Tipuri de fracții simple și integrale ale acestora. Integrarea celor mai simple fracții (elementare).

După cum am observat deja, în calculul integral nu există o formulă convenabilă pentru integrarea unei fracții. Și, prin urmare, există o tendință tristă: cu cât fracția este mai sofisticată, cu atât este mai dificil să-i găsești integrala. În acest sens, trebuie să apelezi la diverse trucuri, despre care vă voi povesti acum. Cititorii pregătiți pot profita imediat Cuprins:

• Metoda de subsumare a semnului diferenţial pentru fracţii simple

Metoda de conversie a numărătorului artificial

Exemplul 1

Apropo, integrala considerată poate fi rezolvată și prin metoda schimbării variabilei, notând , dar scrierea soluției va fi mult mai lungă.

Exemplul 2

Aflați integrala nedefinită. Efectuați verificarea.

Acesta este un exemplu pentru decizie independentă. Trebuie remarcat faptul că metoda de înlocuire variabilă nu va mai funcționa aici.

Atentie, important! Exemplele nr. 1, 2 sunt tipice și apar frecvent. În special, astfel de integrale apar adesea în timpul rezolvării altor integrale, în special, atunci când se integrează funcții iraționale (rădăcini).

Tehnica luată în considerare funcționează și în caz dacă gradul cel mai înalt al numărătorului este mai mare decât gradul cel mai înalt al numitorului.

Exemplul 3

Aflați integrala nedefinită. Efectuați verificarea.

Începem să selectăm numărătorul.

Algoritmul pentru selectarea numărătorului este cam așa:

1) La numărător trebuie să organizez , dar acolo . Ce să fac? O pun intre paranteze si inmultesc cu: .

2) Acum încerc să deschid aceste paranteze, ce se întâmplă? . Hmm... este mai bine, dar nu există două în numărător inițial. Ce să fac? Trebuie să înmulțiți cu:

3) Deschid din nou parantezele: . Și iată primul succes! S-a dovedit corect! Dar problema este că a apărut un termen în plus. Ce să fac? Pentru a preveni schimbarea expresiei, trebuie să adaug același lucru la construcția mea:
. Viața a devenit mai ușoară. Se poate organiza din nou la numărător?

4) Este posibil. Să încercăm: . Deschideți parantezele celui de-al doilea termen:
. Îmi pare rău, dar la pasul anterior am avut de fapt , nu. Ce să fac? Trebuie să înmulțiți al doilea termen cu:

5) Din nou, pentru a verifica, deschid parantezele în al doilea termen:
. Acum e normal: derivat din construcția finală a punctului 3! Dar din nou există un mic „dar”, a apărut un termen suplimentar, ceea ce înseamnă că trebuie să adaug expresiei mele:

Dacă totul este făcut corect, atunci când deschidem toate parantezele ar trebui să obținem numărătorul original al integrandului. Verificăm:
Capota.

Astfel:

Gata. În ultimul termen, am folosit metoda de subsumare a unei funcții într-un diferențial.

Dacă găsim derivata răspunsului și reducem expresia la un numitor comun, atunci vom obține exact funcția integrand originală. Metoda considerată de descompunere într-o sumă nu este altceva decât acțiunea inversă de a aduce o expresie la un numitor comun.

Algoritmul pentru selectarea numărătorului în astfel de exemple este cel mai bine realizat în formă de schiță. Cu unele abilități, va funcționa și mental. Îmi amintesc de un caz record când făceam o selecție pentru puterea a 11-a, iar extinderea numărătorului a ocupat aproape două rânduri de Verd.

Exemplul 4

Aflați integrala nedefinită. Efectuați verificarea.

Acesta este un exemplu de rezolvat singur.

Metoda de subsumare a semnului diferenţial pentru fracţii simple

Să trecem la luarea în considerare a următorului tip de fracții.
, , , (coeficienții și nu sunt egali cu zero).

De fapt, câteva cazuri cu arcsinus și arctangent au fost deja menționate în lecție Metoda modificării variabilei în integrală nedefinită. Astfel de exemple sunt rezolvate prin subsumarea funcției sub semnul diferențial și integrarea în continuare folosind un tabel. Iată mai multe exemple tipice cu logaritmi lungi și mari:

Exemplul 5

Exemplul 6

Aici este recomandabil să ridicați un tabel de integrale și să vedeți ce formule și Cum are loc transformarea. Vă rugăm să rețineți cum și de ce Pătratele din aceste exemple sunt evidențiate. În special, în Exemplul 6 trebuie mai întâi să reprezentăm numitorul sub formă , apoi aduceți-l sub semnul diferențial. Și toate acestea trebuie făcute pentru a utiliza formula tabelară standard .

De ce uite, încearcă să rezolvi singur exemplele nr. 7, 8, mai ales că sunt destul de scurte:

Exemplul 7

Exemplul 8

Aflați integrala nedefinită:

Dacă reușești să verifici și aceste exemple, atunci mare respect - abilitățile tale de diferențiere sunt excelente.

Metoda de selecție a pătratului complet

Integrale ale formei (coeficienții și nu sunt egali cu zero) se rezolvă metoda de extracție a pătratului complet, care a apărut deja în lecție Transformări geometrice ale graficelor.

De fapt, astfel de integrale se reduc la una dintre cele patru integrale tabulare la care tocmai ne-am uitat. Și acest lucru se realizează folosind formule de înmulțire abreviate familiare:

Formulele sunt aplicate tocmai în această direcție, adică ideea metodei este de a organiza artificial expresiile fie la numitor, iar apoi de a le converti în mod corespunzător în oricare dintre ele.

Exemplul 9

Aflați integrala nedefinită

Acest cel mai simplu exemplu, în care cu termenul – coeficient unitar(și nu vreun număr sau minus).

Să ne uităm la numitor, aici întreaga chestiune se reduce în mod clar la întâmplare. Să începem conversia numitorului:

Evident, trebuie să adăugați 4. Și, pentru ca expresia să nu se schimbe, scădeți aceleași patru:

Acum puteți aplica formula:

După finalizarea conversiei ÎNTOTDEAUNA Este recomandabil să efectuați mișcarea inversă: totul este în regulă, nu există erori.

Designul final al exemplului în cauză ar trebui să arate cam așa:

Gata. Subsumarea unei funcții complexe „libere” sub semnul diferențial: , în principiu, ar putea fi neglijată

Exemplul 10

Aflați integrala nedefinită:

Acesta este un exemplu pe care să-l rezolvi singur, răspunsul este la sfârșitul lecției

Exemplul 11

Aflați integrala nedefinită:

Ce să faci când există un minus în față? În acest caz, trebuie să scoatem minusul din paranteze și să aranjam termenii în ordinea de care avem nevoie: . Constant(„doi” în acest caz) nu atinge!

Acum adăugăm unul între paranteze. Analizând expresia, ajungem la concluzia că trebuie să adăugăm una în afara parantezei:

Aici obținem formula, aplicați:

ÎNTOTDEAUNA Verificăm proiectul:
, care era ceea ce trebuia verificat.

Exemplul curat arată cam așa:

Făcând sarcina mai dificilă

Exemplul 12

Aflați integrala nedefinită:

Aici termenul nu mai este un coeficient unitar, ci un „cinci”.

(1) Dacă există o constantă la, atunci o scoatem imediat din paranteze.

(2) În general, este întotdeauna mai bine să mutați această constantă în afara integralei, astfel încât să nu stea în cale.

(3) Evident, totul se va reduce la formulă. Trebuie să înțelegem termenul, și anume, să obținem „doi”

(4) Da, . Aceasta înseamnă că adunăm la expresie și scădem aceeași fracție.

(5) Acum selectați un pătrat complet. În cazul general, trebuie să calculăm și , dar aici avem o formulă pentru un logaritm lung , și nu are rost să efectuați acțiunea de ce va deveni clar mai jos.

(6) De fapt, puteți aplica formula , doar în loc de „X” avem , ceea ce nu anulează validitatea integralei tabelului. Strict vorbind, un pas a fost ratat - înainte de integrare, funcția ar fi trebuit să fie subsumată sub semnul diferențial: , dar, după cum am observat în repetate rânduri, acest lucru este adesea neglijat.

(7) În răspunsul de sub rădăcină, este recomandabil să extindeți toate parantezele înapoi:

Dificil? Aceasta nu este cea mai dificilă parte a calculului integral. Deși, exemplele luate în considerare nu sunt atât de complexe, cât necesită tehnici de calcul bune.

Exemplul 13

Aflați integrala nedefinită:

Acesta este un exemplu de rezolvat singur. Răspunsul este la sfârșitul lecției.

Există integrale cu rădăcini în numitor, care, folosind o substituție, sunt reduse la integrale de tipul pe care îl puteți citi în articol; Integrale complexe, dar este conceput pentru elevi foarte pregătiți.

Subsumând numărătorul sub semnul diferențial

Aceasta este partea finală a lecției, cu toate acestea, integralele de acest tip sunt destul de comune! Dacă ești obosit, poate e mai bine să citești mâine? ;)

Integralele pe care le vom considera sunt asemănătoare integralelor din paragraful precedent, au forma: or (coeficienți și nu sunt egali cu zero).

Adică acum avem o funcție liniară în numărător. Cum se rezolvă astfel de integrale?

Fracția se numește corecta, dacă gradul cel mai înalt al numărătorului este mai mic decât gradul cel mai înalt al numitorului. Integrala unei fracții raționale propriu-zise are forma:

$$ \int \frac(mx+n)(ax^2+bx+c)dx $$

Formula de integrare a fracțiilor raționale depinde de rădăcinile polinomului din numitor. Dacă polinomul $ ax^2+bx+c $ are:

1. Doar rădăcini complexe, atunci este necesar să extragi un pătrat complet din el: $$ \int \frac(mx+n)(ax^2+bx+c) dx = \int \frac(mx+n)(x^ 2 \pm a ^2) $$
2. Diferite rădăcini reale $ x_1 $ și $ x_2 $, atunci trebuie să extindeți integrala și să găsiți coeficienții nedeterminați $ A $ și $ B $: $$ \int \frac(mx+n)(ax^2+bx+c ) dx = \int \frac(A)(x-x_1) dx + \int \frac(B)(x-x_2) dx $$
3. O rădăcină multiplă $ x_1 $, apoi extindem integrala și găsim coeficienții nedeterminați $ A $ și $ B $ pentru următoarea formulă: $$ \int \frac(mx+n)(ax^2+bx+c) dx = \int \frac(A)((x-x_1)^2)dx + \int \frac(B)(x-x_1) dx $$

Dacă fracția este greşit, adică gradul cel mai înalt în numărător este mai mare sau egal cu gradul cel mai înalt al numitorului, apoi mai întâi trebuie redus la corecta se formează împărțind polinomul de la numărător la polinomul de la numitor. În acest caz, formula pentru integrarea unei fracții raționale are forma:

$$ \int \frac(P(x))(ax^2+bx+c)dx = \int Q(x) dx + \int \frac(mx+n)(ax^2+bx+c)dx $$

Exemple de soluții

Exemplul 1

Aflați integrala fracției raționale: $$ \int \frac(dx)(x^2-10x+16) $$

Soluţie

Fracția este proprie și polinomul are doar rădăcini complexe. Prin urmare, selectăm un pătrat complet: $$ \int \frac(dx)(x^2-10x+16) = \int \frac(dx)(x^2-2\cdot 5 x+ 5^2 - 9) = $$ Îndoim un pătrat complet și îl plasăm sub semnul diferențial $ x-5 $: $$ = \int \frac(dx)((x-5)^2 - 9) = \int \frac(d(x-5))((x-5)^2-9) = $$ Folosind tabelul de integrale obtinem: $$ = \frac(1)(2 \cdot 3) \ln \bigg | \frac(x-5 - 3)(x-5 + 3) \bigg | + C = \frac(1)(6) \ln \bigg |\frac(x-8)(x-2) \bigg | +C$$ Dacă nu vă puteți rezolva problema, trimiteți-ne-o. Vom oferi o soluție detaliată. Veți putea vizualiza progresul calculului și veți obține informații. Acest lucru vă va ajuta să obțineți nota de la profesorul dvs. în timp util!

Răspuns

$$ \int \frac(dx)(x^2-10x+16) = \frac(1)(6) \ln \bigg |\frac(x-8)(x-2) \bigg | +C$$

Exemplul 2

Efectuați integrarea fracțiilor raționale: $$ \int \frac(x+2)(x^2+5x-6) dx $$

Soluţie

Să rezolvăm ecuația pătratică: $$ x^2+5x-6 = 0 $$ $$ x_(12) = \frac(-5\pm \sqrt(25-4\cdot 1 \cdot (-6)))(2) = \frac(-5 \pm 7)(2) $$ Scriem rădăcinile: $$ x_1 = \frac(-5-7)(2) = -6; x_2 = \frac(-5+7)(2) = 1 $$ Ținând cont de rădăcinile obținute, transformăm integrala: $$ \int \frac(x+2)(x^2+5x-6) dx = \int \frac(x+2)((x-1)(x+6)) dx = $$ Efectuăm expansiunea unei fracții raționale: $$ \frac(x+2)((x-1)(x+6)) = \frac(A)(x-1) + \frac(B)(x+6) = \frac(A(x) -6)+B(x-1))((x-1)(x+6)) $$ Echivalăm numărătorii și găsim coeficienții $ A $ și $ B $: $$ A(x+6)+B(x-1)=x+2 $$ $$ Ax + 6A + Bx - B = x + 2 $$ $$ \begin(cases) A ​​​​+ B = 1 \\ 6A - B = 2 \end(cases) $$ $$ \begin(cases) A ​​​​= \frac(3)(7) \\ B = \frac(4)(7) \end(cases) $$ Înlocuim coeficienții găsiți în integrală și o rezolvăm: $$ \int \frac(x+2)((x-1)(x+6))dx = \int \frac(\frac(3)(7))(x-1) dx + \int \frac (\frac(4)(7))(x+6) dx = $$ $$ = \frac(3)(7) \int \frac(dx)(x-1) + \frac(4)(7) \int \frac(dx)(x+6) = \frac(3) (7) \ln |x-1| + \frac(4)(7) \ln |x+6| +C$$

Răspuns

$$ \int \frac(x+2)(x^2+5x-6) dx = \frac(3)(7) \ln |x-1| + \frac(4)(7) \ln |x+6| +C$$

Derivarea formulelor pentru calcularea integralelor celor mai simple, elementare, fracții de patru tipuri este dată. Integrale mai complexe, din fracții de al patrulea tip, sunt calculate folosind formula de reducere. Este luat în considerare un exemplu de integrare a unei fracțiuni de al patrulea tip.

Conţinut

Vezi și: Tabelul integralelor nedefinite
Metode de calcul a integralelor nedefinite

După cum se știe, orice funcție rațională a unei variabile x poate fi descompusă într-un polinom și cele mai simple fracții elementare. Există patru tipuri de fracții simple:
1) ;
2) ;
3) ;
4) .
Aici a, A, B, b, c sunt numere reale. Ecuația x 2 + bx + c = 0 nu are rădăcini reale.

Integrarea fracțiilor din primele două tipuri

Integrarea primelor două fracții se face folosind următoarele formule din tabelul de integrale:
,
, n ≠ - 1 .

1. Integrarea fracțiilor de primul tip

O fracție de primul tip este redusă la o integrală de tabel prin substituția t = x - a:
.

2. Integrarea fracțiilor de al doilea tip

Fracția celui de-al doilea tip este redusă la o integrală de tabel prin aceeași substituție t = x - a:

.

3. Integrarea fracțiilor de al treilea tip

Luați în considerare integrala unei fracții de al treilea tip:
.
O vom calcula în doi pași.

3.1. Pasul 1. Selectați derivata numitorului din numărător

Să izolăm derivata numitorului în numărătorul fracției. Să notăm: u = x 2 + bx + c. Să diferențiem: u′ = 2 x + b
;
.
.
.
Apoi

Dar
,
Am omis semnul modulului deoarece .
.

Apoi:

Unde
.

3.2. Pasul 2. Calculați integrala cu A = 0, B=1
,
Acum calculăm integrala rămasă:
Aducem numitorul fracției la suma pătratelor: 2 + bx + c = 0 Unde .

Considerăm că ecuația x
,
.
.

nu are rădăcini. De aceea .
.

Să facem o înlocuire

,
Acum calculăm integrala rămasă:

Aşa,

Astfel, am găsit integrala unei fracții de al treilea tip:
.
4. Integrarea fracțiilor de al patrulea tip

Și, în sfârșit, luați în considerare integrala unei fracții de al patrulea tip:
.

O calculăm în trei pași.
.

4.1) Selectați derivata numitorului în numărător:
,
4.2) Calculați integrala
.

4.3) Calculați integrale

folosind formula de reducere: 2 + bx + c. Să diferențiem: u′ = 2 x + b
.

.
.
.

4.1. Pasul 1. Izolarea derivatei numitorului în numărător
.

Să izolăm derivata numitorului în numărător, așa cum am făcut în . Să notăm u = x

În sfârșit avem:
.
4.2. Pasul 2. Calculați integrala cu n = 1

Calculați integrala

Calculul său este conturat în.
.

4.3. Pasul 3. Derivarea formulei de reducere
.
Acum luați în considerare integrala
Reducem trinomul pătratic la suma pătratelor:
.
.

Aici .




.

Să facem o înlocuire. Efectuăm transformări și integrăm pe părți.:
.
Înmulțiți cu
,
;
;
.

2(n - 1)
.
Să revenim la x și I n. 1 .

Deci, pentru I n avem formula de reducere:

Aplicând în mod consecvent această formulă, reducem integrala I n la I

1. Exemplu
;
;


.
Calculați integrala
.

2. Să izolăm derivata numitorului în numărător.

.

3. Aici

Calculăm integrala celei mai simple fracții.
Aplicam formula de reducere: 1 pentru integrală. 1 , În cazul nostru b =, c = 2 4 c - b 2 = 3 3 :
;
.
.

.

4.1. Pasul 1. Izolarea derivatei numitorului în numărător

.
Scriem această formulă pentru n =
.

și n =

De aici

Permiteți-mi să vă reamintesc câțiva termeni. Au fost discutate în subiectul corespunzător, așa că aici mă voi limita la o scurtă formulare.

Raportul a două polinoame $\frac(P_n(x))(Q_m(x))$ se numește funcție rațională sau fracție rațională. Fracția rațională se numește corecta, dacă $n< m$, т.е. если степень многочлена, стоящего в числителе, меньше степени многочлена, стоящего в знаменателе. В противном случае (если $n ≥ m$) дробь называется greşit.

Fracțiile raționale elementare (simple) sunt fracții raționale de patru tipuri:

1. $\frac(A)(x-a)$;
2. $\frac(A)((x-a)^n)$ ($n=2,3,4, \ldots$);
3. $\frac(Mx+N)(x^2+px+q)$ ($p^2-4q< 0$);
4. $\frac(Mx+N)((x^2+px+q)^n)$ ($p^2-4q)< 0$; $n=2,3,4,\ldots$).

Notă (de dorit pentru o înțelegere mai completă a textului): show\hide

De ce este necesară condiția $p^2-4q?< 0$ в дробях третьего и четвертого типов? Рассмотрим квадратное уравнение $x^2+px+q=0$. Дискриминант этого уравнения $D=p^2-4q$. По сути, условие $p^2-4q < 0$ означает, что $D < 0$. Если $D < 0$, то уравнение $x^2+px+q=0$ не имеет действительных корней. Т.е. выражение $x^2+px+q$ неразложимо на множители. Именно эта неразложимость нас и интересует.

De exemplu, pentru expresia $x^2+5x+10$ obținem: $p^2-4q=5^2-4\cdot 10=-15$. Deoarece $p^2-4q=-15< 0$, то выражение $x^2+5x+10$ нельзя разложить на множители.

Apropo, pentru această verificare nu este deloc necesar ca coeficientul lui $x^2$ să fie egal cu 1. De exemplu, pentru $5x^2+7x-3=0$ obținem: $D=7^ 2-4\cdot 5 \cdot (-3)=109 $. Deoarece $D > 0$, expresia $5x^2+7x-3$ este factorizabilă.

Pot fi găsite exemple de fracții raționale (proprie și improprie), precum și exemple de descompunere a unei fracții raționale în fracții elementare. Aici ne vor interesa doar chestiunile legate de integrarea lor. Să începem cu integrarea fracțiilor elementare. Deci, fiecare dintre cele patru tipuri de fracții elementare de mai sus este ușor de integrat folosind formulele de mai jos. Permiteți-mi să vă reamintesc că la integrarea fracțiilor de tipurile (2) și (4), se presupune că $n=2,3,4,\ldots$. Formulele (3) și (4) necesită îndeplinirea condiției $p^2-4q< 0$.

\begin(equation) \int \frac(A)(x-a) dx=A\cdot \ln |x-a|+C \end(equation) \begin(equation) \int\frac(A)((x-a)^n )dx=-\frac(A)((n-1)(x-a)^(n-1))+C \end(equation) \begin(equation) \int \frac(Mx+N)(x^2 +px+q) dx= \frac(M)(2)\cdot \ln (x^2+px+q)+\frac(2N-Mp)(\sqrt(4q-p^2))\arctg\ frac(2x+p)(\sqrt(4q-p^2))+C \end(ecuație)

Pentru $\int\frac(Mx+N)((x^2+px+q)^n)dx$ se face înlocuirea $t=x+\frac(p)(2)$, după care intervalul rezultat este împărțit în două. Primul va fi calculat prin introducerea sub semnul diferenţial, iar al doilea va avea forma $I_n=\int\frac(dt)((t^2+a^2)^n)$. Această integrală este luată folosind relația de recurență

\begin(equation) I_(n+1)=\frac(1)(2na^2)\frac(t)((t^2+a^2)^n)+\frac(2n-1)(2na ^2)I_n,\; n\în N\end(ecuație)

Calculul unei astfel de integrale este discutat în exemplul nr. 7 (a se vedea partea a treia).

Schema de calcul a integralelor funcțiilor raționale (fracții raționale):

1. Dacă integrandul este elementar, atunci se aplică formulele (1)-(4).
2. Dacă integrandul nu este elementar, atunci reprezentați-l ca o sumă de fracții elementare și apoi integrați folosind formulele (1)-(4).

Algoritmul de mai sus pentru integrarea fracțiilor raționale are un avantaj incontestabil - este universal. Aceste. folosind acest algoritm puteți integra orice fracție rațională. De aceea aproape toate modificările variabilelor într-o integrală nedefinită (Euler, Cebyshev, substituție trigonometrică universală) se fac în așa fel încât după această modificare să obținem o fracție rațională sub interval. Și apoi aplicați algoritmul. Vom analiza aplicarea directă a acestui algoritm folosind exemple, după ce facem o mică notă.

$$ \int\frac(7dx)(x+9)=7\ln|x+9|+C. $$

În principiu, această integrală este ușor de obținut fără aplicarea mecanică a formulei. Dacă scoatem constanta $7$ din semnul integral și luăm în considerare că $dx=d(x+9)$, obținem:

$$ \int\frac(7dx)(x+9)=7\cdot \int\frac(dx)(x+9)=7\cdot \int\frac(d(x+9))(x+9 )=|u=x+9|=7\cdot\int\frac(du)(u)=7\ln|u|+C=7\ln|x+9|+C. $$

Pentru informații detaliate, vă recomand să vă uitați la subiect. Acesta explică în detaliu cum se rezolvă astfel de integrale. Apropo, formula este dovedită prin aceleași transformări care au fost aplicate în acest paragraf la rezolvarea ei „manual”.

2) Din nou, există două moduri: folosiți formula gata preparată sau faceți fără ea. Dacă aplicați formula, ar trebui să țineți cont de faptul că va trebui eliminat coeficientul din fața lui $x$ (numărul 4). Pentru a face acest lucru, să scoatem pur și simplu aceste patru dintre paranteze:

$$ \int\frac(11dx)((4x+19)^8)=\int\frac(11dx)(\left(4\left(x+\frac(19)(4)\right)\right)^ 8)= \int\frac(11dx)(4^8\left(x+\frac(19)(4)\right)^8)=\int\frac(\frac(11)(4^8)dx) (\left(x+\frac(19)(4)\right)^8). $$

Acum este timpul să aplicați formula:

$$ \int\frac(\frac(11)(4^8)dx)(\left(x+\frac(19)(4)\right)^8)=-\frac(\frac(11)(4 ^8))((8-1)\left(x+\frac(19)(4) \right)^(8-1))+C= -\frac(\frac(11)(4^8)) (7\left(x+\frac(19)(4) \right)^7)+C=-\frac(11)(7\cdot 4^8 \left(x+\frac(19)(4) \right )^7)+C. $$

Puteți face fără a utiliza formula. Și chiar și fără a scoate constanta $4$ din paranteze. Dacă luăm în considerare că $dx=\frac(1)(4)d(4x+19)$, obținem:

$$ \int\frac(11dx)((4x+19)^8)=11\int\frac(dx)((4x+19)^8)=\frac(11)(4)\int\frac( d(4x+19))((4x+19)^8)=|u=4x+19|=\\ =\frac(11)(4)\int\frac(du)(u^8)=\ frac(11)(4)\int u^(-8)\;du=\frac(11)(4)\cdot\frac(u^(-8+1))(-8+1)+C= \\ =\frac(11)(4)\cdot\frac(u^(-7))(-7)+C=-\frac(11)(28)\cdot\frac(1)(u^7 )+C=-\frac(11)(28(4x+19)^7)+C. $$

Explicații detaliate pentru găsirea unor astfel de integrale sunt date în subiectul „Integrare prin substituție (substituție sub semnul diferențial)”.

3) Trebuie să integrăm fracția $\frac(4x+7)(x^2+10x+34)$. Această fracție are structura $\frac(Mx+N)(x^2+px+q)$, unde $M=4$, $N=7$, $p=10$, $q=34$. Cu toate acestea, pentru a vă asigura că aceasta este într-adevăr o fracțiune elementară a celui de-al treilea tip, trebuie să verificați dacă este îndeplinită condiția $p^2-4q< 0$. Так как $p^2-4q=10^2-4\cdot 34=-16 < 0$, то мы действительно имеем дело с интегрированием элементарной дроби третьего типа. Как и в предыдущих пунктах есть два пути для нахождения $\int\frac{4x+7}{x^2+10x+34}dx$. Первый путь - банально использовать формулу . Подставив в неё $M=4$, $N=7$, $p=10$, $q=34$ получим:

$$ \int\frac(4x+7)(x^2+10x+34)dx = \frac(4)(2)\cdot \ln (x^2+10x+34)+\frac(2\cdot 7-4\cdot 10)(\sqrt(4\cdot 34-10^2)) \arctg\frac(2x+10)(\sqrt(4\cdot 34-10^2))+C=\\ = 2\cdot \ln (x^2+10x+34)+\frac(-26)(\sqrt(36)) \arctg\frac(2x+10)(\sqrt(36))+C =2\cdot \ln (x^2+10x+34)+\frac(-26)(6) \arctg\frac(2x+10)(6)+C=\\ =2\cdot \ln (x^2+10x +34)-\frac(13)(3) \arctg\frac(x+5)(3)+C. $$

Să rezolvăm același exemplu, dar fără a folosi o formulă gata făcută. Să încercăm să izolăm derivata numitorului în numărător. Ce înseamnă acest lucru? Știm că $(x^2+10x+34)"=2x+10$. Este expresia $2x+10$ pe care trebuie să o izolăm în numărător. Până acum numărătorul conține doar $4x+7$, dar aceasta nu va dura mult. Să aplicăm următoarea transformare la numărător:

$$ 4x+7=2\cdot 2x+7=2\cdot (2x+10-10)+7=2\cdot(2x+10)-2\cdot 10+7=2\cdot(2x+10) -13. $$

Acum în numărător apare expresia necesară $2x+10$. Și integrala noastră poate fi rescrisă după cum urmează:

$$ \int\frac(4x+7)(x^2+10x+34) dx= \int\frac(2\cdot(2x+10)-13)(x^2+10x+34)dx. $$

Să împărțim integrandu-ul în două. Ei bine, și, în consecință, integrala în sine este, de asemenea, „bifurcată”:

$$ \int\frac(2\cdot(2x+10)-13)(x^2+10x+34)dx=\int \left(\frac(2\cdot(2x+10))(x^2 +10x+34)-\frac(13)(x^2+10x+34) \right)\; dx=\\ =\int \frac(2\cdot(2x+10))(x^2+10x+34)dx-\int\frac(13dx)(x^2+10x+34)=2\cdot \int \frac((2x+10)dx)(x^2+10x+34)-13\cdot\int\frac(dx)(x^2+10x+34). $$

Să vorbim mai întâi despre prima integrală, adică. aproximativ $\int \frac((2x+10)dx)(x^2+10x+34)$. Deoarece $d(x^2+10x+34)=(x^2+10x+34)"dx=(2x+10)dx$, atunci numărătorul integrandului conține diferența numitorului. Pe scurt, în schimb din expresia $( 2x+10)dx$ scriem $d(x^2+10x+34)$.

Acum să spunem câteva cuvinte despre a doua integrală. Să selectăm un pătrat complet la numitor: $x^2+10x+34=(x+5)^2+9$. În plus, luăm în considerare $dx=d(x+5)$. Acum, suma integralelor pe care am obținut-o mai devreme poate fi rescrisă într-o formă ușor diferită:

$$ 2\cdot\int \frac((2x+10)dx)(x^2+10x+34)-13\cdot\int\frac(dx)(x^2+10x+34) =2\cdot \int \frac(d(x^2+10x+34))(x^2+10x+34)-13\cdot\int\frac(d(x+5))((x+5)^2+ 9). $$

Dacă facem substituția $u=x^2+10x+34$ în prima integrală, atunci aceasta va lua forma $\int\frac(du)(u)$ și poate fi obținută prin simpla aplicare a celei de-a doua formule din . În ceea ce privește integrala a doua, modificarea $u=x+5$ este fezabilă pentru aceasta, după care va lua forma $\int\frac(du)(u^2+9)$. Acest apă pură a unsprezecea formulă din tabelul integralelor nedefinite. Deci, revenind la suma integralelor, avem:

$$ 2\cdot\int \frac(d(x^2+10x+34))(x^2+10x+34)-13\cdot\int\frac(d(x+5))((x+ 5 )^2+9) =2\cdot\ln(x^2+10x+34)-\frac(13)(3)\arctg\frac(x+5)(3)+C. $$

Am primit același răspuns ca la aplicarea formulei, ceea ce, strict vorbind, nu este surprinzător. În general, formula este dovedită prin aceleași metode pe care le-am folosit pentru a găsi această integrală. Cred că cititorul atent poate avea o întrebare aici, așa că o voi formula:

Întrebarea nr. 1

Dacă aplicăm a doua formulă din tabelul de integrale nedefinite la integrala $\int \frac(d(x^2+10x+34))(x^2+10x+34)$, atunci obținem următoarele:

$$ \int \frac(d(x^2+10x+34))(x^2+10x+34)=|u=x^2+10x+34|=\int\frac(du)(u) =\ln|u|+C=\ln|x^2+10x+34|+C. $$

De ce nu a existat niciun modul în soluție?

Răspuns la întrebarea #1

Întrebarea este complet firească. Modulul lipsea doar pentru că expresia $x^2+10x+34$ pentru orice $x\în R$ este mai mare decât zero. Acest lucru este destul de ușor de arătat în mai multe moduri. De exemplu, deoarece $x^2+10x+34=(x+5)^2+9$ și $(x+5)^2 ≥ 0$, atunci $(x+5)^2+9 > 0$ . Puteți gândi diferit, fără a utiliza selecția unui pătrat complet. Deoarece $10^2-4\cdot 34=-16< 0$, то $x^2+10x+34 >0$ pentru orice $x\in R$ (dacă acest lanț logic este surprinzător, vă sfătuiesc să vă uitați la metoda grafică de rezolvare a inegalităților pătratice). În orice caz, deoarece $x^2+10x+34 > 0$, atunci $|x^2+10x+34|=x^2+10x+34$, adică. În loc de un modul, puteți folosi paranteze obișnuite.

Toate punctele exemplului nr. 1 au fost rezolvate, nu mai rămâne decât să notăm răspunsul.

Răspuns:

1. $\int\frac(7dx)(x+9)=7\ln|x+9|+C$;
2. $\int\frac(11dx)((4x+19)^8)=-\frac(11)(28(4x+19)^7)+C$;
3. $\int\frac(4x+7)(x^2+10x+34)dx=2\cdot\ln(x^2+10x+34)-\frac(13)(3)\arctg\frac(x +5)(3)+C$.

Exemplul nr. 2

Aflați integrala $\int\frac(7x+12)(3x^2-5x-2)dx$.

La prima vedere, fracția integrandă $\frac(7x+12)(3x^2-5x-2)$ este foarte asemănătoare cu o fracție elementară de al treilea tip, adică. prin $\frac(Mx+N)(x^2+px+q)$. Se pare că singura diferență este coeficientul de $3$ în fața $x^2$, dar nu durează mult să eliminați coeficientul (să-l scoateți din paranteze). Cu toate acestea, această asemănare este evidentă. Pentru fracția $\frac(Mx+N)(x^2+px+q)$ condiția $p^2-4q este obligatorie< 0$, которое гарантирует, что знаменатель $x^2+px+q$ нельзя разложить на множители. Проверим, как обстоит дело с разложением на множители у знаменателя нашей дроби, т.е. у многочлена $3x^2-5x-2$.

Coeficientul nostru înainte de $x^2$ nu este egal cu unu, prin urmare verificați condiția $p^2-4q< 0$ напрямую мы не можем. Однако тут нужно вспомнить, откуда взялось выражение $p^2-4q$. Это всего лишь дискриминант квадратного уравнения $x^2+px+q=0$. Если дискриминант меньше нуля, то выражение $x^2+px+q$ на множители не разложишь. Вычислим дискриминант многочлена $3x^2-5x-2$, расположенного в знаменателе нашей дроби: $D=(-5)^2-4\cdot 3\cdot(-2)=49$. Итак, $D >0$, prin urmare expresia $3x^2-5x-2$ poate fi factorizată. Aceasta înseamnă că fracția $\frac(7x+12)(3x^2-5x-2)$ nu este o fracție elementară de al treilea tip și se aplică $\int\frac(7x+12)(3x^2- ) la formula integrală 5x-2)dx$ nu este posibilă.

Ei bine, dacă fracția rațională dată nu este o fracție elementară, atunci trebuie reprezentată ca o sumă de fracții elementare și apoi integrată. Pe scurt, profitați de traseu. Cum se descompune o fracție rațională în fracțiuni elementare este scris în detaliu. Să începem prin factorizarea numitorului:

$$ 3x^2-5x-2=0;\\ \begin(aligned) & D=(-5)^2-4\cdot 3\cdot(-2)=49;\\ & x_1=\frac( -(-5)-\sqrt(49))(2\cdot 3)=\frac(5-7)(6)=\frac(-2)(6)=-\frac(1)(3); \\ & x_2=\frac(-(-5)+\sqrt(49))(2\cdot 3)=\frac(5+7)(6)=\frac(12)(6)=2.\ \\end(aliniat)\\ 3x^2-5x-2=3\cdot\left(x-\left(-\frac(1)(3)\right)\right)\cdot (x-2)= 3\cdot\left(x+\frac(1)(3)\right)(x-2). $$

Prezentăm fracția subintercală sub această formă:

$$ \frac(7x+12)(3x^2-5x-2)=\frac(7x+12)(3\cdot\left(x+\frac(1)(3)\right)(x-2) )=\frac(\frac(7)(3)x+4)(\left(x+\frac(1)(3)\right)(x-2)). $$

Acum să descompunăm fracția $\frac(\frac(7)(3)x+4)(\left(x+\frac(1)(3)\right)(x-2))$ în fracțiuni elementare:

$$ \frac(\frac(7)(3)x+4)(\left(x+\frac(1)(3)\right)(x-2)) =\frac(A)(x+\frac( 1)(3))+\frac(B)(x-2)=\frac(A(x-2)+B\left(x+\frac(1)(3)\right))(\left(x+) \frac(1)(3)\right)(x-2));\\ \frac(7)(3)x+4=A(x-2)+B\left(x+\frac(1)( 3)\ dreapta). $$

Pentru a afla coeficienții $A$ și $B$ există două modalități standard: metoda coeficienților nedeterminați și metoda substituției valorilor parțiale. Să aplicăm metoda de substituție a valorii parțiale, înlocuind $x=2$ și apoi $x=-\frac(1)(3)$:

$$ \frac(7)(3)x+4=A(x-2)+B\left(x+\frac(1)(3)\right).\\ x=2;\; \frac(7)(3)\cdot 2+4=A(2-2)+B\left(2+\frac(1)(3)\right); \; \frac(26)(3)=\frac(7)(3)B;\; B=\frac(26)(7).\\ x=-\frac(1)(3);\; \frac(7)(3)\cdot \left(-\frac(1)(3) \right)+4=A\left(-\frac(1)(3)-2\right)+B\left (-\frac(1)(3)+\frac(1)(3)\dreapta); \; \frac(29)(9)=-\frac(7)(3)A;\; A=-\frac(29\cdot 3)(9\cdot 7)=-\frac(29)(21).\\ $$

Deoarece au fost găsiți coeficienții, tot ce rămâne este să notăm expansiunea finală:

$$ \frac(\frac(7)(3)x+4)(\left(x+\frac(1)(3)\right)(x-2))=\frac(-\frac(29)( 21))(x+\frac(1)(3))+\frac(\frac(26)(7))(x-2). $$

În principiu, puteți lăsa această intrare, dar îmi place o opțiune mai precisă:

$$ \frac(\frac(7)(3)x+4)(\left(x+\frac(1)(3)\right)(x-2))=-\frac(29)(21)\ cdot\frac(1)(x+\frac(1)(3))+\frac(26)(7)\cdot\frac(1)(x-2). $$

Revenind la integrala originală, înlocuim expansiunea rezultată în ea. Apoi împărțim integrala în două și aplicăm formula fiecăruia. Prefer să plasez imediat constantele în afara semnului integral:

$$ \int\frac(7x+12)(3x^2-5x-2)dx =\int\left(-\frac(29)(21)\cdot\frac(1)(x+\frac(1) (3))+\frac(26)(7)\cdot\frac(1)(x-2)\right)dx=\\ =\int\left(-\frac(29)(21)\cdot\ frac(1)(x+\frac(1)(3))\right)dx+\int\left(\frac(26)(7)\cdot\frac(1)(x-2)\right)dx =- \frac(29)(21)\cdot\int\frac(dx)(x+\frac(1)(3))+\frac(26)(7)\cdot\int\frac(dx)(x-2 )dx=\\ =-\frac(29)(21)\cdot\ln\left|x+\frac(1)(3)\right|+\frac(26)(7)\cdot\ln|x- 2|+C. $$

Răspuns: $\int\frac(7x+12)(3x^2-5x-2)dx=-\frac(29)(21)\cdot\ln\left|x+\frac(1)(3)\right| +\frac(26)(7)\cdot\ln|x-2|+C$.

Exemplul nr. 3

Aflați integrala $\int\frac(x^2-38x+157)((x-1)(x+4)(x-9))dx$.

Trebuie să integrăm fracția $\frac(x^2-38x+157)((x-1)(x+4)(x-9))$. Numătorul conține un polinom de gradul doi, iar numitorul conține un polinom de gradul trei. Deoarece gradul polinomului din numărător este mai mic decât gradul polinomului din numitor, i.e. 2 dolari< 3$, то подынтегральная дробь является правильной. Разложение этой дроби на элементарные (простейшие) было получено в примере №3 на странице, посвящённой разложению рациональных дробей на элементарные. Полученное разложение таково:

$$ \frac(x^2-38x+157)((x-1)(x+4)(x-9))=-\frac(3)(x-1)+\frac(5)(x +4)-\frac(1)(x-9). $$

Tot ce trebuie să facem este să împărțim integrala dată în trei și să aplicăm formula fiecăruia. Prefer să plasez imediat constantele în afara semnului integral:

$$ \int\frac(x^2-38x+157)((x-1)(x+4)(x-9))dx=\int\left(-\frac(3)(x-1) +\frac(5)(x+4)-\frac(1)(x-9) \right)dx=\\=-3\cdot\int\frac(dx)(x-1)+ 5\cdot \int\frac(dx)(x+4)-\int\frac(dx)(x-9)=-3\ln|x-1|+5\ln|x+4|-\ln|x- 9|+C. $$

Răspuns: $\int\frac(x^2-38x+157)((x-1)(x+4)(x-9))dx=-3\ln|x-1|+5\ln|x+ 4 |-\ln|x-9|+C$.

Continuarea analizei exemplelor din acest subiect se află în partea a doua.

Să vă reamintim că fracționar-rațional se numesc functii de forma $$ f(x) = \frac(P_n(x))(Q_m(x)), $$ in cazul general fiind raportul a doua polinoame %%P_n(x)%% si % %Q_m(x)% %.

Dacă %%m > n \geq 0%%, atunci se numește fracția rațională corecta, altfel - incorect. Folosind regula de împărțire a polinoamelor, o fracție rațională improprie poate fi reprezentată ca suma unui polinom %%P_(n - m)%% de gradul %%n - m%% și a unei fracții proprii, adică. $$ \frac(P_n(x))(Q_m(x)) = P_(n-m)(x) + \frac(P_l(x))(Q_n(x)), $$ unde gradul %%l%% al polinomului %%P_l(x)%% este mai mic decât gradul %%n%% al polinomului %%Q_n(x)%%.

Astfel, integrala nedefinită a unei funcții raționale poate fi reprezentată ca suma integralelor nedefinite ale unui polinom și a unei fracții raționale propriu-zise.

Integrale din fracții raționale simple

Printre fracțiile raționale proprii, există patru tipuri, care sunt clasificate ca fracții raționale simple:

1. %%\displaystyle \frac(A)(x - a)%%,
2. %%\displaystyle \frac(A)((x - a)^k)%%,
3. %%\displaystyle \frac(Ax + B)(x^2 + px + q)%%,
4. %%\displaystyle \frac(Ax + B)((x^2 + px + q)^k)%%,

unde %%k > 1%% este un întreg și %%p^2 - 4q< 0%%, т.е. квадратные уравнения не имеют действительных корней.

Calculul integralelor nedefinite ale fracțiilor din primele două tipuri

Calcularea integralelor nedefinite ale fracțiilor din primele două tipuri nu provoacă dificultăți: $$ \begin(array)(ll) \int \frac(A)(x - a) \mathrm(d)x &= A\int \frac (\mathrm (d)(x - a))(x - a) = A \ln |x - a| + C, \\ \\ \int \frac(A)((x - a)^k) \mathrm(d)x &= A\int \frac(\mathrm(d)(x - a))(( x - a)^k) = A \frac((x-a)^(-k + 1))(-k + 1) + C = \\ &= -\frac(A)((k-1)(x-a )^(k-1)) + C. \end(array) $$

Calculul integralelor nedefinite ale fracțiilor de al treilea tip

Mai întâi transformăm al treilea tip de fracție evidențiind pătratul perfect la numitor: $$ \frac(Ax + B)(x^2 + px + q) = \frac(Ax + B)((x + p/2) )^2 + q - p^2/4), $$ deoarece %%p^2 - 4q< 0%%, то %%q - p^2/4 >0%%, pe care îl notăm ca %%a^2%%. După ce am înlocuit și %%t = x + p/2, \mathrm(d)t = \mathrm(d)x%%, transformăm numitorul și scriem integrala fracției de tip al treilea sub forma $$ \begin( matrice)(ll) \ int \frac(Ax + B)(x^2 + px + q) \mathrm(d)x &= \int \frac(Ax + B)((x + p/2)^2 + q - p^2 /4) \mathrm(d)x = \\ &= \int \frac(A(t - p/2) + B)(t^2 + a^2) \mathrm(d) t = \int \frac (At + (B - A p/2))(t^2 + a^2) \mathrm(d)t. \end(matrice) $$

Ultima integrală folosind liniaritatea integrală nedefinită, reprezentați-l ca sumă a doi și în primul dintre ele introducem %%t%% sub semnul diferențial: $$ \begin(array)(ll) \int \frac(At + (B - A p/2) ))(t^ 2 + a^2) \mathrm(d)t &= A\int \frac(t \mathrm(d)t)(t^2 + a^2) + \left(B - \frac (pA)(2 )\right)\int \frac(\mathrm(d)t)(t^2 + a^2) = \\ &= \frac(A)(2) \int \frac(\mathrm (d)\left (t^2 + a^2\right))(t^2 + a^2) + - \frac(2B - pA)(2)\int \frac(\mathrm(d)t) (t^2 + a^2) = \\ &= \frac(A)(2) \ln \left| t^2 + a^2\right| + \frac(2B - pA)(2a) \text(arctg)\frac(t)(a) + C. \end(array) $$

Revenind la variabila inițială %%x%%, ca urmare, pentru o fracțiune de al treilea tip obținem $$ \int \frac(Ax + B)(x^2 + px + q) \mathrm(d)x = \frac(A)( 2) \ln \left| x^2 + px + q\right| + \frac(2B - pA)(2a) \text(arctg)\frac(x + p/2)(a) + C, $$ unde %%a^2 = q - p^2 / 4 > 0% %.

Calcularea unei integrale de tip 4 este dificilă și, prin urmare, nu este acoperită în acest curs.