În unele cazuri, pentru comoditatea rezolvării problemelor, este necesar să se utilizeze planuri de proiecție suplimentare perpendiculare pe planurile de proiecție existente.
Dacă sunt date proiecțiile orizontale și frontale ale unui punct, atunci proiecția profilului este determinată folosind următorul algoritm.
Desenăm o linie de conexiune de proiecție perpendiculară pe axă Oz.
Pe această linie de conexiune de proiecție așezăm un segment O 1 O X =A Z O 3 .
Folosind această regulă, puteți construi proiecții de puncte pe planuri de proiecție suplimentare (metoda de înlocuire a planului).
Să se acorde un punct A(A 2 ,O 1 ) și un nou plan de proiecție suplimentar P 4 P 1 . Construi O 4 – proiecția punctului O pe P 4 .
Soluţie
a) Construim o linie de intersecție a planelor P 1 Şi P 4 = x 1,4 ;
b) Printr-un punct O trageți o linie de comunicare de proiecție x 1,4 .
c) Construim o proiecție O 4 , Folosesc egalitatea de segmente O 2 O X =A 4 O X .
Proiecții în două puncte O 1 Şi O 4 se află pe aceeași linie de conexiune de proiecție perpendiculară pe axă X 1,4 .
Distanța față de „noua” proiecție a punctului O 4 la axa „nouă”. x 1,4 egală cu distanța de la „vechea” proiecție a punctului O 2 la axa „veche”. x 1,2 .
Puncte concurente
Puncte concurente numiți o pereche de puncte situate pe aceeași rază proiectantă.
Dintre cele două puncte concurente, punctul vizibil este cel care se află mai departe de planul de proiecție.
Puncte OŞi ÎN sunt numite concurente pe orizontală.
Puncte CUŞi D sunt numite concurente frontale.
Introduceți un plan suplimentar, astfel încât punctele OŞi ÎN devenit competitiv.
Plan de rezolvare:
1 Construirea unei axe x 1,4 O 1 , B 1 ;
2 Construirea unei linii de comunicare de proiecție x 1,4 ;
3 Pe linia de comunicație de proiecție eliminăm segmente O x O 2 = O / x O 4 , B x B 2 = B / x B 4 .
Material pentru auto-studiu Modelarea obiectelor grafice 2D în sistemul grafic al busolei Lansarea sistemului busola și închiderea
Sistemul KOMPAS-3D-V8 pornește în mod similar cu alte programe. Pentru a porni sistemul trebuie să selectați meniul \ Început\ Toate pprograme\ ASCON\KOMPAS-3D- V8 și fugi BUSOLĂ. Puteți selecta o comandă rapidă a programului cu cursorul mouse-ului pe câmpul de pe desktop și faceți dublu clic pe butonul stâng al mouse-ului. Pentru a deschide un document, trebuie să faceți clic pe butonul Deschide pe panou Standard . Pentru a începe document nou faceți clic pe butonul Crea pe panou Standard sau executați comanda Fişier > Crea iar în caseta de dialog care se deschide, selectați tipul de document care trebuie creat și faceți clic Bine.
Pentru a termina lucrul, selectați meniu Fişier\Ieșire, combinația de taste Alt-F4 sau faceți clic pe butonul Închidere.
Principalele tipuri de documente ale sistemului grafic al busolei
Tipul de document creat în sistemul KOMPAS depinde de tipul de informații stocate în acest document. Fiecare tip de document are o extensie de nume de fișier și o pictogramă proprie.
1 Desen- principalul tip de document grafic din KOMPAS. Desenul conține o imagine grafică a produsului în unul sau mai multe tipuri, o inscripție principală și un cadru. Desenul KOMPAS conține întotdeauna o foaie cu un format specificat de utilizator. Desenul are extensia .cdw.
2 Fragment- un tip auxiliar de document grafic în KOMPAS. Fragmentul diferă de desen prin absența unui cadru, a inscripției principale și a altor obiecte de design ale documentului de proiectare. Magazinul de fragmente a creat soluții standard pentru utilizare ulterioară în alte documente. Fișierul fragment are extensia .frw.
3 Document text(extensia fișierului . kdw);
4 Caietul de sarcini(extensia fișierului . spw);
5 Asamblare(extensia fișierului . o3 d);
6 Detaliu- Modelare 3D (extensie fișier . m3 d);
Capitolul 6. PROIECȚIILE UNUI PUNCT. DESEN COMPLEX
§ 32. Desenul complex al unui punct
Pentru a construi o imagine a unui obiect, elementele sale individuale sunt mai întâi descrise sub forma celor mai simple elemente ale spațiului. Astfel, atunci când înfățișați un corp geometric, ar trebui să construim vârfurile acestuia, reprezentate prin puncte; margini reprezentate prin linii drepte și curbe; feţe reprezentate prin planuri etc.
Regulile pentru construirea imaginilor în desene în grafica de inginerie se bazează pe metoda proiecției. O imagine (proiecție) a unui corp geometric nu ne permite să judecăm forma lui geometrică sau forma celor mai simple imagini geometrice care alcătuiesc această imagine. Astfel, nu se poate judeca poziția unui punct în spațiu numai după proiecția sa; poziţia sa în spaţiu este determinată de două proiecţii.
Să luăm în considerare un exemplu de construcție a unei proiecții a unui punct O, situat în spaţiul unui unghi diedru (Fig. 60). Vom plasa unul dintre planurile de proiecție pe orizontală și îl vom numi plan orizontal de proiecție si noteaza cu litera P 1. Proiecții de elemente
spațiile de pe el vor fi notate cu indexul 1: A 1, a 1, S 1 ... și sună proiecții orizontale(puncte, drepte, plane).
Vom plasa al doilea plan vertical în fața observatorului, perpendicular pe primul, să-l numim plan vertical de proiecție si denota P 2. Vom nota proiecțiile elementelor spațiale de pe el cu indicele 2: A 2, 2 și sunați proiecții frontale(puncte, drepte, plane). Să numim linia de intersecție a planurilor de proiecție axa de proiecție.
Să proiectăm un punct O ortogonal pe ambele planuri de proiecție:
AA 1 _|_ P 1 ;AA 1 ^P 1 =A 1 ;
AA 2 _|_ P 2 ;AA 2 ^P 2 =A 2 ;
Raze de proiecție AA 1 și AA 2 reciproc perpendiculare și creează un plan proiectat în spațiu AA 1 AA 2, perpendicular pe ambele părți ale proiecțiilor. Acest plan intersectează planurile de proiecție de-a lungul liniilor care trec prin proiecțiile punctului O.
Pentru a obține un desen plat, combinați planul orizontal al proiecțiilor P 1 cu planul frontal P 2 rotindu-se în jurul axei P 2 / P 1 (Fig. 61, a). Atunci ambele proiecții ale punctului vor fi pe aceeași linie perpendiculară pe axa P 2 / P 1. Drept A 1 A 2, conectarea orizontală A 1şi frontală A 2 proiecția unui punct se numește linie verticală de comunicare.
Desenul plat rezultat se numește desen complex. Este o imagine a unui obiect pe mai multe planuri combinate. Un desen complex format din două proiecții ortogonale interconectate se numește două proiecții. În acest desen, proiecțiile orizontale și frontale ale punctelor se află întotdeauna pe aceeași linie verticală de conectare.
Două proiecții ortogonale interconectate ale unui punct determină în mod unic poziția acestuia față de planurile de proiecție. Dacă determinăm poziția punctului O faţă de aceste planuri (Fig. 61, b) înălţimea acestuia h (AA 1 =h)și adâncimea f(AA 2 =f ), apoi acestea cantitățile dintr-un desen complex există ca segmente ale unei linii de comunicație verticale. Această împrejurare face ușoară reconstrucția desenului, adică determinarea din desen a poziției punctului față de planurile de proiecție. Pentru a face acest lucru, este suficient în punctul A 2 al desenului să restabiliți o perpendiculară pe planul desenului (considerându-l frontal) cu o lungime egală cu adâncimea. f. Capătul acestei perpendiculare va determina poziția punctului O raportat la planul de desen.
60.gif
Imagine:
61.gif
Imagine:
7. Întrebări de autotest
ÎNTREBĂRI DE AUTOTESTARE
4. Cum se numește distanța care determină poziția unui punct față de planul de proiecție? P 1, P 2?
7. Cum se construiește o proiecție suplimentară a unui punct pe un plan P 4 _|_ P 2 , P 4 _|_ P 1 , P 5 _|_ P 4 ?
9. Cum puteți construi un desen complex al unui punct folosind coordonatele acestuia?
33. Elemente ale unui desen complex cu trei proiecții a unui punct
§ 33. Elemente ale unui desen complex cu trei proiecții a unui punct
Pentru a determina poziția unui corp geometric în spațiu și pentru a obține informații suplimentare despre imaginile acestora, poate fi necesar să construiți o a treia proiecție. Apoi al treilea plan de proiecție este situat în dreapta observatorului, perpendicular pe planul de proiecție orizontal în același timp P 1 iar planul frontal al proiecţiilor P 2 (Fig. 62, a). Ca rezultat al intersectării frontalului P 2
și profilul P 3
planuri de proiecție obținem o nouă axă P 2 / P 3 ,
care se află pe desenul complex paralel cu linia verticală de comunicaţie A 1 A 2(Fig. 62, b). Al treilea punct de proiecție O- profil - pare a fi asociat cu proiecția frontală A 2 o nouă linie de comunicare numită orizontală
Orez. 62
Noah. Proiecțiile frontale și de profil ale punctelor se află întotdeauna pe aceeași linie orizontală de conectare. În plus A 1 A 2 _|_ A 2 A 1Şi A 2 A 3 , _| _ P 2 / P 3 .
Poziția unui punct în spațiu în acest caz este caracterizată de sa latitudine- distanța de la acesta până la planul de profil al proiecțiilor P 3, pe care o notăm cu litera r.
Desenul complex rezultat al unui punct se numește cu trei proiecții.
Într-un desen cu trei proiecții, adâncimea unui punct AA 2 este proiectat fără distorsiuni pe planurile P 1 și P 2 (Fig. 62, O). Această împrejurare ne permite să construim o a treia proiecție frontală a punctului O de-a lungul orizontalei sale A 1şi frontală A 2 proiecții (Fig. 62, V). Pentru a face acest lucru, trebuie să desenați o linie de comunicare orizontală prin proiecția frontală a punctului A 2 A 3 _|_A 2 A 1 . Apoi, oriunde în desen, desenați axa de proiecție P 2 / P 3 _|_ A 2 A 3, măsurați adâncimea f a unui punct pe orizontală
câmpul de proiecție și plasați-l de-a lungul liniei orizontale de conectare de pe axa de proiecție P 2 / P 3. Să obținem o proiecție de profil A 3 puncte O.
Astfel, într-un desen complex format din trei proiecții ortogonale ale unui punct, două proiecții sunt pe aceeași linie de legătură; liniile de comunicație sunt perpendiculare pe axele de proiecție corespunzătoare; două proiecții ale unui punct determină complet poziția celei de-a treia proiecții a acestuia.
Trebuie remarcat faptul că în desenele complexe, de regulă, planurile de proiecție nu sunt limitate și poziția lor este specificată de axe (Fig. 62, c). În cazurile în care condițiile problemei nu impun acest lucru,
Se pare că proiecțiile punctelor pot fi date fără a reprezenta axele (Fig. 63, a, b). Un astfel de sistem se numește fără bază. Liniile de comunicare pot fi trasate și cu o pauză (Fig. 63, b).
62.gif
Imagine:
63.gif
Imagine:
34. Poziția unui punct în spațiul unghiular tridimensional
§ 34. Poziţia unui punct în spaţiul unui unghi tridimensional
Locația proiecțiilor punctelor într-un desen complex depinde de poziția punctului în spațiul unui unghi tridimensional. Să ne uităm la câteva cazuri:
- punctul este situat în spațiu (vezi Fig. 62). In acest caz are adancime, inaltime si latime;
- punctul este situat pe planul de proiecție P 1- nu are inaltime, P 2 - nu are adancime, Pz - nu are latime;
- punctul este situat pe axa proiecțiilor, P 2 / P 1 nu are adâncime și înălțime, P 2 / P 3 nu are adâncime și latitudine, iar P 1 / P 3 nu are înălțime și latitudine.
35. Puncte concurente
§ 35. Puncte concurente
Două puncte din spațiu pot fi localizate în moduri diferite. Într-un caz separat, ele pot fi amplasate astfel încât proiecțiile lor pe un plan de proiecție să coincidă. Se numesc astfel de puncte concurând.În fig. 64, O este oferit un desen cuprinzător al punctelor OŞi ÎN. Sunt amplasate astfel încât proiecțiile lor să coincidă pe plan P 1 [A 1 == B 1 ]. Se numesc astfel de puncte concurând pe orizontală. Dacă proiecţiile punctelor A și B coincid în avion
P 2(Fig. 64, b), sunt numiti concurând frontal.Și dacă proiecțiile punctelor OŞi ÎN coincid pe planul P 3 [A 3 == B 3 ] (Fig. 64, c), se numesc concurenți de profil.
Vizibilitatea în desen este determinată de punctele concurente. Pentru punctele concurente orizontal va fi vizibil cel cu inaltime mai mare, pentru punctele concurente frontal va fi vizibil cel cu adancime mai mare, iar pentru punctele concurente de profil va fi vizibil cel cu latitudine mai mare.
64.gif
Imagine:
36. Înlocuirea planurilor de proiecție
§ 36. Înlocuirea planurilor de proiecție
Proprietățile unui desen cu trei proiecții a unui punct permit utilizarea proiecțiilor sale orizontale și frontale pentru a construi o treime pe alte planuri de proiecție introduse pentru a le înlocui pe cele date.
În fig. 65, O punct care arată O iar proiecțiile sale sunt orizontale A 1şi frontală A 2.În funcție de condițiile problemei, este necesară înlocuirea planurilor P 2. Să notăm noul plan de proiecție P 4 și să-l plasăm perpendicular pe P 1. La intersectia avioanelor P 1și P 4 obținem o nouă axă P 1 / P 4 .
Noua proiectie punctuala A 4 va fi situat pe
linie de comunicație care trece printr-un punct A 1și perpendicular pe axa P 1 / P 4 .
De la noul avion P 4înlocuiește planul de proiecție frontală P 2, înălțimea punctului O este înfățișat în mod egal în dimensiune completă atât în planul P2, cât și în planul P4.
Această împrejurare ne permite să determinăm poziția proiecției A 4,într-un sistem de avioane P 1 _|_ P 4(Fig. 65, b) pe un desen complex. Pentru a face acest lucru, este suficient să măsurați înălțimea punctului de pe planul înlocuit
a proiecției P 2, puneți-o pe o nouă linie de legătură din noua axă de proiecții - și o nouă proiecție a punctului A 4 va fi construit.
Dacă se introduce un nou plan de proiecție în locul planului de proiecție orizontal, adică P 4 _|_ P 2 (Fig. 66, O), atunci în noul sistem de planuri noua proiecție a punctului va fi pe aceeași linie de comunicație cu proiecția frontală și A 2 A 4 _|_.În acest caz, adâncimea punctului este aceeași pe plan P 1, iar în avion P 4. Pe această bază ei construiesc A 4(Fig. 66, b) pe linia de comunicare A 2 A 4 la o asemenea distanţă de noua axă P 1 / P 4 la ce A 1 situat de pe axa P 2 / P 1.
După cum sa menționat deja, construirea de noi proiecții suplimentare este întotdeauna asociată cu sarcini specifice. În viitor, vor fi luate în considerare o serie de probleme metrice și de poziție care pot fi rezolvate folosind metoda înlocuirii planurilor de proiecție. În problemele în care introducerea unui plan suplimentar nu va da rezultatul dorit, se introduce un alt plan suplimentar, care este desemnat P 5. Este plasat perpendicular pe planul deja introdus P 4 (Fig. 67, a), adică P 5 P 4 și produc o construcție similară celor discutate anterior. Acum distanțele sunt măsurate pe secunda înlocuită a planurilor principale de proiecție (în Fig. 67, bîn avion P 1)și amânați-le pe o nouă linie de comunicare A 4 A 5, din noua axă de proiecție P 5 / P 4. În noul sistem de plane P 4 P 5 se obține un nou desen cu două proiecții, constând din proiecții ortogonale A 4și A 5 , conectate prin linie de comunicație
Suprafețele poliedrelor, așa cum se știe, sunt limitate de figuri plane. În consecință, punctele definite pe suprafața unui poliedru de cel puțin o proiecție sunt, în cazul general, puncte definite. Același lucru este valabil și pentru suprafețele altor corpuri geometrice: cilindru, con, bilă și tor, delimitate de suprafețe curbe.
Să fim de acord să descriem punctele vizibile aflate pe suprafața corpului ca cercuri, punctele invizibile ca cercuri înnegrite (puncte); Liniile vizibile vor fi reprezentate ca linii continue, iar liniile invizibile ca linii întrerupte.
Să fie dată proiecția orizontală A 1 a punctului A aflat pe suprafața unei prisme triunghiulare dreptunghiulare (Fig. 162, a).
TBegin-->Tend-->
După cum se poate observa din desen, bazele din față și din spate ale prismei sunt paralele cu planul frontal al proiecțiilor P 2 și sunt proiectate pe acesta fără distorsiuni, fața laterală inferioară a prismei este paralelă cu planul orizontal al proiecțiilor P. 1 și este, de asemenea, proiectat fără distorsiuni. Marginile laterale ale prismei sunt linii drepte proiectate frontal, prin urmare sunt proiectate sub formă de puncte pe planul frontal al proiecțiilor P 2.
Din moment ce proiecția A 1. este reprezentat de un cerc de lumină, apoi punctul A este vizibil și, prin urmare, este situat pe partea dreaptă a prismei. Această față este un plan frontal, iar proiecția frontală a punctului A2 trebuie să coincidă cu proiecția frontală a planului, reprezentată printr-o linie dreaptă.
Trasând o dreaptă constantă k 123, găsim a treia proiecție A 3 a punctului A. Când este proiectat pe planul de profil al proiecțiilor, punctul A va fi invizibil, de aceea punctul A 3 este reprezentat ca un cerc înnegrit. Specificarea punctului prin proiecția frontală B 2 este incertă, deoarece nu determină distanța punctului B de la baza frontală a prismei.
Să construim o proiecție izometrică a prismei și a punctului A (Fig. 162, b). Este convenabil să începeți construcția de la baza frontală a prismei. Construim un triunghi de baza dupa dimensiunile luate din desenul complex; de-a lungul axei y" trasăm mărimea muchiei prismei. Construim imaginea axonometrică A" a punctului A folosind o linie întreruptă de coordonate, conturată în ambele desene cu o linie dublă subțire.
Să fie dată o proiecție frontală C 2 a unui punct C situat pe suprafața unei piramide patruunghiulare regulate definite de două proiecții principale (Fig. 163, a). Este necesar să se construiască trei proiecții ale punctului C.
Din proiecția frontală se poate observa că vârful piramidei este mai înalt decât baza pătrată a piramidei. În această condiție, toate cele patru fețe laterale vor fi vizibile atunci când sunt proiectate pe planul orizontal al proiecțiilor P 1. Când proiectați proiecțiile P2 pe planul frontal, va fi vizibilă doar fața frontală a piramidei. Deoarece proiecția C 2 este prezentată în desen ca un cerc de lumină, punctul C este vizibil și aparține feței frontale a piramidei. Pentru a construi o proiecție orizontală C 1, trasăm prin punctul C 2 o dreaptă auxiliară D 2 E 2, paralelă cu linia bazei piramidei. Găsim proiecția sa orizontală D 1 E 1 și punctul C 1 pe ea Dacă există o a treia proiecție a piramidei, găsim proiecția orizontală a punctului C 1 mai simplu: după ce am găsit proiecția de profil C 3, folosind două proiecții. construiți un al treilea folosind linii de comunicare orizontale și orizontale-verticale. Progresul construcției este prezentat în desen prin săgeți.
TBegin--> 
TEnd-->
Să construim o proiecție dimetrică a piramidei și a punctului C (Fig. 163, b). Construim baza piramidei; pentru a face acest lucru, prin punctul O" luat pe axa r", desenăm axele x" și y"; De-a lungul axei x trasăm dimensiunile reale ale bazei, iar de-a lungul axei y trasăm dimensiunile înjumătățite. Prin punctele obtinute trasam drepte paralele cu axele x" si y". De-a lungul axei z" trasăm înălțimea piramidei; conectăm punctul rezultat cu punctele bazei, ținând cont de vizibilitatea marginilor. Pentru a construi punctul C, folosim o linie întreruptă de coordonate, conturată în desene cu o linie dublă subțire Pentru a verifica acuratețea soluției, trasăm prin punctul găsit C o dreaptă D „E”, axa x paralelă. Lungimea sa trebuie să fie egală cu lungimea dreptei D 2 E 2 (sau D 1 E 1).
PROIECȚIILE UNUI PUNCT.
SISTEM ORTOGONAL DE DOUĂ PLANURI DE PROIECȚII.
Esența metodei de proiecție ortogonală este că un obiect este proiectat pe două plane reciproc perpendiculare prin raze ortogonale (perpendiculare) pe aceste planuri.
Unul dintre planurile de proiecție H este plasat orizontal, iar al doilea V este plasat vertical. Planul H se numește plan orizontal al proiecțiilor, V se numește plan frontal. Planurile H și V sunt infinite și opace. Linia de intersecție a planurilor de proiecție se numește axa de coordonate și este desemnată BOU. Planurile de proiecție împart spațiul în patru unghiuri diedrice - sferturi.
Când luăm în considerare proiecțiile ortogonale, se presupune că observatorul se află în primul trimestru la o distanță infinit de mare de planurile de proiecție. Deoarece aceste planuri sunt opace, doar acele puncte, linii și figuri care sunt situate în același prim sfert vor fi vizibile pentru observator.
Când construiți proiecții, este necesar să rețineți că proiecția ortogonală a unui punctbaza unei perpendiculare trase dintr-un punct dat se numește planla acest avion.
Figura arată un punct Oși proiecțiile sale ortogonale a 1Şi a 2.
Punct a 1 numit proiecție orizontală puncte O, punct a 2- ea proiecție frontală. Fiecare dintre ele este baza unei perpendiculare trase dintr-un punct O respectiv în avion HŞi V.
Se poate dovedi că proiecția punctuluimereu situate pe linii drepte, perpendiculareaxa cularăOH și intersectând această axăin acelasi punct.Într-adevăr, proiectând raze Oa 1Şi Oa 2 definiți un plan perpendicular pe planurile de proiecție și linia de intersecție a acestora - axa OH. Acest plan se intersectează HŞi Vîn linii drepte a 1 axŞi a 1 ax, care se formează cu axa BOU iar unul cu celălalt unghiuri drepte cu vârful în punct Ox.
Este adevărat și contrariul, adică. dacă punctele sunt date pe planuri de proiecțieo 1 Şi o 2 , situate pe linii drepte care se intersectează axă BOUîntr-un punct dat într-un unghi drept,atunci sunt proiecții ale unorapunctul A. Acest punct este determinat de intersecția perpendicularelor construite din puncte o 1 Şi o 2 la avioane HŞi V.
Rețineți că poziția planurilor de proiecție în spațiu poate fi diferită. De exemplu, ambele planuri, fiind reciproc perpendiculare, pot fi verticale Dar chiar și în acest caz, ipoteza dovedită mai sus despre orientarea proiecțiilor opuse ale punctelor față de axă rămâne valabilă.
Pentru a obține un desen plat format din proiecțiile de mai sus, planul H combinate prin rotire în jurul unei axe BOU cu avionul V, după cum arată săgețile din figură. Ca rezultat, semiplanul din față H va fi aliniat cu semiplanul inferior V, și semiplanul din spate H- cu semiplan superior V.
Un desen de proiecție în care planurile de proiecție cu tot ceea ce este reprezentat pe ele sunt combinate într-un anumit fel unele cu altele se numește diagramă(din franceza epure - desen). Figura prezintă o diagramă a unui punct O.
Cu această metodă de combinare a avioanelor HŞi V proiecții o 1 Şi o 2 vor fi situate pe aceeași perpendiculară pe axă BOU. În acest caz, distanța o 1 un x — de la proiecția orizontală a unui punct spre axă BOU O a aviona V, și distanța o 2 un x — de la proiecția frontală a unui punct spre axă BOU egală cu distanța de la punctul însuși O a aviona H.
Să fim de acord să numim drepte care conectează proiecțiile opuse ale unui punct pe o diagramă linii de comunicare de proiecție.
Poziția proiecțiilor punctelor pe diagramă depinde de sfertul în care se află punctul dat. Deci, dacă ideea ÎN situat în al doilea trimestru, apoi după combinarea planurilor ambele proiecții vor părea să se afle deasupra axei BOU.
Dacă punctul CU este în al treilea trimestru, apoi proiecția sa orizontală, după combinarea planurilor, va fi deasupra axei, iar proiecția sa frontală va fi sub axa BOU. În cele din urmă, dacă punctul D este situat în al patrulea trimestru, apoi ambele proiecții vor fi sub axă BOU. Figura arată punctele MŞi N, întins pe planurile de proiecție. În această poziție, punctul coincide cu una dintre proiecțiile sale, în timp ce cealaltă proiecție se dovedește a fi situată pe axă. BOU. Această caracteristică se reflectă și în denumire: lângă proiecția cu care punctul însuși coincide, se scrie o literă majusculă fără index.
De asemenea, trebuie remarcat faptul că cele două proiecții ale unui punct coincid. Acest lucru se va întâmpla dacă punctul se află în al doilea sau al patrulea trimestru la aceeași distanță de planurile de proiecție. Ambele proiecții sunt combinate cu punctul însuși dacă acesta din urmă este situat pe axă BOU.
SISTEM ORTOGONAL DIN TREI PLANURI DE PROIECȚII.
S-a arătat mai sus că două proiecții ale unui punct determină poziția acestuia în spațiu. Deoarece fiecare figură sau corp este o colecție de puncte, se poate argumenta că două proiecții ortogonale ale unui obiect (dacă există denumiri de litere) determină complet forma acestuia.
Cu toate acestea, în practică, imagini structuri de constructii, mașini și diverse structuri de inginerie este nevoie de a crea proiecții suplimentare. Ei fac acest lucru doar cu scopul de a face desenul de proiecție mai clar și mai lizibil.
Modelul a trei planuri de proiecție este prezentat în figură. Al treilea plan, perpendicular și HŞi V, notat cu litera W si se numeste profil.
Proiecțiile punctelor pe acest plan vor fi numite și profil și sunt desemnate cu majuscule sau cifre cu indicele 3 (oh,bh,cz,...1z, 2z, 3 3...).
Planurile de proiecție, care se intersectează în perechi, definesc trei axe: DESPREX, DESPREYŞi DESPREZ, care poate fi considerat ca un sistem de coordonate carteziene dreptunghiulare în spațiu cu începutul în punctul O. Sistemul de semne indicat în figură corespunde „sistemului de coordonate dreapta”.
Trei planuri de proiecție împart spațiul în opt unghiuri triedrice - acestea sunt așa-numitele octanți. Numerotarea octanților este dată în figură.
Pentru a obține o diagramă a planului HŞi W rotiți așa cum se arată în figură până când este aliniat cu planul V. Ca rezultat al rotației, semiplanul frontal H se dovedește a fi combinat cu semiplanul inferior V, și semiplanul din spate H- cu semiplan superior V. Când este rotit cu 90° în jurul unei axe DESPREZ semiplan anterior W se aliniază cu semiplanul drept V, și semiplanul din spate W- cu semiplan stânga V.
Vederea finală a tuturor planurilor de proiecție combinate este dată în figură. În acest desen axele DESPREXŞi DESPREZ, culcat într-un plan fix V, sunt reprezentate o singură dată, iar axa DESPREY arătat de două ori. Acest lucru se explică prin faptul că, rotindu-se cu avionul H, axa DESPREY pe diagramă se combină cu axa DESPREZ, si rotindu-se cu avionul W, aceeași axă este aliniată cu axa DESPREX.
În viitor, la desemnarea axelor pe diagramă, semiaxele negative (— DESPREX, — DESPREY, — DESPREZ) nu va fi indicat.
TREI COORDONATE ȘI TREI PROIECȚII ALE UNUI PUNCT ȘI RAZUL-VECTOR AL SĂU.
Coordonatele sunt numere carepotriviți punctul pentru a determinaschimbându-și poziția în spațiu sau pesuprafete.
În spațiul tridimensional, poziția unui punct este determinată cu ajutorul coordonatelor carteziene dreptunghiulare x, yŞi z.
Coordona X numit abscisă, la— ordonatăŞi z — aplica. Abscisă X determină distanța de la un punct dat la un plan W, ordonata y - a aviona Vși aplicați z - a aviona H. După ce am adoptat sistemul prezentat în figură pentru a măsura coordonatele unui punct, vom compune un tabel de semne de coordonate în toți cei opt octanți. Orice punct din spațiu O, date prin coordonate se vor nota astfel: O(x, y,z).
Dacă x = 5, y = 4 și z = 6, atunci intrarea va lua următoarea formă O(5, 4, 6). Acest punct O, ale căror coordonate sunt pozitive, este în primul octant
Coordonatele punctului O sunt în același timp coordonatele vectorului său de rază
OA cu privire la origine. Dacă i, j, k— vectori unitari direcționați respectiv de-a lungul axelor de coordonate x, y,z(poza), atunci
OA =DESPREA x i+OAyj + OAzk , Unde OA X, OA U, OA g - coordonate vectoriale OA
Se recomandă construirea unei imagini a punctului în sine și a proiecțiilor acestuia pe un model spațial (figură) folosind un paralelipiped dreptunghiular coordonat. În primul rând, pe axele de coordonate din punct DESPRE așezați segmente corespunzător egale 5, 4 și 6 unități de lungime. Pe aceste segmente (DESPREun x , DESPREun y , DESPREa z ), ca si pe margini se construieste un paralelipiped dreptunghiular. Vârful acestuia, opus originii, va determina punctul dat O. Este ușor de văzut că pentru a determina un punct O este suficient să construiești doar trei margini ale paralelipipedului, de exemplu DESPREun x , a x a 1 Şi o 1 O sau DESPREun y , a y a 1 Şi o 1 O etc. Aceste muchii formează o polilinie de coordonate, a cărei lungime a fiecărei legături este determinată de coordonatele corespunzătoare punctului.
Cu toate acestea, construirea unui paralelipiped vă permite să determinați nu numai punctul O, dar și toate cele trei proiecții ortogonale ale sale.
Raze care proiectează un punct pe un plan H, V, W sunt acele trei margini ale paralelipipedului care se intersectează în punct O.
Fiecare dintre proiecțiile ortogonale ale unui punct O, fiind situat pe un plan, acesta este determinat doar de două coordonate.
Deci, proiecție orizontală o 1 determinate de coordonate XŞi y, proiecție frontală o 2 - coordonatele x șiz, proiecția profilului o 3 — coordonate laŞi z. Dar oricare două proiecții sunt determinate de trei coordonate. De aceea, specificarea unui punct cu două proiecții este echivalentă cu specificarea unui punct cu trei coordonate.
Pe diagramă (desen), unde toate planurile de proiecție sunt combinate, proiecțiile o 1 Şi o 2 va fi pe aceeași perpendiculară pe axă DESPREX, și proiecții o 2 Şi o 3 — pe una perpendiculară pe axă OZ.
În ceea ce privește proiecțiile o 1 Şi o 3 , apoi sunt conectate prin linii drepte o 1 un yŞi o 3 un y , perpendicular pe ax DESPREY. Dar din moment ce această axă ocupă două poziții pe diagramă, atunci segmentul o 1 un y nu poate fi o continuare a unui segment o 3 un y .
Construirea proiecțiilor punctuale A (5, 4, 6) pe diagrama conform coordonate date efectuată în următoarea succesiune: în primul rând, se trasează un segment pe axa absciselor de la originea coordonatelor DESPREun x = x(în cazul nostru x =5), apoi prin punct un x trageți perpendicular pe axă DESPREX, pe care, ținând cont de semne, trasăm segmentele a x a 1 = y(primim o 1 ) Şi a x a 2 = z(primim o 2 ). Rămâne să construim o proiecție de profil a punctului o 3 . Deoarece profilul și proiecțiile frontale ale punctului trebuie să fie situate pe aceeași perpendiculară pe axă OZ , apoi prin o 3 efectuează direct o 2 a z ^ OZ.
În cele din urmă, apare ultima întrebare: la ce distanță de axă DESPREZ ar trebui sa fie un 3?
Luând în considerare paralelipipedul de coordonate (vezi figura), ale cărui margini a z a 3 = O un y = a x a 1 = y concluzionăm că distanţa necesară a z a 3 egală u. Segment a z a 3 așezat la dreapta axei OZ dacă y>0 și la stânga dacă y
Să vedem ce schimbări vor avea loc pe diagramă atunci când punctul începe să-și schimbe poziția în spațiu.
Să fie, de exemplu, un punct A (5, 4, 6) se va deplasa în linie dreaptă perpendiculară pe plan V. Cu o astfel de mișcare, doar o coordonată se va schimba y, arătând distanța de la un punct la un plan V. Coordonatele vor rămâne constante x șiz , iar proiecția punctului determinată de aceste coordonate, i.e. o 2 nu își va schimba poziția.
În ceea ce privește proiecțiile o 1 Şi o 3 , atunci primul va începe să se apropie de axă DESPREX, al doilea - la axă DESPREZ. În figuri, noua poziție a punctului corespunde denumirii o 1 (o 1 1 o 2 1 o 3 1 ). În momentul în care punctul se află în avion V(y = 0), două dintre cele trei proiecții ( o 1 2 Şi o 3 2 ) se va întinde pe topoare.
Fiind mutat din eu octant în II, punctul va începe să se îndepărteze de avion V, coordonate la devine negativă, valoarea sa absolută va crește. Proiecția orizontală a acestui punct, fiind situat pe semiplanul din spate H, pe diagramă va fi deasupra axei DESPREX, iar proiecția profilului, fiind pe semiplanul din spate W, pe diagramă va fi în stânga axei DESPREZ. Ca întotdeauna, un segment a zo 3 3 = y.
În diagramele ulterioare nu vom indica cu litere punctele de intersecție a axelor de coordonate cu liniile de legătură de proiecție. Acest lucru va simplifica într-o oarecare măsură desenul.
În viitor, vor exista diagrame fără axe de coordonate. Aceasta este ceea ce se face în practică atunci când înfățișați obiecte, când doar imaginea în sine este semnificativăținerea obiectului și nu poziția relativă a acestuiaîn special planuri de proiecţie.
Planurile de proiecție în acest caz sunt determinate cu o precizie doar până la translația paralelă (figura). Ele sunt de obicei mutate paralel cu ei înșiși, astfel încât toate punctele obiectului să fie deasupra planului Hși în fața avionului V. Deoarece poziția axei X 12 se dovedește a fi incertă, formarea diagramei în acest caz nu trebuie să fie asociată cu rotația planurilor în jurul axei de coordonate. Când mergi la diagrama plană HŞi V sunt combinate astfel încât proiecțiile opuse ale punctelor să fie situate pe linii verticale.
Diagrama fără axe a punctelor A și B(desen) Nudetermină pozițiile lor în spațiu,dar permite să se judece orientarea lor relativă. Astfel, segmentul △x caracterizează deplasarea punctului O relativ la punct ÎNîntr-o direcție paralelă cu planurile H și V Cu alte cuvinte, △x indică cât de departe este punctul O situat în stânga punctului ÎN. Deplasarea relativă a unui punct pe direcția perpendiculară pe planul V este determinată de segmentul △y, adică punctul Și înîn exemplul nostru mai aproape de observator decât de punct ÎN, la o distanță egală cu △y.
În cele din urmă, segmentul △z arată excesul punctului O deasupra punctului ÎN.
Susținătorii studiului fără axe a unui curs de geometrie descriptivă subliniază pe bună dreptate că atunci când rezolvi multe probleme se poate face fără axe de coordonate. Cu toate acestea, abandonarea completă a acestora nu poate fi considerată recomandabilă. Geometria descriptivă este concepută pentru a pregăti viitorul inginer nu numai pentru execuția competentă a desenelor, ci și pentru rezolvarea diferitelor probleme tehnice, printre care problemele de statică și mecanică spațială ocupă cel mai puțin loc. Și pentru aceasta este necesar să se dezvolte capacitatea de a orienta acest sau acel obiect în raport cu axele de coordonate carteziene. Aceste abilități vor fi, de asemenea, necesare atunci când se studiază astfel de secțiuni ale geometriei descriptive precum perspectiva și axonometria. Prin urmare, pe o serie de diagrame din această carte salvăm imagini ale axelor de coordonate. Astfel de desene determină nu numai forma obiectului, ci și locația acestuia în raport cu planurile de proiecție.
Proiectarea unui punct pe trei plane de proiecții unghiulare de coordonate începe cu obținerea imaginii acestuia pe planul H - planul de proiecție orizontal. Pentru a face acest lucru, un fascicul de proiecție este trecut prin punctul A (Fig. 4.12, a) perpendicular pe planul H.
În figură, perpendiculara pe planul H este paralelă cu axa Oz. Punctul de intersecție al grinzii cu planul H (punctul a) este ales arbitrar. Segmentul Aa determină la ce distanță se află punctul A față de planul H, indicând astfel în mod clar poziția punctului A din figură în raport cu planurile de proiecție. Punctul a este o proiecție dreptunghiulară a punctului A pe planul H și se numește proiecția orizontală a punctului A (fig. 4.12, a).
Pentru a obține o imagine a punctului A pe planul V (Fig. 4.12,b), un fascicul de proiecție este trecut prin punctul A perpendicular pe planul frontal al proiecțiilor V. În figură, perpendiculara pe planul V este paralelă cu axa Oy . Pe planul H, distanța de la punctul A la planul V va fi reprezentată de segmentul aa x, paralel cu axa Oy și perpendicular pe axa Ox. Dacă ne imaginăm că raza proiectată și imaginea ei sunt efectuate simultan în direcția planului V, atunci când imaginea razei intersectează axa Ox în punctul a x, raza va intersecta planul V în punctul a." Desen din punctul ax din planul V o perpendiculară pe axa Ox, care este imaginea razei proiectante Aa pe planul V, la intersecția cu raza proiectantă, se obține punctul a." Punctul a" este proiecția frontală a punctului A, adică imaginea acestuia pe planul V.
Imaginea punctului A pe planul de proiecție a profilului (Fig. 4.12, c) este construită folosind un fascicul proiectat perpendicular pe planul W În figură, perpendiculara pe planul W este paralelă cu axa Ox. Raza proiectată din punctul A în planul W pe planul H va fi reprezentată printr-un segment aa y, paralel cu axa Ox și perpendicular pe axa Oy. Din punctul Oy, paralel cu axa Oz și perpendicular pe axa Oy, se construiește o imagine a razei proiectante aA și la intersecția cu raza proiectantă se obține punctul a." Punctul a" este o proiecție de profil a punctului A , adică o imagine a punctului A pe planul W.
Punctul a" poate fi construit desenând din punctul a" un segment a"a z (imaginea razei proiectate Aa" pe planul V) paralel cu axa Ox, iar din punctul a z - un segment a"a z paralel cu Oy axa până când se intersectează cu raza proiectantă.
După ce au primit trei proiecții ale punctului A pe planurile de proiecție, unghiul de coordonate este extins într-un singur plan, așa cum se arată în Fig. 4.11,b, împreună cu proiecțiile punctului A și razele proeminente, și punctul A și razele proeminente Aa, Aa" și Aa" sunt îndepărtate. Muchiile planurilor de proiecție combinate nu sunt desenate, ci sunt desenate doar axele de proiecție Oz, Oy și Ox, Oy 1 (Fig. 4.13).
Analiza desenului ortogonal al punctului arată că trei distanțe - Aa", Aa și Aa" (Fig. 4.12, c), care caracterizează poziția punctului A în spațiu, pot fi determinate prin aruncarea obiectului de proiecție în sine - punctul A, pe un unghi de coordonate transformat într-un singur plan (Fig. 4.13). Segmentele a"a z, aa y și Oa x sunt egale cu Aa" ca laturi opuse ale dreptunghiurilor corespunzătoare (Fig. 4.12c și 4.13). Ele determină distanța la care punctul A este situat față de planul de proiecție a profilului. Segmentele a"a x, a"a y1 și Oa y sunt egale cu segmentul Aa, definind distanța de la punctul A la planul orizontal de proiecție, segmentele aa x, a"a z și Oa y 1 sunt egale cu segmentul Aa ", definind distanța de la punctul A la planul frontal al proiecțiilor.
Segmentele Oa x, Oa y și Oa z, situate pe axele de proiecție, sunt o expresie grafică a dimensiunilor coordonatelor X, Y și Z ale punctului A. Coordonatele punctului sunt indicate cu indexul literei corespunzătoare. . Măsurând dimensiunea acestor segmente, puteți determina poziția punctului în spațiu, adică setați coordonatele punctului.
Pe diagramă, segmentele a"a x și aa x sunt situate ca o singură dreaptă perpendiculară pe axa Ox, iar segmentele a"a z și a"a z - pe axa Oz. Aceste linii se numesc linii de legătură de proiecție. Ele intersectează axele de proiecție în punctele ax și respectiv a z Linia de legătură a proiecției care leagă proiecția orizontală a punctului A cu cea a profilului s-a dovedit a fi „tăiată” în punctul a y.
Două proiecții ale aceluiași punct sunt întotdeauna situate pe aceeași linie de conexiune de proiecție, perpendiculară pe axa proiecțiilor.
Pentru a reprezenta poziția unui punct în spațiu, sunt suficiente două dintre proiecțiile sale și o origine dată (punctul O). 4.14, b, două proiecții ale unui punct determină complet poziția acestuia în spațiu Folosind aceste două proiecții, este posibil să se construiască o proiecție de profil a punctului A. Prin urmare, în viitor, dacă nu este nevoie de o proiecție de profil, diagrame. va fi construit pe două planuri de proiecție: V și H.
Orez. 4.14. Orez. 4.15.
Să ne uităm la câteva exemple de construire și citire a unui desen al unui punct.
Exemplul 1. Determinarea coordonatelor punctului J specificate pe diagramă în două proiecții (Fig. 4.14). Se măsoară trei segmente: segmentul OB X (coordonată X), segmentul b X b (coordonată Y) și segmentul b X b" (coordonată Z). Coordonatele se scriu în următoarea ordine: X, Y și Z, după litera desemnarea punctului, de exemplu, B20 15;
Exemplul 2. Construirea unui punct la coordonate date. Punctul C este dat de coordonatele C30; 10; 40. Pe axa Ox (Fig. 4.15) găsiți punctul c x în care linia de legătură a proiecției intersectează axa de proiecție. Pentru a face acest lucru, coordonata X (dimensiunea 30) este trasată de-a lungul axei Ox de la origine (punctul O) și se obține un punct cu x. Prin acest punct este trasată o linie de conexiune de proiecție perpendiculară pe axa Ox și coordonata Y (dimensiunea 10) este stabilită din punct, se obține un punct c - o proiecție orizontală a punctului C. Coordonata Z (dimensiunea 40) este trasat în sus de la punctul c x de-a lungul liniei de conectare a proiecției (dimensiunea 40), se obține un punct c" - proiecția frontală a punctului C.
Exemplul 3. Construirea unei proiecții de profil a unui punct folosind proiecții date. Sunt date proiecțiile punctului D - d și d". Prin punctul O se desenează axele de proiecție Oz, Oy și Оу 1 (Fig. 4.16, a). Pentru a construi o proiecție de profil a punctului D punctul d", o proiecție linia de conectare este trasată perpendicular pe axa Oz și o continuă spre dreapta în spatele axei Oz. Proiecția de profil a punctului D va fi situată pe această linie Va fi situată la aceeași distanță de axa Oz ca și proiecția orizontală a punctului d: față de axa Ox, adică la o distanță dd x. Segmentele d z d" și dd x sunt aceleași, deoarece definesc aceeași distanță - distanța de la punctul D la planul frontal al proiecțiilor. Această distanță este coordonata Y a punctului D.
Grafic, segmentul d z d" se construiește prin transferul segmentului dd x din planul orizontal de proiecție pe cel de profil. Pentru a face acest lucru, trasați o linie de legătură de proiecție paralelă cu axa Ox, obțineți un punct d y pe axa Oy ( Fig. 4.16, b Apoi transferați dimensiunea segmentului Od y pe axa Oy 1, prin trasarea unui arc din punctul O cu raza egală cu segmentul Od y până la intersecția cu axa Oy 1 (Fig. 4.16). , b), se obține punctul dy 1. Acest punct poate fi construit, așa cum se arată în Fig. 4.16, c, prin trasarea unei linii drepte la un unghi de 45° față de axa Oy din punctul d y1, se trasează o linie de legătură de proiecție paralelă cu axa Oz și se așează pe ea un segment egal cu segmentul d"d x, se obține punctul d".
Transferarea valorii segmentului d x d în planul de profil al proiecțiilor se poate face folosind linia dreaptă constantă a desenului (Fig. 4.16, d). În acest caz, linia de conectare a proiecției dd y este trasată prin proiecția orizontală a punctului paralel cu axa Oy 1 până când se intersectează cu o dreaptă constantă și apoi paralelă cu axa Oy până când se intersectează cu continuarea proiecției. linia de legătură d"d z.
Cazuri speciale de localizare a punctelor în raport cu planurile de proiecție
Poziția unui punct în raport cu planul de proiecție este determinată de coordonatele corespunzătoare, adică dimensiunea segmentului liniei de conectare a proiecției de la axa Ox la proiecția corespunzătoare. În fig. 4.17 coordonata Y a punctului A este determinată de segmentul aa x - distanța de la punctul A la planul V. Coordonata Z a punctului A este determinată de segmentul a "a x - distanța de la punctul A la planul H. Dacă unul a coordonatelor este zero, atunci punctul este situat pe planul de proiecție. Figura 4.17 prezintă exemple de locații diferite ale punctelor în raport cu planurile de proiecție. Coordonata Z a punctului B este egală cu zero, punctul este situat în planul H. Proiecția sa frontală este pe axa Ox și coincide cu punctul b x Coordonata Y a punctului C este egală cu zero, punctul este situat pe planul V, proiecția sa orizontală c este pe axa Ox și coincide cu punctul c x.
Prin urmare, dacă un punct se află pe planul de proiecție, atunci una dintre proiecțiile acestui punct se află pe axa de proiecție.
În fig. 4.17, coordonatele Z și Y ale punctului D sunt egale cu zero, prin urmare, punctul D este situat pe axa de proiecție Ox și cele două proiecții ale sale coincid.
