Teorema lui Ostrograd Gauss pentru vectorul de inducție electrică. Teorema lui Gauss pentru inducția electrică (deplasarea electrică)

Cel mai dificil lucru este să studiezi fenomenele electrice într-un mediu electric neuniform. Într-un astfel de mediu, ε are valori diferite, modificându-se brusc la limita dielectrică. Să presupunem că determinăm intensitatea câmpului la interfața dintre două medii: ε 1 =1 (vid sau aer) și ε 2 =3 (lichid - ulei). La interfață, în timpul trecerii de la vid la dielectric, intensitatea câmpului scade de trei ori, iar fluxul vectorului de putere scade cu aceeași cantitate (Fig. 12.25, a). O schimbare bruscă a vectorului intensității câmpului electrostatic la interfața dintre două medii creează anumite dificultăți la calcularea câmpurilor. În ceea ce privește teorema lui Gauss, în aceste condiții ea își pierde în general sensul.

Deoarece polarizabilitatea și tensiunea dielectricilor disimilați sunt diferite, numărul de linii de câmp din fiecare dielectric va fi, de asemenea, diferit. Această dificultate poate fi eliminată prin introducerea unei noi caracteristici fizice a câmpului, inducția electrică D (sau vector deplasare electrică ).

Conform formulei

ε 1 E 1 = ε 2 E 2 =E 0 =const

Înmulțind toate părțile acestor egalități cu constanta electrică ε 0 obținem

ε 0 ε 1 E 1 = ε 0 ε 2 E 2 =ε 0 E 0 =const

Să introducem notația ε 0 εE=D apoi penultima relație va lua forma

D 1 = D 2 = D 0 = const

Se numește vectorul D, egal cu produsul dintre intensitatea câmpului electric din dielectric și constanta sa dielectrică absolutăvector deplasare electrică

(12.45)

Unitate electrică de deplasare - pandantiv pe metru pătrat(C/m2).

Deplasarea electrică este o mărime vectorială și poate fi exprimată și ca

D = ε ε 0 E =(1+χ)ε 0 E = ε 0 E + χε 0 E = ε 0 E+P

(12.46)

Spre deosebire de tensiunea E, deplasarea electrică D este constantă în toate dielectricii (Fig. 12.25, b). Prin urmare, este convenabil să se caracterizeze câmpul electric într-un mediu dielectric neomogen nu prin intensitatea E, ci prin vectorul de deplasare D. Vectorul D descrie câmpul electrostatic creat de sarcinile libere (adică în vid), dar cu distribuția lor în spațiu ca în prezența unui dielectric, deoarece sarcinile legate care apar în dielectrici pot provoca o redistribuire a sarcinilor libere creând câmpul.

Câmp vectorial este reprezentată grafic prin linii electrice de deplasare la fel ca câmpul descrise prin linii de forță.

Linie electrică de deplasare - sunt drepte ale căror tangente în fiecare punct coincid în direcție cu vectorul deplasării electrice.

Liniile vectorului E pot începe și se termină cu orice taxe - libere și legate, în timp ce liniile vectoruluiD- doar cu taxe gratuite. linii vectorialeDSpre deosebire de liniile de tensiune, acestea sunt continue.

Deoarece vectorul deplasării electrice nu experimentează o discontinuitate la interfața dintre două medii, toate liniile de inducție care emană de la sarcinile înconjurate de o suprafață închisă vor pătrunde în el. Prin urmare, pentru vectorul deplasării electrice, teorema lui Gauss își păstrează complet sensul pentru un mediu dielectric neomogen.

Teorema lui Gauss pentru câmpul electrostatic într-un dielectric : fluxul vectorului electric deplasare printr-o suprafață închisă arbitrară este egal cu suma algebrică a sarcinilor conținute în interiorul acestei suprafețe.

(12.47)

Când există multe taxe, apar unele dificultăți la calcularea câmpurilor.

Teorema lui Gauss ajută la depășirea lor. Esența teorema lui Gauss se rezumă la următoarele: dacă un număr arbitrar de sarcini sunt înconjurate mental de o suprafață închisă S, atunci fluxul intensității câmpului electric printr-o zonă elementară dS poate fi scris ca dФ = Есоsα۰dS unde α este unghiul dintre normala și planul și vectorul rezistență .

(Fig. 12.7)

(12.9)

Fluxul total prin întreaga suprafață va fi egal cu suma fluxurilor de la toate sarcinile distribuite aleatoriu în interiorul acesteia și proporțional cu mărimea acestei sarcini.

Să determinăm curgerea vectorului intensitate printr-o suprafață sferică de rază r, în centrul căreia se află o sarcină punctiformă +q (Fig. 12.8). Liniile de tensiune sunt perpendiculare pe suprafața sferei, α = 0, deci cosα = 1. Atunci

Dacă câmpul este format dintr-un sistem de taxe, atunci Teorema lui Gauss:

(12.10)

fluxul vectorului intensității câmpului electrostatic în vid prin orice suprafață închisă este egal cu suma algebrică a sarcinilor conținute în interiorul acestei suprafețe, împărțită la constanta electrică.

Dacă nu există încărcături în interiorul sferei, atunci Ф = 0.

Teorema lui Gauss face relativ simplu calcularea câmpurilor electrice pentru sarcini distribuite simetric.

Să introducem conceptul de densitate a sarcinilor distribuite. Densitatea liniară se notează τ și caracterizează sarcina q pe unitatea de lungime ℓ. ÎN vedere generală

(12.11)

poate fi calculat folosind formula

Densitatea suprafeței se notează cu σ și caracterizează sarcina q pe unitatea de suprafață S. În general, este determinată de formula

(12.12)

Cu o distribuție uniformă a sarcinilor pe suprafață, densitatea suprafeței este egală cu

Densitatea de volum se notează cu ρ și caracterizează sarcina q pe unitatea de volum V. În general, este determinată de formula

(12.13)

Cu o distribuție uniformă a sarcinilor, este egală cu
.

Deoarece sarcina q este distribuită uniform pe sferă, atunci

σ = const. Să aplicăm teorema lui Gauss. Să desenăm o sferă cu rază prin punctul A. Curgerea vectorului tensiune din Fig. 12.9 printr-o suprafață sferică cu rază este egal cu cosα = 1, deoarece α = 0. Conform teoremei lui Gauss,
.

sau

(12.14)

Din expresia (12.14) rezultă că intensitatea câmpului în afara sferei încărcate este aceeași cu intensitatea câmpului unei sarcini punctiforme plasate în centrul sferei. Pe suprafata sferei, i.e. r 1 = r 0, tensiune
.

În interiorul sferei r 1< r 0 (рис.12.9) напряжённость Е = 0, так как сфера радиусом r 2 внутри никаких зарядов не содержит и, по теореме Гаусса, поток вектора сквозь такую сферу равен нулю.

Un cilindru cu raza r 0 este încărcat uniform cu densitatea suprafeței σ (Fig. 12.10). Să determinăm intensitatea câmpului într-un punct A ales în mod arbitrar. Să desenăm o suprafață cilindrică imaginară cu raza R și lungimea ℓ prin punctul A. Datorită simetriei, fluxul va ieși numai prin suprafețele laterale ale cilindrului, deoarece sarcinile de pe cilindrul cu raza r 0 sunt distribuite uniform pe suprafața acestuia, adică. liniile de tensiune vor fi drepte radiale, perpendiculare pe suprafețele laterale ale ambilor cilindri. Deoarece curgerea prin baza cilindrilor este zero (cos α = 0), iar suprafața laterală a cilindrului este perpendiculară pe liniile de forță (cos α = 1), atunci

sau

(12.15)

Să exprimăm valoarea lui E prin σ - densitatea suprafeței. Prin definiție,

prin urmare,

Să înlocuim valoarea lui q în formula (12.15)

(12.16)

Prin definiția densității liniare,
, unde
; substituim această expresie în formula (12.16):

(12.17)

aceste. Intensitatea câmpului creat de un cilindru încărcat infinit de lung este proporțională cu densitatea de sarcină liniară și invers proporțională cu distanța.

Intensitatea câmpului creată de un plan infinit încărcat uniform

Să determinăm intensitatea câmpului creat de un plan infinit încărcat uniform în punctul A. Fie ca densitatea de sarcină la suprafață a planului să fie egală cu σ. Ca suprafață închisă, este convenabil să alegeți un cilindru a cărui axă este perpendiculară pe plan și a cărui bază dreaptă conține punctul A. Planul împarte cilindrul în jumătate. Evident, liniile de forță sunt perpendiculare pe plan și paralele cu suprafața laterală a cilindrului, astfel încât întregul flux trece doar prin baza cilindrului. Pe ambele baze intensitatea câmpului este aceeași, deoarece punctele A și B sunt simetrice față de plan. Apoi debitul prin baza cilindrului este egal cu

Conform teoremei lui Gauss,

Deoarece
, Asta
, unde

(12.18)

Astfel, intensitatea câmpului unui plan infinit de încărcare este proporțională cu densitatea de încărcare a suprafeței și nu depinde de distanța până la plan. Prin urmare, câmpul planului este uniform.

Intensitatea câmpului creată de două plane paralele încărcate uniform opus

Câmpul rezultat creat de două planuri este determinat de principiul suprapunerii câmpului:
(Fig. 12.12). Câmpul creat de fiecare plan este uniform, puterile acestor câmpuri sunt egale ca mărime, dar direcție opusă:
. Conform principiului suprapunerii, intensitatea totală a câmpului în afara planului este zero:

Între planuri, intensitățile câmpului au aceleași direcții, deci puterea rezultată este egală cu

Astfel, câmpul dintre două planuri încărcate diferit este uniform și intensitatea acestuia este de două ori mai puternică decât intensitatea câmpului creat de un plan. Nu există câmp în stânga și în dreapta avioanelor. Câmpul planurilor finite are aceeași formă; Folosind formula rezultată, puteți calcula câmpul dintre plăcile unui condensator plat.

Obiectivul lecției: Teorema Ostrogradsky–Gauss a fost stabilită de matematicianul și mecanicul rus Mihail Vasilyevich Ostrogradsky sub forma unei teoreme matematice generale și de matematicianul german Carl Friedrich Gauss. Această teoremă poate fi folosită atunci când se studiază fizica la un nivel de specialitate, deoarece permite calcule mai raționale ale câmpurilor electrice.

Vector de inducție electrică

Pentru a deriva teorema Ostrogradsky–Gauss, este necesar să se introducă concepte auxiliare atât de importante precum vectorul de inducție electrică și fluxul acestui vector F.

Se știe că câmpul electrostatic este adesea descris folosind linii de forță. Să presupunem că determinăm tensiunea într-un punct situat la interfața dintre două medii: aer (=1) și apă (=81). În acest moment, atunci când treceți de la aer la apă, intensitatea câmpului electric conform formulei va scădea de 81 de ori. Dacă neglijăm conductivitatea apei, atunci numărul liniilor de forță va scădea cu aceeași cantitate. La rezolvarea diverselor probleme de calcul a câmpurilor, din cauza discontinuității vectorului de tensiune la interfața dintre medii și pe dielectrici, se creează anumite inconveniente. Pentru a le evita, este introdus un nou vector, care se numește vectorul de inducție electrică:

Vectorul de inducție electrică este egal cu produsul dintre vector și constanta electrică și constanta dielectrică a mediului într-un punct dat.

Este evident că la trecerea prin limita a doi dielectrici, numărul liniilor electrice de inducție nu se modifică pentru câmpul unei sarcini punctiforme (1).

În sistemul SI, vectorul inducției electrice este măsurat în coulombi pe metru pătrat (C/m2). Expresia (1) arată că valoarea numerică a vectorului nu depinde de proprietățile mediului. Câmpul vectorial este reprezentat grafic în mod similar cu câmpul de intensitate (de exemplu, pentru o sarcină punctiformă, vezi Fig. 1). Pentru un câmp vectorial se aplică principiul suprapunerii:

Flux de inducție electrică

Vectorul de inducție electrică caracterizează câmpul electric în fiecare punct din spațiu. Puteți introduce o altă cantitate care depinde de valorile vectorului nu într-un punct, ci în toate punctele suprafeței delimitate de un contur plat închis.

Pentru a face acest lucru, luați în considerare un conductor plat închis (circuit) cu suprafața S, plasat într-un câmp electric uniform. Normala la planul conductorului formează un unghi cu direcția vectorului de inducție electrică (Fig. 2).

Fluxul inducției electrice prin suprafața S este o mărime egală cu produsul dintre modulul vectorului de inducție prin aria S și cosinusul unghiului dintre vector și normală:

Derivarea teoremei Ostrogradsky–Gauss

Această teoremă ne permite să găsim fluxul vectorului de inducție electrică printr-o suprafață închisă, în interiorul căreia se află sarcini electrice.

Fie mai întâi o sarcină punctiformă q să fie plasată în centrul unei sfere de rază arbitrară r 1 (Fig. 3). Apoi ; . Să calculăm fluxul total de inducție care trece prin întreaga suprafață a acestei sfere: ; (). Dacă luăm o sferă cu raza , atunci și Ф = q. Dacă desenăm o sferă care nu acoperă sarcina q, atunci fluxul total Ф = 0 (deoarece fiecare linie va intra pe suprafață și va părăsi altă dată).

Astfel, Ф = q dacă sarcina este situată în interiorul suprafeței închise și Ф = 0 dacă sarcina este situată în afara suprafeței închise. Debitul Ф nu depinde de forma suprafeței. De asemenea, este independent de dispunerea sarcinilor în interiorul suprafeței. Aceasta înseamnă că rezultatul obținut este valabil nu numai pentru o sarcină, ci și pentru orice număr de sarcini situate arbitrar, dacă înțelegem prin q suma algebrică a tuturor sarcinilor situate în interiorul suprafeței.

Teorema lui Gauss: fluxul de inducție electrică prin orice suprafață închisă este egal cu suma algebrică a tuturor sarcinilor situate în interiorul suprafeței: .

Din formulă este clar că dimensiunea fluxului electric este aceeași cu cea a sarcinii electrice. Prin urmare, unitatea fluxului de inducție electrică este coulombul (C).

Notă: dacă câmpul este neuniform și suprafața prin care se determină curgerea nu este un plan, atunci această suprafață poate fi împărțită în elemente infinitezimale ds și fiecare element poate fi considerat plat, iar câmpul din apropiere este uniform. Prin urmare, pentru orice câmp electric, fluxul vectorului de inducție electrică prin elementul de suprafață este: dФ=. Ca rezultat al integrării, fluxul total printr-o suprafață închisă S în orice câmp electric neomogen este egal cu: , unde q este suma algebrică a tuturor sarcinilor înconjurate de o suprafață închisă S. Să exprimăm ultima ecuație în funcție de intensitatea câmpului electric (pentru vid): .

Aceasta este una dintre ecuațiile fundamentale ale lui Maxwell pentru câmpul electromagnetic, scrisă în formă integrală. Acesta arată că sursa unui câmp electric constant în timp sunt sarcinile electrice staționare.

Aplicarea teoremei lui Gauss

Câmp de taxe distribuite continuu

Să determinăm acum intensitatea câmpului pentru un număr de cazuri folosind teorema Ostrogradsky-Gauss.

1. Câmp electric al unei suprafețe sferice încărcate uniform.

Sfera cu raza R. Fie sarcina +q distribuită uniform pe o suprafață sferică cu raza R. Distribuția sarcinii pe suprafață este caracterizată de densitatea sarcinii la suprafață (Fig. 4). Densitatea de sarcină la suprafață este raportul dintre sarcină și suprafața pe care este distribuită. . În SI.

Să determinăm puterea câmpului:

a) în afara suprafeței sferice,
b) în interiorul unei suprafeţe sferice.

a) Luați punctul A, situat la o distanță r>R de centrul suprafeței sferice încărcate. Să desenăm mental prin ea o suprafață sferică S de raza r, care are un centru comun cu suprafața sferică încărcată. Din considerente de simetrie, este evident că liniile de forță sunt linii radiale perpendiculare pe suprafața S și pătrund uniform în această suprafață, adică. tensiunea în toate punctele acestei suprafețe este constantă ca mărime. Să aplicăm teorema Ostrogradsky-Gauss acestei suprafețe sferice S de rază r. Prin urmare, fluxul total prin sferă este N = E? S; N=E. Pe cealaltă parte. Echivalăm: . Prin urmare: pentru r>R.

Astfel: tensiunea creată de o suprafață sferică încărcată uniform în afara ei este aceeași ca și când întreaga sarcină ar fi în centrul ei (Fig. 5).

b) Să găsim intensitatea câmpului în punctele aflate în interiorul suprafeței sferice încărcate. Să luăm punctul B la o distanță de centrul sferei . Atunci, E = 0 la r

2. Intensitatea câmpului unui plan infinit încărcat uniform

Să considerăm câmpul electric creat de un plan infinit, încărcat cu o constantă de densitate în toate punctele planului. Din motive de simetrie, putem presupune că liniile de tensiune sunt perpendiculare pe plan și direcționate de la acesta în ambele direcții (Fig. 6).

Să alegem punctul A situat în dreapta planului și să calculăm în acest punct folosind teorema Ostrogradsky-Gauss. Ca suprafață închisă, alegem o suprafață cilindrică astfel încât suprafața laterală a cilindrului să fie paralelă cu liniile de forță, iar baza sa să fie paralelă cu planul și baza să treacă prin punctul A (Fig. 7). Să calculăm fluxul de tensiune prin suprafața cilindrică luată în considerare. Fluxul prin suprafața laterală este 0, deoarece liniile de tensiune sunt paralele cu suprafața laterală. Atunci debitul total constă din fluxurile și care trec prin bazele cilindrului și . Ambele fluxuri sunt pozitive =+; =; =; ==; N=2.

– o secțiune a planului situată în interiorul suprafeței cilindrice selectate. Sarcina din interiorul acestei suprafețe este q.

Apoi ; – poate fi luată ca sarcină punctiformă) cu punctul A. Pentru a găsi câmpul total este necesar să se însumeze geometric toate câmpurile create de fiecare element: ; .

Să introducem conceptul de flux vectorial de inducție electrică. Să considerăm o zonă infinitezimală. În cele mai multe cazuri, este necesar să se cunoască nu numai dimensiunea site-ului, ci și orientarea acestuia în spațiu. Să introducem conceptul de zonă vectorială. Să fim de acord că prin vector zonă înțelegem un vector direcționat perpendicular pe zonă și egal numeric cu dimensiunea ariei.

Figura 1 - Spre definirea vectorului - site

Să numim fluxul vectorial prin platformă
produs scalar al vectorilor Şi
. Astfel,

Vector de flux printr-o suprafață arbitrară se găseşte prin integrarea tuturor fluxurilor elementare

(4)

Dacă câmpul este uniform și suprafața este plană situat perpendicular pe câmp, atunci:

. (5)

Expresia dată determină numărul de linii de forță care străpung locul pe unitatea de timp.

Teorema Ostrogradsky-Gauss. Divergența intensității câmpului electric

Curgerea vectorului de inducție electrică printr-o suprafață închisă arbitrară egală cu suma algebrică a sarcinilor electrice libere , acoperită de această suprafață

(6)

Expresia (6) reprezintă teorema O-G în formă integrală. Teorema 0-Г operează cu efectul integral (total), adică. Dacă
nu se știe dacă aceasta înseamnă absența sarcinilor în toate punctele părții studiate a spațiului sau că suma sarcinilor pozitive și negative situate în diferite puncte ale acestui spațiu este egală cu zero.

Pentru a găsi sarcinile localizate și mărimea lor într-un câmp dat, este nevoie de o relație care să relaționeze vectorul inducției electrice într-un punct dat cu o sarcină în același punct.

Să presupunem că trebuie să determinăm prezența sarcinii într-un punct O(Fig.2)

Figura 2 – Pentru a calcula divergența vectorială

Să aplicăm teorema O-G. Curgerea vectorului de inducție electrică printr-o suprafață arbitrară care limitează volumul în care se află punctul O, este egal

Suma algebrică a sarcinilor dintr-un volum poate fi scrisă ca o integrală de volum

(7)

Unde - încărcare pe unitate de volum ;

- element de volum.

Pentru a obține legătura dintre câmp și sarcină la un punct O vom reduce volumul prin contractarea suprafeței până la un punct O. În acest caz, împărțim ambele părți ale egalității noastre la valoare . Trecând la limită, obținem:

.

Partea dreaptă a expresiei rezultate este, prin definiție, densitatea de sarcină volumetrică în punctul considerat din spațiu. Partea stângă reprezintă limita raportului dintre fluxul vectorului de inducție electrică printr-o suprafață închisă și volumul delimitat de această suprafață, când volumul tinde spre zero. Această mărime scalară este o caracteristică importantă a câmpului electric și se numește divergenta vectoriala .

Astfel:

,

prin urmare

, (8)

Unde - densitatea de sarcină volumetrică.

Folosind această relație, problema inversă a electrostaticei este pur și simplu rezolvată, adică. găsirea de taxe distribuite pe un câmp cunoscut.

Dacă vectorul este dat, ceea ce înseamnă că proiecțiile sale sunt cunoscute
,
,
pe axele de coordonate în funcție de coordonate și pentru a calcula densitatea distribuită a sarcinilor care au creat un câmp dat, rezultă că este suficient să găsim suma a trei derivate parțiale ale acestor proiecții în raport cu variabilele corespunzătoare. În acele puncte pentru care
fără taxe. În punctele în care
pozitiv, există o sarcină pozitivă cu o densitate de volum egală cu
, iar în acele puncte în care
va avea o valoare negativă, există o sarcină negativă, a cărei densitate este determinată și de valoarea divergenței.

Expresia (8) reprezintă Teorema 0-Г sub formă diferenţială. În această formă teorema arată că că sursele câmpului electric sunt sarcini electrice libere; liniile de câmp ale vectorului de inducție electrică încep și se termină la sarcini pozitive și, respectiv, negative.

Flux vectorial al intensității câmpului electric. Lasă o platformă mică DS(Fig. 1.2) intersectează liniile câmpului electric, a căror direcție este cu normala n unghi față de acest site o. Presupunând că vectorul de tensiune E nu se modifică în cadrul site-ului DS, hai să definim fluxul vectorului de tensiune prin platformă DS Cum

DFE =E DS cos o.(1.3)

Deoarece densitatea liniilor electrice este egală cu valoarea numerică a tensiunii E, apoi numărul de linii electrice care traversează zonaDS, va fi egal numeric cu valoarea debituluiDFEprin suprafataDS. Să reprezentăm partea dreaptă a expresiei (1.3) ca produs scalar al vectorilor EŞiDS= nDS, Unde n– vector unitar normal la suprafațăDS. Pentru o zonă elementară d S expresia (1.3) ia forma

dFE = E d S

Pe întregul site S fluxul vectorului de tensiune se calculează ca integrală peste suprafață

Flux vectorial de inducție electrică. Fluxul vectorului de inducție electrică este determinat în mod similar cu fluxul vectorului intensității câmpului electric

dFD = D d S

Există o oarecare ambiguitate în definițiile fluxurilor datorită faptului că pentru fiecare suprafață două normale de sens opus. Pentru o suprafață închisă, normala exterioară este considerată pozitivă.

teorema lui Gauss. Să luăm în considerare punct pozitiv sarcina electrica q, situat în interiorul unei suprafețe închise arbitrare S(Fig. 1.3). Flux vectorial de inducție prin elementul de suprafață d S egal
(1.4)

Componenta d S D = d S cos oelement de suprafață d Sîn direcția vectorului de inducțieDconsiderat ca un element al unei suprafeţe sferice de rază r, în centrul căruia se află taxaq.

Având în vedere că d S D/ r 2 este egal corporale elementare colț dw, sub care din punctul în care se află încărcăturaqelement de suprafață d vizibil S, transformăm expresia (1.4) în forma d FD = q d w / 4 p, de unde, după integrare pe întreg spațiul care înconjoară sarcina, adică în unghiul solid de la 0 la 4p, primim

FD = q.

Fluxul vectorului de inducție electrică printr-o suprafață închisă de formă arbitrară este egal cu sarcina conținută în interiorul acestei suprafețe.

Dacă o suprafață închisă arbitrară S nu acoperă o taxă punctuală q(Fig. 1.4), apoi, după ce am construit o suprafață conică cu vârful în punctul în care se află sarcina, împărțim suprafața S in doua parti: S 1 și S 2. D Vector de flux S prin suprafata S 1 și S 2:

.

găsim ca sumă algebrică a fluxurilor prin suprafețe q Ambele suprafețe din punctul în care se află încărcarea w vizibil dintr-un unghi solid

. Prin urmare, debitele sunt egale Deoarece atunci când calculăm debitul printr-o suprafață închisă, folosim normal exterior la suprafață, este ușor de observat că fluxul F < 0, тогда как поток Ф1D 2D D> 0. Debit total Ф = 0. Aceasta înseamnă că

curgerea vectorului de inducție electrică printr-o suprafață închisă de formă arbitrară nu depinde de sarcinile situate în afara acestei suprafețe. q 1 , q 2 ,¼ , Dacă câmpul electric este creat de un sistem de sarcini punctuale qn S, care este acoperit de o suprafață închisă , atunci, în conformitate cu principiul suprapunerii, fluxul vectorului de inducție prin această suprafață este determinat ca suma fluxurilor create de fiecare dintre sarcini.:

Fluxul vectorului de inducție electrică printr-o suprafață închisă de formă arbitrară este egal cu suma algebrică a sarcinilor acoperite de această suprafață. Trebuie remarcat faptul că taxele qi S nu trebuie să fie punctiforme, o condiție necesară este ca zona încărcată să fie acoperită complet de suprafață. Dacă într-un spațiu delimitat de o suprafață închisă , sarcina electrică este distribuită continuu, atunci ar trebui să presupunem că fiecare volum elementar d are o taxă. S:

(1.6)

În acest caz, în partea dreaptă a expresiei (1.5), însumarea algebrică a sarcinilor este înlocuită cu integrarea peste volumul închis în interiorul unei suprafețe închise. Expresia (1.6) este formularea cea mai generală: teorema lui Gauss fluxul vectorului de inducție electrică printr-o suprafață închisă de formă arbitrară este egal cu sarcina totală din volumul acoperit de această suprafață și nu depinde de sarcinile situate în afara suprafeței luate în considerare

.

. Teorema lui Gauss poate fi scrisă și pentru fluxul vectorului intensității câmpului electric: O proprietate importantă a câmpului electric rezultă din teorema lui Gauss: liniile de forță încep sau se termină numai pe sarcini electrice sau merg la infinit . Să subliniem încă o dată că, în ciuda faptului că intensitatea câmpului electric E și inducție electrică D S depind de locația în spațiu a tuturor sarcinilor, fluxurile acestor vectori printr-o suprafață închisă arbitrară sunt doar determinate S.

acele sarcini care se află în interiorul suprafeței Forma diferențială a teoremei lui Gauss. Rețineți că formă integrală , sarcina electrică este distribuită continuu, atunci ar trebui să presupunem că fiecare volum elementar d Teorema lui Gauss caracterizează relația dintre sursele câmpului electric (sarcini) și caracteristicile câmpului electric (tensiune sau inducție) în volum , sarcina electrică este distribuită continuu, atunci ar trebui să presupunem că fiecare volum elementar d arbitrar, dar suficient pentru formarea relațiilor integrale, amploare. Prin împărțirea volumului pentru volume mici V i

, obținem expresia

(1.7)

valabil atât în ​​ansamblu cât și pentru fiecare termen. Să transformăm expresia rezultată după cum urmează: , sarcina electrică este distribuită continuu, atunci ar trebui să presupunem că fiecare volum elementar dși luați în considerare limita la care expresia din partea dreaptă a egalității, cuprinsă între paranteze, tinde spre o împărțire nelimitată a volumului . În matematică această limită se numește divergenţă D):

vector (în acest caz, vectorul inducției electrice D Divergenta vectoriala

în coordonate carteziene:

.

Astfel, expresia (1.7) este transformată în forma:

Având în vedere că la împărțirea nelimitată suma din partea stângă a ultimei expresii merge într-o integrală de volum, obținem Relația rezultată trebuie să fie satisfăcută pentru orice volum ales arbitrar V D. Acest lucru este posibil numai dacă valorile integranților în fiecare punct din spațiu sunt aceleași. Prin urmare, divergența vectorului

este legată de densitatea de sarcină în același punct prin egalitate

sau pentru vectorul intensității câmpului electrostatic Aceste egalități exprimă teorema lui Gauss în.

Rețineți că în procesul de trecere la forma diferențială a teoremei lui Gauss se obține o relație care are un caracter general:

.

Expresia se numește formula Gauss-Ostrogradsky și conectează integrala de volum a divergenței unui vector cu fluxul acestui vector printr-o suprafață închisă care limitează volumul.

Întrebări

1) Care este semnificația fizică a teoremei lui Gauss pentru câmpul electrostatic în vid

2) Există o încărcare punctiformă în centrul cubuluiq. Care este fluxul unui vector? E:

a) prin întreaga suprafață a cubului; b) printr-una din feţele cubului.

Se vor schimba răspunsurile dacă:

a) sarcina nu se află în centrul cubului, ci în interiorul acestuia ; b) sarcina este în afara cubului.

3) Ce sunt densitățile de sarcină liniare, de suprafață, de volum.

4) Indicați relația dintre volum și densitățile de sarcină la suprafață.

5) Câmpul din afara planurilor infinite paralele încărcate opus și uniform poate fi diferit de zero?

6) Un dipol electric este plasat în interiorul unei suprafețe închise. Care este curgerea prin această suprafață