Dacă vi se dau două puncte, atunci puteți declara cu îndrăzneală că ei zac pe același direct, pentru că după fiecare două puncte este permisă efectuarea unei linii drepte. Dar de unde știi dacă toată lumea minte? puncte pe direct, dacă sunt trei, patru sau mai multe puncte? Confirmați că punctele aparțin aceluiași direct permisă în mai multe moduri.

vei avea nevoie

• Puncte specificate prin coordonate.

Instrucţiuni

1. Dacă vi se dă puncte cu coordonatele (x1, y1, z1), (x2, y2, z2), (x3, y3, z3), găsiți ecuația direct, folosind coordonatele oricăror 2 puncte, să zicem primul și al doilea. Pentru a face acest lucru, înlocuiți valorile corespunzătoare în ecuație direct: (x-x1)/(x2-x1)=(y-y1)/(y2-y1)=(z-z1)/(z2-z1). Dacă unul dintre numitori este zero, pur și simplu setați numărătorul egal cu zero.

2. Detectează ecuația direct, cunoscând doi puncte cu coordonatele (x1, y1), (x2, y2), chiar mai simple. Pentru a face acest lucru, înlocuiți valorile în formula (x-x1)/(x2-x1)=(y-y1)/(y2-y1).

3. După ce a primit ecuația direct, trecând prin două puncte, înlocuiți valorile coordonatelor celui de-al treilea puncteîn el în locul variabilelor x și y. Dacă egalitatea este corectă, atunci toate trei puncte culca pe unul direct. Așa este, puteți verifica și identitatea acestuia direct alte puncte.

4. Verificați apartenența tuturor punctelor direct, verificând egalitatea tangentelor unghiurilor de înclinare ale segmentelor care le unesc. Pentru a face acest lucru, verificați dacă egalitatea (x2-x1)/(x3-x1)=(y2-y1)/(y3-y1)=(z2-z1)/(z3-z1) este corectă. Dacă unul dintre numitori este zero, atunci toate punctele trebuie să aparțină aceluiași direct trebuie îndeplinită condiția x2-x1=x3-x1, y2-y1=y3-y1, z2-z1=z3-z1.

5. O altă metodă de a verifica apartenența de 3 puncte direct- calculați aria triunghiului pe care îl formează. Dacă totul puncte culca pe direct, atunci aria sa va fi zero. Înlocuiți valorile coordonatelor în formula: S=1/2((x1-x3)(y2-y3)-(x2-x3)(y1-y3)). Dacă după toate calculele obții zero, înseamnă trei puncte culca pe unul direct .

6. Pentru a găsi grafic soluția problemei, construiți planuri de coordonate și găsiți puncte la coordonatele specificate. După aceasta, trageți o linie dreaptă prin două dintre ele și continuați până la a treia puncte, vezi dacă trece prin el. Vă rugăm să rețineți că această metodă este potrivită numai pentru punctele specificate pe un plan cu coordonate (x, y dacă un punct este specificat în spațiu și are coordonate (x, y, z), atunci această metodă nu este aplicabilă;

Sfat 2: Cum să verificați dacă punctele nu se află pe aceeași linie

Pe baza axiomei care descrie proprietățile direct: oricare ar fi linia dreaptă, există puncte aparținând și nu aparținând ei. În consecință, este absolut rezonabil că nu toate puncte se va întinde pe unul direct linii.

vei avea nevoie

• - creion;
• - riglă;
• - stilou;
• - caiet;
• - calculator.

Instrucţiuni

1. Verificați afilierea puncte una sau alta direct destul de ușor. Folosiți ecuația pentru aceasta direct. Se pare că să ne imaginăm că trece linia dreaptă puncte A(x1,y1) și B(x2,y2). Având în vedere un punct K(x,y): este necesar să se verifice apartenența acestuia direct. Ecuația unei drepte din două puncte are vedere mai departe: (x – x1) * (y2 – y1) – (x2 – x1) * (y – y1) = 0.

2. Înlocuiți valoarea coordonatei puncte K în Ec. Dacă (x – x1) * (y2 – y1) – (x2 – x1) * (y – y1) se dovedește a fi mai mare decât zero, atunci punctul K este situat la dreapta sau mai jos direct, trasat prin punctele A și B.

3. Dacă (x – x1) * (y2 – y1) – (x2 – x1) * (y – y1) este mai mic decât zero, punctul K este situat deasupra sau la stânga dreptei. Cu alte cuvinte, numai dacă o ecuație de forma (x – x1) * (y2 – y1) – (x2 – x1) * (y – y1) = 0 este obiectivă, puncte A, B și K vor fi situate pe același direct .

4. În alte cazuri, doar două puncte(A și B), care, conform condițiilor sarcinii, se află direct, îi va aparține: linia nu va trece prin al treilea punct (punctul K).

5. Luați în considerare a doua opțiune pentru a determina calitatea de membru puncte prim: de data aceasta trebuie să verificăm dacă punctul C(x,y) aparține segmentului cu punctele finale B(x1,y1) și A(x2,y2), care face parte direct z.

6. Descrieți punctele segmentului luat în considerare prin ecuația pOB+(1-p)OA=z, cu condiția ca 0?p?1. OB și OA sunt vectori. Dacă există un număr p care este mai mare sau egal cu 0, dar mai mic sau egal cu 1, atunci pOB+(1-p)OA=C, ceea ce înseamnă că punctul C se va afla pe segmentul AB. În caz contrar, acest punct nu va aparține acestui segment.

7. Notați egalitatea pOB+(1-p)OA=C în funcție de coordonate: px1+(1-p)x2=x și py1+(1-p)y2=y.

8. Găsiți numărul p din prima ecuație și înlocuiți valoarea acestuia în a doua egalitate. Dacă egalitatea corespunde condiţiilor 0?p?1, atunci punctul C aparţine segmentului AB.

9. Construi puncte De coordonate dateși trageți o linie dreaptă prin ele. Acest lucru vă va permite să vedeți puncte, culcat pe unul direct, și acelea puncte care nu-i aparțin.

Fiţi atenți!
Asigurați-vă că calculele sunt corecte!

Sfaturi utile
Pentru a găsi k – exponentul unghiular al unei linii, aveți nevoie de (y2 – y1)/(x2 – x1).

Construcția de linii drepte - baza desen tehnic. Acum acest lucru se face din ce în ce mai mult cu sprijinul editorilor grafici, care oferă designerului probabilități mari. Cu toate acestea, unele dintre principiile construcției rămân aceleași ca în desenul clasic - cu ajutorul unui creion și al unei rigle.

vei avea nevoie

• – o coală de hârtie;
• - creion;
• - riglă;
• – calculator cu program AutoCAD.

Instrucţiuni

1. Începeți cu construcția clasică. Determinați planul în care veți construi linia. Să fie acesta planul unei foi de hârtie. În funcție de condițiile problemei, aranjați punctele. Ele pot fi arbitrare, dar este posibil ca un fel de sistem de coordonate să fie specificat. Plasați puncte aleatorii acolo unde vă plac cel mai mult. Etichetați-le A și B. Cu sprijinul unei rigle, combinați-le. Conform axiomei, este invariabil posibil să se tragă o linie dreaptă prin două puncte și doar unul.

2. Desenați un sistem de coordonate. Să vi se dea coordonatele punctului A (x1; y1). Pentru a le detecta, trebuie să puneți numărul necesar pe axa x și să trasați o linie dreaptă paralelă cu axa y prin punctul marcat. După aceasta, trasați valoarea egală cu y1 de-a lungul axei corespunzătoare. Din punctul marcat, trageți o perpendiculară până când se intersectează cu prima. Locul în care se intersectează va fi punctul A. În același mod, găsiți punctul B, ale cărui coordonate pot fi desemnate ca (x2; y2). Conectați ambele puncte ale liniei.

3. În programul AutoCAD, o linie dreaptă poate fi construită folosind mai multe metode. Funcția „în două puncte” este de obicei instalată implicit. Găsiți fila „De bază” în meniul de sus. Veți vedea panoul Desenare în fața dvs. Găsiți butonul cu imaginea unei linii drepte și faceți clic pe el.

4. În acest program, puteți construi o linie dreaptă din două puncte folosind două metode. Plasați cursorul în punctul dorit de pe ecran și faceți clic pe butonul stâng al mouse-ului. După aceasta, determinați al doilea punct, trageți o linie acolo și, de asemenea, faceți clic cu mouse-ul.

5. AutoCAD vă permite, de asemenea, să specificați coordonatele ambelor puncte. Introduceți în caseta de mai jos linie de comandă(_xline). Apăsați Enter. Introduceți coordonatele primului punct și apăsați, de asemenea, enter. Determinați corect și al doilea punct. De asemenea, îl puteți specifica făcând clic cu mouse-ul, plasând cursorul în punctul dorit de pe ecran.

6. În AutoCAD, puteți construi o linie dreaptă nu numai după două puncte, ci și după unghiul de înclinare. În meniul contextual „Desenare”, selectați o linie dreaptă și apoi opțiunea „Unghi”. Punctul de pornire poate fi setat făcând clic cu mouse-ul sau folosind coordonatele, ca în metoda anterioară. După aceea, setați dimensiunea unghiului și apăsați Enter. În mod implicit, linia dreaptă va fi situată la unghiul necesar față de orizontală.

Video pe tema

Sfat 4: Cum să confirmați că un punct nu se află în planul triunghiului

Este posibil să confirmăm că un punct nu se află în planul triunghiului prin simpla verificare a tuturor situațiilor permise, mai ales că nu sunt multe dintre ele. Nu trebuie să uităm că este posibil să ajungem și la evenimentul opus, adică în cazul în care punctul este intern unui triunghi dat.

Instrucţiuni

1. Înainte de a căuta o soluție la problemă, cititorul ar trebui să ia propria decizie cu privire la identitatea laturilor triunghiului. Luați în considerare punctele lor externe triunghiului sau nu. În această etapă, credem că această zonă este închisă și, prin urmare, include granițele sale. Pentru simplitate, luați în considerare „cazul plat”, dar nu uitați de generalizarea spațială. În consecință, ecuațiile standard pentru drepte într-un plan de forma y=kx+b nu trebuie folosite, cel puțin la începutul soluției.

2. Selectați o metodă pentru specificarea laturilor triunghiului. Judecând după enunțul problemei, aceasta nu are un sens ferm. Prin urmare, considerăm că coordonatele vârfurilor sale sunt date: A(xa, ya), B(xb, yb), C(xc, yc) (vezi Fig. 1.). Aflați vectorii de direcție ai laturilor triunghiului AB=(xb-xa, yb-ya), BC=(xc-xb, yc-yb), AC=(xc-xa, yc-ya) și scrieți ecuații canonice linii care conțin aceste laturi. Pentru AB – (x-xa)/(xb-xa)=(y-ya)/(yb-ya). Pentru BC – (x-xb)/(xc-xb)=(y-yb)/(yc-ya). Pentru AC – (x-xa)/(xc-xa)=(y-ya)/(yc-ya). În conformitate cu imaginea, trageți linii orizontale și verticale, care pot fi scrise ca x=xc, x= xa, x=xb, y=yc, y=ya, y=yb. Acest lucru va reduce numărul de calcule la minimum. Apoi urmați algoritmul propus. În figură, punctul dat M(xo,yo) este plasat în locul cel mai „defavorabil”.

3. Urmând axa 0x, verificați inegalitatea xc?xo?xb. Dacă nu este îndeplinită, atunci punctul se află în afara triunghiului, deoarece „nu înăuntru” este „exterior”. Dacă inegalitatea este îndeplinită, atunci verificați corectitudinea lui xc

4. Verificați inegalitatea ус?уо?уа. Dacă nu este obiectiv, atunci punctul nu se află în interiorul triunghiului. În caz contrar, găsiți ordonata dreptei care conține AB. y1=y(xo)=[(yb-ya)(xo-xa)]/(xb-xa)+ya. Faceți același lucru cu ordonata dreptei pentru BC. y2=y(xo)=[(yс-yb)(xo-xb)]/(xc-xb)+yc. Compuneți inegalitatea y2?yo?y1. Execuția lui ne permite să concluzionăm că punctul dat se află în interiorul triunghiului. Dacă această inegalitate este falsă, atunci se află în afara limitelor sale, în special în conformitate cu figură.

Foarte des atunci când te hotărăști teme pentru acasă apare întrebarea: când 3 puncte se află pe aceeași linie, răspunsul este foarte simplu și stă la baza geometriei.

Puteți verifica dacă trei puncte se află pe aceeași linie construind o ecuație a dreptei în cauză care trece prin două puncte alese aleatoriu dintre aceste trei. Și verificând că această ecuație este satisfăcută de coordonatele celorlalte dintre aceste trei puncte.

Mânca diferite tipuri ecuațiile unei linii drepte. Să folosim una dintre cele mai simple metode și să o luăm în considerare pentru anumite puncte.

Vom face acest lucru doar pentru a nu rezolva problema în vedere generală, dar pentru a răspunde la întrebarea dacă aceste 3 puncte cu aceste coordonate se află pe aceeași dreaptă. Să formulăm problema: Este necesar să verificăm dacă punctele A(-2;1), B(0;3), B (5;-7) se află pe aceeași dreaptă.

Să rezolvăm problema

După cum știți, prin oricare două puncte puteți trage o linie dreaptă și una unică. Deci, să tragem mental această linie dreaptă. Să spunem drept AB. Aceasta înseamnă că soluția problemei noastre se rezumă la faptul că trebuie să verificăm dacă punctul B aparține dreptei AB. Dacă se dovedește că punctul B aparține dreptei AB, atunci toate punctele din condiție se vor afla pe aceeași dreaptă. Dacă aflăm că punctul B nu aparține dreptei AB, atunci putem pretinde că punctele A, B și C nu se află pe aceeași dreaptă. Să compunem ecuația dreptei AB ca ecuație a unei drepte care trece prin două puncte:

(x+2)/(0+2)=(y-1)/(3-1)

După transformare obținem:

x-y=-3 este ecuația dreptei AB

Să verificăm dacă coordonatele punctului B satisfac această ecuație pentru a face acest lucru, este suficient să înlocuim coordonatele punctului B în locul variabilelor din ecuația dreptei AB. Dacă obținem egalitatea numerică corectă, atunci punctul B este punctul dreptei AB. În caz contrar, o egalitate numerică incorectă va indica faptul că punctul B nu aparține dreptei AB.

După cum puteți vedea, nu am obținut egalitatea numerică corectă. Aceasta înseamnă că în acest caz punctele A, B, C nu se află pe aceeași linie dreaptă.

Un exemplu în care 3 puncte se află pe aceeași linie poate fi ușor selectat pentru această sarcină. Doar punctul B trebuie să aibă coordonatele (0;3) sau (-7;-4)

Dacă vi se dau două puncte, atunci puteți spune cu siguranță că ei zac pe același direct, deoarece după oricare două puncte poți trage o linie dreaptă. Dar cum afli dacă toată lumea minte? puncte pe direct, dacă sunt trei, patru sau mai multe puncte? Demonstrați că punctele aparțin aceluiași direct posibil în mai multe moduri.

vei avea nevoie

• Puncte specificate prin coordonate.

Instrucţiuni

Dacă vi se dă puncte cu coordonatele (x1, y1, z1), (x2, y2, z2), (x3, y3, z3), găsiți ecuația direct, folosind coordonatele oricăror două puncte, de exemplu, primul și al doilea. Pentru a face acest lucru, înlocuiți valorile corespunzătoare în ecuație direct: (x-x1)/(x2-x1)=(y-y1)/(y2-y1)=(z-z1)/(z2-z1). Dacă unul dintre numitori este zero, pur și simplu setați numărătorul egal cu zero.

Găsiți ecuația direct, cunoscând doi puncte cu coordonatele (x1, y1), (x2, y2), chiar mai simple. Pentru a face acest lucru, înlocuiți valorile în formula (x-x1)/(x2-x1)=(y-y1)/(y2-y1).

După ce a primit ecuația direct, trecând prin două puncte, înlocuiți valorile coordonatelor celui de-al treilea puncteîn el în locul variabilelor x și y. Dacă egalitatea este corectă, atunci toate trei puncte culca pe unul direct. În același mod, puteți verifica dacă acest lucru direct alte puncte.

Verificați apartenența tuturor punctelor direct, verificând egalitatea tangentelor unghiurilor de înclinare ale segmentelor care le unesc. Pentru a face acest lucru, verificați dacă egalitatea (x2-x1)/(x3-x1)=(y2-y1)/(y3-y1)=(z2-z1)/(z3-z1) este adevărată. Dacă unul dintre numitori este zero, atunci toate punctele trebuie să aparțină aceluiași direct trebuie îndeplinită condiția x2-x1=x3-x1, y2-y1=y3-y1, z2-z1=z3-z1.

O altă modalitate de a verifica apartenența la trei puncte direct- Calculați aria triunghiului pe care îl formează. Dacă totul puncte culca pe direct, atunci aria sa va fi zero. Înlocuiți valorile coordonatelor în formula: S=1/2((x1-x3)(y2-y3)-(x2-x3)(y1-y3)). Dacă după toate calculele obții zero, înseamnă trei puncte culca pe unul direct.

Pentru a găsi o soluție grafică a problemei, construiți planuri de coordonate și găsiți puncte la coordonatele specificate. Apoi trageți o linie dreaptă prin două dintre ele și continuați până la a treia puncte, vezi dacă trece prin el. Vă rugăm să rețineți că această metodă este potrivită numai pentru punctele specificate pe un plan cu coordonate (x, y), dar dacă un punct este specificat în spațiu și are coordonate (x, y, z), atunci această metodă nu este aplicabilă.

Sfat 2: Cum să verificați dacă punctele nu se află pe aceeași linie

Pe baza axiomei care descrie proprietățile direct: oricare ar fi linia dreaptă, există puncte aparținând și nu aparținând ei. Prin urmare, este destul de logic că nu toate puncte se va întinde pe unul direct linii.

vei avea nevoie

• - creion;
• - riglă;
• - stilou;
• - caiet;
• - calculator.

Instrucţiuni

Verificați afilierea puncte asta sau aia direct destul de simplu. Folosiți ecuația pentru aceasta direct. Deci, să presupunem că linia trece prin puncte A(x1,y1) și B(x2,y2). Având în vedere un punct K(x,y): trebuie să verificați apartenența acestuia direct. Ecuația unei drepte bazată pe două puncte este următoarea: (x - x1) * (y2 - y1) - (x2 - x1) * (y - y1) = 0.

Înlocuiți valoarea coordonatei puncte K în Ec. Dacă (x - x1) * (y2 - y1) - (x2 - x1) * (y - y1) este mai mare decât zero, atunci punctul K este situat la dreapta sau mai jos direct, trasat prin punctele A și B.

Dacă (x - x1) * (y2 - y1) - (x2 - x1) * (y - y1) este mai mic decât zero, punctul K este situat deasupra sau la stânga dreptei. Cu alte cuvinte, numai dacă o ecuație de forma (x - x1) * (y2 - y1) - (x2 - x1) * (y - y1) = 0 este adevărată, puncte A, B și K vor fi situate pe același direct.