|
Formulare în formă extremă
Comentariu. Dacă Nu se poate analiza expresia (Fișier executabil texvc nu a fost găsit; Vezi matematică/README - ajutor la configurare.): R=1, atunci testul Raabe nu răspunde la întrebarea despre convergența seriei.
Dovada
Dovada se bazează pe utilizarea unui criteriu de comparație generalizată atunci când se compară cu o serie armonică generalizată
Vezi de asemenea
- Testul de convergență al lui D'Alembert este un test similar bazat pe raportul dintre termenii vecini.
Scrieți o recenzie despre articolul „Semnul lui Raabe”
Literatură
- Arkhipov, G. I., Sadovnichy, V. A., Chubarikov, V. N. Prelegeri pe analiză matematică: Manual de universităţi şi pedagogie. universități / Ed. V. A. Sadovnichy. - M.: Şcoala superioară, 1999. - 695 p. - ISBN 5-06-003596-4..
- - articol din Enciclopedia Matematică
Legături
- Weisstein, Eric W.(engleză) pe site-ul web Wolfram MathWorld.
| |||
Acest articol colectează și structurează informațiile necesare pentru a rezolva aproape orice exemplu pe tema seriei de numere, de la găsirea sumei unei serii până la examinarea acesteia pentru convergență.
Revizuirea articolului.
Să începem cu definițiile seriei pozitive și alternante și conceptul de convergență. În continuare, vom lua în considerare seriile standard, cum ar fi seria armonică, seria armonică generalizată și vom aminti formula pentru găsirea sumei unei progresii geometrice infinit descrescătoare. După aceasta, vom trece la proprietățile seriei convergente, ne vom opri asupra condiției necesare pentru convergența seriei și vom prezenta criterii suficiente pentru convergența seriei. Vom dilua teoria cu soluții la exemple tipice cu explicații detaliate.
Navigare în pagină.
Definiții și concepte de bază.
Să avem o secvență de numere în care 
.
Iată un exemplu de succesiune de numere: 
.
Seria de numere este suma termenilor unei șiruri numerice de formă 
.
Ca exemplu de serie de numere, putem da suma unei progresii geometrice infinit descrescătoare cu numitorul q = -0,5: 
.
Chemat membru comun al seriei de numere sau al k-lea membru al seriei.
Pentru exemplul anterior, termenul general al seriei de numere are forma .
Suma parțială a unei serii de numere este o sumă de forma , unde n este unele număr natural. numită și a n-a sumă parțială a unei serii de numere.
De exemplu, a patra sumă parțială a seriei 
Există 
.
Sume parțiale 
formează o succesiune infinită de sume parțiale ale unei serii de numere.
Pentru seria noastră, a n-a sumă parțială se găsește folosind formula pentru suma primilor n termeni ai unei progresii geometrice 
, adică vom avea următoarea succesiune de sume parțiale: 
.
Se numește seria de numere convergent, dacă există o limită finită a succesiunii de sume parțiale. Dacă limita șirului de sume parțiale ale unei serii de numere nu există sau este infinită, atunci seria se numește divergente.
Suma unei serii de numere convergente se numește limita șirului sumelor sale parțiale, adică 
.
În exemplul nostru, așadar, seria converge, iar suma sa este egală cu șaisprezece treimi: 
.
Un exemplu de serie divergentă este suma unei progresii geometrice cu un numitor mai mare decât unu: 
. A n-a sumă parțială este determinată de expresie 
, iar limita sumelor parțiale este infinită: 
.
Un alt exemplu de serie de numere divergente este o sumă a formei. În acest caz, a n-a sumă parțială poate fi calculată ca . Limita sumelor parțiale este infinită 
.
Suma formei 
numit serie de numere armonice.
Suma formei 
, unde s este un număr real, se numește generalizat prin serii numerice armonice.
Definițiile de mai sus sunt suficiente pentru a justifica următoarele afirmații foarte frecvent utilizate; vă recomandăm să le amintiți.
SERIA ARMONICĂ ESTE DIVERGENȚĂ.
Să demonstrăm divergența seriei armonice.
Să presupunem că seria converge. Apoi există o limită finită a sumelor sale parțiale. În acest caz, putem scrie și , ceea ce ne duce la egalitate 
.
Pe de alta parte, 
Următoarele inegalități sunt fără îndoială. Astfel, . Inegalitatea rezultată ne indică faptul că egalitatea nu poate fi realizat, ceea ce contrazice presupunerea noastră despre convergența seriei armonice.
Concluzie: seria armonică diverge.
SUMA PROGRESIEI GEOMETRICE DE FIP CU DENOMINATOR q ESTE O SERIE NUMERICĂ CONVERGĂ DACĂ ȘI O SERIE DIVERGĂ PENTRU .
Să demonstrăm.
Știm că suma primilor n termeni ai unei progresii geometrice se găsește prin formula 
.
Când e corect 
care indică convergenţa seriei numerice.
Pentru q = 1 avem seria de numere 
. Sumele sale parțiale se găsesc ca , iar limita sumelor parțiale este infinită 
, ceea ce indică divergența seriei în acest caz.
Dacă q = -1, atunci seria de numere va lua forma 
. Sumele parțiale iau valoare pentru n impar și pentru n par. Din aceasta putem concluziona că nu există o limită a sumelor parțiale și seria diverge.
Când e corect 
ceea ce indică divergenţa seriei numerice.
ÎN GENERAL, SERIA ARMONICĂ CONVERGĂ LA s > 1 ȘI DIVERGE LA .
Dovada.
Pentru s = 1 obținem o serie armonică, iar mai sus am stabilit divergența acesteia.
La s inegalitatea este valabilă pentru toate k naturale. Datorită divergenței seriei armonice, se poate susține că succesiunea sumelor sale parțiale este nelimitată (din moment ce nu există o limită finită). Atunci succesiunea sumelor parțiale ale unei serii de numere este cu atât mai nelimitată (fiecare membru al acestei serii este mai mare decât membrul corespunzător al seriei armonice, prin urmare, seria armonică generalizată diverge ca s).
Rămâne de demonstrat convergența seriei pentru s > 1.
Să notăm diferența: 
Evident, atunci 
Să notăm inegalitatea rezultată pentru n = 2, 4, 8, 16, … 
Folosind aceste rezultate, puteți face următoarele cu seria de numere originale: 
Expresie 
este suma unei progresii geometrice al cărei numitor este . Deoarece luăm în considerare cazul pentru s > 1, atunci. De aceea 
. Astfel, succesiunea sumelor parțiale ale unei serii armonice generalizate pentru s > 1 este crescătoare și în același timp limitată de sus de valoarea , prin urmare, are o limită, care indică convergența seriei. Dovada este completă.
Se numește seria de numere semn pozitiv, dacă toți termenii săi sunt pozitivi, adică 
.
Se numește seria de numere semnalul alternant, dacă semnele membrilor săi vecini sunt diferite. O serie de numere alternante poate fi scrisă ca 
sau 
, Unde .
Se numește seria de numere semn alternant, dacă conține un număr infinit de termeni pozitivi și negativi.
O serie de numere alternante este un caz special de serie de numere alternante.
Rânduri 
sunt pozitive, alternante, respectiv alternante.
Pentru o serie alternativă există conceptul de convergență absolută și condițională.
absolut convergente, dacă o serie de valori absolute ale membrilor săi converge, adică o serie de numere pozitive converge.
De exemplu, seria de numere 
Şi 
converg absolut, deoarece seria converge 
, care este suma unei progresii geometrice infinit descrescătoare.
Se numește o serie alternativă convergent condiționat, dacă seria diverge și seria converge.
Un exemplu de serie de numere convergente condiționat este seria 
. Seria de numere 
, compus din valorile absolute ale termenilor seriei originale, divergente, deoarece este armonică. În același timp, seria originală este convergentă, care se stabilește ușor folosind . Astfel, semnul numeric este o serie alternativă convergent condiționat.
Proprietățile seriei de numere convergente.
Exemplu.
Demonstrați convergența seriei de numere.
Soluţie.
Să scriem seria într-o formă diferită 
. Seria de numere converge, deoarece seria armonică generalizată este convergentă pentru s > 1, iar datorită celei de-a doua proprietăți a seriei de numere convergente va converge și seria cu coeficientul numeric.
Exemplu.
Converge seria de numere?
Soluţie.
Să transformăm seria originală: 
. Astfel, am obținut suma a două serii de numere și , și fiecare dintre ele converge (vezi exemplul anterior). În consecință, în virtutea celei de-a treia proprietăți a seriei de numere convergente, converge și seria originală.
Exemplu.
Demonstrați convergența unei serii de numere 
și calculează-i suma.
Soluţie.
Această serie de numere poate fi reprezentată ca diferența a două serii: 
Fiecare dintre aceste serii reprezintă suma unei progresii geometrice infinit descrescătoare și, prin urmare, este convergentă. A treia proprietate a seriei convergente ne permite să afirmăm că seria numerică originală converge. Să-i calculăm suma.
Primul termen al seriei este unul, iar numitorul progresiei geometrice corespunzătoare este egal cu 0,5, prin urmare, 
.
Primul termen al seriei este 3, iar numitorul progresiei geometrice corespunzătoare în scădere infinită este 1/3, deci 
.
Să folosim rezultatele obținute pentru a găsi suma seriei numerice originale: 
O condiție necesară pentru convergența unei serii.
Dacă o serie de numere converge, atunci limita celui de-al-lea termen al său este egală cu zero: .
Când se examinează orice serie de numere pentru convergență, primul lucru de verificat este îndeplinirea condiției necesare de convergență. Neîndeplinirea acestei condiții indică divergența seriei numerice, adică dacă , atunci seria diverge.
Pe de altă parte, trebuie să înțelegeți că această condiție nu este suficientă. Adică îndeplinirea egalității nu indică convergența seriei de numere. De exemplu, pentru o serie armonică este îndeplinită condiția necesară pentru convergență, iar seria diverge.
Exemplu.
Examinați o serie de numere pentru convergență.
Soluţie.
Să verificăm condiția necesară pentru convergența unei serii de numere: 
Limită Al n-lea termen al seriei de numere nu este egal cu zero, prin urmare, seria diverge.
Semne suficiente de convergență a unei serii pozitive.
Când utilizați suficiente funcții pentru a studia seriile de numere pentru convergență, întâmpinați constant probleme, așa că vă recomandăm să apelați la această secțiune dacă aveți dificultăți.
Condiție necesară și suficientă pentru convergența unei serii de numere pozitive.
Pentru convergența unei serii de numere pozitive 
este necesar și suficient ca șirul sumelor sale parțiale să fie mărginit.
Să începem cu semnele comparării serii. Esența lor constă în compararea seriei numerice studiate cu o serie a cărei convergență sau divergență este cunoscută.
Primul, al doilea și al treilea semn de comparație.
Primul semn de comparație a seriei.
Fie și două serii de numere pozitive și inegalitatea este valabilă pentru toate k = 1, 2, 3, ... Atunci convergența seriei implică convergența, iar divergența seriei implică divergența lui .
Primul criteriu de comparație este folosit foarte des și este un instrument foarte puternic pentru studierea seriilor de numere pentru convergență. Problema principală este selectarea unei serii potrivite pentru comparație. O serie pentru comparație este de obicei selectată (dar nu întotdeauna) astfel încât exponentul termenului său k este egal cu diferența dintre exponenții numărătorului și numitorului termenului k al seriei numerice studiate. De exemplu, să fie diferența dintre exponenții numărătorului și numitorului egală cu 2 – 3 = -1, prin urmare, pentru comparație, selectăm o serie cu termenul k-lea, adică o serie armonică. Să ne uităm la câteva exemple.
Exemplu.
Stabiliți convergența sau divergența unei serii.
Soluţie.
Deoarece limita termenului general al seriei este egală cu zero, atunci condiția necesară pentru convergența seriei este îndeplinită.
Este ușor de observat că inegalitatea este adevărată pentru toate k naturale. Știm că seria armonică este divergentă de aceea, după primul criteriu de comparație, seria originală este și divergentă.
Exemplu.
Examinați seria de numere pentru convergență.
Soluţie.
Condiția necesară pentru convergența unei serii de numere este îndeplinită, deoarece 
. Inegalitatea este evidentă 
pentru oricine valoare naturală k. Seria converge, deoarece seria armonică generalizată este convergentă pentru s > 1. Astfel, primul semn de comparație a seriilor ne permite să afirmăm convergența seriei numerice originale.
Exemplu.
Determinați convergența sau divergența unei serii de numere.
Soluţie.
, prin urmare, este îndeplinită condiția necesară pentru convergența seriei de numere. Ce rând ar trebui să aleg pentru comparație? O serie de numere se sugerează în sine și pentru a decide asupra lui s, examinăm cu atenție șirul de numere. Termenii unei secvențe de numere cresc spre infinit. Astfel, pornind de la un număr N (și anume, de la N = 1619), termenii acestei secvențe vor fi mai mari decât 2. Pornind de la acest număr N, inegalitatea este adevărată. O serie de numere converge datorită primei proprietăți a seriei convergente, deoarece se obține dintr-o serie convergentă prin eliminarea primilor N – 1 termeni. Astfel, după primul criteriu de comparație, seria este convergentă, iar în virtutea primei proprietăți a seriei de numere convergente, seria va converge și ea.
Al doilea semn de comparație.
Fie și să fie serie de numere pozitive. Dacă , atunci convergența seriei implică convergența lui . Dacă , atunci divergența seriei numerice implică divergența lui .
Consecinţă.
Dacă și , atunci convergența unei serii implică convergența celeilalte, iar divergența implică divergența.
Examinăm seria pentru convergență folosind al doilea criteriu de comparație. Ca serie luăm o serie convergentă. Să găsim limita raportului dintre k-lea termeni ai seriei de numere: 
Astfel, conform celui de-al doilea criteriu de comparație, din convergența unei serii numerice urmează convergența seriei originale.
Exemplu.
Examinați convergența unei serii de numere.
Soluţie.
Să verificăm condiția necesară pentru convergența seriei 
. Condiția este îndeplinită. Pentru a aplica al doilea criteriu de comparație, să luăm seria armonică. Să găsim limita raportului dintre k-lea termeni: 
În consecință, din divergența seriei armonice urmează divergența seriei originale după al doilea criteriu de comparație.
Pentru informare, prezentăm al treilea criteriu de comparare a seriilor.
Al treilea semn de comparație.
Fie și să fie serie de numere pozitive. Dacă condiția este îndeplinită de la un număr N, atunci convergența seriei implică convergență, iar divergența seriei implică divergență.
semnul lui D'Alembert.
Comentariu.
Testul lui D'Alembert este valabil dacă limita este infinită, adică dacă 
, atunci seria converge dacă 
, apoi seria diverge.
Dacă , atunci testul lui d'Alembert nu oferă informații despre convergența sau divergența seriei și sunt necesare cercetări suplimentare.
Exemplu.
Examinați o serie de numere pentru convergență folosind criteriul lui D'Alembert.
Soluţie.
Să verificăm îndeplinirea condiției necesare pentru convergența unei serii de numere calculați limita folosind:
Condiția este îndeplinită.
Să folosim semnul lui d'Alembert: 
Astfel, seria converge.
Semnul radical Cauchy.
Fie o serie de numere pozitive. Dacă , atunci seria de numere converge, dacă , atunci seria diverge.
Comentariu.
Testul radical al lui Cauchy este valabil dacă limita este infinită, adică dacă 
, atunci seria converge dacă 
, apoi seria diverge.
Dacă , atunci testul radical Cauchy nu oferă informații despre convergența sau divergența seriei și sunt necesare cercetări suplimentare.
De obicei, este destul de ușor să discerneți cazurile în care cel mai bine este să utilizați testul radical Cauchy. Un caz tipic este atunci când termenul general al unei serii de numere este o expresie de putere exponențială. Să ne uităm la câteva exemple.
Exemplu.
Examinați o serie de numere pozitive pentru convergență folosind testul radical Cauchy.
Soluţie.
. Folosind testul radical Cauchy obținem 
.
Prin urmare, seria converge.
Exemplu.
Converge seria de numere? 
.
Soluţie.
Să folosim testul radical Cauchy 
, prin urmare, seria de numere converge.
Testul Cauchy integral.
Fie o serie de numere pozitive. Să creăm o funcție de argument continuu y = f(x) similară cu funcția. Fie funcția y = f(x) pozitivă, continuă și descrescătoare pe intervalul , unde ). Apoi, în caz de convergență integrală improprie seria de numere studiată converge. Dacă integrală improprie diverge, apoi și seria originală diverge.
Când verificați scăderea funcției y = f(x) pe un interval, teoria din secțiune vă poate fi utilă.
Exemplu.
Examinați o serie de numere cu termeni pozitivi pentru convergență.
Soluţie.
Condiția necesară pentru convergența seriei este îndeplinită, întrucât 
. Să luăm în considerare funcția. Este pozitivă, continuă și descrescătoare pe interval. Continuitatea și pozitivitatea acestei funcții este dincolo de orice îndoială, dar să ne oprim asupra scăderii mai în detaliu. Să găsim derivata: 
. Este negativă pe interval, prin urmare, funcția scade pe acest interval.
În cazurile în care testele lui d'Alembert și Cauchy nu dau rezultate, uneori semnele bazate pe comparație cu alte serii care converg sau diverg „mai lent” decât seria de progresie geometrică pot da un răspuns afirmativ.
Prezentăm, fără dovezi, formulările a patru teste mai greoaie pentru convergența seriilor. Demonstrațiile acestor semne se bazează și pe teoremele de comparație 1–3 (Teoremele 2.2 și 2.3) ale seriei studiate cu unele serii a căror convergență sau divergență a fost deja stabilită. Aceste dovezi pot fi găsite, de exemplu, în manualul fundamental al lui G. M. Fikhtengolts (, vol. 2).
Teorema 2.6. semnul lui Raabe. Dacă pentru membrii unei serii de numere pozitive, pornind de la un anumit număr M, inegalitatea
(Rn £ 1), "n ³ M, (2,10)
apoi seria converge (diverge).
Semnul lui Raabe în forma sa extremă. Dacă membrii seriei de mai sus îndeplinesc condiţia
Observația 6. Dacă comparăm semnele lui D'Alembert și Raabe, putem arăta că al doilea este mult mai puternic decât primul.
Dacă există o limită pentru o serie
atunci succesiunea Raabe are o limită
Astfel, dacă testul lui d'Alembert oferă un răspuns la întrebarea privind convergența sau divergența seriei, atunci testul lui Raabe îl oferă și el, iar aceste cazuri sunt acoperite de doar două dintre valorile posibile ale lui R: +¥ și – ¥. Toate celelalte cazuri de R¹ 1 finit, când testul lui Raabe dă un răspuns afirmativ la întrebarea despre convergența sau divergența unei serii, corespund cazului D = 1, adică cazul în care testul lui D'Alembert nu dă un răspuns afirmativ. răspuns la întrebarea despre convergenţa sau divergenţa unei serii.
Teorema 2.7. semnul lui Kummer. Fie (сn) o succesiune arbitrară de numere pozitive. Dacă pentru membrii unei serii de numere pozitive, pornind de la un anumit număr M, inegalitatea
(Qn £ 0), "n ³ M, (2.11)
apoi seria converge 
.
Semnul lui Kummer în forma sa extremă. Dacă există o limită pentru seria de mai sus
apoi seria converge .
Prin urmare, din testul lui Kummer este ușor de obținut dovezi ale testelor lui D'Alembert, Raabe și Bertrand. Acesta din urmă se obține dacă luăm ca șirul (сn)
сn=nln n, "n О N,
pentru care seria
diverge (divergența acestei serii va fi prezentată în exemplele acestei secțiuni).
Teorema 2.8. Testul lui Bertrand în forma sa extremă. Dacă pentru termenii unei serii numerice pozitive șirul lui Bertrand
(2.12)
(Rn este secvența Raabe) are o limită
apoi seria converge (diverge).
Mai jos formulăm testul Gaussian - cel mai puternic din succesiunea testelor de convergență în serie dispuse în ordine crescătoare de aplicabilitate: D'Alembert, Raabe și Bertrand. Testul Gauss generalizează întreaga putere a semnelor anterioare și vă permite să studiați serii mult mai complexe, dar, pe de altă parte, aplicarea lui necesită studii mai subtile pentru a obține o expansiune asimptotică a raportului termenilor vecini ai seriei până la al doilea ordin de micime în raport cu valoarea .
Teorema 2.9. testul gaussian. Dacă pentru membrii unei serii de numere pozitive, pornind de la un anumit număr M, egalitatea
, "n ³ M, (2,13)
unde l și p sunt constante, iar tn este o valoare limitată.
a) pentru l > 1 sau l = 1 și p > 1, seria converge;
b) la l< 1 или l = 1 и р £ 1 ряд расходится.
2.5. testul integral Cauchy-Maclaurin,
semnul „telescopic” Cauchy și semnul Ermakov
Testele pentru convergența seriilor considerate mai sus se bazează pe teoreme de comparație și sunt suficiente, adică dacă condițiile de testare pentru această serie se pot face anumite afirmații despre comportamentul său, dar dacă nu sunt îndeplinite condițiile semnului, atunci nu se poate spune nimic despre convergența seriei, fie poate converge, fie diverge.
Testul integralei Cauchy–Maclaurin se deosebește de cele studiate mai sus prin conținut, fiind necesar și suficient, precum și ca formă, bazat pe compararea unei sume (serie) infinite cu o integrală infinită (improprie), și demonstrează relația firească dintre teoria seriilor și teoria integralelor. Această relație poate fi, de asemenea, urmărită cu ușurință folosind exemplul testelor de comparație, analogi ale cărora există pentru integralele necorespunzătoare și formulările lor coincid aproape cuvânt cu cuvânt cu formulările pentru serii. O analogie completă se observă, de asemenea, în formularea unor teste suficiente pentru convergența seriilor de numere arbitrare, care vor fi studiate în secțiunea următoare, și teste pentru convergența integralelor improprii - cum ar fi testele pentru convergența lui Abel și Dirichlet.
Mai jos vom prezenta și testul „telescopic” Cauchy și testul original de convergență a seriilor, obținut de matematicianul rus V.P. Ermakov; Testul lui Ermakov are aproximativ același domeniu de aplicare ca și testul integral Cauchy-Maclaurin, dar nu conține termenii și conceptele calculului integral în formularea sa.
Teorema 2.10. Testul Cauchy-Maclaurin. Fie membrii unei serii de numere pozitive, pornind de la un număr M, să satisfacă egalitatea
unde funcția f(x) este nenegativă și necrescătoare pe semi-linia (x ³ M). O serie de numere converge dacă și numai dacă integrala improprie converge
Adică seria converge dacă există o limită
, (2.15)
iar seria diverge dacă limita I = +¥.
Dovada. În virtutea Remarcii 3 (vezi § 1), este evident că fără pierderea generalității putem presupune M = 1, deoarece, eliminând (M – 1) termeni ai seriei și făcând înlocuirea k = (n – M + 1). ), ajungem să luăm în considerare seria , pentru care
, 
,
și, în consecință, să ia în considerare integrala.
În continuare, observăm că o funcție nenegativă și necrescătoare f(x) pe semi-linia (x ³ 1) satisface condițiile de integrabilitate Riemann pe orice interval finit și, prin urmare, luarea în considerare a integralei improprie corespunzătoare are sens.
Să trecem la dovadă. Pe orice segment de unitate de lungime m £ x £ m + 1, datorită faptului că f(x) este necrescător, inegalitatea
Integrându-l peste segment și folosind proprietatea corespunzătoare a integralei definite, obținem inegalitatea
, . (2.16)
Însumând aceste inegalități termen cu termen de la m = 1 la m = n, obținem
Deoarece f (x) este o funcție nenegativă, atunci integrala
este o funcţie continuă nedescrescătoare a argumentului A. Atunci
, .
De aici și din inegalitate (15) rezultă că:
1) dacă eu< +¥
(т. е. несобственный интеграл сходится), то и неубывающая
последовательность частичных сумм 
este mărginită, adică seria converge;
2) dacă I = +¥ (adică integrala improprie diverge),
atunci și succesiunea nedescrescătoare a sumelor parțiale este de asemenea nemărginită, adică seria diverge.
Pe de altă parte, notând , din inegalitatea (16) obținem:
1) dacă S< +¥
(т. е. ряд сходится), то для неубывающей непрерывной функции I(А), "А ³
1 существует номер n такой, что n + 1 ³
А, и I(А) £ I(n + 1) £ Sn £
S, а следовательно, 
, adică integrala converge;
2) dacă S = +¥ (adică seria diverge), atunci pentru orice A suficient de mare există n £ A astfel încât I(A) ³ I(n) ³ Sn – f(1) ® +¥ (n ® ¥ ), adică integrala diverge. Q.E.D.
Prezentăm încă două semne interesante de convergență fără dovezi.
Teorema 2.11. Semnul Cauchy „telescopic”. O serie de numere pozitive ai cărei termeni sunt monoton descrescători converge dacă și numai dacă seria converge.
Teorema 2.12. semnul lui Ermakov. Fie termenii unei serii de numere pozitive astfel încât, pornind de la un număr M0, egalitățile să fie satisfăcute
an = ¦(n), "n ³ М0,
unde funcția ¦(x) este continuă pe bucăți, pozitivă și descrește monoton ca x ³ M0.
Atunci dacă există un număr M ³ M0 astfel încât pentru toate x ³ M inegalitatea
,
apoi seria converge (diverge).
2.6. Exemple de utilizare a criteriilor de convergență
Folosind teorema 2, este ușor să examinăm următoarele serii pentru convergență
(a > 0, b ³ 0; "a, b О R).
Dacă un £ 1, atunci criteriul necesar pentru convergență (proprietatea 2) este încălcat (vezi § 1).
,
prin urmare, seria diverge.
Dacă a > 1, atunci pentru cn există o estimare, din care, datorită convergenței seriei progresiei geometrice, urmează convergența seriei luate în considerare.
converge datorită testului de comparație 1 (Teorema 2.2), deoarece avem inegalitatea
,
iar seria converge ca o serie a unei progresii geometrice.
Să arătăm divergența mai multor serii, care rezultă din criteriul de comparare 2 (Corolarul 1 al Teoremei 2.2). Rând
diverge deoarece
.
diverge deoarece
.
diverge deoarece
.
(p>0)
diverge deoarece
.
converge după criteriul lui d'Alembert (Teorema 2.4). într-adevăr
.
converge conform testului lui d'Alembert. într-adevăr
.
.
converge după criteriul Cauchy (Teorema 2.5). într-adevăr
.
Să dăm un exemplu de aplicare a testului lui Raabe. Luați în considerare serialul
,
unde este denumirea (k)!! înseamnă produsul tuturor numerelor pare (impare) de la 2 la k (1 la k), dacă k este par (impar). Folosind testul lui d'Alembert, obținem
Astfel, criteriul lui D'Alembert nu ne permite să facem o afirmaţie certă despre convergenţa seriei. Să aplicăm criteriul lui Raabe:
prin urmare, seria converge.
Să dăm exemple de utilizare a testului integral Cauchy-Maclaurin.
Serii armonice generalizate
converge sau diverge simultan cu integrala improprie
Este evident că eu< +¥ при p >1 (integrala converge) și I = +¥ pentru p £ 1 (diverge). Astfel, seria originală converge și pentru p > 1 și diverge pentru p £ 1.
diverge simultan cu integrala improprie
astfel integrala diverge.
|
|
§ 3. Serii de numere alternante
3.1. Convergența absolută și condiționată a seriei
În această secțiune vom studia proprietățile seriilor ai căror membri sunt numere reale cu semn arbitrar.
Definiție 1. Seria numerică
se spune că este absolut convergent dacă seria converge
Definiția 2. O serie de numere (3.1) se numește convergentă condiționat sau neabsolut convergentă dacă seria (3.1) converge și seria (3.2) diverge.
Teorema 3.1. Dacă o serie converge absolut, atunci converge.
Dovada. În conformitate cu criteriul Cauchy (Teorema 1.1), convergența absolută a seriei (3.1) este echivalentă cu îndeplinirea relațiilor
" e > 0, $ M > 0 astfel încât " n > M, " p ³ 1 Þ
(3.3)
Deoarece se știe că modulul sumei mai multor numere nu depășește suma modulelor lor („inegalitatea triunghiulară”), atunci din (3.3) urmează inegalitatea (validă pentru aceleași numere ca în (3.3), e, M, n, p)
Îndeplinirea ultimei inegalități înseamnă îndeplinirea condițiilor criteriului Cauchy pentru seria (3.1), prin urmare, această serie converge.
Corolar 1. Fie seria (3.1) să convergă absolut. Din termenii pozitivi ai seriei (3.1), numerotându-i în ordine (cum apar în procesul de creștere a indicelui), compunem o serie de numere pozitive
, (UK = ). (3,4)
În mod similar, din modulele termenilor negativi ai seriei (3.1), numerotându-i în ordine, compunem următoarele serii numerice pozitive:
, (vm = ). (3,5)
Apoi seria (3.3) și (3.4) converg.
Dacă notăm sumele seriilor (3.1), (3.3), (3.4) cu literele A, U, V, atunci formula este valabilă
A = U – V. (3,6)
Dovada. Să notăm cu A* suma seriei (3.2). Prin Teorema 2.1 avem că toate sumele parțiale ale seriei (3.2) sunt limitate de numărul A*, iar sumele parțiale ale seriei (3.4) și (3.5) se obțin prin însumarea unora dintre termenii sumelor parțiale. din seria (3.2), este evident că acestea sunt mai limitate de numărul de A*. Apoi, introducând notația corespunzătoare, obținem inegalitățile
;
din care, în virtutea teoremei 2.1, rezultă convergența seriei (3.4) și (3.5).
(3.7)
Deoarece numerele k și m depind de n, este evident că pentru n ® ¥ atât k ® ¥, cât și m ® ¥. Apoi, trecând în egalitate (3.7) la limită (toate limitele există în virtutea Teoremei 3.1 și a ceea ce s-a dovedit mai sus), obținem
adică egalitatea (3.6) este dovedită.
Corolarul 2. Fie seria (3.1) convergând condiționat. Atunci seriile (3.4) și (3.5) diverg și formula (3.6) pentru seriile convergente condiționat nu este adevărată.
Dovada. Dacă luăm în considerare a n-a sumă parțială a seriei (3.1), atunci, ca și în demonstrația anterioară, se poate scrie
(3.8)
Pe de altă parte, pentru a n-a sumă parțială a seriei (3.2) putem scrie în mod similar expresia
(3.9)
Să presupunem contrariul, adică să converge cel puțin una dintre seriile (3.3) sau (3.4). Apoi din formula (3.8), având în vedere convergența seriei (3.1), rezultă că a doua a seriei (respectiv (3.5) sau (3.4)) converge ca diferență a două serii convergente. Și apoi din formula (3.9) rezultă că seria (3.2) converge, adică seria (3.1) converge absolut, ceea ce contrazice condițiile teoremei asupra convergenței sale condiționate.
Astfel, din (3.8) și (3.9) rezultă că din moment ce
Q.E.D.
Observație 1. Proprietatea combinației pentru serii. Suma unei serii infinite diferă semnificativ de suma unui număr finit de elemente prin faptul că implică trecerea la limită. Prin urmare, proprietățile obișnuite ale sumelor finite sunt adesea încălcate pentru serii sau sunt păstrate numai atunci când sunt îndeplinite anumite condiții.
Astfel, pentru sumele finite există o lege combinațională (asociativă), și anume: suma nu se modifică dacă elementele sumei sunt grupate în orice ordine.
Să considerăm o grupare arbitrară (fără rearanjare) a membrilor seriei numerice (3.1). Să notăm succesiunea crescătoare de numere
și introduceți notația
Apoi seria obținută prin metoda de mai sus poate fi scrisă sub formă
Teorema de mai jos, fără dovezi, conține câteva afirmații importante legate de proprietatea combinatorie a seriei.
Teorema 3.2.
1. Dacă seria (3.1) converge și are suma A (convergența condiționată este suficientă), atunci o serie arbitrară de forma (3.10) converge și are aceeași sumă A. Adică o serie convergentă are proprietatea de combinare.
2. Convergența oricărei serii de forma (3.10) nu implică convergența seriei (3.1).
3. Dacă seria (3.10) se obține printr-o grupare specială, astfel încât în interiorul fiecăreia dintre paranteze să fie termeni de un singur semn, atunci convergența acestei serii (3.10) implică convergența seriei (3.1).
4. Dacă seria (3.1) este pozitivă și orice serie de forma (3.10) converge pentru aceasta, atunci seria (3.1) converge.
5. Dacă succesiunea de termeni ai seriei (3.1) este infinitezimală (adică an) și numărul de termeni din fiecare grup - un membru al seriei (3.10) - este limitat la o constantă M (adică nk –nk–1 £ М, "k = 1, 2,…), apoi din convergența seriei (3.10) urmează convergența seriei (3.1).
6. Dacă seria (3.1) converge condiționat, atunci fără rearanjare este întotdeauna posibilă gruparea termenilor seriei astfel încât seria rezultată (3.10) să fie absolut convergentă.
Observație 2. Proprietate comutativă pentru serii. Pentru sumele numerice finite se aplică o lege comutativă și anume: suma nu se modifică cu nicio rearanjare a termenilor
unde (k1, k2, …, kn) este o permutare arbitrară din mulțimea numerelor naturale (1, 2,…, n).
Se dovedește că o proprietate similară este valabilă pentru seriile absolut convergente și nu este valabilă pentru seriile convergente condiționat.
Să existe o mapare unu-la-unu a mulțimii de numere naturale pe sine: N ® N, adică fiecărui număr natural k corespunde unui număr natural unic nk, iar mulțimea reproduce întreaga serie naturală de numere fără goluri. Să notăm seria obținută din seria (3.1) folosind o permutare arbitrară corespunzătoare mapării de mai sus, după cum urmează:
Regulile de aplicare a proprietăților comutative ale seriei sunt reflectate în teoremele 3.3 și 3.4 prezentate mai jos fără dovezi.
Teorema 3.3. Dacă seria (3.1) converge absolut, atunci seria (3.11), obținută prin rearanjarea arbitrară a termenilor seriei (3.1), converge și ea absolut și are aceeași sumă ca și seria originală.
Teorema 3.4. teorema lui Riemann. Dacă seria (3.1) converge condiționat, atunci termenii acestei serii pot fi rearanjați astfel încât suma ei să fie egală cu orice număr predeterminat D (finit sau infinit: ±¥) sau să fie nedefinită.
Pe baza teoremelor 3.3 și 3.4, este ușor de stabilit că convergența condiționată a seriei se obține ca urmare a anulării reciproce. a n-a creștere suma parțială ca n ® ¥ prin adăugarea de termeni pozitivi sau negativi la sumă și, prin urmare, convergența condiționată a seriei depinde în mod semnificativ de ordinea termenilor seriei. Convergența absolută a seriei este rezultatul unei scăderi rapide a valorilor absolute ale termenilor seriei
și nu depinde de ordinea în care apar.
3.2. Rând alternativ. testul lui Leibniz
Dintre seriile alternante, se remarcă o clasă specială importantă de serii - seriale alternante.
Definiția 3. Fie o succesiune de numere pozitive bp > 0, "n О N. Apoi o serie de forma
se numește serie alternantă. Pentru serii de forma (3.12) este valabilă următoarea afirmație.
Teorema 5. Testul Leibniz. Dacă o secvență compusă din valorile absolute ale termenilor seriei alternante (3.8) scade monoton la zero
bn > bn+1, "n О N; (3.13)
atunci o astfel de serie alternativă (3.12) se numește serie Leibniz. Seria Leibniz converge mereu. Pentru restul seriei Leibniz
exista o evaluare
rn = (–1) nqnbn+1, (0 £ qn £ 1) „nОN. (3.14)
Dovada. Să scriem o sumă parțială arbitrară a seriei (3.12) cu un număr par de termeni sub forma
Prin condiția (3.13), fiecare dintre parantezele din partea dreaptă a acestei expresii este un număr pozitiv, prin urmare, pe măsură ce k crește, șirul crește monoton. Pe de altă parte, orice membru al secvenței B2k poate fi scris sub formă
B2k = b1 – (b2 – b3) – (b4 – b5) –… – (b2k–2 – b2k–1) – b2k,
și întrucât prin condiția (3.13) există un număr pozitiv în fiecare dintre parantezele ultimei egalități, atunci evident că inegalitatea este valabilă.
B2k< b1, "k ³ 1.
Astfel, avem o secvență care este monoton crescătoare și mărginită de sus, iar o astfel de secvență, conform binecunoscutei teoreme din teoria limitelor, are o limită finită.
B2k–1 = B2k + b2k,
si tinand cont ca termenul general al seriei (dupa conditiile teoremei) tinde spre zero ca n ® ¥, obtinem
Astfel, se demonstrează că seria (3.12) în condiția (3.13) converge și suma ei este egală cu B.
Să demonstrăm estimarea (3.14). S-a arătat mai sus că sumele parțiale de ordin par B2k, crescând monoton, tind spre limita B - suma seriei.
Luați în considerare sume parțiale de ordin impar
B2k–1 = b1 – (b2 – b3) – (b4 – b5) – … – (b2k–2 – b2k–1).
Din această expresie, este evident (deoarece condiția (3.13) este îndeplinită) că șirul scade și, prin urmare, conform celor dovedite mai sus, tinde spre limita sa B de sus. Astfel, inegalitatea este dovedită
0 < B2k < B < B2k–1 < b1. (3.15)
Dacă luăm acum în considerare restul seriei (3.12)
ca noua serie alternanta cu primul termen bp+1, apoi pentru aceasta serie, bazata pe inegalitatea (3.15), se poate scrie pentru indici pari, respectiv impari.
r2k = b2k+1 – b2k+2 + …, 0< r2k < b2k+1,
r2k–1 = – b2k + b2k+1 – …, r2k< 0, | r2k–1 | < b2k.
Astfel, s-a dovedit că restul seriei Leibniz are întotdeauna semnul primului său termen și este mai mic decât acesta în valoare absolută, adică estimarea (3.14) este satisfăcută pentru aceasta. Teorema a fost demonstrată.
3.3. Semne de convergență a serii de numere arbitrare
În această subsecțiune prezentăm, fără dovezi, suficiente teste de convergență pentru serii de numere cu termeni care sunt numere reale arbitrare (de orice semn în plus, aceste teste sunt potrivite și pentru serii cu termeni complexi);
2) secvența este o secvență care converge la zero (bp ® 0 pentru n ® ¥) cu modificare limitată.
Apoi seria (3.16) converge.
Teorema 3.9. Testul Dirichlet. Fie membrii seriei numerice (3.16) să îndeplinească condițiile:
succesiunea sumelor parțiale ale seriei este mărginită (inegalități (3.17));
2) secvența este o secvență monotonă care converge spre zero (bп ® 0 ca n ®¥).
Apoi seria (3.16) converge.
Teorema 3.10. Al doilea semn generalizat al lui Abel. Fie membrii seriei numerice (3.16) să îndeplinească condițiile:
1) seria converge;
2) secvența este o secvență arbitrară cu modificare limitată.
Apoi seria (3.16) converge.
Teorema 3.11. semnul lui Abel. Fie membrii seriei numerice (3.16) să îndeplinească condițiile:
1) seria converge;
2) secvența este o secvență mărginită monotonă.
Apoi seria (3.16) converge.
Teorema 3.12. teorema lui Cauchy. Dacă seria și converg în mod absolut, iar sumele lor sunt egale cu A și, respectiv, B, atunci o serie compusă din toate produsele de forma aibj (i = 1,2,…, ¥; j = 1,2,…,¥) , numerotat în orice ordine , converge și el absolut și suma sa este egală cu AB.
3.4. Exemple
Să luăm mai întâi în considerare câteva exemple de convergență absolută a seriei. Mai jos presupunem că variabila x poate fi orice număr real.
2) diverge la |x| > e după același criteriu D'Alembert;
3) diverge la |x| = e după criteriul lui d’Alembert în formă nelimitată, deoarece
datorită faptului că secvența exponențială din numitor tinde spre limită, crescând monoton,
(un ¹ 0 este un număr real)
1) converge absolut pentru |x/a|< 1, т. е. при |x| < |a|, так как в данном случае имеем ряд, составленный из членов убывающей геометрической прогрессии со знаменателем q = x/a, либо по радикальному признаку Коши (теорема 2.5);
2) diverge la |x/a| ³ 1, adică pentru |x| ³ |a|, deoarece în acest caz este încălcat criteriul necesar pentru convergență (proprietatea 2 (a se vedea § 1))
