Să introducem conceptul de flux vectorial de inducție electrică. Să considerăm o zonă infinitezimală. În cele mai multe cazuri, este necesar să se cunoască nu numai dimensiunea site-ului, ci și orientarea acestuia în spațiu. Să introducem conceptul de zonă vectorială. Să fim de acord că prin vector zonă înțelegem un vector direcționat perpendicular pe zonă și egal numeric cu dimensiunea ariei.
Figura 1 - Spre definirea vectorului - site
Să numim fluxul vectorial 
prin platformă 
produs scalar al vectorilor 
Şi 
. Astfel,
Vector de flux 
printr-o suprafață arbitrară 
se găseşte prin integrarea tuturor fluxurilor elementare
(4)
Dacă câmpul este uniform și suprafața este plană 
situat perpendicular pe câmp, atunci:
. (5)
Expresia dată determină numărul de linii de forță care străpung locul 
pe unitatea de timp.
Teorema Ostrogradsky-Gauss. Divergența intensității câmpului electric
Vector de flux inducție electrică printr-o suprafață închisă arbitrară 
egală cu suma algebrică a sarcinilor electrice libere 
, acoperită de această suprafață
(6)
Expresia (6) este teorema O-Gîntr-o formă integrală. Teorema 0-Г operează cu efectul integral (total), adică. Dacă 
nu se știe dacă aceasta înseamnă absența sarcinilor în toate punctele părții studiate a spațiului sau că suma sarcinilor pozitive și negative situate în diferite puncte ale acestui spațiu este egală cu zero.
Pentru a găsi sarcinile localizate și mărimea lor într-un câmp dat, este nevoie de o relație care să relaționeze vectorul inducției electrice 
într-un punct dat cu o sarcină în același punct.
Să presupunem că trebuie să determinăm prezența sarcinii într-un punct O(Fig.2)
Figura 2 – Pentru a calcula divergența vectorială
Să aplicăm teorema O-G. Curgerea vectorului de inducție electrică printr-o suprafață arbitrară care limitează volumul în care se află punctul O, este egal
Suma algebrică a sarcinilor dintr-un volum poate fi scrisă ca o integrală de volum
(7)
Unde 
- încărcare pe unitate de volum 
;
- element de volum.
Pentru a obține legătura dintre câmp și sarcină la un punct O vom reduce volumul prin contractarea suprafeței până la un punct O. În acest caz, împărțim ambele părți ale egalității noastre la valoare 
. Trecând la limită, obținem:
.
Partea dreaptă a expresiei rezultate este, prin definiție, densitatea de sarcină volumetrică în punctul considerat din spațiu. Partea stângă reprezintă limita raportului dintre fluxul vectorului de inducție electrică printr-o suprafață închisă și volumul delimitat de această suprafață, când volumul tinde spre zero. Această mărime scalară este o caracteristică importantă a câmpului electric și se numește divergenta vectoriala 
.
Astfel:
,
prin urmare
, (8)
Unde 
- densitatea de sarcină volumetrică. 
Folosind această relație, problema inversă a electrostaticei este pur și simplu rezolvată, adică. găsirea de taxe distribuite pe un câmp cunoscut.
Dacă vectorul 
este dat, ceea ce înseamnă că proiecțiile sale sunt cunoscute 
,
,
pe axele de coordonate în funcție de coordonate și pentru a calcula densitatea distribuită a sarcinilor care au creat un câmp dat, rezultă că este suficient să găsim suma a trei derivate parțiale ale acestor proiecții în raport cu variabilele corespunzătoare. În acele puncte pentru care 
fără taxe. În punctele în care 
pozitiv, există o sarcină pozitivă cu o densitate de volum egală cu 
, iar în acele puncte în care 
va avea o valoare negativă, există o sarcină negativă, a cărei densitate este determinată și de valoarea divergenței.
Expresia (8) reprezintă Teorema 0-Г sub formă diferenţială. În această formă teorema arată că că sursele câmpului electric sunt sarcini electrice libere; liniile de câmp ale vectorului de inducție electrică încep și se termină la sarcini pozitive și, respectiv, negative.
Formulare generală: fluxul vectorului intensității câmpului electric prin orice suprafață închisă aleasă în mod arbitrar este proporțional cu sarcina electrică conținută în interiorul acestei suprafețe.
În sistemul SGSE:
În sistemul SI:
este fluxul vectorului intensității câmpului electric printr-o suprafață închisă.
- sarcina totala continuta in volumul care limiteaza suprafata.
- constanta electrica.
Această expresie reprezintă teorema lui Gauss în formă integrală.
În formă diferențială, teorema lui Gauss corespunde uneia dintre ecuațiile lui Maxwell și se exprimă după cum urmează
în sistemul SI:
,
în sistemul SGSE:
Aici este densitatea de sarcină volumetrică (în cazul prezenței unui mediu, densitatea totală a sarcinilor libere și legate) și este operatorul nabla.
Pentru teorema lui Gauss este valabil principiul suprapunerii, adică fluxul vectorului de intensitate prin suprafață nu depinde de distribuția sarcinii în interiorul suprafeței.
Baza fizică a teoremei lui Gauss este legea lui Coulomb sau, cu alte cuvinte, teorema lui Gauss este o formulare integrală a legii lui Coulomb.
Teorema lui Gauss pentru inducția electrică (deplasarea electrică).
Pentru un câmp în materie, teorema electrostatică a lui Gauss poate fi scrisă diferit - prin fluxul vectorului de deplasare electrică (inducție electrică). În acest caz, formularea teoremei este următoarea: fluxul vectorului de deplasare electrică printr-o suprafață închisă este proporțional cu sarcina electrică liberă conținută în interiorul acestei suprafețe:
Dacă luăm în considerare teorema pentru intensitatea câmpului dintr-o substanță, atunci ca sarcină Q este necesar să luăm suma sarcinii libere situate în interiorul suprafeței și sarcina de polarizare (indusă, legată) a dielectricului:
,
Unde 
,
este vectorul de polarizare al dielectricului.
Teorema lui Gauss pentru inducția magnetică
Fluxul vectorului de inducție magnetică prin orice suprafață închisă este zero:
.
Acest lucru este echivalent cu faptul că în natură nu există „sarcini magnetice” (monopoli) care ar crea un câmp magnetic, la fel cum sarcinile electrice creează un câmp electric. Cu alte cuvinte, teorema lui Gauss pentru inducția magnetică arată că câmpul magnetic este un vortex.
Aplicarea teoremei lui Gauss
Pentru a calcula câmpurile electromagnetice sunt utilizate următoarele mărimi:
Densitatea de sarcină volumetrică (vezi mai sus).
Densitatea sarcinii de suprafață
unde dS este o suprafață infinitezimală.
Densitatea de sarcină liniară
unde dl este lungimea unui segment infinitezimal.
Să considerăm câmpul creat de un plan infinit uniform încărcat. Fie ca densitatea de sarcină la suprafață a planului să fie aceeași și egală cu σ. Să ne imaginăm un cilindru cu generatrice perpendiculară pe plan și o bază ΔS situată simetric față de plan. Datorită simetriei. Fluxul vectorului tensiune este egal cu . Aplicând teorema lui Gauss, obținem:
,
din care
în sistemul SSSE
Este important de menționat că, în ciuda universalității și generalității sale, teorema lui Gauss în formă integrală are o aplicație relativ limitată din cauza inconvenientului de a calcula integrala. Totuși, în cazul unei probleme simetrice, soluția acesteia devine mult mai simplă decât utilizarea principiului suprapunerii.
Flux vectorial al intensității câmpului electric. Lasă zonă mică DS(Fig. 1.2) intersectează liniile câmpului electric, a căror direcție este cu normala n
unghi față de acest site o. Presupunând că vectorul de tensiune E
nu se modifică în cadrul site-ului DS, hai să definim fluxul vectorului de tensiune prin platformă DS Cum
DFE =E DS cos o.(1.3)
Deoarece densitatea liniilor electrice este egală cu valoarea numerică a tensiunii E, apoi numărul de linii electrice care traversează zonaDS, va fi egal numeric cu valoarea debituluiDFEprin suprafataDS. Să reprezentăm partea dreaptă a expresiei (1.3) ca produs scalar al vectorilor EŞiDS= nDS, Unde n– vector unitar normal la suprafațăDS. Pentru o zonă elementară d S expresia (1.3) ia forma
dFE = E d S
Pe întregul site S fluxul vectorului de tensiune se calculează ca integrală peste suprafață
Flux vectorial de inducție electrică. Fluxul vectorului de inducție electrică este determinat în mod similar cu fluxul vectorului intensității câmpului electric
dFD = D d S
Există o oarecare ambiguitate în definițiile fluxurilor datorită faptului că pentru fiecare suprafață două normale de sens opus. Pentru o suprafață închisă, normala exterioară este considerată pozitivă.
teorema lui Gauss. Să luăm în considerare punct pozitiv sarcina electrica q, situat în interiorul unei suprafețe închise arbitrare S(Fig. 1.3). Flux vectorial de inducție prin elementul de suprafață d S egal 
(1.4)
Componenta d S D = d S cos oelement de suprafață d Sîn direcția vectorului de inducțieDconsiderat ca un element al unei suprafeţe sferice de rază r, în centrul căruia se află taxaq.
|
|
Având în vedere că d S D/ r 2 este egal corporale elementare colț dw, sub care din punctul în care se află încărcăturaqelement de suprafață d vizibil S, transformăm expresia (1.4) în forma d FD = q d w / 4 p, de unde, după integrare pe întreg spațiul care înconjoară sarcina, adică în unghiul solid de la 0 la 4p, primim
FD = q.
Fluxul vectorului de inducție electrică printr-o suprafață închisă de formă arbitrară este egal cu sarcina conținută în interiorul acestei suprafețe.
|
|
Dacă o suprafață închisă arbitrară S nu acoperă o taxă punctuală q(Fig. 1.4), apoi, după ce am construit o suprafață conică cu vârful în punctul în care se află sarcina, împărțim suprafața S in doua parti: S 1 și S 2. D Vector de flux S prin suprafata S 1 și S 2:
.
găsim ca sumă algebrică a fluxurilor prin suprafețe q Ambele suprafețe din punctul în care se află încărcarea w vizibil dintr-un unghi solid
. Prin urmare, debitele sunt egale Deoarece atunci când calculăm debitul printr-o suprafață închisă, folosim normal exterior la suprafață, este ușor de observat că fluxul F < 0, тогда как поток Ф1D 2D D> 0. Debit total Ф = 0. Aceasta înseamnă că
curgerea vectorului de inducție electrică printr-o suprafață închisă de formă arbitrară nu depinde de sarcinile situate în afara acestei suprafețe. q 1 , q 2 ,¼ , Dacă câmpul electric este creat de un sistem de sarcini punctuale, care este acoperit de o suprafață închisă S, atunci, în conformitate cu principiul suprapunerii, fluxul vectorului de inducție prin această suprafață este determinat ca suma fluxurilor create de fiecare dintre sarcini. Fluxul vectorului de inducție electrică printr-o suprafață închisă de formă arbitrară este egal cu suma algebrică a sarcinilor acoperite de această suprafață.:
Trebuie remarcat faptul că taxele qi nu trebuie să fie punctiforme, o condiție necesară este ca zona încărcată să fie acoperită complet de suprafață. Dacă într-un spațiu delimitat de o suprafață închisă S, sarcina electrică este distribuită continuu, atunci ar trebui să presupunem că fiecare volum elementar d V are o taxă. S:
(1.6)
În acest caz, în partea dreaptă a expresiei (1.5), însumarea algebrică a sarcinilor este înlocuită cu integrarea peste volumul închis în interiorul unei suprafețe închise. Expresia (1.6) este formularea cea mai generală: teorema lui Gauss fluxul vectorului de inducție electrică printr-o suprafață închisă de formă arbitrară este egal cu sarcina totală din volumul acoperit de această suprafață și nu depinde de sarcinile situate în afara suprafeței luate în considerare
.
. Teorema lui Gauss poate fi scrisă și pentru fluxul vectorului intensității câmpului electric: O proprietate importantă a câmpului electric rezultă din teorema lui Gauss: liniile de forță încep sau se termină numai pe sarcini electrice sau merg la infinit . Să subliniem încă o dată că, în ciuda faptului că intensitatea câmpului electric E și inducție electrică D S depind de locația în spațiu a tuturor sarcinilor, fluxurile acestor vectori printr-o suprafață închisă arbitrară sunt doar determinate S.
acele sarcini care se află în interiorul suprafeței Forma diferențială a teoremei lui Gauss. Rețineți că formă integrală V Teorema lui Gauss caracterizează relația dintre sursele câmpului electric (sarcini) și caracteristicile câmpului electric (tensiune sau inducție) în volum V arbitrar, dar suficient pentru formarea de relații integrale, amploare. Prin împărțirea volumului pentru volume mici V i
, obținem expresia
(1.7)
valabil atât în ansamblu cât și pentru fiecare termen. Să transformăm expresia rezultată după cum urmează: Vși luați în considerare limita la care expresia din partea dreaptă a egalității, cuprinsă între paranteze, tinde spre o împărțire nelimitată a volumului . În matematică această limită se numește divergenţă vector (în acest caz, vectorul inducției electrice):
D D Divergenta vectoriala
Astfel, expresia (1.7) este transformată în forma:
.
Având în vedere că la împărțirea nelimitată suma din partea stângă a ultimei expresii merge într-o integrală de volum, obținem
Relația rezultată trebuie să fie satisfăcută pentru orice volum ales arbitrar V. Acest lucru este posibil numai dacă valorile integranților în fiecare punct din spațiu sunt aceleași. Prin urmare, divergența vectorului D este legată de densitatea de sarcină în același punct prin egalitate
sau pentru vectorul intensității câmpului electrostatic
Aceste egalități exprimă teorema lui Gauss în formă diferențială.
Rețineți că în procesul de tranziție la forma diferențială a teoremei lui Gauss, se obține o relație care are caracter general:
.
Expresia se numește formula Gauss-Ostrogradsky și conectează integrala de volum a divergenței unui vector cu fluxul acestui vector printr-o suprafață închisă care limitează volumul.
Întrebări
1) Care este semnificația fizică a teoremei lui Gauss pentru câmpul electrostatic în vid
2) Există o încărcare punctiformă în centrul cubuluiq. Care este fluxul unui vector? E:
a) prin întreaga suprafață a cubului; b) printr-una din feţele cubului.
Se vor schimba răspunsurile dacă:
a) sarcina nu se află în centrul cubului, ci în interiorul acestuia ; b) sarcina este în afara cubului.
3) Ce sunt densitățile de sarcină liniare, de suprafață, de volum.
4) Indicați relația dintre volum și densitățile de sarcină la suprafață.
5) Câmpul din afara planurilor infinite paralele încărcate opus și uniform poate fi diferit de zero?
6) Un dipol electric este plasat în interiorul unei suprafețe închise. Care este curgerea prin această suprafață
Teorema lui Gauss pentru inducția electrică (deplasarea electrică)[
Pentru un câmp într-un mediu dielectric, teorema electrostatică a lui Gauss poate fi scrisă într-un alt mod (într-un mod alternativ) - prin fluxul vectorului de deplasare electrică (inducție electrică). În acest caz, formularea teoremei este următoarea: fluxul vectorului de deplasare electrică printr-o suprafață închisă este proporțional cu sarcina electrică liberă conținută în interiorul acestei suprafețe:
|
|
|
Sub formă diferențială:
Teorema lui Gauss pentru inducția magnetică
Fluxul vectorului de inducție magnetică prin orice suprafață închisă este zero:
sau sub formă diferenţială
Acest lucru este echivalent cu faptul că în natură nu există „sarcini magnetice” (monopoli) care ar crea un câmp magnetic, așa cum sarcinile electrice creează un câmp electric. Cu alte cuvinte, teorema lui Gauss pentru inducția magnetică arată că câmpul magnetic este (complet) vârtej.
Teorema lui Gauss pentru gravitația newtoniană
Pentru intensitatea câmpului gravitației newtoniene (accelerația gravitațională), teorema lui Gauss coincide practic cu cea din electrostatică, cu excepția numai a constantelor (totuși, încă dependente de alegerea arbitrară a sistemului de unități) și, cel mai important, semnul:
Unde g- intensitatea câmpului gravitațional, M- sarcina gravitațională (adică masa) în interiorul suprafeței S, ρ - densitatea masei, G- constanta newtoniana.
Conductoare într-un câmp electric. Câmp în interiorul unui conductor și pe suprafața acestuia.
Conductorii sunt corpuri prin care sarcinile electrice pot trece de la un corp încărcat la unul neîncărcat. Capacitatea conductorilor de a trece sarcini electrice prin ei înșiși se explică prin prezența purtătorilor de sarcină liberi în ei. Conductorii sunt corpuri metalice în solide și stare lichidă, soluții lichide de electroliți. Sarcinile libere ale unui conductor introdus într-un câmp electric încep să se miște sub influența acestuia. Redistribuirea sarcinilor determină o modificare a câmpului electric. Când intensitatea câmpului electric dintr-un conductor devine zero, electronii se opresc din mișcare. Fenomenul de separare a sarcinilor diferite într-un conductor plasat într-un câmp electric se numește inducție electrostatică. Nu există câmp electric în interiorul conductorului. Acesta este utilizat pentru protecția electrostatică - protecție folosind conductori metalici de la un câmp electric. Suprafața unui corp conductor de orice formă într-un câmp electric este o suprafață echipotențială.
Condensatoare
Pentru a obține dispozitive care, la un potențial scăzut față de mediu, ar acumula (condensa) sarcini vizibile asupra lor, se folosesc de faptul că capacitatea electrică a unui conductor crește pe măsură ce alte corpuri se apropie de el. Într-adevăr, sub influența câmpului creat de conductoare încărcate, pe un corp adus acestuia apar sarcini induse (pe conductor) sau asociate (pe dielectric) (Fig. 15.5). Sarcinile cu semn opus sarcinii conductorului q sunt situate mai aproape de conductor decât cele cu același nume cu q și, prin urmare, au o mare influență asupra potențialului acestuia.
Prin urmare, atunci când orice corp este apropiat de un conductor încărcat, puterea câmpului scade și, în consecință, potențialul conductorului scade. Conform ecuației, aceasta înseamnă o creștere a capacității conductorului.
Condensatorul este format din doi conductori (plăci) (Fig. 15.6), separate printr-un strat dielectric. Atunci când unui conductor i se aplică o anumită diferență de potențial, plăcile acestuia sunt încărcate cu sarcini egale de semn opus. Capacitatea electrică a unui condensator este înțeleasă ca mărime fizică proporțională cu sarcina q și invers proporțională cu diferența de potențial dintre plăci.
Să determinăm capacitatea unui condensator plat.
Dacă aria plăcii este S și sarcina pe ea este q, atunci intensitatea câmpului dintre plăci
Pe de altă parte, diferența de potențial dintre plăci provine 
Energia unui sistem de sarcini punctiforme, a unui conductor încărcat și a unui condensator.
Orice sistem de sarcini are o energie potențială de interacțiune, care este egală cu munca cheltuită pentru crearea acestui sistem. Energia unui sistem de sarcini punctiforme q 1 , q 2 , q 3 ,… q N este definită după cum urmează:
Unde φ 1 – potențialul câmpului electric creat de toate sarcinile cu excepția q 1 în punctul în care se află încărcarea q 1, etc. Dacă se modifică configurația sistemului de sarcini, atunci se schimbă și energia sistemului. Pentru a modifica configurația sistemului, trebuie să se lucreze.
Energia potențială a unui sistem de sarcini punctiforme poate fi calculată în alt mod. Energia potențială a două sarcini punctiforme q 1 , q 2 la distanță unul de celălalt este egal. Dacă există mai multe sarcini, atunci energia potențială a acestui sistem de sarcini poate fi definită ca suma energiilor potențiale ale tuturor perechilor de sarcini care pot fi compuse pentru acest sistem. Deci, pentru un sistem de trei sarcini pozitive, energia sistemului este egală cu
|
Câmp electric al unei sarcini punctuale q 0 la distanță de acesta într-un mediu cu constantă dielectrică ε (A se vedea figura 3.1.3).
|
Potențialul este scalar, semnul său depinde de semnul sarcinii care creează câmpul. |
|
Câmpul electric al unei sfere de rază încărcată uniform în punctul C la o distanță de suprafața sa (Figura 3.1.4). Câmpul electric al unei sfere este similar cu câmpul unei sarcini punctiforme egal cu sarcina sferei q sf şi concentrat în centrul său. Distanța până la punctul în care se determină tensiunea este (+R) |
o
În afara domeniului de aplicare: Potențialul din interiorul sferei este constant și egal |
|
iar tensiunea din interiorul sferei este zero σ Câmp electric al unui plan infinit încărcat uniform cu densitate de suprafață
|
Figura 3.1.5. Se numește un câmp a cărui putere este aceeași în toate punctele. omogen σ – sarcina pe unitatea de suprafață (unde sunt sarcina și respectiv aria avionului). Dimensiunea densității sarcinii de suprafață. |
|
Câmpul electric al unui condensator plat cu sarcini pe plăci de mărime egală, dar semn opus (vezi Figura 3.1.6).
|
Tensiune între plăcile unui condensator cu plăci paralele, în afara condensatorului E=0. Diferență de potențial uîntre plăcile (plăcile) condensatorului: , unde d– distanța dintre plăci, – constanta dielectrică a dielectricului plasat între plăcile condensatorului. Densitatea de încărcare a suprafeței de pe plăcile condensatorului este egală cu raportul dintre cantitatea de sarcină de pe acesta și aria plăcii:. |
Figura 3.1.3
; 
Figura 3.1.4.
; 
,
(A se vedea figura 3.1.5).
Figura 3.1.6Energia unui conductor solitar încărcat și a unui condensator
Dacă un conductor izolat are o sarcină q, atunci există un câmp electric în jurul lui, al cărui potențial pe suprafața conductorului este egal cu , iar capacitatea este C. Să creștem sarcina cu cantitatea dq. Când transferați sarcina dq de la infinit, munca trebuie efectuată egală cu 
. Dar potențialul câmpului electrostatic al unui conductor dat la infinit este zero. Apoi
La transferul sarcinii dq de la un conductor la infinit, aceeași muncă este efectuată de forțele câmpului electrostatic. În consecință, atunci când sarcina conductorului crește cu cantitatea dq, energia potențială a câmpului crește, adică.
Prin integrarea acestei expresii, găsim energia potențială a câmpului electrostatic al unui conductor încărcat pe măsură ce sarcina acestuia crește de la zero la q:
Aplicând relația, putem obține următoarele expresii pentru energia potențială W:
Pentru un condensator încărcat, diferența de potențial (tensiunea) este egală, prin urmare, relația pentru energia totală a câmpului său electrostatic are forma;
Când există multe taxe, apar unele dificultăți la calcularea câmpurilor.
Teorema lui Gauss ajută la depășirea lor. Esența teorema lui Gauss se rezumă la următoarele: dacă un număr arbitrar de sarcini sunt înconjurate mental de o suprafață închisă S, atunci fluxul intensității câmpului electric printr-o zonă elementară dS poate fi scris ca dФ = Есоsα۰dS unde α este unghiul dintre normala și planul și vectorul rezistență 
.
(Fig. 12.7)
(12.9)
Să determinăm curgerea vectorului intensitate printr-o suprafață sferică de rază r, în centrul căreia se află o sarcină punctiformă +q (Fig. 12.8). Liniile de tensiune sunt perpendiculare pe suprafața sferei, α = 0, deci cosα = 1. Atunci
Dacă câmpul este format dintr-un sistem de taxe, atunci
Teorema lui Gauss: fluxul vectorului intensității câmpului electrostatic în vid prin orice suprafață închisă este egal cu suma algebrică a sarcinilor conținute în interiorul acestei suprafețe, împărțită la constanta electrică.
(12.10)
Dacă nu există încărcături în interiorul sferei, atunci Ф = 0.
Teorema lui Gauss face relativ simplu calcularea câmpurilor electrice pentru sarcini distribuite simetric.
Să introducem conceptul de densitate a sarcinilor distribuite.
Densitatea liniară se notează τ și caracterizează sarcina q pe unitatea de lungime ℓ. ÎN vedere generală poate fi calculat folosind formula
(12.11)
Cu o distribuție uniformă a sarcinilor, densitatea liniară este egală cu 
Densitatea suprafeței se notează cu σ și caracterizează sarcina q pe unitatea de suprafață S. În general, este determinată de formula
(12.12)
Cu o distribuție uniformă a sarcinilor pe suprafață, densitatea suprafeței este egală cu 
Densitatea de volum se notează cu ρ și caracterizează sarcina q pe unitatea de volum V. În general, este determinată de formula
(12.13)
Cu o distribuție uniformă a sarcinilor, este egală cu 
.
Deoarece sarcina q este distribuită uniform pe sferă, atunci
σ = const. Să aplicăm teorema lui Gauss. Să desenăm o sferă cu rază prin punctul A. Curgerea vectorului tensiune din Fig. 12.9 printr-o suprafață sferică cu rază este egal cu cosα = 1, deoarece α = 0. Conform teoremei lui Gauss, 
.
sau
(12.14)
Din expresia (12.14) rezultă că intensitatea câmpului în afara sferei încărcate este aceeași cu intensitatea câmpului unei sarcini punctiforme plasate în centrul sferei. Pe suprafata sferei, i.e. r 1 = r 0, tensiune 
.
În interiorul sferei r 1< r 0 (рис.12.9) напряжённость Е = 0, так как сфера радиусом r 2 внутри никаких зарядов не содержит и, по теореме Гаусса, поток вектора сквозь такую сферу равен нулю.
Un cilindru cu raza r 0 este încărcat uniform cu densitatea suprafeței σ (Fig. 12.10). Să determinăm intensitatea câmpului într-un punct A ales în mod arbitrar. Să desenăm o suprafață cilindrică imaginară cu raza R și lungimea ℓ prin punctul A. Datorită simetriei, fluxul va ieși numai prin suprafețele laterale ale cilindrului, deoarece sarcinile de pe cilindrul cu raza r 0 sunt distribuite uniform pe suprafața acestuia, adică. liniile de tensiune vor fi drepte radiale, perpendiculare pe suprafețele laterale ale ambilor cilindri. Deoarece curgerea prin baza cilindrilor este zero (cos α = 0), iar suprafața laterală a cilindrului este perpendiculară pe liniile de forță (cos α = 1), atunci
sau
(12.15)
Să exprimăm valoarea lui E prin σ - densitatea suprafeței. Prin definiție,
prin urmare, 
Să înlocuim valoarea lui q în formula (12.15)
(12.16)
Prin definiția densității liniare, 
, unde 
; substituim această expresie în formula (12.16):
(12.17)
aceste. Intensitatea câmpului creat de un cilindru încărcat infinit de lung este proporțională cu densitatea de sarcină liniară și invers proporțională cu distanța.
Intensitatea câmpului creată de un plan infinit încărcat uniform
Să determinăm intensitatea câmpului creat de un plan infinit încărcat uniform în punctul A. Fie ca densitatea de sarcină la suprafață a planului să fie egală cu σ. Ca suprafață închisă, este convenabil să alegeți un cilindru a cărui axă este perpendiculară pe plan și a cărui bază dreaptă conține punctul A. Planul împarte cilindrul în jumătate. Evident, liniile de forță sunt perpendiculare pe plan și paralele cu suprafața laterală a cilindrului, astfel încât întregul flux trece doar prin baza cilindrului. Pe ambele baze intensitatea câmpului este aceeași, deoarece punctele A și B sunt simetrice față de plan. Apoi debitul prin baza cilindrului este egal cu
Conform teoremei lui Gauss,
Deoarece 
, Asta 
, unde
(12.18)
Astfel, intensitatea câmpului unui plan infinit de încărcare este proporțională cu densitatea de încărcare a suprafeței și nu depinde de distanța până la plan. Prin urmare, câmpul planului este uniform.
Intensitatea câmpului creată de două plane paralele încărcate uniform opus
Câmpul rezultat creat de două planuri este determinat de principiul suprapunerii câmpului: 
(Fig. 12.12). Câmpul creat de fiecare plan este uniform, puterile acestor câmpuri sunt egale ca mărime, dar direcție opusă: 
. Conform principiului suprapunerii, intensitatea totală a câmpului în afara planului este zero:
Între planuri, intensitățile câmpului au aceleași direcții, deci puterea rezultată este egală cu
Astfel, câmpul dintre două planuri încărcate diferit este uniform și intensitatea acestuia este de două ori mai puternică decât intensitatea câmpului creat de un plan. Nu există câmp în stânga și în dreapta avioanelor. Câmpul planurilor finite are aceeași formă; Folosind formula rezultată, puteți calcula câmpul dintre plăcile unui condensator plat.
