Construcția unui hexagon regulat înscris într-un cerc.
Construcția unui hexagon se bazează pe faptul că latura lui este egală cu raza cercului circumscris. Prin urmare, pentru a-l construi, este suficient să împărțiți cercul în șase părți egale și să conectați punctele găsite între ele.
Un hexagon obișnuit poate fi construit folosind o margine dreaptă și un pătrat de 30X60°. Pentru a realiza această construcție, luăm diametrul orizontal al cercului ca bisectoare a unghiurilor 1 și 4, construim laturile 1 - 6, 4 - 3, 4 - 5 și 7 - 2, după care desenăm laturile 5 - 6 și 3 - 2.
Vârfurile unui astfel de triunghi pot fi construite folosind un compas și un pătrat cu unghiuri de 30 și 60° sau doar un compas. Să luăm în considerare două moduri de a construi un triunghi echilateral înscris într-un cerc.
Prima cale(Fig. 61,a) se bazează pe faptul că toate cele trei unghiuri ale triunghiului 7, 2, 3 conțin 60°, iar linia verticală trasată prin punctul 7 este atât înălțimea, cât și bisectoarea unghiului 1. Deoarece unghiul 0 - 1 - 2 este egal cu 30°, apoi pentru a găsi latura 1 - 2 este suficient să construiți un unghi de 30° din punctul 1 și latura 0 - 1. Pentru a face acest lucru, instalați bara transversală și pătratul așa cum se arată în figură, trageți linia 1 - 2, care va fi una dintre laturile triunghiului dorit. Pentru a construi partea 2 - 3, setați bara transversală în poziția indicată de liniile întrerupte și trageți o linie dreaptă prin punctul 2, care va determina al treilea vârf al triunghiului.
A doua cale se bazează pe faptul că dacă construiești un hexagon obișnuit înscris într-un cerc și apoi legați vârfurile acestuia printr-unul, veți obține un triunghi echilateral.
Pentru a construi un triunghi, marcați punctul de vârf 1 pe diametru și trasați o linie diametrală 1 - 4. Apoi, din punctul 4 cu raza egală cu D/2, descriem un arc până când se intersectează cu cercul în punctele 3 și 2. Punctele rezultate vor fi celelalte două vârfuri ale triunghiului dorit.
Această construcție se poate face folosind un pătrat și o busolă.
Prima cale se bazează pe faptul că diagonalele pătratului se intersectează în centrul cercului circumscris și sunt înclinate față de axele acestuia la un unghi de 45°. Pe baza acestui lucru, instalăm bara transversală și pătratul cu unghiuri de 45° așa cum se arată în Fig. 62, a, și marcați punctele 1 și 3. În continuare, prin aceste puncte trasăm laturile orizontale ale pătratului 4 - 1 și 3 -2 folosind o bară transversală. Apoi, folosind o margine dreaptă de-a lungul laturii pătratului, desenăm laturile verticale ale pătratului 1 - 2 și 4 - 3.
A doua cale se bazează pe faptul că vârfurile unui pătrat bisectează arcele unui cerc închis între capetele diametrului. Marcam punctele A, B si C la capetele a doua diametre reciproc perpendiculare si din ele cu o raza y descriem arce pana se intersecteaza.
În continuare, prin punctele de intersecție ale arcelor trasăm linii drepte auxiliare, marcate în figură cu linii continue. Punctele de intersecție a acestora cu cercul vor determina vârfurile 1 și 3; 4 și 2. Legăm între ele vârfurile pătratului dorit obținut astfel în serie.
Construcția unui pentagon regulat înscris într-un cerc.
Pentru a potrivi un pentagon obișnuit într-un cerc, facem următoarele construcții. Marcam punctul 1 pe cerc și îl luăm ca unul dintre vârfurile pentagonului. Împărțim segmentul AO în jumătate. Pentru a face acest lucru, descriem un arc din punctul A cu raza AO până când se intersectează cu cercul în punctele M și B. Legând aceste puncte cu o dreaptă, obținem punctul K, pe care îl conectăm apoi la punctul 1. Cu cu o rază egală cu segmentul A7, descriem un arc din punctul K până când se intersectează cu linia diametrală AO în punctul H. Prin conectarea punctului 1 cu punctul H, obținem latura pentagonului. Apoi, folosind o soluție de busolă egală cu segmentul 1H, care descrie un arc de la vârful 1 până la intersecția cu cercul, găsim vârfurile 2 și 5. După ce am făcut crestături din vârfurile 2 și 5 cu aceeași soluție de busolă, obținem restul. vârfurile 3 și 4. Legăm secvențial punctele găsite între ele.
Construirea unui pentagon regulat de-a lungul unei laturi date.
Pentru a construi un pentagon regulat de-a lungul unei laturi date (Fig. 64), împărțim segmentul AB în șase părți egale. Din punctele A și B cu raza AB descriem arce, a căror intersecție va da punctul K. Prin acest punct și diviziunea 3 pe dreapta AB trasăm o linie verticală. În continuare, din punctul K de pe această dreaptă, întindem un segment egal cu 4/6 AB. Obținem punctul 1 - vârful pentagonului. Apoi, cu o rază egală cu AB, din punctul 1 descriem un arc până când acesta se intersectează cu arcele desenate anterior din punctele A și B. Punctele de intersecție ale arcelor determină vârfurile pentagonului 2 și 5. Legăm vârfurile găsite în serie între ele.
Construcția unui heptagon regulat înscris într-un cerc.
Să fie dat un cerc cu diametrul D; trebuie să potriviți în el un heptagon obișnuit (Fig. 65). Împărțiți diametrul vertical al cercului în șapte părți egale. Din punctul 7 cu raza egală cu diametrul cercului D, descriem un arc până când acesta se intersectează cu continuarea diametrului orizontal în punctul F. Numim punctul F polul poligonului. Luând punctul VII ca unul dintre vârfurile heptagonului, tragem raze de la polul F prin diviziuni pare ale diametrului vertical, a căror intersecție cu cercul va determina vârfurile VI, V și IV ale heptagonului. Pentru a obține vârfuri / - // - /// din punctele IV, V și VI, trageți linii orizontale până se intersectează cu cercul. Conectăm secvențial vârfurile găsite între ele. Un heptagon poate fi construit prin trasarea razelor de la polul F și prin diviziuni impare ale diametrului vertical.
Metoda de mai sus este potrivită pentru construirea de poligoane regulate cu orice număr de laturi.
Împărțirea unui cerc în orice număr de părți egale se poate face și folosind datele din tabel. 2, care furnizează coeficienți care fac posibilă determinarea dimensiunilor laturilor poligoanelor regulate înscrise.
Lungimile laturilor poligoanelor regulate înscrise.
Prima coloană a acestui tabel arată numărul de laturi ale unui poligon obișnuit înscris, iar a doua coloană arată coeficienții. Lungimea laturii unui poligon dat se obține prin înmulțirea razei unui cerc dat cu un coeficient corespunzător numărului de laturi ale acestui poligon.
Pentagon obișnuit(greacă πενταγωνον ) - o figură geometrică, un poligon regulat cu cinci laturi.
Proprietăți
- Dodecaedrul este singurul poliedru regulat ale cărui fețe sunt pentagoane regulate.
- Pentagonul, clădirea Departamentului de Apărare al SUA, are forma unui pentagon obișnuit.
- Un pentagon obișnuit este un poligon regulat cu cele mai puține unghiuri care nu pot fi placate pe un plan.
- În natură, nu există cristale cu fețe în formă de pentagon obișnuit.
- Pentagonul cu toate diagonalele sale este proiecția 4-simplexului.
Vezi de asemenea
Scrieți o recenzie despre articolul „Pentagon obișnuit”
Note
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
||||||||||||||||||||||||||||||
Extras care caracterizează Pentagonul obișnuit
Petya nu știa cât a durat asta: s-a bucurat, a fost în mod constant surprins de plăcerea lui și a regretat că nu avea cui să-i spună. A fost trezit de vocea blândă a lui Lihaciov.- Gata, onoare, veți împărți garda în două.
Petya s-a trezit.
- S-a făcut deja zori, într-adevăr, se răsare! – țipă el.
Caii invizibili anterior au devenit vizibili până la coadă, iar o lumină apoasă era vizibilă prin ramurile goale. Petya s-a scuturat, a sărit în sus, a scos o rublă din buzunar și i-a dat-o lui Lihaciov, a făcut cu mâna, a încercat sabia și a pus-o în teacă. Cazacii au dezlegat caii și au strâns centurile.
„Iată-l pe comandant”, a spus Lihaciov. Denisov a ieșit din pază și, strigând pe Petya, le-a ordonat să se pregătească.
Repede, în semiîntuneric, au demontat caii, au strâns centurile și au aranjat echipele. Denisov stătea la pază, dând ultimele ordine. Infanteria partidului, pălmuind o sută de picioare, a mers înainte de-a lungul drumului și a dispărut repede între copaci în ceața dinainte de zori. Esaul a ordonat ceva cazacilor. Petya își ținea calul pe frâiele, așteptând cu nerăbdare ordinul de a urca. Spălat apa rece, fața, mai ales ochii, arsă de foc, un fior i se scurgea pe spate și ceva în tot corpul îi tremura repede și uniform.
- Ei bine, totul este gata pentru tine? - spuse Denisov. - Dă-ne caii.
Au fost aduși caii. Denisov s-a înfuriat pe cazac pentru că cingătoarele erau slabe și, certandu-l, s-a așezat. Petya apucă etrierul. Calul, din obișnuință, a vrut să-și muște piciorul, dar Petia, nesimțindu-i greutatea, sări repede în șa și, uitându-se înapoi la husarii care se mișcau în urmă în întuneric, se îndreptă spre Denisov.
- Vasily Fedorovich, îmi încredințezi ceva? Te rog... pentru numele lui Dumnezeu... - spuse el. Denisov părea să fi uitat de existența lui Petya. S-a uitat înapoi la el.
„Te întreb despre un lucru”, a spus el cu severitate, „să mă asculți și să nu te amesteci nicăieri”.
Pe parcursul întregii călătorii, Denisov nu i-a spus niciun cuvânt lui Petya și a călărit în tăcere. Când am ajuns la marginea pădurii, câmpul devenea vizibil mai ușor. Denisov a vorbit în șoaptă cu esaul, iar cazacii au început să treacă pe lângă Petya și Denisov. Când au trecut cu toții, Denisov și-a pornit calul și a coborât la vale. Așezați pe spate și alunecând, caii au coborât cu călăreții lor în râpă. Petya călărea lângă Denisov. Tremuratul din tot corpul i s-a intensificat. A devenit din ce în ce mai ușoară, doar ceața ascunde obiecte îndepărtate. Coborându-se și privind înapoi, Denisov dădu din cap către cazacul care stătea lângă el.
- Semnal! - a spus el.
Cazacul ridică mâna și se auzi o împușcătură. Și în aceeași clipă s-a auzit în față vagabondul cailor în galop, țipete din diferite părți și mai multe împușcături.
În aceeași clipă în care s-au auzit primele zgomote de călcat și țipete, Petia, lovindu-și calul și eliberând frâiele, fără să-l asculte pe Denisov, care striga la el, a galopat înainte. Lui Petya i s-a părut că a răsărit deodată la fel de strălucitor ca mijlocul zilei în acel moment în care s-a auzit împușcătura. A galopat spre pod. Cazacii au galopat de-a lungul drumului din față. Pe pod a întâlnit un cazac rămas în urmă și a mers mai departe. Unii oameni din față – trebuie să fi fost francezi – alergau din partea dreaptă a drumului spre stânga. Unul a căzut în noroi sub picioarele calului lui Petya.
Cazacii se înghesuiau în jurul unei colibe, făcând ceva. Din mijlocul mulțimii se auzi un țipăt teribil. Petya s-a îndreptat către această mulțime în galop și primul lucru pe care l-a văzut a fost chipul palid al unui francez, cu o falcă inferioară tremurândă, ținându-se de axul unei lănci îndreptate spre el.
„Ura!.. Băieți... ai noștri...” strigă Petya și, dând frâiele calului supraîncălzit, înainta în galop pe stradă.
În față s-au auzit împușcături. Cazacii, husari și prizonieri ruși zdrențuiți, alergând de ambele părți ale drumului, strigau cu toții ceva tare și stânjenit. Un francez chipeș, fără pălărie, cu fața roșie, încruntă, într-un pardesiu albastru, s-a luptat cu husarii cu baioneta. Când Petya a urcat în galop, francezul deja căzuse. Am întârziat din nou, Petya i-a fulgerat în cap și a plecat în galop spre locul unde se auzeau împușcături frecvente. În curtea conacului în care se afla cu Dolokhov aseară au răsunat împușcături. Francezii s-au așezat acolo, în spatele unui gard, într-o grădină densă acoperită de tufișuri și au tras în cazacii înghesuiți la poartă. Apropiindu-se de poartă, Petia, în fumul de pulbere, l-a văzut pe Dolokhov cu chipul palid, verzui, strigând ceva oamenilor. „Faceți un ocol! Așteaptă infanterie!” – strigă el, în timp ce Petya se apropia de el.
„Stai?.. Ura!...” strigă Petya și, fără să ezite nici un minut, galopă spre locul de unde s-au auzit împușcăturile și unde fumul de pulbere era mai gros. S-a auzit o salvă, gloanțe goale au țipat și au lovit ceva. Cazacii și Dolokhov au galopat după Petia prin porțile casei. Francezii, în fumul dens legănat, unii și-au aruncat armele și au ieșit din tufișuri să-i întâmpine pe cazaci, alții au fugit la vale până la baltă. Petya a galopat pe calul său de-a lungul curții conacului și, în loc să țină frâiele, flutură ciudat și rapid cu ambele brațe și căzu din ce în ce mai mult din șa într-o parte. Calul, alergând în focul care mocnea în lumina dimineții, s-a odihnit, iar Petya a căzut greu pe pământul ud. Cazacii au văzut cât de repede îi tremurau brațele și picioarele, în ciuda faptului că capul nu i se mișca. Glonțul i-a străpuns capul.
După ce a vorbit cu ofițerul superior francez, care a ieșit la el din spatele casei cu o eșarfă pe sabie și a anunțat că se predau, Dolokhov a coborât din cal și s-a apropiat de Petya, care zăcea nemișcat, cu brațele întinse.
— Gata, spuse el, încruntat, și trecu pe poartă să-l întâlnească pe Denisov, care venea spre el.
- Ucis?! - strigă Denisov, văzând de departe poziția familiară, fără îndoială fără viață, în care zăcea trupul lui Petya.
„Gata”, repetă Dolokhov, de parcă rostirea acestui cuvânt i-ar fi făcut plăcere și s-a dus repede la prizonieri, care erau înconjurați de cazaci descăleați. - Nu o vom lua! – îi strigă el lui Denisov.
Este imposibil să faci fără a studia tehnica acestui proces. Există mai multe opțiuni pentru a face treaba. Cum să desenați o stea folosind o riglă vă va ajuta să înțelegeți cele mai faimoase metode ale acestui proces.
Tipuri de stele
Există multe opțiuni aspect o figură ca o stea.
Din cele mai vechi timpuri, varietatea sa cu cinci colțuri a fost folosită pentru a desena pentagrame. Acest lucru se explică prin proprietatea sa, care vă permite să faceți un desen fără a ridica stiloul de pe hârtie.
Există, de asemenea, comete cu șase vârfuri, cu coadă.
Cinci vârfuri au în mod tradițional stea de mare. Imaginile versiunii de Crăciun se găsesc adesea în aceeași formă.
În orice caz, pentru a desena o stea cu cinci colțuri pas cu pas, trebuie să apelezi la ajutor unelte speciale, deoarece este puțin probabil ca o imagine desenată manual să arate simetrică și frumoasă.
Executarea desenului
Pentru a înțelege cum să desenați o stea uniformă, ar trebui să înțelegeți esența acestei figuri.
Baza desenului său este o linie întreruptă, ale cărei capete converg la punctul de plecare. Formează un pentagon obișnuit - un pentagon.
Proprietățile distinctive ale unei astfel de figuri sunt posibilitatea de a o înscrie într-un cerc, precum și cercul în acest poligon.
Toate laturile pentagonului sunt egale între ele. Înțelegând cum să executați corect un desen, puteți înțelege esența procesului de construire a tuturor figurilor, precum și diferite diagrame ale pieselor și componentelor.
Pentru a atinge un astfel de obiectiv precum desenarea unei stele folosind o riglă, trebuie să cunoașteți cele mai simple formule matematice care sunt fundamentale în geometrie. De asemenea, veți avea nevoie de capacitatea de a număra pe un calculator. Dar cel mai important lucru este gândirea logică.
Munca nu este dificilă, dar va necesita precizie și scrupulozitate. Efortul depus va fi răsplătit cu o imagine bună simetrică și, prin urmare, frumoasă a unei stele cu cinci colțuri.
Tehnica clasică
Cel mai faimos mod de a desena o stea folosind o busolă, o riglă și un raportor este destul de simplă.
Pentru această tehnică veți avea nevoie de mai multe instrumente: o busolă sau raportor, o riglă, un creion simplu, o gumă de șters și o foaie de hârtie albă.
Pentru a înțelege cum să desenezi frumos o stea, ar trebui să acționezi secvenţial, pas cu pas.
Puteți utiliza calcule speciale în munca dvs.
Calculul cifrei
În această etapă de desenare a stelei corecte, apar contururile figurii finite.
Dacă totul este făcut corect, imaginea rezultată va fi netedă. Acest lucru poate fi verificat vizual rotind o bucată de hârtie și evaluând forma. Va rămâne același de fiecare dată când vă întoarceți.
Contururile principale sunt desenate mai clar folosind o riglă și un creion simplu. Toate liniile auxiliare sunt eliminate.
Pentru a înțelege cum să desenați o stea pas cu pas, ar trebui să efectuați toți pașii cu atenție. În cazul unei erori, puteți corecta desenul cu o radieră sau puteți efectua din nou toate manipulările.
Înregistrarea lucrării
Forma finită poate fi decorată într-o varietate de moduri. Principalul lucru este să nu vă fie frică să experimentați. Fantezia va sugera o imagine originală și frumoasă.
Puteți decora steaua dreaptă desenată cu un simplu creion sau folosiți o mare varietate de culori și nuanțe.
Pentru a vă da seama cum să desenați steaua potrivită, trebuie să rămâneți la liniile perfecte pe tot parcursul. Prin urmare, cea mai populară opțiune de design este împărțirea fiecărei raze a figurii în două părți egale, cu o linie care emană de sus spre centru.
Nu trebuie să separați laturile stelei cu linii. Puteți picta pur și simplu peste fiecare rază a figurii cu o nuanță mai închisă pe o parte.
Această opțiune va fi, de asemenea, răspunsul la întrebarea cum să desenați steaua potrivită, deoarece toate liniile sale vor fi simetrice.
Dacă doriți, atunci când proiectați estetic o figură, puteți adăuga un ornament sau alte elemente diverse. Adăugând cercuri în vârfuri, puteți obține o stea a șerifului. Aplicând umbrirea netedă a părților umbră, puteți obține o stea de mare.
Această tehnică este cea mai comună, deoarece fără prea mult efort vă permite să înțelegeți cum să desenați o stea cu cinci colțuri pas cu pas. Fără a recurge la calcule matematice complexe, se poate obține o imagine corectă, frumoasă.
Având în vedere toate modalitățile de a desena o stea folosind o riglă, o poți alege pe cea mai potrivită pentru tine. Cea mai populară este metoda geometrică pas cu pas. Este destul de simplu și eficient. Folosind fantezie și imaginație, puteți crea o compoziție originală din forma corectă și frumoasă rezultată. Există o mare varietate de opțiuni de design. Dar poți oricând să vină cu propriul tău complot, cel mai neobișnuit și memorabil. Principalul lucru este să nu vă fie frică să experimentați!
5.3. Pentagonul de Aur; construcția lui Euclid.
Un exemplu minunat al „raportului de aur” este un pentagon regulat - convex și în formă de stea (Fig. 5).
Pentru a construi o pentagramă, trebuie să construiți un pentagon obișnuit.
Fie O centrul cercului, A punctul de pe cerc și E punctul de mijloc al segmentului OA. Perpendiculara pe raza OA, restabilită în punctul O, intersectează cercul în punctul D. Cu ajutorul unui compas, trasează segmentul CE = ED pe diametru. Lungimea laturii unui pentagon regulat înscris într-un cerc este egală cu DC. Trasăm segmentele DC pe cerc și obținem cinci puncte pentru a desena un pentagon obișnuit. Conectăm colțurile pentagonului unul prin altul cu diagonale și obținem o pentagramă. Toate diagonalele pentagonului se împart reciproc în segmente conectate prin raportul de aur.
Fiecare capăt al stelei pentagonale reprezintă un triunghi de aur. Laturile sale formează un unghi de 36° la vârf, iar baza, așezată lateral, o împarte în proporția raportului de aur.
Există și un cuboid auriu - acesta este un paralelipiped dreptunghiular cu margini având lungimi de 1,618, 1 și 0,618.
Acum luați în considerare demonstrația oferită de Euclid în Elemente.
| |
din centrul cercului circumferitor. Să începem cu
segmentul ABE, împărțit la medie și
Deci să fie AC=AE. Să notăm cu a unghiurile egale EBC și CEB. Deoarece AC=AE, unghiul ACE este de asemenea egal cu a. Teorema că suma unghiurilor unui triunghi este de 180 de grade ne permite să găsim unghiul ALL: este egal cu 180-2a, iar unghiul EAC este 3a - 180. Dar atunci unghiul ABC este egal cu 180-a . Însumând unghiurile triunghiului ABC obținem,
180=(3a -180) + (3a-180) + (180 - a)
Unde 5a=360 înseamnă a=72.
Deci, fiecare dintre unghiurile de bază ale triunghiului GREUTATE este de două ori unghiul vârfului, care este de 36 de grade. Prin urmare, pentru a construi un pentagon regulat, trebuie doar să desenați orice cerc cu un centru în punctul E, intersectând EC în punctul X și latura EB în punctul Y: segmentul XY servește ca una dintre laturile unui pentagon regulat înscris în cerc; Înconjurând întregul cerc, puteți găsi toate celelalte părți.
Să demonstrăm acum că AC = AE. Să presupunem că vârful C este conectat printr-un segment de linie la mijlocul N al segmentului BE. Rețineți că, deoarece CB = CE, unghiul CNE este drept. Conform teoremei lui Pitagora:
CN 2 = a 2 – (a/2j) 2 = a 2 (1-4j 2)
Prin urmare avem (AC/a) 2 = (1+1/2j) 2 + (1-1/4j 2) = 2+1/j = 1 + j =j 2
Deci, AC = ja = jAB = AE, care este ceea ce trebuia demonstrat
5.4 Spirala lui Arhimede.
Tăiind succesiv pătrate din dreptunghiuri aurii la infinit, conectând de fiecare dată puncte opuse cu un sfert de cerc, obținem o curbă destul de elegantă. Primul care a atras atenția asupra lui a fost savantul grec antic Arhimede, al cărui nume îl poartă. El a studiat-o și a derivat ecuația acestei spirale.
În prezent, spirala lui Arhimede este utilizată pe scară largă în tehnologie.
6.Numerele Fibonacci.
Numele matematicianului italian Leonardo din Pisa, care este mai bine cunoscut sub porecla lui Fibonacci (Fibonacci - abreviat filius Bonacci, adică fiul lui Bonacci), este indirect legat de raportul de aur.
În 1202 a scris cartea „Liber abacci”, adică „Cartea lui Abacus”. „Liber abacci” este o lucrare voluminoasă care conține aproape toate informațiile aritmetice și algebrice ale vremii și a jucat un rol semnificativ în dezvoltarea matematicii în Europa de Vest în următoarele câteva secole. În special, din această carte europenii s-au familiarizat cu cifrele hinduse („arabe”).
Materialul raportat în carte este explicat printr-un număr mare de probleme care alcătuiesc o parte semnificativă a acestui tratat.
Să luăm în considerare o astfel de problemă:
„Câte perechi de iepuri se nasc dintr-o pereche într-un an?
Cineva a așezat o pereche de iepuri într-un anumit loc, îngrădiți pe toate părțile de un zid, pentru a afla câte perechi de iepuri ar fi născut în acest an, dacă natura iepurilor este de așa natură încât într-o lună o pereche de iepuri. iepurii vor reproduce altul, iar iepurii nasc din a doua lună după naștere”.
| Luni | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
| Perechi de iepuri | 2 | 3 | 5 | 8 | 13 | 21 | 34 | 55 | 89 | 144 | 233 | 377 |
Să trecem acum de la iepuri la numere și să luăm în considerare următoarea secvență de numere:
u 1 , u 2 ... u n
în care fiecare termen este egal cu suma celor doi anteriori, i.e. pentru orice n>2
u n =u n -1 +u n -2 .
Această secvență asimptotic (apropiindu-se din ce în ce mai lent) tinde spre o relație constantă. Cu toate acestea, acest raport este irațional, adică este un număr cu o succesiune infinită, imprevizibilă de cifre zecimale în partea fracțională. Este imposibil să o exprim cu precizie.
Dacă orice termen al șirului Fibonacci este împărțit la predecesorul său (de exemplu, 13:8), rezultatul va fi o valoare care fluctuează în jurul valorii iraționale de 1,61803398875... și uneori o depășește, alteori nu o atinge.
Comportamentul asimptotic al secvenței și oscilațiile amortizate ale raportului său în jurul numărului irațional Ф pot deveni mai de înțeles dacă arătăm rapoartele primilor câțiva termeni ai secvenței. Acest exemplu arată relațiile dintre al doilea termen și primul, al treilea cu al doilea, al patrulea cu al treilea și așa mai departe:
1:1 = 1,0000, care este mai mic decât phi cu 0,6180
2:1 = 2,0000, care este cu 0,3820 mai mult decât phi
3:2 = 1,5000, care este mai mic decât phi cu 0,1180
5:3 = 1,6667, care este cu 0,0486 mai mult decât phi
8:5 = 1,6000, care este mai mic decât phi cu 0,0180
Pe măsură ce treceți prin secvența de însumare a lui Fibonacci, fiecare termen nou îl va împărți pe următorul cu o aproximare din ce în ce mai mare față de F de neatins.
Omul caută în subconștient proporția divină: este necesară pentru a-și satisface nevoia de confort.
Când împărțiți orice membru al șirului Fibonacci la următorul, rezultatul este pur și simplu inversul lui 1,618 (1: 1,618 = 0,618). Dar acesta este și un fenomen foarte neobișnuit, chiar remarcabil. Deoarece raportul inițial este o fracție infinită, acest raport ar trebui să nu aibă nici un capăt.
Când împărțim fiecare număr la următorul după el, obținem numărul 0,382
Selectând rapoartele în acest fel, obținem setul principal de rapoarte Fibonacci: 4,235, 2,618, 1,618, 0,618, 0,382, 0,236 Toate acestea joacă un rol deosebit în natură și în special în analiza tehnică.
Trebuie remarcat aici că Fibonacci a amintit umanității doar de secvența sa, deoarece era cunoscută încă din timpuri străvechi numită Raportul de Aur.
Raportul de aur, după cum am văzut, apare în legătură cu un pentagon obișnuit, prin urmare numerele Fibonacci joacă un rol în tot ceea ce are de-a face cu pentagoane obișnuite - convexe și în formă de stea.
Seria Fibonacci ar fi putut rămâne doar un incident matematic, dacă nu pentru faptul că toți cercetătorii diviziunii de aur din lumea plantelor și animale, ca să nu mai vorbim de artă, au ajuns invariabil la această serie ca o expresie aritmetică a legii aurului. diviziune. Oamenii de știință au continuat să dezvolte în mod activ teoria numerelor Fibonacci și a raportului de aur. Yu Matiyasevich rezolvă a 10-a problemă a lui Hilbert (despre rezolvarea ecuațiilor diofante) folosind numerele Fibonacci. Apar metode elegante pentru rezolvarea unui număr de probleme cibernetice (teoria căutării, jocuri, programare) folosind numerele Fibonacci și raportul de aur. În SUA se creează chiar și Asociația Mathematical Fibonacci, care publică un jurnal special din 1963.
Una dintre realizările în acest domeniu este descoperirea numerelor Fibonacci generalizate și a rapoartelor de aur generalizate. Seria Fibonacci (1, 1, 2, 3, 5, 8) și seria „binară” de numere descoperite de el 1, 2, 4, 8, 16... (adică o serie de numere până la n , unde există număr natural, mai puțin decât n poate fi reprezentat prin suma unor numere din această serie) la prima vedere sunt complet diferite. Dar algoritmii pentru construcția lor sunt foarte asemănători între ei: în primul caz, fiecare număr este suma numărului anterior cu el însuși 2 = 1 + 1; 4 = 2 + 2..., în al doilea - aceasta este suma celor două numere anterioare 2 = 1 + 1, 3 = 2 + 1, 5 = 3 + 2.... Este posibil să găsim un general formulă matematică din care obținem „ serie binară și seria Fibonacci?
Într-adevăr, să definim un parametru numeric S, care poate lua orice valoare: 0, 1, 2, 3, 4, 5... Luați în considerare serie de numere, S + 1 ai căror primii termeni sunt uni, iar fiecare dintre cei următori este egal cu suma a doi termeni ai celui precedent și distanțați de cel anterior cu S trepte. Dacă al n-lea termen Notăm această serie cu S (n), apoi obținem formula generală S (n) = S (n – 1) + S (n – S – 1).
Este evident că la S = 0 din această formulă vom obține o serie „binară”, la S = 1 – o serie Fibonacci, la S = 2, 3, 4 – serie nouă de numere, care se numesc numere S-Fibonacci .
ÎN vedere generală Proporția S de aur este rădăcina pozitivă a ecuației secțiunii S de aur x S+1 – x S – 1 = 0.
Este ușor de arătat că la S = 0 segmentul este împărțit la jumătate, iar la S = 1 se obține raportul de aur clasic familiar.
Rapoartele numerelor S din Fibonacci învecinate coincid cu acuratețea matematică absolută în limita cu proporțiile S de aur! Adică, secțiunile S de aur sunt invarianți numerici ai numerelor S Fibonacci.
7.Rata de aur în art.
7.1. Raportul de aur în pictură.
Trecând la exemplele „raportului de aur” în pictură, nu se poate să nu se concentreze asupra operei lui Leonardo da Vinci. Personalitatea lui este unul dintre misterele istoriei. Leonardo da Vinci însuși a spus: „Nimeni care nu este matematician să nu îndrăznească să-mi citească lucrările.”
Fără îndoială că Leonardo da Vinci a fost un mare artist, acest lucru fiind deja recunoscut de contemporanii săi, dar personalitatea și activitățile sale vor rămâne învăluite în mister, întrucât a lăsat urmașilor săi nu o prezentare coerentă a ideilor sale, ci doar numeroase scrise de mână. schițe, note care spun „despre toată lumea din lume”.
Portretul Monnei Lisei (La Gioconda) a atras de mulți ani atenția cercetătorilor, care au descoperit că compoziția imaginii se bazează pe triunghiuri de aur, care sunt părți ale unui pentagon obișnuit în formă de stea.
De asemenea, proporția proporției de aur apare în pictura lui Shishkin. Pe aceasta tablou faimos I. I. Shishkin arată clar motivele secțiunii de aur. Un pin puternic luminat de soare (stă în prim plan) împarte lungimea imaginii în funcție de raportul de aur. În dreapta pinului se află un deal însorit. Împarte partea dreaptă a imaginii pe orizontală în funcție de raportul de aur.
În pictura lui Rafael „Masacrul inocenților” este vizibil un alt element al proporției de aur - spirala de aur. În schița pregătitoare a lui Rafael, linii roșii sunt trasate din centrul semantic al compoziției - punctul în care degetele războinicului s-au închis în jurul gleznei copilului - de-a lungul figurilor copilului, femeia ținându-l aproape, războinicul cu sabia ridicată, iar apoi de-a lungul figurilor aceluiași grup din partea dreaptă a schiței. Nu se știe dacă Raphael a construit spirala de aur sau a simțit-o.
T. Cook a folosit proporția de aur când a analizat pictura lui Sandro Botticelli „Nașterea lui Venus”.
7.2. Piramidele raportului de aur.
Proprietățile medicale ale piramidelor, în special proporția de aur, sunt cunoscute pe scară largă. Potrivit unora dintre cele mai comune opinii, camera în care se află o astfel de piramidă pare mai mare, iar aerul este mai transparent. Visele încep să fie amintite mai bine. De asemenea, se știe că raportul de aur a fost utilizat pe scară largă în arhitectură și sculptură. Un exemplu în acest sens a fost: Panteonul și Partenonul din Grecia, clădiri ale arhitecților Bazhenov și Malevich
8. Concluzie.
Trebuie spus că raportul de aur are o mare aplicație în viața noastră.
S-a dovedit că corpul uman este împărțit proporțional cu raportul de aur de linia centurii.
Cochilia de nautilus este răsucită ca o spirală aurie.
Datorită raportului de aur, centura de asteroizi dintre Marte și Jupiter a fost descoperită - în funcție de proporție, ar trebui să existe o altă planetă acolo.
Excitarea corzii în punctul care o împarte în raport cu diviziunea de aur nu va face ca șirul să vibreze, adică acesta este punctul de compensare.
La aeronavele cu surse de energie electromagnetică se creează celule dreptunghiulare cu proporția raportului de aur.
La Gioconda este construită pe triunghiuri de aur; spirala de aur este prezentă în pictura lui Rafael „Masacrul inocenților”.
Proporția a fost descoperită în pictura lui Sandro Botticelli „Nașterea lui Venus”
Există multe monumente arhitecturale cunoscute construite folosind proporția de aur, inclusiv Panteonul și Partenonul din Atena, clădiri ale arhitecților Bazhenov și Malevich.
John Kepler, care a trăit acum cinci secole, a spus: „Geometria are două comori mari, prima este teorema lui Pitagora, a doua este împărțirea unui segment în raportul extrem și mediu”.
Referințe
1. D. Pidou. Geometrie și artă. – M.: Mir, 1979.
2. Revista „Știință și tehnologie”
3. Revista „Quantum”, 1973, nr.8.
4. Revista „Matematica la școală”, 1994, nr.2; nr. 3.
5. Kovalev F.V. Raportul de aur în pictură. K.: Școala Vyshcha, 1989.
6. Stakhov A. Codurile proporției de aur.
7. Vorobiev N.N. „Numerele Fibonacci” - M.: Nauka 1964
8. „Matematică – Enciclopedie pentru copii” M.: Avanta +, 1998
9. Informații de pe Internet.
Matrici Fibonacci și așa-numitele matrici „de aur”, noua aritmetică computerizată, noua teorie a codificării și noua teorie a criptografiei. Esența noii științe este revizuirea întregii matematici din punctul de vedere al secțiunii de aur, începând cu Pitagora, care, în mod firesc, va atrage după sine rezultate matematice noi și cu siguranță foarte interesante în teorie. În termeni practici – informatizare „de aur”. Și din moment ce...
Nu va afecta acest rezultat. Baza proporției de aur este un invariant al relațiilor recursive 4 și 6. Aceasta demonstrează „stabilitatea” secțiunii de aur, unul dintre principiile organizării materiei vii. De asemenea, baza proporției de aur este o soluție a două secvențe recursive exotice (Fig. 4.) Fig. 4 secvențe recursive de Fibonacci...
Urechea este j5, iar distanța de la ureche la coroană este j6. Astfel, în această statuie vedem o progresie geometrică cu numitorul j: 1, j, j2, j3, j4, j5, j6. (Fig.9). Astfel, raportul de aur este unul dintre principii fundamentaleîn art Grecia antică. Ritmurile inimii și creierului. Inima umană bate uniform - aproximativ 60 de bătăi pe minut în repaus. Inima îmi strânge ca un piston...
Nivel de dificultate: Ușor
1 pas
Mai întâi, alegeți unde să plasați centrul cercului. Acolo trebuie să puneți un punct de plecare, să se numească O. Folosind o busolă, desenați un cerc în jurul lui cu un diametru sau o rază dată.
Pasul 2
Apoi desenăm două axe prin punctul O, centrul cercului, una orizontală, cealaltă la 90 de grade față de acesta - verticală. Să numim punctele de intersecție orizontale de la stânga la dreapta A și B, vertical, de sus în jos - M și N. Raza, care se află pe orice axă, de exemplu, pe orizontală din partea dreaptă, este împărțită în jumătate. Acest lucru se poate face astfel: setați o busolă cu raza unui cerc cunoscut de noi cu vârful său în punctul de intersecție al axei orizontale și cercul - B, marcați intersecțiile cu cercul, numiți punctele rezultate din de sus în jos - C și P, conectați-le cu un segment care va intersecta axa OB, Numim punctul de intersecție K.
Pasul 3
Conectăm punctele K și M și obținem un segment KM, setăm o busolă în punctul M, setăm distanța până la punctul K pe el și trasăm semne pe raza OA, numim acest punct E, apoi tragem busola la intersecția cu partea superioară. partea stângă a cercului OM. Numim acest punct de intersecție F. Distanța egală cu segmentul ME este latura necesară a pentagonului echilateral. În acest caz, punctul M va fi un vârf al pentagonului construit în cerc, iar punctul F va fi celălalt.
Pasul 4
Apoi, din punctele obținute de-a lungul întregului cerc, desenăm cu o busolă distanțe egale cu segmentul ME, în total ar trebui să fie 5 puncte. Legăm toate punctele cu segmente - obținem un pentagon înscris în cerc.
- Când desenați, aveți grijă la măsurarea distanțelor, nu permiteți erori, astfel încât pentagonul să fie de fapt echilateral
