Другая схема описания экспериментов с неоднозначно прогнозируемыми исходами, которая позволяет довольно просто ввести количественную характеристику осуществимости того или иного события - это схема геометрических вероятностей, которая, как и рассмотренная выше схема случаев, эксплуатирует идею оравновозможности исходов эксперимента.
Аналогично тому, как это было проделано в схеме случаев, количественная характеристика осуществимости события - его вероятность - определяется как нормированная некоторым образом величина, пропорциональная запасу исходов, благоприятствующих осуществлению события.
Пусть множество исходов исследуемого эксперимента может быть описано как множество П точек некоторого «геометрического континуума» - каждому исходу соответствует некоторая точка и каждой точке отвечает некоторый исход. В качестве «геометрического континуума» Q может выступать отрезок на прямой, дуга спрямляемой кривой на плоскости или в пространстве, квадрируемое множество на плоскости (треугольник, прямоугольник, круг, эллипс и т.п.) или часть квадрируемой поверхности, некоторый объем в пространстве (многогранник - призма, пирамида, шар, эллипсоид и т. п.)
Событием назовем любое квадрируемое подмножество множества
Как и в схеме случаев, событие состоит из точек-и сходов, однако уже не любая совокупность исходов образует событие, а только такая, меру которой (длину, площадь, объем) мы можем измерить.
Предполагая равновозможность исходов, назовем вероятностью события А число, пропорциональное мере подмножества А множества П:
Геометрические вероятности
Если 0 - событие, невозможное в данном эксперименте, a Q - достоверное, то положим Р(0) = О, = 1. Вероятность любого события А будет при этом заключена между нулем - вероятностью события невозможного, и единицей - вероятностью события достоверного4*. Условие нормировки позволяет найти константу к - коэффициент пропорциональности, задающий вероятность. Он оказывается равен
Таким образом, в схеме геометрических вероятностей вероятность любого события определяется как отношение меры подмножества А, описывающего событие, к мере множества il, описывающего эксперимент в целом:
Отметим некоторые свойства так определенной вероятности:
Свойство очевидно следует из того обстоятельства, что множество, содержащееся внутри другого, не может быть больше последнего.
Как и в схеме случаев, события в схеме геометрических вероятностей можно объединять, совмещать и строить на их основе противоположные - при этом будут получаться, вообще говоря, отличные от исходных события. Следующее свойство весьма важно.
3. Если события - несовместны, то в частности, справедлив принцип дополнительности:
Это свойство, называемое обычно правилом сложения вероятностей, очевидно следует из аддитивности меры5*.
В заключение отметим, что вероятность осуществления любого исхода в схеме геометрических вероятностей всегда равна нулю, равно как равна нулю вероятность любого события, описываемого «тощим» множеством точек, т.е. множеством, мера которого (соответственно - длина, площадь, объем) равна нулю.
Рассмотрим несколько примеров, иллюстрирующих вычисление вероятностей в схеме геометрических вероятностей.
Пример 1. Эксперимент состоит в случайном выборе точки из отрезка [а, 6|. Найти вероятность того,
что выбрана точка, лежащая в левой половине рассматриваемого отрезка.
4 По определению, вероятность выбора точки из любого множества на отрезке больше нуля, а их произведение отрицательно.
Ответ: 0;25.
4.6. Во время боевой учебы н-ская эскадрилья бомбардировщиков получила задание атаковать нефтебазу “противника”. На территории нефтебазы, имеющей форму прямоугольника со сторонами 30 и 50 м, находятся четыре круглых нефтебака диаметром 10 м каждый. Найдите вероятность прямого поражения нефтебаков бомбой, попавшей на территорию нефтебазы, если попадание бомбы в любую точку этой базы равновероятно.
Ответ: π/15.
4.7. Два действительных числа x и y выбираются наудачу так, что сумма их квадратов меньше 100. Какова вероятность, что сумма квадратов этих чисел окажется больше 64?
Ответ: 0;36.
4.8. Двое друзей условились встретиться между 13 и 14 часами. Пришедший первым ждет второго в течение 20 минут, после чего уходит. Определите вероятность встречи друзей, если моменты их прихода в указанном промежутке времени равновозможны.
Ответ: 5/9.
4.9. Два парохода должны подойти к одному и тому же причалу. Время прихода обоих пароходов равновозможно в течение данных суток. Определите вероятность того, что одному из пароходов придется ожидать освобождения причала, если время стоянки первого парохода равно одному часу, а второго - двум часам.
Ответ: ≈ 0;121.
4.10. Наудачу взяты два положительных числа x и y, каждое из которых не превышает двух. Найдите вероятность того, что произведение x · y будет не больше единицы, а частное y/x не больше двух.
Ответ: ≈ 0;38.
4.11. В области G, ограниченной эллипсоидом 
, наудачу зафиксирована точка. Какова вероятность того, что координаты (x; y; z) этой точки будут удовлетворять неравенству x 2 +y 2 +z 2 ≤4?
Ответ: 1/3.
4.12. В прямоугольник с вершинами R(-2;0), L(-2;9), M (4;9), N (4;0) брошена точка. Найдите вероятность того, что ее координаты будут удовлетворять неравенствам 0 ≤ y ≤ 2x – x 2 +8.
Ответ: 2/3.
4.13. Область G ограничена окружностью x 2 + y 2 = 25, а область g - этой окружностью и параболой 16x - 3y 2 > 0. Найдите вероятность попадания в область g.
Ответ: ≈ 0;346.
4.14. Наудачу взяты два положительных числа x и y, каждое из которых не превышает единицы. Найдите вероятность того, что сумма x + y не превышает единицы, а произведение x · y не меньше 0,09.
Ответ: ≈ 0;198.
Статистическое определение вероятности
Задача 2. Стрелок делает один выстрел по мишени. Оценить вероятность того, что он попадет в цель.
Решение. В данном опыте возможны два исхода: либо стрелок попал в цель (событие A ), либо он промахнулся (событие). События A и несовместны и образуют полную группу. Однако в общем случае не известно равновозможны они или нет. Поэтому в этом случае использовать классическое определение вероятности случайного события нельзя. Решить задачу можно, используя статистическое определение вероятности случайного события.
Определение 1.12. Относительной частотой события A называют отношение числа испытаний, в которых событие A появилось, к общему числу фактически произведенных испытаний.
Таким образом, относительная частота события A может быть вычислена по формуле
где k – число появлений события A , l – общее число испытаний.
Замечание 1.2. Основное отличие относительной частоты события A от его классической вероятности заключается в том, что относительная частота всегда находится по итогам проведенных испытаний. Для вычисления же классической вероятности ставить опыт не нужно.
Длительные наблюдения показали, что если в одинаковых условиях производить серии опытов, в каждой из которых число испытаний достаточно велико, то относительная частота обнаруживает свойство устойчивости . Это свойство состоит в том, что в различных сериях опытов относительная частота W(A ) изменяется мало (тем меньше, чем больше произведено испытаний), колеблясь около некоторого постоянного числа.
В качестве статистической вероятности события принимают относительную частоту или число, близкое к ней.
Вернемся к задаче 2 о вычислении вероятности события A (стрелок попадет в цель). Для ее решения необходимо провести несколько серий из достаточно большого числа выстрелов по мишени в одних и тех же условиях. Это позволит вычислить относительную частоту и оценить вероятность события A .
Недостатком статистического определения является неоднозначность статистической вероятности. Например, если W(A )»0,4, то в качестве вероятности события A можно принять и 0,4, и 0,39, и 0,41.
Замечание 1.3. Статистическое определение вероятности позволяет преодолеть второй недостаток классического определения вероятности.
Пусть на плоскости имеются фигуры G и g , причем g ÌG (рис. 1.1).
|
Замечание 1.4. В случае, когда g и G – отрезки прямой, вероятность события A равна отношению длин этих отрезков. Если g и G – тела в трехмерном пространстве, то вероятность события A находят как отношение объемов этих тел. Поэтому в общем случае где mes – метрика рассматриваемого пространства. Замечание 1.5. Геометрическое определение вероятности применяется к испытаниям с бесконечным числом исходов. Пример 1.13. Два лица договорились встретиться в определенном месте между 12 и 13 ч., причем каждый пришедший на встречу ждет другого в течение 20 мин., но не дольше, чем до 13.00, после чего уходит. Найти вероятность встречи этих лиц, если каждый из них приходит в случайный момент времени, не согласованный с моментом прихода другого. Решение. Пусть событие A – встреча состоялась. Обозначим через x – время прихода первого лица на встречу, y - время прихода второго лица. Тогда множество всех возможных исходов опыта – множество всех пар (x , y ), где x , y Î . А множество благоприятствующих исходов определяется неравенством |x – y | £ 20 (мин). Оба этих множества бесконечны, поэтому классическое определение для вычисления вероятности применить нельзя. Воспользуемся геометрическим определением. На рис. 1.2 изображены множества всех возможных исходов (квадрат OKMT ) и благоприятствующих исходов (шестиугольник OSLMNR ). Используя определение 1.13, получим Сумма и произведение событий. Теоремы о вероятности суммы и произведения событий Определение 1.14. Суммой событий A и B называют событие, состоящее в появлении хотя бы одного из них. Обозначение: A + B . Определение 1.15. Произведением событий A и B называют событие, состоящее в одновременном наступлении этих событий в одном и том же опыте. Обозначение: AB . Пример 1.14. Из колоды в 36 карт вынута одна карта наугад. Введем обозначения: A – вынутая карта оказалась дамой, B – вынули карту пиковой масти. Найти вероятности событий A + B и AB . Решение. Событие A + B произойдет, если вынутая карта будет пиковой масти или дамой. Значит, рассматриваемому событию благоприятствуют 13 исходов (любая из 9 карт пиковой масти, любая из 3 дам другой масти) из 36 возможных. Используя классическое определение вероятности случайного события, получим Событие AB наступит, если вынутая карта будет пиковой масти и дамой. Следовательно, событию AB благоприятствует только один исход опыта (пиковая дама) из 36 возможных. С учетом определения 1.11 получим Замечание 1.6. Определения суммы и произведения событий можно распространить на любое число событий. При вычислении вероятности суммы и произведения событий удобно использовать следующие утверждения. Теорема 1.1. Вероятность появления одного из двух несовместных событий, безразлично какого именно, равна сумме вероятностей этих событий P(A +B )=P(A )+P(B ). Следствие 1.1. Вероятность появления одного из нескольких попарно несовместных событий, безразлично какого, равна сумме вероятностей этих событий P(A 1 +A 2 +…+A n )=P(A 1)+P(A 2)+…+P(A n ). Следствие 1.2. Сумма вероятностей попарно несовместных событий A 1 , A 2 ,…, A n , образующих полную группу, равна единице P(A 1)+P(A 2)+…+P(A n )=1. Следствие 1.3. Вероятность противоположного события Случайное событие было определено как событие, которое в результате опыта может произойти или не произойти. Если при вычислении вероятности события никаких других ограничений (кроме условий опыта) не налагается, то такую вероятность называют безусловной. Если же налагаются и другие дополнительные условия, то вероятность события называют условной. Определение 1.16. Условной вероятностью P B (A ) (или P(A |B )) называют вероятность события A , вычисленную в предположении, что событие B уже произошло. Используя понятие условной вероятности, дадим определение независимости событий, отличное от приведенного раннее. Определение 1.17. Событие A независимо от события B , если имеет место равенство В практических вопросах для определения независимости данных событий редко обращаются к проверке выполнения для них равенств (1.3) и (1.4). Обычно для этого пользуются интуитивными соображениями, основанными на опыте. Определение 1.18. Несколько событий называют попарно независимыми , если каждые два из них независимы. Определение 1.19. Несколько событий называют независимыми в совокупности , если они попарно независимы и независимы каждое событие и все возможные произведения остальных. Теорема 1.2. Вероятность совместного появления двух событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, вычисленную в предположении, что первое событие уже наступило. В зависимости от выбора порядка следования событий теорема 1.2 может быть записана в виде P(AB ) = P(A )P A (B ) P(AB ) = P(B )P B (A ). Следствие 1.4. Вероятность совместного появления нескольких событий равна произведению вероятности одного из них на условные вероятности всех остальных, причем вероятность каждого последующего события вычисляется в предположении, что все предыдущие события уже появились При этом порядок, в котором расположены события, может быть выбран любым. Пример 1.15. В урне 6 белых и 3 черных шара. Из урны наудачу вынимают по одному шару до появления черного. Найти вероятность того, что придется проводить четвертое вынимание, если шары в урну обратно не возвращают. Решение. В рассматриваемом опыте нужно проводить четвертое вынимание, если первые три шара окажутся белыми. Обозначим через A i событие, состоящее в том, что при i -ом вынимании появится белый шар (i = 1, 2, 3). Задача заключается в отыскании вероятности события A 1 A 2 A 3 . Поскольку вынутые шары обратно не возвращают, события A 1 , A 2 и A 3 являются зависимыми (каждое предыдущее влияет на возможность появления следующего). Для вычисления вероятности воспользуемся следствием 1.4 и классическим определением вероятности случайного события, именно Следствие 1.5. Вероятность совместного появления двух независимых событий равна произведению их вероятностей P(AB )=P(A )P(B ). Следствие 1.6. Вероятность совместного появления нескольких событий, независимых в совокупности, равна произведению их вероятностей P(A 1 A 2 …A n )=P(A 1)P(A 2)…P(A n ). Пример 1.16. Решить задачу из примера 1.15, считая, что после каждого вынимания шары возвращают обратно в урну. Решение. Как и прежде (пример 1.15) нужно найти P(A 1 A 2 A 3). Однако события A 1 , A 2 и A 3 являются независимыми в совокупности, т.к. состав урны при каждом вынимании одинаковый и, следовательно, результат отдельного испытания не влияет на другие. Поэтому для вычисления вероятности воспользуемся следствием 1.6 и определением 1.11 вероятности случайного события, а именно P(A 1 A 2 A 3)=P(A 1)P(A 2)P(A 3)= = . Теорема 1.3. Вероятность появления хотя бы одного из двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного появления
Замечание 1.7. При использовании формулы (1.5) надо иметь в виду, что события A и B могут быть как зависимыми, так и независимыми. Пример 1.17. Два стрелка сделали по одному выстрелу по мишени. Известно, что вероятность попадания в мишень для одного из стрелков равна 0,6, а для другого – 0,7. Найти вероятность того, что а) оба стрелка попадут в мишень (событие D ); б) только один из стрелков попадет в мишень (событие E ); в) хотя бы один из стрелков попадет в мишень (событие F ). Решение. Введем обозначения: A – первый стрелок попал в мишень, B – второй стрелок попал в мишень. По условию P(A ) = 0,6 и P(B ) = 0,7. Ответим на поставленные вопросы. а) Событие D произойдет, если возникнет событие AB . Поскольку события A и B независимые, то с учетом следствия 1.5 получим P(D ) = P(AB ) = P(A )P(B ) = 0,6×0,7 = 0,42. б) Событие E произойдет, если появится одно из событий A или B . Эти события несовместны, а события A () и B () независимые, поэтому по теореме 1.1, следствиям 1.3 и 1.5 будем иметь P(E ) = P(A + B ) = P(A ) + P(B ) = P(A )P() + P()P(B ) = 0,6×0,3 + 0,4×0,7 = 0,46. в) Событие F возникнет, если появится хотя бы одно из событий A или B . Эти события совместны. Следовательно, по теореме 1.3, имеем P(F ) = P(A +B ) = P(A ) + P(B ) - P(AB ) = 0,6 + 0,7 - 0,42 = 0,88. Отметим, что вероятность события F можно было вычислить иначе. А именно P(F ) = P(A + B + AB ) = P(A ) + P(B ) + P(AB ) = 0,88 P(F ) = 1 - P() = 1 - P()P() = 1 – 0,4×0,3 = 0,88. Формула полной вероятности. Формулы Байеса Пусть событие A может наступить при условии появления одного из несовместных событий B 1 , B 2 ,…, B n , образующих полную группу. Поскольку заранее не известно, какое из этих событий наступит, их называют гипотезами . Оценить вероятность появления события A до проведения опыта можно, используя следующее утверждение. Теорема 1.4. Вероятность события A , которое может наступить лишь при условии появления одного из несовместных событий B 1 , B 2 ,…, B n , образующих полную группу, равна
Формула (1.6) носит название формулы полной вероятности . Пример 1.18. Для сдачи экзамена студентам было необходимо подготовить 30 вопросов. Из 25 студентов 10 подготовили все вопросы, 8 – 25 вопросов, 5 – 20 вопросов и 2 – 15 вопросов. Найти вероятность того, что вызванный наудачу студент ответит на поставленный вопрос. Решение. Введем следующие обозначения: A – событие, состоящее в том, что вызванный наудачу студент ответил на поставленный вопрос, B 1 - вызванный наудачу студент знает ответы на все вопросы, B 2 - вызванный наудачу студент знает ответы на 25 вопросов, B 3 - вызванный наудачу студент знает ответы на 20 вопросов и B 4 - вызванный наудачу студент знает ответы на 15 вопросов. Заметим, что события B 1 , B 2 , B 3 и B 4 несовместны, образуют полную группу, и событие A может наступить при условии появления одного из этих событий. Следовательно, для вычисления вероятности события A можно использовать формулу полной вероятности (1.6): По условию задачи известны вероятности гипотез P(B 1) = , P(B 2) = , P(B 3) = , P(B 4) = и условные вероятности (вероятности для студентов каждой из четырех групп ответить на поставленный вопрос) 1, = , = , = . Таким образом, P(A ) = ×1 + × + × + × = . Допустим, что произведено испытание, в результате которого появилось событие A , причем какое из событий B i (i =1, 2,…, n ) произошло исследователю не известно. Оценить вероятности гипотез после того, как становится известным результат испытания, можно с помощью формул Байеса
Здесь P(A ) вычисляется по формуле полной вероятности (1.6). Пример 1.19. На некоторой фабрике машина I производит 40% всей продукции, а машина II – 60%. В среднем 9 из 1000 единиц продукции, произведенной машиной I, оказывается браком, а у машины II – брак 4 единицы из 500. Некоторая единица продукции, выбранная случайным образом из дневной продукции, оказалась браком. Какова вероятность, что она произведена на машине II? Решение. Введем обозначения: A – событие, состоящее в том, что единица продукции, выбранная случайным образом из дневной продукции, оказалась браком, B i - единица продукции, выбранная наугад, изготовлена машиной i (i = I, II). События B 1 и B 2 несовместны и образуют полную группу, причем событие A может возникнуть только в результате появления одного из этих событий. Известно, что событие A произошло (выбранная наудачу единица продукции оказалась браком). Какое именно из событий B 1 или B 2 при этом имело место неизвестно, т.к. неизвестно на какой из двух машин изготовлено выбранное изделие. Оценку вероятности гипотезы B 2 можно провести по формуле Байеса (1.7): где вероятность случайного выбора бракованного изделия вычисляется по формуле полной вероятности (1.6): Учитывая, что по условию задачи P(B 1) = 0,40, P(B 2) = 0,60, = 0,009, = 0,008, Последовательность независимых испытаний В научной и практической деятельности постоянно приходится проводить многократно повторяющиеся испытания в сходных условиях. Как правило, при этом результаты предшествующих испытаний никак не сказываются на последующих. Очень важен простейший тип таких испытаний, когда в каждом из испытаний некоторое событие A может появиться с одной и той же вероятностью и эта вероятность остается одной и той же, не зависимо от результатов предшествующих или последующих испытаний. Этот тип испытаний был впервые исследован Якобом Бернулли, и поэтому получил наименование схемы Бернулли. Схема Бернулли. Пусть производится n независимых испытаний в сходных условиях (или один и тот же опыт проводится n раз), в каждом из которых событие A может появиться либо не появиться. При этом вероятность появления события A в каждом испытании одна и та же и равна p . Следовательно, вероятность ненаступления события A в каждом отдельном испытании также постоянна и равна q = 1 - p . Вероятность того, что в этих условиях событие A осуществится ровно k раз (и, следовательно, не осуществится n – k раз) можно найти по формуле Бернулли
При этом порядок появления события A в указанных n испытаниях может быть произвольным. Пример 1.20. Вероятность того, что покупателю потребуется обувь 41-го размера, равна 0,2. Найти вероятность того, что из 5 первых покупателей обувь этого размера понадобится: а) одному; б) по крайней мере одному; в) не менее трем; г) более одного и менее четырех. Решение. В этом примере один и тот же опыт (выбор обуви) проводится 5 раз, причем вероятность события A – выбрана обувь 41-го размера – постоянна и равна 0,2. Кроме того, результат каждого отдельного испытания не влияет на другие опыты, т.к. покупатели выбирают обувь независимо друг от друга. Следовательно, имеем последовательность испытаний, проводимых по схеме Бернулли, в которой n = 5, p = 0,2, q = 0,8. Для ответа на поставленные вопросы нужно вычислить вероятности P 5 (k ). Воспользуемся формулой (1.8). а) P 5 (1) = = 0,4096; б) P 5 (k ³ 1) = 1 - P 5 (k < 1) = 1 - P 5 (0) = 1- = 0,67232; в) P 5 (k ³ 3) = P 5 (3) + P 5 (4) + P 5 (5) = + + = =0,5792; г) P 5 (1 < k < 4) = P 5 (2) + P 5 (3) = + = 0,256. Использование формулы Бернулли (1.32) при больших значениях п и т вызывает большие трудности, так как это связано с громоздкими вычислениями. Так, при п = 200, т = 116, р = 0,72 формула Бернулли принимает вид Р 200 (116) = (0,72) 116 (0,28) 84 . Подсчитать результат практически невозможно. Вычисление Р п (т) вызывает затруднения также при малых значениях р (q). Возникает необходимость в отыскании приближенных формул для вычисления Р п (т), обеспечивающих необходимую точность. Такие формулы дают нам предельные теоремы; они содержат так называемые асимптотические формулы, которые при больших значениях испытаний дают сколь угодно малую относительную погрешность. Рассмотрим три предельные теоремы, содержащие асимптотические формулы для вычисления биномиальной вероятности Р п (т) при п. Теорема 1.5. Если число испытаний неограничено увеличивается (п) и вероятность р наступления события А в каждом испытании неограничено уменьшается (p), но так, что их произведение пр является постоянной величиной (пр = а = const), то вероятность Р п (т) удовлетворяет предельному равенству Выражение (1.9) называется асимптотической формулой Пуассона. Из предельного равенства (1.9) при больших п и малых р вытекает приближенная формула Пуассона Формулу (1.10) применяют, когда вероятность р = const успеха крайне мала, т. е. сам по себе успех (появление события А) является редким событием (например, выигрыш автомобиля по лотерейному билету), но количество испытаний п велико, среднее число успехов пр = а незначительно. Приближенную формулу (1.10) обычно используют, когда п 50, а пр 10. Формула Пуассона находит применение в теории массового обслуживания. Потоком событий называют последовательность событий, наступающих в случайные моменты времени (например, поток посетителей в парикмахерской, поток вызовов на телефонной станции, поток отказов элементов, поток обслуженных абонентов и т.п.). Поток событий, обладающий свойствами стационарности, ординарности и отсутствия последствия называется простейшим (пуассоновским) потоком. Свойство стационарности означает, что вероятность появления k событий на участке времени длины зависит только от его длины (т. е. не зависит от начала его отсчета). Следовательно, среднее число событий, появляющихся в единицу времени, так называемая интенсивность потока, есть величина постоянная: (t ) = . Свойство ординарности означает, что событие появляется не группами, а поодиночке. Другими словами, вероятность появления более одного события на малый участок времени t пренебрежительно мала по сравнению с вероятностью появления только одного события (например, поток катеров, подходящих к причалу, ординарен). Свойство отсутствия последствия означает, что вероятность появления к событий на любом участке времени длины не зависит от того, сколько событий появилось на любом другом не пересекающимся с ним участком (говорят: «будущее» потока не зависит от «прошлого», например, поток людей, входящих в супермаркет). Можно доказать, что вероятность появления т событий простейшего потока за время продолжительностью t определяется формулой Пуассона. Пользоваться формулой Бернулли при больших значениях n достаточно трудно, т.к. при этом приходится выполнять действия над громадными числами. Упростить вычисления можно, пользуясь таблицами факториалов или применяя технические средства (калькулятор, ЭВМ). Но в этом случае в процессе вычислений накапливаются погрешности. Поэтому окончательный результат может значительно отличаться от истинного. Возникает необходимость применения приближенных (асимптотических ) формул . Замечание 1.8. Функцию g (x ) называют асимптотическим приближением функции f (x ), если. Теорема 1.6. (Локальная теорема Муавра-Лапласа ) Если вероятность p появления события A в каждом испытании постоянна и отлична от 0 и 1, а число независимых испытаний достаточно велико, то вероятность того, что событие A появится в n испытаниях, проводимых по схеме Бернулли, ровно k раз, приближенно равна (тем точнее, чем больше n ) График функции имеет вид, изображённый на рис. 1.3. Следует учитывать, что: а) функция φ(x) чётная, т. е. φ(-x) = φ(x); Для функции j (x ) составлены таблицы значений при x ³ 0. При x < 0 пользуются теми же таблицами, т.к. функция j (x ) чётная. Теорема 1.7. (Интегральная теорема Муавра-Лапласа ) Если вероятность p наступления события A в каждом испытании постоянна и отлична от 0 и 1, то вероятность P n (k 1 , k 2) того, что событие A появится в n испытаниях, проводимых по схеме Бернулли, от k 1 до k 2 раз, приближенно равна Здесь z 1 и z 2 определены в (1.14). Пример 1.21. Всхожесть семян оценивается вероятностью 0,85. Найдите вероятность того, что из 500 высеянных семян взойдет: а) 425 семян; б) от 425 до 450 семян. Решение. Здесь, как и в предыдущем примере, имеется последовательность независимых испытаний, проводимых по схеме Бернулли (опыт – посадка одного семени, событие A – семя взошло): n = 500, p = 0,85, q = 0,15. Поскольку число испытаний велико (n > 100), воспользуемся при вычислении требуемых вероятностей асимптотическими формулами (1.10) и (1.13). б) »F(3,13)–F(0)»0,49. Если число испытаний n , проводимых по схеме Бернулли, велико, а вероятность p появления события A в каждом из них мала (p £ 0,1), то асимптотическая формула Лапласа непригодна. В этом случае используют асимптотическую формулу Пуассона
где l = np . Пример 1.22. Магазин получил 1000 бутылок минеральной воды. Вероятность того, что при перевозке бутылка окажется разбитой, равна 0,003. Найдите вероятность того, что магазин получит разбитых бутылок: а) ровно 2; б) менее 2; в) хотя бы одну. Решение. В данной задаче имеется последовательность независимых испытаний, проводимых по схеме Бернулли (опыт – проверка одной бутылки на целостность, событие A – бутылка разбилась): n = 1000, p = 0,003, q = 0,997. Т.к. число испытаний велико (n > 100), а вероятность p мала (p < 0,1) воспользуемся при вычислении требуемых вероятностей формулой Пуассона (1.14), учитывая, что l =3. а) = 4,5e -3 » 0,224; б) P 1000 (k < 2) = P 1000 (0) + P 1000 (1) » + = 4e -3 » 0,199; в) P 1000 (k ³ 1) = 1 - P 1000 (k < 1) = 1 - P 1000 (0) » 1 - = 1 - e -3 » 0,95. Локальная и интегральная теоремы Муавра–Лапласа являются следствиями более общей центральной предельной теоремы . Многие непрерывные случайные величины имеют нормальное распределение. Это обстоятельство во многом определяется тем, что суммирование большого числа случайных величин с самыми разными законами распределения приводит к нормальному распределению этой суммы. Теорема . Если случайная величина представляет собой сумму очень большого числа взаимно независимых случайных величин, влияние каждой из которых на всю сумму ничтожно мало, то имеет распределение, близкое к нормальному . Центральная предельная теорема имеет огромное значение для практики. Допустим, определяется некоторый экономический показатель, например, потребление электроэнергии в городе за год. Величина суммарного потребления складывается из потребления энергии отдельными потребителями, которая имеет случайные значения с разными распределениями. Теорема утверждает, что в этом случае, какое бы распределение не имели отдельные составляющие, распределение результирующего потребления будет близко к нормальному. |
