, Codul de procedură penală al Federației Ruse din 18.1.rtf, Fundamentele legislației Federației Ruse privind îngrijirea sănătății, CEDO. Mecanism juridic de depunere a unei plângeri individuale și juridice .
Lecția 4. Teorema adunării probabilităților.
14.1. Scurtă parte teoretică
Probabilitatea sumei a două evenimente este determinată de formulaP( O+ÎN) = P( O)+P( B) - P( AB),
care se generalizează la suma oricărui număr de evenimente
Pentru evenimentele incompatibile, probabilitatea sumei evenimentelor este egală cu suma probabilităților acestor evenimente, i.e.
24.2. Test
În ce caz evenimentele A și B sunt numite incompatibile sau incompatibile?
b) Când cel puțin unul dintre aceste evenimente are loc în timpul testului
c) Când producerea în comun a acestor evenimente este imposibilă
d) Când ambele evenimente au loc în timpul experimentului
Specificați evenimente care sunt compatibile.
b) Prezența aceluiași elev în același timp la o prelegere în clasă și în cinematograf
c) Debutul primăverii conform calendarului și ninsorile
d) Aspect pe marginea căzută a fiecăruia dintre cele două zaruri trei puncte și suma punctelor de pe părțile aruncate ale ambelor zaruri este egală cu un număr impar
e) Afișarea unui meci de fotbal pe un canal de televiziune și a unei știri difuzate pe altul
Teorema de adunare a probabilităților evenimentelor incompatibile se formulează după cum urmează:
b) Probabilitatea apariției unuia dintre cele două evenimente incompatibile este egală cu suma probabilităților acestor evenimente
c) Probabilitatea de apariție a unuia dintre cele două evenimente incompatibile este egală cu diferența dintre probabilitățile de apariție a acestor evenimente
Teorema de adunare a probabilităților evenimentelor comune se formulează după cum urmează:
b) Probabilitatea producerii a cel puțin unuia dintre cele două evenimente comune este egală cu suma probabilităților acestor evenimente fără probabilitatea producerii lor comune.
c) Probabilitatea producerii a cel puțin unuia dintre cele două evenimente comune este egală cu suma probabilităților acestor evenimente și probabilitatea producerii lor comune.
Teorema de adunare a probabilităților este generalizată la suma oricărui număr de evenimente și la probabilitatea sumei evenimentelor din vedere generală calculat prin formula:
Dacă evenimentele sunt incompatibile, atunci probabilitatea sumei acestor evenimente este egală cu:
b)
V)
34.3. Rezolvarea problemelor tipice
Exemplu 4.1. Determinați probabilitatea ca un lot de o sută de produse, inclusiv cinci defecte, să fie acceptat la testarea unei jumătăți alese aleatoriu din întregul lot, dacă condițiile de acceptare nu permit mai mult de unul din cincizeci de produse defecte.Soluţie.
CU, constând în faptul că la testarea unei jumătăți alese aleatoriu din întregul lot va fi acceptat un lot de o sută de produse, inclusiv cinci defecte.
Să notăm prin O un eveniment constând în faptul că în timpul testării nu a fost primit un singur produs defect, iar prin ÎN- cazul in care se primeste un singur produs defect.
Deoarece C=A+B, atunci probabilitatea dorită P(C) = P( O+B).
Evenimente OŞi ÎN incompatibil. Prin urmare P(C) = P( O)+ P( B).
Din 100 de produse, 50 pot fi selectate în moduri diferite. Din cele 95 de produse nedefecte, 50 pot fi selectate folosind metode.
Prin urmare P( O)=.
Similar cu P( B)= .
P(C) = P( O)+ P( B)=+==0,181.
Exemplu 4.2.
Circuit electric între puncte MŞi N compilat conform diagramei prezentate în fig. 5.
Eșecul în timp T diverse elemente ale lanțului – evenimente independente cu următoarele probabilități (Tabelul 1).
Tabelul 1
Element K 1
K 2
L 1
L 2
L 3
Probabilitate0,60,50,40,70,9 Determinați probabilitatea unei întreruperi de circuit pentru o anumită perioadă de timp.
Soluţie.
Să vă prezentăm evenimentul CU, constând în faptul că într-o anumită perioadă de timp se va produce o întrerupere a circuitului.
Să notăm prin O j (j= 1.2) eveniment constând în defectarea unui element LA j, prin O- defectarea a cel putin unui element LA j, și prin ÎN- defectarea tuturor celor trei elemente O i (i=1, 2, 3).
Apoi probabilitatea dorită
P( CU) = P( O + ÎN) = P( O) + P( ÎN) - P( O)P( B).
P( O) = P( O 1 ) + P( O 2 ) - P( O 1 )P( O 2 ) = 0,8,
P( ÎN) = P( L 1 )P( L 2 ) P( L 3 ) = 0,252,
Că.
Exemplu 4.3.
Urna contine n alb, m negru și l bile roșii, care sunt extrase la întâmplare una câte una:
a) fără retur;
b) cu retur după fiecare extragere.
În ambele cazuri, determinați probabilitatea ca bila albă să fie extrasă înaintea celei negre.
Soluţie.
Lasă R 1 este probabilitatea ca bila albă să fie extrasă înaintea celei negre și R 11 - probabilitatea ca mingea neagră să fie extrasă înaintea celei albe.
Probabilitate R 1 este suma probabilităților de a extrage imediat o minge albă, după ce a extras una roșie, două roșii etc. Astfel, putem scrie în cazul în care bilele nu sunt returnate,
iar când bilele se întorc
Pentru a obține probabilități R 11
în formulele anterioare trebuie să faceți o înlocuire n pe m, A m pe n. Rezultă că în ambele cazuri R 1
:R 11
= n:m. Deoarece, în plus, R 1
+R 11
= 1, atunci probabilitatea necesară la îndepărtarea bilelor fără a se întoarce este de asemenea egală.
Exemplu 4.4.
A scris cineva n scrisori, le-au sigilat în plicuri și apoi au scris aleatoriu adrese diferite pe fiecare dintre ele. Determinați probabilitatea ca cel puțin unul dintre plicuri să aibă adresa corectă scrisă pe el.
Soluţie.
Lasă evenimentul O k este acela k- plicul contine adresa corecta ( k= l, 2,..., n).
Probabilitatea dorită.
Evenimente O k comun; pentru orice diferit k, j, i, ... sunt valabile următoarele egalități:
Folosind formula pentru probabilitatea sumei n evenimente, primim
În mare n.
44.4. Sarcini pentru munca independentă
4.1. Fiecare dintre cele patru evenimente incompatibile poate avea loc cu probabilități de 0,012, 0,010, 0,006 și, respectiv, 0,002. Determinați probabilitatea ca cel puțin unul dintre aceste evenimente să se producă ca rezultat al experimentului.(Răspuns:
p = 0,03)
4.2. Trăgătorul trage o singură lovitură către o țintă formată dintr-un cerc central și două inele concentrice. Probabilitățile de a lovi cercul și inelul sunt 0,20, 0,15 și, respectiv, 0,10. Determinați probabilitatea de a rata ținta.
(Răspuns:
p = 0,55)
4.3. Două monede cu rază identică r situat în interiorul unui cerc de rază R, în care un punct este aruncat la întâmplare. Determinați probabilitatea ca acest punct să cadă pe una dintre monede dacă monedele nu se suprapun.
(Răspuns:
p =)
4.4. Care este probabilitatea de a extrage o figură de orice culoare sau o carte de pică dintr-un pachet de 52 de cărți (figura se numește vale, regină sau rege)?
(Răspuns:
p =)
4.5. Cutia contine 10 monede de 20 de copeici, 5 monede de 15 copeici. și 2 monede de 10 copeici. Șase monede sunt luate la întâmplare. Care este probabilitatea ca totalul să nu fie mai mare de o rublă?
(Răspuns:
p =)
4.6. Două urne conțin bile care diferă doar prin culoare, iar în prima urnă sunt 5 bile albe, 11 negre și 8 roșii, iar în a doua sunt 10, 8 și, respectiv, 6. Din ambele urne se extrage la întâmplare . Care este probabilitatea ca ambele bile să aibă aceeași culoare?
(Răspuns:
p = 0,323)
4.7. Joc între OŞi B se desfășoară în următoarele condiții: ca urmare a primei mișcări, care face întotdeauna O, poate câștiga cu probabilitate 0,3; dacă prima mișcare O nu câștigă, apoi face o mișcare ÎNși poate câștiga cu probabilitate 0,5; dacă în urma acestei mişcări ÎN nu câștigă, atunci O face o a doua mișcare, care poate duce la câștigarea lui cu probabilitatea de 0,4. Determinați probabilitățile de câștig pentru O iar pentru ÎN.
(Răspuns:
= 0,44, = 0,35)
4.8. Probabilitatea ca un anumit atlet să-și îmbunătățească rezultatul anterior într-o singură încercare este r. Determinați probabilitatea ca un atlet să-și îmbunătățească rezultatul la o competiție dacă sunt permise două încercări.
(Răspuns:
p(A) =)
4.9. Dintr-o urna care contine n bile cu numere de la 1 la n, două bile sunt extrase secvenţial, prima bilă fiind returnată dacă numărul ei nu este egal cu unu. Determinați probabilitatea ca mingea numărul 2 să fie extrasă a doua oară.
(Răspuns:
p =)
4.10. Player O se joacă pe rând cu jucătorii ÎNŞi CU, având o probabilitate de câștig în fiecare joc de 0,25 și oprește jocul după prima pierdere sau după două jocuri jucate cu fiecare jucător. Determinați probabilitățile de câștig ÎNŞi CU.
(Răspuns:
)
4.11. Doi oameni aruncă pe rând o monedă. Cel care primește primul stema câștigă. Determinați probabilitățile de câștig pentru fiecare jucător.
(Răspuns:
)
4.12. Probabilitatea de a obține un punct fără a pierde serviciul atunci când joacă două echipe de volei egale este egală cu jumătate. Determinați probabilitatea de a obține un punct pentru echipa care servește.
(Răspuns:
p =)
4.13. Doi trăgători trag pe rând la țintă până când este făcută prima lovitură. Probabilitatea unei lovituri pentru primul trăgător este de 0,2, iar pentru al doilea este de 0,3. Găsiți probabilitatea ca primul trăgător să tragă mai multe focuri decât al doilea.
(Răspuns:
p = 0,455)
4.14. Doi oameni joacă până la victorie, iar pentru aceasta trebuie să câștige primul T partide, iar al doilea n petreceri. Probabilitatea ca primul jucător să câștige fiecare joc este r, iar al doilea q=1-r. Determinați probabilitatea ca primul jucător să câștige întregul joc.
(Răspuns: p(A) =)
1. Prima cutie contine 2 bile albe si 10 negre; A doua cutie conține 8 bile albe și 4 negre. S-a luat câte o minge din fiecare cutie. Care este probabilitatea ca ambele bile să fie albe?
2. Prima cutie contine 2 bile albe si 10 negre; A doua cutie conține 8 bile albe și 4 negre. S-a luat câte o minge din fiecare cutie. Care este probabilitatea ca o minge să fie albă și cealaltă neagră?
3. Într-o cutie sunt 6 bile albe și 8 negre. Două bile sunt scoase din cutie (fără a întoarce mingea scoasă în cutie). Aflați probabilitatea ca ambele bile să fie albe.
4. Trei trăgători trag la țintă independent unul de celălalt. Probabilitatea de a lovi ținta pentru primul trăgător este de 0,75, pentru al doilea – 0,8, pentru al treilea – 0,9. Determinați probabilitatea ca toți cei trei trăgători să lovească ținta în același timp; cel puțin un trăgător va lovi ținta.
5. În urnă sunt 9 bile albe și 1 neagră. Au fost scoase trei bile deodată. Care este probabilitatea ca toate bilele să fie albe?
6. Trage trei focuri la o țintă. Probabilitatea de a lovi fiecare lovitură este de 0,5. Găsiți probabilitatea ca aceste lovituri să aibă ca rezultat o singură lovitură.
7. Doi trăgători, pentru care probabilitățile de a lovi ținta sunt de 0,7 și, respectiv, 0,8, trag câte o lovitură. Determinați probabilitatea ca cel puțin o lovire asupra țintei.
8. Probabilitatea ca piesa produsă pe prima mașină să fie de primă clasă este de 0,7 Când aceeași piesă este fabricată pe a doua mașină, această probabilitate este de 0,8. Prima mașină a produs două părți, a doua trei. Găsiți probabilitatea ca toate părțile să fie de primă clasă.
9. Funcționarea dispozitivului s-a oprit din cauza defecțiunii unei lămpi din cinci . Găsirea acestei lămpi se face prin înlocuirea fiecărei lămpi cu una nouă pe rând. Stabiliți probabilitatea că va trebui să verificați 2 lămpi, dacă probabilitatea de defectare a fiecărei lămpi este p = 0,2 .
10. Pe site AB Pentru un motociclist-concurs sunt 12 obstacole, probabilitatea de oprire la fiecare dintre ele este de 0,1. Probabilitatea ca de la punct ÎN până la destinația finală CU motociclistul va circula fără oprire, egal cu 0,7. Determinați probabilitatea ca pe site AC nu va fi o singură oprire.
11. Pe calea mașinii sunt 4 semafoare. Probabilitatea de a te opri la primele două este de 0,3, iar la următoarele două este de 0,4. Care este probabilitatea de a trece prin semafoare fără oprire?
12. Pe calea mașinii sunt 3 semafoare. Probabilitatea de a te opri la primele două este de 0,4, iar la a treia este de 0,5. Care este probabilitatea de a trece de semafoare cu o oprire?
13. Două servere de Internet sunt expuse la riscul unui atac de virus pe zi, cu o probabilitate de 0,3. Care este probabilitatea ca în 2 zile să nu fi fost un singur atac asupra lor?
14. Probabilitatea de a lovi ținta cu o singură lovitură pentru un trăgător dat este de 2/3 Dacă o lovitură este înregistrată la prima lovitură, atunci trăgătorul are dreptul la a doua. Dacă lovește din nou a doua oară, trage a treia oară. Care este probabilitatea de a lovi cu trei lovituri?
15. Joc între OŞi ÎN se desfășoară în următoarele condiții: ca urmare a primei mișcări, care face întotdeauna O, poate câștiga cu probabilitate 0,3; dacă prima mișcare O nu câștigă, apoi face o mișcare ÎNși poate câștiga cu probabilitate 0,5; dacă în urma acestei mişcări ÎN nu câștigă, atunci O face o a doua mișcare, care poate duce la câștigarea lui cu probabilitatea de 0,4. Determinați probabilitățile de câștig pentru O iar pentru ÎN.
16. Probabilitatea ca un anumit atlet să-și îmbunătățească rezultatul anterior într-o singură încercare este de 0,2 . Determinați probabilitatea ca un atlet să-și îmbunătățească rezultatul la o competiție dacă sunt permise două încercări.
17. Jucător O joacă alternativ două jocuri cu jucătorii ÎNŞi CU. Probabilitățile de a câștiga primul joc pentru ÎNŞi CU egal cu 0,1 și, respectiv, 0,2; probabilitatea de a câștiga în al doilea joc pt ÎN este egal cu 0,3, pentru CU egal cu 0,4. Determinați probabilitatea ca: a) B să câștige primul; b) va fi primul care va câștiga CU.
18. Dintr-o urna ce contine n bile cu numere de la 1 la n, se extrag secvențial două bile, prima fiind returnată dacă numărul ei nu este egal cu unul. Determinați probabilitatea ca mingea numărul 2 să fie extrasă a doua oară.
19. Jucător O joacă alternativ cu jucătorii B și C, având o probabilitate de câștig în fiecare joc de 0,25 și oprește jocul după prima victorie sau după două jocuri pierdute cu oricare dintre jucători. Determinați probabilitățile de câștig B și C.
20. Două persoane aruncă pe rând o monedă. Cel care câștigă este acela. care va apărea mai întâi stema. Determinați probabilitățile de câștig pentru fiecare jucător.
21. O urna contine 8 bile albe si 6 negre. Doi jucători trag câte o minge succesiv, returnând mingea scoasă de fiecare dată. Jocul continuă până când unul dintre ei primește mingea albă. Determinați probabilitatea ca jucătorul care începe jocul să fie primul care extrage mingea albă.
22. A fost trimis un curier pentru a ridica documente din 4 arhive. Probabilitatea de prezență documentele necesareîn prima arhivă – 0,9; în II – 0,95; în III – 0,8; în IV – 0,6. Aflați probabilitatea P absenței unui document într-o singură arhivă.
23. Aflați probabilitatea ca două din cele trei elemente care funcționează independent ale unui dispozitiv de calcul să eșueze dacă probabilitatea de defectare a primului, al doilea și, respectiv, al treilea element este 0,3, 0,5, 0,4.
24. Într-o cușcă sunt 8 șoareci albi și 4 gri. Trei șoareci sunt selectați aleatoriu pentru testarea de laborator și nu sunt returnați. Găsiți probabilitatea ca toți cei trei șoareci să fie albi.
25. În cușca 8 cobai. Trei dintre ei suferă de o încălcare a metabolismului sărurilor minerale. Trei animale sunt scoase succesiv fără a se întoarce. Care este probabilitatea ca acestea să fie sănătoase?
26. Iazul contine 12 caras, 18 platica si 10 crapi. Au fost prinși trei pești. Găsiți probabilitatea ca doi crap și un caras să fi prins succesiv.
27. În turmă sunt 12 vaci, dintre care 4 sunt rase Simmental, restul sunt rase Galstein-Friesian. Trei animale au fost selectate pentru munca de reproducere. Găsiți probabilitatea ca toate trei să fie rase Simmental.
28. La hipodrom sunt 10 cai dafin, 3 pete gri și 7 albi. Pentru cursă au fost selectați aleatoriu 2 cai. Care este probabilitatea ca printre ei să nu existe un cal alb?
29. Canisa contine 9 caini, dintre care 3 collie, 2 boxeri, restul mari danezi. Trei câini sunt selectați aleatoriu. Care este probabilitatea ca cel puțin unul dintre ei să fie boxer?
30. Descendența medie a animalelor este de 4. Apariția indivizilor femele și masculi este la fel de probabilă. Găsiți probabilitatea ca urmașul să conțină doi masculi.
31. Punga conține semințe a căror rată de germinare este de 0,85. Probabilitatea ca planta să înflorească este de 0,9. Care este probabilitatea ca o plantă crescută dintr-o sămânță aleatorie să înflorească?
32. Punga conține semințe de fasole, a căror viteză de germinare este de 0,9. Probabilitatea ca florile de fasole să fie roșii este de 0,3. Care este probabilitatea ca o plantă dintr-o sămânță aleasă aleatoriu să aibă flori roșii?
33. Probabilitatea ca o persoană aleasă aleatoriu să fie spitalizată în luna următoare este de 0,01. Care este probabilitatea ca din trei persoane alese aleatoriu pe stradă, exact una să fie internată în spital în luna următoare?
34. O lăptăriță servește 4 vaci. Probabilitatea de a face mastită într-o lună pentru prima vacă este de 0,1, pentru a doua – 0,2, pentru a treia – 0,2, pentru a patra – 0,15. Găsiți probabilitatea ca cel puțin o vacă să facă mastită într-o lună.
35. Patru vânători au fost de acord să tragă pe rând la vânat. Următorul vânător trage o lovitură numai dacă precedentul ratează. Probabilitățile ca fiecare vânător să lovească ținta sunt aceleași și egale cu 0,8. Găsiți probabilitatea ca trei focuri să fie trase.
36. Un student studiază chimia, matematica și biologia. El estimează că probabilitățile de a obține un A în aceste cursuri sunt 0,5, 0,3 și, respectiv, 0,4. Presupunând că notele la aceste cursuri sunt independente, găsiți probabilitatea ca el să nu primească o singură notă „excelentă”.
37. Elevul cunoaște 20 din 25 de întrebări din program. Care este probabilitatea ca el să cunoască toate cele trei întrebări ale programului propus de examinator?
38. Doi vânători împușcă într-un lup, fiecare trăgând câte o lovitură. Probabilitățile ca primul și al doilea vânător să lovească ținta sunt 0,7 și, respectiv, 0,8. Care este probabilitatea de a lovi lupul cu cel puțin o lovitură?
39. Probabilitatea de a lovi ținta cu trei lovituri cel puțin o dată pentru un trăgător este de 0,875. Găsiți probabilitatea unei lovituri cu o singură lovitură.
40. Vacile foarte productive sunt selectate din efectiv. Probabilitatea ca un animal selectat aleatoriu să fie foarte productiv este de 0,2. Găsiți probabilitatea ca din trei vaci selectate, doar două să fie foarte productive.
41. In prima cusca sunt 3 iepuri albi si 4 gri, in a doua cusca sunt 7 iepuri albi si 5 negri. Un iepure a fost luat la întâmplare din fiecare cușcă. Care este probabilitatea ca ambii iepuri să fie albi?
42. Eficacitatea a două vaccinuri a fost studiată la un grup de animale. Ambele vaccinuri pot provoca alergii la animale cu o probabilitate egală de 0,2. Găsiți probabilitatea ca vaccinurile să nu provoace alergii.
43. În familie sunt trei copii. Presupunând că evenimentele nașterii unui băiat și a unei fete sunt la fel de probabile, găsiți probabilitatea ca toți copiii din familie să fie de același sex.
44. Probabilitatea de a stabili un strat de zăpadă stabil într-o zonă dată din octombrie este de 0,1. Determinați probabilitatea ca în următorii trei ani să se stabilească un strat de zăpadă stabil în această zonă cel puțin o dată din octombrie.
45. Determinați probabilitatea ca un produs ales la întâmplare să fie de primă clasă dacă se știe că 4% din toate produsele sunt defecte, iar 75% dintre produsele nedefecte îndeplinesc cerințele de primă clasă.
46. Doi trăgători, pentru care probabilitățile de a lovi ținta sunt de 0,7 și, respectiv, 0,8, trag câte o lovitură. Determinați probabilitatea ca cel puțin o lovire asupra țintei.
47. Probabilitatea ca un eveniment să se producă în fiecare experiment este aceeași și egală cu 0,2. Experimentele sunt efectuate secvenţial până când apare evenimentul. Determinați probabilitatea ca va trebui să faceți un al patrulea experiment.
48. Probabilitatea ca piesa produsă la prima mașină să fie de primă clasă este de 0,7. La fabricarea aceleiași piese pe o a doua mașină, această probabilitate este de 0,8. Prima mașină a produs două părți, a doua trei. Găsiți probabilitatea ca toate părțile să fie de primă clasă.
49. O întrerupere a circuitului electric poate apărea atunci când un element sau două elemente se defectează, care se defectează independent unul de celălalt, respectiv, cu probabilități de 0,3; 0,2 și 0,2. Determinați probabilitatea unei întreruperi a circuitului electric.
50. Funcționarea dispozitivului s-a oprit din cauza defecțiunii unei lămpi din 10. Găsirea acestei lămpi se face prin înlocuirea fiecărei lămpi cu una nouă pe rând. Determinați probabilitatea ca 7 lămpi să fie verificate dacă probabilitatea de defecțiune a fiecărei lămpi este de 0,1.
51. Probabilitatea ca tensiunea dintr-un circuit electric să depășească valoarea nominală este de 0,3. La o tensiune crescută, probabilitatea unui accident într-un dispozitiv care consumă curent electric este de 0,8. Determinați probabilitatea unei defecțiuni a dispozitivului din cauza tensiunii crescute.
52. Probabilitatea de a lovi prima țintă pentru un anumit trăgător este de 2/3. Dacă o lovitură este înregistrată la prima lovitură, atunci trăgătorul are dreptul de a trage în altă țintă. Probabilitatea de a lovi ambele ținte cu două lovituri este de 0,5. Determinați probabilitatea de a lovi a doua țintă.
53. Cu ajutorul a șase cărți, pe care este scrisă o literă, este compus cuvântul „căruță”. Cărțile sunt amestecate și apoi scoase pe rând. Care este probabilitatea ca cuvântul „rachetă” să se formeze în ordinea în care apar literele?
54. Abonatul a uitat ultima cifră a numărului de telefon și, prin urmare, o formează la întâmplare. Determinați probabilitatea ca el să fie nevoit să apeleze la cel mult trei locuri.
55. Fiecare dintre cele patru evenimente incompatibile poate avea loc respectiv cu probabilități de 0,012; 0,010; 0,006 și 0,002. Determinați probabilitatea ca cel puțin unul dintre aceste evenimente să aibă loc ca rezultat al experimentului.
56. Care este probabilitatea de a extrage o figură de orice culoare sau o carte de pică dintr-un pachet de 52 de cărți (figura se numește vale, regină sau rege)?
57. Cutia contine 10 monede de 20 de copeici, 5 monede de 15 copeici. și 2 monede de 10 copeici. 6 monede sunt luate la întâmplare. Care este probabilitatea ca totalul să nu fie mai mare de o rublă?
58. Sunt bile în două urne: în prima sunt 5 albe, 11 negre și 8 roșii, iar în a doua sunt 10, 8 și, respectiv, 6. Se extrage la întâmplare din ambele urne. Care este probabilitatea ca ambele bile să aibă aceeași culoare?
59. Probabilitatea ca un anumit atlet să-și îmbunătățească rezultatul anterior într-o singură încercare este de 0,4. Determinați probabilitatea ca un atlet să-și îmbunătățească rezultatul la o competiție dacă sunt permise două încercări.
Opțiunea 9
1. Fiecare dintre cele 6 cărți identice are imprimată una dintre următoarele litere: o, g, o, r, o, d. Cărțile sunt bine amestecate. Găsiți probabilitatea ca, așezându-le într-un rând, să fie posibilă citirea cuvântului „grădina de legume”.
2. Probabilitatea ca un anumit atlet să-și îmbunătățească rezultatul anterior într-o singură încercare este de 0,6. Determinați probabilitatea ca un atlet să-și îmbunătățească rezultatul la o competiție dacă i se permite să facă 2 încercări.
3. Prima cutie conține 20 de părți, dintre care 15 sunt standard; în a doua - 30 de părți, dintre care 24 sunt standard; în a treia există 10 părți, dintre care 6 sunt standard. Aflați probabilitatea ca o parte luată la întâmplare dintr-o cutie luată la întâmplare să fie standard.
4. Rezolvați probleme folosind formula Bernoulli și teorema Moivre-Laplace: a) la transmiterea unui mesaj, probabilitatea de distorsiune a unui caracter este de 0,24. Determinați probabilitatea ca un mesaj de 10 caractere să nu conțină mai mult de 3 distorsiuni;
b) s-au plantat 400 de arbori. Probabilitatea ca un arbore individual să prindă rădăcini este de 0,8. Aflați probabilitatea ca numărul de copaci supraviețuitori: 1) să fie 300; 2) mai mult de 310, dar mai puțin de 330.
5. Folosind date tabelare, calculați așteptarea matematică, dispersia și abaterea standard a variabilei aleatoare X și, de asemenea, determinați probabilitatea ca variabilă aleatoare va lua o valoare mai mare decât cea așteptată.
|
X i |
||||||
|
P i |
6. Variabila aleatoare continuă X este specificată de funcția de distribuție
Aflați: a) parametrul k; b) așteptarea matematică; c) dispersie.
7. O organizație sociologică realizează un sondaj asupra angajaților întreprinderii pentru a determina atitudinea acestora față de reorganizarea structurală efectuată de conducerea întreprinderii. Presupunând că proporția de oameni mulțumiți de transformări structurale este descrisă de o lege de distribuție normală cu parametrii a = 53,1% și σ = 3,9%, găsiți probabilitatea ca proporția de oameni mulțumiți de transformări să fie sub 50%.
8. Din populația generală a fost extras un eșantion și prezentat sub forma unui interval serie de variații(vezi tabel): a) presupunând că populaţia are distributie normala, construiți un interval de încredere pentru așteptarea matematică cu o probabilitate de încredere γ = 0,95; b) calculați coeficienții de asimetrie și curtoză folosind o metodă simplificată și faceți ipoteze adecvate cu privire la forma funcției de distribuție a populației; c) folosind criteriul Pearson, testați ipoteza despre normalitatea distribuției populației la un nivel de semnificație de α = 0,05.
|
29-32 |
|
|
32-35 |
|
|
35-38 |
|
|
38-41 |
|
|
41-44 |
|
|
44-47 |
|
|
47-50 |
9. Având în vedere un tabel de corelare a valorilor X și Y: a) calculați coeficientul de corelație r xy , trageți concluzii despre relația dintre X și Y; b) găsiți ecuațiile de regresie liniară ale lui X pe Y și Y pe X și, de asemenea, construiți graficele lor.
|
5.24-5.35 |
5.35-5.46 |
5.46-5.47 |
5.47-5.68 |
5.68-5.79 |
5.79-5.90 |
5.90-6.01 |
6.01-6.12 |
6.12-6.23 |
||
|
21.3-22.0 |
||||||||||
|
22.0-22.7 |
||||||||||
|
22.7-23.4 |
||||||||||
|
23.4-24.1 |
||||||||||
|
24.1-24.8 |
||||||||||
|
24.8-25.5 |
||||||||||
|
25.5-26.2 |
||||||||||
|
26.2-26.9 |
||||||||||
4.1. Fiecare dintre cele patru evenimente incompatibile poate avea loc cu probabilități de 0,012, 0,010, 0,006 și, respectiv, 0,002. Determinați probabilitatea ca cel puțin unul dintre aceste evenimente să se producă ca rezultat al experimentului.
(Răspuns: p = 0,03)
4.2. Trăgătorul trage o singură lovitură către o țintă formată dintr-un cerc central și două inele concentrice. Probabilitățile de a lovi cercul și inelul sunt 0,20, 0,15 și, respectiv, 0,10. Determinați probabilitatea de a rata ținta.
(Răspuns: p = 0,55)
4.3. Două monede identice cu raza r sunt situate în interiorul unui cerc cu raza R în care un punct este aruncat la întâmplare. Determinați probabilitatea ca acest punct să cadă pe una dintre monede dacă monedele nu se suprapun.
(Răspuns: p = )
4.4. Care este probabilitatea de a extrage o figură de orice culoare sau o carte de pică dintr-un pachet de 52 de cărți (figura se numește vale, regină sau rege)?
(Răspuns: p = 
)
4.5. Cutia contine 10 monede de 20 de copeici, 5 monede de 15 copeici. și 2 monede de 10 copeici. Șase monede sunt luate la întâmplare. Care este probabilitatea ca totalul să nu fie mai mare de o rublă?
(Răspuns: p = 
)
4.6. Două urne conțin bile care diferă doar prin culoare, iar în prima urnă sunt 5 bile albe, 11 negre și 8 roșii, iar în a doua sunt 10, 8 și, respectiv, 6. Din ambele urne se extrage la întâmplare . Care este probabilitatea ca ambele bile să aibă aceeași culoare?
(Răspuns: p = 0,323)
4.7. Jocul dintre A și B se joacă în următoarele condiții: ca urmare a primei mișcări, pe care A o face întotdeauna, el poate câștiga cu probabilitate 0,3; dacă A nu câștigă cu prima mutare, atunci B face mutarea și poate câștiga cu probabilitatea de 0,5; dacă în urma acestei mișcări B nu câștigă, atunci A face o a doua mișcare, care poate duce la câștigarea sa cu probabilitatea 0,4. Determinați probabilitățile de câștig pentru A și B.
(Răspuns: 
= 0,44, = 0,35)
4.8. Probabilitatea ca un anumit atlet să-și îmbunătățească rezultatul anterior într-o singură încercare este egală cu p. Determinați probabilitatea ca un atlet să-și îmbunătățească rezultatul la o competiție dacă sunt permise două încercări.
(Răspuns: p(A) = )
4.9. Dintr-o urna care contine n bile cu numere de la 1 la n se extrag doua bile succesiv, prima bila fiind returnata daca numarul ei nu este egal cu unu. Determinați probabilitatea ca mingea numărul 2 să fie extrasă a doua oară.
(Răspuns: p = )
4.10. Jucătorul A alternează cu jucătorii B și C, cu o probabilitate de a câștiga fiecare joc de 0,25 și se oprește după prima pierdere sau după două jocuri jucate cu fiecare jucător. Determinați probabilitățile de câștig B și C.
4.11. Doi oameni aruncă pe rând o monedă. Cel care primește primul stema câștigă. Determinați probabilitățile de câștig pentru fiecare jucător.
(Răspuns: 
)
4.12. Probabilitatea de a obține un punct fără a pierde serviciul atunci când joacă două echipe de volei egale este egală cu jumătate. Determinați probabilitatea de a obține un punct pentru echipa care servește.
(Răspuns: p = )
4.13. Doi trăgători trag pe rând la țintă până când este făcută prima lovitură. Probabilitatea unei lovituri pentru primul trăgător este de 0,2, iar pentru al doilea este de 0,3. Găsiți probabilitatea ca primul trăgător să tragă mai multe focuri decât al doilea.
(Răspuns: p = 0,455)
4.14. Doi jucători joacă până la victorie, iar pentru aceasta primul trebuie să câștige m jocuri, iar al doilea n jocuri. Probabilitatea de a câștiga fiecare joc de către primul jucător este p, iar al doilea q=1-p. Determinați probabilitatea ca primul jucător să câștige întregul joc.
