Limitele le dau tuturor studenților la matematică multe probleme. Pentru a rezolva o limită, uneori trebuie să folosiți o mulțime de trucuri și să alegeți dintr-o varietate de metode de soluție exact cea care este potrivită pentru un anumit exemplu.

În acest articol nu vă vom ajuta să înțelegeți limitele capacităților dvs. sau să înțelegeți limitele controlului, dar vom încerca să răspundem la întrebarea: cum să înțelegeți limitele în matematica superioară? Înțelegerea vine odată cu experiența, așa că, în același timp, vom oferi câteva exemple detaliate de rezolvare a limitelor cu explicații.

Conceptul de limită în matematică

Prima întrebare este: care este această limită și limita a ce? Putem vorbi despre limitele secvențelor numerice și ale funcțiilor. Suntem interesați de conceptul de limită a unei funcții, deoarece acesta este ceea ce întâlnesc cel mai des elevii. Dar mai întâi, cea mai generală definiție a unei limite:

Să presupunem că există o valoare variabilă. Dacă această valoare în procesul de schimbare se apropie nelimitat de un anumit număr o , Asta o – limita acestei valori.

Pentru o funcție definită într-un anumit interval f(x)=y un astfel de număr se numește limită O , la care funcția tinde când X , tinzând la un anumit punct O . Punct O aparține intervalului pe care este definită funcția.

Sună greoi, dar este scris foarte simplu:

Lim- din engleză limită- limita.

Există, de asemenea, o explicație geometrică pentru determinarea limitei, dar aici nu vom aprofunda în teorie, deoarece ne interesează mai mult latura practică decât teoretică a problemei. Când spunem asta X tinde spre o anumită valoare, asta înseamnă că variabila nu preia valoarea unui număr, ci se apropie de el la infinit.

Să dăm un exemplu concret. Sarcina este de a găsi limita.

Pentru a rezolva acest exemplu, înlocuim valoarea x=3 într-o funcție. Primim:

Apropo, dacă sunteți interesat de operațiile de bază pe matrice, citiți un articol separat pe acest subiect.

În exemple X poate tinde spre orice valoare. Poate fi orice număr sau infinit. Iată un exemplu când X tinde spre infinit:

Este clar intuitiv ce este număr mai mare la numitor, cu atât valoarea va fi mai mică pe care funcția va lua. Deci, cu o creștere nelimitată X sens 1/x va scădea și se va apropia de zero.

După cum puteți vedea, pentru a rezolva limita, trebuie doar să înlocuiți valoarea pentru care doriți să încercați în funcție X . Cu toate acestea, acesta este cel mai simplu caz. Adesea, găsirea limitei nu este atât de evidentă. În limite există incertitudini de tip 0/0 sau infinit/infinit . Ce să faci în astfel de cazuri? Recurge la trucuri!

Incertitudini în interior

Incertitudinea formei infinit/infinit

Să existe o limită:

Dacă încercăm să substituim infinitul în funcție, vom obține infinit atât la numărător, cât și la numitor. În general, merită să spunem că există un anumit element de artă în rezolvarea unor astfel de incertitudini: trebuie să observați cum puteți transforma funcția în așa fel încât incertitudinea să dispară. În cazul nostru, împărțim numărătorul și numitorul cu X în gradul superior. Ce se va întâmpla?

Din exemplul deja discutat mai sus, știm că termenii care conțin x în numitor vor tinde spre zero. Atunci soluția la limită este:

Pentru a rezolva incertitudinile de tip infinit/infinitîmpărțiți numărătorul și numitorul la X la cel mai înalt grad.

Apropo! Pentru cititorii noștri există acum o reducere de 10% la orice tip de lucrare

Un alt tip de incertitudine: 0/0

Ca întotdeauna, înlocuirea valorilor în funcție x=-1 dă 0 la numărător și numitor. Privește puțin mai atent și vei observa că avem o ecuație pătratică la numărător. Să găsim rădăcinile și să scriem:

Să reducem și să obținem:

Deci, dacă vă confruntați cu incertitudinea de tip 0/0 – factorizarea numărătorului și numitorului.

Pentru a vă facilita rezolvarea exemplelor, vă prezentăm un tabel cu limitele unor funcții:

Regula lui L'Hopital înăuntru

Un alt mod puternic de a elimina ambele tipuri de incertitudine. Care este esența metodei?

Dacă există incertitudine în limită, luați derivata numărătorului și numitorului până când incertitudinea dispare.

Regula lui L'Hopital arată astfel:

Punct important : trebuie să existe limita în care derivatele numărătorului și numitorului stau în locul numărătorului și numitorului.

Și acum - un exemplu real:

Există o incertitudine tipică 0/0 . Să luăm derivatele numărătorului și numitorului:

Voila, incertitudinea se rezolvă rapid și elegant.

Sperăm că veți putea aplica util aceste informații în practică și veți găsi răspunsul la întrebarea „cum să rezolvați limitele în matematică superioară”. Dacă trebuie să calculați limita unei secvențe sau limita unei funcții într-un punct, dar nu există absolut timp pentru această lucrare, contactați un serviciu pentru studenți profesioniști pentru o soluție rapidă și detaliată.

Pagina nouă 1

Analiză matematică pentru manechine. Lecția 1. Seturi.

Conceptul de set

Multe este o colecție de anumite obiecte. Ce seturi pot fi? În primul rând, finit sau infinit. De exemplu, un set de chibrituri într-o cutie este un set finit; ele pot fi luate și numărate. Este mult mai dificil de numărat numărul de boabe de nisip de pe plajă, dar în principiu este posibil. Și această cantitate este exprimată printr-un număr finit. Așa că există și o mulțime de fire de nisip pe plajă, desigur. Dar mulțimea de puncte de pe o dreaptă este infinită. Deoarece, în primul rând, linia dreaptă în sine este infinită și puteți pune pe ea câte puncte doriți. Setul de puncte de pe un segment de dreapta este, de asemenea, infinit. Pentru că teoretic punctul poate fi cât se dorește. Desigur, fizic nu putem desena un punct care este, de exemplu, mai mic decât dimensiunea unui atom, dar din punct de vedere matematic, un punct nu are dimensiune. Dimensiunea sa este zero. Ce se întâmplă când împărțiți un număr la zero? Așa este, infinitul. Și deși mulțimea de puncte de pe o dreaptă și de pe un segment tinde spre infinit, ele nu sunt același lucru. Un set nu este o cantitate de ceva, ci o colecție a unor obiecte. Și numai acele mulțimi care conțin obiecte absolut identice sunt considerate egale. Dacă un set conține aceleași obiecte ca un alt set, dar plus un obiect „stânga”, atunci acestea nu mai sunt seturi egale.

Să ne uităm la un exemplu. Să avem două seturi. Prima este colectarea tuturor punctelor de pe o linie. Al doilea este setul tuturor punctelor de pe un segment de linie. De ce nu sunt egali? În primul rând, este posibil ca segmentul și linia dreaptă să nu se intersecteze. Atunci cu siguranță nu sunt egale, deoarece conțin puncte complet diferite. Dacă se intersectează, atunci au un singur punct comun. Toți ceilalți sunt la fel de diferiți. Ce se întâmplă dacă segmentul se află pe o linie dreaptă? Atunci toate punctele segmentului sunt și puncte ale dreptei. Dar nu toate punctele de pe o linie sunt puncte de pe un segment. Deci, în acest caz, mulțimile nu pot fi considerate egale (la fel).

Fiecare set este definit de o regulă care determină în mod unic dacă un element aparține sau nu acestui set. Care ar putea fi aceste reguli? De exemplu, dacă mulțimea este finită, puteți enumera în mod prostesc toate obiectele sale. Puteți seta un interval. De exemplu, toate numerele întregi de la 1 la 10. Aceasta va fi și o mulțime finită, dar aici nu enumerăm elementele sale, ci formulăm o regulă. Sau inegalitatea, de exemplu, toate numerele mai mari decât 10. Aceasta va fi o mulțime infinită, deoarece este imposibil să numim cel mai mare număr - indiferent ce număr numim, există întotdeauna acest număr plus 1.

De regulă, seturile sunt notate cu majuscule ale alfabetului latin A, B, C și așa mai departe. Dacă un set este format din elemente specifice și dorim să-l definim ca o listă a acestor elemente, atunci putem include această listă între acolade, de exemplu A=(a, b, c, d). Dacă a este un element al mulțimii A, atunci se scrie după cum urmează: o Î O. Dacă a nu este un element al mulțimii A, atunci scrieți a Ï A. Una dintre multimile importante este multimea N a tuturor numere naturale N=(1,2,3,...,) . Există și un set special, așa-numitul gol, care nu conține niciun element. Setul gol este notat cu simbolul Æ .

Definiția 1 (definiția egalității mulțimilor). Seturi Oși B sunt egale dacă sunt formate din aceleași elemente, adică dacă xÎ A urmează x Î B și invers, din x Î B urmează x Î A.

Formal, egalitatea a două mulțimi se scrie după cum urmează:

(A=B) := " x (( x Î O ) Û (x Î B )),

Aceasta înseamnă că pentru orice obiect x relațiile xÎ A și xО B sunt echivalente.

Aici " – cuantificator universal (" xcitește „pentru toată lumea” x").

Definiția 2 (definiția subsetului). Multe O este un submult al multimii ÎN, dacă este cazul X aparţinând mulţimii O, aparține setului ÎN. Formal, aceasta poate fi reprezentată ca o expresie:

(O Ì B) := " x((x Î O) Þ (x Î B))

Dacă A Ì B dar A ¹ B, atunci A este o submulțime adecvată a mulțimii ÎN. Ca exemplu, putem cita din nou o linie dreaptă și un segment. Dacă un segment se află pe o dreaptă, atunci mulțimea punctelor sale este o submulțime a punctelor acestei linii. Sau, un alt exemplu. Mulțimea numerelor întregi care sunt divizibile egal cu 3 este o submulțime a mulțimii numerelor întregi.

Comentariu. Setul gol este un subset al oricărui set.

Setați operațiuni

Următoarele operații sunt posibile pe platouri:

Asociere. Esența acestei operațiuni este de a combina două seturi într-unul care conține elemente din fiecare dintre seturile combinate. Formal arată așa:

C=AÈ B: = {x:x Î A sau xÎ B}

Exemplu. Să rezolvăm inegalitatea | 2 x+ 3 | > 7.

Urmează fie inegalitatea 2x+3 >7, pentru 2x+3≥0, apoi x>2

sau inegalitate 2x+3<-7, для 2x+3 <0, тогда x<-5.

Mulțimea soluțiilor acestei inegalități este uniunea mulțimilor (-∞,-5) È (2, ∞).

Să verificăm. Să calculăm valoarea expresiei | 2 x+ 3 | pentru mai multe puncte situate și nu într-un interval dat:

x	| 2 x+ 3 |
-10	17
-6	9
-5	7
-4	5
-2	1
0	3
1	5
2	7
3	9
5	13

După cum puteți vedea, totul a fost rezolvat corect (intervalele de delimitare sunt indicate cu roșu).

Intersecţie. Intersecția este operația de a crea un nou set din două, care conține elemente care sunt incluse în ambele seturi. Pentru a vizualiza acest lucru, să ne imaginăm că avem două seturi de puncte pe plan, și anume figura A și figura B. Intersecția lor denotă figura C - acesta este rezultatul operației de intersecție a mulțimilor:

Formal, operația de intersecție a mulțimilor se scrie după cum urmează:

C=A Ç B:= (x: x Î A și x О B)

Exemplu. Să avem un set Atunci C=A Ç B = {5,6,7}

Scădere. Scăderea mulțimilor este excluderea din scădere a acelor elemente care sunt conținute în scădere și în scădere:

Formal, scăderea unei mulțimi se scrie după cum urmează:

A\B:={x:x Î A și xÏ B}

Exemplu. Să avem destule A=(1,2,3,4,5,6,7), B=(5,6,7,8,9,10). Apoi C=A\ B = { 1,2,3,4}

Plus. Complementul este o operație unară (o operație nu pe două, ci pe un set). Această operație este rezultatul scăderii unei mulțimi date din mulțimea universală completă (mulțimea care include toate celelalte mulțimi).

A : = (x:x Î U și x Ï A) = U \ A

Grafic, aceasta poate fi reprezentată astfel:

Diferență simetrică. Spre deosebire de diferența obișnuită, cu o diferență simetrică de mulțimi, rămân doar acele elemente care sunt prezente fie într-unul, fie în celălalt. Sau, în termeni simpli, este creat din două seturi, dar acele elemente care se află în ambele seturi sunt excluse din el:

Din punct de vedere matematic, aceasta poate fi exprimată astfel:

O D B:= (A\B) È ( B\A) = (O È B) \ (O Ç B)

Proprietățile operațiilor pe platouri.

Din definițiile unirii și intersecției mulțimilor rezultă că operațiile de intersecție și unire au următoarele proprietăți:

1. Comutativitate.

O È B=BÈ O
OÇ B=BÇ O

1. Asociativitatea.

(O È B) È C=AÈ ( B È C)
(O Ç B) Ç C=AÇ ( B Ç C)

Categoria Analiză matematică conține lecții video online gratuite pe acest subiect. Analiza matematică este un ansamblu de ramuri ale matematicii care se ocupă cu studiul funcțiilor și generalizările acestora folosind metodele calculului diferențial și integral. Acestea includ: analiza funcțională, inclusiv teoria integralei Lebesgue, analiza complexă (CFCA), care studiază funcțiile definite pe plan complex, teoria serii și integralelor multidimensionale, analiza non-standard, care studiază numere infinitezimale și infinit mari, analiza vectorială și calculul variațiilor. Învățarea analizei matematice din lecțiile video va fi utilă atât pentru începători, cât și pentru matematicienii mai experimentați. Puteți viziona gratuit oricând lecții video din secțiunea Analiză matematică. Unele lecții video despre analiză matematică vin cu materiale suplimentare care pot fi descărcate. Bucurați-vă de învățare!

Total materiale: 12
Materiale prezentate: 1-10

Care este derivata unei functii

Vrei să știi care este derivata unei funcții în matematică? Desigur, ați auzit de multe ori despre derivat și chiar, probabil, ați luat chiar acest derivat la școală, neînțelegând complet sensul acțiunilor voastre. În acest videoclip, nu vă voi învăța formule, ci vă voi explica semnificația derivatului de pe degete în așa fel încât chiar și un ceainic rotund să îl poată înțelege. Dar mai întâi, mai bine urmărești videoclipul meu anterior, unde vorbesc și despre funcție într-un mod accesibil. În acest tutorial video vom folosi exemple de viață simple, clare și clare...

Introducere în analiză. Puterea seturilor

Lecție online „Introducere în analiză. Puterea mulțimilor” este dedicat problemei unui astfel de concept precum cardinalitatea mulțimilor. Această întrebare se referă la caracteristicile cantitative ale mulțimilor. Dacă mulțimea este finită, atunci putem vorbi despre numărul elementelor sale. Dar cum rămâne cu seturile infinite? La urma urmei, în acest caz nu va exista conceptul de mai mult sau mai puțin. Pentru a rezolva această problemă, este introdus conceptul de putere. Puterea este un instrument pentru compararea cantitativă a mulțimilor infinite. Această lecție oferă...

Limita unei funcții la un punct - definiție, exemple

Această lecție online vorbește despre conceptul de limită a unei funcții la un punct - definiție, exemple. Cele mai multe elemente ale cercetării funcțiilor se bazează pe conceptul de bază al limitei unei funcții. Aici vom lua în considerare limita unei funcții într-un punct folosind un exemplu simplu, după care va fi dată o definiție strictă a limitei unei funcții într-un punct cu o ilustrare detaliată pe un grafic pentru o mai bună înțelegere a materialului. Această lecție acoperă și alte exemple și stabilește o definiție strictă a termenului unilateral...

Convergența seriei de putere - un exemplu despre cum să găsiți regiunea de convergență, cercetare

Această lecție video vorbește despre conceptul de convergență a seriei de putere, un exemplu despre cum să găsiți zona de convergență, cercetare. O serie de puteri este un caz special al unei serii funcționale când membrii săi sunt funcții de putere ale argumentului x. Regiunea de convergență reprezintă toate valorile variabilei x pentru care converg seria de numere corespunzătoare. Pentru cercetare, puteți folosi testul lui D'Alembert și îl puteți folosi pentru a arăta că o serie de puteri converge sau diverge, iar când...

Ce este un antiderivat

În acest videoclip vă voi spune despre antiderivat, care este o rudă apropiată a derivatului. De fapt, știi deja aproape totul despre ea dacă ai vizionat videoclipurile mele anterioare și tot ce trebuie să facem este să punctăm i-urile. Antiderivata este funcția „părinte” pentru derivată. Găsirea antiderivatului înseamnă a răspunde la întrebarea: al cui este copilul? Dacă fiica este cunoscută, atunci trebuie să găsim mama. Anterior, dimpotrivă, căutam o fiică bazată pe o anumită mamă. Acum facem tranziția inversă - de la...

Sensul geometric al derivatului

În acest videoclip voi vorbi despre semnificația geometrică a derivatelor. Veți învăța că sensul geometric al derivatei este că derivata și unghiul de înclinare al tangentei sunt aproape același lucru. Spun „aproape” pentru că derivata este egală cu tangentei unghiului tangentei. Putem presupune că derivata și panta tangentei sunt strâns legate. Dacă unghiul de înclinare este mare, atunci derivata este mare, iar funcția în acest punct crește brusc. Dacă unghiul de înclinare este mic, atunci derivata este mică...

Ce este o funcție în matematică

Vrei să știi ce este o funcție în matematică? În această lecție video, vom explica simplu și clar, folosind ilustrații grafice și exemple clare de viață, ce este o funcție, care este argumentul ei, ce funcții există (creștere, descreștere, mixtă), cum puteți seta o funcție (folosind un grafic, tabel, formule). Veți vedea că o relație care arată modul în care o cantitate este legată de o altă cantitate se numește funcție. Orice funcție este o legătură între cantități...

Limita unei funcții la infinit - definiție, exemple

Lecția „Limita unei funcții la infinit - definiție, exemple” este dedicată întrebării ce sunt limitele la infinit. Cele mai multe funcții elementare sunt definite pentru valori de argument arbitrar mari. În acest caz, este important să cunoaștem comportamentul funcției la infinit. Un element al studierii acestui comportament este găsirea limitei funcției la infinit. Deși infinitul nu este un număr și nu există niciun punct pe linia numerică care îi corespunde, definiția unei limite pe...

Pentru cei care vor să învețe cum să găsească limite, în acest articol vom vorbi despre asta. Nu vom aprofunda în teorie, de obicei, profesorii o dau la cursuri. Așa că „teoria plictisitoare” ar trebui notă în caiete. Dacă nu este cazul, atunci puteți citi manuale preluate din biblioteca instituției de învățământ sau din alte resurse de pe Internet.

Așadar, conceptul de limită este destul de important în studiul unui curs superior de matematică, mai ales când dai peste calcul integral și înțelegi legătura dintre limită și integrală. Acest material va analiza exemple simple, precum și modalități de a le rezolva.

Exemple de soluții

Exemplul 1

Calculați a) $ \lim_(x \to 0) \frac(1)(x) $; b)$ \lim_(x \to \infty) \frac(1)(x) $

Soluţie

a) $$ \lim \limits_(x \to 0) \frac(1)(x) = \infty $$ b)$$ \lim_(x \to \infty) \frac(1)(x) = 0 $$ Oamenii ne trimit adesea aceste limite cu o solicitare de a ajuta la rezolvarea lor. Am decis să le evidențiem ca exemplu separat și să explicăm că aceste limite trebuie doar să fie amintite, de regulă. Dacă nu vă puteți rezolva problema, trimiteți-ne-o. Vom oferi o soluție detaliată. Veți putea vizualiza progresul calculului și veți obține informații. Acest lucru vă va ajuta să obțineți nota de la profesorul dvs. în timp util!

Răspuns

$$ \text(a)) \lim \limits_(x \to 0) \frac(1)(x) = \infty \text(b))\lim \limits_(x \to \infty) \frac(1 )(x) = 0 $$

Ce să faci cu incertitudinea formei: $ \bigg [\frac(0)(0) \bigg ] $

Exemplul 3

Rezolvați $ \lim \limits_(x \to -1) \frac(x^2-1)(x+1) $

Soluţie

Ca întotdeauna, începem prin a înlocui valoarea $ x $ în expresia de sub semnul limită. $$ \lim \limits_(x \to -1) \frac(x^2-1)(x+1) = \frac((-1)^2-1)(-1+1)=\frac( 0)(0) $$ Ce urmează acum? Ce ar trebui să se întâmple până la urmă? Deoarece aceasta este o incertitudine, acesta nu este încă un răspuns și continuăm calculul. Deoarece avem un polinom în numărători, îl vom factoriza folosind formula familiară tuturor de la școală $$ a^2-b^2=(a-b)(a+b) $$. Vă amintiți? Mare! Acum continuă și folosește-l cu melodia :) Constatăm că numărătorul $ x^2-1=(x-1)(x+1) $ Continuăm să rezolvăm ținând cont de transformarea de mai sus: $$ \lim \limits_(x \to -1)\frac(x^2-1)(x+1) = \lim \limits_(x \to -1)\frac((x-1)(x+ 1) ))(x+1) = $$ $$ = \lim \limits_(x \to -1)(x-1)=-1-1=-2 $$

Răspuns

$$ \lim \limits_(x \to -1) \frac(x^2-1)(x+1) = -2 $$

Să împingem limita din ultimele două exemple la infinit și să luăm în considerare incertitudinea: $ \bigg [\frac(\infty)(\infty) \bigg ] $

Exemplul 5

Calculați $ \lim \limits_(x \to \infty) \frac(x^2-1)(x+1) $

Soluţie

$ \lim \limits_(x \to \infty) \frac(x^2-1)(x+1) = \frac(\infty)(\infty) $ Ce să fac? Ce ar trebuii să fac? Nu intrați în panică, pentru că imposibilul este posibil. Este necesar să scoateți x atât la numărător, cât și la numitor și apoi să-l reduceți. După aceasta, încercați să calculați limita. hai sa incercam... $$ \lim \limits_(x \to \infty) \frac(x^2-1)(x+1) =\lim \limits_(x \to \infty) \frac(x^2(1-\frac) (1)(x^2)))(x(1+\frac(1)(x))) = $$ $$ = \lim \limits_(x \to \infty) \frac(x(1-\frac(1)(x^2)))((1+\frac(1)(x))) = $$ Folosind definiția din exemplul 2 și înlocuind infinitul cu x, obținem: $$ = \frac(\infty(1-\frac(1)(\infty)))((1+\frac(1)(\infty))) = \frac(\infty \cdot 1)(1+ 0) = \frac(\infty)(1) = \infty $$

Răspuns

$$ \lim \limits_(x \to \infty) \frac(x^2-1)(x+1) = \infty $$

Algoritm pentru calculul limitelor

Deci, să rezumăm pe scurt exemplele și să creăm un algoritm pentru rezolvarea limitelor:

1. Înlocuiți punctul x în expresia care urmează semnului limită. Dacă se obține un anumit număr sau infinit, atunci limita este complet rezolvată. În caz contrar, avem incertitudine: „zero împărțit la zero” sau „infinit împărțit la infinit” și trecem la următoarele puncte ale instrucțiunilor.
2. Pentru a elimina incertitudinea „zero împărțit la zero”, trebuie să factorizați numărătorul și numitorul. Reduceți-le pe cele similare. Înlocuiți punctul x în expresia de sub semnul limită.
3. Dacă incertitudinea este „infinitul împărțit la infinit”, atunci scoatem atât numărătorul, cât și numitorul x la cel mai mare grad. Scurtăm X-urile. Înlocuim valorile lui x de sub limită în expresia rămasă.

În acest articol ați învățat elementele de bază ale rezolvării limitelor, adesea folosite în cursul de calcul. Desigur, acestea nu sunt toate tipurile de probleme oferite de examinatori, ci doar limitele cele mai simple. Vom vorbi despre alte tipuri de teme în articolele viitoare, dar mai întâi trebuie să înveți această lecție pentru a merge mai departe. Să discutăm ce să facem dacă există rădăcini, grade, studiază funcții echivalente infinitezimale, limite remarcabile, regula lui L'Hopital.

Dacă nu vă puteți da seama singuri de limite, nu intrați în panică. Suntem mereu bucuroși să ajutăm!