze „standard”.

Apoi, ne abatem de la centru cu încă o abatere standard și calculăm înălțimea:

Marcarea punctelor pe desen (verde) și vedem că acest lucru este destul.

În etapa finală, desenați cu atenție un grafic și deosebit de atent reflectă-l convex/concav! Ei bine, probabil că ați realizat cu mult timp în urmă că axa x este asimptotă orizontală, și este absolut interzis să „urcați” în spatele lui!

La înregistrare electronică Graficul soluției este ușor de construit în Excel și, în mod neașteptat pentru mine, am înregistrat chiar și un scurt videoclip pe acest subiect. Dar mai întâi, să vorbim despre cum se schimbă forma curbei normale în funcție de valorile și.

Când creșteți sau descreșteți „a” (cu „sigma” constantă) graficul îşi păstrează forma şi se deplasează la dreapta/stânga respectiv. Deci, de exemplu, când funcția ia forma iar graficul nostru „se mută” cu 3 unități la stânga - exact la originea coordonatelor:


O cantitate distribuită normal cu zero așteptări matematice a primit un nume complet natural - centrat; funcția sa de densitate – chiar, iar graficul este simetric față de ordonată.

În cazul schimbării „sigma” (cu constantă „a”), graficul „rămâne același”, dar își schimbă forma. Când este mărită, devine mai jos și alungită, ca o caracatiță care își întinde tentaculele. Și, invers, la scăderea graficului devine mai îngustă și mai înaltă- se dovedește a fi o „caracatiță surprinsă”. Da, când scădere„sigma” de două ori: graficul anterior se îngustează și se întinde de două ori:

Totul este în deplină concordanță cu transformări geometrice ale graficelor.

Se numește o distribuție normală cu o valoare sigma unitară normalizat, și dacă este și centrat(cazul nostru), atunci se numește o astfel de distribuție standard. Are chiar mai mult funcție simplă densitate, care a fost deja întâlnită în Teorema locală a lui Laplace: . Distribuția standard și-a găsit aplicație largă în practică și foarte curând îi vom înțelege în sfârșit scopul.

Ei bine, acum hai să ne uităm la film:

Da, absolut corect - cumva nemeritat a rămas în umbră funcția de distribuție a probabilității. Să ne amintim de ea definiţie:
– probabilitatea ca o variabilă aleatorie să ia o valoare MAI MINĂ decât variabila care „parcurge” toate valorile reale până la „plus” infinit.

În interiorul integralei, se folosește de obicei o literă diferită, astfel încât să nu existe „suprapuneri” cu notația, deoarece aici fiecare valoare este asociată cu integrală improprie , care este egal cu unii număr din intervalul .

Aproape toate valorile nu pot fi calculate cu acuratețe, dar așa cum tocmai am văzut, cu puterea de calcul modernă, acest lucru nu este dificil. Deci, pentru funcție distribuție standard, funcția Excel corespunzătoare conține, în general, un singur argument:

=NORMSDIST(z)

Unu, doi - și gata:

Desenul arată clar implementarea tuturor proprietățile funcției de distribuție, iar din nuanțele tehnice de aici ar trebui să acordați atenție asimptote orizontaleși punctul de inflexiune.

Acum să ne amintim una dintre sarcinile cheie ale subiectului, și anume, să aflăm cum să găsim probabilitatea ca o variabilă aleatorie normală va lua valoarea din interval. Geometric, această probabilitate este egală cu zonăîntre curba normală și axa x din secțiunea corespunzătoare:

dar de fiecare dată când încerc să obțin o valoare aproximativă este nerezonabil și, prin urmare, este mai rațional de utilizat formula „uşoară”.:
.

! De asemenea, își amintește , Ce

Aici puteți utiliza din nou Excel, dar există câteva „dar” semnificative: în primul rând, nu este întotdeauna la îndemână, iar în al doilea rând, valorile „gata făcute” vor ridica cel mai probabil întrebări din partea profesorului. De ce?

Am mai vorbit despre asta de multe ori: la un moment dat (și nu cu mult timp în urmă) un calculator obișnuit era un lux, iar metoda „manuală” de rezolvare a problemei în cauză este încă păstrată în literatura educațională. Esența lui este să standardiza valorile „alfa” și „beta”, adică reduc soluția la distribuția standard:

Nota : funcția este ușor de obținut din cazul generalfolosind liniar înlocuitori. Apoi, de asemenea:

iar din inlocuirea efectuata urmatoarea formula: trecerea de la valorile unei distribuții arbitrare la valorile corespunzătoare ale unei distribuții standard.

De ce este necesar acest lucru? Faptul este că valorile au fost calculate meticulos de strămoșii noștri și compilate într-un tabel special, care se află în multe cărți despre terwer. Dar și mai des există un tabel de valori, despre care ne-am ocupat deja Teorema integrală a lui Laplace:

Dacă avem la dispoziție un tabel de valori ale funcției Laplace , apoi rezolvăm prin ea:

Valorile fracționale sunt în mod tradițional rotunjite la 4 zecimale, așa cum se face în tabelul standard. Și pentru control există Punctul 5 aspect.

iti amintesc ca , și pentru a evita confuzia controlează întotdeauna, un tabel cu CE funcție este în fața ochilor tăi.

Răspuns este necesar să fie dat ca procent, astfel încât probabilitatea calculată trebuie înmulțită cu 100, iar rezultatul trebuie furnizat cu un comentariu semnificativ:

– cu un zbor de la 5 la 70 m, aproximativ 15,87% din obuze vor cădea

Ne antrenăm pe cont propriu:

Exemplul 3

Diametrul rulmenților fabricați din fabrică este o variabilă aleatorie, distribuită în mod normal, cu o așteptare matematică de 1,5 cm și o abatere standard de 0,04 cm. Aflați probabilitatea ca dimensiunea unui rulment selectat aleatoriu să fie cuprinsă între 1,4 și 1,6 cm.

În soluția eșantion și mai jos, voi folosi funcția Laplace ca cea mai comună opțiune. Apropo, rețineți că, conform formulării, capetele intervalului pot fi incluse în considerația de aici. Cu toate acestea, acest lucru nu este critic.

Și deja în acest exemplu ne-am întâlnit caz special– când intervalul este simetric în raport cu așteptarea matematică. Într-o astfel de situație, poate fi scris sub forma și, folosind ciudățenia funcției Laplace, simplifica formula de lucru:

Parametrul delta este apelat abatere din așteptarea matematică, iar inegalitatea dublă poate fi „ambalată” folosind modul:

– probabilitatea ca valoarea unei variabile aleatoare să se abate de la așteptarea matematică cu mai puțin de .

E bine că soluția se încadrează într-o singură linie :)
– probabilitatea ca diametrul unui rulment luat la întâmplare să difere de la 1,5 cm cu cel mult 0,1 cm.

Rezultatul acestei sarcini s-a dovedit a fi aproape de unitate, dar aș dori o fiabilitate și mai mare - și anume, să aflu limitele în care se află diametrul aproape toată lumea rulmenti. Există vreun criteriu pentru asta? Există! La întrebarea pusă răspunde așa-zisa

regula trei sigma

Esența sa este aceea practic de încredere este faptul că o variabilă aleatoare distribuită normal va lua o valoare din interval .

Într-adevăr, probabilitatea abaterii de la valoarea așteptată este mai mică decât:
sau 99,73%

În ceea ce privește rulmenții, este vorba de 9973 de piese cu un diametru de la 1,38 la 1,62 cm și doar 27 de exemplare „substandard”.

În cercetarea practică, regula trei sigma este de obicei aplicată în direcția opusă: dacă statistic S-a constatat că aproape toate valorile variabilă aleatoare în studiu se încadrează într-un interval de 6 abateri standard, atunci există motive convingătoare pentru a crede că această valoare este distribuită conform unei legi normale. Verificarea se realizează folosind teorie ipotezele statistice.

Continuăm să rezolvăm problemele aspre sovietice:

Exemplul 4

Valoarea aleatorie a erorii de cântărire este distribuită conform legii normale cu așteptări matematice zero și o abatere standard de 3 grame. Găsiți probabilitatea ca următoarea cântărire să fie efectuată cu o eroare care să nu depășească 5 grame în valoare absolută.

Soluţie foarte simplu. După condiție, notăm imediat că la următoarea cântărire (ceva sau cineva) vom obține aproape 100% rezultatul cu o precizie de 9 grame. Dar problema implică o abatere mai restrânsă și conform formulei :

– probabilitatea ca următoarea cântărire să fie efectuată cu o eroare care să nu depășească 5 grame.

Răspuns:

Problema rezolvată este fundamental diferită de una aparent similară. Exemplul 3 lectie despre distribuție uniformă. A apărut o eroare rotunjire rezultatele măsurătorilor, aici vorbim despre eroarea aleatorie a măsurătorilor în sine. Astfel de erori apar din cauza caracteristici tehnice dispozitivul în sine (gama de erori acceptabile este de obicei indicată în pașaportul său), și, de asemenea, din vina experimentatorului - atunci când, de exemplu, „cu ochi” luăm citiri din acul acelorași cântare.

Printre altele, există și așa-numitele sistematic erori de măsurare. Este deja non-aleatorie erori care apar din cauza configurării sau funcționării incorecte a dispozitivului. De exemplu, cântarele de podea nereglementate pot „adăuga” în mod constant kilograme, iar vânzătorul cântărește în mod sistematic clienții. Sau poate fi calculată nu sistematic. Cu toate acestea, în orice caz, o astfel de eroare nu va fi aleatorie, iar așteptarea sa este diferită de zero.

…Dezvolt urgent un curs de instruire în vânzări =)

Să rezolvăm singuri problema inversă:

Exemplul 5

Diametrul rolei este o variabilă aleatorie distribuită normal, abaterea sa standard este egală cu mm. Aflați lungimea intervalului, simetric față de așteptarea matematică, în care este probabil să cadă lungimea diametrului rolei.

Punctul 5* layout-ul de proiectare pentru a ajuta. Vă rugăm să rețineți că așteptările matematice nu sunt cunoscute aici, dar acest lucru nu ne împiedică deloc să rezolvăm problema.

Și o sarcină de examen pe care o recomand cu căldură pentru a consolida materialul:

Exemplul 6

O variabilă aleatoare distribuită în mod normal este specificată de parametrii săi (așteptările matematice) și (abaterea standard). Necesar:

a) notează densitatea de probabilitate și descrie schematic graficul acesteia;
b) aflați probabilitatea ca acesta să ia o valoare din interval ;
c) găsiți probabilitatea ca valoarea absolută să se abate de la cel mult ;
d) folosind regula „trei sigma”, găsiți valorile variabilei aleatoare.

Astfel de probleme sunt oferite peste tot, iar de-a lungul anilor de practică am rezolvat sute și sute dintre ele. Asigurați-vă că exersați desenarea manuală a unui desen și folosind tabele de hârtie;)

Ei bine, vă voi da un exemplu complexitate crescută:

Exemplul 7

Densitatea distribuției de probabilitate a unei variabile aleatoare are forma . Găsiți, așteptări matematice, varianță, funcție de distribuție, construiți grafice de densitate și funcții de distribuție, găsiți.

Soluţie: În primul rând, să observăm că condiția nu spune nimic despre natura variabilei aleatoare. Prezența unui exponent în sine nu înseamnă nimic: se poate dovedi, de exemplu, indicativ sau chiar arbitrar distribuție continuă. Și, prin urmare, „normalitatea” distribuției trebuie să fie justificată:

Din moment ce funcţia determinat la orice valoare reală și poate fi redusă la formă , atunci variabila aleatoare este distribuită conform legii normale.

Începem. Pentru aceasta selectați un pătrat complet si organizeaza fracție cu trei etaje:


Asigurați-vă că verificați, readuceți indicatorul la forma sa originală:

, ceea ce am vrut să vedem.

Astfel:
- De regula operațiunilor cu puteri"ciupiți" Și aici puteți nota imediat caracteristicile numerice evidente:

Acum să găsim valoarea parametrului. Deoarece multiplicatorul distribuției normale are forma și , atunci:
, de unde exprimăm și substituim în funcția noastră:
, după care vom parcurge din nou înregistrarea cu ochii și ne vom asigura că funcția rezultată are forma .

Să construim un grafic de densitate:

și graficul funcției de distribuție :

Dacă nu aveți Excel sau chiar un calculator obișnuit la îndemână, atunci ultimul grafic poate fi construit cu ușurință manual! În momentul în care funcția de distribuție ia valoarea și iată-l

Exemplul 1. Așteptările matematice ale unui SV continuu distribuit normal X M(X) = 6, iar abaterea standard s( X) = 2.

Găsiți: 1) probabilitatea de a atinge valorile SV Xîn interval (2; 9);

3) interval simetric în raport cu o X cu probabilitatea g = 0,9642.

Soluţie. 1) Găsiți probabilitatea de a atinge valorile SV Xîn intervalul (2; 9).

Valorile funcției Laplace luate de pe masă. Proprietatea ciudățenie a funcției Ф(– X) = – Ф( X).

2) Determinați probabilitatea

Deoarece o = M(X) = 6 și s = s( X) = 2, atunci

3) Găsiți un interval care este simetric față de o, care conține valorile SV X cu probabilitatea g = 0,9642.

Din tabelul de valori al funcției Laplace găsim că d = 4,2. Atunci intervalul este –4,2< X – 6 < 4,2 и
1,8 < X < 10,2.

Exemplul 2. Variabila aleatoare T(ore) – timpul de funcționare al dispozitivului are o distribuție exponențială. Găsiți probabilitatea ca dispozitivul să funcționeze fără reparații timp de cel puțin 600 de ore dacă durata medie de funcționare fără defecțiuni a dispozitivelor de acest tip este de 400 de ore.

Soluţie. M(T) = 400 ore, deci, conform formulei (1.46) Deoarece pentru distribuția exponențială Că
0,2233.

Exemplul 3. Variabila aleatoare X distribuite uniform pe segment [ o, b]. Găsiți probabilitatea de a atinge o variabilă aleatoare X pentru un segment
, cuprins în întregime în segmentul [ o, b].

Soluţie. Să folosim formula unde este densitatea de probabilitate

.

Astfel

Exemplul 4. Trenurile electrice circulă strict conform programului, la intervale de timp
20 min. Găsiți probabilitatea ca un pasager care sosește la peron să aștepte următorul tren electric mai mult de 10 minute, precum și timpul mediu de așteptare.

Soluţie. X– timpul de așteptare (min.) pentru un tren electric poate fi considerat o variabilă aleatoare distribuită uniform cu densitate:

și acesta este timpul mediu de așteptare pentru un tren electric.

Exemplul 5. Mașina produce bucșe. Bucșa este considerată potrivită dacă abaterea X diametrul său din dimensiunea de proiect în valoare absolută este mai mic de 1 mm. Presupunând că variabila aleatoare X distribuit normal cu abaterea standard s = 0,5 mm și așteptări matematice o= 0, aflați câte bucșe potrivite vor fi între 100 fabricate, precum și probabilitatea ca abaterea de la dimensiunea de proiectare să fie nu mai mică de 0,4 mm și nu mai mare de 0,8 mm.

Soluţie. Să folosim formula () la d = 1, s = 0,5 și o = 0.

Rezultă că aproximativ 95 de bucșe din 100 vor fi potrivite.

Pentru a găsi probabilitatea ca abaterea de la dimensiunea designului să fie nu mai mică de 0,4 mm și nu mai mare de 0,8 mm, folosim formula (1,54)

la o= 0, s = 0,5, a = 0,4, b = 0,8.

Valorile funcției Ф( x) găsim din tabel.

Opțiuni de sarcină

OPȚIUNEA 1

X (CB X) este dat de seria de distribuție:

x i
p i	0,1	0,2	0,3	0,1	0,3

F(x M(X), varianță D(XX), modă M 0 (X); 3) probabilitate P(8≤ X < 30). Построить многоугольник распределения и график F(x).

Sarcina 2. Fiecare trăgător trage în țintă o dată. Probabilitatea ca primul, al doilea și al treilea trăgător să lovească ținta cu o singură lovitură este, respectiv, egală cu 0,8; 0,6 și 0,9. Pentru
CB X– număr total atinge ținta în condițiile specificate, creați o serie de distribuție și găsiți F(x), M(X), s( X) Și D(X).

Problema 3. Probabilitatea producerii unui eveniment Oîn fiecare experiment este 0,6. Necesar: 1) construiți o serie de distribuție de discrete CB X– numărul de apariții ale evenimentului Oîn patru experimente independente; 2) estimați probabilitatea ca într-o serie de 80 de experimente independente acest eveniment să apară de cel puțin 60 de ori.

Problema 4. Discret CB X dat de seria de distribuție:

x i	–2	–1
p i	0,05	0,10	0,15	?	0,15	0,20	0,10

Găsiți serii de distribuție CB Y = –2X 2 + 3, M(Y) Și D(Y).

Problema 5. Continuă CB X

Aflați: a) densitatea distribuției f(x); b) M(x); V) d) probabilitatea ca în trei încercări independente CB X va lua valori care aparțin intervalului exact de două ori

Problema 6. Dată o funcție

O CB X. Găsi F(x), M(X) Și D(X). Construiți un grafic F(x).

Problema 7. Având în vedere M(X) = 14 și s( X NE X. Găsi:

1) probabilitate ;

2) probabilitate ;

3) relativ simetric o CB X cu probabilitatea g = 0,8385.

Problema 8. Scara cronometrului are o valoare a diviziunii de 0,2 s. Timpul este numărat până la cea mai apropiată diviziune, rotunjit la cel mai apropiat punct. Eroarea de numărare în condițiile specificate poate fi considerată o variabilă aleatoare distribuită uniform.

Aflați probabilitatea de cronometrare folosind acest cronometru cu o eroare de a) mai mică de 0,05 s; b) nu mai puțin de 0,01 s și nu mai mult de 0,05 s.

OPȚIUNEA 2

Problema 1. Variabilă aleatoare discretă X (CB X) este dat de seria de distribuție:

x i	–2	–1
p i	0,2	0,2	0,1	0,3	0,2

Găsiți: 1) funcția de distribuție F(x); 2) caracteristici numerice: așteptarea matematică M(X), varianță D(X), abaterea standard s( X), modă M 0 (X); 3) probabilitate P(–2≤ X < 5). Построить многоугольник распределения и график F(x).

Problema 2. La loterie sunt 100 de bilete, dintre care 10 sunt câștigătoare. Cineva cumpără 4 bilete. Pentru SV X– numărul de bilete câștigătoare dintre cele care vor fi achiziționate, creați o serie de distribuție și găsiți F(x), M(X), s( X).

Sarcina 3. Rapoartele sunt compilate independent unul de celălalt. Probabilitatea de a face o eroare la întocmirea fiecărui raport este de 0,3. Necesar: 1) construiți o serie de distribuție CB X – numărul de rapoarte cu erori dintre cele patru compilate; calcula M(X), D(X) și s( X); 2) estimați probabilitatea ca atunci când se întocmesc 50 de rapoarte, să fie 20 de rapoarte cu erori.

Problema 4. Se știe că discret CB X poate lua doar două valori x 1 = –2 și x 2 = 3 și așteptările sale matematice M(X) = 1,5. Compilați serii de distribuție CB XŞi CB Z= Găsiți F(z) și s( Z).

Problema 5. Continuă CB X dat de funcţia de distribuţie

f(x); 2) M(x) Și D(X);
3) 4) probabilitatea ca în trei încercări independente CB X exact o dată va lua o valoare aparținând intervalului (1; 4).

Problema 6. Dată o funcție

Definiți valoarea parametrului O, la care această funcție specifică densitatea distribuției de probabilitate a unor continue CB X. Găsi F(x), M(X), D(X). Construiți un grafic F(x).

Problema 7. Având în vedere M(X) = 12 și s( X NE X. Găsi:

1) probabilitate ;

2) probabilitate ;

3) relativ simetric o intervalul în care se încadrează valorile CB X cu probabilitatea g = 0,4515.

Problema 8. Eroarea de măsurare aleatorie a unei anumite piese este supusă legii normale cu parametrul s = 20 mm. Aflați probabilitatea ca: a) piesa să fi fost măsurată cu o eroare care să nu depășească 22 mm în valoare absolută; b) în nici una dintre cele două măsurători efectuate eroarea nu va depăşi 22 mm în valoare absolută.

OPȚIUNEA 3

Problema 1. Variabilă aleatoare discretă X (CB X) este dat de seria de distribuție:

x i
p i	0,3	0,1	0,1	0,4	0,1

Găsiți: 1) funcția de distribuție F(x); 2) caracteristici numerice: așteptarea matematică M(X), varianță D(X), abaterea standard s( X), modă M 0 (X); 3) probabilitate P(1≤ X < 7). Построить многоугольник распределения и график F(x).

Problema 2. Dintre cei trei sportivi incluși în lotul național de tineret la competiția de sărituri în înălțime se poate trece starturi calificate cu o probabilitate de 0,9, al doilea cu o probabilitate de 0,8 și al treilea cu o probabilitate de 0,6. Pentru CB X– numărul de sportivi de echipă care vor trece la următoarea rundă de competiții, vor crea o serie de distribuție și vor găsi M(X), s( X).

Sarcina 3. O serie de focuri independente sunt trase în țintă. Probabilitatea de a lovi ținta cu fiecare lovitură este de 0,8. Necesar: 1) construiți o serie de distribuție CB X – numărul de lovituri cu trei lovituri; 2) estimați probabilitatea ca cu 100 de lovituri să fie cel puțin 90 de lovituri.

Problema 4. Variabilă aleatoare discretă X (CB X) este dat de seria de distribuție:

x i	–3	–2	–1
p i	0,1	0,2	0,3	0,2	?

Găsiți seria și funcția de distribuție CB Y = 2X + 1, M(Y) Și D(Y).

Problema 5. Continuă CB X dat de funcţia de distribuţie

Aflați: 1) densitatea distribuției f(x); 2) M(x) Și D(X);
3) P(–2,3 < X <1,5);4) вероятность того, что в трех независимых испытаниях CB X exact de două ori vor lua valori aparținând intervalului (–2,3; 1,5).

Problema 6. Dată o funcție

Definiți valoarea parametrului O, la care această funcție specifică densitatea distribuției de probabilitate a unor continue CB X. Găsi F(x), Şi M(X). Construiți un grafic F(x).

Problema 7. Având în vedere M(X) = 13 și s( X NE X. Găsi:

1) probabilitate ;

2) probabilitate ;

3) relativ simetric o intervalul în care se încadrează valorile CB X cu probabilitatea g = 0,9973.

Problema 8. Se știe că timpul de reparare a televizorului este o variabilă aleatorie X, distribuit conform unei legi exponenţiale, timpul mediu de reparare a televizorului fiind de două săptămâni. Găsiți probabilitatea că va dura: a) mai puțin de 10 zile pentru a repara un televizor adus la atelier; b) de la 9 la 12 zile.

OPȚIUNEA 4

Problema 1. Variabilă aleatoare discretă X (CB X) este dat de seria de distribuție:

x i	–10	–5
p i	0,1	0,1	0,4	0,1	0,3

Găsiți: 1) funcția de distribuție F(x); 2) caracteristici numerice: așteptarea matematică M(X), varianță D(X), abaterea standard s( X), modă M 0 (X); 3) probabilitate P(–10≤ X < 1). Построить многоугольник распределения и график F(x).

Problema 2. Însoțitorul are 5 chei diferite pentru camere diferite. Scotând o cheie la întâmplare, încearcă să deschidă ușa uneia dintre camere. Pentru discret CB X– numărul de încercări de deschidere a ușii (cheia bifată nu este folosită a doua oară), compilați o serie de distribuție și găsiți F(x) Și M(X).

Problema 3. Probabilitatea de a produce o piesă cu parametrii de precizie dați dintr-o piesă standard pentru fiecare piesă este de 0,8.

Necesar: 1) construiți o serie de distribuție CB X– numărul de piese cu caracteristici de precizie date care vor fi realizate din cinci semifabricate standard; 2) estimați probabilitatea ca 70 de piese cu caracteristici de precizie date să fie fabricate din 90 de semifabricate.

CB XŞi Y:

x i
p i	?	0,5	0,2

y eu
p i	0,6	?

Creați o serie de distribuție CB Z = Y – X. Găsi M(Z) Și D(Z).

Problema 5. Continuă CB X dat de funcţia de distribuţie

Aflați: 1) densitatea distribuției f(x); 2) M(x); 3) CB X va lua valori aparținând intervalului de exact trei ori

Problema 6. Dată o funcție

Definiți valoarea parametrului O, la care această funcție specifică densitatea distribuției de probabilitate a unor continue CB X. Găsi F(x), M(X) Și D(X). Construiți un grafic F(x).

Problema 7. Având în vedere M(X) = 16 și s( X) = 2 continuu distribuit normal NE X. Găsi:

1) probabilitate ;

2) probabilitate ;

3) relativ simetric o intervalul în care se încadrează valorile CB X cu probabilitatea g = 0,9281.

Problema 8. Înălțimea unui bărbat adult este SV X, distribuit conform legii normale cu parametri O= 175 cm și s = 10 cm Aflați probabilitatea ca înălțimea unui om selectat la întâmplare să fie: a) mai mică de 180 cm; b) nu mai puțin de 170 cm și nu mai mult de 175 cm.

OPȚIUNEA 5

Problema 1. Variabilă aleatoare discretă X (CB X) este dat de seria de distribuție:

x i
p i	0,2	0,1	0,4	0,2	0,1

Găsiți: 1) funcția de distribuție F(x); 2) caracteristici numerice: așteptarea matematică M(X), varianță D(X), abaterea standard s( X), modă M 0 (X); 3) probabilitate P(40≤ X < 80). Построить многоугольник распределения и график F(x).

Problema 2. Ținta este formată dintr-un cerc și două inele concentrice. Lovirea cercului valorează 6 puncte, inelul 2 valorează 4 puncte, iar inelul 3 valorează două puncte. Probabilitățile de a intra în cerc și, respectiv, inelele 2 și 3, sunt 0,2; 0,3 și 0,5. Pentru discret SV X– suma punctelor eliminate în urma a trei hit-uri, compilați o serie de distribuție și găsiți F(x), M(X), s( X).

Sarcina 3. Linia automată constă din n maşini care acţionează independent de acelaşi tip. Probabilitatea ca o mașină să necesite ajustare în timpul unei ture pentru fiecare mașină este de 0,3. Necesar: 1) construiți o serie de distribuție CB X– numărul de utilaje care vor necesita ajustare în timpul unei ture, dacă n= 4; 2) estimați probabilitatea ca 20 de mașini să necesite ajustare pe schimb, dacă n = 100.

Problema 4. Distribuția comună a discretelor CB XŞi Y dat de tabel:

Y X
	0,20	0,15	0,10
	0,30	0,20	0,05

Creați o lege de distribuție CB Z = Y + X. Găsi M(Z) Și D(Z).

Problema 5. Continuă CB X dat de funcţia de distribuţie

Aflați: 1) densitatea distribuției f(x); 2) M(x) Și D(X);
3) P(3 < X < 9); 4) вероятность того, что в четырех независимых испытаниях CB X exact de două ori vor lua valori aparținând intervalului (3; 9).

Problema 6. Dată o funcție

Definiți valoarea parametrului O, la care această funcție specifică densitatea distribuției de probabilitate a unor continue CB X. Găsi F(x), M(X). Construiți un grafic F(x).

Problema 7. Având în vedere M(X) = 10 și s( X) = 4 continuu distribuit normal NE X. Găsi:

1) probabilitate ;

2) probabilitate ;

3) relativ simetric o intervalul în care se încadrează valorile CB X cu probabilitatea g = 0,5161.

Problema 8. Minutele unui ceas electric se mișcă brusc la sfârșitul fiecărui minut. Variabila aleatoare X– diferența dintre ora afișată pe afișaj și ora reală are o distribuție uniformă. Găsiți probabilitatea ca la un moment dat ceasul să indice un timp care diferă de cel adevărat: a) cu nu mai puțin de 10 s și nu mai mult de 25 s; b) pentru cel puțin 25 s.

OPȚIUNEA 6

Problema 1. Variabilă aleatoare discretă X (CB X) este dat de seria de distribuție:

x i	–5	–3	–1
p i	0,2	0,2	0,1	0,4	0,1

Găsiți: 1) funcția de distribuție F(x); 2) caracteristici numerice: așteptarea matematică M(X), varianță D(X), abaterea standard s( X), modă M 0 (X); 3) probabilitate P(– 3≤ X < 1). Построить многоугольник распределения и график F(x).

Problema 2. Într-un grup sunt 12 studenți, dintre care 5 locuiesc într-un cămin. 4 elevi sunt selectați la întâmplare din listă. Pentru SV X– numărul studenților care locuiesc în cămin dintre cei care vor fi selectați, creează o serie de distribuție și găsesc F(x), M(X) Și D(X).

Problema 3. Când se produc piese de același tip folosind echipamente învechite, fiecare piesă se poate dovedi a fi defectă cu o probabilitate de 0,1. Construiți o serie de distribuție CB X< 3);
4) probabilitatea ca în patru încercări independente CB X va lua valori care aparțin intervalului (1; 3) de exact două ori.

Problema 6. Dată o funcție

Definiți valoarea parametrului O, la care această funcție specifică densitatea distribuției de probabilitate a unor continue CB X. Găsi F(x), M(X) Și D(X). Construiți un grafic F(x).

Problema 7. Având în vedere M(X) = 11 și s( X) = 3 continuu distribuit normal NE X. Găsi:

1) probabilitate ;

2) probabilitate ;

3) relativ simetric o intervalul în care se încadrează valorile CB X cu probabilitatea g = 0,9973.

Problema 8. Timpul de funcționare al unui televizor de o anumită marcă este o variabilă aleatorie distribuită conform unei legi normale cu parametri O= 12 ani și s = 2 ani. Aflați probabilitatea ca televizorul să funcționeze fără reparații: a) de la 9 la 12 ani;
b) cel puţin 10 ani.

OPȚIUNEA 7

Problema 1. Variabilă aleatoare discretă X (CB X) este dat de seria de distribuție:

x i
p i	0,2	0,1	0,2	0,3	0,2

Găsiți: 1) funcția de distribuție F(x); 2) caracteristici numerice: așteptarea matematică M(X), varianță D(X), abaterea standard s( X), modă M 0 (X); 3) probabilitate P(2≤ X < 10). Построить многоугольник распределения и график F(x).

Problema 2. Un muncitor întreține 4 mașini care funcționează independent. Probabilitatea ca într-o oră mașina să nu necesite atenția unui muncitor pentru prima mașină este de 0,7; pentru al doilea – 0,75; pentru al treilea – 0,8; pentru al patrulea – 0,9. Pentru discret SV X– numărul de utilaje care nu vor necesita atenția unui muncitor într-o oră, creați o serie de distribuție și găsiți F(x), M(X) Și D(X).

Problema 3. Disponibil n mașini care funcționează independent. Construiți o serie de distribuție CB X– numărul de mașini care lucrează la un moment dat, dacă n= 6, iar probabilitatea ca mașina să funcționeze la un moment dat este de 0,9; calcula M(X) Și D(X). Evaluați probabilitatea ca întreprinderea care are n= 180 și probabilitatea de funcționare pentru fiecare mașină este 0,98, numărul de mașini care lucrează în prezent va fi de cel puțin 170.

Problema 4. Legile distribuției discretelor independente CB XŞi Y:

x i
p i	0,3	?	0,5

y eu	–2	–1
p i	?	0,4

Creați o serie de distribuție CB Z = XY+ 2. Găsiți M(Z) Și D(Z).