Linie dreaptă perpendiculară pe un plan. Teorema proiecției în unghi drept

9.1 Teoremă despre o dreaptă perpendiculară pe un plan

Teorema paralelă cu perpendiculară ne permite să demonstrăm teorema principală despre o dreaptă perpendiculară pe un plan.

Dovada. Să fie date punctul A și planul α (Fig. 87, a). Putem presupune că A nu se află în planul α, deoarece cazul în care A ∈ α a fost considerat în secțiunea problemei 7.3. Să trasăm o dreaptă a ⊥ α prin orice punct al planului α (secțiunea problemei 7.3).

Dacă a trece prin A, atunci este linia dreaptă dorită. Dacă nu este așa, atunci trageți o linie dreaptă b||a prin A. Prin teorema paralelă cu perpendiculară b ⊥ α. Deci, am construit o dreaptă care trece prin punctul A și perpendiculară pe α.

Orez. 87

Să demonstrăm că există o singură astfel de linie. Să presupunem că două drepte p și q trec prin punctul A, perpendicular pe α. Să desenăm planul β prin ele (Fig. 87, b). Acest plan intersectează planul α de-a lungul unei drepte c. Deoarece p ⊥ α și q ⊥ α, atunci dreptele p și q sunt perpendiculare pe dreapta c. Rezultă că două drepte p și q, perpendiculare pe c, trec prin punctul A în planul β. Din planimetrie știm că acest lucru este imposibil. Aceasta înseamnă că doar o singură dreaptă trece prin punctul A, perpendicular pe planul α.

9.2. Teoremă pe un plan perpendicular pe o dreaptă

Vom finaliza studiul nostru asupra perpendicularității unei drepte și a unui plan cu următoarea teoremă:

Dovada. Fie date o dreaptă a și un punct A Sunt posibile două cazuri:

• Punctul A se află pe linia dreaptă a (Fig. 88, a). Acest caz a fost deja luat în considerare în secțiunea 6.2. Amintiți-vă că planul care trece prin punctul A și perpendicular pe linia a este planul perpendicularelor pe dreapta a în punctul A. Un astfel de plan este unic.
• Punctul A nu se află pe linia dreaptă a (Fig. 88, b). În acest caz, trageți o dreaptă b prin punctul A, care intersectează linia a într-un punct B și este perpendiculară pe dreapta a. Prin punctul B desenăm un plan perpendicular pe dreapta a. Este un plan perpendicular pe a în punctul B > a și, prin urmare, conține dreapta b. Dar apoi a trece prin punctul A. Deci, am construit un plan α care trece prin punctul A și perpendicular pe dreapta a. Există un singur astfel de avion (demonstrați-l singur).

Orez. 88

Întrebări pentru autocontrol

1. Existența căror obiecte este dovedită în acest paragraf?
2. Prin punctul A se trasează un plan α, perpendicular pe dreapta a, și o dreaptă b, perpendiculară pe aceeași dreaptă. Cum sunt situate dreapta b și planul α?

Să consolidăm conceptul de perpendicularitate a unei linii și a unui plan cu notele de lecție. Vom oferi o definiție generală, vom formula și prezenta dovezi ale teoremei și vom rezolva mai multe probleme pentru a consolida materialul.

Din cursul de geometrie știm: două drepte sunt considerate perpendiculare atunci când se intersectează la un unghi de 90 de grade.

Colegii de clasă

Partea teoretică

Trecând la studiul caracteristicilor figurilor spațiale, vom aplica un nou concept.

Definiţie:

o dreaptă va fi numită perpendiculară pe un plan atunci când este perpendiculară pe o dreaptă de pe o suprafață care trece în mod arbitrar prin punctul de intersecție.

Cu alte cuvinte, dacă segmentul „AB” este perpendicular pe planul α, atunci unghiul de intersecție cu orice segment trasat de-a lungul unei suprafețe date prin punctul „C” de trecere al lui „AB” prin planul α va fi de 90 de grade. .

Din cele de mai sus, urmează o teoremă despre semnul perpendicularității unei drepte și a unui plan:

dacă o dreaptă trasată printr-un plan este perpendiculară pe două drepte trasate pe planul prin punctul de intersecție, atunci este perpendiculară pe întregul plan.

Cu alte cuvinte, dacă în figura 1 unghiurile ACD și ACE sunt egale cu 90°, atunci unghiul ACF va fi și el de 90°. A se vedea figura 3.

Dovada

Conform condițiilor teoremei, dreapta „a” este trasată perpendicular pe drepte dși e. Cu alte cuvinte, unghiurile ACD și ACE sunt egale cu 90 de grade. Vom da dovezi pe baza proprietăților de egalitate a triunghiurilor. A se vedea figura 3.

Prin punctul C trece linia o trageți o dreaptă prin planul α fîn orice direcție. Să oferim dovezi că acesta va fi perpendicular pe segmentul AB sau unghiul ACF va fi de 90°.

Pe o linie dreaptă o Să lăsăm deoparte segmentele de lungime egală AC și AB. Pe suprafața α trasăm o linie xîn orice direcție și care nu trece prin intersecția din punctul „C”. Linia „x” trebuie să intersecteze liniile e, d și f.

Conectați punctele F, D și E cu linii drepte la punctele A și B.

Luați în considerare două triunghiuri ACE și BCE. In functie de conditiile de constructie:

1. Există două laturi identice AC și BC.
2. Au o parte inferioară comună CE.
3. Două unghiuri egale ACE și BCE - 90 de grade fiecare.

Prin urmare, conform condițiilor pentru egalitatea triunghiurilor, dacă avem două laturi egale și același unghi între ele, atunci aceste triunghiuri sunt egale. Din egalitatea triunghiurilor rezultă că laturile AE și BE sunt egale.

În consecință, se demonstrează egalitatea triunghiurilor ACD și BCD, cu alte cuvinte, egalitatea laturilor AD și BD.

Acum luați în considerare două triunghiuri AED și BED. Din egalitatea triunghiurilor demonstrată anterior rezultă că aceste figuri au aceleași laturi AE cu BE și AD cu BD. O parte a ED este comună. Din condiția de egalitate a triunghiurilor definite de trei laturi, rezultă că unghiurile ADE și BDE sunt egale.

Suma unghiurilor ADE și ADF este de 180°. Suma unghiurilor BDE și BDF va fi, de asemenea, de 180°. Deoarece unghiurile ADE și BDE sunt egale, unghiurile ADF și BDF sunt egale.

Luați în considerare două triunghiuri ADF și BDF. Au două laturi egale AD și BD (demonstrate anterior), o latură comună DF și un unghi egal între ele ADF și BDF. Prin urmare, aceste triunghiuri au laturile de lungime egală. Adică, latura BF are aceeași lungime ca și latura AF.

Dacă luăm în considerare triunghiul AFB, atunci acesta va fi isoscel (AF este egal cu BF), iar linia FC este mediana, deoarece conform condițiilor de construcție, latura AC este egală cu latura BC. Prin urmare, unghiul ACF este de 90°. Ceea ce ar fi trebuit dovedit.

O consecință importantă a teoremei de mai sus este următoarea afirmație:

dacă două drepte paralele intersectează un plan și una dintre ele formează un unghi de 90°, atunci și a doua traversează planul la un unghi de 90°.

Conform condițiilor problemei, a și b sunt paralele. Vezi Figura 4. Linia a este perpendiculară pe suprafața α. Rezultă că linia b va fi, de asemenea, perpendiculară pe suprafața α.

Pentru a demonstra acest lucru, prin două puncte de intersecție a unor drepte paralele cu un plan, trageți o dreaptă pe suprafață c. Conform teoremei despre o dreaptă perpendiculară pe un plan, unghiul DAB va fi de 90 de grade. Din proprietățile dreptelor paralele rezultă că unghiul ABF va fi, de asemenea, de 90°. Prin urmare, prin definiție, linia dreaptă b va fi perpendiculară pe suprafața α.

Utilizarea teoremei pentru a rezolva probleme

Pentru asigurarea materialului, folosind condițiile fundamentale de perpendicularitate la o dreaptă și un plan, vom rezolva mai multe probleme.

Sarcina nr. 1

Condiții. Din punctul A, construiți o dreaptă perpendiculară pe planul α. Vezi Figura 5.

Pe suprafața α trasăm o dreaptă arbitrară b. Folosind dreapta b și punctul A, construim o suprafață β. Din punctul A la linia b desenați un segment AB. Din punctul B de pe suprafața α trasăm o dreaptă perpendiculară c.

De la punctul A la linie Cu scade perpendiculara AC. Să demonstrăm că această dreaptă va fi perpendiculară pe plan.

Pentru a demonstra acest lucru, prin punctul C de pe suprafața α trasăm o dreaptă d paralelă cu b și prin linie c iar punctul A vom construi un plan. Linia AC este perpendiculară pe dreapta c după condiția de construcție și perpendiculară pe dreapta d, ca o consecință a două drepte paralele din teorema perpendicularității, deoarece prin condiție linia b este perpendiculară pe suprafața γ.

Prin urmare, prin definiția perpendicularității unei drepte și a unui plan, segmentul construit AC este perpendicular pe suprafața α.

Problema nr. 2

Condiții. Segmentul AB este perpendicular pe planul α. Triunghiul BDF este situat pe suprafața α și are următorii parametri:

• unghiul DBF va fi de 90°
• lateral BD=12 cm;
• latura BF =16 cm;
• BC - mediană.

Vezi Figura 6.

Aflați lungimea segmentului AC dacă AB = 24 cm.

Soluţie. Conform teoremei lui Pitagora, ipotenuza sau latura DF este egală cu rădăcina pătrată a sumei pătratelor catetelor. Lungimea pătratului BD este 144 și, în consecință, pătratul BC va fi 256. Totalul este 400; luând rădăcina pătrată dă 20.

Mediana BC dintr-un triunghi dreptunghic împarte ipotenuza în două părți egale și este egală ca lungime cu aceste segmente, adică BC = DC = CF = 10.

Se folosește din nou teorema lui Pitagora și obținem: ipotenuza C = 26, care este rădăcina pătrată a lui 675, suma pătratelor catetelor este 576 (AB = 24 la pătrat) și 100 (BC = 10 la pătrat).

Răspuns: Lungimea segmentului AC este de 26 cm.

TEXTUL LECȚIEI:

La începutul studierii temei de astăzi, vom analiza problema aplicării unor teoreme asupra perpendicularității dreptelor și planelor.

Să le amintim: Prima teoremă: Testul de perpendicularitate a unei drepte și a unui plan

Dacă o dreaptă este perpendiculară pe două drepte care se intersectează situate într-un plan, atunci este perpendiculară pe acest plan.

Și două teoreme despre drepte paralele sunt o teoremă directă. Dacă una dintre cele două drepte paralele este perpendiculară pe un plan, atunci cealaltă dreaptă este de asemenea perpendiculară pe acest plan.

Și teorema inversă. Dacă două drepte sunt perpendiculare pe un plan, atunci sunt paralele. Am discutat deja despre demonstrarea acestor teoreme.

Demonstrați că prin orice punct din spațiu trece un plan perpendicular pe o dreaptă dată.

Pentru a rezolva, luăm în considerare dreapta a și un punct arbitrar din spațiu - punctul M. Să demonstrăm că există un plan care trece prin punctul M și perpendicular pe dreapta a.

Pentru a demonstra acest lucru, să desenăm două plane α și β care conțin linia a, deoarece aceasta este linia lor comună, ceea ce înseamnă că linia dreaptă a este linia lor de intersecție.

În planul β prin punctul M trasăm o dreaptă b perpendiculară pe dreapta a. lasă aceste drepte să se intersecteze în punctul O.

În planul α trasăm o dreaptă c care trece prin punctul O și perpendiculară pe dreapta a.

Conform teoremei privind existența unui plan, și anume, prin două drepte care se intersectează în și c, se poate desena un plan, și numai unul.

Luați în considerare planul γ (gamma) care trece prin liniile c și b.

Planul γ(gamma) va fi planul dorit, deoarece linia a este perpendiculară pe două drepte care se intersectează b și c

Această problemă demonstrează existența unui plan perpendicular pe o dreaptă dată. Să considerăm o teoremă care afirmă existența și unicitatea unei drepte perpendiculare pe un plan dat.

Prin orice punct din spațiu trece o dreaptă perpendiculară pe un plan dat și numai una.

Luați în considerare planul α și un punct arbitrar din spațiu - punctul A.

Să demonstrăm că prin punctul A trece o singură dreaptă perpendiculară pe planul dat.

1,2) Deci, să desenăm o dreaptă arbitrară m în planul α. Să construim un plan astfel încât să treacă prin punctul A perpendicular pe dreapta m.

3.4) Fie că planul α și β se intersectează de-a lungul dreptei n. În planul β, prin punctul A trasăm o dreaptă p, perpendiculară pe dreapta n.

5) Dreapta t este perpendiculară pe planul β, ceea ce înseamnă că este perpendiculară pe orice dreaptă din acest plan, adică dreapta t este perpendiculară pe dreapta p.

6) Atunci dreapta p este perpendiculară pe două drepte care se intersectează m și n situate în planul α, prin urmare, după semnul de perpendicularitate al dreptei și al planului, dreapta p este perpendiculară pe planul α.

7) Este important să înțelegeți că nu poate exista decât o astfel de linie. Dacă două drepte au trecut prin punctul A, de exemplu, o altă dreaptă p1, perpendiculară pe planul α. Dar două drepte perpendiculare pe un plan sunt paralele, ceea ce contrazice presupunerea noastră. Astfel, doar o dreaptă perpendiculară pe un plan dat trece printr-un punct din spațiu.

Această afirmație în geometrie se numește teorema despre o dreaptă perpendiculară pe un plan.

Prin vârfurile A și B ale dreptunghiului ABCD se trasează drepte paralele AA1 și BB1 care nu se află în planul dreptunghiului. Se știe că AA1 AB și AA1 AD. Găsiți BB1 dacă B1D=25 cm, AB=12 cm, AD=16 cm.

Rezolvare.1) Deoarece dreapta AA1 este perpendiculară pe două drepte care se intersectează AD și AB situate în planul dreptunghiului, atunci semnul

perpendicularitatea unei drepte pe planul AA1 este perpendiculară pe planul ABCD.

2) Linia BB1 este paralelă cu linia AA1, prin urmare, prin teoremă, linia BB1 este perpendiculară pe planul ABCD și perpendiculară pe orice dreaptă situată în acest plan, adică BB1 este perpendiculară pe linia BD. Deci triunghiul B1ВD este triunghi dreptunghic.

3) Din triunghiul dreptunghic BAD, conform teoremei lui Pitagora, pătratul ipotenuzei BD este egal cu suma pătratelor catetelor AB și AD și BD este egal cu 20 cm.

4) Prin teorema lui Pitagora dintr-un triunghi dreptunghic B1ВD. Pătratul catetei B1B este egal cu diferența dintre pătratele ipotenuzei B1D și catetul cunoscut BD, iar catetul este de 15 cm.

Să ne uităm la problema dovezilor.

Linia a este perpendiculară pe planul α și perpendiculară pe dreapta b, care nu se află în acest plan. Demonstrați că b||

Să numim punctul de intersecție al dreptei și punctul plan M.

1,2) Să marchem pe linia a un punct N care nu se află pe dreapta b. Printr-un punct care nu se află pe o dreaptă dată, se poate trasa o singură linie dreaptă paralelă cu cea dată. Fie această linie linia b1.

3) Desenați o dreaptă c1 prin punctul N.

4) Prin punctul M din planul α trasăm o dreaptă c paralelă cu dreapta c1.

5) Prin două drepte care se intersectează c1 și b1 se poate trasa un plan β conform teoremei privind existența unui plan.

6) Linia a este perpendiculară pe planul α, ceea ce înseamnă că este perpendiculară pe dreapta c aflată în plan, dar c este paralelă cu dreapta c1, prin urmare linia a este perpendiculară pe dreapta c1.

7.8) În mod similar, linia a este perpendiculară pe dreapta b conform condiției, linia b este paralelă cu dreapta b1, prin urmare linia a este perpendiculară pe dreapta b1. Aceasta înseamnă că linia a, bazată pe perpendicularitatea dreptei și a planului, este perpendiculară pe planul β.

9) Planurile α și β sunt perpendiculare pe linia a, ceea ce înseamnă că sunt paralele.

10) Linia b este paralelă cu dreapta b1, ceea ce înseamnă că este paralelă cu planul β și paralelă cu planul α.

Repetați paragraful 1, paragrafele 15-18, toate proprietățile și teoremele sunt notate în caiet, studiați paragraful 18, notați teorema despre o dreaptă perpendiculară pe un plan în caiet.

Două drepte din spațiu se numesc perpendiculare dacă unghiul dintre ele este de 90o.

Liniile perpendiculare se pot intersecta și pot fi înclinate. Lema. Dacă una dintre cele două drepte paralele este perpendiculară pe a treia dreaptă, atunci cealaltă dreaptă este perpendiculară pe această dreaptă. Definiţie. O dreaptă se numește perpendiculară pe un plan dacă este perpendiculară pe orice dreptă situată în plan. De asemenea, ei spun că planul este perpendicular pe linia a.

orez. 38

Dacă linia a este perpendiculară pe plan, atunci în mod evident intersectează acest plan. De fapt, dacă linia a nu ar intersecta planul, atunci s-ar afla în acest plan sau ar fi paralelă cu acesta. Dar în ambele cazuri ar exista drepte în plan care nu sunt perpendiculare pe linia a, de exemplu, linii paralele cu aceasta, ceea ce este imposibil. Aceasta înseamnă că linia dreaptă a intersectează planul.

Relația dintre paralelismul dreptelor și perpendicularitatea lor pe plan.

Un semn de perpendicularitate a unei drepte și a unui plan.

Note.

Prin orice punct din spațiu trece un plan perpendicular pe o dreaptă dată și, în plus, singurul. Prin orice punct din spațiu trece o dreaptă perpendiculară pe un plan dat și numai una. Dacă două plane sunt perpendiculare pe o dreaptă, atunci ele sunt paralele.

Studiați răspunsurile la întrebări:

În spațiu, liniile perpendiculare se pot intersecta și se pot intersecta. (Da, de exemplu un cub.) Dacă una dintre cele două linii paralele este perpendiculară pe a treia linie, atunci cealaltă linie este paralelă cu această dreaptă. (Nu, perpendiculară.) O dreaptă se numește perpendiculară pe un plan dacă este perpendiculară pe orice dreaptă situată în acest plan. (Nu, pentru că, prin condiție, liniile se pot afla în acest plan.) Dacă una dintre cele două drepte paralele este perpendiculară pe plan, atunci cealaltă dreaptă este paralelă cu planul. (Nu, perpendicular.) Dacă o dreaptă este perpendiculară pe două drepte care se intersectează situate într-un plan, atunci ea este perpendiculară pe acest plan. (Da, conform criteriului.) Dacă o dreaptă este perpendiculară pe un plan, atunci este perpendiculară pe cele două laturi ale triunghiului aflate în acest plan. (Da.) Dacă o dreaptă este perpendiculară pe un plan, atunci este perpendiculară pe două laturi ale pătratului. (Nu.)

În tetraedrul ABCD (Figura 1) BCD = ACD =90° Este adevărat că în figură muchiile AB, AC, BC sunt perpendiculare pe CD? (Da.),

Dați: ∆ ABC, VM AB, VM BC, D AC.

Semnul perpendicularității unei drepte și a unui plan Teorema. Dacă o dreaptă este perpendiculară pe două drepte care se intersectează situate într-un plan, atunci este perpendiculară pe acest plan.

Teorema. Prin orice punct din spațiu trece o dreaptă perpendiculară pe un plan dat și, în plus, doar una. Dovada. Constructii. 1. 2. 3. 1. 2. () 4. , 5. 6. , 3. 4. , Să spunem . , . Presupunerea este falsă, singura linie este perpendiculară, ceea ce trebuia demonstrat.

Prin orice punct din spațiu trece un plan perpendicular pe o dreaptă dată și, în plus, doar unul. Prin orice punct din spațiu trece o dreaptă perpendiculară pe un plan dat și, în plus, doar una.

Sarcină. pătrat, punctul de intersecție al diagonalelor. . Demonstrați: a) ; b). Dovada. Q.E.D. 1. 2. (proprietatea diagonalelor pătrate) 3. , 4. 5. 6.

Sarcină. Demonstrați că dacă unul dintre cele două plane paralele este perpendicular pe o dreaptă, atunci celălalt plan este și el perpendicular pe această dreaptă. Dovada. Q.E.D. , 1. , 2. , 3. 4. , 5. 6. , 7. , 8. 9.

Sarcină. Demonstrați că dacă două plane sunt perpendiculare pe o dreaptă, atunci aceste plane sunt paralele. Dovada. Q.E.D. 1. 2. 3. , 4. Să zicem: , . ÎN!? Presupunerea este incorectă. 5.

Teoremă pe o dreaptă perpendiculară pe un plan Teoremă. Prin orice punct din spațiu trece o dreaptă perpendiculară pe un plan dat și, în plus, doar una. Dacă unul dintre cele două plane paralele este perpendicular pe o dreaptă, atunci celălalt plan este perpendicular pe această dreaptă. Dacă două plane sunt perpendiculare pe o dreaptă, atunci aceste planuri sunt paralele.