Ορισμός άρτιου και περιττού. Πώς να προσδιορίσετε άρτιες και περιττές συναρτήσεις

Συναρτήσεις μηδενικά
Το μηδέν της συνάρτησης είναι η τιμή Χ, στην οποία η συνάρτηση γίνεται 0, δηλαδή f(x)=0.

Μηδενικά είναι τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης της συνάρτησης με τον άξονα Ω.

Ισοτιμία συναρτήσεων
Μια συνάρτηση καλείται έστω και για οποιαδήποτε Χαπό το πεδίο ορισμού, η ισότητα f(-x) = f(x)

Μια άρτια συνάρτηση είναι συμμετρική ως προς τον άξονα OU

Περιττή συνάρτηση
Μια συνάρτηση λέγεται περιττή εάν υπάρχει Χαπό το πεδίο ορισμού, η ισότητα f(-x) = -f(x) ικανοποιείται.

Μια περιττή συνάρτηση είναι συμμετρική ως προς την αρχή.
Μια συνάρτηση που δεν είναι ούτε άρτια ούτε περιττή ονομάζεται γενική συνάρτηση.

Αύξηση συνάρτησης
Η συνάρτηση f(x) ονομάζεται αύξουσα αν η μεγαλύτερη τιμή του ορίσματος αντιστοιχεί στη μεγαλύτερη τιμή της συνάρτησης, δηλ. x 2 >x 1 → f(x 2)> f(x 1)

Λειτουργία μείωσης
Η συνάρτηση f(x) ονομάζεται φθίνουσα αν η μεγαλύτερη τιμή του ορίσματος αντιστοιχεί στη μικρότερη τιμή της συνάρτησης, δηλ. x 2 >x 1 → f(x 2)
Καλούνται τα διαστήματα στα οποία η συνάρτηση είτε μειώνεται είτε μόνο αυξάνεται διαστήματα μονοτονίας. Η συνάρτηση f(x) έχει 3 διαστήματα μονοτονίας:
(-∞ x 1), (x 1 , x 2), (x 3 ; +∞)

Βρείτε διαστήματα μονοτονίας χρησιμοποιώντας την υπηρεσία Διαστήματα αύξουσας και φθίνουσας συνάρτησης

Τοπικό μέγιστο
Τελεία x 0ονομάζεται τοπικό μέγιστο σημείο εάν υπάρχει Χαπό μια γειτονιά ενός σημείου x 0ισχύει η ακόλουθη ανισότητα: f(x 0) > f(x)

Τοπικό ελάχιστο
Τελεία x 0ονομάζεται τοπικό ελάχιστο σημείο εάν υπάρχει Χαπό μια γειτονιά ενός σημείου x 0ισχύει η ακόλουθη ανισότητα: f(x 0)< f(x).

Τα τοπικά μέγιστα σημεία και τα τοπικά ελάχιστα σημεία ονομάζονται τοπικά ακραία σημεία.

x 1 , x 2 - τοπικά ακραία σημεία.

Περιοδικότητα συνάρτησης
Η συνάρτηση f(x) ονομάζεται περιοδική, με περίοδο Τ, εάν υπάρχει Χ f(x+T) = f(x) .

Διαστήματα σταθερότητας
Τα διαστήματα στα οποία η συνάρτηση είναι είτε μόνο θετική είτε μόνο αρνητική ονομάζονται διαστήματα σταθερού πρόσημου.

f(x)>0 για x∈(x 1 , x 2)∪(x 2 , +∞), f(x)<0 при x∈(-∞,x 1)∪(x 1 , x 2)

Συνέχεια λειτουργίας
Η συνάρτηση f(x) ονομάζεται συνεχής στο σημείο x 0 αν το όριο της συνάρτησης ως x → x 0 είναι ίσο με την τιμή της συνάρτησης σε αυτό το σημείο, δηλ. .

ορια ΑΝΤΟΧΗΣ
Τα σημεία στα οποία παραβιάζεται η συνθήκη συνέχειας ονομάζονται σημεία ασυνέχειας της συνάρτησης.

x0- οριακό σημείο.

Γενικό σχήμα σχεδίασης συναρτήσεων

1. Βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης Δ(υ).
2. Να βρείτε τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης των συναρτήσεων με τους άξονες συντεταγμένων.
3. Διερευνήστε τη συνάρτηση για άρτιο ή περιττό.
4. Διερευνήστε τη συνάρτηση για περιοδικότητα.
5. Να βρείτε διαστήματα μονοτονίας και ακραία σημεία της συνάρτησης.
6. Να βρείτε διαστήματα κυρτότητας και καμπής της συνάρτησης.
7. Να βρείτε τις ασύμπτωτες της συνάρτησης.
8. Με βάση τα αποτελέσματα της μελέτης κατασκευάστε ένα γράφημα.

Παράδειγμα:Εξερευνήστε τη συνάρτηση και φτιάξτε τη γραφική παράσταση της: y = x 3 - 3x
8) Με βάση τα αποτελέσματα της μελέτης, θα κατασκευάσουμε ένα γράφημα της συνάρτησης:

Πίσω μπροστά

Προσοχή! Η προεπισκόπηση της διαφάνειας είναι μόνο για ενημερωτικούς σκοπούς και ενδέχεται να μην αντιπροσωπεύει την πλήρη έκταση της παρουσίασης. Εάν ενδιαφέρεστε για αυτό το έργο, κατεβάστε την πλήρη έκδοση.

Στόχοι:

• να σχηματίσει την έννοια των άρτιων και περιττών συναρτήσεων, να διδάξει την ικανότητα προσδιορισμού και χρήσης αυτών των ιδιοτήτων στη μελέτη συναρτήσεων, σχεδίαση γραφημάτων.
• να αναπτύξει τη δημιουργική δραστηριότητα των μαθητών, τη λογική σκέψη, την ικανότητα σύγκρισης, γενίκευσης.
• να καλλιεργήσουν την επιμέλεια, τη μαθηματική κουλτούρα. αναπτύξουν επικοινωνιακές δεξιότητες .

Εξοπλισμός:εγκατάσταση πολυμέσων, διαδραστικός πίνακας, φυλλάδια.

Μορφές εργασίας:μετωπική και ομαδική με στοιχεία ερευνητικών και ερευνητικών δραστηριοτήτων.

Πηγές πληροφοριών:

1. Άλγεβρα τάξη 9 A.G. Mordkovich. Σχολικό βιβλίο.
2. Άλγεβρα Βαθμός 9 A.G. Mordkovich. Βιβλίο εργασιών.
3. Άλγεβρα βαθμός 9. Καθήκοντα μάθησης και εξέλιξης των μαθητών. Belenkova E.Yu. Λεμπεντίντσεβα Ε.Α.

ΚΑΤΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ

1. Οργανωτική στιγμή

Καθορισμός στόχων και στόχων του μαθήματος.

2. Έλεγχος εργασιών για το σπίτι

Νο 10.17 (Προβληματικό βιβλίο 9ης τάξης A.G. Mordkovich).

ένα) στο = φά(Χ), φά(Χ) =

σι) φά (–2) = –3; φά (0) = –1; φά(5) = 69;

γ) 1. Δ( φά) = [– 2; + ∞)
2. Ε( φά) = [– 3; + ∞)
3. φά(Χ) = 0 για Χ ~ 0,4
4. φά(Χ) >0 στο Χ > 0,4 ; φά(Χ) < 0 при – 2 < Χ < 0,4.
5. Η συνάρτηση αυξάνεται με Χ € [– 2; + ∞)
6. Η λειτουργία περιορίζεται από κάτω.
7. στοενοικίαση = - 3, στοναιμπ δεν υπάρχει
8. Η συνάρτηση είναι συνεχής.

(Χρησιμοποιήσατε τον αλγόριθμο εξερεύνησης χαρακτηριστικών;) Ολίσθηση.

2. Ας ελέγξουμε τον πίνακα που σας ζητήθηκε στη διαφάνεια.

Γεμίστε τον πίνακα
	Τομέα	Συναρτήσεις μηδενικά	Διαστήματα σταθερότητας		Συντεταγμένες των σημείων τομής της γραφικής παράστασης με Oy
		x = -5, x = 2	х € (–5;3) U U(2;∞)	х € (–∞;–5) U U (–3;2)
	x ∞ -5, x ≠ 2		х € (–5;3) U U(2;∞)	х € (–∞;–5) U U (–3;2)
	x ≠ -5, x ≠ 2		x € (–∞; –5) U U(2;∞)	x € (–5; 2)

3. Ενημέρωση γνώσης

– Δίνονται οι λειτουργίες.
– Καθορίστε τον τομέα ορισμού για κάθε συνάρτηση.
– Συγκρίνετε την τιμή κάθε συνάρτησης για κάθε ζεύγος τιμών ορίσματος: 1 και – 1; 2 και - 2.
– Για ποιες από τις δεδομένες συναρτήσεις στο πεδίο ορισμού είναι οι ισότητες φά(– Χ) = φά(Χ), φά(– Χ) = – φά(Χ)? (βάλτε τα δεδομένα στον πίνακα) Ολίσθηση

		φά(1) και φά(– 1)	φά(2) και φά(– 2)	διαγράμματα	φά(– Χ) = –φά(Χ)	φά(– Χ) = φά(Χ)
1. φά(Χ) =
2. φά(Χ) = Χ 3
3. φά(Χ) = | Χ |
4.φά(Χ) = 2Χ – 3
5. φά(Χ) =	Χ ≠ 0
6. φά(Χ)=	Χ > –1		και δεν ορίζεται.

4. Νέο υλικό

- Κατά την εκτέλεση αυτής της εργασίας, παιδιά, αποκαλύψαμε μια ακόμη ιδιότητα της συνάρτησης, άγνωστη σε εσάς, αλλά όχι λιγότερο σημαντική από τις άλλες - αυτή είναι η ομοιότητα και η παραδοξότητα της συνάρτησης. Γράψτε το θέμα του μαθήματος: "Ζυγές και περιττές συναρτήσεις", καθήκον μας είναι να μάθουμε πώς να προσδιορίζουμε τις άρτιες και περιττές συναρτήσεις, να μάθουμε τη σημασία αυτής της ιδιότητας στη μελέτη των συναρτήσεων και την γραφική παράσταση.
Ας βρούμε, λοιπόν, τους ορισμούς στο σχολικό βιβλίο και ας διαβάσουμε (σελ. 110) . Ολίσθηση

Def. έναςΛειτουργία στο = φά (Χ) που ορίζεται στο σύνολο X καλείται ακόμη και, εάν για οποιαδήποτε τιμή ΧЄ X σε εξέλιξη ισότητα f (–x) = f (x). Δώσε παραδείγματα.

Def. 2Λειτουργία y = f(x), που ορίζεται στο σύνολο X καλείται Περιττός, εάν για οποιαδήποτε τιμή ΧЄ X η ισότητα f(–х)= –f(х) ικανοποιείται. Δώσε παραδείγματα.

Πού συναντήσαμε τους όρους «ζυγός» και «μονός»;
Ποια από αυτές τις συναρτήσεις θα είναι άρτια, πιστεύετε; Γιατί; Ποια είναι περίεργα; Γιατί;
Για οποιαδήποτε λειτουργία της φόρμας στο= x n, που nείναι ακέραιος, μπορεί να υποστηριχθεί ότι η συνάρτηση είναι περιττή για nείναι περιττός και η συνάρτηση είναι άρτια για n- ακόμη και.
– Προβολή λειτουργιών στο= και στο = 2Χ– Το 3 δεν είναι ούτε ζυγό ούτε περιττό, γιατί δεν τηρούνται οι ισότητες φά(– Χ) = – φά(Χ), φά(– Χ) = φά(Χ)

Η μελέτη του ερωτήματος αν μια συνάρτηση είναι άρτια ή περιττή ονομάζεται μελέτη συνάρτησης για ισοτιμία.Ολίσθηση

Οι ορισμοί 1 και 2 ασχολήθηκαν με τις τιμές της συνάρτησης στα x και - x, επομένως θεωρείται ότι η συνάρτηση ορίζεται επίσης στην τιμή Χκαι σε - Χ.

ΕΑΒ 3.Αν ένα σύνολο αριθμών μαζί με καθένα από τα στοιχεία του x περιέχει το αντίθετο στοιχείο x, τότε το σύνολο Χονομάζεται συμμετρικό σύνολο.

Παραδείγματα:

(–2;2), [–5;5]; (∞;∞) είναι συμμετρικά σύνολα και , [–5;4] είναι μη συμμετρικά.

- Έχουν ακόμη και οι συναρτήσεις ένα πεδίο ορισμού - ένα συμμετρικό σύνολο; Οι περίεργοι;
- Αν Δ( φά) είναι ένα ασύμμετρο σύνολο, τότε ποια είναι η συνάρτηση;
– Έτσι, εάν η συνάρτηση στο = φά(Χ) είναι άρτιο ή περιττό, τότε το πεδίο ορισμού του είναι D( φά) είναι ένα συμμετρικό σύνολο. Αληθεύει όμως το αντίστροφο, αν το πεδίο ορισμού μιας συνάρτησης είναι συμμετρικό σύνολο, τότε είναι άρτιο ή περιττό;
- Άρα η παρουσία ενός συμμετρικού συνόλου του πεδίου ορισμού είναι απαραίτητη προϋπόθεση, αλλά όχι επαρκής.
– Πώς μπορούμε λοιπόν να διερευνήσουμε τη συνάρτηση για ισοτιμία; Ας προσπαθήσουμε να γράψουμε έναν αλγόριθμο.

Ολίσθηση

Αλγόριθμος για την εξέταση μιας συνάρτησης για ισοτιμία

1. Προσδιορίστε εάν το πεδίο ορισμού της συνάρτησης είναι συμμετρικό. Αν όχι, τότε η συνάρτηση δεν είναι ούτε άρτια ούτε περιττή. Εάν ναι, τότε μεταβείτε στο βήμα 2 του αλγορίθμου.

2. Γράψτε μια έκφραση για φά(–Χ).

3. Συγκρίνετε φά(–Χ).και φά(Χ):

• αν φά(–Χ).= φά(Χ), τότε η συνάρτηση είναι άρτια.
• αν φά(–Χ).= – φά(Χ), τότε η συνάρτηση είναι περιττή.
• αν φά(–Χ) ≠ φά(Χ) και φά(–Χ) ≠ –φά(Χ), τότε η συνάρτηση δεν είναι ούτε άρτια ούτε περιττή.

Παραδείγματα:

Διερευνήστε τη συνάρτηση για ισοτιμία α) στο= x 5 +; σι) στο= ; σε) στο= .

Απόφαση.

α) h (x) \u003d x 5 +,

1) D(h) = (–∞; 0) U (0; +∞), συμμετρικό σύνολο.

2) h (- x) \u003d (-x) 5 + - x5 - \u003d - (x 5 +),

3) h (- x) \u003d - h (x) \u003d\u003e συνάρτηση h(x)= x 5 + περιττός.

β) y =,

στο = φά(Χ), D(f) = (–∞; –9); (–9; +∞), ασύμμετρο σύνολο, άρα η συνάρτηση δεν είναι ούτε άρτια ούτε περιττή.

σε) φά(Χ) = , y = f(x),

1) Δ( φά) = (–∞; 3] ≠ ; β) (∞; –2), (–4; 4];

Επιλογή 2

1. Είναι το δεδομένο σύνολο συμμετρικό: α) [–2;2]; β) (∞; 0], (0; 7) ?

ένα); β) y \u003d x (5 - x 2). 2. Εξετάστε τη συνάρτηση για ισοτιμία:

α) y \u003d x 2 (2x - x 3), β) y \u003d

3. Στο σχ. σχεδιάστηκε στο = φά(Χ), για όλα Χ, ικανοποιώντας την προϋπόθεση Χ? 0.
Σχεδιάστε τη συνάρτηση στο = φά(Χ), αν στο = φά(Χ) είναι μια άρτια συνάρτηση.

3. Στο σχ. σχεδιάστηκε στο = φά(Χ), για όλα τα x που ικανοποιούν το x; 0.
Σχεδιάστε τη συνάρτηση στο = φά(Χ), αν στο = φά(Χ) είναι μια περιττή συνάρτηση.

Αμοιβαίος έλεγχος ολίσθηση.

6. Εργασία για το σπίτι: №11.11, 11.21,11.22;

Απόδειξη της γεωμετρικής σημασίας της ιδιότητας ισοτιμίας.

*** (Ανάθεση της επιλογής USE).

1. Η περιττή συνάρτηση y \u003d f (x) ορίζεται σε ολόκληρη την πραγματική γραμμή. Για οποιαδήποτε μη αρνητική τιμή της μεταβλητής x, η τιμή αυτής της συνάρτησης συμπίπτει με την τιμή της συνάρτησης g( Χ) = Χ(Χ + 1)(Χ + 3)(Χ– 7). Βρείτε την τιμή της συνάρτησης h( Χ) = στο Χ = 3.

7. Συνοψίζοντας

Ορισμός 1. Η συνάρτηση καλείται ακόμη και (Περιττός ) εάν μαζί με κάθε τιμή της μεταβλητής
έννοια - Χανήκει επίσης
και την ισότητα

Έτσι, μια συνάρτηση μπορεί να είναι άρτια ή περιττή μόνο όταν το πεδίο ορισμού της είναι συμμετρικό ως προς την αρχή στην πραγματική γραμμή (αριθμοί Χκαι - Χανήκουν ταυτόχρονα
). Για παράδειγμα, η συνάρτηση
δεν είναι ούτε ζυγός ούτε περιττός, αφού το πεδίο ορισμού του
όχι συμμετρικά ως προς την προέλευση.

Λειτουργία
ακόμη, γιατί
συμμετρικό ως προς την αρχή των συντεταγμένων και.

Λειτουργία
παράξενο γιατί
και
.

Λειτουργία
δεν είναι ούτε ζυγός ούτε περιττός, αφού αν και
και είναι συμμετρικό ως προς την προέλευση, οι ισότητες (11.1) δεν ικανοποιούνται. Για παράδειγμα,.

Η γραφική παράσταση μιας άρτιας συνάρτησης είναι συμμετρική ως προς τον άξονα OU, αφού αν το σημείο

ανήκει επίσης στο γράφημα. Η γραφική παράσταση μιας περιττής συνάρτησης είναι συμμετρική ως προς την προέλευση, γιατί αν
ανήκει στο γράφημα, μετά το σημείο
ανήκει επίσης στο γράφημα.

Όταν αποδεικνύεται εάν μια συνάρτηση είναι άρτια ή περιττή, οι παρακάτω προτάσεις είναι χρήσιμες.

Θεώρημα 1. α) Το άθροισμα δύο άρτιων (περιττών) συναρτήσεων είναι άρτια (περιττή) συνάρτηση.

β) Το γινόμενο δύο άρτιων (περιττών) συναρτήσεων είναι άρτια συνάρτηση.

γ) Το γινόμενο μιας άρτιας και μιας περιττής συνάρτησης είναι μια περιττή συνάρτηση.

δ) Αν φάείναι μια ομοιόμορφη λειτουργία στο σετ Χκαι τη συνάρτηση σολ ορίζεται στο σετ
, μετά η συνάρτηση
- ακόμη και.

ε) Αν φάείναι μια περιττή συνάρτηση στο σύνολο Χκαι τη συνάρτηση σολ ορίζεται στο σετ
και άρτιος (μονός), μετά η συνάρτηση
- ζυγά μονά).

Απόδειξη. Ας αποδείξουμε, για παράδειγμα, τα β) και δ).

β) Αφήστε
και
είναι ακόμη και συναρτήσεις. Τότε λοιπόν. Η περίπτωση των περιττών συναρτήσεων εξετάζεται παρόμοια
και
.

δ) Αφήστε φά είναι μια άρτια συνάρτηση. Τότε.

Ομοίως αποδεικνύονται και οι άλλοι ισχυρισμοί του θεωρήματος. Το θεώρημα έχει αποδειχθεί.

Θεώρημα 2. Οποιαδήποτε λειτουργία
, που ορίζεται στο σετ ΧΤο , το οποίο είναι συμμετρικό ως προς την αρχή, μπορεί να αναπαρασταθεί ως το άθροισμα μιας άρτιας και μιας περιττής συνάρτησης.

Απόδειξη. Λειτουργία
μπορεί να γραφτεί στη φόρμα

.

Λειτουργία
είναι άρτιος, αφού
και τη συνάρτηση
είναι περίεργο γιατί. Ετσι,
, που
- ακόμη, και
είναι μια περιττή συνάρτηση. Το θεώρημα έχει αποδειχθεί.

Ορισμός 2. Λειτουργία
που ονομάζεται περιοδικός αν υπάρχει αριθμός
, τέτοια ώστε για οποιαδήποτε
αριθμοί
και
ανήκουν επίσης στον τομέα του ορισμού
και τις ισότητες

Ένας τέτοιος αριθμός Τπου ονομάζεται περίοδος λειτουργίες
.

Ο ορισμός 1 υπονοεί ότι εάν Τ– περίοδος λειτουργίας
, μετά τον αριθμό Τπολύ είναι η περίοδος της συνάρτησης
(γιατί κατά την αντικατάσταση Τστο - Τδιατηρείται η ισότητα). Χρησιμοποιώντας τη μέθοδο της μαθηματικής επαγωγής, μπορεί να αποδειχθεί ότι αν Τ– περίοδος λειτουργίας φά, τότε και
, είναι επίσης περίοδος. Από αυτό προκύπτει ότι αν μια συνάρτηση έχει περίοδο, τότε έχει άπειρες περιόδους.

Ορισμός 3. Η μικρότερη από τις θετικές περιόδους μιας συνάρτησης ονομάζεται της κύριος περίοδος.

Θεώρημα 3. Αν Τείναι η κύρια περίοδος της λειτουργίας φά, τότε οι υπόλοιπες περίοδοι είναι πολλαπλάσιες αυτού.

Απόδειξη. Υποθέστε το αντίθετο, δηλαδή ότι υπάρχει περίοδος λειτουργίες φά (>0), όχι πολλαπλάσιο Τ. Στη συνέχεια, διαίρεση στο Τμε το υπόλοιπο, παίρνουμε
, που
. Έτσι

δηλ – περίοδος λειτουργίας φά, και
, πράγμα που έρχεται σε αντίθεση με το γεγονός ότι Τείναι η κύρια περίοδος της λειτουργίας φά. Ο ισχυρισμός του θεωρήματος προκύπτει από την αντίφαση που προκύπτει. Το θεώρημα έχει αποδειχθεί.

Είναι γνωστό ότι οι τριγωνομετρικές συναρτήσεις είναι περιοδικές. Κύρια περίοδος
και
ισοδυναμεί
,
και
. Βρείτε την περίοδο της συνάρτησης
. Ας είναι
είναι η περίοδος αυτής της λειτουργίας. Τότε

(όπως και
.

ororor
.

Εννοια Τ, που προσδιορίζεται από την πρώτη ισότητα, δεν μπορεί να είναι περίοδος, αφού εξαρτάται από Χ, δηλ. είναι συνάρτηση του Χ, όχι σταθερός αριθμός. Η περίοδος καθορίζεται από τη δεύτερη ισότητα:
. Υπάρχουν άπειρες περίοδοι
η μικρότερη θετική περίοδος προκύπτει όταν
:
. Αυτή είναι η κύρια περίοδος της λειτουργίας
.

Ένα παράδειγμα πιο σύνθετης περιοδικής συνάρτησης είναι η συνάρτηση Dirichlet

Σημειώστε ότι εάν Τείναι ένας ρητός αριθμός, λοιπόν
και
είναι ρητικοί αριθμοί κάτω από ρητούς Χκαι παράλογο όταν παράλογο Χ. Έτσι

για οποιονδήποτε ρητό αριθμό Τ. Επομένως, οποιοσδήποτε ρητός αριθμός Τείναι η περίοδος της συνάρτησης Dirichlet. Είναι σαφές ότι αυτή η συνάρτηση δεν έχει κύρια περίοδο, καθώς υπάρχουν θετικοί ρητοί αριθμοί αυθαίρετα κοντά στο μηδέν (για παράδειγμα, ένας ρητός αριθμός μπορεί να γίνει επιλέγοντας nαυθαίρετα κοντά στο μηδέν).

Θεώρημα 4. Εάν συνάρτηση φά σετ στο σετ Χκαι έχει περίοδο Τκαι τη συνάρτηση σολ σετ στο σετ
, τότε η μιγαδική συνάρτηση
έχει και περίοδο Τ.

Απόδειξη. Έχουμε λοιπόν

αποδεικνύεται δηλαδή ο ισχυρισμός του θεωρήματος.

Για παράδειγμα, από τότε συν Χ έχει περίοδο
, μετά τις συναρτήσεις
έχουν περίοδο
.

Ορισμός 4. Οι συναρτήσεις που δεν είναι περιοδικές ονομάζονται μη περιοδική .

. Για να το κάνετε αυτό, χρησιμοποιήστε γραφικό χαρτί ή γραφική αριθμομηχανή. Επιλέξτε οποιονδήποτε αριθμό αριθμητικών τιμών για την ανεξάρτητη μεταβλητή x (\displaystyle x)και συνδέστε τα στη συνάρτηση για να υπολογίσετε τις τιμές της εξαρτημένης μεταβλητής y (\displaystyle y). Βάλτε τις ευρεθείσες συντεταγμένες των σημείων στο επίπεδο συντεταγμένων και, στη συνέχεια, συνδέστε αυτά τα σημεία για να δημιουργήσετε ένα γράφημα της συνάρτησης.

• Αντικαταστήστε τις θετικές αριθμητικές τιμές στη συνάρτηση x (\displaystyle x)και αντίστοιχες αρνητικές αριθμητικές τιμές. Για παράδειγμα, δίνεται μια συνάρτηση f (x) = 2 x 2 + 1 (\displaystyle f(x)=2x^(2)+1). Αντικαταστήστε τις παρακάτω τιμές σε αυτό x (\displaystyle x):

Ελέγξτε αν η γραφική παράσταση της συνάρτησης είναι συμμετρική ως προς τον άξονα y.Η συμμετρία αναφέρεται στην κατοπτρική εικόνα του γραφήματος γύρω από τον άξονα y. Εάν το τμήμα του γραφήματος στα δεξιά του άξονα y (θετικές τιμές της ανεξάρτητης μεταβλητής) ταιριάζει με το τμήμα του γραφήματος στα αριστερά του άξονα y (αρνητικές τιμές της ανεξάρτητης μεταβλητής), η Η γραφική παράσταση είναι συμμετρική ως προς τον άξονα y. Εάν η συνάρτηση είναι συμμετρική ως προς τον άξονα y, η συνάρτηση είναι άρτια.

Ελέγξτε αν η γραφική παράσταση της συνάρτησης είναι συμμετρική ως προς την αρχή.Η αρχή είναι το σημείο με συντεταγμένες (0,0). Συμμετρία σχετικά με την προέλευση σημαίνει ότι μια θετική τιμή y (\displaystyle y)(με θετική τιμή x (\displaystyle x)) αντιστοιχεί σε αρνητική τιμή y (\displaystyle y)(με αρνητική τιμή x (\displaystyle x)), και αντίστροφα. Οι περιττές συναρτήσεις έχουν συμμετρία ως προς την αρχή.

Ελέγξτε αν η γραφική παράσταση της συνάρτησης έχει συμμετρία.Ο τελευταίος τύπος συνάρτησης είναι μια συνάρτηση της οποίας το γράφημα δεν έχει συμμετρία, δηλαδή δεν υπάρχει κατοπτρική εικόνα τόσο σε σχέση με τον άξονα y όσο και σε σχέση με την αρχή. Για παράδειγμα, δίνεται μια συνάρτηση.

• Αντικαταστήστε πολλές θετικές και αντίστοιχες αρνητικές τιμές στη συνάρτηση x (\displaystyle x):
• Σύμφωνα με τα αποτελέσματα που προέκυψαν, δεν υπάρχει συμμετρία. Αξίες y (\displaystyle y)για αντίθετες τιμές x (\displaystyle x)δεν ταιριάζουν και δεν είναι αντίθετα. Έτσι, η συνάρτηση δεν είναι ούτε άρτια ούτε περιττή.
• Σημειώστε ότι η λειτουργία f (x) = x 2 + 2 x + 1 (\displaystyle f(x)=x^(2)+2x+1)μπορεί να γραφτεί ως εξής: f (x) = (x + 1) 2 (\displaystyle f(x)=(x+1)^(2)). Γραπτή με αυτή τη μορφή, η συνάρτηση φαίνεται να είναι άρτια επειδή υπάρχει ένας ζυγός εκθέτης. Αλλά αυτό το παράδειγμα αποδεικνύει ότι η μορφή μιας συνάρτησης δεν μπορεί να προσδιοριστεί γρήγορα εάν η ανεξάρτητη μεταβλητή περικλείεται σε παρένθεση. Σε αυτήν την περίπτωση, πρέπει να ανοίξετε τις αγκύλες και να αναλύσετε τους εκθέτες που προκύπτουν.

Τα οποία σε έναν ή τον άλλο βαθμό ήταν γνωστά σε εσάς. Σημειώθηκε επίσης ότι το απόθεμα των ιδιοτήτων λειτουργίας θα αναπληρωθεί σταδιακά. Δύο νέα ακίνητα θα συζητηθούν σε αυτήν την ενότητα.

Ορισμός 1.

Η συνάρτηση y \u003d f (x), x є X, καλείται ακόμη και αν για οποιαδήποτε τιμή x από το σύνολο X η ισότητα f (-x) \u003d f (x) είναι αληθής.

Ορισμός 2.

Η συνάρτηση y \u003d f (x), x є X, ονομάζεται περιττή αν για οποιαδήποτε τιμή x από το σύνολο X η ισότητα f (-x) \u003d -f (x) είναι αληθής.

Να αποδείξετε ότι η y = x 4 είναι άρτια συνάρτηση.

Απόφαση. Έχουμε: f (x) \u003d x 4, f (-x) \u003d (-x) 4. Αλλά (-x) 4 = x 4 . Επομένως, για οποιοδήποτε x, η ισότητα f (-x) = f (x), δηλ. η λειτουργία είναι ομοιόμορφη.

Ομοίως, μπορεί να αποδειχθεί ότι οι συναρτήσεις y - x 2, y \u003d x 6, y - x 8 είναι άρτιες.

Να αποδείξετε ότι η y = x 3 είναι περιττή συνάρτηση.

Απόφαση. Έχουμε: f (x) \u003d x 3, f (-x) \u003d (-x) 3. Αλλά (-x) 3 = -x 3 . Επομένως, για οποιοδήποτε x, η ισότητα f (-x) \u003d -f (x), δηλ. η συνάρτηση είναι περίεργη.

Ομοίως, μπορεί να αποδειχθεί ότι οι συναρτήσεις y \u003d x, y \u003d x 5, y \u003d x 7 είναι περιττές.

Εσείς και εγώ έχουμε πείσει επανειλημμένα ότι οι νέοι όροι στα μαθηματικά έχουν τις περισσότερες φορές μια «γήινη» προέλευση, δηλ. μπορούν να εξηγηθούν με κάποιο τρόπο. Αυτό ισχύει και για τις άρτιες και τις περιττές συναρτήσεις. Δείτε: y - x 3, y \u003d x 5, y \u003d x 7 είναι περιττές συναρτήσεις, ενώ οι y \u003d x 2, y \u003d x 4, y \u003d x 6 είναι ζυγές συναρτήσεις. Και γενικά, για οποιαδήποτε συνάρτηση της μορφής y \u003d x "(παρακάτω θα μελετήσουμε συγκεκριμένα αυτές τις συναρτήσεις), όπου το n είναι ένας φυσικός αριθμός, μπορούμε να συμπεράνουμε: αν το n είναι περιττός αριθμός, τότε η συνάρτηση y \u003d x "είναι περίεργο. αν το n είναι ζυγός αριθμός, τότε η συνάρτηση y = xn είναι άρτια.

Υπάρχουν επίσης συναρτήσεις που δεν είναι ούτε ζυγές ούτε περιττές. Τέτοια, για παράδειγμα, είναι η συνάρτηση y \u003d 2x + 3. Πράγματι, f (1) \u003d 5, και f (-1) \u003d 1. Όπως μπορείτε να δείτε, εδώ Επομένως, ούτε η ταυτότητα f (-x ) \u003d f ( x), ούτε η ταυτότητα f(-x) = -f(x).

Άρα, μια συνάρτηση μπορεί να είναι άρτια, περιττή ή κανένα.

Η μελέτη του ερωτήματος εάν μια δεδομένη συνάρτηση είναι άρτια ή περιττή ονομάζεται συνήθως μελέτη της συνάρτησης για ισοτιμία.

Οι ορισμοί 1 και 2 ασχολούνται με τις τιμές της συνάρτησης στα σημεία x και -x. Αυτό προϋποθέτει ότι η συνάρτηση ορίζεται τόσο στο σημείο x όσο και στο σημείο -x. Αυτό σημαίνει ότι το σημείο -x ανήκει στο πεδίο ορισμού της συνάρτησης ταυτόχρονα με το σημείο x. Αν ένα αριθμητικό σύνολο X μαζί με καθένα από τα στοιχεία του x περιέχει το αντίθετο στοιχείο -x, τότε το X ονομάζεται συμμετρικό σύνολο. Ας πούμε (-2, 2), [-5, 5], (-oo, +oo) είναι συμμετρικά σύνολα, ενώ )