Rezolvarea expresiilor cu fracții. Operații cu fracții obișnuite

În articolul pe care îl vom arăta cum se rezolvă fracții folosind exemple simple, ușor de înțeles. Să ne dăm seama ce este o fracție și să luăm în considerare rezolvarea fracțiilor!

Concept fractii se introduce în cursurile de matematică începând din clasa a VI-a de gimnaziu.

Fracțiile au forma: ±X/Y, unde Y este numitorul, spune în câte părți a fost împărțit întregul, iar X este numărătorul, spune câte astfel de părți au fost luate. Pentru claritate, să luăm un exemplu cu un tort:

În primul caz, prăjitura a fost tăiată în mod egal și s-a luat jumătate, adică. 1/2. În al doilea caz, prăjitura a fost tăiată în 7 părți, dintre care s-au luat 4 părți, adică. 4/7.

Dacă partea de împărțire a unui număr la altul nu este un număr întreg, se scrie ca fracție.

De exemplu, expresia 4:2 = 2 dă un număr întreg, dar 4:7 nu este divizibil cu un întreg, deci această expresie este scrisă ca o fracție 4/7.

Cu alte cuvinte fracţiune este o expresie care denotă împărțirea a două numere sau expresii și care este scrisă folosind o bară oblică fracțională.

Dacă numărătorul este mai mic decât numitorul, fracția este proprie, dacă invers, este o fracție improprie. O fracție poate conține un număr întreg.

De exemplu, 5 întregi 3/4.

Această intrare înseamnă că, pentru a obține întregul 6, lipsește o parte din patru.

Dacă vrei să-ți amintești, cum se rezolvă fracții pentru clasa a VI-a, trebuie să înțelegi asta rezolvarea fracțiilor, practic, se rezumă la înțelegerea câtorva lucruri simple.

• O fracție este în esență o expresie a unei fracții. Adică, o expresie numerică a ce parte este o valoare dată dintr-un întreg. De exemplu, fracția 3/5 exprimă că dacă am împărțit ceva întreg în 5 părți și numărul de părți sau părți din acest întreg este de trei.
• Fracția poate fi mai mică decât 1, de exemplu 1/2 (sau în esență jumătate), atunci este corectă. Dacă fracția este mai mare decât 1, de exemplu 3/2 (trei jumătăți sau una și jumătate), atunci este incorectă și pentru a simplifica soluția, este mai bine să selectăm întreaga parte 3/2 = 1 întreg 1 /2.
• Fracțiile sunt aceleași numere ca 1, 3, 10 și chiar 100, doar că numerele nu sunt numere întregi, ci fracții. Puteți efectua toate aceleași operațiuni cu ele ca și cu numerele. Numărarea fracțiilor nu este mai dificilă și vom arăta acest lucru în continuare cu exemple specifice.

Cum se rezolvă fracții. Exemple.

O mare varietate de operații aritmetice sunt aplicabile fracțiilor.

Reducerea unei fracții la un numitor comun

De exemplu, trebuie să comparați fracțiile 3/4 și 4/5.

Pentru a rezolva problema, găsim mai întâi cel mai mic numitor comun, adică. cel mai mic număr care este divizibil fără rest cu fiecare dintre numitorii fracțiilor

Cel mai mic numitor comun (4,5) = 20

Apoi numitorul ambelor fracții se reduce la cel mai mic numitor comun

Raspuns: 15/20

Adunarea și scăderea fracțiilor

Dacă este necesar să se calculeze suma a două fracții, acestea sunt mai întâi aduse la un numitor comun, apoi se adună numărătorii, în timp ce numitorul rămâne neschimbat. Diferența dintre fracții se calculează în același mod, singura diferență este că se scad numărătorii.

De exemplu, trebuie să găsiți suma fracțiilor 1/2 și 1/3

Acum să găsim diferența dintre fracțiile 1/2 și 1/4

Înmulțirea și împărțirea fracțiilor

Aici rezolvarea fracțiilor nu este dificilă, totul este destul de simplu aici:

• Înmulțirea - numărătorii și numitorii fracțiilor se înmulțesc împreună;
• Împărțire - mai întâi obținem fracția inversă celei de-a doua fracții, adică. Schimbăm numărătorul și numitorul, după care înmulțim fracțiile rezultate.

De exemplu:

Cam atât cum se rezolvă fracții, Toate. Dacă mai aveți întrebări despre rezolvarea fracțiilor, daca ceva este neclar, scrie in comentarii si cu siguranta iti vom raspunde.

Dacă sunteți profesor, atunci poate că descărcarea unei prezentări pentru școala elementară (http://school-box.ru/nachalnaya-shkola/prezentazii-po-matematike.html) vă va fi utilă.

Acum că am învățat cum să adunăm și să înmulțim fracții individuale, ne putem uita la structuri mai complexe. De exemplu, ce se întâmplă dacă aceeași problemă implică adunarea, scăderea și înmulțirea fracțiilor?

În primul rând, trebuie să convertiți toate fracțiile în unele necorespunzătoare. Apoi efectuăm secvențial acțiunile necesare - în aceeași ordine ca și pentru numerele obișnuite. Anume:

1. Exponentiarea se face mai intai - scapa de toate expresiile care contin exponenti;
2. Apoi - împărțirea și înmulțirea;
3. Ultimul pas este adunarea și scăderea.

Desigur, dacă există paranteze în expresie, ordinea operațiilor se schimbă - tot ce se află în paranteze trebuie numărat mai întâi. Și amintiți-vă despre fracțiile improprii: trebuie să evidențiați întreaga parte numai atunci când toate celelalte acțiuni au fost deja finalizate.

Să convertim toate fracțiile din prima expresie în cele improprii și apoi să efectuăm următorii pași:

Acum să găsim valoarea celei de-a doua expresii. Nu există fracții cu o parte întreagă, dar există paranteze, așa că mai întâi facem adunarea și abia apoi împărțirea. Rețineți că 14 = 7 · 2. Apoi:

În cele din urmă, luați în considerare al treilea exemplu. Există paranteze și un grad aici - este mai bine să le numărați separat. Având în vedere că 9 = 3 3, avem:

Atenție la ultimul exemplu. Pentru a ridica o fracție la o putere, trebuie să ridicați separat numărătorul la această putere și separat, numitorul.

Puteți decide altfel. Dacă ne amintim definiția unui grad, problema se va reduce la înmulțirea obișnuită a fracțiilor:

Fracții cu mai multe etaje

Până acum am considerat doar fracții „pure”, când numărătorul și numitorul sunt numere obișnuite. Acest lucru este destul de în concordanță cu definiția unei fracții numerice dată în prima lecție.

Dar dacă puneți un obiect mai complex la numărător sau numitor? De exemplu, o altă fracție numerică? Astfel de construcții apar destul de des, mai ales când se lucrează cu expresii lungi. Iată câteva exemple:

Există o singură regulă pentru a lucra cu fracții cu mai multe niveluri: trebuie să scapi de ele imediat. Îndepărtarea podelelor „în plus” este destul de simplă, dacă vă amintiți că slash înseamnă operația standard de divizare. Prin urmare, orice fracție poate fi rescrisă după cum urmează:

Folosind acest fapt și urmând procedura, putem reduce cu ușurință orice fracție cu mai multe etaje la una obișnuită. Aruncă o privire la exemple:

Sarcină. Convertiți fracțiile cu mai multe etaje în fracții obișnuite:

În fiecare caz, rescriem fracția principală, înlocuind linia de despărțire cu un semn de diviziune. De asemenea, amintiți-vă că orice număr întreg poate fi reprezentat ca o fracție cu numitorul 1. Adică 12 = 12/1; 3 = 3/1. Primim:

În ultimul exemplu, fracțiile au fost anulate înainte de înmulțirea finală.

Specificul lucrului cu fracții cu mai multe niveluri

Există o subtilitate în fracțiile cu mai multe niveluri care trebuie reținută întotdeauna, altfel puteți obține răspunsul greșit, chiar dacă toate calculele au fost corecte. Aruncă o privire:

1. Numătorul conține un singur număr 7, iar numitorul conține fracția 12/5;
2. Numătorul conține fracția 7/12, iar numitorul conține numărul separat 5.

Deci, pentru o înregistrare am primit două interpretări complet diferite. Dacă numărați, răspunsurile vor fi și ele diferite:

Pentru a vă asigura că înregistrarea este întotdeauna citită fără ambiguitate, utilizați o regulă simplă: linia de despărțire a fracției principale trebuie să fie mai lungă decât linia fracției imbricate. De preferat de mai multe ori.

Dacă urmați această regulă, atunci fracțiile de mai sus ar trebui scrise după cum urmează:

Da, poate fi inestetic si ocupa prea mult spatiu. Dar vei număra corect. În cele din urmă, câteva exemple în care apar efectiv fracții cu mai multe etaje:

Sarcină. Găsiți semnificațiile expresiilor:

Deci, să lucrăm cu primul exemplu. Să convertim toate fracțiile în fracții improprii și apoi să efectuăm operații de adunare și împărțire:

Să facem același lucru cu al doilea exemplu. Să convertim toate fracțiile în fracții improprii și să efectuăm operațiile necesare. Pentru a nu plictisi cititorul, voi omite câteva calcule evidente. Avem:

Datorită faptului că numărătorul și numitorul fracțiilor de bază conțin sume, regula de scriere a fracțiilor cu mai multe etaje este respectată automat. De asemenea, în ultimul exemplu, am lăsat intenționat 46/1 sub formă de fracție pentru a efectua împărțirea.

De asemenea, voi observa că în ambele exemple bara de fracțiuni înlocuiește de fapt parantezele: în primul rând, am găsit suma și abia apoi coeficientul.

Unii vor spune că trecerea la fracții improprii în al doilea exemplu a fost în mod clar redundantă. Poate că acest lucru este adevărat. Dar făcând acest lucru ne asigurăm împotriva greșelilor, pentru că data viitoare exemplul se poate dovedi mult mai complicat. Alegeți singur ceea ce este mai important: viteza sau fiabilitatea.

Acest articol este o privire generală asupra operațiunii cu fracții. Aici vom formula și justifica regulile de adunare, scădere, înmulțire, împărțire și exponențiere a fracțiilor de forma generală A/B, unde A și B sunt niște numere, expresii numerice sau expresii cu variabile. Ca de obicei, vom oferi materialului exemple explicative cu descrieri detaliate ale soluțiilor.

Navigare în pagină.

Reguli pentru efectuarea operaţiilor cu fracţii numerice generale

Să fim de acord că prin fracții numerice generale înțelegem fracții în care numărătorul și/sau numitorul pot fi reprezentate nu numai prin numere naturale, ci și prin alte numere sau expresii numerice. Pentru claritate, iată câteva exemple de astfel de fracții: , .

Cunoaștem regulile după care sunt îndeplinite. Folosind aceleași reguli, puteți efectua operații cu fracții generale:

Rațiunea regulilor

Pentru a justifica validitatea regulilor de efectuare a operațiunilor cu fracții numerice de formă generală, puteți începe de la următoarele puncte:

• Bara oblică este în esență un semn de divizare,
• împărțirea cu un număr diferit de zero poate fi considerată ca înmulțire cu inversul divizorului (acest lucru explică imediat regula împărțirii fracțiilor),
• proprietăţile operaţiilor cu numere reale,
• și înțelegerea sa generală,

Ele vă permit să efectuați următoarele transformări care justifică regulile adunării, scăderii fracțiilor cu numitori similari și diferiți, precum și regula înmulțirii fracțiilor:

Exemple

Să dăm exemple de efectuare a operațiilor cu fracții generale conform regulilor învățate în paragraful anterior. Să spunem imediat că, de obicei, după efectuarea acțiunilor cu fracții, fracția rezultată necesită simplificare, iar procesul de simplificare a unei fracții este adesea mai complicat decât efectuarea acțiunilor anterioare. Nu ne vom opri în detaliu asupra simplificării fracțiilor (transformările corespunzătoare sunt discutate în articolul transformarea fracțiilor), pentru a nu fi distras de la subiectul care ne interesează.

Să începem cu exemple de adunare și scădere a fracțiilor cu numitori similari. Mai întâi, să adăugăm fracțiile și . Evident, numitorii sunt egali. Conform regulii corespunzătoare, notăm o fracție al cărei numărător este egal cu suma numărătorilor fracțiilor originale și lăsăm numitorul același, avem. Adunarea este făcută, tot ce rămâne este să simplificați fracția rezultată: . Aşa, .

Soluția ar fi putut fi tratată diferit: mai întâi faceți tranziția la fracțiile obișnuite și apoi efectuați adunarea. Cu această abordare avem .

Acum să scădem din fracție fracţiune . Numitorii fracțiilor sunt egali, prin urmare, respectăm regula de scădere a fracțiilor cu aceiași numitori:

Să trecem la exemple de adunare și scădere a fracțiilor cu numitori diferiți. Principala dificultate aici este aducerea fracțiilor la un numitor comun. Pentru fracții generale, acesta este un subiect destul de extins, îl vom examina în detaliu într-un articol separat. aducând fracțiile la un numitor comun. Deocamdată, ne vom limita la câteva recomandări generale, deoarece momentan suntem mai interesați de tehnica efectuării operațiilor cu fracții.

În general, procesul este similar cu reducerea fracțiilor obișnuite la un numitor comun. Adică numitorii sunt prezentați sub formă de produse, apoi se iau toți factorii de la numitorul primei fracții și li se adaugă factorii lipsă de la numitorul celei de-a doua fracții.

Când numitorii fracțiilor care se adună sau se scad nu au factori comuni, atunci este logic să se ia produsul lor ca numitor comun. Să dăm un exemplu.

Să presupunem că trebuie să facem adunarea fracțiilor și 1/2. Aici, ca numitor comun, este logic să luăm produsul numitorilor fracțiilor originale, adică . În acest caz, factorul suplimentar pentru prima fracție va fi 2. După înmulțirea numărătorului și numitorului cu acesta, fracția va lua forma . Iar pentru a doua fracție, factorul suplimentar este expresia. Cu ajutorul ei, fracția 1/2 se reduce la forma . Tot ce rămâne este să adunăm fracțiile rezultate cu aceiași numitori. Iată un rezumat al întregii soluții:

În cazul fracțiilor generale, nu mai vorbim de cel mai mic numitor comun, la care se reduc de obicei fracțiile obișnuite. Deși în această chestiune este totuși recomandabil să depuneți eforturi pentru un oarecare minimalism. Prin aceasta, vrem să spunem că nu ar trebui să luați imediat produsul numitorilor fracțiilor originale ca numitor comun. De exemplu, nu este deloc necesar să luăm numitorul comun al fracțiilor și al produsului . Aici putem lua.

Să trecem la exemple de înmulțire a fracțiilor generale. Să înmulțim fracțiile și . Regula pentru efectuarea acestei acțiuni ne îndeamnă să notăm o fracție, al cărei numărător este produsul numărătorilor fracțiilor originale, iar numitorul este produsul numitorilor. Avem . Aici, ca în multe alte cazuri când înmulțiți fracții, puteți reduce fracția: .

Regula împărțirii fracțiilor vă permite să treceți de la divizare la înmulțire cu fracția reciprocă. Aici trebuie să rețineți că pentru a obține inversul unei fracții date, trebuie să schimbați numărătorul și numitorul fracției date. Iată un exemplu de trecere de la împărțirea fracțiilor numerice generale la înmulțire: . Tot ce rămâne este să efectuați înmulțirea și să simplificați fracția rezultată (dacă este necesar, vedeți transformarea expresiilor iraționale):

Încheind informațiile din acest paragraf, amintiți-vă că orice număr sau expresie numerică poate fi reprezentată ca o fracție cu numitor 1, prin urmare, adunarea, scăderea, înmulțirea și împărțirea numerelor și fracțiilor pot fi considerate ca efectuând operația corespunzătoare cu fracții, una dintre care are unul la numitor . De exemplu, înlocuirea în expresie rădăcina a trei cu o fracție, trecem de la înmulțirea unei fracții cu un număr la înmulțirea a două fracții: .

A face lucruri cu fracții care conțin variabile

Regulile din prima parte a acestui articol se aplică și pentru efectuarea operațiilor cu fracții care conțin variabile. Să o justificăm pe prima dintre ele - regula de adunare și scădere a fracțiilor cu numitori identici, restul sunt dovedite în absolut același mod.

Să demonstrăm că pentru orice expresii A, C și D (D nu este identic egal cu zero) egalitatea este valabilă pe domeniul său de valori admisibile ale variabilelor.

Să luăm un anumit set de variabile din ODZ. Fie expresiile A, C și D să ia valorile a 0, c 0 și d 0 pentru aceste valori ale variabilelor. Apoi, înlocuirea valorilor variabilelor din setul selectat în expresie o transformă într-o sumă (diferență) de fracții numerice cu numitori similari de forma , care, conform regulii de adunare (scădere) a fracțiilor numerice cu numitori similari , este egal cu . Dar înlocuirea valorilor variabilelor din setul selectat în expresie o transformă în aceeași fracție. Aceasta înseamnă că pentru setul selectat de valori variabile din ODZ, valorile expresiilor și sunt egale. Este clar că valorile expresiilor indicate vor fi egale pentru orice alt set de valori ale variabilelor din ODZ, ceea ce înseamnă că expresiile și sunt identic egale, adică egalitatea care se dovedește este adevărată. .

Exemple de adunare și scădere de fracții cu variabile

Când numitorii fracțiilor care se adună sau se scad sunt aceiași, atunci totul este destul de simplu - numărătorii se adună sau se scad, dar numitorul rămâne același. Este clar că fracția obținută după aceasta este simplificată dacă este necesar și posibil.

Rețineți că uneori numitorii fracțiilor diferă doar la prima vedere, dar de fapt sunt expresii identice, de exemplu, și , sau și . Și uneori este suficient să simplificați fracțiile originale, astfel încât numitorii lor identici „să apară”.

Exemplu.

, b) , V) .

Soluţie.

a) Trebuie să scădem fracții cu numitori similari. Conform regulii corespunzătoare, lăsăm numitorul același și scădem numărătorii, avem . Acțiunea a fost finalizată. Dar puteți deschide și parantezele în numărător și prezentați termeni similari: .

b) În mod evident, numitorii fracțiilor care se adună sunt aceiași. Prin urmare, adunăm numărătorii și lăsăm numitorul același: . Adăugare finalizată. Dar este ușor de observat că fracția rezultată poate fi redusă. Într-adevăr, numărătorul fracției rezultate poate fi restrâns folosind formula pătratului sumei ca (lgx+2) 2 (vezi formulele pentru înmulțirea prescurtată), astfel au loc următoarele transformări: .

c) Fracții în sumă au numitori diferiți. Dar, după ce ați transformat una dintre fracții, puteți trece la adăugarea fracțiilor cu aceiași numitori. Vom arăta două soluții.

Prima cale. Numitorul primei fracții poate fi factorizat utilizând formula diferenței de pătrate și apoi reduceți această fracție: . Astfel, . Încă nu strica să te eliberezi de iraționalitate în numitorul fracției: .

A doua cale. Înmulțirea numărătorului și numitorului celei de-a doua fracții cu (această expresie nu merge la zero pentru nicio valoare a variabilei x din ODZ pentru expresia originală) vă permite să atingeți două obiective simultan: eliberați-vă de iraționalitate și treceți la adunarea fracțiilor cu aceiași numitori. Avem

Răspuns:

O) , b) , V) .

Ultimul exemplu ne-a adus la problema reducerii fracțiilor la un numitor comun. Acolo am ajuns aproape accidental la aceiași numitori simplificând una dintre fracțiile adăugate. Dar, în cele mai multe cazuri, atunci când adăugați și scădeți fracții cu numitori diferiți, trebuie să aduceți intenționat fracțiile la un numitor comun. Pentru a face acest lucru, de obicei numitorii fracțiilor sunt prezentați sub formă de produse, se iau toți factorii de la numitorul primei fracții și li se adaugă factorii lipsă de la numitorul celei de-a doua fracții.

Exemplu.

Efectuați operații cu fracții: a) , b), c) .

Soluţie.

a) Nu este nevoie să faceți nimic cu numitorii fracțiilor. Ca numitor comun luăm produsul . În acest caz, factorul suplimentar pentru prima fracție este expresia, iar pentru a doua fracție - numărul 3. Acești factori suplimentari aduc fracțiile la un numitor comun, care ulterior ne permite să realizăm acțiunea de care avem nevoie, avem

b) În acest exemplu, numitorii sunt deja reprezentați ca produse și nu necesită transformări suplimentare. Evident, factorii din numitori diferă doar în exponenți, prin urmare, ca numitor comun luăm produsul factorilor cu cei mai mari exponenți, adică . Atunci factorul suplimentar pentru prima fracție va fi x 4, iar pentru a doua – ln(x+1) . Acum suntem gata să scădem fracții:

c) Și în acest caz, mai întâi vom lucra cu numitorii fracțiilor. Formulele pentru diferența de pătrate și pătratul sumei vă permit să treceți de la suma inițială la expresie . Acum este clar că aceste fracții pot fi reduse la un numitor comun . Cu această abordare, soluția va arăta astfel:

Răspuns:

O)

b)

V)

Exemple de înmulțire a fracțiilor cu variabile

Înmulțirea fracțiilor produce o fracție al cărei numărător este produsul numărătorilor fracțiilor originale, iar numitorul este produsul numitorilor. Aici, după cum puteți vedea, totul este familiar și simplu și nu putem decât să adăugăm că fracția obținută în urma acestei acțiuni se dovedește adesea a fi reductibilă. În aceste cazuri, se reduce, cu excepția cazului în care, desigur, este necesar și justificat.

Acest articol examinează operațiunile pe fracții. Se vor forma și justifica reguli de adunare, scădere, înmulțire, împărțire sau exponențiere a fracțiilor de forma A B, unde A și B pot fi numere, expresii numerice sau expresii cu variabile. În concluzie, vor fi luate în considerare exemple de soluții cu descrieri detaliate.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Reguli pentru efectuarea operaţiilor cu fracţii numerice generale

Fracțiile generale au un numărător și un numitor care conțin numere naturale sau expresii numerice. Dacă luăm în considerare fracții precum 3 5, 2, 8 4, 1 + 2 3 4 (5 - 2), 3 4 + 7 8 2, 3 - 0, 8, 1 2 2, π 1 - 2 3 + π, 2 0, 5 ln 3, atunci este clar că numărătorul și numitorul pot avea nu numai numere, ci și expresii de diferite tipuri.

Definiția 1

Există reguli prin care se efectuează operațiuni cu fracții obișnuite. Este potrivit și pentru fracții generale:

• La scăderea fracțiilor cu numitori similari se adună doar numărătorii, iar numitorul rămâne același, și anume: a d ± c d = a ± c d, valorile a, c și d ≠ 0 sunt niște numere sau expresii numerice.
• La adunarea sau scăderea unei fracții cu numitori diferiți, este necesar să o reduceți la un numitor comun, apoi să adăugați sau scădeți fracțiile rezultate cu aceiași exponenți. Literal, arată astfel: a b ± c d = a · p ± c · r s, unde valorile a, b ≠ 0, c, d ≠ 0, p ≠ 0, r ≠ 0, s ≠ 0 sunt numere reale, și b · p = d · r = s . Când p = d și r = b, atunci a b ± c d = a · d ± c · d b · d.
• La înmulțirea fracțiilor, acțiunea se realizează cu numărători, după care cu numitori, atunci obținem a b · c d = a · c b · d, unde a, b ≠ 0, c, d ≠ 0 acționează ca numere reale.
• Când împărțim o fracție la o fracție, o înmulțim pe prima cu a doua inversă, adică schimbăm numărătorul și numitorul: a b: c d = a b · d c.

Rațiunea regulilor

Definiția 2

Există următoarele puncte matematice pe care ar trebui să te bazezi când calculezi:

• bara oblică înseamnă semnul diviziunii;
• împărțirea la un număr este tratată ca o înmulțire cu valoarea sa reciprocă;
• aplicarea proprietății operațiilor cu numere reale;
• aplicarea proprietății de bază a fracțiilor și a inegalităților numerice.

Cu ajutorul lor, puteți efectua transformări ale formei:

a d ± c d = a · d - 1 ± c · d - 1 = a ± c · d - 1 = a ± c d ; a b ± c d = a · p b · p ± c · r d · r = a · p s ± c · e s = a · p ± c · r s ; a b · c d = a · d b · d · b · c b · d = a · d · a · d - 1 · b · c · b · d - 1 = = a · d · b · c · b · d - 1 · b · d - 1 = a · d · b · c b · d · b · d - 1 = = (a · c) · (b · d) - 1 = a · c b · d

Exemple

În paragraful anterior s-a spus despre operații cu fracții. După aceasta, fracția trebuie simplificată. Acest subiect a fost discutat în detaliu în paragraful despre conversia fracțiilor.

Mai întâi, să ne uităm la un exemplu de adunare și scădere a fracțiilor cu același numitor.

Exemplul 1

Având în vedere fracțiile 8 2, 7 și 1 2, 7, atunci conform regulii este necesar să adăugați numărătorul și să rescrieți numitorul.

Soluţie

Apoi obținem o fracție de forma 8 + 1 2, 7. După efectuarea adunării, obținem o fracție de forma 8 + 1 2, 7 = 9 2, 7 = 90 27 = 3 1 3. Aceasta înseamnă 8 2, 7 + 1 2, 7 = 8 + 1 2, 7 = 9 2, 7 = 90 27 = 3 1 3.

Răspuns: 8 2 , 7 + 1 2 , 7 = 3 1 3

Există o altă soluție. Pentru început, trecem la forma unei fracții obișnuite, după care efectuăm o simplificare. Arata cam asa:

8 2 , 7 + 1 2 , 7 = 80 27 + 10 27 = 90 27 = 3 1 3

Exemplul 2

Să scădem din 1 - 2 3 · log 2 3 · log 2 5 + 1 o fracție de forma 2 3 3 · log 2 3 · log 2 5 + 1 .

Deoarece sunt dați numitori egali, înseamnă că calculăm o fracție cu același numitor. Înțelegem asta

1 - 2 3 log 2 3 log 2 5 + 1 - 2 3 3 log 2 3 log 2 5 + 1 = 1 - 2 - 2 3 3 log 2 3 log 2 5 + 1

Există exemple de calculare a fracțiilor cu numitori diferiți. Un punct important este reducerea la un numitor comun. Fără aceasta, nu vom putea efectua alte operații cu fracții.

Procesul seamănă vag cu reducerea la un numitor comun. Adică se caută cel mai mic divizor comun în numitor, după care factorii lipsă se adaugă la fracții.

Dacă fracțiile adăugate nu au factori comuni, atunci produsul lor poate deveni unul.

Exemplul 3

Să ne uităm la exemplul de adunare a fracțiilor 2 3 5 + 1 și 1 2.

Soluţie

În acest caz, numitorul comun este produsul numitorilor. Atunci obținem că 2 · 3 5 + 1. Apoi, atunci când stabilim factori suplimentari, avem că pentru prima fracție este egală cu 2, iar pentru a doua este 3 5 + 1. După înmulțire, fracțiile sunt reduse la forma 4 2 · 3 5 + 1. Reducerea generală a lui 1 2 va fi 3 5 + 1 2 · 3 5 + 1. Adăugăm expresiile fracționale rezultate și obținem asta

2 3 5 + 1 + 1 2 = 2 2 2 3 5 + 1 + 1 3 5 + 1 2 3 5 + 1 = = 4 2 3 5 + 1 + 3 5 + 1 2 3 5 + 1 = 4 + 3 5 + 1 2 3 5 + 1 = 5 + 3 5 2 3 5 + 1

Răspuns: 2 3 5 + 1 + 1 2 = 5 + 3 5 2 3 5 + 1

Când avem de-a face cu fracții generale, atunci de obicei nu vorbim despre cel mai mic numitor comun. Este neprofitabil să luăm ca numitor produsul numărătorilor. Mai întâi trebuie să verificați dacă există un număr care are o valoare mai mică decât produsul lor.

Exemplul 4

Să luăm în considerare exemplul lui 1 6 · 2 1 5 și 1 4 · 2 3 5, când produsul lor este egal cu 6 · 2 1 5 · 4 · 2 3 5 = 24 · 2 4 5. Apoi luăm 12 · 2 3 5 ca numitor comun.

Să ne uităm la exemple de înmulțire a fracțiilor generale.

Exemplul 5

Pentru a face acest lucru, trebuie să înmulțiți 2 + 1 6 și 2 · 5 3 · 2 + 1.

Soluţie

Urmând regula, este necesar să rescrieți și să scrieți produsul numărătorilor sub forma unui numitor. Obținem că 2 + 1 6 2 5 3 2 + 1 2 + 1 2 5 6 3 2 + 1. Odată ce o fracție a fost înmulțită, puteți face reduceri pentru a o simplifica. Atunci 5 · 3 3 2 + 1: 10 9 3 = 5 · 3 3 2 + 1 · 9 3 10.

Folosind regula pentru trecerea de la împărțirea la înmulțirea cu o fracție reciprocă, obținem o fracție care este reciproca celei date. Pentru a face acest lucru, numărătorul și numitorul sunt schimbate. Să ne uităm la un exemplu:

5 3 3 2 + 1: 10 9 3 = 5 3 3 2 + 1 9 3 10

Apoi trebuie să înmulțească și să simplifice fracția rezultată. Dacă este necesar, scăpați de iraționalitatea în numitor. Înțelegem asta

5 3 3 2 + 1: 10 9 3 = 5 3 3 9 3 10 2 + 1 = 5 2 10 2 + 1 = 3 2 2 + 1 = 3 2 - 1 2 2 + 1 2 - 1 = 3 2 - 1 2 2 2 - 1 2 = 3 2 - 1 2

Răspuns: 5 3 3 2 + 1: 10 9 3 = 3 2 - 1 2

Acest paragraf este aplicabil atunci când un număr sau o expresie numerică poate fi reprezentat ca o fracție cu un numitor egal cu 1, atunci operația cu o astfel de fracție este considerată un paragraf separat. De exemplu, expresia 1 6 · 7 4 - 1 · 3 arată că rădăcina lui 3 poate fi înlocuită cu o altă expresie 3 1. Atunci această intrare va arăta ca înmulțirea a două fracții de forma 1 6 · 7 4 - 1 · 3 = 1 6 · 7 4 - 1 · 3 1.

Efectuarea de operații pe fracții care conțin variabile

Regulile discutate în primul articol sunt aplicabile operațiilor cu fracții care conțin variabile. Luați în considerare regula scăderii atunci când numitorii sunt aceiași.

Este necesar să se demonstreze că A, C și D (D nu este egal cu zero) pot fi orice expresii, iar egalitatea A D ± C D = A ± C D este echivalentă cu domeniul său de valori admisibile.

Este necesar să se ia un set de variabile ODZ. Atunci A, C, D trebuie să ia valorile corespunzătoare a 0 , c 0 și d 0. Înlocuirea formei A D ± C D are ca rezultat o diferență de forma a 0 d 0 ± c 0 d 0 , unde, folosind regula adunării, obținem o formulă de forma a 0 ± c 0 d 0 . Dacă înlocuim expresia A ± C D, atunci obținem aceeași fracție de forma a 0 ± c 0 d 0. De aici concluzionăm că valoarea selectată care satisface ODZ, A ± C D și A D ± C D sunt considerate egale.

Pentru orice valoare a variabilelor, aceste expresii vor fi egale, adică se numesc identic egale. Aceasta înseamnă că această expresie este considerată o egalitate demonstrabilă de forma A D ± C D = A ± C D .

Exemple de adunare și scădere de fracții cu variabile

Când aveți aceiași numitori, trebuie doar să adăugați sau să scădeți numărătorii. Această fracție poate fi simplificată. Uneori trebuie să lucrați cu fracții care sunt identic egale, dar la prima vedere acest lucru nu se observă, deoarece unele transformări trebuie efectuate. De exemplu, x 2 3 x 1 3 + 1 și x 1 3 + 1 2 sau 1 2 sin 2 α și sin a cos a. Cel mai adesea, este necesară o simplificare a expresiei originale pentru a vedea aceiași numitori.

Exemplul 6

Calculați: 1) x 2 + 1 x + x - 2 - 5 - x x + x - 2, 2) l g 2 x + 4 x · (l g x + 2) + 4 · l g x x · (l g x + 2) , x - 1 x - 1 + x x + 1 .

Soluţie

1. Pentru a face calculul, trebuie să scădeți fracțiile care au același numitor. Atunci obținem că x 2 + 1 x + x - 2 - 5 - x x + x - 2 = x 2 + 1 - 5 - x x + x - 2 . După care puteți extinde parantezele și adăugați termeni similari. Obținem că x 2 + 1 - 5 - x x + x - 2 = x 2 + 1 - 5 + x x + x - 2 = x 2 + x - 4 x + x - 2
2. Deoarece numitorii sunt aceiași, nu rămâne decât să adunăm numărătorii, lăsând numitorul: l g 2 x + 4 x (l g x + 2) + 4 l g x x (l g x + 2) = l g 2 x + 4 + 4 x (l g x + 2) + 2)
   Adăugarea a fost finalizată. Se poate observa că este posibilă reducerea fracției. Numătorul său poate fi pliat folosind formula pentru pătratul sumei, apoi obținem (l g x + 2) 2 din formule de înmulțire prescurtate. Atunci obținem asta
   l g 2 x + 4 + 2 l g x x (l g x + 2) = (l g x + 2) 2 x (l g x + 2) = l g x + 2 x
3. Date fracții de forma x - 1 x - 1 + x x + 1 cu diferiți numitori. După transformare, puteți trece la adăugare.

Să luăm în considerare o soluție dublă.

Prima metodă este ca numitorul primei fracții să fie factorizat folosind pătrate, cu reducerea sa ulterioară. Obținem o fracțiune din formă

x - 1 x - 1 = x - 1 (x - 1) x + 1 = 1 x + 1

Deci x - 1 x - 1 + x x + 1 = 1 x + 1 + x x + 1 = 1 + x x + 1 .

În acest caz, este necesar să scăpăm de iraționalitatea în numitor.

1 + x x + 1 = 1 + x x - 1 x + 1 x - 1 = x - 1 + x x - x x - 1

A doua metodă este de a înmulți numărătorul și numitorul celei de-a doua fracții cu expresia x - 1. Astfel, scăpăm de iraționalitate și trecem la adunarea fracțiilor cu același numitor. Apoi

x - 1 x - 1 + x x + 1 = x - 1 x - 1 + x x - 1 x + 1 x - 1 = = x - 1 x - 1 + x x - x x - 1 = x - 1 + x · x - x x - 1

Răspuns: 1) x 2 + 1 x + x - 2 - 5 - x x + x - 2 = x 2 + x - 4 x + x - 2, 2) l g 2 x + 4 x · (l g x + 2) + 4 · l g x x · (l g x + 2) = l g x + 2 x, 3) x - 1 x - 1 + x x + 1 = x - 1 + x · x - x x - 1 .

În ultimul exemplu am constatat că reducerea la un numitor comun este inevitabilă. Pentru a face acest lucru, trebuie să simplificați fracțiile. Când adăugați sau scădeți, trebuie întotdeauna să căutați un numitor comun, care arată ca produsul numitorilor cu factori suplimentari adăugați la numărători.

Exemplul 7

Calculați valorile fracțiilor: 1) x 3 + 1 x 7 + 2 2, 2) x + 1 x ln 2 (x + 1) (2 x - 4) - sin x x 5 ln (x + 1) (2 x - 4), 3) ​​1 cos 2 x - x + 1 cos 2 x + 2 cos x x + x

Soluţie

1. Numitorul nu necesită calcule complexe, așa că trebuie să alegeți produsul lor de forma 3 x 7 + 2 · 2, apoi alegeți x 7 + 2 · 2 pentru prima fracție ca factor suplimentar și 3 pentru a doua. Când înmulțim, obținem o fracție de forma x 3 + 1 x 7 + 2 2 = x x 7 + 2 2 3 x 7 + 2 2 + 3 1 3 x 7 + 2 2 = = x x 7 + 2 2 + 3 3 x 7 + 2 2 = x x 7 + 2 2 x + 3 3 x 7 + 2 2
2. Se poate observa că numitorii sunt prezentați sub forma unui produs, ceea ce înseamnă că transformările suplimentare sunt inutile. Numitorul comun va fi considerat un produs de forma x 5 · ln 2 x + 1 · 2 x - 4 . Prin urmare, x 4 este un factor suplimentar la prima fracție și ln(x + 1) la al doilea. Apoi scadem si obtinem:
   x + 1 x ln 2 (x + 1) 2 x - 4 - sin x x 5 ln (x + 1) 2 x - 4 = = x + 1 x 4 x 5 ln 2 (x + 1 ) · 2 x - 4 - sin x · ln x + 1 x 5 · ln 2 (x + 1) · (2 ​​​​x - 4) = = x + 1 · x 4 - sin x · ln (x + 1) x 5 · ln 2 (x + 1) · (2 ​​​​x - 4) = x · x 4 + x 4 - sin x · ln (x + 1) x 5 · ln 2 (x + 1) · (2 ​​x - 4 )
3. Acest exemplu are sens atunci când lucrați cu numitori de fracții. Este necesar să se aplice formulele pentru diferența de pătrate și pătratul sumei, deoarece acestea vor face posibilă trecerea la o expresie de forma 1 cos x - x · cos x + x + 1 (cos x + x) 2. Se poate observa că fracțiile sunt reduse la un numitor comun. Obținem că cos x - x · cos x + x 2 .

Atunci obținem asta

1 cos 2 x - x + 1 cos 2 x + 2 cos x x + x = = 1 cos x - x cos x + x + 1 cos x + x 2 = = cos x + x cos x - x cos x + x 2 + cos x - x cos x - x cos x + x 2 = = cos x + x + cos x - x cos x - x cos x + x 2 = 2 cos x cos x - x cos x + x 2

Răspuns:

1) x 3 + 1 x 7 + 2 2 = x x 7 + 2 2 x + 3 3 x 7 + 2 2, 2) x + 1 x ln 2 (x + 1) 2 x - 4 - sin x x 5 · ln (x + 1) · 2 x - 4 = = x · x 4 + x 4 - sin x · ln (x + 1) x 5 · ln 2 (x + 1) · ( 2 x - 4) , 3) ​​​​1 cos 2 x - x + 1 cos 2 x + 2 · cos x · x + x = 2 · cos x cos x - x · cos x + x 2 .

Exemple de înmulțire a fracțiilor cu variabile

La înmulțirea fracțiilor, numărătorul este înmulțit cu numărătorul și numitorul cu numitorul. Apoi puteți aplica proprietatea de reducere.

Exemplul 8

Înmulțiți fracțiile x + 2 · x x 2 · ln x 2 · ln x + 1 și 3 · x 2 1 3 · x + 1 - 2 sin 2 · x - x.

Soluţie

Înmulțirea trebuie făcută. Înțelegem asta

x + 2 x x 2 ln x 2 ln x + 1 3 x 2 1 3 x + 1 - 2 sin (2 x - x) = = x - 2 x 3 x 2 1 3 x + 1 - 2 x 2 ln x 2 ln x + 1 sin (2 x - x)

Numărul 3 este mutat pe primul loc pentru confortul calculelor și puteți reduce fracția cu x 2, apoi obținem o expresie de forma

3 x - 2 x x 1 3 x + 1 - 2 ln x 2 ln x + 1 sin (2 x - x)

Răspuns: x + 2 x x 2 ln x 2 ln x + 1 3 x 2 1 3 x + 1 - 2 sin (2 x - x) = 3 x - 2 x x 1 3 x + 1 - 2 ln x 2 · ln x + 1 · sin (2 · x - x) .

Diviziune

Împărțirea fracțiilor este similară cu înmulțirea, deoarece prima fracție este înmulțită cu a doua reciprocă. Dacă luăm de exemplu fracția x + 2 x x 2 ln x 2 ln x + 1 și împărțim la 3 x 2 1 3 x + 1 - 2 sin 2 x - x, atunci ea poate fi scrisă ca

x + 2 · x x 2 · ln x 2 · ln x + 1: 3 · x 2 1 3 · x + 1 - 2 sin (2 · x - x) , apoi înlocuiți cu un produs de forma x + 2 · x x 2 · ln x 2 ln x + 1 3 x 2 1 3 x + 1 - 2 sin (2 x - x)

Exponentiație

Să trecem la luarea în considerare a operațiilor cu fracții generale cu exponențiere. Dacă există o putere cu exponent natural, atunci acțiunea este considerată ca înmulțire a fracțiilor egale. Dar se recomandă utilizarea unei abordări generale bazate pe proprietățile gradelor. Orice expresii A și C, unde C nu este identic egal cu zero, și orice r real din ODZ pentru o expresie de forma A C r egalitatea A C r = A r C r este valabilă. Rezultatul este o fracție ridicată la o putere. De exemplu, luați în considerare:

x 0, 7 - π · ln 3 x - 2 - 5 x + 1 2, 5 = = x 0, 7 - π · ln 3 x - 2 - 5 2, 5 x + 1 2, 5

Procedura de efectuare a operatiilor cu fractii

Operațiile pe fracții se efectuează după anumite reguli. În practică, observăm că o expresie poate conține mai multe fracții sau expresii fracționale. Apoi, este necesar să efectuați toate acțiunile în ordine strictă: ridicați la o putere, înmulțiți, împărțiți, apoi adăugați și scădeți. Dacă există paranteze, în ele se execută prima acțiune.

Exemplul 9

Calculați 1 - x cos x - 1 c o s x · 1 + 1 x .

Soluţie

Deoarece avem același numitor, atunci 1 - x cos x și 1 c o s x, dar nu se pot face scăderi conform regulii, se fac mai întâi acțiunile din paranteze, apoi înmulțirea, apoi adunarea. Atunci când calculăm, obținem asta

1 + 1 x = 1 1 + 1 x = x x + 1 x = x + 1 x

Când înlocuim expresia în cea originală, obținem că 1 - x cos x - 1 cos x · x + 1 x. La înmulțirea fracțiilor avem: 1 cos x · x + 1 x = x + 1 cos x · x. După ce au făcut toate înlocuirile, obținem 1 - x cos x - x + 1 cos x · x. Acum trebuie să lucrați cu fracții care au numitori diferiți. Primim:

x · 1 - x cos x · x - x + 1 cos x · x = x · 1 - x - 1 + x cos x · x = = x - x - x - 1 cos x · x = - x + 1 cos x x

Răspuns: 1 - x cos x - 1 c o s x · 1 + 1 x = - x + 1 cos x · x .

Dacă observați o eroare în text, vă rugăm să o evidențiați și să apăsați Ctrl+Enter

) și numitor cu numitor (se obține numitorul produsului).

Formula pentru înmulțirea fracțiilor:

De exemplu:

Înainte de a începe înmulțirea numărătorilor și numitorilor, trebuie să verificați dacă fracția poate fi redusă. Dacă puteți reduce fracția, vă va fi mai ușor să faceți calcule suplimentare.

Împărțirea unei fracții comune la o fracție.

Împărțirea fracțiilor care implică numere naturale.

Nu este atât de înfricoșător pe cât pare. Ca și în cazul adunării, convertim întregul într-o fracție cu unu la numitor. De exemplu:

Înmulțirea fracțiilor mixte.

Reguli pentru înmulțirea fracțiilor (mixte):

• converti fracțiile mixte în fracții improprii;
• înmulțirea numărătorilor și numitorilor fracțiilor;
• reduceți fracția;
• Dacă obțineți o fracție improprie, atunci convertim fracția improprie într-o fracție mixtă.

Fiţi atenți! Pentru a înmulți o fracție mixtă cu o altă fracție mixtă, trebuie mai întâi să le convertiți în forma de fracții improprii și apoi să înmulțiți conform regulii de înmulțire a fracțiilor obișnuite.

A doua modalitate de a înmulți o fracție cu un număr natural.

Poate fi mai convenabil să folosiți a doua metodă de înmulțire a unei fracții comune cu un număr.

Fiţi atenți! Pentru a înmulți o fracție cu un număr natural, trebuie să împărțiți numitorul fracției la acest număr și să lăsați numărătorul neschimbat.

Din exemplul de mai sus, este clar că această opțiune este mai convenabilă de utilizat atunci când numitorul unei fracții este împărțit fără rest la un număr natural.

Fracții cu mai multe etaje.

În liceu, sunt adesea întâlnite fracții cu trei etaje (sau mai multe). Exemplu:

Pentru a aduce o astfel de fracție la forma ei obișnuită, utilizați împărțirea prin 2 puncte:

Fiţi atenți! La împărțirea fracțiilor, ordinea împărțirii este foarte importantă. Fii atent, aici este ușor să te încurci.

Vă rugăm să rețineți De exemplu:

Când împărțiți unul la orice fracție, rezultatul va fi aceeași fracție, doar inversată:

Sfaturi practice pentru înmulțirea și împărțirea fracțiilor:

1. Cel mai important lucru atunci când lucrați cu expresii fracționale este acuratețea și atenția. Faceți toate calculele cu atenție și precizie, concentrat și clar. Este mai bine să scrieți câteva rânduri în plus în ciornă decât să vă pierdeți în calcule mentale.

2. În sarcinile cu diferite tipuri de fracții, mergeți la tipul de fracții obișnuite.

3. Reducem toate fracțiile până când nu se mai poate reduce.

4. Transformăm expresii fracționale cu mai multe niveluri în expresii obișnuite folosind împărțirea prin 2 puncte.

5. Împărțiți o unitate la o fracțiune în cap, pur și simplu răsturnând fracția.