تعريف الفردي والزوجي. كيفية تحديد الوظائف الفردية والزوجية

الأصفار الوظيفية
صفر الدالة هو القيمة X، حيث تصبح الوظيفة 0 ، أي f (x) = 0.

الأصفار هي نقاط تقاطع الرسم البياني للدالة مع المحور أوه.

تكافؤ الوظائف
يتم استدعاء الوظيفة حتى لو كانت لأي منها Xمن مجال التعريف ، المساواة f (-x) = f (x)

الدالة الزوجية متناظرة حول المحور OU

وظيفة غريبة
تسمى الوظيفة الفردية إذا وجدت Xمن مجال التعريف ، يتم استيفاء المساواة f (-x) = -f (x).

الدالة الفردية متناظرة فيما يتعلق بالأصل.
تسمى الوظيفة التي ليست زوجية ولا فردية وظيفة عامة.

زيادة الوظيفة
تسمى الوظيفة f (x) زيادة إذا كانت القيمة الأكبر للوسيطة تتوافق مع القيمة الأكبر للدالة ، أي x 2> x 1 → f (x 2)> f (x 1)

وظيفة المتناقصة
تسمى الوظيفة f (x) بالتناقص إذا كانت القيمة الأكبر للوسيطة تتوافق مع القيمة الأصغر للدالة ، أي x 2> x 1 → f (x 2)
يتم استدعاء الفترات التي تتناقص فيها الوظيفة فقط أو تزيد فقط فترات من الرتابة. الوظيفة f (x) لها 3 فترات من الرتابة:
(-∞ × 1) ، (× 1 ، × 2) ، (× 3 ؛ +)

أوجد فترات من الرتابة باستخدام فترات الخدمة لزيادة الدوال المتناقصة

الحد الأقصى المحلي
نقطة × 0تسمى النقطة القصوى المحلية إن وجدت Xمن حي نقطة ما × 0تحمل المتباينة التالية: f (x 0)> f (x)

الحد الأدنى المحلي
نقطة × 0تسمى نقطة دنيا محلية إن وجدت Xمن حي نقطة ما × 0تحمل المتباينة التالية: f (x 0)< f(x).

تسمى النقاط القصوى المحلية والنقاط الدنيا المحلية بالنقاط القصوى المحلية.

× 1 ، × 2 - النقاط القصوى المحلية.

دورية الوظيفة
تسمى الوظيفة f (x) دورية ، مع نقطة تي، إن وجدت Xو (س + T) = و (س).

فترات الثبات
الفترات التي تكون فيها الوظيفة إما موجبة فقط أو سلبية فقط تسمى فترات من الإشارة الثابتة.

f (x)> 0 لـ x∈ (x 1، x 2) ∪ (x 2، + ∞)، f (x)<0 при x∈(-∞,x 1)∪(x 1 , x 2)

استمرارية الوظيفة
تسمى الوظيفة f (x) بشكل مستمر عند النقطة x 0 إذا كان حد الوظيفة مثل x → x 0 يساوي قيمة الوظيفة في هذه النقطة ، أي .

نقاط الكسر
تسمى النقاط التي يتم فيها انتهاك حالة الاستمرارية بنقاط انقطاع الوظيفة.

× 0- نقطة الانهيار.

المخطط العام لوظائف التآمر

1. أوجد مجال الوظيفة D (y).
2. أوجد نقاط تقاطع الرسم البياني للوظائف مع محاور الإحداثيات.
3. تحقق من وظيفة زوجي أو فردي.
4. التحقيق في وظيفة دورية.
5. أوجد فترات الرتابة والنقاط القصوى للوظيفة.
6. ابحث عن فترات التحدب ونقاط انعطاف الوظيفة.
7. أوجد الخطوط المقاربة للوظيفة.
8. بناءً على نتائج الدراسة ، قم ببناء رسم بياني.

مثال:استكشف الدالة وابني رسمها البياني: y = x 3 - 3x
8) بناءً على نتائج الدراسة ، سنقوم بإنشاء رسم بياني للوظيفة:

إلى الأمام

انتباه! تعد معاينة الشريحة للأغراض الإعلامية فقط وقد لا تمثل النطاق الكامل للعرض التقديمي. إذا كنت مهتمًا بهذا العمل ، فيرجى تنزيل النسخة الكاملة.

الأهداف:

• لتشكيل مفهوم الوظائف الفردية والزوجية ، لتعليم القدرة على تحديد واستخدام هذه الخصائص في دراسة الوظائف والتخطيط ؛
• لتنمية النشاط الإبداعي للطلاب والتفكير المنطقي والقدرة على المقارنة والتعميم ؛
• لزراعة الاجتهاد والثقافة الرياضية. تطوير مهارات الاتصال .

معدات:تركيب الوسائط المتعددة ، السبورة التفاعلية ، النشرات.

أشكال العمل:أمامي وجماعي مع عناصر أنشطة البحث والبحث.

مصدر المعلومات:

1. فئة الجبر 9 A.G. مردكوفيتش. كتاب مدرسي.
2. الجبر الصف 9 A.G. مردكوفيتش. كتاب المهام.
3. الجبر الصف 9. مهام تعلم وتنمية الطلاب. Belenkova E.Yu. ليبيدينتسيفا إي.

أثناء الفصول

1. لحظة تنظيمية

تحديد أهداف الدرس وغاياته.

2. فحص الواجبات المنزلية

رقم 10.17 (كتاب المشكلة الصف التاسع موردكوفيتش).

أ) في = F(X), F(X) =

ب) F (–2) = –3; F (0) = –1; F(5) = 69;

ج) 1. د ( F) = [– 2; + ∞)
2. E ( F) = [– 3; + ∞)
3. F(X) = 0 من أجل X ~ 0,4
4. F(X)> 0 في X > 0,4 ; F(X) < 0 при – 2 < X < 0,4.
5. تزيد الوظيفة مع X € [– 2; + ∞)
6. الوظيفة محدودة من الأسفل.
7. فيتأجير = - 3 ، فينيب غير موجود
8. الوظيفة مستمرة.

(هل استخدمت خوارزمية استكشاف الميزات؟) الانزلاق.

2. دعنا نتحقق من الجدول الذي طُلب منك في الشريحة.

املأ الجدول
	اِختِصاص	الأصفار الوظيفية	فترات الثبات		إحداثيات نقاط تقاطع الرسم البياني مع Oy
		س = -5 ، س = 2	х € (–5 ؛ 3) يو يو (2 ؛ ∞)	х € (–∞ ؛ –5) يو يو (–3 ؛ 2)
	س ∞ -5 ، س ≠ 2		х € (–5 ؛ 3) يو يو (2 ؛ ∞)	х € (–∞ ؛ –5) يو يو (–3 ؛ 2)
	س ≠ -5 ، س ≠ 2		× € (–∞ ؛ –5) يو يو (2 ؛ ∞)	× يورو (–5 ؛ 2)

3. تحديث المعرفة

- يتم إعطاء الوظائف.
- تحديد مجال التعريف لكل وظيفة.
- قارن قيمة كل دالة لكل زوج من قيم الوسيطة: 1 و - 1 ؛ 2 و - 2.
- لأي من الوظائف المعينة في مجال التعريف هي التكافؤ F(– X) = F(X), F(– X) = – F(X)? (ضع البيانات في الجدول) الانزلاق

		F(1) و F(– 1)	F(2 و F(– 2)	الرسوم البيانية	F(– X) = –F(X)	F(– X) = F(X)
1. F(X) =
2. F(X) = X 3
3. F(X) = | X |
4.F(X) = 2X – 3
5. F(X) =	X ≠ 0
6. F(X)=	X > –1		وليس معرفا.

4. مادة جديدة

- أثناء القيام بهذا العمل ، يا رفاق ، كشفنا عن خاصية أخرى للوظيفة ، غير مألوفة بالنسبة لك ، ولكنها لا تقل أهمية عن غيرها - هذا هو تكافؤ الوظيفة وغرابةها. اكتب موضوع الدرس: "الوظائف الفردية والزوجية" ، مهمتنا هي معرفة كيفية تحديد الدوال الفردية والزوجية ، ومعرفة أهمية هذه الخاصية في دراسة الدوال والتخطيط.
فلنجد التعاريف في الكتاب المدرسي ونقرأها (ص 110) . الانزلاق

ديف. واحدوظيفة في = F (X) المحددة في المجموعة X يسمى حتى في، إذا كان لأي قيمة XЄ X قيد التقدم المساواة f (–x) = f (x). أعط أمثلة.

ديف. 2وظيفة ص = و (س)المحدد في المجموعة X يسمى غريب، إذا كان لأي قيمة XЄ X تم استيفاء المساواة f (–х) = –f (). أعط أمثلة.

أين التقينا بمصطلحي "زوجي" و "فردي"؟
أي من هذه الوظائف ستكون زوجية ، هل تعتقد؟ لماذا ا؟ أيهما غريب؟ لماذا ا؟
لأي وظيفة من وظائف النموذج في= x ن، أين نهو عدد صحيح ، يمكن القول بأن الوظيفة فردية بالنسبة نهو فردي والدالة زوجية ل ن- حتى في.
- عرض الوظائف في= و في = 2X- 3 ليست زوجية ولا فردية لأن لم تتحقق المساواة F(– X) = – F(X), F(– X) = F(X)

تسمى دراسة مسألة ما إذا كانت الوظيفة زوجية أو فردية دراسة دالة من أجل التكافؤ.الانزلاق

يتعامل التعريفان 1 و 2 مع قيم الوظيفة عند x و - x ، وبالتالي يُفترض أن الوظيفة تُعرّف أيضًا بالقيمة X، وفي - X.

المساعدة الإنمائية الرسمية 3.إذا كان الرقم الذي تم تعيينه مع كل عنصر من عناصره x يحتوي على العنصر المعاكس x ، فإن المجموعة Xتسمى المجموعة المتماثلة.

أمثلة:

(–2 ؛ 2) ، [–5 ؛ 5] ؛ (∞ ؛ ∞) هي مجموعات متماثلة ، و [–5 ؛ 4] غير متماثلة.

- هل حتى الوظائف لها مجال تعريف - مجموعة متماثلة؟ الغريبون؟
- إذا د ( F) هي مجموعة غير متماثلة ، فما هي الوظيفة إذن؟
- هكذا إذا كانت الوظيفة في = F(X) زوجي أو فردي ، فإن مجال تعريفه هو D ( F) هي مجموعة متماثلة. لكن هل العكس صحيح ، إذا كان مجال الوظيفة مجموعة متماثلة ، فهل يكون ذلك زوجيًا أم فرديًا؟
- لذا فإن وجود مجموعة متماثلة لمجال التعريف هو شرط ضروري ، لكنه ليس شرطًا كافيًا.
- إذن كيف يمكننا التحقيق في دالة التكافؤ؟ دعنا نحاول كتابة خوارزمية.

الانزلاق

خوارزمية لفحص دالة من أجل التكافؤ

1. حدد ما إذا كان مجال الوظيفة متماثلًا. إذا لم يكن الأمر كذلك ، فإن الوظيفة ليست زوجية ولا فردية. إذا كانت الإجابة بنعم ، فانتقل إلى الخطوة 2 من الخوارزمية.

2. اكتب تعبيرًا عن F(–X).

3. قارن F(–X).و F(X):

• لو F(–X).= F(X) ، ثم الوظيفة زوجية ؛
• لو F(–X).= – F(X) ، إذن الوظيفة فردية ؛
• لو F(–X) ≠ F(X) و F(–X) ≠ –F(X) ، فإن الوظيفة ليست زوجية ولا فردية.

أمثلة:

التحقيق في وظيفة التكافؤ أ) في= × 5 + ؛ ب) في= ؛ في) في= .

قرار.

أ) ح (س) \ u003d × 5 + ،

1) D (h) = (–∞؛ 0) U (0؛ + ∞) ، مجموعة متماثلة.

2) ح (- س) \ u003d (-x) 5 + - x5 - \ u003d - (× 5 +) ،

3) ح (- س) \ u003d - ح (س) \ u003d \ u003e وظيفة ح (خ)= x 5 + فردي.

ب) ص = ،

في = F(X) ، D (و) = (–∞ ؛ –9)؟ (–9 ؛ + ∞) ، مجموعة غير متماثلة ، لذا فإن الوظيفة ليست زوجية ولا فردية.

في) F(X) =، y = f (x)،

1) د ( F) = (–∞ ؛ 3] ≠ ؛ ب) (؛ –2) ، (–4 ؛ 4]؟

الخيار 2

1. هل المجموعة المعينة متماثلة: أ) [–2 ؛ 2] ؛ ب) (∞ ؛ 0] ، (0 ؛ 7)؟

أ)؛ ب) ص \ u003d س (5 - × 2). 2. افحص وظيفة التكافؤ:

أ) ص \ u003d × 2 (2x - × 3) ، ب) ص \ u003d

3. في التين. مؤامرة في = F(X) للجميع X، تلبية الشرط X? 0.
ارسم الوظيفة في = F(X)، لو في = F(X) هي دالة زوجية.

3. في التين. مؤامرة في = F(X) ، لجميع س مرضية؟ 0.
ارسم الوظيفة في = F(X)، لو في = F(X) هي دالة فردية.

الاختيار المتبادل الانزلاق.

6. الواجب المنزلي: №11.11, 11.21,11.22;

إثبات المعنى الهندسي لخاصية التكافؤ.

*** (تعيين خيار الاستخدام).

1. يتم تعريف الدالة الفردية y \ u003d f (x) على الخط الحقيقي بأكمله. لأي قيمة غير سالبة للمتغير x ، تتطابق قيمة هذه الدالة مع قيمة الدالة g ( X) = X(X + 1)(X + 3)(X- 7). أوجد قيمة الدالة h ( X) = في X = 3.

7. تلخيص

تعريف 1. الوظيفة تسمى حتى في (غريب ) إذا كان جنبًا إلى جنب مع كل قيمة من قيم المتغير
المعنى - Xينتمي أيضا
والمساواة

وبالتالي ، يمكن أن تكون الوظيفة زوجية أو فردية فقط عندما يكون مجال تعريفها متماثلًا فيما يتعلق بالأصل على الخط الحقيقي (الأرقام Xو - Xتنتمي في وقت واحد
). على سبيل المثال ، الوظيفة
ليس زوجيًا ولا فرديًا ، نظرًا لمجال تعريفه
غير متماثل حول الأصل.

وظيفة
حتى بسبب
متماثل فيما يتعلق بأصل الإحداثيات و.

وظيفة
غريب بسبب
و
.

وظيفة
ليس زوجيًا ولا فرديًا ، لأن بالرغم من ذلك
وهو متماثل فيما يتعلق بالأصل ، لم تتحقق المساواة (11.1). علي سبيل المثال،.

الرسم البياني للدالة الزوجية متماثل حول المحور OU، منذ إذا كانت النقطة

ينتمي أيضًا إلى الرسم البياني. الرسم البياني للدالة الفردية متماثل حول الأصل ، لأنه إذا
ينتمي إلى الرسم البياني ، ثم النقطة
ينتمي أيضًا إلى الرسم البياني.

عند إثبات ما إذا كانت الوظيفة زوجية أو فردية ، تكون العبارات التالية مفيدة.

نظرية 1. أ) مجموع الدالتين الزوجية (الفردية) هو دالة زوجية (فردية).

ب) حاصل ضرب وظيفتين زوجية (فردي) هو دالة زوجية.

ج) حاصل ضرب التابع الفردي والزوجي هو دالة فردية.

د) إذا Fهي وظيفة زوجية في المجموعة X، والوظيفة ز المحددة في المجموعة
، ثم الوظيفة
- حتى في.

ه) إذا Fهي وظيفة فردية في المجموعة X، والوظيفة ز المحددة في المجموعة
وزوجي (فردي) ، ثم الوظيفة
- زوجي (فردي).

دليل - إثبات. دعونا نثبت ، على سبيل المثال ، ب) ود).

ب) دع
و
بل هي وظائف. ثم ، لذلك. تعتبر حالة الدوال الفردية بالمثل
و
.

د) دع F هي دالة زوجية. ثم.

تم إثبات التأكيدات الأخرى للنظرية بالمثل. لقد تم إثبات النظرية.

نظرية 2. أي وظيفة
، المحددة في المجموعة X، المتماثل بالنسبة إلى الأصل ، يمكن تمثيله كمجموع دالة زوجية وفردية.

دليل - إثبات. وظيفة
يمكن كتابتها في النموذج

.

وظيفة
بل لأنه
، والوظيفة
أمر غريب لأن. هكذا،
، أين
- حتى و
هي وظيفة فردية. لقد تم إثبات النظرية.

تعريف 2. الوظيفة
اتصل دورية إذا كان هناك رقم
، مثل هذا لأي
أعداد
و
تنتمي أيضًا إلى مجال التعريف
والمساواة

هذا الرقم تياتصل فترة المهام
.

التعريف 1 يعني أنه إذا تي- فترة الوظيفة
ثم الرقم تيجدا هي فترة الوظيفة
(لأنه عند الاستبدال تيعلى ال - تييتم الحفاظ على المساواة). باستخدام طريقة الاستقراء الرياضي ، يمكن إثبات أنه إذا تي- فترة الوظيفة F، ثم و
، هي أيضًا فترة. ويترتب على ذلك أنه إذا كانت الوظيفة تحتوي على فترة ، فسيكون لها عدد لا نهائي من الفترات.

تعريف 3. يطلق على أصغر الفترات الموجبة للدالة اسمها الأساسية فترة.

نظرية 3. إذا تيهي الفترة الرئيسية للوظيفة F، ثم الفترات المتبقية هي مضاعفات منه.

دليل - إثبات. افترض العكس ، أي أن هناك فترة المهام F (> 0) ، ليست متعددة تي. ثم قسمة على ال تيمع الباقي نحصل عليه
، أين
. لذا

أي - فترة الوظيفة F، و
، الأمر الذي يتناقض مع حقيقة أن تيهي الفترة الرئيسية للوظيفة F. يأتي تأكيد النظرية من التناقض الذي تم الحصول عليه. لقد تم إثبات النظرية.

من المعروف أن الدوال المثلثية دورية. الفترة الرئيسية
و
يساوي
,
و
. أوجد فترة الدالة
. اسمحوا ان
هي فترة هذه الوظيفة. ثم

(مثل
.

ororor
.

المعنى تي، المحددة من المساواة الأولى ، لا يمكن أن تكون فترة ، لأنها تعتمد على X، بمعنى آخر. هي وظيفة X، ليس رقمًا ثابتًا. يتم تحديد الفترة من المساواة الثانية:
. هناك فترات عديدة لانهائية
يتم الحصول على أصغر فترة إيجابية عندما
:
. هذه هي الفترة الرئيسية للوظيفة
.

مثال على وظيفة دورية أكثر تعقيدًا هي وظيفة Dirichlet

لاحظ أنه إذا كان تيهو رقم منطقي ، إذن
و
هي أعداد منطقية تحت عقلانية Xوغير عقلاني عندما يكون غير عقلاني X. لذا

لأي رقم منطقي تي. لذلك ، أي رقم منطقي تيهي فترة وظيفة Dirichlet. من الواضح أن هذه الوظيفة ليس لها فترة رئيسية ، نظرًا لوجود أرقام منطقية موجبة تقترب بشكل تعسفي من الصفر (على سبيل المثال ، يمكن عمل رقم منطقي عن طريق الاختيار نتقترب بشكل تعسفي من الصفر).

نظرية 4. إذا كانت وظيفة F مجموعة على المجموعة Xولها فترة تي، والوظيفة ز مجموعة على المجموعة
، ثم الوظيفة المعقدة
أيضا فترة تي.

دليل - إثبات. لذلك لدينا

أي ، تم إثبات تأكيد النظرية.

على سبيل المثال ، منذ ذلك الحين كوس x لديه فترة
، ثم الوظائف
لها فترة
.

تعريف 4. يتم استدعاء الوظائف غير الدورية غير دورية .

. للقيام بذلك ، استخدم ورقة رسم بياني أو آلة حاسبة بيانية. حدد أي عدد من القيم الرقمية للمتغير المستقل س (displaystyle x)وعوضهم في الدالة لحساب قيم المتغير التابع ذ (displaystyle y). ضع الإحداثيات التي تم العثور عليها للنقاط على مستوى الإحداثيات ، ثم قم بتوصيل هذه النقاط لإنشاء رسم بياني للوظيفة.

• عوّض بالقيم الرقمية الموجبة في التابع س (displaystyle x)والقيم الرقمية السالبة المقابلة. على سبيل المثال ، إعطاء وظيفة و (س) = 2 × 2 + 1 (displaystyle f (x) = 2x ^ (2) +1). استبدل القيم التالية بداخله س (displaystyle x):

تحقق مما إذا كان الرسم البياني للدالة متماثلًا حول المحور ص.يشير التناظر إلى صورة معكوسة للرسم البياني حول المحور الصادي. إذا كان جزء الرسم البياني الموجود على يمين المحور y (القيم الموجبة للمتغير المستقل) يطابق جزء الرسم البياني الموجود على يسار المحور y (القيم السالبة للمتغير المستقل) ، الرسم البياني متماثل حول المحور y. إذا كانت الوظيفة متناظرة حول المحور y ، فإن الدالة تكون زوجية.

تحقق مما إذا كان الرسم البياني للوظيفة متماثلًا حول الأصل.الأصل هو النقطة ذات الإحداثيات (0،0). التناظر حول الأصل يعني أن القيمة موجبة ذ (displaystyle y)(ذات قيمة موجبة س (displaystyle x)) مع قيمة سالبة ذ (displaystyle y)(بقيمة سالبة س (displaystyle x)) والعكس صحيح. الدوال الفردية لها تناظر فيما يتعلق بالأصل.

تحقق مما إذا كان الرسم البياني للوظيفة به أي تناظر.النوع الأخير من الوظيفة هو دالة لا يحتوي رسمها البياني على تناظر ، أي أنه لا توجد صورة معكوسة بالنسبة لكل من المحور الصادي والنسبية إلى الأصل. على سبيل المثال ، إعطاء وظيفة.

• عوّض بعدة قيم موجبة وسالبة متطابقة في التابع س (displaystyle x):
• وفقًا للنتائج التي تم الحصول عليها ، لا يوجد تناظر. قيم ذ (displaystyle y)لقيم معاكسة س (displaystyle x)لا تتطابق وليست معاكسة. وبالتالي ، فإن الوظيفة ليست زوجية ولا فردية.
• يرجى ملاحظة أن الوظيفة و (س) = س 2 + 2 س + 1 (displaystyle f (x) = x ^ (2) + 2x + 1)يمكن كتابتها على هذا النحو: و (س) = (س + 1) 2 (displaystyle f (x) = (x + 1) ^ (2)). مكتوبة في هذا الشكل ، يبدو أن الوظيفة زوجية لأن هناك أس زوجي. لكن هذا المثال يثبت أن شكل الدالة لا يمكن تحديده بسرعة إذا كان المتغير المستقل محاطًا بأقواس. في هذه الحالة ، تحتاج إلى فتح الأقواس وتحليل الأس الناتج.

التي كانت مألوفة لك بدرجة أو بأخرى. ولوحظ أيضًا أن مخزون خصائص الوظيفة سيتم تجديده تدريجياً. سيتم مناقشة خاصيتين جديدتين في هذا القسم.

التعريف 1.

يتم استدعاء الوظيفة y \ u003d f (x) ، x є X ، حتى إذا كانت المساواة f (-x) \ u003d f (x) صحيحة لأي قيمة x من المجموعة X.

التعريف 2.

تسمى الوظيفة y \ u003d f (x) ، x є X ، غريبة إذا كانت المساواة f (-x) \ u003d -f (x) صحيحة لأي قيمة.

أثبت أن y = x 4 دالة زوجية.

قرار. لدينا: f (x) \ u003d x 4، f (-x) \ u003d (-x) 4. لكن (-x) 4 = x 4. ومن ثم ، بالنسبة لأي x ، المساواة f (-x) = f (x) ، أي الوظيفة زوجية.

وبالمثل ، يمكن إثبات أن الوظائف y - x 2 ، y \ u003d x 6 ، y - x 8 متساوية.

أثبت أن y = x 3 دالة فردية.

قرار. لدينا: f (x) \ u003d x 3، f (-x) \ u003d (-x) 3. لكن (-x) 3 = -x 3. ومن ثم ، بالنسبة لأي x ، المساواة f (-x) \ u003d -f (x) ، أي الوظيفة غريبة.

وبالمثل ، يمكن إثبات أن الوظائف y \ u003d x ، y \ u003d x 5 ، y \ u003d x 7 فردية.

لقد أقنعنا أنفسنا مرارًا وتكرارًا أن المصطلحات الجديدة في الرياضيات لها أصل "أرضي" ، أي يمكن تفسيرها بطريقة ما. هذا هو الحال بالنسبة لكل من الوظائف الفردية والزوجية. انظر: y - x 3، y \ u003d x 5، y \ u003d x 7 هي وظائف فردية ، بينما y \ u003d x 2، y \ u003d x 4، y \ u003d x 6 هي وظائف زوجية. وبشكل عام ، لأي دالة بالصيغة y \ u003d x "(أدناه سوف ندرس هذه الوظائف على وجه التحديد) ، حيث n هو رقم طبيعي ، يمكننا أن نستنتج: إذا كان n عددًا فرديًا ، فإن الوظيفة y \ u003d x " أمر غريب؛ إذا كان n عددًا زوجيًا ، فإن الوظيفة y = xn تكون زوجية.

هناك أيضًا وظائف ليست زوجية ولا فردية. هذه ، على سبيل المثال ، هي الوظيفة y \ u003d 2x + 3. في الواقع ، f (1) \ u003d 5 ، و f (-1) \ u003d 1. كما ترى ، هنا لا توجد هوية f (-x ) \ u003d f (x) ، ولا الهوية f (-x) = -f (x).

لذلك ، يمكن أن تكون الوظيفة زوجية أو فردية أو لا شيء.

عادة ما تسمى دراسة مسألة ما إذا كانت وظيفة معينة زوجية أو فردية دراسة وظيفة التكافؤ.

يتعامل التعريفان 1 و 2 مع قيم الوظيفة عند النقطتين x و -x. هذا يفترض أن الوظيفة محددة عند النقطة x والنقطة -x. هذا يعني أن النقطة -x تنتمي إلى مجال الوظيفة في نفس وقت النقطة x. إذا كانت المجموعة العددية X مع كل عنصر من عناصرها تحتوي على العنصر المعاكس -x ، فإن X تسمى المجموعة المتماثلة. لنفترض أن (-2، 2)، [-5، 5]، (-oo، + oo) مجموعات متماثلة ، بينما)