Metoda variației Lagrange. Metoda de variație a constantelor arbitrare

Minimum teoretic

În teoria ecuațiilor diferențiale, există o metodă care pretinde că are un grad de universalitate destul de ridicat pentru această teorie.
Vorbim despre metoda de variație a unei constante arbitrare, aplicabilă rezolvării diferitelor clase de ecuații diferențiale și a acestora
sisteme Acesta este exact cazul când teoria - dacă scoatem probele afirmațiilor din paranteze - este minimă, dar ne permite să realizăm
rezultate semnificative, deci accentul va fi pus pe exemple.

Ideea generală a metodei este destul de simplu de formulat. Fie ca ecuația dată (sistemul de ecuații) să fie greu de rezolvat sau chiar de neînțeles,
cum se rezolva. Cu toate acestea, este clar că prin eliminarea unor termeni din ecuație se rezolvă. Apoi rezolvă exact acest lucru simplificat
ecuație (sistem), obținem o soluție care conține un anumit număr de constante arbitrare - în funcție de ordinea ecuației (numărul
ecuații din sistem). Apoi se presupune că constantele din soluția găsită nu sunt de fapt constante;
este substituită în ecuația (sistemul) originală, se obține o ecuație diferențială (sau un sistem de ecuații) pentru a determina „constantele”.
Există o anumită specificitate în aplicarea metodei de variație a unei constante arbitrare la diferite probleme, dar acestea sunt deja specifice care vor
demonstrat cu exemple.

Să luăm în considerare separat soluția ecuațiilor liniare neomogene de ordin superior, i.e. ecuații ale formei
.
Soluția generală a unei ecuații liniare neomogene este suma soluției generale a ecuației omogene corespunzătoare și a unei soluții particulare
a acestei ecuatii. Să presupunem că a fost deja găsită o soluție generală a ecuației omogene, și anume, a fost construit un sistem fundamental de soluții (FSS).
. Atunci soluția generală a ecuației omogene este egală cu .
Trebuie să găsim orice soluție particulară a ecuației neomogene. În acest scop, constantele sunt considerate ca depind de o variabilă.
În continuare trebuie să rezolvați sistemul de ecuații
.
Teoria garantează că acest sistem de ecuații algebrice în raport cu derivatele funcțiilor are o soluție unică.
Când se găsesc funcțiile în sine, constantele integrării nu apar: la urma urmei, se caută orice soluție.

În cazul rezolvării sistemelor de ecuaţii liniare neomogene de ordinul întâi de forma

algoritmul rămâne aproape neschimbat. Mai întâi trebuie să găsiți FSR-ul sistemului omogen de ecuații corespunzător, să compuneți matricea fundamentală
sistem, ale cărui coloane reprezintă elementele FSR. În continuare, se întocmește ecuația
.
Când rezolvăm sistemul, determinăm funcțiile , găsind astfel o soluție specială pentru sistemul original
(matricea fundamentală este înmulțită cu coloana funcțiilor găsite).
O adăugăm la soluția generală a sistemului corespunzător de ecuații omogene, care este construit pe baza FSR-ului deja găsit.
Se obține soluția generală a sistemului original.

Exemple.

Exemplul 1. Ecuații liniare neomogene de ordinul întâi.

Să luăm în considerare ecuația omogenă corespunzătoare (notăm funcția dorită):
.
Această ecuație poate fi rezolvată cu ușurință folosind metoda separării variabilelor:

.
Acum să ne imaginăm soluția ecuației inițiale în formă , unde funcția nu a fost încă găsită.
Inlocuim acest tip de solutie in ecuatia initiala:
.
După cum puteți vedea, al doilea și al treilea termen din partea stângă se anulează reciproc - asta este trăsătură caracteristică metoda de variație a unei constante arbitrare.

Aici este deja o constantă cu adevărat arbitrară. Astfel,
.

Exemplul 2. ecuația lui Bernoulli.

Procedăm în mod similar cu primul exemplu - rezolvăm ecuația

metoda de separare a variabilelor. Se pare, așa că căutăm o soluție la ecuația originală în formă
.
Inlocuim aceasta functie in ecuatia initiala:
.
Și din nou apar reducerile:
.
Aici trebuie să vă amintiți pentru a vă asigura că atunci când împărțiți la soluție nu se pierde. Iar soluția la cea inițială corespunde cazului
ecuații Să ne amintim. Aşa,
.
Să-l notăm.
Aceasta este soluția. Când scrieți răspunsul, ar trebui să indicați și soluția găsită anterior, deoarece nu corespunde cu nicio valoare finală
constante

Exemplul 3. Ecuații liniare neomogene de ordin superior.

Să remarcăm imediat că această ecuație poate fi rezolvată mai simplu, dar este convenabil să demonstrăm metoda folosind-o. Deși unele avantaje
Metoda variației are o constantă arbitrară și în acest exemplu.
Deci, trebuie să începeți cu FSR-ul ecuației omogene corespunzătoare. Să ne amintim că pentru a găsi FSR, este compilată o curbă caracteristică
ecuaţie
.
Astfel, soluția generală a ecuației omogene
.
Constantele incluse aici trebuie să fie variate. Alcătuirea unui sistem

Curs 44. Ecuații liniare neomogene de ordinul doi. Metoda de variație a constantelor arbitrare. Ecuații liniare neomogene de ordinul doi cu coeficienți constanți. (partea dreapta speciala).

Transformări sociale. Statul și biserica.

Politica socială a bolșevicilor a fost dictată în mare măsură de abordarea lor de clasă. Prin decretul din 10 noiembrie 1917, sistemul de clasă a fost distrus, au fost desființate gradele, titlurile și premiile prerevoluționare. S-a stabilit alegerea judecătorilor; s-a realizat secularizarea statelor civile. S-au instituit învăţământul şi îngrijirile medicale gratuite (decretul din 31 octombrie 1918). Femeile aveau drepturi egale cu bărbații (decretele din 16 și 18 decembrie 1917). Decretul de căsătorie a introdus instituția căsătoriei civile.

Prin decretul Consiliului Comisarilor Poporului din 20 ianuarie 1918, biserica a fost separată de stat și de sistemul de învățământ. Majoritatea bunurilor bisericii au fost confiscate. Patriarhul Moscovei și Tihonul Tuturor Rusiei (ales la 5 noiembrie 1917) la 19 ianuarie 1918 a anatematizat puterea sovietică și a cerut o luptă împotriva bolșevicilor.

Considerăm o ecuație liniară neomogenă de ordinul doi

Structura soluției generale a unei astfel de ecuații este determinată de următoarea teoremă:

Teorema 1. Soluția generală a ecuației neomogene (1) este reprezentată ca suma unei soluții particulare a acestei ecuații și soluția generală a ecuației omogene corespunzătoare

Dovada. Este necesar să se dovedească că suma

este o soluție generală a ecuației (1). Să demonstrăm mai întâi că funcția (3) este o soluție a ecuației (1).

Înlocuind suma în ecuația (1) în loc de la, vom avea

Deoarece există o soluție pentru ecuația (2), expresia din primele paranteze este identic egală cu zero. Deoarece există o soluție pentru ecuația (1), expresia din a doua paranteză este egală cu f(x). Prin urmare, egalitatea (4) este o identitate. Astfel, prima parte a teoremei este demonstrată.

Să demonstrăm a doua afirmație: expresia (3) este general soluția ecuației (1). Trebuie să demonstrăm că constantele arbitrare incluse în această expresie pot fi selectate astfel încât să fie îndeplinite condițiile inițiale:

oricare ar fi numerele x 0, y 0și (dacă numai x 0 a fost preluat din zona unde funcționează a 1, a 2Şi f(x) continuu).

Observând că poate fi reprezentat sub forma . Apoi, pe baza condițiilor (5), vom avea

Să rezolvăm acest sistem și să stabilim C 1Şi C 2. Să rescriem sistemul sub forma:

Rețineți că determinantul acestui sistem este determinantul Wronski pentru funcții la 1Şi la 2 la punct x=x 0. Deoarece aceste funcții sunt liniar independente de condiție, determinantul Wronski nu este egal cu zero; prin urmare sistemul (6) are o soluție certă C 1Şi C 2, adică există astfel de sensuri C 1Şi C 2, sub care formula (3) determină soluția ecuației (1) care satisface condițiile inițiale date. Q.E.D.

Să trecem la metoda generală de găsire a soluțiilor parțiale la o ecuație neomogenă.

Să scriem soluția generală a ecuației omogene (2)

Vom căuta o soluție particulară a ecuației neomogene (1) în forma (7), având în vedere C 1Şi C 2 ca unele funcții încă necunoscute din X.

Să diferențiem egalitatea (7):

Să selectăm funcțiile pe care le căutați C 1Şi C 2 astfel încât egalitatea să se mențină

Dacă luăm în considerare această condiție suplimentară, atunci prima derivată va lua forma

Diferențiând acum această expresie, găsim:

Înlocuind în ecuația (1), obținem

Expresiile din primele două paranteze devin zero, deoarece y 1Şi y 2– soluții ale unei ecuații omogene. Prin urmare, ultima egalitate ia forma

Astfel, funcția (7) va fi o soluție a ecuației neomogene (1) dacă funcțiile C 1Şi C 2 satisface ecuațiile (8) și (9). Să creăm un sistem de ecuații din ecuațiile (8) și (9).

Deoarece determinantul acestui sistem este determinantul Wronski pentru soluțiile liniar independente y 1Şi y 2 ecuația (2), atunci nu este egală cu zero. Prin urmare, rezolvând sistemul, vom găsi atât anumite funcții ale X:

Rezolvând acest sistem, găsim , de unde, ca urmare a integrării, obținem . Apoi, înlocuim funcțiile găsite în formulă, obținem o soluție generală a ecuației neomogene, unde sunt constante arbitrare.

Metoda de variație a unei constante arbitrare, sau metoda Lagrange, este o altă modalitate de a rezolva ecuații diferențiale liniare de ordinul întâi și ecuația Bernoulli.

Ecuațiile diferențiale liniare de ordinul întâi sunt ecuații de forma y’+p(x)y=q(x). Dacă există un zero pe partea dreaptă: y’+p(x)y=0, atunci acesta este un liniar omogen Ecuația de ordinul 1. În consecință, o ecuație cu o parte dreaptă diferită de zero, y’+p(x)y=q(x), este eterogen Ecuație liniară de ordinul I.

Metoda de variație a unei constante arbitrare (metoda Lagrange) este după cum urmează:

1) Căutăm o soluție generală a ecuației omogene y’+p(x)y=0: y=y*.

2) În soluția generală, considerăm C nu o constantă, ci o funcție a lui x: C = C (x). Găsim derivata soluției generale (y*)’ și înlocuim expresia rezultată pentru y* și (y*)’ în condiția inițială. Din ecuația rezultată găsim funcția C(x).

3) În soluția generală a ecuației omogene, în loc de C, înlocuim expresia găsită C(x).

Să ne uităm la exemple de metodă de variare a unei constante arbitrare. Să luăm aceleași sarcini ca în, să comparăm progresul soluției și să ne asigurăm că răspunsurile obținute coincid.

1) y’=3x-y/x

Să rescriem ecuația în formă standard (spre deosebire de metoda lui Bernoulli, unde aveam nevoie de forma de notație doar pentru a vedea că ecuația este liniară).

y’+y/x=3x (I). Acum procedăm conform planului.

1) Rezolvați ecuația omogenă y’+y/x=0. Aceasta este o ecuație cu variabile separabile. Imaginați-vă y’=dy/dx, înlocuiți: dy/dx+y/x=0, dy/dx=-y/x. Înmulțim ambele părți ale ecuației cu dx și împărțim cu xy≠0: dy/y=-dx/x. Să integrăm:

2) În soluția generală rezultată a ecuației omogene, vom considera C nu o constantă, ci o funcție a lui x: C=C(x). De aici

Înlocuim expresiile rezultate în condiția (I):

Să integrăm ambele părți ale ecuației:

aici C este deja o constantă nouă.

3) În soluția generală a ecuației omogene y=C/x, unde am presupus C=C(x), adică y=C(x)/x, în loc de C(x) înlocuim expresia găsită x³ +C: y=(x³ +C)/x sau y=x²+C/x. Am primit același răspuns ca atunci când am rezolvat prin metoda lui Bernoulli.

Răspuns: y=x²+C/x.

2) y’+y=cosx.

Aici ecuația este deja scrisă în formă standard, nu este nevoie să o transformăm.

1) Rezolvați ecuația liniară omogenă y’+y=0: dy/dx=-y; dy/y=-dx. Să integrăm:

Pentru a obține o formă mai convenabilă de notație, luăm exponentul la puterea lui C ca noul C:

Această transformare a fost efectuată pentru a face mai convenabilă găsirea derivatei.

2) În soluția generală rezultată a ecuației liniare omogene, considerăm C nu o constantă, ci o funcție a lui x: C=C(x). În această condiție

Înlocuim expresiile rezultate y și y’ în condiția:

Înmulțiți ambele părți ale ecuației cu

Integram ambele părți ale ecuației folosind formula de integrare prin părți, obținem:

Aici C nu mai este o funcție, ci o constantă obișnuită.

3) În soluția generală a ecuației omogene

înlocuiți funcția găsită C(x):

Am primit același răspuns ca atunci când am rezolvat prin metoda lui Bernoulli.

Metoda de variație a unei constante arbitrare este de asemenea aplicabilă pentru rezolvare.

y'x+y=-xy².

Aducem ecuația la forma standard: y’+y/x=-y² (II).

1) Rezolvați ecuația omogenă y’+y/x=0. dy/dx=-y/x. Înmulțim ambele părți ale ecuației cu dx și împărțim cu y: dy/y=-dx/x. Acum să integrăm:

Înlocuim expresiile rezultate în condiția (II):

Să simplificăm:

Am obținut o ecuație cu variabile separabile pentru C și x:

Aici C este deja o constantă obișnuită. În timpul procesului de integrare, am scris simplu C în loc de C(x), pentru a nu supraîncărca notația. Și la final am revenit la C(x), pentru a nu confunda C(x) cu noul C.

3) În soluția generală a ecuației omogene y=C(x)/x înlocuim funcția găsită C(x):

Am primit același răspuns ca atunci când l-am rezolvat folosind metoda Bernoulli.

Exemple de autotestare:

1. Să rescriem ecuația în formă standard: y’-2y=x.

1) Rezolvați ecuația omogenă y’-2y=0. y’=dy/dx, prin urmare dy/dx=2y, înmulțiți ambele părți ale ecuației cu dx, împărțiți cu y și integrați:

De aici găsim y:

Înlocuim expresiile pentru y și y’ în condiția (pentru concizie vom folosi C în loc de C(x) și C’ în loc de C"(x)):

Pentru a găsi integrala din partea dreaptă, folosim formula de integrare prin părți:

Acum înlocuim u, du și v în formula:

Aici C =const.

3) Acum înlocuim omogen în soluție

Se are în vedere o metodă de rezolvare a ecuațiilor diferențiale liniare neomogene de ordin superior cu coeficienți constanți prin metoda variației constantelor Lagrange. Metoda Lagrange este de asemenea aplicabilă pentru rezolvarea oricăror ecuații liniare neomogene dacă este cunoscut sistemul fundamental de soluții pentru ecuația omogenă.

Conţinut

Vezi și:

Metoda Lagrange (variația constantelor)

Să considerăm o ecuație diferențială neomogenă liniară cu coeficienți constanți de ordin al n-lea arbitrar:
(1) .
Metoda de variație a unei constante, pe care am considerat-o pentru o ecuație de ordinul întâi, este aplicabilă și pentru ecuațiile de ordin superior.

Soluția se realizează în două etape. În primul pas, aruncăm partea dreaptă și rezolvăm ecuația omogenă. Ca rezultat, obținem o soluție care conține n constante arbitrare. În a doua etapă variam constantele. Adică, credem că aceste constante sunt funcții ale variabilei independente x și găsim forma acestor funcții.

Deși aici luăm în considerare ecuații cu coeficienți constanți, dar Metoda lui Lagrange este de asemenea aplicabilă pentru rezolvarea oricăror ecuații liniare neomogene. Pentru aceasta, însă, trebuie cunoscut sistemul fundamental de soluții al ecuației omogene.

Pasul 1. Rezolvarea ecuației omogene

Ca și în cazul ecuațiilor de ordinul întâi, căutăm mai întâi o soluție generală a ecuației omogene, echivalând latura neomogenă din dreapta cu zero:
(2) .
Soluția generală a acestei ecuații este:
(3) .
Aici sunt constante arbitrare; - n soluții liniar independente ale ecuației omogene (2), care formează un sistem fundamental de soluții ale acestei ecuații.

Pasul 2. Variația constantelor - înlocuirea constantelor cu funcții

În a doua etapă ne vom ocupa de variația constantelor. Cu alte cuvinte, vom înlocui constantele cu funcții ale variabilei independente x:
.
Adică, căutăm o soluție la ecuația inițială (1) în următoarea formă:
(4) .

Dacă înlocuim (4) în (1), obținem o ecuație diferențială pentru n funcții.

În acest caz, putem conecta aceste funcții cu ecuații suplimentare. Apoi obțineți n ecuații din care se pot determina n funcții.
.
Ecuațiile suplimentare pot fi scrise în diferite moduri. Dar vom face acest lucru pentru ca soluția să aibă cea mai simplă formă. Pentru a face acest lucru, la diferențiere, trebuie să egalați cu zero termenii care conțin derivate ale funcțiilor.

.
Să demonstrăm asta.
(5.1) .
Pentru a înlocui soluția propusă (4) în ecuația inițială (1), trebuie să găsim derivatele primelor n ordine ale funcției scrise în forma (4). Diferențiem (4) folosind regulile de diferențiere a sumei și a produsului:
(6.1) .

Să grupăm membrii. În primul rând, notăm termenii cu derivate ale lui , iar apoi termenii cu derivate ale lui:

.
Să impunem prima condiție funcțiilor:
(5.2) .
Atunci expresia pentru prima derivată cu privire la va avea o formă mai simplă:
(6.2) .
Folosind aceeași metodă, găsim derivata a doua:

Să impunem o a doua condiție funcțiilor:
Apoi ,
Și așa mai departe. În condiții suplimentare, echivalăm termenii care conțin derivate ale funcțiilor cu zero.
Astfel, dacă alegem următoarele ecuații suplimentare pentru funcții: .
(5.k)

atunci primele derivate cu privire la vor avea cea mai simplă formă:
(6.k)
.

Aici .
(1) ;






.
Găsiți derivata a n-a:
.
(6.n)
(7) .

Înlocuiți în ecuația inițială (1):
(5.1) ;
(5.2) ;
(5.3) ;
. . . . . . .
Să luăm în considerare că toate funcțiile satisfac ecuația (2): ;
Atunci suma termenilor care îi conțin dă zero. Ca rezultat obținem: .

Ca rezultat, am primit un sistem de ecuații liniare pentru derivate:
.
(5.n-1)

(7′) Rezolvând acest sistem, găsim expresii pentru derivate în funcție de x. Integrând, obținem:

Iată constante care nu mai depind de x. Înlocuind în (4), obținem o soluție generală a ecuației inițiale.

Rețineți că pentru a determina valorile derivatelor, nu am folosit niciodată faptul că coeficienții a i sunt constanți. De aceea


Metoda lui Lagrange este aplicabilă pentru rezolvarea oricăror ecuații liniare neomogene

, dacă este cunoscut sistemul fundamental de soluții la ecuația omogenă (2). Exemple
Rezolvați ecuații folosind metoda variației constantelor (Lagrange).
Rezolvarea exemplelor >> >>

Vezi și:

Metoda de variație a constantelor arbitrare pentru construirea unei soluții la o ecuație diferențială liniară neomogenă

o n (t)z (n) (t) + o n − 1 (t)z (n − 1) (t) + ... + o 1 (t)z"(t) + o 0 (t)z(t) = f(t)

constă în înlocuirea constantelor arbitrare c kîn soluţia generală

z(t) = c 1 z 1 (t) + c 2 z 2 (t) + ... + c n z n (t)

ecuația omogenă corespunzătoare

o n (t)z (n) (t) + o n − 1 (t)z (n − 1) (t) + ... + o 1 (t)z"(t) + o 0 (t)z(t) = 0

pentru funcții auxiliare c k (t) , ale căror derivate satisfac sistemul algebric liniar

Determinantul sistemului (1) este Wronskianul funcțiilor z 1 ,z 2 ,...,z n , care îi asigură solvabilitatea unică în raport cu .

Dacă sunt antiderivate pentru , luate la valori fixe ale constantelor de integrare, atunci funcția

este o soluție la ecuația diferențială neomogenă liniară inițială. Integrarea unei ecuații neomogene în prezența unei soluții generale la ecuația omogenă corespunzătoare este astfel redusă la pătraturi.

Metoda de variație a constantelor arbitrare pentru construirea de soluții la un sistem de ecuații diferențiale liniare în formă normală vectorială

constă în construirea unei anumite soluţii (1) sub forma

Unde Z(t) stă la baza soluțiilor ecuației omogene corespunzătoare, scrisă sub formă de matrice, iar funcția vectorială , care a înlocuit vectorul constantelor arbitrare, este definită de relația . Soluția particulară necesară (cu valori inițiale zero la t = t 0 arata ca

Pentru un sistem cu coeficienți constanți, ultima expresie este simplificată:

Matrice Z(t)Z− 1 (τ) numit Matricea Cauchy operator L = O(t) .