Principala identitate trigonometrică în manualele rusești de matematică este relația sin 2 α + cos 2 α = 1
Ne-am uitat la cele mai de bază funcții trigonometrice (nu vă lăsați păcăliți, pe lângă sinus, cosinus, tangentă și cotangentă, există multe alte funcții, dar mai multe despre ele mai târziu), dar deocamdată să ne uităm la câteva proprietăți de bază ale funcţii deja studiate.
Funcții trigonometrice ale argumentului numeric
Orice număr real este luat, acesta poate fi asociat cu un număr definit în mod unic sin(t) . Adevărat, regula de potrivire este destul de complexă și constă în următoarele.
Pentru a găsi valoarea sin(t) din numărul t, aveți nevoie de:
- poziționați cercul numeric pe planul de coordonate astfel încât centrul cercului să coincidă cu originea coordonatelor, iar punctul de plecare A al cercului să cadă în punctul (1; 0);
- găsiți un punct pe cerc corespunzător numărului t;
- găsiți ordonata acestui punct.
- această ordonată este sin(t) dorită.
De fapt, vorbim despre funcția s = sin(t) , unde t este orice număr real. Putem calcula unele valori ale acestei funcții (de exemplu, sin(0) = 0, \(sin \frac (\pi)(6) = \frac(1)(2) \) etc.), cunoaștem unele dintre proprietățile sale.
În același mod, putem considera că am primit deja câteva idei despre încă trei funcții: s = cos(t) s = tan(t) s = ctg(t) Toate aceste funcții se numesc funcții trigonometrice ale argumentului numeric t .
Relația dintre funcțiile trigonometrice
După cum, sper, puteți ghici, toate funcțiile trigonometrice sunt interconectate și chiar și fără a cunoaște semnificația uneia, aceasta poate fi găsită prin alta.
De exemplu, cea mai importantă formulă din toată trigonometria este identitate trigonometrică de bază:
\[ sin^(2) t + cos^(2) t = 1 \]
După cum puteți vedea, cunoscând valoarea sinusului, puteți găsi valoarea cosinusului și, de asemenea, invers. De asemenea, formule foarte comune care conectează sinusul și cosinusul cu tangenta și cotangenta:
\[ \boxed (\tan\; t=\frac(\sin\; t)(\cos\; t), \qquad t \neq \frac(\pi)(2)+ \pi k) \]
\[ \boxed (\cot\; t=\frac(\cos\; )(\sin\; ), \qquad t \neq \pi k) \]
Din ultimele două formule se poate deriva o altă identitate trigometrică, de data aceasta conectând tangenta și cotangenta:
\[ \boxed (\tan \; t \cdot \cot \; t = 1, \qquad t \neq \frac(\pi k)(2)) \]
Acum să vedem cum funcționează aceste formule în practică.
EXEMPLU 1. Simplificați expresia: a) \(1+ \tan^2 \; t \), b) \(1+ \cot^2 \; t \)
a) În primul rând, să scriem tangenta, păstrând pătratul:
\[ 1+ \tan^2 \; t = 1 + \frac(\sin^2 \; t)(\cos^2 \; t) \]
\[ 1 + \frac(\sin^2 \; t)(\cos^2 \; t)= \sin^2\; t + \cos^2\; t + \frac(\sin^2 \; t)(\cos^2 \; t) \]
Acum să punem totul sub un numitor comun și obținem:
\[ \sin^2\; t + \cos^2\; t + \frac(\sin^2 \; t)(\cos^2 \; t) = \frac(\cos^2 \; t + \sin^2 \; t)(\cos^2 \; t ) \]
Și în sfârșit, după cum vedem, numărătorul poate fi redus la unu prin identitatea trigonometrică principală, ca rezultat obținem: \[ 1+ \tan^2 \; = \frac(1)(\cos^2 \; t) \]
b) Cu cotangenta executam toate aceleasi actiuni, doar numitorul nu va mai fi un cosinus, ci un sinus, iar raspunsul va fi astfel:
\[ 1+ \cot^2 \; = \frac(1)(\sin^2 \; t) \]
După ce am finalizat această sarcină, am obținut încă două formule foarte importante care ne conectează funcțiile, pe care trebuie să le cunoaștem ca dosul mâinii:
\[ \boxed (1+ \tan^2 \; = \frac(1)(\cos^2 \; t), \qquad t \neq \frac(\pi)(2)+ \pi k) \]
\[ \boxed (1+ \cot^2 \; = \frac(1)(\sin^2 \; t), \qquad t \neq \pi k) \]
Trebuie să cunoașteți toate formulele prezentate pe de rost, altfel studiul suplimentar al trigonometriei fără ele este pur și simplu imposibil. Pe viitor vor fi mai multe formule și vor fi multe și vă asigur că vă veți aminti cu siguranță pe toate pentru o lungă perioadă de timp, sau poate nu le veți aminti, dar TOȚI ar trebui să știe aceste șase lucruri!
Javascript este dezactivat în browserul dvs.Pentru a efectua calcule, trebuie să activați controalele ActiveX!
Oricare ar fi numărul real t, acesta poate fi asociat cu un număr definit în mod unic sin t. Adevărat, regula de potrivire este destul de complexă, după cum am văzut mai sus, este după cum urmează.
Pentru a găsi valoarea lui sin t folosind numărul t, aveți nevoie de:
1) poziționați cercul numeric în planul de coordonate astfel încât centrul cercului să coincidă cu originea coordonatelor, iar punctul de plecare A al cercului să cadă în punctul (1; 0);
2) găsiți un punct pe cerc corespunzător numărului t;
3) găsiți ordonata acestui punct.
Această ordonată este sin t.
De fapt, vorbim despre funcția u = sin t, unde t este orice număr real.
Toate aceste funcții sunt numite funcţiile trigonometrice ale argumentului numeric t.
Există o serie de relații care conectează valorile diferitelor funcții trigonometrice, am obținut deja unele dintre aceste relații:
sin 2 t+cos 2 t = 1
Din ultimele două formule este ușor de obținut o relație care leagă tg t și ctg t:
Toate aceste formule sunt utilizate în cazurile în care, cunoscând valoarea unei funcții trigonometrice, este necesar să se calculeze valorile altor funcții trigonometrice.
Termenii „sinus”, „cosinus”, „tangent” și „cotangent” erau de fapt familiari, totuși, ei erau încă utilizați într-o interpretare ușor diferită: în geometrie și în fizică ei considerau sinus, cosinus, tangentă și cotangentă. la cap(nu
numere, așa cum a fost în paragrafele precedente).
Din geometrie se știe că sinusul (cosinusul) unui unghi ascuțit este raportul catetelor unui triunghi dreptunghic și ipotenuza acestuia, iar tangenta (cotangenta) unui unghi este raportul catetelor unui triunghi dreptunghic. O abordare diferită a conceptelor de sinus, cosinus, tangentă și cotangentă a fost dezvoltată în paragrafele precedente. De fapt, aceste abordări sunt interdependente.
Să luăm un unghi cu măsura gradului b o și să-l plasăm în modelul „cerc numeric într-un sistem de coordonate dreptunghiular”, așa cum se arată în Fig. 14
vârful unghiului este compatibil cu centrul
cercuri (cu originea sistemului de coordonate),
și o parte a colțului este compatibilă cu
raza pozitivă a axei x. Punct
intersecția celei de-a doua laturi a unghiului cu
notează prin cerc litera M. Ordina-
Fig. 14 b o, iar abscisa acestui punct este cosinusul unghiului b o.
Pentru a găsi sinusul sau cosinusul unui unghi b o nu este deloc necesar să faceți de fiecare dată aceste construcții foarte complexe.
Este suficient de remarcat că arcul AM alcătuiește aceeași parte din lungimea cercului numeric pe care o face unghiul b o din colțul de 360°. Dacă lungimea arcului AM este notată cu litera t, obținem:
Astfel,
De exemplu,
Se crede că 30° este o măsură de grad a unui unghi și o măsură în radian a aceluiași unghi: 30° = rad. Deloc:
În special, mă bucur de unde, la rândul nostru, îl obținem.
Deci, ce este 1 radian? Există diverse măsuri de lungime a segmentelor: centimetri, metri, yarzi etc. Există, de asemenea, diverse măsuri pentru a indica mărimea unghiurilor. Considerăm unghiurile centrale ale cercului unitar. Un unghi de 1° este unghiul central subîntins de un arc care face parte dintr-un cerc. Un unghi de 1 radian este unghiul central subtins de un arc de lungime 1, adică. pe un arc a cărui lungime este egală cu raza cercului. Din formulă, aflăm că 1 rad = 57,3°.
Când luăm în considerare funcția u = sin t (sau orice altă funcție trigonometrică), putem considera variabila independentă t ca fiind un argument numeric, așa cum a fost cazul în paragrafele anterioare, dar putem considera și această variabilă ca fiind o măsură a unghiul, adică argument de colț. Prin urmare, când vorbim despre o funcție trigonometrică, într-un anumit sens, nu are nicio diferență să o consideri o funcție a unui argument numeric sau unghiular.
Înapoi Înainte
Atenţie! Previzualizările diapozitivelor au doar scop informativ și este posibil să nu reprezinte toate caracteristicile prezentării. Dacă sunteți interesat de această lucrare, vă rugăm să descărcați versiunea completă.
Obiectivele lecției:
- Dezvoltarea abilităților și abilităților de a folosi formule trigonometrice pentru a simplifica expresiile trigonometrice.
- Implementarea principiului abordării activității în predarea elevilor, dezvoltarea abilităților de comunicare și a toleranței elevilor, a capacității de a asculta și de a-i auzi pe ceilalți și de a-și exprima opiniile.
- Creșterea interesului elevilor pentru matematică.
Tip de lecție: antrenament.
Tip de lecție: lecție despre aptitudini și abilități.
Forma de studiu: grup
Tipul de grupuri: grup stând împreună. Elevi de diferite niveluri de pregătire, conștientizare a unui subiect dat, studenți compatibili, ceea ce le permite să se completeze și să se îmbogățească reciproc.
Echipament: bord; cretă; tabel „Trigonometru”; foi de traseu; cartonașe cu litere (A, B, C.) pentru finalizarea testului; plăcuțe cu numele echipajului; foi de scor; tabele cu numele etapelor călătoriei; magneți, complex multimedia.
Progresul lecției
Elevii stau în grupuri: 4 grupuri de 5-6 persoane. Fiecare grup este un echipaj al unei mașini cu nume corespunzătoare denumirilor funcțiilor trigonometrice, condusă de un volan. Fiecărui echipaj i se dă o fișă de traseu și se stabilește un scop: să parcurgă traseul dat cu succes, fără erori. Lecția este însoțită de o prezentare.
I. Moment organizatoric.
Profesorul informează tema lecției, scopul lecției, cursul lecției, planul de lucru al grupelor, rolul cârmaciilor.
Observații de deschidere ale profesorului:
– Băieți! Notați numărul și subiectul lecției: „Funcțiile trigonometrice ale unui argument numeric”.
Astăzi la clasă vom învăța:
- Calculați valorile funcțiilor trigonometrice;
- Simplificați expresiile trigonometrice.
Pentru a face acest lucru trebuie să știți:
- Definiții ale funcțiilor trigonometrice
- Relații trigonometrice (formule).
Se știe de mult că un cap este bun, dar doi sunt mai buni, așa că astăzi lucrezi în grup. Se mai stie ca cel care merge va stapani drumul. Dar trăim într-o epocă a vitezei și timpul este prețios, ceea ce înseamnă că putem spune asta: „Drumul va fi stăpânit de cei care conduc”, așa că astăzi lecția noastră se va desfășura sub forma unui joc „Raliu matematic”. Fiecare grup este un echipaj de vehicul, condus de un volan.
Scopul jocului:
- parcurge cu succes traseul pentru fiecare echipaj;
- identificați campionii de raliuri.
Numele echipajelor corespunde mărcii mașinii pe care o conduceți.
Sunt prezentate echipajele și cârmacii lor:
- Echipaj – „sinus”
- Echipaj – „cosinus”
- Echipaj - „tangentă”
- Echipaj – „cotangent”
Motto-ul cursei: „Grăbește-te încet!”
Trebuie să alergi printr-un „teren matematic” cu multe obstacole.
Fișele de traseu au fost eliberate fiecărui echipaj. Echipajele care cunosc definiții și formule trigonometrice vor putea depăși obstacolele.
În timpul alergării, fiecare cârmaci ghidează echipajul, asistând și evaluând contribuția fiecărui membru al echipajului la depășirea traseului sub formă de „pro” și „contra” de pe foaia de punctaj. Pentru fiecare răspuns corect grupul primește un „+” și un răspuns incorect „-”.
Trebuie să depășiți următoarele etape ale călătoriei:
Etapa I. SDA (reguli de circulație).
Etapa II. Inspecție tehnică.
Etapa III. Cursa de cros.
Etapa IV. O oprire bruscă este un accident.
etapa V. Halt.
Etapa VI. Termina.
etapa a VII-a. Rezultate.
Și așa plecăm!
Etapa I. SDA (reguli de circulație).
1) În fiecare echipaj, cârmacii distribuie bilete cu întrebări teoretice fiecărui membru al echipajului:
- Explicați definiția sinusului lui t și a semnelor sale prin sferturi.
- Explicați prin sferturi definiția cosinusului numărului t și a semnelor acestuia.
- Precizați cele mai mici și cele mai mari valori ale sin t și cos t.
- Explicați prin sferturi definiția tangentei numărului t și a semnelor acestuia.
- Explicați definiția cotangentei numărului t și a semnelor sale prin sferturi.
- Spuneți-ne cum să găsim valoarea funcției sin t dintr-un număr t cunoscut.
2) Colectați formulele „împrăștiate”. Există un tabel pe tabla secretă (vezi mai jos). Echipajele trebuie să alinieze formulele. Fiecare echipă scrie răspunsul pe tablă sub forma unui rând de litere corespunzătoare (în perechi).
| O | tg 2 t + 1 | e | 1 |
| V | tg t | şi | cos t / sin t, t ≠ k, kZ. |
| d | sin 2 t + cos 2 t | Şi | 1/ sin 2 t, t ≠ k, kZ. |
| e | ctg t | La | 1,t ≠ k / 2, kZ. |
| h | 1 + ctg 2 t | G | sin t /cos t, t ≠ /2 + k, kZ. |
| th | tg t ∙ctg t | b | 1/ cos 2 t, t ≠ /2 + k, kZ. |
Răspuns: ab, vg, de, arici, zi, yk.
Etapa II. Inspecție tehnică.
Lucrare orală: test.
Pe tabla secretă scrie: sarcină: simplificați expresia.
Opțiunile de răspuns sunt scrise lângă ele. Echipajele stabilesc răspunsurile corecte în 1 minut. și ridicați setul corespunzător de litere.
| № | Expresie | Opțiuni de răspuns | ||
| O | ÎN | CU | ||
| 1. | 1 – cos 2 t | cos 2 t | - păcat 2 t | păcat 2 t |
| 2. | sin 2 t – 1 | cos 2 t | - cos 2 t | 2 cos 2 t |
| 3. | (cos t – 1)(1+ cos t) | -sin 2 t | (1+ cos t) 2 | (cos t – 1) 2 |
Răspuns: C V A.
Etapa III. Cursa de cros.
Echipajele au la dispoziție 3 minute pentru o întâlnire pentru a decide sarcina, iar apoi reprezentanții echipajului scriu decizia pe tablă. Când reprezentanții echipajului termină de notat soluția la prima sarcină, toți elevii (împreună cu profesorul) verifică corectitudinea și raționalitatea soluțiilor și le notează într-un caiet. Timonierii evaluează contribuția fiecărui membru al echipajului folosind semnele „+” și „–” de pe fișele de evaluare.
Sarcini din manual:
- Echipaj – „sinus”: Nr. 118 g;
- Echipaj – „cosinus”: Nr.122 a;
- Echipaj – „tangentă”: Nr. 123 g;
- Echipaj – „cotangent”: nr. 125
Etapa IV. O oprire bruscă este un accident.
– Mașina ta s-a stricat. Masina ta trebuie reparata.
Se dau declarații pentru fiecare echipaj, dar există greșeli în ele. Găsiți aceste greșeli și explicați de ce au fost făcute. Declarațiile folosesc funcții trigonometrice care corespund mărcii mașinii dvs.
etapa V. Halt.
Ești obosit și trebuie să te odihnești. În timp ce echipajul se odihnește, cârmacii rezumă rezultatele preliminare: ei numără „pro” și „contra” membrilor echipajului și ale echipajului în ansamblu.
Pentru elevi:
3 sau mai multe „+” – scor „5”;
2 „+” – rating „4”;
1 „+” – rating „3”.
Pentru echipaje:„+” și „-” se anulează reciproc. Numai caracterele rămase sunt numărate.
Ghiciți șarada.
Din numerele pe care le iei prima mea silabă,
Al doilea provine din cuvântul „mândru”.
Și vei conduce al treilea cai,
Al patrulea va fi behăitul unei oi.
A cincea mea silabă este aceeași cu prima
Ultima literă din alfabet este a șasea,
Și dacă ghiciți totul corect,
Apoi la matematică veți obține o secțiune ca aceasta.
(Trigonometrie)
Cuvântul „trigonometrie” (din cuvintele grecești „trigonon” – triunghi și „metreo” – măsură) înseamnă „măsurarea triunghiurilor”. Apariția trigonometriei este asociată cu dezvoltarea geografiei și astronomiei - știința mișcării corpurilor cerești, structura și dezvoltarea Universului.
Ca urmare a observațiilor astronomice efectuate, a apărut necesitatea de a determina poziția luminilor și de a calcula distanțe și unghiuri. Deoarece unele distanțe, de exemplu, de la Pământ la alte planete, nu au putut fi măsurate direct, oamenii de știință au început să dezvolte tehnici de găsire a relațiilor dintre laturile și unghiurile unui triunghi, în care două vârfuri sunt situate pe pământ, iar al treilea. este o planetă sau o stea. Astfel de relații pot fi derivate prin studierea diferitelor triunghiuri și proprietățile lor. Acesta este motivul pentru care calculele astronomice au condus la soluția (adică, găsirea elementelor) a triunghiului. Aceasta este ceea ce face trigonometria.
Începuturile trigonometriei au fost descoperite în Babilonul antic. Oamenii de știință babilonieni au reușit să prezică eclipsele de soare și de lună. Unele informații trigonometrice se găsesc în monumentele antice ale altor popoare antice.
Etapa VI. Termina.
Pentru a trece cu succes linia de sosire, tot ce trebuie să faci este să te încordezi și să faci un „sprint”. Este foarte important în trigonometrie să poți determina rapid valorile sin t, cost, tgt, ctg t, unde 0 ≤ t ≤ . Închide manualele.
Echipajele numesc alternativ valorile funcțiilor sin t, cost, tgt, ctg t dacă:
etapa a VII-a. Rezultate.
Rezultatele jocului.
Cârmacii predau fișe de evaluare. Echipajul care a devenit campion al „Rallyului Matematic” este determinat și se caracterizează munca grupelor rămase. Urmează numele celor care au primit note „5” și „4”.
Rezumatul lecției.
- Băieți! Ce ai învățat astăzi în clasă? (simplificați expresiile trigonometrice; găsiți valorile funcțiilor trigonometrice). Ce trebuie să știi pentru asta?
- definiții și proprietăți sin t, cos t, tg t, ctg t;
- relații care conectează valorile diferitelor funcții trigonometrice;
- semnele funcțiilor trigonometrice pe sferturile cercului numeric.
- valorile funcțiilor trigonometrice ale primului sfert al cercului numeric.
– Cred că înțelegi că trebuie să cunoști bine formulele pentru a le aplica corect. De asemenea, ați realizat că trigonometria este o parte foarte importantă a matematicii, deoarece este folosită în alte științe: astronomie, geografie, fizică etc.
Teme pentru acasă:
- pentru elevii care au primit „5” și „4”: §6, nr. 128a, 130a, 134a.
- pentru alți elevi: §6, Nr. 119g, Nr. 120g, Nr. 121g.
Lecție și prezentare pe tema: „Funcția trigonometrică a unui argument numeric, definiție, identități”
Materiale suplimentare
Dragi utilizatori, nu uitați să lăsați comentariile, recenziile, urările voastre. Toate materialele au fost verificate de un program antivirus.
Mijloace și simulatoare didactice în magazinul online Integral pentru clasa a 10-a
Probleme algebrice cu parametri, clasele 9–11
Mediul software „1C: Mathematical Constructor 6.1”
Ce vom studia:
1. Definirea unui argument numeric.
2. Formule de bază.
3. Identităţi trigonometrice.
4. Exemple și sarcini pentru soluții independente.
Definirea unei funcții trigonometrice a unui argument numeric
Băieți, știm ce sunt sinus, cosinus, tangentă și cotangentă.Să vedem dacă este posibil să găsim valorile altor funcții trigonometrice folosind valorile unor funcții trigonometrice?
Să definim funcția trigonometrică a unui element numeric ca: $y= sin(t)$, $y= cos(t)$, $y= tg(t)$, $y= ctg(t)$.
Să ne amintim formulele de bază:
$sin^2(t)+cos^2(t)=1$. Apropo, care este numele acestei formule?
$tg(t)=\frac(sin(t))(cos(t))$, cu $t≠\frac(π)(2)+πk$.
$ctg(t)=\frac(cos(t))(sin(t))$, pentru $t≠πk$.
Să derivăm noi formule.
Identități trigonometrice
Cunoaștem identitatea trigonometrică de bază: $sin^2(t)+cos^2(t)=1$.Băieți, să împărțim ambele părți ale identității la $cos^2(t)$.
Se obține: $\frac(sin^2(t))(cos^2(t))+\frac(cos^2(t))(cos^2(t))=\frac(1)(cos^ 2 (t))$.
Să transformăm: $(\frac(sin(t))(cos(t)))^2+1=\frac(1)(cos^2(t)).$
Obținem identitatea: $tg^2(t)+1=\frac(1)(cos^2(t))$, cu $t≠\frac(π)(2)+πk$.
Acum să împărțim ambele părți ale identității la $sin^2(t)$.
Se obține: $\frac(sin^2(t))(sin^2(t))+\frac(cos^2(t))(sin^2(t))=\frac(1)(sin^ 2 (t))$.
Să transformăm: $1+(\frac(cos(t))(sin(t)))^2=\frac(1)(sin^2(t)).$
Obținem o nouă identitate care merită reținută:
$ctg^2(t)+1=\frac(1)(sin^2(t))$, pentru $t≠πk$.
Am reușit să obținem două formule noi. Amintiți-vă de ele.
Aceste formule sunt folosite dacă, dintr-o valoare cunoscută a unei funcții trigonometrice, este necesar să se calculeze valoarea unei alte funcții.
Rezolvarea exemplelor de funcții trigonometrice ale unui argument numeric
Exemplul 1.$cos(t) =\frac(5)(7)$, găsiți $sin(t)$; $tg(t)$; $ctg(t)$ pentru toate t.
Soluţie:
$sin^2(t)+cos^2(t)=1$.
Atunci $sin^2(t)=1-cos^2(t)$.
$sin^2(t)=1-(\frac(5)(7))^2=1-\frac(25)(49)=\frac(49-25)(49)=\frac(24) (49)$.
$sin(t)=±\frac(\sqrt(24))(7)=±\frac(2\sqrt(6))(7)$.
$tg(t)=±\sqrt(\frac(1)(cos^2(t))-1)=±\sqrt(\frac(1)(\frac(25)(49))-1)= ±\sqrt(\frac(49)(25)-1)=±\sqrt(\frac(24)(25))=±\frac(\sqrt(24))(5)$.
$ctg(t)=±\sqrt(\frac(1)(sin^2(t))-1)=±\sqrt(\frac(1)(\frac(24)(49))-1)= ±\sqrt(\frac(49)(24)-1)=±\sqrt(\frac(25)(24))=±\frac(5)(\sqrt(24))$.
Exemplul 2.
$tg(t) = \frac(5)(12)$, găsiți $sin(t)$; $cos(t)$; $ctg(t)$, pentru toți $0 Soluţie:
$tg^2(t)+1=\frac(1)(cos^2(t))$.
Atunci $\frac(1)(cos^2(t))=1+\frac(25)(144)=\frac(169)(144)$.
Obținem că $cos^2(t)=\frac(144)(169)$.
Atunci $cos^2(t)=±\frac(12)(13)$, dar $0
Se obține: $sin(t)=tg(t)*cos(t)=\frac(5)(12)*\frac(12)(13)=\frac(5)(13)$.
$ctg(t)=\frac(1)(tg(t))=\frac(12)(5)$.Probleme de rezolvat independent
1. $tg(t) = -\frac(3)(4)$, găsiți $sin(t)$; $cos(t)$; $ctg(t)$, pentru toate $\frac(π)(2)
4. $cos(t) = \frac(12)(13)$, găsiți $sin(t)$; $tg(t)$; $ctg(t)$ pentru toți $t$.
