1 Ось як визначає сутність роботи О.Д. Хвольсон «Сила здійснює роботу, коли її точка додатка переміщається... ...слід відрізняти два випадки виконання роботи: у першому сутність роботи полягає у доланні зовнішнього опору руху, який відбувається без збільшення швидкості руху тіла; у другому - робота виявляється збільшенням швидкості руху, якого зовнішній світ ставиться індиферентно. Насправді ми зазвичай маємо поєднання обох випадків: сила долає будь-які опори і водночас змінює швидкість руху тіла».

Для обчислення роботи постійної сили пропонується формула:

де S- переміщення тіла під дією сили F, a- Кут між напрямками сили та переміщення. При цьому кажуть, що «якщо сила перпендикулярна до переміщення, то робота сили дорівнює нулю. Якщо ж, незважаючи на дію сили, переміщення точки застосування сили не відбувається, то сила ніякої роботи не здійснює. Наприклад, якщо якийсь вантаж нерухомо висить на підвісі, то сила тяжіння, що діє на нього, не виконує роботи».

Також говориться: «Поняття роботи як фізичної величини, введене в механіці, лише до певної міри узгоджується з уявленням про роботу в життєвому сенсі. Дійсно, наприклад, робота вантажника з підйому тяжкості розцінюється тим більше, чим більше вантаж, що піднімається, і чим на велику висоту він повинен бути піднятий. Однак з тієї ж життєвої точки зору ми схильні називати «фізичною роботою» будь-яку діяльність людини, за якої він здійснює відомі фізичні зусилля. Але, згідно з визначенням, що дається в механіці, ця діяльність може і не супроводжуватися роботою. У відомому міфі про Атланту, що підтримує на своїх плечах небесне склепіння, люди мали на увазі зусилля, необхідні для підтримання величезної тяжкості, і розцінювали ці зусилля як колосальну роботу. Для механіки тут немає роботи, і м'язи Атланта могли б бути просто замінені міцною колоною».

Ці міркування нагадують відомий вислів І.В. Сталіна: «Є людина – є проблема, немає людини – немає проблеми».

У підручнику фізики для 10 класу пропонується наступний вихід із цієї ситуації: «При нерухомому утриманні людиною вантажу на полі тяжкості Землі відбувається робота і рука відчуває втому, хоча видиме переміщення вантажу дорівнює нулю. Причиною цього є те, що м'язи людини зазнають постійних скорочень і розтягувань, що призводять до мікроскопічних переміщень вантажу». Все добре, тільки як розрахувати ці скорочення-розтягнення?

Виходить така ситуація: людина намагається перемістити шафу на відстань S, навіщо він діє силою Fпротягом часу t, тобто. повідомляє імпульс сили. Якщо шафа має невелику масу і немає сил тертя, то шафа переміщається і, отже, робота відбувається. Але якщо шафа великої маси і великі сили тертя, людина, діючи тим самим імпульсом сили, шафа не переміщає, тобто. робота не відбувається. Щось тут не в'яжеться із так званими законами збереження. Або взяти приклад, показаний на рис. 1. Якщо сила F a, то. Оскільки , то, звісно, ​​виникає питання, куди зникла енергія, рівна різниці робіт ()?

Малюнок 1.Сила Fспрямована горизонтально (), то робота , а якщо під кутом a, то

Наведемо приклад, який показує, що робота відбувається, якщо тіло залишається нерухомим. Візьмемо електричний ланцюг, що складається з джерела струму, реостату та амперметра магнітоелектричної системи. При повністю введеному реостаті сила струму дуже мала і стрілка амперметра стоїть на нулі. Починаємо поступово рухати реохорд реостату. Стрілка амперметра починає відхилятися, закручуючи спіральні пружини приладу. Це робить роботу сила Ампера: сила взаємодії рамки зі струмом з магнітним полем. Якщо зупинити реохорд, то встановиться постійна сила струму і перестає рухатися стрілка. Кажуть, якщо тіло нерухоме, то сила роботи не робить. Але амперметр, утримуючи стрілку в тому ж положенні, як і раніше, споживає енергію, де U- напруга, підведена до рамки амперметра; - сила струму в рамці. Тобто. сила Ампера, утримуючи стрілку, як і виконує роботу з утримання пружин у закрученому стані.

Покажемо, чому виникають такі парадокси. Спочатку отримаємо загальноприйнятий вираз для роботи. Розглянемо роботу розгону по горизонтальній гладкій поверхні тіла маси, що спочатку спочиває. mза рахунок впливу на нього горизонтальною силою Fпротягом часу t. Цьому випадку відповідає кут на рис.1. Запишемо II закон Ньютона як . Помножимо обидві частини рівності на пройдений шлях S: . Оскільки, то отримаємо або. Зазначимо, що помножуючи обидві частини рівняння на S, ми цим відмовляємо у роботі тим силам, які здійснюють переміщення тіла (). Крім того, якщо сила Fдіє під кутом aдо горизонту, ми тим самим відмовляємо у роботі всій силі F, «дозволяючи» роботу лише її горизонтальної складової: .

Проведемо інший висновок формули до роботи. Запишемо II закон Ньютона у диференційній формі

Ліва частина рівняння – елементарний імпульс сили, а права – елементарний імпульс тіла (кількість руху). Зазначимо, що права частина рівняння може дорівнювати нулю, якщо тіло залишається нерухомим () або рухається рівномірно (), у той час як ліва частина не дорівнює нулю. Останній випадок відповідає випадку рівномірного руху, коли сила врівноважує силу тертя. .

Однак повернемося до нашого завдання про розгін нерухомого тіла. Після інтегрування рівняння (2) отримаємо , тобто. імпульс сили дорівнює імпульсу (кількості руху), отриманому тілом. Зведемо у квадрат і розділивши на обидві частини рівності, отримаємо

Таким чином ми отримаємо інший вираз для обчислення роботи

(4)

де – це імпульс сили. Цей вираз не пов'язаний з шляхом S, пройденим тілом за час tтому воно може бути використане для обчислення роботи, що здійснюється імпульсом сили і в тому випадку, якщо тіло залишається нерухомим.

Якщо сила Fдіє під кутом a(Рис.1), то її розкладаємо на дві складові: силу тяги і силу, яку назвемо силою левітації, вона прагне зменшити силу тяжіння. Якщо дорівнюватиме , то тіло перебуватиме в квазіневагомому стані (стан левітації). Використовуючи теорему Піфагора: , знайдемо роботу сили F

або (5)

Оскільки , а , то роботу сили тяги можна у загальноприйнятому вигляді: .

Якщо сила левітації, то робота левітації дорівнюватиме

(6)

Це якраз та робота, яку виконував Атлант, утримуючи на своїх плечах небесне склепіння.

А тепер розглянемо роботу сил тертя. Якщо сила тертя є єдиною силою, що діє по лінії руху (наприклад, автомобіль, що рухався по горизонтальній дорозі зі швидкістю, вимкнув двигун і став гальмувати), то робота сили тертя дорівнюватиме різниці кінетичних енергій і може бути розрахована за загальноприйнятою формулою:

(7)

Однак, якщо тіло рухається по шорсткій горизонтальній поверхні з деякою постійною швидкістю , то роботу сили тертя не можна обчислювати за загальноприйнятою формулою , оскільки в даному випадку рухи треба розглядати як рух вільного тіла (), тобто. як рух за інерцією, і швидкість V створює не сила, вона була придбана раніше. Наприклад, тіло рухалося ідеально гладкою поверхні з постійною швидкістю, і в той момент, коли воно в'їжджає на шорстку поверхню, включається сила тяги . В даному випадку шлях S не пов'язаний з дією сили. Якщо взяти шлях м, то при швидкості м/с час дії сили складатиме з, при м/с час с, при м/с час с. Оскільки сила тертя вважають незалежної від швидкості, то, очевидно, на тому самому відрізку шляху м сила зробить набагато більшу роботу за 200 с, ніж за 10 с, т.к. у першому випадку імпульс сили, а в останньому -. Тобто. в даному випадку роботу сили тертя треба розраховувати за такою формулою:

(8)

Позначаючи «звичайну» роботу тертя через і враховуючи, що формулу (8), опускаючи знак «мінус», можна представити у вигляді

З механічною роботою (роботою сили) ви вже знайомі з курсу фізики основної школи. Нагадаємо, наведене там визначення механічної роботи для наступних випадків.

Якщо сила спрямована так само, як переміщення тіла, то робота сили

І тут робота сили позитивна.

Якщо сила спрямована протилежно до переміщення тіла, то робота сили

І тут робота сили негативна.

Якщо сила f_vec спрямована перпендикулярно до переміщення s_vec тіла, то робота сили дорівнює нулю:

Робота – скалярна величина. Одиницю роботи називають Джоуль (позначають: Дж) на честь англійського вченого Джеймса Джоуля, який відіграв важливу роль у відкритті закону збереження енергії. З формули (1) випливає:

1 Дж = 1 Н*м.

1. Брусок масою 0,5 кг перемістили по столу на 2 м, прикладаючи до нього силу пружності, що дорівнює 4 Н (рис. 28.1). Коефіцієнт тертя між бруском та столом дорівнює 0,2. Чому дорівнює робота, що діє на брусок:
а) сили тяжкості m?
б) сили нормальної реакції?
в) сили пружності?
г) сили тертя ковзання тр?

Сумарну роботу кількох сил, які діють тіло, можна знайти двома способами:
1. Знайти роботу кожної сили та скласти ці роботи з урахуванням знаків.
2. Знайти рівнодіючу всіх прикладених до тіла сил та обчислити роботу рівнодіючої.

Обидва способи призводять до одного й того самого результату. Щоб переконатися в цьому, поверніться до попереднього завдання та дайте відповідь на запитання завдання 2.

2. Чому дорівнює:
а) сума робіт усіх сил, що діють на брусок?
б) рівнодіюча всіх сил, що діють на брусок?
в) робота рівнодіючої? У випадку (коли сила f_vec спрямовано під довільним кутом до переміщенню s_vec) визначення роботи сили таке.

Робота A постійної сили дорівнює добутку модуля сили F на модуль переміщення s і на косинус кута між напрямком сили і напрямом переміщення:

A = Fs cos α (4)

3. Покажіть, що із загального визначення роботи слідують висновки, показані на наступній схемі. Сформулюйте їх словесно та запишіть у зошит.

4. До бруска, що знаходиться на столі, прикладена сила, модуль якої 10 Н. Чому дорівнює кут між цією силою і переміщенням бруска, якщо при переміщенні бруска по столу на 60 см ця сила зробила роботу: а) 3 Дж; б) -3 Дж; в) -3 Дж; г) -6 Дж? Зробіть пояснювальні креслення.

2. Робота сили тяжіння

Нехай тіло масою m рухається вертикально від початкової висоти h до кінцевої висоти h до.

Якщо тіло рухається вниз (h н > h к, рис. 28.2, а), напрямок переміщення збігається з напрямком сили тяжіння, тому робота сили тяжіння є позитивною. Якщо ж тіло рухається вгору (h н< h к, рис. 28.2, б), то работа силы тяжести отрицательна.

В обох випадках робота сили тяжіння

A = mg(h н – h до). (5)

Знайдемо тепер роботу сили тяжіння під час руху під кутом до вертикалі.

5. Невеликий брусок масою m зісковзнув уздовж похилої площини завдовжки s та висотою h (рис. 28.3). Похила площина становить кут з вертикаллю.

а) Чому дорівнює кут між напрямом сили тяжіння та напрямом переміщення бруска? Зробіть пояснювальний креслення.
б) Виразіть роботу сили тяжіння через m, g, s, α.
в) Виразіть s через h та α.
г) Виразіть роботу сили тяжіння через m, g, h.
д) Чому дорівнює робота сили тяжіння при русі бруска вздовж усієї цієї площини вгору?

Виконавши це завдання, ви переконалися, що робота сили тяжіння виражається формулою (5) і тоді, коли тіло рухається під кутом до вертикалі – як униз, і вгору.

Але тоді формула (5) для роботи сили тяжіння справедлива при русі тіла будь-якою траєкторією, тому що будь-яку траєкторію (рис. 28.4, а) можна представити як сукупність малих «похилих площин» (рис. 28.4, б).

Таким чином,
робота сили тяжіння під час руху але будь-якої траєкторії виражається формулою

A т = mg(h н – h до),

де h н - Початкова висота тіла, h до - Його кінцева висота.
Робота сили тяжіння залежить від форми траєкторії.

Наприклад, робота сили тяжіння при переміщенні тіла з точки A до точки B (рис. 28.5) по траєкторії 1, 2 або 3 однакова. Звідси, зокрема, випливає, що рибота сили тяжіння при переміщенні замкнутої траєкторії (коли тіло повертається у вихідну точку) дорівнює нулю.

6. Кулю масою m, що висить на нитці довжиною l, відхилили на 90º, тримаючи нитку натягнутою, і відпустили без поштовху.
а) Чому дорівнює робота сили тяжіння за час, протягом якого куля рухається до положення рівноваги (рис. 28.6)?
б) Чому дорівнює робота сили пружності нитки за той самий час?
в) Чому дорівнює робота рівнодіючої сил, прикладених до кулі, за той самий час?

3. Робота сили пружності

Коли пружина повертається в недеформований стан, сила пружності завжди виконує позитивну роботу: її напрямок збігається з напрямком переміщення (рис. 28.7).

Знайдемо роботу сили пружності.
Модуль цієї сили пов'язаний із модулем деформації x співвідношенням (див. § 15)

Роботу такої сили можна знайти графічно.

Зауважимо спочатку, що робота постійної сили чисельно дорівнює площі прямокутника під графіком залежності сили від переміщення (рис. 28.8).

На малюнку 28.9 зображено графік залежності F(x) для сили пружності. Розіб'ємо подумки все переміщення тіла на такі малі проміжки, щоб на кожному з них силу можна було вважати постійною.

Тоді робота кожному з цих проміжків чисельно дорівнює площі фігури під відповідним ділянкою графіка. Вся робота дорівнює сумі робіт на цих ділянках.

Отже, й у разі робота чисельно дорівнює площі фігури під графіком залежності F(x).

7. Використовуючи рисунок 28.10, доведіть, що

робота сили пружності при поверненні пружини в недеформований стан виражається формулою

A = (kx 2)/2. (7)

8. Використовуючи графік на малюнку 28.11, доведіть, що при зміні деформації пружини від x н до x до робота сили пружності виражається формулою

З формули (8) бачимо, що робота сили пружності залежить тільки від початкової та кінцевої деформації пружини, Тому якщо тіло спочатку деформують, а потім воно повертається в початковий стан, то робота сили пружності дорівнює нулю. Нагадаємо, що таку ж властивість має і робота сили тяжіння.

9. У початковий момент розтяг пружини жорсткістю 400 Н/м дорівнює 3 см. Пружину розтягнули ще на 2 см.
а) Чому дорівнює кінцева деформація пружини?
б) Чому дорівнює робота сили пружності пружини?

10. У початковий момент пружина жорсткістю 200 Н/м розтягнута на 2 см, а в кінцевий момент вона стиснута на 1 см. Чому дорівнює робота сили пружності пружини?

4. Робота сили тертя

Нехай тіло ковзає по нерухомій опорі. Сила тертя ковзання, що діє на тіло, спрямована завжди протилежно переміщенню і, отже, робота сили тертя ковзання негативно при будь-якому напрямку переміщення (рис. 28.12).

Тому якщо зрушити брусок вправо, а рябою на таку ж відстань вліво, то, хоча він і повернеться в початкове положення, сумарна робота сили тертя ковзання не буде дорівнювати нулю. У цьому полягає найважливіша відмінність роботи сили тертя ковзання від роботи сили тяжкості та сили пружності. Нагадаємо, що робота цих сил при переміщенні тіла замкнутою траєкторією дорівнює нулю.

11. Брусок масою 1 кг пересували по столу так, що його траєкторією виявився квадрат зі стороною 50 см.
а) Чи повернувся брусок у початкову точку?
б) Чому дорівнює сумарна робота сили тертя, що діяла на брусок? Коефіцієнт тертя між бруском та столом дорівнює 0,3.

5. Потужність

Часто важлива як виконувана робота, а й швидкість виконання роботи. Вона характеризується потужністю.

Потужністю P називають відношення досконалої роботи A до проміжку часу t, за який ця робота виконана:

(Іноді потужність у механіці позначають буквою N, а електродинаміці – буквою P. Ми вважаємо зручнішим однакове позначення потужності.)

Одиниця потужності - Ват (позначають: Вт), названа на честь англійського винахідника Джеймса Уатта. З формули (9) випливає, що

1 Вт = 1 Дж/с.

12. Яку потужність розвиває людина, рівномірно піднімаючи цебро води масою 10 кг на висоту 1 м протягом 2 с?

Часто потужність зручно виражати не через роботу та час, а через силу та швидкість.

Розглянемо випадок, коли сила спрямована вздовж переміщення. Тоді робота сили A = Fs. Підставляючи цей вираз у формулу (9) для потужності, отримуємо:

P = (Fs)/t = F(s/t) = Fv. (10)

13. Автомобіль їде горизонтальною дорогою зі швидкістю 72 км/год. При цьому двигун розвиває потужність 20 кВт. Чому дорівнює сила опору руху автомобіля?

Підказка. Коли автомобіль рухається горизонтальною дорогою з постійною швидкістю, сила тяги дорівнює по модулю силі опору руху автомобіля.

14. Скільки часу знадобиться для рівномірного підйому бетонного блоку масою 4 т на висоту 30 м, якщо потужність двигуна підйомного крана 20 кВт, а ККД електродвигуна підйомного крана дорівнює 75%?

Підказка. ККД електродвигуна дорівнює відношенню роботи з підйому вантажу до роботи двигуна.

Додаткові запитання та завдання

15. М'яч масою 200 г кинули з балкона заввишки 10 і під кутом 45º до горизонту. Досягши у польоті максимальної висоти 15 м, м'яч упав на землю.
а) Чому дорівнює робота сили тяжкості під час підйому м'яча?
б) Чому дорівнює робота сили тяжіння при спуску м'яча?
в) Чому дорівнює робота сили тяжіння за весь час польоту м'яча?
г) Чи є за умови зайві дані?

16. Куля масою 0,5 кг підвішена до пружини жорсткістю 250 Н/м і знаходиться в рівновазі. Кулю піднімають так, щоб пружина стала недеформованою, і відпускають без поштовху.
а) На яку висоту підняли кулю?
б) Чому дорівнює робота сили тяжіння за час, протягом якого куля рухається до положення рівноваги?
в) Чому дорівнює робота сили пружності за час, протягом якого куля рухається до положення рівноваги?
г) Чому дорівнює робота рівнодіючої всіх прикладених до кулі сил за час, протягом якого куля рухається до положення рівноваги?

17. Санки масою 10 кг з'їжджають без початкової швидкості зі снігової гори з кутом нахилу α = 30º і проїжджають деяку відстань горизонтальною поверхнею (рис. 28.13). Коефіцієнт тертя між санчатами та снігом 0,1. Довжина основи гори l = 15 м-коду.

а) Чому дорівнює модуль сили тертя під час руху санок горизонтальною поверхнею?
б) Чому дорівнює робота сили тертя під час руху санок по горизонтальній поверхні на шляху 20 м?
в) Чому дорівнює модуль сили тертя під час руху санок по горі?
г) Чому дорівнює робота сили тертя при спуску санчат?
д) Чому дорівнює робота сили тяжіння при спуску санчат?
е) Чому дорівнює робота рівнодіючої сил, що діють на санки, при їх спуску з гори?

18. Автомобіль масою 1 т рухається зі швидкістю 50 км/год. Двигун розвиває потужність 10 квт. Витрата бензину складає 8 л на 100 км. Щільність бензину 750 кг/м 3 а його питома теплота згоряння 45 МДж/кг. Чому дорівнює ККД двигуна? Чи є в зайві зайві дані?
Підказка. ККД теплового двигуна дорівнює відношенню досконалої двигуном роботи до кількості теплоти, що виділилося при згорянні палива.

де - шлях, пройдений тілом під час дії сили.

Після підстановки числових значень отримаємо.

Приклад 3. Кулька масою = 100 г впала з висоти = 2,5 м на горизонтальну плиту і відскочила від неї внаслідок пружного удару без втрати швидкості. Визначити середню швидкість , що діяла на кульку при ударі, якщо тривалість удару = 0,1 с.

Рішення. За другим законом Ньютона добуток середньої сили тимчасово її дії дорівнює зміні імпульсу тіла, викликаного цією силою, тобто.

де і - Швидкості тіла до і після дії сили; - Час, протягом якого діяла сила.

З (1) отримаємо

Якщо врахувати, що швидкість чисельно дорівнює швидкості та протилежна їй у напрямку, то формула (2) набуде вигляду:

Так як кулька впала з висоти, то її швидкість при ударі

З урахуванням цього отримаємо

Підставивши сюди числові значення, знайдемо

Знак «мінус» показує, що сила спрямована протилежно до швидкості падіння кульки.

Приклад 4. Для підйому води з колодязя завглибшки =20 м встановили насос потужністю =3,7 кВт. Визначити масу та об'єм води, піднятої за час =7 год, якщо к.п.д. насоса = 80%.

Рішення. Відомо, що потужність насоса з урахуванням к.п.д. визначається формулою

де - робота, виконана за час; - Коефіцієнт корисної дії.

Робота, досконала під час підйому вантажу без прискорення на висоту, дорівнює потенційної енергії, що має вантаж у цій висоті, тобто.

де – прискорення вільного падіння.

Підставивши вираз роботи з (2) до (1), отримаємо

Виразимо числові значення величин, що входять до формули (3), в одиницях СІ: =3,7 кВт = 3,7 103 Вт; =7 год = 2,52 104; = 80% = 0,8; = 20 м.

кг кг м2 с2/(с3 м), кг=кг

Обчислимо

кг = 3,80 105 кг = 380 т.

Щоб визначити об'єм води, треба її масу розділити на густину

Приклад 5. Штучний супутник Землі рухається круговою орбітою на висоті = 700 км. Визначити швидкість руху. Радіус Землі = 6,37 106 м, маса її = 5,98 1024 кг.

Рішення. На супутник, як і на всяке тіло, що рухається круговою орбітою, діє доцентрова сила

де – маса супутника; V-швидкість його руху; - Радіус кривизни траєкторії.

Якщо знехтувати опором середовища та силами тяжіння з боку всіх небесних тіл, можна вважати, що єдиною силою є сила тяжіння між супутником і Землею. Ця сила і грає роль доцентрової сили.

Згідно із законом всесвітнього тяжіння

де – гравітаційна стала.

Прирівнявши праві частини (1) та (2), отримаємо

Звідси швидкість супутника

Випишемо числові значення величин СІ: = 6,67*10-11 м3/(кг с2); =5,98 1024 кг; = 6,37 106 м; = 700 км = 7105 м.

Перевіримо одиниці правої та лівої частин розрахункової формули (3), щоб переконатися, що ці одиниці збігаються. Для цього підставляємо у формулу замість величин їх розмірність у Міжнародній системі:

Обчислимо

Приклад 6. Маховик у вигляді суцільного диска масою т = 80 кг з радіусом = 50 см почав обертатися рівноприскорено під дією моменту, що обертає = 20 Н м. Визначити: 1) кутове прискорення; 2) кінетичну енергію, набуту маховиком за час = 10 с від початку обертання.

Рішення. 1. З основного рівняння динаміки обертального руху,

де – момент інерції маховика; - кутове прискорення, отримаємо

Відомо, що момент інерції диска визначається формулою

Підставивши вираз для (2) в (1), отримаємо

Виразимо величини в одиницях СІ: = 20 Н м; т = 80 кг; = 50 см = 0,5 м-коду.

Перевіримо одиниці правої та лівої частин розрахункової формули (3):

1/c2 = кг х м2/(с2х кг х м2) = 1/с2

Обчислимо

2. Кінетична енергія тіла, що обертається, виражається формулою:

де - Кутова швидкість тіла.

При рівноприскореному обертанні кутова швидкість пов'язана із кутовим прискоренням співвідношенням

де - Кутова швидкість в момент часу; - Початкова кутова швидкість.

Так як за умовою задачі = 0, то з (5) випливає

Підставивши вираз для (6), з (2) в (4), отримаємо

Перевіримо одиниці правої та лівої частин формули (7):

Обчислимо

Приклад 7. Рівняння точки, що коливається, має вигляд. (Зміщення в сантиметрах, час в секундах). Визначити: 1) амплітуду коливання, кругову частоту, період та початкову фазу; 2) зміщення точки в момент часу; 3) максимальну швидкість та максимальне прискорення.

Рішення. 1. Напишемо рівняння гармонійного коливального руху у загальному вигляді

де х - зміщення точки, що коливається; А – амплітуда коливання; -Кругова частота; - Час коливання; - Початкова фаза.

Порівнюючи задане рівняння з рівнянням (1), випишемо: А=3 см,

Період коливання визначається із співвідношення

Підставляючи в (2) значення, отримаємо

2. Для визначення усунення підставимо в задане рівняння значення часу:

3. Швидкість коливального руху знайдемо, взявши першу похідну від зміщення точки, що коливається:

(Максимальне значення швидкість матиме при =1:

Прискорення є першою похідною від швидкості за часом:

Максимальне значення прискорення

Знак «мінус» показує, що прискорення спрямоване у бік, протилежний зсуву.

1

Якщо на тіло маси m, що знаходиться на гладкій горизонтальній поверхні, діє
постійна сила F, спрямована під деяким кутом α до горизонту і при цьому тіло переміщається на деяку відстань S, то кажуть, що сила Fзробила роботу A. Величину роботи визначають за формулою:

A= F× S cos α (1)

Однак у природі ідеально гладких поверхонь не буває, і на поверхні контакту двох тіл завжди виникають сили тертя. Ось як про це пишеться в підручнику: «Робота сили тертя спокою дорівнює нулю, оскільки переміщення відсутня. При ковзанні твердих поверхонь сила тертя спрямована проти переміщення. Її робота негативна. Внаслідок цього кінетична енергія тертьових тіл перетворюється на внутрішню - тертьові поверхні нагріваються».

А ТР = FТР × S = μNS (2)

де μ - Коефіцієнт тертя ковзання.

Лише у підручнику О.Д. Хвольсона розглянуто випадок прискореного руху за наявності сил тертя: «Отже, слід відрізняти два випадки виконання роботи: в першому сутність роботи полягає в доланні зовнішнього опору руху, яке відбувається без збільшення швидкості руху тіла; у другому - робота виявляється збільшенням швидкості руху, до якого зовнішній світ відноситься індиферентно.

Насправді ми зазвичай маємо СПОЛУЧЕННЯ ОБИСНИХ ВИПАДКІВ: сила fдолає якісь опори і в той же час змінює швидкість руху тіла.

Припустимо, що f"не одно f, А саме, що f"< f. У такому разі на тіло діє сила
f- f", робота ρ якої викликає збільшення швидкості тіла. Ми маємо ρ =(f- f")S,
звідки

fS= f"S+ ρ (*)

Робота r= fSскладається з двох частин: f"Sвитрачається на подолання зовнішнього опору, ρ збільшення швидкості тіла».

Уявімо це в сучасній інтерпретації (рис. 1). На тіло маси mдіє сила тяги F T ,яка більша за силу тертя F TP = μN = μmg.Роботу сили тяги відповідно до формули (*) можна записати так

A=F T S=F TP S+F a S= A TP+ A a(3)

де F a=F T - F TP -сила, що викликає прискорений рух тіла відповідно до II закону Ньютона: F a= ma. Робота сили тертя негативна, але тут і далі ми будемо використовувати силу тертя і роботу тертя по модулю. Для подальших міркувань необхідний чисельний аналіз. Приймемо такі дані: m= 10 кг; g=10 м/с 2; F T= 100 Н; μ = 0,5; t= 10 с. Проводимо такі обчислення: F TP= μmg= 50 Н; F a= 50 Н; a=F a/m=5 м/с 2; V= at= 50 м/с; K= mV 2/2 = 12,5 кДж; S= at 2/2 = 250 м; A a= F a S= 12,5 кДж; A TP=F TP S= 12,5 kДж. Таким чином сумарна робота A= A TP+ A a= 12,5 +12,5 = 25 кДж

А тепер розрахуємо роботу сили тяги F Tдля випадку, коли тертя відсутнє ( μ =0).

Проводячи аналогічні обчислення, отримуємо: a =10 м/с 2; V= 100м/с; K = 50 кДж; S = 500 м; A = 50 кДж. В останньому випадку за ті ж 10 с ми отримали роботу вдвічі більше. Можуть заперечити, що й шлях удвічі більший. Однак, що б не говорили, виходить парадоксальна ситуація: потужності, що розвиваються однією і тією ж силою, відрізняються в два рази, хоча імпульси сил однакові I =F T t = 1 кН.с. Як писав М.В. Ломоносов ще 1748 р.: «...але зміни, які відбуваються у природі, відбуваються в такий спосіб, що скільки чого додалося стільки ж відніметься в іншого...». Тому спробуємо отримати інший вираз визначення роботи.

Запишемо II закон Ньютона в диференціальній формі:

F. dt = d(mV ) (4)

і розглянемо завдання про розгін спочатку нерухомого тіла (тертя відсутня). Інтегруючи (4), отримаємо: F × t = mV . Звівши квадрат і розділивши на 2 mобидві частини рівності, отримаємо:

F 2 t 2/2m = mV 2 / 2 A= K (5)

Таким чином, отримали інший вираз для обчислення роботи

A = F 2 t 2/2m = I 2/2m (6)

де I = F × t - імпульс сили. Цей вираз не пов'язаний з шляхом S, пройденим тілом за час t, тобто. воно може бути використане для обчислення роботи, що здійснюється імпульсом сили і в тому випадку, якщо тіло залишається нерухомим, хоча, як стверджують у всіх курсах фізики, в цьому випадку ніякої роботи не відбувається.

Переходячи до нашого завдання про прискорений рух із тертям, запишемо суму імпульсів сил: I T = I a + I TP, де I T = F T t; I a= F a t; I TP = F TP t. Звівши в квадрат суму імпульсів, отримаємо:

F T 2 t 2= F a 2 t 2+ 2F a F TP t 2 + F TP 2 t 2

Розділивши всі члени рівності на 2m, отримаємо:

або A = A a + A УТ + A TP

де A a=F a 2 t 2 / 2 m- робота, що витрачається прискорення; A TP = F TP 2 t 2 /2 m - робота, що витрачається на подолання сили тертя при рівномірному русі, а A УТ =F a F TP t 2 / m- робота, що витрачається на подолання сили тертя при прискореному русі. Чисельний розрахунок дає наступний результат:

A =A a + AУт + A TP = 12,5 + 25 +12,5 = 50 кДж,

тобто. ми отримали ту саму величину роботи, яку здійснює сила F T за відсутності тертя.

Розглянемо загальніший випадок руху тіла з тертям, коли на тіло діє сила F, спрямована під кутом α до обрію (рис. 2). Тепер сила тяги F T = F cos α, а силу F Л= F sin α - назвемо силою левітації, вона зменшує силу важкості P =mg, а у випадку F Л = mg тіло не чинитиме тиску на опору, перебуватиме в квазіневагомому стані (стан левітації). Сила тертя F TP = μ N = μ (P - F Л) . Силу тяги можна записати у вигляді F T= F a+ F TP, а з прямокутного трикутника (рис. 2) отримаємо: F 2 =F Т 2 + F Л 2 . Помножуючи останнє співвідношення на t 2 , Отримаємо баланс імпульсів сил, а розділивши на 2m, Отримаємо баланс енергій (робот):

Наведемо чисельний розрахунок для сили F = 100 Н та α = 30oза тих же умов (m = 10кг; μ = 0,5; t = 10 с). Робота сили F буде рівна A =F 2 t 2 /2m= 50 а формула (8) дає наступний результат (з точністю до третього знака після коми):

50 = 15,625 +18,974-15,4-12,5 +30,8 +12,5 кДж.

Як показують розрахунки, сила F = 100 Н, діючи на тіло маси m = 10 кг під будь-яким кутом α за 10 с здійснює ту саму роботу 50 кДж.

Останній член у формулі (8) являє собою роботу сили тертя при рівномірному русі тіла горизонтальною поверхнею зі швидкістю V

Таким чином, під яким би кутом не діяла дана сила Fна це тіло маси m, за наявності тертя або без нього, за час tбуде здійснено одну й ту саму роботу (навіть якщо тіло нерухоме):

Рис.1

Рис.2

СПИСОК ЛІТЕРАТУРИ

1. Матвєєв А.М. механіка та теорія відносності. Навчальний посібник для фіз.спец.вузів. -М.: Вищ.шк., 1986.
2. Стрілків СП. Механіка. Загальний курс фізики Т. 1. - М: ГІТТЛ, 1956.
3. Хвольсон О.Д. Курс фізики Т. 1. РРФСР Госуд.Изд-во, Берлін, 1923.

Бібліографічне посилання

ІВАНОВ Є.М. РОБОТА ПРИ РУХІ ТІЛ З ТРАННЯМ // Сучасні проблеми науки та освіти. - 2005. - № 2.;
URL: http://science-education.ru/ru/article/view?id=1468 (дата звернення: 14.07.2019). Пропонуємо до вашої уваги журнали, що видаються у видавництві «Академія Природознавства»

Якщо сила переміщає тіло на деяку відстань, вона здійснює над тілом роботу.

Робота Ає добуток сили Fна переміщення s.

Робота – величина скалярна.

Одиниця СІ роботи

Робота постійної сили

Якщо сила Fпостійна у часі та її напрямок збігається з напрямком переміщення тіла, то робота Wзнаходиться за формулою:

Тут:
W(Е)- досконала робота (Джоуль)
F- Постійна сила, що збігається у напрямку з переміщенням (Ньютон)
s- переміщення тіла (метр)

Робота постійної сили, спрямованої під кутом до переміщення

Якщо сила та переміщення становлять між собою кут ? < 90?, то перемещение следует умножать на составляющую силы в направлении перемещения (или силу умножать на составляющую перемещения в направлении действия силы).

Тут:
? - кут між вектором сили та вектором переміщення

Робота змінної сили, спрямованої під кутом до переміщення, формула

Якщо сила не стала за величиною і є функцією переміщення F =F(s), та спрямована під кутом ? до переміщення, робота є інтеграл від сили по переміщенню.

Площа під кривою на графіку залежності Fвід sдорівнює роботі, виконаній даною силою

Робота проти сил тертя

Якщо тіло рухається з постійною швидкістю (рівномірно) проти сил тертя, то над ним відбувається робота
W = Fs. При цьому сила Fзбігається у напрямку з переміщенням sі дорівнює за величиною силою тертя Fтр. Робота проти сил тертя перетворюється на теплову енергію.

Тут:
A- робота проти сил тертя (Джоуль)
Fтр- сила тертя (Ньютон)
? - Коефіцієнт тертя
Fнорм- Сила нормального тиску (Ньютон)
s- переміщення (метр)

Робота сили тертя на похилій площині, формула

Під час руху тіла вгору по похилій площині відбувається робота проти сили тяжіння та сили тертя. У цьому випадку сила, що діє в напрямку переміщення, складається з сили, що скочує Fскта сили тертя Fтр. Відповідно до формули (1)

Робота у гравітаційному полі

Якщо тіло переміщається в гравітаційному полі на значну відстань, то роботу, що виконується проти сил гравітаційного тяжіння (наприклад, роботу для виведення ракети в космос) не можна обчислити за формулою A=mg· hтому, що сила тяжіння Gобернено пропорційна відстані між центрами мас.

Робота, що здійснюється під час переміщення тіла вздовж радіуса в гравітаційному полі, визначається як інтеграл

Див. Таблицю інтегралів

Тут:
А- робота проти гравітаційної сили (Джоуль)
m1- Маса першого тіла (кг)
m2- Маса другого тіла (кг)
r- відстань між центрами мас тіл (метр)
r1- Початкова відстань між центрами мас тіл (метр)
r2- кінцева відстань між центрами мас тіл (метр)
G- гравітаційна постійна 6.67 · 10-11 (м3/(кг · сек2))

Величина роботи Aне залежить від форми шляху від точки r1до r2, оскільки до формули входять лише радіальні складові drпереміщення, що збігаються з напрямом сили тяжіння.

формула (3) справедлива у разі будь-яких небесних тіл.

Робота, що витрачається на деформацію

Визначення: Робота, що витрачається на деформаціюпружних тіл також накопичується в цих тілах у вигляді потенційної енергії.

Потужність

Потужністю Pназивається відношення довільної роботи Адо часу t, протягом якого відбувається робота.

Одиниця СІ потужності:

Середня потужність

Якщо:
P- Середня потужність (Ват)
А(W)- Робота (Джоуль)
t- Час витрачений на виконання роботи (секунд)
то

Якщо робота пропорційна часу, W~tто потужність постійна.

Коефіцієнт корисної дії, ККД

Кожна машина споживає більшу потужність, ніж віддає, оскільки в ній відбуваються втрати потужності (за рахунок тертя, опору повітря, нагрівання тощо)

Коефіцієнт корисної діїє ставлення корисної роботи до витраченої роботи.

Якщо:
? - Коефіцієнт корисної дії, ККД
Аполез- корисна робота, тобто. корисна або ефективна потужність, що дорівнює підведеній потужності мінус потужність втрат,
Азатр- Витрачена робота, звана також номінальною, приводною чи індикаторною потужністю

Загальний коефіцієнт корисної дії

При багаторазовому перетворенні чи передачі енергії загальний коефіцієнт корисної дії дорівнює добутку ККД на всіх щаблях перетворення енергії: