Якщо множаться (або діляться) два ступені, у яких різні підстави, але однакові показники, то їх підстави можна перемножити (або поділити), а показник ступеня результату залишити таким же як у множників (або дільника і дільника).
У загальному вигляді математичною мовою ці правила записуються так:
a m × b m = (ab) m
a m ÷ b m = (a/b) m
При розподілі b не може бути 0, тобто друге правило треба доповнити умовою b ≠ 0.
Приклади:
2 3 × 3 3 = (2 × 3) 3 = 63 = 36 × 6 = 180 + 36 = 216
6 5 ÷ 3 5 = (6 ÷ 3) 5 = 2 5 = 32
Тепер на цих конкретних прикладах доведемо, що правила-властивості ступенів з однаковими показниками є вірними. Розв'яжемо ці приклади так, ніби ми не знаємо про властивості ступенів:
2 3 × 3 3 = (2 × 2 × 2) × (3 × 3 × 3) = 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 3 = 8 × 27 = 160 + 56 = 216
65 ÷ 35 = (6 × 6 × 6 × 6 × 6) ÷ (3 × 3 × 3 × 3 × 3) == 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 32
Як бачимо, відповіді збіглися з тими, що були отримані, коли використовувалися правила. Знання цих правил дозволяє спростити обчислення.
Зверніть увагу, що вираз 2×2×2×3×3×3 можна представити у такому вигляді:
(2 × 3) × (2 × 3) × (2 × 3).
Цей вираз у свою чергу є чимось іншим як (2 × 3) 3. тобто 6 3 .
Розглянуті властивості ступенів з однаковими показниками можуть бути використані у зворотний бік. Наприклад, скільки буде 18 2?
18 2 = (3 × 3 × 2) 2 = 3 2 × 3 2 × 2 2 = 9 × 9 × 4 = 81 × 4 = 320 + 4 = 324
Властивості ступенів також використовуються при вирішенні прикладів:
= 2 4 × 3 6 = 2 4 × 3 4 × 3 × 3 = 6 4 × 3 2 = 6 2 × 6 2 × 3 2 = (6 × 6 × 3) 2 = 108 2 = 108 × 108 = 108 ( 100 + 8) = 10800 + 864 = 11664
Мають однакові ступенів, а показники ступенів неоднакові, 2? * 2?
2² * 2³ = 2²⁺³ = 2⁵ = 32
Якщо члени добутку ступенів мають різні підстави ступенів, а показники ступенів однакові, наприклад, 2? * 5?
2³ * 5³ = (2*5)³ = 10³ = 1000
Якщо ступеня, що перемножуються, рівні між собою, наприклад, 5³ * 5³ , то результатом буде ступінь з основою, що дорівнює цим однаковим основам ступенів, зведена в показник ступеня, що дорівнює показнику ступенів, помноженого на кількість цих однакових ступенів.
5³ * 5³ = (5³)² = 5³*² = 5⁶ = 15625
Або інший приклад із таким самим результатом:
5² * 5² * 5² = (5²)³ = 5²*³ = 5⁶ = 15625
Джерела:
- Що таке ступінь із натуральним показником
- добуток ступенів
Математичні дії зі ступенями можна виконувати тільки в тому випадку, коли основи показників ступеня однакові, і коли між ними стоять знаки множення чи поділу. Основа показника ступеня – це число, яке зводиться до ступеня.
Інструкція
Якщо числа діляться один на одного (см 1), то у (в даному прикладі - це число 3) з'являється ступінь, який утворюється з віднімання показників ступеня. Причому ця дія проводиться прямо: з першого показника віднімається другий. Приклад 1. Введемо: (а)в, де в дужках – а - основа, за дужками – в – показник ступеня. (6)5: (6)3 = (6)5-3 = (6) 2 = 6*6 = 36.Якщо у відповіді виходить число в негативному ступені, то таке число перетворюється на звичайний дріб, у чисельнику якого стоїть одиниця , а в знаменнику основу з отриманим при різниці показником ступеня, тільки в позитивному вигляді (зі знаком плюс). Приклад 2. (2) 4: (2)6 = (2) 4-6 = (2) -2 = 1/(2)2 = ¼. Розподіл ступенів може бути записаний в іншому вигляді, через знак дробу, а не як зазначено в цьому кроці через знак ":". Від цього принцип рішення не змінюється, все робиться так само, тільки запис буде вестися зі знаком горизонтального (або косого) дробу, замість двокрапки. Приклад 3. (2) 4 /(2)6 = (2) 4-6 = (2 ) -2 = 1/(2)2 = ¼.
При множенні однакових основ, що мають ступеня, проводиться складання ступенів. Приклад 4. (5) 2* (5)3 = (5)2+3 =(5)5 = 3125.Якщо показники ступенів мають різні знаки, їх складення проводиться відповідно до математичним законам.Приклад 5. (2)1* (2)-3 = (2) 1+(-3) = (2) -2 = 1/(2)2 = ¼.
Якщо підстави показників ступеня різняться, то найшвидше їх можна призвести до того самого виду, шляхом математичного перетворення. Приклад 6. Нехай треба визначити значення виразу: (4)2: (2)3. Знаючи, що число чотири можна як два у квадраті, вирішується даний приклад так:(4)2: (2)3 = (2*2)2: (2)3. Далі під час зведення у ступінь числа. Вже має ступінь показники ступенів множаться один на одного: ((2)2)2: (2)3 = (2)4: (2)3 = (2) 4-3 = (2)1 = 2.
Корисна порада
Пам'ятайте, якщо ця основа здається несхожою на другу основу, треба шукати математичний вихід. Просто так різні числа не даються. Хіба що в підручнику набірником зроблено друкарську помилку.
Ступеневий формат запису числа - це скорочена форма запису операції множення основи на себе. З числом, поданим у такій формі, можна здійснювати ті ж операції, що і з будь-якими іншими числами, в тому числі зводити їх у ступінь. Наприклад, можна звести в довільний ступінь квадрат числа та отримання результату на сучасному розвитку техніки не складе будь-якої труднощі.
Вам знадобиться
- Доступ до Інтернету або калькулятор Windows.
Інструкція
Для зведення квадрата в ступінь використовуйте загальне правило зведення в ступінь, що вже має статечний показник. За такої операції показники перемножуються, а підстава залишається незмінною. Якщо підставу позначити як x, а вихідний та додатковий показники - як a і b, записати це правило у загальному вигляді можна так: (xᵃ)ᵇ = xᵃᵇ.
Кожна арифметична операція часом стає занадто громіздкою для запису і намагаються спростити. Колись так було і з операцією додавання. Людям було необхідно проводити багаторазове однотипне складання, наприклад, порахувати вартість ста перських килимів, вартість якого становить 3 золоті монети за кожен. 3+3+3+…+3 = 300. Через громіздкість було придумано скоротити запис до 3 * 100 = 300. Фактично запис «три помножити на сто» означає, що потрібно взяти сто трійок і скласти між собою. Множення прижилося, набуло загальної популярності. Але світ не стоїть на місці, і в середньовіччі виникла необхідність проводити багаторазове однотипне множення. Згадується стара індійська загадка про мудреця, який попросив у нагороду за виконану роботу пшеничних зерен у такій кількості: за першу клітку шахівниці він просив одне зерно, за другу – два, третю – чотири, п'яту – вісім і так далі. Так з'явилося перше множення ступенів, адже кількість зерен дорівнювала двійці в ступені номера клітини. Наприклад, на останній клітині було б 2*2*2*…*2 = 2^63 зерен, що дорівнює числу завдовжки 18 знаків, у чому, власне, і криється сенс загадки.
Операція зведення в ступінь прижилася досить швидко, також швидко виникла необхідність проводити додавання, віднімання, розподіл і множення ступенів. Останнє і варто розглянути докладніше. Формули для складання ступенів прості і легко запам'ятовуються. До того ж, легко зрозуміти, звідки вони беруться, якщо операцію ступеня замінити множенням. Але спочатку слід розібратися в елементарній термінології. Вираз a^b (читається «а ступеня b») означає, що число a слід помножити саме він b раз, причому «a» називається основою ступеня, а «b» - статечним показником. Якщо підстави ступенів однакові, то формули виводяться дуже просто. Конкретний приклад: визначити значення виразу 2^3 * 2^4. Щоб знати, що має вийти, слід перед початком рішення дізнатися відповідь на комп'ютері. Забивши цей вираз у будь-який онлайн-калькулятор, пошуковик, набравши "множення ступенів з різними підставами і однаковими" або математичний пакет, на виході вийде 128. Тепер розпишемо цей вислів: 2^3 = 2*2*2, а 2^4 = 2 *2*2*2. Виходить, що 2^3 * 2^4 = 2*2*2*2*2*2*2 = 2^7 = 2^(3+4) . Виходить, що добуток ступенів з однаковою основою дорівнює підставі, зведеній у ступінь, що дорівнює сумі двох попередніх ступенів.
Можна подумати, що це випадковість, але ні: будь-який інший приклад зможе лише підтвердити це правило. Отже, у вигляді формула виглядає так: a^n * a^m = a^(n+m) . Також існує правило, що будь-яке число в нульовому ступені дорівнює одиниці. Тут слід згадати правило негативних ступенів: a^(-n) = 1/a^n. Тобто якщо 2^3 = 8, то 2^(-3) = 1/8. Використовуючи це можна довести справедливість рівності a^0 = 1: a^0 = a^(n-n) = a^n * a^(-n) = a^(n) * 1/a^(n) , a^ (n) можна скоротити та залишається одиниця. Звідси виводиться і те правило, що приватне ступенів з однаковими основами дорівнює цій підставі в ступені, що дорівнює приватному показнику дільника і дільника: a^n: a^m = a^(n-m) . Приклад: спростити вираз 2^3 * 2^5 * 2^(-7) *2^0: 2^(-2) . Множення є комутативною операцією, отже спочатку слід зробити додавання показників множення: 2^3 * 2^5 * 2^(-7) *2^0 = 2^(3+5-7+0) = 2^1 =2. Далі слід розібратися з розподілом на негативний ступінь. Необхідно відняти показник дільника з показника ділимого: 2^1: 2^(-2) = 2^(1-(-2)) = 2^(1+2) = 2^3 = 8. Виявляється, операція поділу на негативну ступінь тотожна операції множення на аналогічний позитивний показник. Таким чином, остаточна відповідь дорівнює 8.
Існують приклади, де є не канонічне множення ступенів. Перемножити ступені з різними підставами дуже часто буває набагато складніше, а часом взагалі неможливо. Слід навести кілька прикладів різних можливих прийомів. Приклад: спростити вираз 3^7 * 9^(-2) * 81^3 * 243^(-2) * 729. Очевидно, має місце множення ступенів з різними основами. Але, слід зазначити, що всі підстави є різними ступенями трійки. 9 = 3^2,1 = 3^4,3 = 3^5,9 = 3^6. Використовуючи правило (a^n) ^m = a^(n*m) , слід переписати вираз у зручнішому вигляді: 3^7 * (3^2) ^(-2) * (3^4) ^3 * ( 3^5) ^(-2) * 3^6 = 3^7 * 3^(-4) * 3^(12) * 3^(-10) * 3^6 = 3^(7-4+12 -10 +6) = 3 ^ (11) . Відповідь: 3^11. У випадках, коли різні підстави, на рівні показники працює правило a n * b n = (a b) n. Наприклад, 3^3 * 7^3 = 21^3. В іншому, коли різні підстави та показники, зробити повне множення не можна. Іноді можна частково спростити або вдатися до допомоги обчислювальної техніки.
Очевидно, що числа зі ступенями можуть складатися, як інші величини шляхом їхнього складання одне за одним зі своїми знаками.
Так, сума a 3 та b 2 є a 3 + b 2 .
Сума a3-bn і h5-d4 є a3-bn+h5-d4.
Коефіцієнти однакових ступенів однакових зміннихможуть складатися або відніматися.
Так, сума 2a 2 та 3a 2 дорівнює 5a 2 .
Це також очевидно, що якщо взяти два квадрати а, або три квадрати а, або п'ять квадратів а.
Але ступеня різних зміннихі різні ступені однакових змінних, повинні складатися їх складанням зі своїми знаками.
Так, сума a 2 та a 3 є сума a 2 + a 3 .
Це очевидно, що квадрат числа a, і куб числа a, не дорівнює подвійному квадрату a, але подвоєному кубу a.
Сума a 3 b n і 3a 5 b 6 є a 3 b n + 3a 5 b 6 .
Відніманняступенів проводиться таким же чином, що і додавання, за винятком того, що знаки віднімаються повинні відповідно бути змінені.
Або:
2a 4 - (-6a 4) = 8a 4
3h 2 b 6 - 4h 2 b 6 = -h 2 b 6
5(a - h) 6 - 2(a - h) 6 = 3(a - h) 6
Помноження ступенів
Числа зі ступенями можуть бути помножені, як і інші величини шляхом написання їх одне за одним, зі знаком множення або без нього між ними.
Так, результат множення a3 на b2 дорівнює a3b2 або aaabb.
Або:
x -3 ⋅ a m = a m x -3
3a 6 y 2 ⋅ (-2x) = -6a 6 xy 2
a 2 b 3 y 2 ⋅ a 3 b 2 y = a 2 b 3 y 2 a 3 b 2 y
Результат в останньому прикладі може бути упорядкований шляхом складання однакових змінних.
Вираз набуде вигляду: a 5 b 5 y 3 .
Порівнюючи кілька чисел(змінних) зі ступенями, ми можемо побачити, що якщо будь-які два з них множаться, то результат - це число (змінна) зі ступенем, що дорівнює суміступенів доданків.
Так, a 2 .a 3 = aa.aaa = aaaaa = a 5 .
Тут 5 - це ступінь результату множення, що дорівнює 2 + 3, сумі ступенів доданків.
Так, a n a m = a m + n .
Для a n a береться як множник стільки разів, скільки дорівнює ступінь n;
І a m береться як множник стільки разів, скільки дорівнює ступінь m;
Тому, ступеня з однаковими основами можуть бути помножені шляхом складання показників ступенів.
Так, a 2 .a 6 = a 2+6 = a 8 . І x3.x2.x = x3+2+1 = x6.
Або:
4a n ⋅ 2a n = 8a 2n
b 2 y 3 ⋅ b 4 y = b 6 y 4
(b + h - y) n ⋅ (b + h - y) = (b + h - y) n+1
Помножте (x 3 + x 2 y + xy 2 + y 3) ⋅ (x - y).
Відповідь: x 4 – y 4 .
Помножте (x3+x-5) ⋅ (2x3+x+1).
Це справедливо і для чисел, показники ступеня яких - негативні.
1. Так, a -2. a -3 = a -5. Це можна записати у вигляді (1/aa). (1/aaa) = 1/aaaaa.
2. y-n. y-m = y-n-m.
3. a -n. am = am-n.
Якщо a + b множаться на a - b, результат дорівнюватиме a 2 - b 2: тобто
Результат множення суми чи різниці двох чисел дорівнює сумі чи різниці їх квадратів.
Якщо множиться сума та різниця двох чисел, зведених у квадрат, результат дорівнюватиме сумі або різниці цих чисел в четвертоїступеня.
Так, (a - y). (a + y) = a2 - y2.
(a 2 - y 2)⋅(a 2 + y 2) = a 4 - y 4 .
(a 4 - y 4)⋅(a 4 + y 4) = a 8 - y 8 .
Розподіл ступенів
Числа зі ступенями можуть бути поділені, як і інші числа, відбираючи від дільника дільника, або розміщенням їх у формі дробу.
Таким чином a 3 b 2 поділений на b 2 , дорівнює a 3 .
Або:
$\frac(9a^3y^4)(-3a^3) = -3y^4$
$\frac(a^2b + 3a^2)(a^2) = \frac(a^2(b+3))(a^2) = b + 3$
$ frac (d cdot (a - h + y) ^ 3) ((a - h + y) ^ 3) = d $
Запис a 5 поділеного на a 3 виглядає як $\frac(a^5)(a^3)$. Але це одно a 2 . У ряді чисел
a +4 , a +3 , a +2 , a +1 , a 0 , a -1 , a -2 , a -3 , a -4 .
будь-яке число може бути поділено на інше, а показник ступеня дорівнюватиме різниціпоказників ділених чисел.
При розподілі ступенів з однаковою основою їх показники віднімаються..
Так, y3: y2 = y3-2 = y1. Тобто $\frac(yyy)(yy) = y$.
І a n+1:a = n+1-1 = a n . Тобто $\frac(aa^n)(a) = a^n$.
Або:
y 2m: y m = y m
8a n+m: 4a m = 2a n
12(b + y) n: 3(b + y) 3 = 4(b + y) n-3
Правило також справедливе і для чисел з негативнимизначеннями ступенів.
Результат поділу a-5 на a-3, дорівнює a-2.
Також, $\frac(1)(aaaaa) : \frac(1)(aaa) = \frac(1)(aaaaa).\frac(aaa)(1) = \frac(aaa)(aaaaa) = \frac (1) (aa) $.
h 2:h -1 = h 2+1 = h 3 або $h^2:\frac(1)(h) = h^2.\frac(h)(1) = h^3$
Необхідно дуже добре засвоїти множення та поділ ступенів, оскільки такі операції дуже широко застосовуються в алгебрі.
Приклади розв'язання прикладів з дробами, що містять числа зі ступенями
1. Зменшіть показники ступенів $\frac(5a^4)(3a^2)$ Відповідь: $\frac(5a^2)(3)$.
2. Зменшіть показники ступенів $\frac(6x^6)(3x^5)$. Відповідь: $\frac(2x)(1)$ або 2x.
3. Зменшіть показники ступенів a 2 /a 3 та a -3 /a -4 та приведіть до спільного знаменника.
a 2 .a -4 є a -2 перший чисельник.
a 3 .a -3 є a 0 = 1, другий чисельник.
a 3 .a -4 є a -1 загальний чисельник.
Після спрощення: a -2 /a -1 та 1/a -1 .
4. Зменшіть показники ступенів 2a 4 /5a 3 та 2 /a 4 та приведіть до спільного знаменника.
Відповідь: 2a 3 /5a 7 та 5a 5 /5a 7 або 2a 3 /5a 2 та 5/5a 2 .
5. Помножте (a 3 + b)/b 4 (a - b)/3.
6. Помножте (a 5 + 1)/x 2 (b 2 - 1)/(x + a).
7. Помножте b4/a-2 на h-3/x та an/y-3.
8. Розділіть a4/y3 на a3/y2. Відповідь: a/y.
9. Розділіть (h 3 - 1)/d 4 на (d n + 1)/h.
Якщо вам потрібно звести якесь конкретне число на ступінь, можете скористатися . А зараз ми докладніше зупинимося на властивості ступенів.
Експонентні числавідкривають великі можливості, вони дозволяють нам перетворити множення на додавання, а складати набагато легше, ніж множити.
Наприклад, нам треба помножити 16 на 64. Добуток від множення цих двох чисел дорівнює 1024. Але 16 – це 4х4, а 64 – це 4х4х4. Тобто 16 на 64 = 4x4x4x4x4, що також дорівнює 1024.
Число 16 можна також у вигляді 2х2х2х2, а 64 як 2х2х2х2х2х2, і якщо зробити множення, ми знову отримаємо 1024.
А тепер використовуємо правило. 16=4 2 , чи 2 4 , 64=4 3 , чи 2 6 , до того ж час 1024=6 4 =4 5 , чи 2 10 .
Отже, наше завдання можна записати по-іншому: 4 2 х4 3 =4 5 або 2 4 х2 6 =2 10 і щоразу ми отримуємо 1024.
Ми можемо вирішити ряд аналогічних прикладів і побачимо, що множення чисел зі ступенями зводиться до складання показників ступеня, або експонент, зрозуміло, за умови, що підстави співмножників рівні.
Отже, ми можемо, не виробляючи множення, відразу сказати, що 2 4 х2 2 х2 14 =2 20 .
Це правило справедливе також і при розподілі чисел зі ступенями, але в цьому випадку е кспонента дільника віднімається з експоненти діленого. Отже, 2 5:2 3 =2 2 , що у звичайних числах дорівнює 32:8=4, тобто 2 2 . Підіб'ємо підсумки:
a m x a n = a m+n , a m: a n = a m-n де m і n — цілі числа.
З першого погляду може здатися, що таке множення та розподіл чисел зі ступенямине дуже зручно, адже спочатку треба уявити число в експоненційній формі. Неважко уявити в такій формі числа 8 і 16, тобто 23 і 24, але як це зробити з числами 7 і 17? Або як чинити в тих випадках, коли число можна подати в експоненційній формі, але підстави експоненційних виразів чисел сильно різняться. Наприклад, 8×9 – це 2 3 х3 2 і в цьому випадку ми не можемо підсумовувати експоненти. Ні 2 5 і ні 3 5 не є відповіддю, відповідь також не лежить в інтервалі між цими двома числами.
Тоді чи варто взагалі возитися із цим методом? Безперечно стоїть. Він дає величезні переваги, особливо при складних та трудомістких обчисленнях.
