Tabelul celor mai simple integrale nedefinite. Integrale pentru manechine: cum se rezolvă, reguli de calcul, explicație

Definiția 1

Antiderivata $F(x)$ pentru funcția $y=f(x)$ pe segmentul $$ este o funcție care este diferențiabilă în fiecare punct al acestui segment și următoarea egalitate este valabilă pentru derivata sa:

Definiția 2

Mulțimea tuturor antiderivatelor unei funcții date $y=f(x)$, definite pe un anumit segment, se numește integrală nedefinită a unei funcții date $y=f(x)$. Integrala nedefinită se notează cu simbolul $\int f(x)dx $.

Din tabelul derivatelor și Definiția 2 obținem tabelul integralelor de bază.

Exemplul 1

Verificați validitatea formulei 7 din tabelul de integrale:

\[\int tgxdx =-\ln |\cos x|+C,\, \, C=const.\]

Să diferențiem partea dreaptă: $-\ln |\cos x|+C$.

\[\left(-\ln |\cos x|+C\right)"=-\frac(1)(\cos x) \cdot (-\sin x)=\frac(\sin x)(\cos x) =tgx\]

Exemplul 2

Verificați validitatea formulei 8 din tabelul de integrale:

\[\int ctgxdx =\ln |\sin x|+C,\, \, C=const.\]

Să diferențiem partea dreaptă: $\ln |\sin x|+C$.

\[\left(\ln |\sin x|\right)"=\frac(1)(\sin x) \cdot \cos x=ctgx\]

Derivata s-a dovedit a fi egală cu integrandul. Prin urmare, formula este corectă.

Exemplul 3

Verificați validitatea formulei 11" din tabelul de integrale:

\[\int \frac(dx)(a^(2) +x^(2) ) =\frac(1)(a) arctg\frac(x)(a) +C,\, \, C=const .\]

Să diferențiem partea dreaptă: $\frac(1)(a) arctg\frac(x)(a) +C$.

\[\left(\frac(1)(a) arctg\frac(x)(a) +C\right)"=\frac(1)(a) \cdot \frac(1)(1+\left( \frac(x)(a) \right)^(2) ) \cdot \frac(1)(a) =\frac(1)(a^(2) ) \cdot \frac(a^(2) ) (a^(2) +x^(2) ) \]

Derivata s-a dovedit a fi egală cu integrandul. Prin urmare, formula este corectă.

Exemplul 4

Verificați validitatea formulei 12 din tabelul de integrale:

\[\int \frac(dx)(a^(2) -x^(2) ) =\frac(1)(2a) \ln \left|\frac(a+x)(a-x) \right|+ C,\, \, C=const.\]

Să diferențiem partea dreaptă: $\frac(1)(2a) \ln \left|\frac(a+x)(a-x) \right|+C$.

$\left(\frac(1)(2a) \ln \left|\frac(a+x)(a-x) \right|+C\right)"=\frac(1)(2a) \cdot \frac( 1)(\frac(a+x)(a-x) ) \cdot \left(\frac(a+x)(a-x) \right)"=\frac(1)(2a) \cdot \frac(a-x)( a+x) \cdot \frac(a-x+a+x)((a-x)^(2) ) =\frac(1)(2a) \cdot \frac(a-x)(a+x) \cdot \ frac(2a)((a-x)^(2) ) =\frac(1)(a^(2) -x^(2) ) $Derivata s-a dovedit a fi egală cu integrandul. Prin urmare, formula este corectă.

Exemplul 5

Verificați validitatea formulei 13" din tabelul de integrale:

\[\int \frac(dx)(\sqrt(a^(2) -x^(2) ) ) =\arcsin \frac(x)(a) +C,\, \, C=const.\]

Să diferențiem partea dreaptă: $\arcsin \frac(x)(a) +C$.

\[\left(\arcsin \frac(x)(a) +C\right)"=\frac(1)(\sqrt(1-\left(\frac(x)(a) \right)^(2 ) ) ) \cdot \frac(1)(a) =\frac(a)(\sqrt(a^(2) -x^(2) ) ) \cdot \frac(1)(a) =\frac( 1)(\sqrt(a^(2) -x^(2) ) ) \]

Derivata s-a dovedit a fi egală cu integrandul. Prin urmare, formula este corectă.

Exemplul 6

Verificați validitatea formulei 14 din tabelul de integrale:

\[\int \frac(dx)(\sqrt(x^(2) \pm a^(2) ) =\ln |x+\sqrt(x^(2) \pm a^(2) ) |+ C ,\, \, C=const.\]

Să diferențiem partea dreaptă: $\ln |x+\sqrt(x^(2) \pm a^(2) ) |+C$.

\[\left(\ln |x+\sqrt(x^(2) \pm a^(2) ) |+C\right)"=\frac(1)(x+\sqrt(x^(2) \pm a^(2) ) \cdot \left(x+\sqrt(x^(2) \pm a^(2) ) \right)"=\frac(1)(x+\sqrt(x^(2) \ pm a^(2) ) \cdot \left(1+\frac(1)(2\sqrt(x^(2) \pm a^(2) ) ) \cdot 2x\right)=\] \[ =\ frac(1)(x+\sqrt(x^(2) \pm a^(2) ) \cdot \frac(\sqrt(x^(2) \pm a^(2) ) +x)( \sqrt( x^(2) \pm a^(2) ) =\frac(1)(\sqrt(x^(2) \pm a^(2) ) ) \]

Derivata s-a dovedit a fi egală cu integrandul. Prin urmare, formula este corectă.

Exemplul 7

Găsiți integrala:

\[\int \left(\cos (3x+2)+5x\right) dx.\]

Să folosim teorema sumei integrale:

\[\int \left(\cos (3x+2)+5x\right) dx=\int \cos (3x+2)dx +\int 5xdx .\]

Să folosim teorema despre plasarea unui factor constant în afara semnului integral:

\[\int \cos (3x+2)dx +\int 5xdx =\int \cos (3x+2)dx +5\int xdx .\]

Conform tabelului de integrale:

\[\int \cos x dx=\sin x+C;\] \[\int xdx =\frac(x^(2) )(2) +C.\]

Când calculăm prima integrală, folosim regula 3:

\[\int \cos (3x+2) dx=\frac(1)(3) \sin (3x+2)+C_(1) .\]

Prin urmare,

\[\int \left(\cos (3x+2)+5x\right) dx=\frac(1)(3) \sin (3x+2)+C_(1) +\frac(5x^(2) )(2) +C_(2) =\frac(1)(3) \sin (3x+2)+\frac(5x^(2) )(2) +C,\, \, C=C_(1 ) +C_(2) \]

Să enumerăm integralele lui functii elementare, care sunt uneori numite tabulare:

Oricare dintre formulele de mai sus poate fi dovedită luând derivata din partea dreaptă (rezultatul va fi integrandul).

Metode de integrare

Să ne uităm la câteva metode de integrare de bază. Acestea includ:

1. Metoda de descompunere(integrare directă).

Această metodă se bazează pe utilizarea directă a integralelor tabulare, precum și pe utilizarea proprietăților 4 și 5 ale integralei nedefinite (adică, scoaterea factorului constant și/sau reprezentarea integrandul ca sumă de funcții - descompunerea integrat în termeni).

Exemplul 1. De exemplu, pentru a găsi(dx/x 4) puteți utiliza direct integrala tabelului pentrux n dx. De fapt,(dx/x 4) =x -4 dx=x -3 /(-3) +C= -1/3x 3 +C.

Exemplul 2. Pentru a-l găsi, folosim aceeași integrală:

Exemplul 3. Pentru a-l găsi trebuie să luați

Exemplul 4. Pentru a găsi, reprezentăm funcția integrand sub forma și folosiți integrala tabelului pentru funcția exponențială:

Să considerăm utilizarea bracketing-ului un factor constant.

Exemplul 5.Să găsim, de exemplu . Având în vedere asta, obținem

Exemplul 6. O vom găsi. Din moment ce , să folosim integrala tabelului Primim

În următoarele două exemple, puteți utiliza, de asemenea, paranteze și integrale de tabel:

Exemplul 7.

(folosim și );

Exemplul 8.

(folosim Şi ).

Să ne uităm la exemple mai complexe care folosesc integrala sumă.

Exemplul 9. De exemplu, să găsim
. Pentru a aplica metoda expansiunii în numărător, folosim formula cubului sumei , iar apoi împărțim polinomul rezultat la numitor, termen cu termen.

=((8x 3/2 + 12x+ 6x 1/2 + 1)/(x 3/2))dx=(8 + 12x -1/2 + 6/x+x -3/2)dx= 8 dx+ 12x -1/2 dx+ + 6dx/x+x -3/2 dx=

De remarcat că la sfârșitul soluției se scrie o constantă comună C (și nu unele separate la integrarea fiecărui termen). În viitor, se mai propune omiterea constantelor din integrarea termenilor individuali în procesul de rezolvare atâta timp cât expresia conține cel puțin o integrală nedefinită (vom scrie o constantă la sfârșitul soluției).

Exemplul 10. Vom găsi . Pentru a rezolva această problemă, să factorizăm numărătorul (după aceasta putem reduce numitorul).

Exemplul 11. O vom găsi. Identitățile trigonometrice pot fi folosite aici.

Uneori, pentru a descompune o expresie în termeni, trebuie să folosiți tehnici mai complexe.

Exemplul 12. Vom găsi . În integrand selectăm întreaga parte a fracției . Apoi

Exemplul 13. Vom găsi

2. Metoda de înlocuire a variabilei (metoda de înlocuire)

Metoda se bazează pe următoarea formulă: f(x)dx=f((t))`(t)dt, unde x =(t) este o funcție diferențiabilă pe intervalul luat în considerare.

Dovada. Să găsim derivatele în raport cu variabila t din partea stângă și dreaptă a formulei.

Rețineți că în partea stângă există o funcție complexă al cărei argument intermediar este x = (t). Prin urmare, pentru a o diferenția față de t, mai întâi diferențiem integrala față de x și apoi luăm derivata argumentului intermediar față de t.

( f(x)dx)` t = ( f(x)dx)` x *x` t = f(x) `(t)

Derivată din partea dreaptă:

(f((t))`(t)dt)` t =f((t))`(t) =f(x)`(t)

Deoarece aceste derivate sunt egale, prin corolar teoremei lui Lagrange, laturile stângă și dreaptă ale formulei care se dovedește diferă printr-o anumită constantă. Deoarece integralele nedefinite în sine sunt definite până la un termen constant nedefinit, această constantă poate fi omisă din notația finală. Dovedit.

O schimbare cu succes a variabilei vă permite să simplificați integrala originală și, în cele mai simple cazuri, să o reduceți la una tabelară. În aplicarea acestei metode, se face o distincție între metodele de substituție liniară și neliniară.

a) Metoda substituției liniare Să ne uităm la un exemplu.

Exemplul 1.
. Fie t= 1 – 2x, atunci

dx=d(½ - ½t) = - ½dt

Trebuie remarcat faptul că noua variabilă nu trebuie să fie scrisă în mod explicit. În astfel de cazuri, se vorbește despre transformarea unei funcții sub semn diferențial sau despre introducerea de constante și variabile sub semn diferențial, i.e. O înlocuirea implicită a variabilei.

Exemplul 2. De exemplu, să găsimcos(3x + 2)dx. Prin proprietățile diferențialei dx = (1/3)d(3x) = (1/3)d(3x + 2), atuncicos(3x + 2)dx =(1/3)cos(3x + 2)d (3x + + 2) = (1/3)cos(3x + 2)d(3x + 2) = (1/3)sin(3x + 2) +C.

În ambele exemple luate în considerare, substituția liniară t=kx+b(k0) a fost folosită pentru a găsi integralele.

În cazul general, următoarea teoremă este valabilă.

Teorema substituției liniare. Fie F(x) o antiderivată a funcției f(x). Atuncif(kx+b)dx= (1/k)F(kx+b) +C, unde k și b sunt niște constante,k0.

Dovada.

Prin definiția integralei f(kx+b)d(kx+b) =F(kx+b) +C. Hod(kx+b)= (kx+b)`dx=kdx. Să luăm factorul constant k din semnul integral: kf(kx+b)dx=F(kx+b) +C. Acum putem împărți părțile stânga și dreaptă ale egalității în două și obținem afirmația de demonstrat până la desemnarea termenului constant.

Această teoremă afirmă că dacă în definiția integralei f(x)dx= F(x) + C în loc de argumentul x înlocuim expresia (kx+b), aceasta va duce la apariția unei factorul 1/k în fața antiderivatei.

Folosind teorema dovedită, rezolvăm următoarele exemple.

Exemplul 3.

Vom găsi . Aici kx+b= 3 –x, adică k= -1,b= 3. Atunci

Exemplul 4.

O vom găsi. Herekx+b= 4x+ 3, adică k= 4,b= 3. Atunci

Exemplul 5.

Vom găsi . Aici kx+b= -2x+ 7, adică k= -2,b= 7. Atunci

.

Exemplul 6. Vom găsi
. Aici kx+b= 2x+ 0, adică k= 2,b= 0.

.

Să comparăm rezultatul obținut cu exemplul 8, care a fost rezolvat prin metoda de descompunere. Rezolvând aceeași problemă folosind o metodă diferită, am primit răspunsul
. Să comparăm rezultatele: Astfel, aceste expresii diferă între ele printr-un termen constant , adică Răspunsurile primite nu se contrazic.

Exemplul 7. Vom găsi
. Să selectăm un pătrat perfect la numitor.

În unele cazuri, schimbarea unei variabile nu reduce integrala direct la una tabelară, dar poate simplifica soluția, făcând posibilă utilizarea metodei de expansiune la un pas ulterior.

Exemplul 8. De exemplu, să găsim . Înlocuiți t=x+ 2, apoi dt=d(x+ 2) =dx. Apoi

,

unde C = C 1 – 6 (la înlocuirea expresiei (x+ 2) în loc de primii doi termeni obținem ½x 2 -2x– 6).

Exemplul 9. Vom găsi
. Fie t= 2x+ 1, apoi dt= 2dx;dx= ½dt;x= (t– 1)/2.

Să înlocuim expresia (2x+ 1) cu t, deschidem parantezele și dăm altele similare.

Rețineți că în procesul transformărilor am trecut la un alt termen constant, deoarece grupul de termeni constanți ar putea fi omis în timpul procesului de transformare.

b) Metoda substituției neliniare Să ne uităm la un exemplu.

Exemplul 1.
. Lett= -x 2. Apoi, se poate exprima x în termeni de t, apoi se găsește o expresie pentru dx și se implementează o modificare a variabilei în integrala dorită. Dar în acest caz este mai ușor să faci lucrurile diferit. Să găsim dt=d(-x 2) = -2xdx. Rețineți că expresia xdx este un factor al integrandului integralei dorite. Să o exprimăm din egalitatea rezultatăxdx= - ½dt. Apoi

=  (- ½)e t dt = (- ½) e t dt = (- ½)e t + C = (- ½)
+C

Să ne uităm la câteva exemple suplimentare.

Exemplul 2. Vom găsi . Fie t= 1 -x 2 . Apoi

Exemplul 3. Vom găsi . Lett=. Apoi

;

Exemplul 4.În cazul substituției neliniare, este, de asemenea, convenabil să se utilizeze substituția variabilă implicită.

De exemplu, să găsim
. Să scriem xdx= = (-1/4)d(3 - 2x 2) (înlocuit implicit cu variabila t= 3 - 2x 2). Apoi

Exemplul 5. Vom găsi . Aici introducem și o variabilă sub semnul diferențial: (înlocuire implicită = 3 + 5x 3). Apoi

Exemplul 6. Vom găsi . Din moment ce ,

Exemplul 7. O vom găsi. De atunci

Să ne uităm la câteva exemple în care devine necesară combinarea diferitelor substituții.

Exemplul 8. Vom găsi
. Fie t= 2x+ 1, apoi x= (t– 1)/2;dx= ½dt.

Exemplul 9. Vom găsi
. Lett=x- 2, atunci x=t+ 2;dx=dt.

Definiția unei funcții antiderivate

• Funcţie y=F(x) se numește antiderivată a funcției y=f(x) la un interval dat X, dacă pentru toată lumea X ∈X egalitatea este valabilă: F′(x) = f(x)

Poate fi citit în două moduri:

1. f derivata unei functii F
2. F antiderivată a unei funcții f

Proprietatea antiderivatelor

• Dacă F(x)- antiderivată a unei funcţii f(x) pe un interval dat, atunci funcția f(x) are infinit de antiderivate și toate aceste antiderivate pot fi scrise sub forma F(x) + C, unde C este o constantă arbitrară.

Interpretare geometrică

• Grafice ale tuturor antiderivatelor unei funcții date f(x) sunt obținute din graficul oricărei antiderivate prin translații paralele de-a lungul axei O la.

Reguli pentru calcularea antiderivatelor

1. Antiderivată a sumei este egală cu suma antiderivatelor. Dacă F(x)- antiderivat pentru f(x), iar G(x) este o antiderivată pentru g(x), Asta F(x) + G(x)- antiderivat pentru f(x) + g(x).
2. Factorul constant poate fi scos din semnul derivatei. Dacă F(x)- antiderivat pentru f(x), Și k- constantă, atunci k·F(x)- antiderivat pentru k f(x).
3. Dacă F(x)- antiderivat pentru f(x), Și k, b- constantă și k ≠ 0, Asta 1/k F(kx + b)- antiderivat pentru f(kx + b).

Ține minte!

Orice funcție F(x) = x 2 + C , unde C este o constantă arbitrară și numai o astfel de funcție este o antiderivată pentru funcție f(x) = 2x.

• De exemplu:

  F"(x) = (x 2 + 1)" = 2x = f(x);

  f(x) = 2x, deoarece F"(x) = (x 2 – 1)" = 2x = f(x);

  f(x) = 2x, deoarece F"(x) = (x 2 –3)" = 2x = f(x);

Relația dintre graficele unei funcții și antiderivată:

1. Dacă graficul unei funcţii f(x)>0 pe interval, apoi graficul antiderivatei sale F(x) crește în acest interval.
2. Dacă graficul unei funcţii f(x) pe interval, apoi graficul antiderivatei sale F(x) scade în acest interval.
3. Dacă f(x)=0, apoi graficul antiderivatei sale F(x)în acest moment se schimbă de la crescător la descrescător (sau invers).

Pentru a desemna antiderivată se folosește semnul integralei nedefinite, adică integrala fără a indica limitele integrării.

Integrală nedefinită

Definiţie:

• Integrala nedefinită a funcției f(x) este expresia F(x) + C, adică mulțimea tuturor antiderivatelor unei funcții date f(x). Integrala nedefinită se notează astfel: \int f(x) dx = F(x) + C

• f(x)- numita functie integrand;
• f(x)dx- numit integrand;
• x- numită variabila de integrare;
• F(x)- una dintre antiderivatele funcţiei f(x);
• CU- constantă arbitrară.

Proprietățile integralei nedefinite

1. Derivata integralei nedefinite este egala cu integrandul: (\int f(x) dx)\prime= f(x) .
2. Factorul constant al integrandului poate fi scos din semnul integral: \int k \cdot f(x) dx = k \cdot \int f(x) dx.
3. Integrala sumei (diferența) funcțiilor este egală cu suma (diferența) integralelor acestor funcții: \int (f(x) \pm g(x)) dx = \int f(x) dx \pm \int g(x) dx.
4. Dacă k, b sunt constante și k ≠ 0, atunci \int f(kx + b) dx = \frac ( 1 ) ( k ) \cdot F(kx + b) + C.

Tabel cu antiderivate și integrale nedefinite

Funcţie f(x)	Antiderivat F(x) + C	Integrale nedefinite \int f(x) dx = F(x) + C
0	C	\int 0 dx = C
f(x) = k	F(x) = kx + C	\int kdx = kx + C
f(x) = x^m, m\nu =-1	F(x) = \frac ( x^ ( m+1 ) ) ( m+1 ) + C	\int x ( ^m ) dx = \frac ( x^ ( m+1 ) ) ( m+1 ) + C
f(x) = \frac ( 1 ) ( x )	F(x) = l n \lvert x \rvert + C	\int \frac ( dx ) ( x ) = l n \lvert x \rvert + C
f(x) = e^x	F(x) = e^x + C	\int e ( ^x ) dx = e^x + C
f(x) = a^x	F(x) = \frac ( a^x ) ( l na ) + C	\int a ( ^x ) dx = \frac ( a^x ) ( l na ) + C
f(x) = \sin x	F(x) = -\cos x + C	\int \sin x dx = -\cos x + C
f(x) = \cos x	F(x) =\sin x + C	\int \cos x dx = \sin x + C
f(x) = \frac ( 1 ) ( \sin ( ^2 ) x )	F(x) = -\ctg x + C	\int \frac ( dx ) ( \sin ( ^2 ) x ) = -\ctg x + C
f(x) = \frac ( 1 ) ( \cos ( ^2 ) x )	F(x) = \tg x + C	\int \frac ( dx ) ( \sin ( ^2 ) x ) = \tg x + C
f(x) = \sqrt ( x )	F(x) =\frac ( 2x \sqrt ( x ) ) ( 3 ) + C
f(x) =\frac ( 1 ) ( \sqrt ( x ) )	F(x) =2\sqrt ( x ) + C
f(x) =\frac ( 1 ) ( \sqrt ( 1-x^2 ) )	F(x)=\arcsin x + C	\int \frac ( dx ) ( \sqrt ( 1-x^2 ) ) =\arcsin x + C
f(x) =\frac ( 1 ) ( \sqrt ( 1+x^2 ) )	F(x)=\arctg x + C	\int \frac ( dx ) ( \sqrt ( 1+x^2 ) ) =\arctg x + C
f(x)=\frac ( 1 ) ( \sqrt ( a^2-x^2 ) )	F(x)=\arcsin \frac ( x ) ( a ) + C	\int \frac ( dx ) ( \sqrt ( a^2-x^2 ) ) =\arcsin \frac ( x ) ( a ) + C
f(x)=\frac ( 1 ) ( \sqrt ( a^2+x^2 ) )	F(x)=\arctg \frac ( x ) ( a ) + C	\int \frac ( dx ) ( \sqrt ( a^2+x^2 ) ) = \frac ( 1 ) ( a ) \arctg \frac ( x ) ( a ) + C
f(x) =\frac ( 1 ) ( 1+x^2 )	F(x)=\arctg + C	\int \frac ( dx ) ( 1+x^2 ) =\arctg + C
f(x)=\frac ( 1 ) ( \sqrt ( x^2-a^2 ) ) (a \not= 0)	F(x)=\frac ( 1 ) ( 2a ) l n \lvert \frac ( x-a ) ( x+a ) \rvert + C	\int \frac ( dx ) ( \sqrt ( x^2-a^2 ) ) =\frac ( 1 ) ( 2a ) l n \lvert \frac ( x-a ) ( x+a ) \rvert + C
f(x)=\tg x	F(x)= - l n \lvert \cos x \rvert + C	\int \tg x dx =- l n \lvert \cos x \rvert + C
f(x)=\ctg x	F(x)= l n \lvert \sin x \rvert + C	\int \ctg x dx = l n \lvert \sin x \rvert + C
f(x)=\frac ( 1 ) ( \sin x )	F(x)= l n \lvert \tg \frac ( x ) ( 2 ) \rvert + C	\int \frac ( dx ) ( \sin x ) = l n \lvert \tg \frac ( x ) ( 2 ) \rvert + C
f(x)=\frac ( 1 ) ( \cos x )	F(x)= l n \lvert \tg (\frac ( x ) ( 2 ) +\frac ( \pi ) ( 4 )) \rvert + C	\int \frac ( dx ) ( \cos x ) = l n \lvert \tg (\frac ( x ) ( 2 ) +\frac ( \pi ) ( 4 )) \rvert + C

Formula Newton-Leibniz

Lasă f(x) această funcție F antiderivatul său arbitrar.

\int_ ( a ) ^ ( b ) f(x) dx =F(x)|_ ( a ) ^ ( b )= F(b) - F(a)

Unde F(x)- antiderivat pentru f(x)

Adică integrala funcției f(x) pe un interval este egală cu diferența de antiderivate la puncte bŞi o.

Aria unui trapez curbat

Trapez curbiliniu este o cifră mărginită de graficul unei funcții care este nenegativă și continuă pe un interval f, Axa boului și linii drepte x = aŞi x = b.

Aria unui trapez curbat se găsește folosind formula Newton-Leibniz:

S= \int_ ( a ) ^ ( b ) f(x) dx

Tabel de antiderivate ("integrale"). Tabelul integralelor. Integrale nedefinite tabelare. (Cele mai simple integrale și integrale cu un parametru). Formule de integrare pe părți. formula Newton-Leibniz.

Tabel de antiderivate ("integrale").
Integrale nedefinite tabelare.	Integrale nedefinite tabelare.
(Cele mai simple integrale și integrale cu un parametru).
	Integrala unei funcții de putere.
O integrală care se reduce la integrala unei funcții de putere dacă x este condus sub semnul diferențial.	Integrală a unei exponențiale, unde a este un număr constant.
Integrală a unei funcții exponențiale complexe.	Integrală a unei funcții exponențiale.
	Integrală a unei funcții exponențiale.
O integrală egală cu logaritmul natural.	Integrală: „Logaritm lung”.
O integrală egală cu logaritmul natural.
Integrală: „Logaritm mare”.	O integrală, în care x în numărător este plasat sub semnul diferențial (constanta de sub semn poate fi fie adunată, fie scăzută), este în cele din urmă similară cu o integrală egală cu logaritmul natural.
Integrală de cosinus.	Sine integrală.
Integrală egală cu tangenta.
Integrală egală cu cotangente.	Integrală egală cu arcsinus și arccosinus
O integrală egală cu arcsinus și arccosinus.	O integrală egală atât cu arctangente cât și cu arctangente.
Integrală egală cu cosecantei.	Integrală egală cu secanta.
Integrală egală cu cosecantei.	Integrală egală cu cosecantei.
Integrală egală cu arcsecanta.	Integrală egală cu arccosecant.
Integrală egală cu sinusul hiperbolic.	Integrală egală cu cosinusul hiperbolic.
Integrală egală cu sinusul hiperbolic, unde sinhx este sinusul hiperbolic în versiunea engleză.	Integrală egală cu cosinusul hiperbolic, unde sinhx este sinusul hiperbolic în versiunea engleză.
Integrală egală cu tangentei hiperbolice.	Integrală egală cu cotangentei hiperbolice.

Integrală egală cu secantei hiperbolice.

Integrală egală cu cosecantei hiperbolice.
Formule de integrare pe părți. Reguli de integrare.
Formule de integrare pe părți. Formula Newton-Leibniz Reguli de integrare.
Integrarea unui produs (funcție) printr-o constantă:
Integrarea sumei funcțiilor: integrale nedefinite:
Formula de integrare pe părți integrale nedefinite:	integrale definite:

formula Newton-Leibniz

Unde F(a),F(b) sunt valorile antiderivatelor la punctele b și, respectiv, a.

Tabelul derivatelor. Derivate tabulare. Derivat al produsului. Derivată a coeficientului. Derivată a unei funcții complexe.
	Dacă x este o variabilă independentă, atunci:
	Tabelul derivatelor. Derivate tabelare."derivat de tabel" - ​​da, din păcate, exact așa sunt căutați pe Internet
Derivată a unei funcții de putere	Derivată a exponentului
Derivată a unei funcții exponențiale complexe	Derivată a funcției exponențiale
	Derivată a unei funcții logaritmice
Derivată a logaritmului natural	Derivată a logaritmului natural al unei funcții
Derivată a cosecantei	Derivatul unei secante
Derivată de arcsinus	Derivată a arccosinusului
Derivată de arcsinus	Derivată a arccosinusului
Derivată tangentă	Derivat al cotangentei
Derivată a arctangentei	Derivată a cotangentei arcului
Derivată a arctangentei	Derivată a cotangentei arcului
Derivată a arcsecantei	Derivat de arccosecant
Derivată a arcsecantei	Derivat de arccosecant
Derivată a sinusului hiperbolic Derivatul sinusului hiperbolic în versiunea engleză	Derivatul cosinus hiperbolic Derivatul cosinusului hiperbolic în versiunea engleză
Derivată a tangentei hiperbolice	Derivat al cotangentei hiperbolice
Derivată a secantei hiperbolice	Derivată a cosecantei hiperbolice

Reguli de diferențiere. Derivat al produsului. Derivată a coeficientului.
Derivată a unei funcții complexe.
Derivată a unui produs (funcție) printr-o constantă:
Derivată a sumei (funcții):
Derivat de produs (funcții):
Derivată a coeficientului (de funcții):

Derivata unei functii complexe:

Proprietățile logaritmilor. Formule de bază pentru logaritmi. zecimală (lg) și logaritmi naturali (ln).
Identitatea logaritmică de bază
Să arătăm cum orice funcție de forma a b poate fi făcută exponențială. Deoarece o funcție de forma e x se numește exponențială, atunci

Orice funcție de forma a b poate fi reprezentată ca o putere a zece

Logaritmul natural ln (logaritmul la baza e = 2,718281828459045...) ln(e)=1; ln(1)=0

Seria Taylor. Expansiunea în serie Taylor a unei funcții. Se pare că majoritatea practic întâlnit

funcțiile matematice pot fi reprezentate cu orice precizie în vecinătatea unui anumit punct sub formă de serii de puteri care conțin puteri ale unei variabile în ordine crescătoare. De exemplu, în vecinătatea punctului x=1: Când utilizați seria numită Rândurile lui Taylor

funcțiile mixte care conțin, de exemplu, funcții algebrice, trigonometrice și exponențiale pot fi exprimate ca funcții pur algebrice. Folosind seria, de multe ori puteți efectua rapid diferențierea și integrarea.

1) Seria Taylor în vecinătatea punctului a are forma:

2)

, unde f(x) este o funcție care are derivate de toate ordinele la x = a. R n - termenul rămas din seria Taylor este determinat de expresie

3) Coeficientul k-al (la x k) al seriei este determinat de formula Un caz special al seriei Taylor este seria Maclaurin (=McLaren).

(expansiunea are loc în jurul punctului a=0)

la a=0

membrii seriei sunt determinati de formula

1. Pentru ca funcția f(x) să fie extinsă într-o serie Taylor pe intervalul (-R;R), este necesar și suficient ca termenul rămas din formula Taylor (Maclaurin (=McLaren)) pentru aceasta funcția tinde spre zero ca k →∞ pe intervalul specificat (-R;R).

2. Este necesar să existe derivate pentru o funcție dată în punctul în vecinătatea căruia vom construi seria Taylor.

Proprietățile seriei Taylor.

Dacă f este o funcție analitică, atunci seria sa Taylor în orice punct a din domeniul definiției lui f converge către f într-o vecinătate a lui a.

Există funcții infinit diferențiabile a căror serie Taylor converge, dar în același timp diferă de funcția din orice vecinătate a lui a. De exemplu:

Seriile Taylor sunt folosite în aproximarea (aproximarea este o metodă științifică care constă în înlocuirea unor obiecte cu altele, într-un sens sau altul apropiate de cele originale, dar mai simple) a unei funcții prin polinoame. În special, liniarizarea ((din linearis - liniar), una dintre metodele de reprezentare aproximativă a sistemelor neliniare închise, în care studiul unui sistem neliniar este înlocuit cu analiza unui sistem liniar, într-un fel echivalent cu cel original. .) Ecuațiile apar prin extinderea într-o serie Taylor și tăierea tuturor termenilor de mai sus de ordinul întâi.

Astfel, aproape orice funcție poate fi reprezentată ca un polinom cu o precizie dată.

Exemple de expansiuni comune ale funcțiilor de putere din seria Maclaurin (=McLaren, Taylor în vecinătatea punctului 0) și Taylor în vecinătatea punctului 1. Primii termeni de extindere a funcțiilor principale din seria Taylor și McLaren.

Exemple de expansiuni comune ale funcțiilor de putere din seria Maclaurin (=McLaren, Taylor în vecinătatea punctului 0)

Exemple de expansiuni comune ale seriei Taylor în vecinătatea punctului 1

Integrare directă folosind tabelul de antiderivate (tabelul de integrale nedefinite)

Tabel cu antiderivate

Putem găsi antiderivată dintr-o diferenţială cunoscută a unei funcţii dacă folosim proprietăţile integralei nedefinite. Din tabelul funcțiilor elementare de bază, folosind egalitățile ∫ d F (x) = ∫ F " (x) d x = ∫ f (x) d x = F (x) + C și ∫ k f (x) d x = k ∫ f (x) d x putem face un tabel de antiderivate.

Să scriem tabelul derivatelor sub formă de diferențiale.

Constanta y = C C" = 0 Funcția de putere y = x p. (x p) " = p x p - 1	Constanta y = C d (C) = 0 d x Funcția de putere y = x p. d (x p) = p x p - 1 d x
(a x) " = a x ln a	Funcția exponențială y = a x. d (a x) = a x ln α d x În special, pentru a = e avem y = e x d (e x) = e x d x
log a x " = 1 x ln a	Funcții logaritmice y = log a x . d (log a x) = d x x ln a În special, pentru a = e avem y = ln x d (ln x) = d x x
Funcții trigonometrice. sin x " = cos x (cos x) " = - sin x (t g x) " = 1 c o s 2 x (c t g x) " = - 1 sin 2 x	Funcții trigonometrice. d sin x = cos x · d x d (cos x) = - sin x · d x d (t g x) = d x c o s 2 x d (c t g x) = - d x sin 2 x
a r c sin x " = 1 1 - x 2 a r c cos x " = - 1 1 - x 2 a r c t g x " = 1 1 + x 2 a r c c t g x " = - 1 1 + x 2	Funcții trigonometrice inverse. d a r c sin x = d x 1 - x 2 d a r c cos x = - d x 1 - x 2 d a r c t g x = d x 1 + x 2 d a r c c t g x = - d x 1 + x 2

Să ilustrăm cele de mai sus cu un exemplu. Să găsim integrala nedefinită a funcției de putere f (x) = x p.

Conform tabelului diferenţialelor d (x p) = p · x p - 1 · d x. După proprietățile integralei nedefinite avem ∫ d (x p) = ∫ p · x p - 1 · d x = p · ∫ x p - 1 · d x = x p + C . Prin urmare, ∫ x p - 1 · d x = x p p + C p , p ≠ 0. A doua versiune a intrării este următoarea: ∫ x p · d x = x p + 1 p + 1 + C p + 1 = x p + 1 p + 1 + C 1, p ≠ - 1.

Să luăm egal cu - 1 și să aflăm mulțimea de antiderivate ale funcției de putere f (x) = x p: ∫ x p · d x = ∫ x - 1 · d x = ∫ d x x .

Acum avem nevoie de un tabel de diferențe pentru logaritmul natural d (ln x) = d x x, x > 0, deci ∫ d (ln x) = ∫ d x x = ln x. Prin urmare ∫ d x x = ln x , x > 0 .

Tabel cu antiderivate (integrale nedefinite)

Coloana din stânga a tabelului conține formule care se numesc antiderivate de bază. Formulele din coloana din dreapta nu sunt de bază, dar pot fi folosite pentru a găsi integrale nedefinite. Ele pot fi verificate prin diferențiere.

Integrare directă

Pentru a realiza integrarea directă, vom folosi tabele de antiderivate, reguli de integrare ∫ f (k x + b) d x = 1 k F (k x + b) + C, precum și proprietăți ale integralelor nedefinite ∫ k f (x) d x = k · ∫ f (x) d x ∫ (f (x) ± g (x)) d x = ∫ f (x) d x ± ∫ g (x) d x

Tabelul integralelor de bază și proprietățile integralelor poate fi utilizat numai după o transformare ușoară a integrandului.

Exemplul 1

Să aflăm integrala ∫ 3 sin x 2 + cos x 2 2 d x

Soluţie

Înlăturăm coeficientul 3 de sub semnul integral:

∫ 3 sin x 2 + cos x 2 2 d x = 3 ∫ sin x 2 + cos x 2 2 d x

Folosind formule de trigonometrie, transformăm funcția integrand:

3 ∫ sin x 2 + cos x 2 2 d x = 3 ∫ sin x 2 2 + 2 sin x 2 cos x 2 + cos x 2 2 d x = = 3 ∫ 1 + 2 sin x 2 cos x 2 d x = 3 ∫ 1 + sin x d x

Întrucât integrala sumei este egală cu suma integralelor, atunci
3 ∫ 1 + sin x d x = 3 ∫ 1 d x + ∫ sin x d x

Folosim datele din tabelul de antiderivate: 3 ∫ 1 d x + ∫ sin x d x = 3 (1 x + C 1 - cos x + C 2) = = gol 3 C 1 + C 2 = C = 3 x - 3 cos x + C

Răspuns:∫ 3 sin x 2 + cos x 2 2 d x = 3 x - 3 cos x + C .

Exemplul 2

Este necesar să se găsească mulțimea de antiderivate ale funcției f (x) = 2 3 4 x - 7 .

Soluţie

Folosim tabelul de antiderivate pentru funcția exponențială: ∫ a x · d x = a x ln a + C . Aceasta înseamnă că ∫ 2 x · d x = 2 x ln 2 + C .

Folosim regula de integrare ∫ f (k x + b) d x = 1 k F (k x + b) + C .

Se obține ∫ 2 3 4 x - 7 · d x = 1 3 4 · 2 3 4 x - 7 ln 2 + C = 4 3 · 2 3 4 x - 7 ln 2 + C .

Răspuns: f (x) = 2 3 4 x - 7 = 4 3 2 3 4 x - 7 ln 2 + C

Folosind tabelul de antiderivate, proprietăți și regula de integrare, putem găsi o mulțime de integrale nedefinite. Acest lucru este posibil în cazurile în care este posibilă transformarea integrandului.

Pentru a găsi integrala funcției logaritm, funcțiile tangente și cotangente și o serie de altele, sunt utilizate metode speciale, pe care le vom lua în considerare în secțiunea „Metode de bază de integrare”.

Dacă observați o eroare în text, vă rugăm să o evidențiați și să apăsați Ctrl+Enter