După cum se știe, găsirea integralei poate fi destul de simplă sarcină dificilă. Ar fi o mare dezamăgire să începem să calculăm o integrală necorespunzătoare și să descoperim la sfârșitul căii că aceasta diverge. Prin urmare, sunt interesante metodele care permit, fără calcule serioase bazate pe un singur tip de funcție, să se tragă o concluzie despre convergența sau divergența unei integrale improprii. Prima și a doua teoreme de comparație, care vor fi discutate mai jos, ajută foarte mult la studiul integralelor improprii pentru convergență.
Fie f(x)?0. Apoi funcțiile
sunt monoton crescătoare în variabilele t sau -g (deoarece luăm g>0, -g tinde spre zero din stânga). Dacă, pe măsură ce argumentele cresc, funcțiile F 1 (t) și F 2 (-d) rămân mărginite de sus, aceasta înseamnă că integralele improprie corespunzătoare converg. Aceasta este baza primei teoreme de comparație pentru integralele funcțiilor nenegative.
Fie funcțiile f(x) și g(x) la x?a să îndeplinească următoarele condiții:
- 1) 0?f(x)?g(x);
- 2) Funcțiile f(x) și g(x) sunt continue.
Apoi din convergența integralei urmează convergența integralei, iar din divergența integralei rezultă divergența
Deoarece 0?f(x)?g(x) și funcțiile sunt continue, atunci
După condiție, integrala converge, i.e. are o valoare finită. Prin urmare, integrala converge.
Acum, lăsați integrala să diverge. Să presupunem că integrala converge, dar atunci trebuie să convergă integrala, ceea ce contrazice condiția. Presupunerea noastră este incorectă, integrala diverge.
Teorema de comparație pentru integrale improprie de al 2-lea fel.
Fie pentru funcțiile f(x) și g(x) din intervalul , să crească fără limită pentru x>+0. Pentru x>+0, este valabilă următoarea inegalitate:<. Несобственный интеграл есть эталонный интеграл 2-го рода, который при p=<1 сходится; следовательно, по 1-й теореме сравнения для несобственных интегралов 2-го рода интеграл сходится также.
Teorema de comparare a integralelor improprie de primul fel.
Fie integrala divergentă pentru funcția f(x) și g(x) pe interval.
Aceasta înseamnă că integrala diverge și în secțiune.
Astfel, această integrală diverge pe întreg intervalul [-1, 1]. Rețineți că dacă am începe să calculăm această integrală fără să fim atenți la discontinuitatea integrandului în punctul x = 0, am obține un rezultat incorect. într-adevăr,
, ceea ce este imposibil.
Deci, pentru a studia integrala improprie a unei funcții discontinue, este necesar să o „împarți” în mai multe integrale și să le studiezi.
Dacă integrandul are o discontinuitate de al doilea fel pe intervalul (finit) de integrare, vorbim de o integrală improprie de al doilea fel.
10.2.1 Definiție și proprietăți de bază
Să notăm intervalul de integrare cu $\left[ a, \, b \right ]$ se presupune că ambele numere sunt finite. Dacă există doar 1 discontinuitate, aceasta poate fi localizată fie în punctul $a$, fie în punctul $b$, fie în interiorul intervalului $(a,\,b)$. Să considerăm mai întâi cazul în care există o discontinuitate de al doilea fel în punctul $a$, iar în alte puncte funcția integrand este continuă. Deci discutăm despre integrală
\begin(equation) I=\int _a^b f(x)\,dx, (22) \label(intr2) \end(equation)
și $f(x) \rightarrow \infty $ când $x \rightarrow a+0$. Ca și înainte, primul lucru de făcut este să dai sens acestei expresii. Pentru a face acest lucru, luați în considerare integrala
\[ I(\epsilon)=\int _(a+\epsilon)^b f(x)\,dx. \]
Definiţie. Să existe o limită finită
\[ A=\lim _(\epsilon \rightarrow +0)I(\epsilon)=\lim _(\epsilon \rightarrow +0)\int _(a+\epsilon)^b f(x)\,dx. \]
Apoi se spune că integrala improprie de al doilea fel (22) converge și i se atribuie valoarea $A$ însăși funcția $f(x)$ este integrabilă pe intervalul $\left[ a, \; , b\dreapta]$.
Luați în considerare integrala
\[ I=\int ^1_0\frac(dx)(\sqrt(x)). \]
Funcția integrand $1/\sqrt(x)$ la $x \rightarrow +0$ are o limită infinită, deci în punctul $x=0$ are o discontinuitate de al doilea fel. Să punem
\[ I(\epsilon)=\int ^1_(\epsilon )\frac(dx)(\sqrt(x))\,. \]
În acest caz, antiderivatul este cunoscut,
\[ I(\epsilon)=\int ^1_(\epsilon )\frac(dx)(\sqrt(x))=2\sqrt(x)|^1_(\epsilon )=2(1-\sqrt( \epsilon ))\rightarrow 2\]
la $\epsilon \rightarrow +0$. Astfel, integrala originală este o integrală improprie convergentă de al doilea fel și este egală cu 2.
Să luăm în considerare opțiunea când există o discontinuitate de al doilea fel în funcția integrand la limita superioară a intervalului de integrare. Acest caz poate fi redus la cel anterior făcând modificarea variabilei $x=-t$ și apoi rearanjarea limitelor de integrare.
Să considerăm opțiunea când funcția integrand are o discontinuitate de al doilea fel în interiorul intervalului de integrare, în punctul $c \in (a,\,b)$. În acest caz, integrala originală
\begin(equation) I=\int _a^bf(x)\,dx (23) \label(intr3) \end(equation)
prezentat ca o sumă
\[ I=I_1+I_2, \quad I_1=\int _a^cf(x)\,dx +\int _c^df(x)\,dx. \]
Definiţie. Dacă ambele integrale $I_1, \, I_2$ converg, atunci integrala improprie (23) se numește convergentă și i se atribuie o valoare egală cu suma integralelor $I_1, \, I_2$, funcției $f(x)$ se numește integrabil pe intervalul $\left [a, \, b\right]$. Dacă cel puţin una dintre integralele $I_1,\, I_2$ este divergentă, integrala improprie (23) se numeşte divergentă.
Integralele improprie convergente de al 2-lea fel au toate proprietățile standard ale integralelor definite obișnuite.
1. Dacă $f(x)$, $g(x)$ sunt integrabile pe intervalul $\left[ a, \,b \right ]$, atunci suma lor $f(x)+g(x)$ este de asemenea, integrabil în acest interval și \[ \int _a^(b)\left(f(x)+g(x)\right)dx=\int _a^(b)f(x)dx+\int _a^( b)g (x)dx. \] 2. Dacă $f(x)$ este integrabil pe intervalul $\left[ a, \, b \right ]$, atunci pentru orice constantă $C$ funcția $C\cdot f(x)$ este de asemenea integrabil pe acest interval , și \[ \int _a^(b)C\cdot f(x)dx=C \cdot \int _a^(b)f(x)dx. \] 3. Dacă $f(x)$ este integrabil pe intervalul $\left[ a, \, b \right ]$, iar pe acest interval $f(x)>0$, atunci \[ \int _a^ (b ) f(x)dx\,>\,0. \] 4. Dacă $f(x)$ este integrabil pe intervalul $\left[ a, \, b \right ]$, atunci pentru orice $c\in (a, \,b)$ integralele \[ \ int _a^ (c) f(x)dx, \quad \int _c^(b) f(x)dx \] converg, de asemenea, și \[ \int _a^(b)f(x)dx=\int _a ^(c ) f(x)dx+\int _c^(b) f(x)dx \] (aditivitatea integralei pe interval).
Luați în considerare integrala \begin(equation) I=\int _0^(1)\frac(1)(x^k)\,dx. (24) \label(mod2) \end(equation) Dacă $k>0$, integrandul tinde spre $\infty$ ca $x \rightarrow +0$, deci integrala este improprie de al doilea fel. Să introducem funcția \[ I(\epsilon)=\int _(\epsilon)^(1)\frac(1)(x^k)\,dx. \] În acest caz, antiderivatul este cunoscut, deci \[ I(\epsilon)=\int _(\epsilon)^(1)\frac(1)(x^k)\,dx\,=\frac(x^(1-k))(1-k )|_(\epsilon)^1= \frac(1)(1-k)-\frac(\epsilon ^(1-k))(1-k). \] pentru $k \neq 1$, \[ I(\epsilon)=\int _(\epsilon)^(1)\frac(1)(x)\,dx\,=lnx|_(\epsilon)^1= -ln \epsilon. \] pentru $k = 1$. Având în vedere comportamentul la $\epsilon \rightarrow +0$, ajungem la concluzia că integrala (20) converge la $k
10.2.2 Teste pentru convergența integralelor improprie de al 2-lea fel
Teorema (primul semn al comparației). Fie $f(x)$, $g(x)$ continuu pentru $x\in (a,\,b)$ și $0 1. Dacă integrala \[ \int _a^(b)g(x) dx \] converge, apoi integrala \[ \int _a^(b)f(x)dx converge. \] 2. Dacă integrala \[ \int _a^(b)f(x)dx \] diverge, atunci integrala \[ \int _a^(b)g(x)dx diverge. \]
Teorema (al doilea criteriu de comparare). Fie $f(x)$, $g(x)$ continuu și pozitiv pentru $x\in (a,\,b)$ și să existe o limită finită
\[ \theta = \lim_(x \rightarrow a+0) \frac(f(x))(g(x)), \quad \theta \neq 0, \, +\infty. \]
Apoi integralele
\[ \int _a^(b)f(x)dx, \quad \int _a^(b)g(x)dx \]
converg sau diverge simultan.
Luați în considerare integrala
\[ I=\int _0^(1)\frac(1)(x+\sin x)\,dx. \]
Integrandul este o funcție pozitivă pe intervalul de integrare, integrandul tinde spre $\infty$ ca $x \rightarrow +0$, deci integrala noastră este o integrală improprie de al doilea fel. În plus, pentru $x \rightarrow +0$ avem: dacă $g(x)=1/x$, atunci
\[ \lim _(x \rightarrow +0)\frac(f(x))(g(x))=\lim _(x \rightarrow +0)\frac(x)(x+\sin x)=\ frac(1)(2) \neq 0,\, \infty \, . \]
Aplicând al doilea criteriu de comparație, ajungem la concluzia că integrala noastră converge sau diverge simultan cu integrala
\[ \int _0^(+1)\frac(1)(x)\,dx . \]
După cum sa arătat în exemplul anterior, această integrală diverge ($k=1$). În consecință, integrala originală diverge.
Calculați integrala improprie sau stabiliți convergența (divergența) acesteia.
1. \[ \int _(0)^(1)\frac(dx)(x^3-5x^2)\,. \] 2. \[ \int _(3)^(7)\frac(x\,dx)((x-5)^2)\,. \] 3. \[ \int _(0)^(1)\frac(x\,dx)(\sqrt(1-x^2))\,. \] 4. \[ \int _(0)^(1)\frac(x^3\,dx)(1-x^5)\,. \] 5. \[ \int _(-3)^(2)\frac(dx)((x+3)^2)\,. \] 6. \[ \int _(1)^(2)\frac(x^2\,dx)((x-1)\sqrt(x-1))\,. \] 7. \[ \int _(0)^(1)\frac(dx)(\sqrt(x+x^2))\,. \] 8. \[ \int _(0)^(1/4)\frac(dx)(\sqrt(x-x^2))\,. \] 9. \[ \int _(1)^(2)\frac(dx)(xlnx)\,. \] 10. \[ \int _(1)^(2)\frac(x^3\,dx)(\sqrt(4-x^2))\,. \] 11. \[ \int _(0)^(\pi /4)\frac(dx)(\sin ^4x)\,. \]
