Κατασκευάστε μια ποικιλία παραλλαγών παραδειγμάτων μεγεθών παπουτσιών. Κατασκευή σειρών διαλειμματικής μεταβολής για συνεχή ποσοτικά δεδομένα

Χτισμένες σειρές σε ποσοτική βάση, λέγονται μεταβλητή.

Η σειρά διανομής αποτελείται από επιλογές(χαρακτηριστικές αξίες) και συχνότητες(αριθμός ομάδων). Οι συχνότητες που εκφράζονται ως σχετικές τιμές (κλάσματα, ποσοστά) ονομάζονται συχνότητες. Το άθροισμα όλων των συχνοτήτων ονομάζεται όγκος της σειράς διανομής.

Ανά τύπο, οι σειρές διανομής χωρίζονται σε διακεκριμένος(κατασκευασμένο με βάση τις ασυνεχείς τιμές του χαρακτηριστικού) και διάστημα(με βάση τις συνεχείς τιμές του χαρακτηριστικού).

Σειρά παραλλαγήςαντιπροσωπεύει δύο στήλες (ή γραμμές). ένα από τα οποία περιέχει ατομικές αξίεςένα ποικίλο χαρακτηριστικό, που ονομάζεται παραλλαγές και συμβολίζεται με Χ. και στην άλλη - απόλυτοι αριθμοί που δείχνουν πόσες φορές (πόσο συχνά) εμφανίζεται κάθε επιλογή. Οι δείκτες της δεύτερης στήλης ονομάζονται συχνότητες και συμβολίζονται συμβατικά με f. Ας σημειώσουμε για άλλη μια φορά ότι στη δεύτερη στήλη μπορούν να χρησιμοποιηθούν σχετικοί δείκτες που χαρακτηρίζουν το μερίδιο της συχνότητας των επιμέρους επιλογών στο συνολικό άθροισμα των συχνοτήτων. Αυτοί οι σχετικοί δείκτες ονομάζονται συχνότητες και συμβολίζονται συμβατικά με ω Το άθροισμα όλων των συχνοτήτων σε αυτή την περίπτωση είναι ίσο με ένα. Ωστόσο, οι συχνότητες μπορούν επίσης να εκφραστούν ως ποσοστά και στη συνέχεια το άθροισμα όλων των συχνοτήτων δίνει 100%.

Εάν επιλογές σειρά παραλλαγήςεκφράζεται με τη μορφή διακριτών μεγεθών, τότε μια τέτοια σειρά μεταβολής ονομάζεται διακεκριμένος.

Για συνεχή χαρακτηριστικά, οι σειρές παραλλαγών κατασκευάζονται ως διάστημα, δηλαδή, οι τιμές του χαρακτηριστικού σε αυτά εκφράζονται "από... έως...". Σε αυτή την περίπτωση, οι ελάχιστες τιμές του χαρακτηριστικού σε ένα τέτοιο διάστημα ονομάζονται κατώτερο όριο του διαστήματος και το μέγιστο - ανώτατο όριο.

Οι σειρές μεταβολών διαστήματος κατασκευάζονται επίσης για διακριτά χαρακτηριστικά που ποικίλλουν σε μεγάλο εύρος. Η σειρά διαστημάτων μπορεί να είναι με ίσοςΚαι άνισοςκατά διαστήματα.

Ας εξετάσουμε πώς καθορίζεται η τιμή των ίσων διαστημάτων. Ας εισάγουμε τον ακόλουθο συμβολισμό:

Εγώ– μέγεθος διαστήματος

- τη μέγιστη τιμή του χαρακτηριστικού για πληθυσμιακές μονάδες·

– την ελάχιστη τιμή του χαρακτηριστικού για πληθυσμιακές μονάδες·

n -αριθμός των κατανεμημένων ομάδων.

, εάν το n είναι γνωστό.

Εάν ο αριθμός των ομάδων που πρέπει να διακριθούν είναι δύσκολο να προσδιοριστεί εκ των προτέρων, τότε για να υπολογιστεί η βέλτιστη τιμή του διαστήματος με επαρκές μέγεθος πληθυσμού, μπορεί να προταθεί ο τύπος που πρότεινε ο Sturgess το 1926:

n = 1+ 3,322 log N, όπου N είναι ο αριθμός των μονάδων στο άθροισμα.

Το μέγεθος των άνισων διαστημάτων καθορίζεται σε κάθε μεμονωμένη περίπτωση, λαμβάνοντας υπόψη τα χαρακτηριστικά του αντικειμένου μελέτης.

Κατανομή στατιστικών δειγμάτωνκαλέστε μια λίστα επιλογών και τις αντίστοιχες συχνότητες (ή τις σχετικές συχνότητες).

Η στατιστική κατανομή του δείγματος μπορεί να καθοριστεί με τη μορφή πίνακα, στην πρώτη στήλη του οποίου βρίσκονται οι επιλογές και στη δεύτερη - οι συχνότητες που αντιστοιχούν σε αυτές τις επιλογές ni, ή σχετικές συχνότητες Πι .

Στατιστική κατανομή του δείγματος

Οι σειρές διαστήματος είναι σειρές παραλλαγών στις οποίες οι τιμές των χαρακτηριστικών στα οποία βασίζονται ο σχηματισμός τους εκφράζονται εντός ορισμένων ορίων (διαστημάτων). Οι συχνότητες σε αυτήν την περίπτωση δεν αναφέρονται σε μεμονωμένες τιμές του χαρακτηριστικού, αλλά σε ολόκληρο το διάστημα.

Οι σειρές διαλειμματικής κατανομής κατασκευάζονται με βάση συνεχή ποσοτικά χαρακτηριστικά, καθώς και διακριτά χαρακτηριστικά που ποικίλλουν εντός σημαντικών ορίων.

Μια σειρά διαστημάτων μπορεί να αναπαρασταθεί από τη στατιστική κατανομή ενός δείγματος που δείχνει τα διαστήματα και τις αντίστοιχες συχνότητές τους. Στην περίπτωση αυτή, το άθροισμα των συχνοτήτων των παραλλαγών που εμπίπτουν σε αυτό το διάστημα λαμβάνεται ως η συχνότητα του διαστήματος.

Κατά την ομαδοποίηση βάσει ποσοτικών συνεχών χαρακτηριστικών, ο καθορισμός του μεγέθους του διαστήματος είναι σημαντικός.

Εκτός από τον μέσο όρο του δείγματος και τη διακύμανση του δείγματος, χρησιμοποιούνται επίσης και άλλα χαρακτηριστικά της σειράς διακύμανσης.

ΜόδαΗ παραλλαγή που έχει την υψηλότερη συχνότητα ονομάζεται.

• Εισαγωγικό μάθημα δωρεάν;
• Ένας μεγάλος αριθμός έμπειρων δασκάλων (μητρική και ρωσόφωνη).
• Τα μαθήματα ΔΕΝ είναι για συγκεκριμένη περίοδο (μήνας, έξι μήνες, έτος), αλλά για συγκεκριμένο αριθμό μαθημάτων (5, 10, 20, 50).
• Περισσότεροι από 10.000 ικανοποιημένοι πελάτες.
• Το κόστος ενός μαθήματος με ρωσόφωνο δάσκαλο είναι από 600 ρούβλια, με μητρική ομιλία - από 1500 ρούβλια

Η έννοια μιας σειράς παραλλαγής.Το πρώτο βήμα στη συστηματοποίηση του υλικού στατιστικής παρατήρησης είναι η μέτρηση του αριθμού των μονάδων που έχουν ένα συγκεκριμένο χαρακτηριστικό. Τακτοποιώντας τις μονάδες σε αύξουσα ή φθίνουσα σειρά του ποσοτικού τους χαρακτηριστικού και μετρώντας τον αριθμό των μονάδων με μια συγκεκριμένη τιμή του χαρακτηριστικού, προκύπτει μια σειρά παραλλαγής. Μια σειρά παραλλαγών χαρακτηρίζει την κατανομή των μονάδων ενός συγκεκριμένου στατιστικού πληθυσμού σύμφωνα με κάποιο ποσοτικό χαρακτηριστικό.

Η σειρά παραλλαγών αποτελείται από δύο στήλες, η αριστερή στήλη περιέχει τις τιμές του ποικίλου χαρακτηριστικού, που ονομάζεται παραλλαγές και συμβολίζεται (x), και η δεξιά στήλη περιέχει απόλυτους αριθμούς που δείχνουν πόσες φορές εμφανίζεται κάθε παραλλαγή. Οι δείκτες αυτής της στήλης ονομάζονται συχνότητες και ονομάζονται (f).

Η σειρά παραλλαγών μπορεί να παρουσιαστεί σχηματικά με τη μορφή του Πίνακα 5.1:

Πίνακας 5.1

Τύπος σειράς παραλλαγής

Επιλογές (x)	Συχνότητες (στ)

Στη δεξιά στήλη, μπορούν επίσης να χρησιμοποιηθούν σχετικοί δείκτες, που χαρακτηρίζουν το μερίδιο της συχνότητας των επιμέρους επιλογών στο συνολικό άθροισμα των συχνοτήτων. Αυτοί οι σχετικοί δείκτες ονομάζονται συχνότητες και συμβολίζονται συμβατικά με , δηλ. . Το άθροισμα όλων των συχνοτήτων είναι ίσο με ένα. Οι συχνότητες μπορούν επίσης να εκφραστούν ως ποσοστά και τότε το άθροισμά τους θα είναι ίσο με 100%.

Μπορεί να υπάρχουν διαφορετικά σημάδια διαφορετικό χαρακτήρα. Οι παραλλαγές ορισμένων χαρακτηριστικών εκφράζονται σε ακέραιους αριθμούς, για παράδειγμα, ο αριθμός των δωματίων σε ένα διαμέρισμα, ο αριθμός των βιβλίων που εκδόθηκαν κ.λπ. Αυτά τα σημάδια ονομάζονται ασυνεχή ή διακριτά. Παραλλαγές άλλων χαρακτηριστικών μπορούν να λάβουν οποιεσδήποτε τιμές εντός ορισμένων ορίων, όπως, για παράδειγμα, η υλοποίηση προγραμματισμένων εργασιών, μισθόςκλπ. Τα ζώδια αυτά λέγονται συνεχόμενα.

Σειρά διακριτών παραλλαγών.Εάν οι παραλλαγές μιας σειράς παραλλαγών εκφράζονται με τη μορφή διακριτών μεγεθών, τότε μια τέτοια σειρά παραλλαγής ονομάζεται διακριτή, εμφάνισηπαρουσιάζεται στον πίνακα. 5.2:

Πίνακας 5.2

Κατανομή των μαθητών ανάλογα με τους βαθμούς των εξετάσεων

Βαθμολογίες (x)	Αριθμός μαθητών (στ)	Σε % του συνόλου ()

Η φύση της κατανομής σε διακριτές σειρές απεικονίζεται γραφικά με τη μορφή ενός πολυγώνου κατανομής, Εικ. 5.1.

Ρύζι. 5.1. Κατανομή των μαθητών σύμφωνα με τους βαθμούς που αποκτήθηκαν στις εξετάσεις.

Σειρά παραλλαγής διαστήματος.Για συνεχή χαρακτηριστικά, οι σειρές παραλλαγών κατασκευάζονται ως ενδιάμεσες, δηλ. οι τιμές του χαρακτηριστικού σε αυτά εκφράζονται με τη μορφή διαστημάτων "από και προς". Σε αυτήν την περίπτωση, η ελάχιστη τιμή του χαρακτηριστικού σε ένα τέτοιο διάστημα ονομάζεται κατώτερο όριο του διαστήματος και η μέγιστη ονομάζεται ανώτατο όριο του διαστήματος.

Οι σειρές μεταβολών διαστήματος κατασκευάζονται τόσο για ασυνεχή χαρακτηριστικά (διακριτά) όσο και για εκείνα που ποικίλλουν σε μεγάλο εύρος. Οι σειρές διαστήματος μπορεί να είναι με ίσα ή άνισα διαστήματα. Στην οικονομική πρακτική, χρησιμοποιούνται τα περισσότερα άνισα διαστήματα, προοδευτικά αυξανόμενα ή μειώνοντας. Αυτή η ανάγκη προκύπτει ιδιαίτερα σε περιπτώσεις που η διακύμανση ενός χαρακτηριστικού εμφανίζεται άνισα και εντός μεγάλων ορίων.

Ας εξετάσουμε τον τύπο της σειράς διαστημάτων με ίσα διαστήματα, πίνακας. 5.3:

Πίνακας 5.3

Κατανομή εργαζομένων ανά παραγωγή

Έξοδος, t.r. (Χ)	Αριθμός εργαζομένων (στ)	Αθροιστική συχνότητα (f´)

Η σειρά κατανομής διαστήματος απεικονίζεται γραφικά με τη μορφή ιστογράμματος, Εικ. 5.2.

Εικ.5.2. Κατανομή εργαζομένων ανά παραγωγή

Συσσωρευμένη (αθροιστική) συχνότητα.Στην πράξη, υπάρχει ανάγκη μετατροπής των σειρών διανομής σε αθροιστική σειρά,κατασκευασμένο σύμφωνα με τις συσσωρευμένες συχνότητες. Με τη βοήθειά τους, μπορείτε να προσδιορίσετε δομικούς μέσους όρους που διευκολύνουν την ανάλυση των δεδομένων σειρών διανομής.

Οι αθροιστικές συχνότητες προσδιορίζονται προσθέτοντας διαδοχικά στις συχνότητες (ή τις συχνότητες) της πρώτης ομάδας αυτούς τους δείκτες των επόμενων ομάδων της σειράς διανομής. Οι συσσωρεύσεις και οι ωθήσεις χρησιμοποιούνται για την απεικόνιση σειρών διανομής. Για την κατασκευή τους, οι τιμές του διακριτού χαρακτηριστικού (ή τα άκρα των διαστημάτων) σημειώνονται στον άξονα της τετμημένης και τα αθροιστικά σύνολα συχνοτήτων (συσσωρεύσεις) σημειώνονται στον άξονα τεταγμένων, Εικ. 5.3.

Ρύζι. 5.3. Σωρευτική κατανομή εργαζομένων ανά παραγωγή

Εάν οι κλίμακες των συχνοτήτων και των επιλογών αντιστραφούν, π.χ. ο άξονας της τετμημένης αντικατοπτρίζει τις συσσωρευμένες συχνότητες και ο άξονας τεταγμένων δείχνει τις τιμές των παραλλαγών, τότε η καμπύλη που χαρακτηρίζει την αλλαγή στις συχνότητες από ομάδα σε ομάδα θα ονομάζεται ένδειξη κατανομής, Εικ. 5.4.

Ρύζι. 5.4. Ogiva διανομής εργατών ανά παραγωγή

Οι σειρές παραλλαγών με ίσα διαστήματα παρέχουν μια από τις σημαντικότερες απαιτήσεις για τις στατιστικές σειρές διανομής, διασφαλίζοντας τη συγκρισιμότητα τους σε χρόνο και χώρο.

Πυκνότητα κατανομής.Ωστόσο, οι συχνότητες των μεμονωμένων άνισων διαστημάτων στις ονομαζόμενες σειρές δεν είναι άμεσα συγκρίσιμες. Σε τέτοιες περιπτώσεις, για να εξασφαλιστεί η απαραίτητη συγκρισιμότητα, υπολογίζεται η πυκνότητα κατανομής, δηλ. προσδιορίστε πόσες μονάδες σε κάθε ομάδα είναι ανά μονάδα τιμής διαστήματος.

Κατά την κατασκευή ενός γραφήματος της κατανομής μιας σειράς παραλλαγών με άνισα διαστήματα, το ύψος των ορθογωνίων καθορίζεται σε αναλογία όχι με τις συχνότητες, αλλά με τους δείκτες πυκνότητας της κατανομής των τιμών του χαρακτηριστικού που μελετάται στις αντίστοιχες διαστήματα.

Σχεδιάζοντας μια σειρά παραλλαγών και αυτό γραφική εικόναείναι το πρώτο βήμα για την επεξεργασία των αρχικών δεδομένων και το πρώτο στάδιο στην ανάλυση του πληθυσμού που μελετάται. Επόμενο βήμαστην ανάλυση της σειράς παραλλαγών είναι ο προσδιορισμός των κύριων γενικών δεικτών, που ονομάζονται χαρακτηριστικά της σειράς. Αυτά τα χαρακτηριστικά θα πρέπει να δίνουν μια ιδέα για τη μέση τιμή του χαρακτηριστικού μεταξύ των πληθυσμιακών μονάδων.

μέση αξία. Η μέση τιμή είναι ένα γενικευμένο χαρακτηριστικό του χαρακτηριστικού που μελετάται στον υπό μελέτη πληθυσμό, αντικατοπτρίζοντας το τυπικό του επίπεδο ανά μονάδα πληθυσμού υπό συγκεκριμένες συνθήκες τόπου και χρόνου.

Η μέση τιμή ονομάζεται πάντα και έχει την ίδια διάσταση με το χαρακτηριστικό των επιμέρους μονάδων του πληθυσμού.

Πριν από τον υπολογισμό των μέσων τιμών, είναι απαραίτητο να ομαδοποιηθούν οι μονάδες του υπό μελέτη πληθυσμού, προσδιορίζοντας ποιοτικά ομοιογενείς ομάδες.

Ο μέσος όρος που υπολογίζεται για τον πληθυσμό ως σύνολο ονομάζεται συνολικός μέσος όρος και για κάθε ομάδα - μέσοι όροι ομάδας.

Υπάρχουν δύο τύποι μέσων όρων: ισχύς (αριθμητικός μέσος όρος, αρμονικός μέσος όρος, γεωμετρικός μέσος όρος, τετραγωνικός μέσος όρος). δομικό (τρόπος, διάμεσος, τεταρτημόριο, δεκαδικά).

Η επιλογή του μέσου όρου για τον υπολογισμό εξαρτάται από τον σκοπό.

Είδη μέσου όρου ισχύος και μέθοδοι υπολογισμού τους.Στην πρακτική της στατιστικής επεξεργασίας του συλλεγόμενου υλικού προκύπτουν διάφορα προβλήματα, η επίλυση των οποίων απαιτεί διαφορετικούς μέσους όρους.

Οι μαθηματικές στατιστικές αντλούν διάφορους μέσους όρους από τύπους μέσου όρου ισχύος:

πού είναι η μέση τιμή? x – μεμονωμένες επιλογές (τιμές χαρακτηριστικών). z – εκθέτης (με z = 1 – αριθμητικός μέσος όρος, z = 0 γεωμετρικός μέσος όρος, z = - 1 – αρμονικός μέσος, z = 2 – τετραγωνικός μέσος όρος).

Ωστόσο, το ερώτημα για το τι τύπος μέσου όρου πρέπει να εφαρμόζεται σε κάθε μεμονωμένη περίπτωση επιλύεται μέσω μιας συγκεκριμένης ανάλυσης του πληθυσμού που μελετάται.

Ο πιο συνηθισμένος τύπος μέσου όρου στις στατιστικές είναι αριθμητικός μέσος όρος. Υπολογίζεται σε περιπτώσεις όπου ο όγκος του μέσου όρου χαρακτηριστικού σχηματίζεται ως το άθροισμα των τιμών του για μεμονωμένες μονάδες του στατιστικού πληθυσμού που μελετάται.

Ανάλογα με τη φύση των δεδομένων πηγής, ο αριθμητικός μέσος όρος προσδιορίζεται με διάφορους τρόπους:

Εάν τα δεδομένα δεν είναι ομαδοποιημένα, τότε ο υπολογισμός πραγματοποιείται χρησιμοποιώντας τον απλό τύπο μέσου όρου

Υπολογισμός του αριθμητικού μέσου όρου σε μια διακριτή σειράεμφανίζεται σύμφωνα με τον τύπο 3.4.

Υπολογισμός του αριθμητικού μέσου όρου σε μια σειρά διαστημάτων.Σε μια σειρά παραλλαγής διαστήματος, όπου η τιμή ενός χαρακτηριστικού σε κάθε ομάδα λαμβάνεται συμβατικά ως το μέσο του διαστήματος, ο αριθμητικός μέσος όρος μπορεί να διαφέρει από τον μέσο όρο που υπολογίζεται από μη ομαδοποιημένα δεδομένα. Επιπλέον, όσο μεγαλύτερο είναι το διάστημα στις ομάδες, τόσο μεγαλύτερες είναι οι πιθανές αποκλίσεις του μέσου όρου που υπολογίζεται από ομαδοποιημένα δεδομένα από τον μέσο όρο που υπολογίζεται από μη ομαδοποιημένα δεδομένα.

Κατά τον υπολογισμό του μέσου όρου σε μια σειρά διακύμανσης διαστήματος, για να πραγματοποιηθούν οι απαραίτητοι υπολογισμοί, κάποιος μετακινείται από τα διαστήματα στα μεσαία σημεία τους. Και στη συνέχεια ο μέσος όρος υπολογίζεται χρησιμοποιώντας τον τύπο σταθμισμένου αριθμητικού μέσου όρου.

Ιδιότητες του αριθμητικού μέσου όρου.Ο αριθμητικός μέσος όρος έχει κάποιες ιδιότητες που καθιστούν δυνατή την απλοποίηση των υπολογισμών· ας τις εξετάσουμε.

1. Ο αριθμητικός μέσος όρος των σταθερών αριθμών είναι ίσος με αυτόν τον σταθερό αριθμό.

Αν x = a. Επειτα .

2. Αν αλλάξουν αναλογικά τα βάρη όλων των επιλογών, π.χ. αύξηση ή μείωση κατά τον ίδιο αριθμό φορών, τότε ο αριθμητικός μέσος όρος της νέας σειράς δεν θα αλλάξει.

Αν όλα τα βάρη f μειωθούν κατά k φορές, τότε .

3. Το άθροισμα των θετικών και αρνητικών αποκλίσεων των επιμέρους επιλογών από τον μέσο όρο, πολλαπλασιασμένο με τους συντελεστές στάθμισης, ισούται με μηδέν, δηλ.

Αν τότε. Από εδώ.

Εάν όλες οι επιλογές μειωθούν ή αυξηθούν κατά οποιονδήποτε αριθμό, τότε ο αριθμητικός μέσος όρος της νέας σειράς θα μειωθεί ή θα αυξηθεί κατά το ίδιο ποσό.

Ας μειώσουμε όλες τις επιλογές Χεπί ένα, δηλ. Χ´ = Χ– ένα.

Επειτα

Ο αριθμητικός μέσος όρος της αρχικής σειράς μπορεί να ληφθεί προσθέτοντας στον μειωμένο μέσο όρο τον αριθμό που αφαιρέθηκε προηγουμένως από τις επιλογές ένα, δηλ. .

5. Εάν όλες οι επιλογές μειωθούν ή αυξηθούν κφορές, τότε ο αριθμητικός μέσος όρος της νέας σειράς θα μειωθεί ή θα αυξηθεί κατά το ίδιο ποσό, δηλ. V κμια φορά.

Ας είναι τότε .

Ως εκ τούτου, δηλ. για να ληφθεί ο μέσος όρος της αρχικής σειράς, ο αριθμητικός μέσος όρος της νέας σειράς (με μειωμένες επιλογές) πρέπει να αυξηθεί κατά κμια φορά.

Αρμονική μέση.Ο αρμονικός μέσος όρος είναι ο αντίστροφος του αριθμητικού μέσου όρου. Χρησιμοποιείται όταν οι στατιστικές πληροφορίες δεν περιέχουν συχνότητες για μεμονωμένες παραλλαγές του πληθυσμού, αλλά παρουσιάζονται ως το προϊόν τους (M = xf). Ο αρμονικός μέσος όρος θα υπολογιστεί χρησιμοποιώντας τον τύπο 3.5

Η πρακτική εφαρμογή του αρμονικού μέσου όρου είναι ο υπολογισμός ορισμένων δεικτών, ιδίως του δείκτη τιμών.

Γεωμετρικό μέσο.Όταν χρησιμοποιείται γεωμετρικός μέσος όρος, οι μεμονωμένες τιμές ενός χαρακτηριστικού είναι, κατά κανόνα, σχετικές τιμές δυναμικής, που κατασκευάζονται με τη μορφή τιμών αλυσίδας, ως αναλογία προς το προηγούμενο επίπεδο κάθε επιπέδου σε μια σειρά δυναμικών. Ο μέσος όρος χαρακτηρίζει έτσι τον μέσο ρυθμό ανάπτυξης.

Η γεωμετρική μέση τιμή χρησιμοποιείται επίσης για τον προσδιορισμό της ισαπέχουσας τιμής από τις μέγιστες και ελάχιστες τιμές του χαρακτηριστικού. Για παράδειγμα, Ασφαλιστική εταιρείασυνάπτει συμβάσεις για την παροχή υπηρεσιών ασφάλισης αυτοκινήτων. Ανάλογα με το συγκεκριμένο ασφαλισμένο συμβάνΤα ασφαλιστικά οφέλη μπορεί να κυμαίνονται από $10.000 έως $100.000 ετησίως. Το μέσο ποσό των ασφαλιστικών πληρωμών θα είναι USD.

Ο γεωμετρικός μέσος όρος είναι μια ποσότητα που χρησιμοποιείται ως μέσος όρος αναλογιών ή σε σειρές κατανομής που παρουσιάζεται με τη μορφή γεωμετρικής προόδου όταν z = 0. Αυτός ο μέσος όρος είναι βολικός στη χρήση όταν δεν δίνεται προσοχή στις απόλυτες διαφορές, αλλά στις αναλογίες δύο αριθμοί.

Οι τύποι για τον υπολογισμό είναι οι εξής

πού υπολογίζονται οι παραλλαγές του χαρακτηριστικού; – προϊόν επιλογών· φά– συχνότητα επιλογών.

Ο γεωμετρικός μέσος όρος χρησιμοποιείται στους υπολογισμούς των μέσων ετήσιων ρυθμών ανάπτυξης.

Μέσο τετράγωνο.Ο τύπος μέσου τετραγώνου χρησιμοποιείται για τη μέτρηση του βαθμού διακύμανσης μεμονωμένων τιμών ενός χαρακτηριστικού γύρω από τον αριθμητικό μέσο όρο στη σειρά κατανομής. Έτσι, κατά τον υπολογισμό των δεικτών διακύμανσης, ο μέσος όρος υπολογίζεται από τις τετραγωνικές αποκλίσεις των μεμονωμένων τιμών ενός χαρακτηριστικού από τον αριθμητικό μέσο όρο.

Η μέση τετραγωνική τιμή της ρίζας υπολογίζεται χρησιμοποιώντας τον τύπο

Στην οικονομική έρευνα, το τροποποιημένο μέσο τετράγωνο χρησιμοποιείται ευρέως για τον υπολογισμό δεικτών διακύμανσης ενός χαρακτηριστικού, όπως η διασπορά και η τυπική απόκλιση.

Κανόνας της πλειοψηφίας.Υπάρχει η ακόλουθη σχέση μεταξύ των μέσων τιμών ισχύος - όσο μεγαλύτερος είναι ο εκθέτης, τόσο μεγαλύτερη είναι η τιμή του μέσου όρου, Πίνακας 5.4:

Πίνακας 5.4

Σχέση μεταξύ των μέσων όρων

τιμή z
Σχέση μεταξύ των μέσων όρων

Αυτή η σχέση ονομάζεται κανόνας της μειοψηφίας.

Διαρθρωτικοί μέσοι όροι.Για τον χαρακτηρισμό της δομής του πληθυσμού, χρησιμοποιούνται ειδικοί δείκτες, οι οποίοι μπορούν να ονομαστούν δομικοί μέσοι όροι. Αυτοί οι δείκτες περιλαμβάνουν τον τρόπο λειτουργίας, τη διάμεσο, τα τεταρτημόρια και τις δεκαδικές.

Μόδα.Ο τρόπος λειτουργίας (Mo) είναι η πιο συχνά εμφανιζόμενη τιμή ενός χαρακτηριστικού μεταξύ των πληθυσμιακών μονάδων. Ο τρόπος είναι η τιμή του χαρακτηριστικού που αντιστοιχεί στο μέγιστο σημείο της θεωρητικής καμπύλης κατανομής.

Η μόδα χρησιμοποιείται ευρέως στην εμπορική πρακτική κατά τη μελέτη της ζήτησης των καταναλωτών (κατά τον προσδιορισμό των μεγεθών των ρούχων και των παπουτσιών που έχουν μεγάλη ζήτηση) και την καταγραφή των τιμών. Μπορεί να υπάρχουν πολλά mods συνολικά.

Υπολογισμός λειτουργίας σε διακριτή σειρά.Σε μια διακριτή σειρά, η λειτουργία είναι η παραλλαγή με την υψηλότερη συχνότητα. Ας εξετάσουμε την εύρεση μιας λειτουργίας σε μια διακριτή σειρά.

Υπολογισμός λειτουργίας σε μια σειρά διαστημάτων.Σε μια σειρά παραλλαγής διαστήματος, ο τρόπος λειτουργίας θεωρείται κατά προσέγγιση ότι είναι η κεντρική παραλλαγή του διαστήματος τρόπων, δηλ. το διάστημα που έχει την υψηλότερη συχνότητα (συχνότητα). Μέσα στο διάστημα, πρέπει να βρείτε την τιμή του χαρακτηριστικού που είναι η λειτουργία. Για μια σειρά διαστήματος, η λειτουργία θα καθοριστεί από τον τύπο

Οπου - συμπέρασματροπικό διάστημα? – την τιμή του διαστήματος των τρόπων μεταφοράς· – συχνότητα που αντιστοιχεί στο τροπικό διάστημα· – συχνότητα που προηγείται του διαστήματος τρόπων μεταφοράς· – συχνότητα του διαστήματος που ακολουθεί το τροπικό.

Διάμεσος.Διάμεσος () είναι η τιμή του χαρακτηριστικού της μεσαίας μονάδας της σειράς κατάταξης. Μια σειρά κατάταξης είναι μια σειρά στην οποία οι τιμές των χαρακτηριστικών γράφονται με αύξουσα ή φθίνουσα σειρά. Ή η διάμεσος είναι μια τιμή που διαιρεί τον αριθμό μιας σειράς διατεταγμένων παραλλαγών σε δύο ίσα μέρη: το ένα μέρος έχει μια τιμή του μεταβαλλόμενου χαρακτηριστικού που είναι μικρότερη από τη μέση επιλογή και το άλλο έχει μια τιμή που είναι μεγαλύτερη.

Για να βρείτε τη διάμεσο, προσδιορίστε πρώτα τον τακτικό της αριθμό. Για να γίνει αυτό, εάν ο αριθμός των μονάδων είναι περιττός, προστίθεται μία στο άθροισμα όλων των συχνοτήτων και όλα διαιρούνται με δύο. Με ζυγό αριθμό μονάδων, η διάμεσος βρίσκεται ως η τιμή του χαρακτηριστικού μιας μονάδας, ο σειριακός αριθμός της οποίας καθορίζεται από το συνολικό άθροισμα των συχνοτήτων διαιρούμενο με δύο. Γνωρίζοντας τον σειριακό αριθμό της διάμεσης, είναι εύκολο να βρείτε την τιμή του χρησιμοποιώντας τις συσσωρευμένες συχνότητες.

Υπολογισμός της διάμεσης τιμής σε μια διακριτή σειρά.Σύμφωνα με τη δειγματοληπτική έρευνα, προέκυψαν στοιχεία για την κατανομή των οικογενειών ανά αριθμό παιδιών, πίνακας. 5.5. Για να προσδιορίσουμε τη διάμεσο, προσδιορίζουμε πρώτα τον τακτικό της αριθμό

=

Στη συνέχεια θα κατασκευάσουμε μια σειρά από συσσωρευμένες συχνότητες (, χρησιμοποιώντας τον αύξοντα αριθμό και τη συσσωρευμένη συχνότητα θα βρούμε τη διάμεσο. Η συσσωρευμένη συχνότητα των 33 δείχνει ότι σε 33 οικογένειες ο αριθμός των παιδιών δεν υπερβαίνει το 1 παιδί, αλλά εφόσον ο αριθμός των ο διάμεσος είναι 50, ο διάμεσος θα είναι στην περιοχή από 34 έως 55 οικογένειες.

Πίνακας 5.5

Κατανομή του αριθμού των οικογενειών με βάση τον αριθμό των παιδιών

Αριθμός παιδιών στην οικογένεια

Αριθμός οικογενειών, – η τιμή του διάμεσου διαστήματος. Όλες οι θεωρούμενες μορφές μέσων όρων ισχύος έχουν μια σημαντική ιδιότητα (σε αντίθεση με τους δομικούς μέσους όρους) - ο τύπος για τον προσδιορισμό του μέσου όρου περιλαμβάνει όλες τις τιμές της σειράς, δηλ. το μέγεθος του μέσου όρου επηρεάζεται από την αξία κάθε επιλογής. Από τη μια πλευρά, αυτό είναι μια πολύ θετική ιδιότητα γιατί Στην περίπτωση αυτή, λαμβάνεται υπόψη η επίδραση όλων των αιτιών που επηρεάζουν όλες τις μονάδες του υπό μελέτη πληθυσμού. Από την άλλη πλευρά, ακόμη και μια παρατήρηση που περιλαμβάνεται στα δεδομένα πηγής τυχαία μπορεί να παραμορφώσει σημαντικά την ιδέα του επιπέδου ανάπτυξης του χαρακτηριστικού που μελετάται στον υπό εξέταση πληθυσμό (ειδικά σε σύντομες σειρές). τεταρτημόρια και δεκαδικά.Κατ' αναλογία με την εύρεση της διάμεσης τιμής σε σειρά παραλλαγής, μπορείτε να βρείτε την τιμή ενός χαρακτηριστικού για οποιαδήποτε μονάδα της σειράς κατάταξης. Έτσι, συγκεκριμένα, μπορείτε να βρείτε την τιμή του χαρακτηριστικού για μονάδες που διαιρούν μια σειρά σε 4 ίσα μέρη, σε 10 κ.λπ. τεταρτημόρια.Οι επιλογές που χωρίζουν τη σειρά κατάταξης σε τέσσερα ίσα μέρη ονομάζονται τεταρτημόρια. Σε αυτήν την περίπτωση, διακρίνουν: το κατώτερο (ή πρώτο) τεταρτημόριο (Q1) - την τιμή του χαρακτηριστικού για μια μονάδα της σειράς κατάταξης, διαιρώντας τον πληθυσμό σε αναλογία ¼ προς ¾ και το ανώτερο (ή τρίτο) τεταρτημόριο ( Q3) - η τιμή του χαρακτηριστικού για τη μονάδα της σειράς κατάταξης, διαιρώντας τον πληθυσμό σε αναλογία ¾ προς ¼. Το δεύτερο τεταρτημόριο είναι η διάμεσος Q2 = Me. Το κάτω και το ανώτερο τεταρτημόριο σε μια σειρά διαστήματος υπολογίζονται χρησιμοποιώντας έναν τύπο παρόμοιο με τον διάμεσο. πού είναι το κατώτερο όριο του διαστήματος που περιέχει το κατώτερο και το ανώτερο τεταρτημόριο, αντίστοιχα. – συσσωρευμένη συχνότητα του διαστήματος που προηγείται του διαστήματος που περιέχει το κατώτερο ή το ανώτερο τεταρτημόριο· – συχνότητες διαστημάτων τεταρτημορίου (κάτω και άνω) Τα διαστήματα που περιέχουν Q1 και Q3 καθορίζονται από τις συσσωρευμένες συχνότητες (ή συχνότητες). Δεκατιανοί.Εκτός από τα τεταρτημόρια, υπολογίζονται και τα δεκατιανά - επιλογές που χωρίζουν τις σειρές κατάταξης σε 10 ίσα μέρη. Υποδεικνύονται από το D, το πρώτο δεκαδικό D1 διαιρεί τη σειρά σε αναλογία 1/10 και 9/10, το δεύτερο D2 - 2/10 και 8/10, κ.λπ. Υπολογίζονται σύμφωνα με το ίδιο σχήμα με τη διάμεσο και τα τεταρτημόρια. Τόσο η διάμεσος, όσο και τα τεταρτημόρια και τα δεκαδικά ανήκουν στη λεγόμενη τακτική στατιστική, η οποία νοείται ως επιλογή που καταλαμβάνει μια ορισμένη τακτική θέση στη σειρά κατάταξης.

Σειρά στατιστικής κατανομής– πρόκειται για μια διατεταγμένη κατανομή πληθυσμιακών μονάδων σε ομάδες σύμφωνα με ένα συγκεκριμένο διαφορετικό χαρακτηριστικό.
Ανάλογα με το χαρακτηριστικό στο οποίο βασίζεται ο σχηματισμός της σειράς διανομής, υπάρχουν αποδοτικές και μεταβλητές σειρές διανομής.

Η παρουσία ενός κοινού χαρακτηριστικού αποτελεί τη βάση για το σχηματισμό ενός στατιστικού πληθυσμού, ο οποίος αντιπροσωπεύει τα αποτελέσματα της περιγραφής ή της μέτρησης των γενικών χαρακτηριστικών των αντικειμένων μελέτης.

Το αντικείμενο μελέτης στη στατιστική είναι τα μεταβαλλόμενα (μεταβλητά) χαρακτηριστικά ή στατιστικά χαρακτηριστικά.

Είδη στατιστικών χαρακτηριστικών.

Οι σειρές διανομής ονομάζονται αποδοτικέςκατασκευασμένο με ποιοτικά κριτήρια. Προσδιοριστικό– αυτό είναι ένα σημάδι που έχει όνομα (για παράδειγμα, επάγγελμα: μοδίστρα, δάσκαλος κ.λπ.).
Η σειρά διανομής παρουσιάζεται συνήθως με τη μορφή πινάκων. Στον πίνακα Το 2.8 δείχνει τη σειρά κατανομής χαρακτηριστικών.
Πίνακας 2.8 - Κατανομή τύπων νομικής συνδρομής που παρέχεται από δικηγόρους σε πολίτες μιας από τις περιοχές της Ρωσικής Ομοσπονδίας.

Σειρά παραλλαγής– αυτές είναι οι τιμές του χαρακτηριστικού (ή των διαστημάτων τιμών) και οι συχνότητές τους.
Οι σειρές παραλλαγής είναι σειρές διανομής, χτισμένο σε ποσοτική βάση. Οποιαδήποτε σειρά παραλλαγών αποτελείται από δύο στοιχεία: επιλογές και συχνότητες.
Οι παραλλαγές θεωρούνται οι μεμονωμένες τιμές ενός χαρακτηριστικού που παίρνει σε μια σειρά παραλλαγής.
Οι συχνότητες είναι οι αριθμοί των μεμονωμένων παραλλαγών ή κάθε ομάδας μιας σειράς παραλλαγών, δηλ. Αυτοί είναι αριθμοί που δείχνουν πόσο συχνά εμφανίζονται ορισμένες επιλογές σε μια σειρά διανομής. Το άθροισμα όλων των συχνοτήτων καθορίζει το μέγεθος ολόκληρου του πληθυσμού, τον όγκο του.
Οι συχνότητες είναι συχνότητες που εκφράζονται ως κλάσματα μιας μονάδας ή ως ποσοστό του συνόλου. Αντίστοιχα, το άθροισμα των συχνοτήτων είναι ίσο με 1 ή 100%. Η σειρά παραλλαγών επιτρέπει σε κάποιον να εκτιμήσει τη μορφή του νόμου κατανομής με βάση τα πραγματικά δεδομένα.

Ανάλογα με τη φύση της παραλλαγής του χαρακτηριστικού, υπάρχουν σειρές διακριτών και διαστημάτων μεταβολής.
Ένα παράδειγμα μιας διακριτής σειράς παραλλαγών δίνεται στον πίνακα. 2.9.
Πίνακας 2.9 - Κατανομή οικογενειών με βάση τον αριθμό των κατειλημμένων δωματίων σε μεμονωμένα διαμερίσματα το 1989 στη Ρωσική Ομοσπονδία.

Η πρώτη στήλη του πίνακα παρουσιάζει επιλογές για μια διακριτή σειρά διακύμανσης, η δεύτερη στήλη περιέχει τις συχνότητες της σειράς διακύμανσης και η τρίτη περιέχει δείκτες συχνότητας.

Σειρά παραλλαγής

Στο γενικό πληθυσμό μελετάται ένα συγκεκριμένο ποσοτικό χαρακτηριστικό. Ένα δείγμα όγκου εξάγεται τυχαία από αυτό n, δηλαδή, ο αριθμός των στοιχείων του δείγματος είναι ίσος με n. Στο πρώτο στάδιο της στατιστικής επεξεργασίας, κυμαίνεταιδείγματα, δηλ. παραγγελία αριθμού x 1 , x 2 , …, x nΑύξουσα. Κάθε παρατηρούμενη τιμή x iπου ονομάζεται επιλογή. Συχνότητα m iείναι ο αριθμός των παρατηρήσεων της τιμής x iστο δείγμα. Σχετική συχνότητα (συχνότητα) w iείναι ο λόγος συχνότητας m iστο μέγεθος του δείγματος n: .
Κατά τη μελέτη των σειρών παραλλαγών, χρησιμοποιούνται επίσης οι έννοιες της συσσωρευμένης συχνότητας και της συσσωρευμένης συχνότητας. Αφήνω Χκάποιο νούμερο. Στη συνέχεια, ο αριθμός των επιλογών , των οποίων οι τιμές είναι μικρότερες Χ, ονομάζεται συσσωρευμένη συχνότητα: για x i nονομάζεται συσσωρευμένη συχνότητα w i max.
Ένα χαρακτηριστικό ονομάζεται διακριτά μεταβλητό εάν οι επιμέρους τιμές του (παραλλαγές) διαφέρουν μεταξύ τους κατά μια ορισμένη πεπερασμένη τιμή (συνήθως έναν ακέραιο). Η σειρά παραλλαγών ενός τέτοιου χαρακτηριστικού ονομάζεται διακριτή σειρά παραλλαγής.

Πίνακας 1. Γενική άποψη μιας σειράς διακριτών συχνοτήτων μεταβολής

Χαρακτηριστικές αξίες	x i	x 1	x 2	…	x n
Συχνότητες	m i	m 1	m 2	…	m n

Ένα χαρακτηριστικό ονομάζεται συνεχώς μεταβαλλόμενο εάν οι τιμές του διαφέρουν μεταξύ τους κατά ένα αυθαίρετα μικρό ποσό, δηλ. ένα σημάδι μπορεί να πάρει οποιαδήποτε τιμή σε ένα συγκεκριμένο διάστημα. Μια σειρά συνεχούς μεταβολής για ένα τέτοιο χαρακτηριστικό ονομάζεται διάστημα.

Πίνακας 2. Γενική άποψη της σειράς συχνοτήτων μεταβολής διαστήματος

Πίνακας 3. Γραφικές εικόνες της σειράς παραλλαγής

Σειρά	Πολύγωνο ή ιστόγραμμα		Εμπειρική συνάρτηση κατανομής
Διακεκριμένος
Διάστημα

Με την ανασκόπηση των αποτελεσμάτων των παρατηρήσεων, καθορίζεται πόσες τιμές παραλλαγής εμπίπτουν σε κάθε συγκεκριμένο διάστημα. Υποτίθεται ότι κάθε διάστημα ανήκει σε ένα από τα άκρα του: είτε σε όλες τις περιπτώσεις αριστερά (πιο συχνά) είτε σε όλες τις περιπτώσεις δεξιά, και οι συχνότητες ή οι συχνότητες δείχνουν τον αριθμό των επιλογών που περιέχονται στα καθορισμένα όρια. Διαφορές a i – a i +1ονομάζονται επιμέρους διαστήματα. Για να απλοποιηθούν οι επόμενοι υπολογισμοί, η σειρά μεταβολών διαστήματος μπορεί να αντικατασταθεί από μια υπό όρους διακριτή. Σε αυτή την περίπτωση, η μέση τιμή Εγώ-Το διάστημα λαμβάνεται ως επιλογή x iκαι την αντίστοιχη συχνότητα διαστήματος m i– για τη συχνότητα αυτού του διαστήματος.
Για τη γραφική αναπαράσταση σειρών παραλλαγών, τα πιο συχνά χρησιμοποιούμενα είναι το πολύγωνο, το ιστόγραμμα, η αθροιστική καμπύλη και η συνάρτηση εμπειρικής κατανομής.

Στον πίνακα 2.3 (Ομαδοποίηση του ρωσικού πληθυσμού κατά μέσο κατά κεφαλήν εισόδημα τον Απρίλιο 1994) παρουσιάζεται σειρές παραλλαγής διαστήματος.
Είναι βολικό να αναλύονται οι σειρές διανομής χρησιμοποιώντας μια γραφική εικόνα, η οποία επιτρέπει σε κάποιον να κρίνει το σχήμα της διανομής. Μια οπτική αναπαράσταση της φύσης των αλλαγών στις συχνότητες της σειράς παραλλαγών δίνεται από πολύγωνο και ιστόγραμμα.
Το πολύγωνο χρησιμοποιείται όταν απεικονίζονται διακριτές σειρές παραλλαγών.
Ας απεικονίσουμε, για παράδειγμα, γραφικά την κατανομή του αποθέματος κατοικιών ανά τύπο διαμερίσματος (Πίνακας 2.10).
Πίνακας 2.10 - Κατανομή του οικιστικού αποθέματος της αστικής περιοχής ανά τύπο διαμερίσματος (στοιχεία υπό όρους).

Ρύζι. Χώρος διανομής κατοικιών

Όχι μόνο οι τιμές συχνότητας, αλλά και οι συχνότητες της σειράς μεταβολών μπορούν να απεικονιστούν στους άξονες τεταγμένων.
Το ιστόγραμμα χρησιμοποιείται για την απεικόνιση μιας σειράς παραλλαγής διαστήματος. Κατά την κατασκευή ενός ιστογράμματος, οι τιμές των διαστημάτων σχεδιάζονται στον άξονα της τετμημένης και οι συχνότητες απεικονίζονται με ορθογώνια χτισμένα στα αντίστοιχα διαστήματα. Το ύψος των στηλών στην περίπτωση ίσων διαστημάτων πρέπει να είναι ανάλογο με τις συχνότητες. Το ιστόγραμμα είναι ένα γράφημα στο οποίο μια σειρά απεικονίζεται ως ράβδοι η μία δίπλα στην άλλη.
Ας απεικονίσουμε γραφικά τη σειρά κατανομής διαστήματος που δίνεται στον πίνακα. 2.11.
Πίνακας 2.11 - Κατανομή οικογενειών κατά μέγεθος ζωτικού χώρου ανά άτομο (στοιχεία υπό όρους).

N p/p	Ομάδες οικογενειών κατά μέγεθος ζωτικού χώρου ανά άτομο	Αριθμός οικογενειών με δεδομένο μέγεθος χώρου διαβίωσης	Αθροιστικός αριθμός οικογενειών
1	3 – 5	10	10
2	5 – 7	20	30
3	7 – 9	40	70
4	9 – 11	30	100
5	11 – 13	15	115
ΣΥΝΟΛΟ		115	----

Ρύζι. 2.2. Ιστόγραμμα της κατανομής των οικογενειών κατά το μέγεθος του ζωτικού χώρου ανά άτομο

Χρησιμοποιώντας τα δεδομένα της συσσωρευμένης σειράς (Πίνακας 2.11), κατασκευάζουμε σωρευτική κατανομή.

Ρύζι. 2.3. Σωρευτική κατανομή οικογενειών κατά μέγεθος ζωτικού χώρου ανά άτομο

Η αναπαράσταση μιας σειράς παραλλαγών με τη μορφή αθροίσματος είναι ιδιαίτερα αποτελεσματική για σειρές παραλλαγών των οποίων οι συχνότητες εκφράζονται ως κλάσματα ή ποσοστά του αθροίσματος των σειρών συχνοτήτων.
Αν αλλάξουμε τους άξονες όταν απεικονίζουμε γραφικά μια σειρά παραλλαγών με τη μορφή αθροιστικών, τότε παίρνουμε ogiva. Στο Σχ. Το 2.4 δείχνει μια ένδειξη που κατασκευάστηκε με βάση τα δεδομένα του Πίνακα. 2.11.
Ένα ιστόγραμμα μπορεί να μετατραπεί σε πολύγωνο κατανομής βρίσκοντας τα μέσα των πλευρών των ορθογωνίων και στη συνέχεια συνδέοντας αυτά τα σημεία με ευθείες γραμμές. Το προκύπτον πολύγωνο κατανομής φαίνεται στο Σχ. 2.2 με διακεκομμένη γραμμή.
Κατά την κατασκευή ενός ιστογράμματος της κατανομής μιας σειράς μεταβολών με άνισα διαστήματα, δεν είναι οι συχνότητες που σχεδιάζονται κατά μήκος του άξονα τεταγμένων, αλλά η πυκνότητα της κατανομής του χαρακτηριστικού στα αντίστοιχα διαστήματα.
Η πυκνότητα κατανομής είναι η συχνότητα που υπολογίζεται ανά μονάδα πλάτους διαστήματος, δηλ. πόσες μονάδες σε κάθε ομάδα είναι ανά μονάδα τιμής διαστήματος. Ένα παράδειγμα υπολογισμού της πυκνότητας κατανομής παρουσιάζεται στον πίνακα. 2.12.
Πίνακας 2.12 - Κατανομή επιχειρήσεων κατά αριθμό εργαζομένων (στοιχεία υπό όρους)

N p/p	Ομάδες επιχειρήσεων κατά αριθμό εργαζομένων, άτομα.	Αριθμός επιχειρήσεων	Μέγεθος διαστήματος, άτομα.	Πυκνότητα κατανομής
	ΕΝΑ	1	2	3=1/2
1	Μέχρι 20	15	20	0,75
2	20 – 80	27	60	0,25
3	80 – 150	35	70	0,5
4	150 – 300	60	150	0,4
5	300 – 500	10	200	0,05
	ΣΥΝΟΛΟ	147	----	----

Μπορεί επίσης να χρησιμοποιηθεί για τη γραφική αναπαράσταση σειρών παραλλαγών αθροιστική καμπύλη. Χρησιμοποιώντας μια αθροιστική (καμπύλη αθροίσματος), απεικονίζεται μια σειρά συσσωρευμένων συχνοτήτων. Οι αθροιστικές συχνότητες καθορίζονται με τη διαδοχική άθροιση των συχνοτήτων μεταξύ των ομάδων και δείχνουν πόσες μονάδες στον πληθυσμό έχουν τιμές χαρακτηριστικών όχι μεγαλύτερες από την υπό εξέταση τιμή.

Ρύζι. 2.4. Αιτιολογία κατανομής των οικογενειών κατά το μέγεθος του ζωτικού χώρου ανά άτομο

Κατά την κατασκευή των σωρευμάτων μιας σειράς μεταβολών διαστήματος, οι παραλλαγές της σειράς σχεδιάζονται κατά μήκος του άξονα της τετμημένης και οι συσσωρευμένες συχνότητες σχεδιάζονται κατά μήκος του άξονα των τεταγμένων.

Σειρά συνεχούς παραλλαγής

Σειρά συνεχούς μεταβολής - μια σειρά που κατασκευάζεται με βάση ένα ποσοτικό στατιστικό χαρακτηριστικό. Παράδειγμα. Η μέση διάρκεια ασθένειας των καταδίκων (ημέρες ανά άτομο) τη φετινή περίοδο φθινοπώρου-χειμώνα ήταν:

7,0	6,0	5,9	9,4	6,5	7,3	7,6	9,3	5,8	7,2
7,1	8,3	7,5	6,8	7,1	9,2	6,1	8,5	7,4	7,8
10,2	9,4	8,8	8,3	7,9	9,2	8,9	9,0	8,7	8,5

Ένα παράδειγμα επίλυσης τεστ μαθηματικών στατιστικών

Πρόβλημα 1

Αρχικά στοιχεία : μαθητές μιας συγκεκριμένης ομάδας αποτελούμενη από 30 άτομα πέρασαν εξετάσεις στο μάθημα «Πληροφορική». Οι βαθμοί που λαμβάνουν οι μαθητές σχηματίζουν την ακόλουθη σειρά αριθμών:

I. Ας δημιουργήσουμε μια σειρά παραλλαγών

	Μ Χ	w Χ	Μ Χ nak	w Χ nak
Σύνολο:

II. Γραφική αναπαράσταση στατιστικών πληροφοριών.

III. Αριθμητικά χαρακτηριστικά του δείγματος.

1. Αριθμητικός μέσος όρος

2. Γεωμετρικός μέσος όρος

3. Μόδα

4. Διάμεσος

222222333333333 | 3 34444444445555

5. Δειγματική διακύμανση

7. Συντελεστής διακύμανσης

8. Ασυμμετρία

9. Συντελεστής ασυμμετρίας

10. Υπέρβαση

11. Συντελεστής κύρωσης

Πρόβλημα 2

Αρχικά στοιχεία : Οι μαθητές κάποιας ομάδας έγραψαν το τελικό τεστ. Η ομάδα αποτελείται από 30 άτομα. Οι βαθμοί που σημειώνουν οι μαθητές σχηματίζουν την παρακάτω σειρά αριθμών

Λύση

I. Δεδομένου ότι το χαρακτηριστικό παίρνει πολλές διαφορετικές τιμές, θα κατασκευάσουμε μια σειρά παραλλαγής διαστήματος για αυτό. Για να το κάνετε αυτό, ορίστε πρώτα την τιμή του διαστήματος η. Ας χρησιμοποιήσουμε τον τύπο του Stanger

Ας δημιουργήσουμε μια κλίμακα διαστήματος. Σε αυτήν την περίπτωση, θα πάρουμε ως ανώτατο όριο του πρώτου διαστήματος την τιμή που καθορίζεται από τον τύπο:

Καθορίζουμε τα ανώτερα όρια των επόμενων διαστημάτων χρησιμοποιώντας τον ακόλουθο επαναλαμβανόμενο τύπο:

, Επειτα

Ολοκληρώνουμε την κατασκευή της κλίμακας διαστήματος, καθώς το ανώτερο όριο του επόμενου διαστήματος έχει γίνει μεγαλύτερο ή ίσο με τη μέγιστη τιμή δείγματος
.

II. Γραφική απεικόνιση σειρών διαστημάτων παραλλαγής

III. Αριθμητικά χαρακτηριστικά του δείγματος

Για να προσδιορίσουμε τα αριθμητικά χαρακτηριστικά του δείγματος, θα συνθέσουμε έναν βοηθητικό πίνακα

Αθροισμα:

1. Αριθμητικός μέσος όρος

2. Γεωμετρικός μέσος όρος

3. Μόδα

4. Διάμεσος

10 11 12 12 13 13 13 13 14 14 14 14 15 15 15 |15 15 15 16 16 16 16 16 17 17 18 19 19 20 20

5. Δειγματική διακύμανση

6. Δείγμα τυπικής απόκλισης

7. Συντελεστής διακύμανσης

8. Ασυμμετρία

9. Συντελεστής ασυμμετρίας

10. Υπέρβαση

11. Συντελεστής κύρωσης

Πρόβλημα 3

Κατάσταση : η τιμή διαίρεσης της κλίμακας αμπερόμετρου είναι 0,1 A. Οι ενδείξεις στρογγυλοποιούνται στην πλησιέστερη ακέραια διαίρεση. Βρείτε την πιθανότητα κατά την ανάγνωση να γίνει σφάλμα που θα υπερβαίνει το 0,02 A.

Λύση.

Το σφάλμα στρογγυλοποίησης του δείγματος μπορεί να θεωρηθεί ως τυχαία μεταβλητή Χ, το οποίο κατανέμεται ομοιόμορφα στο διάστημα μεταξύ δύο γειτονικών ακέραιων διαιρέσεων. Ομοιόμορφη πυκνότητα κατανομής

,

Οπου
- μήκος του διαστήματος που περιέχει πιθανές τιμές Χ; έξω από αυτό το διάστημα
Σε αυτό το πρόβλημα, το μήκος του διαστήματος που περιέχει πιθανές τιμές είναι Χ, ισούται με 0,1, άρα

Το σφάλμα ανάγνωσης θα ξεπεράσει το 0,02 εάν βρίσκεται στο διάστημα (0,02; 0,08). Επειτα

Απάντηση: R=0,6

Πρόβλημα 4

Αρχικά δεδομένα: μαθηματική προσδοκία και τυπική απόκλιση ενός κανονικά κατανεμημένου χαρακτηριστικού Χαντίστοιχα ίσο με 10 και 2. Να βρείτε την πιθανότητα ότι ως αποτέλεσμα του τεστ Χθα λάβει την τιμή που περιέχεται στο διάστημα (12, 14).

Λύση.

Ας χρησιμοποιήσουμε τον τύπο

Και θεωρητικές συχνότητες

Λύση

Για το Χ η μαθηματική του προσδοκία είναι M(X) και η διακύμανση D(X). Λύση. Ας βρούμε τη συνάρτηση κατανομής F(x) της τυχαίας μεταβλητής... δειγματοληπτικό σφάλμα). Ας συνθέσουμε μεταβλητή σειράΠλάτος διαστήματος θα είναι: Για κάθε τιμή σειράΑς υπολογίσουμε πόσα...

Λύση: διαχωρίσιμη εξίσωση

Λύση

Με τη μορφή Για να βρείτε το πηλίκο λύσειςανομοιογενής εξίσωση ας φτιάξουμεσύστημα Ας λύσουμε το σύστημα που προκύπτει... ; +47; +61; +10; -8. Διάστημα δόμησης μεταβλητή σειρά. Δώστε στατιστικές εκτιμήσεις για τη μέση τιμή...

Λύση: Ας υπολογίσουμε αλυσιδωτές και βασικές απόλυτες αυξήσεις, ρυθμούς ανάπτυξης, ρυθμούς ανάπτυξης. Συνοψίζουμε τις λαμβανόμενες τιμές στον Πίνακα 1

Λύση

Όγκος παραγωγής. Λύση: Αριθμητικός μέσος όρος διαστήματος μεταβλητή σειράυπολογίζεται ως εξής: για... Οριακό δειγματοληπτικό σφάλμα με πιθανότητα 0,954 (t=2) θα είναι: Δ w = t*μ = 2*0,0146 = 0,02927 Ας ορίσουμε τα όρια...

Λύση. Σημάδι

Λύση

Σχετικά με ποιανού η εργασιακή εμπειρία και φτιαγμένοδείγμα. Το δείγμα μέσης εργασιακής εμπειρίας... αυτών των εργαζομένων και φτιαγμένοδείγμα. Η μέση διάρκεια για το δείγμα... 1,16, επίπεδο σημαντικότητας α = 0,05. Λύση. Μεταβλητή σειράαυτού του δείγματος μοιάζει με: 0,71 ...

Πρόγραμμα εργασίας στη βιολογία για τις τάξεις 10-11 Συντάχθηκε από: Polikarpova S. V.

Πρόγραμμα σπουδών εργασίας

Τα απλούστερα σχήματα διέλευσης» 5 L.r. " Λύσηστοιχειώδη γενετικά προβλήματα» 6 L.b. " Λύσηστοιχειώδη γενετικά προβλήματα» 7 L.r. «..., 110, 115, 112, 110. Συνθέτω μεταβλητή σειρά, σχεδιάζω μεταβλητήκαμπύλη, βρείτε τη μέση τιμή του χαρακτηριστικού...

Μια ομάδα αριθμών που ενώνονται με κάποιο χαρακτηριστικό ονομάζεται ως σύνολο.

Όπως σημειώθηκε παραπάνω, το πρωταρχικό στατιστικό αθλητικό υλικό είναι μια ομάδα διαφορετικών αριθμών που δεν δίνουν στον προπονητή μια ιδέα για την ουσία του φαινομένου ή της διαδικασίας. Η πρόκληση είναι να μετατρέψουμε αυτήν τη συλλογή σε σύστημα και να χρησιμοποιήσουμε τους δείκτες της για να αποκτήσουμε τις απαιτούμενες πληροφορίες.

Η σύνταξη μιας σειράς παραλλαγών είναι ακριβώς ο σχηματισμός ενός συγκεκριμένου μαθηματικού

Παράδειγμα 2. 34 σκιέρ κατέγραψαν τον ακόλουθο χρόνο ανάκτησης καρδιακών παλμών μετά την ολοκλήρωση της απόστασης (σε δευτερόλεπτα):

81; 78: 84; 90; 78; 74; 84; 85; 81; 84: 79; 84; 74; 84; 84;

85; 81; 84; 78: 81; 74; 84; 81; 84; 85; 81; 78; 81; 81; 84;

Όπως μπορείτε να δείτε, αυτή η ομάδα αριθμών δεν φέρει καμία πληροφορία.

Για να συντάξουμε μια σειρά παραλλαγών, εκτελούμε πρώτα τη λειτουργία σειρά κατάταξης -τακτοποίηση αριθμών σε αύξουσα ή φθίνουσα σειρά. Για παράδειγμα, με αύξουσα σειρά η κατάταξη έχει ως αποτέλεσμα τα εξής.

78; 78; 78; 78; 78; 78;

81; 81; 81; 81; 81; 81; 81; 81; 81;

84; 84; 84; 84; 84; 84; 84; 84; 84; 84; 84;

Με φθίνουσα σειρά, η κατάταξη καταλήγει σε αυτήν την ομάδα αριθμών:

84; 84; 84; 84; 84; 84; 84; 84: 84: 84; 84;

81; 81; 81; 81; 8!; 81: 81; 81; 81;

78; 78; 78; 78; 78; 78;

Μετά την κατάταξη, η παράλογη μορφή γραφής αυτής της ομάδας αριθμών γίνεται προφανής - οι ίδιοι αριθμοί επαναλαμβάνονται πολλές φορές. Επομένως, προκύπτει η φυσική ιδέα να μεταμορφωθεί η εγγραφή με τέτοιο τρόπο ώστε να υποδεικνύεται ποιος αριθμός επαναλαμβάνεται πόσες φορές. Για παράδειγμα, λαμβάνοντας υπόψη την κατάταξη με αύξουσα σειρά:

Εδώ στα αριστερά υπάρχει ένας αριθμός που υποδεικνύει το χρόνο ανάκτησης του σφυγμού του αθλητή, στα δεξιά είναι ο αριθμός των επαναλήψεων αυτής της ανάγνωσης σε μια δεδομένη ομάδα 34 αθλητών.

Σύμφωνα με τις παραπάνω έννοιες για τα μαθηματικά σύμβολα, θα υποδηλώσουμε την εξεταζόμενη ομάδα μετρήσεων με κάποιο γράμμα, για παράδειγμα x. Λαμβάνοντας υπόψη την αύξουσα σειρά των αριθμών σε αυτήν την ομάδα: x 1 -74 s; x 2 - 78 s; x 3 - 81 s; x 4 - 84 s; x 5 - 85 s; x 6 - x n - 90 s, κάθε αριθμός που εξετάζεται μπορεί να συμβολίζεται με το σύμβολο X i.

Ας υποδηλώσουμε τον αριθμό των επαναλήψεων των εξεταζόμενων μετρήσεων με το γράμμα n. Επειτα:

n 1 =4; n 2 =6; n 3 =9; n 4 =11; n 5 =3;n 6 =n n =1, και κάθε αριθμός επαναλήψεων μπορεί να συμβολιστεί ως n i.

Ο συνολικός αριθμός των μετρήσεων που λαμβάνονται, όπως προκύπτει από τη συνθήκη του παραδείγματος, είναι 34. Αυτό σημαίνει ότι το άθροισμα όλων των n είναι ίσο με 34. Ή σε συμβολική έκφραση:

Ας συμβολίσουμε αυτό το ποσό με ένα γράμμα - n. Στη συνέχεια, τα αρχικά δεδομένα του υπό εξέταση παραδείγματος μπορούν να γραφούν σε αυτή τη μορφή (Πίνακας 1).

Η προκύπτουσα ομάδα αριθμών είναι μια μετασχηματισμένη σειρά χαοτικών διάσπαρτων αναγνώσεων που λαμβάνονται από τον εκπαιδευτή στην αρχή της εργασίας.

Τραπέζι 1

x i	n i
	n=34

Μια τέτοια ομάδα αντιπροσωπεύει ένα συγκεκριμένο σύστημα, οι παράμετροι του οποίου χαρακτηρίζουν τις μετρήσεις που λαμβάνονται. Καλούνται οι αριθμοί που αντιπροσωπεύουν τα αποτελέσματα των μετρήσεων (x i). επιλογές? n i - ο αριθμός των επαναλήψεών τους - καλούνται συχνότητες? n - άθροισμα όλων των συχνοτήτων - ναι όγκο του πληθυσμού.

Ολόκληρο το σύστημα που προκύπτει ονομάζεται σειρά παραλλαγής.Μερικές φορές αυτές οι σειρές ονομάζονται εμπειρικές ή στατιστικές.

Είναι εύκολο να δούμε ότι μια ειδική περίπτωση μιας μεταβλητής σειράς είναι δυνατή όταν όλες οι συχνότητες είναι ίσες με ένα n i ==1, δηλαδή, κάθε μέτρηση σε μια δεδομένη ομάδα αριθμών γίνεται μόνο μία φορά.

Η προκύπτουσα σειρά παραλλαγών, όπως κάθε άλλη, μπορεί να αναπαρασταθεί γραφικά. Για να σχεδιάσετε ένα γράφημα της προκύπτουσας σειράς, είναι απαραίτητο πρώτα απ 'όλα να συμφωνήσετε σχετικά με την κλίμακα στον οριζόντιο και τον κατακόρυφο άξονα.

Σε αυτό το πρόβλημα, θα σχεδιάσουμε τις τιμές του χρόνου ανάκτησης παλμού (x 1) στον οριζόντιο άξονα με τέτοιο τρόπο ώστε μια μονάδα μήκους, που επιλέγεται αυθαίρετα, να αντιστοιχεί στην τιμή ενός δευτερολέπτου. Θα αρχίσουμε να αναβάλλουμε αυτές τις τιμές από 70 δευτερόλεπτα, υποχωρώντας υπό όρους από τη διασταύρωση των δύο αξόνων 0.

Στον κατακόρυφο άξονα σχεδιάζουμε τις τιμές συχνότητας της σειράς μας (n i), παίρνοντας την κλίμακα: μια μονάδα μήκους είναι ίση με μια μονάδα συχνότητας.

Έχοντας προετοιμάσει έτσι τις συνθήκες για την κατασκευή ενός γραφήματος, αρχίζουμε να εργαζόμαστε με τη σειρά παραλλαγών που προκύπτει.

Σχεδιάζουμε το πρώτο ζεύγος αριθμών x 1 =74, n 1 =4 στο γράφημα ως εξής: στον άξονα x; βρείτε το x 1 =74 και επαναφέρουμε την κάθετο από αυτό το σημείο, στον άξονα n βρίσκουμε n 1 = 4 και χαράσσουμε μια οριζόντια γραμμή από αυτήν μέχρι να τέμνεται με την προηγουμένως αποκατασταθείσα κάθετο. Και οι δύο γραμμές —κάθετες και οριζόντιες— είναι βοηθητικές γραμμές και επομένως σχεδιάζονται με κουκκίδες στο σχέδιο. Το σημείο τομής τους αντιπροσωπεύει, στην κλίμακα αυτού του γραφήματος, τον λόγο X 1 =74 και n 1 =4.

Όλα τα άλλα σημεία του γραφήματος απεικονίζονται με τον ίδιο τρόπο. Στη συνέχεια συνδέονται με ευθύγραμμα τμήματα. Για να έχει το γράφημα κλειστή εμφάνιση, συνδέουμε τα ακραία σημεία με τμήματα σε γειτονικά σημεία του οριζόντιου άξονα.

Το σχήμα που προκύπτει είναι ένα γράφημα της σειράς παραλλαγών μας (Εικ. 1).

Είναι απολύτως σαφές ότι κάθε σειρά παραλλαγών αντιπροσωπεύεται από το δικό της γράφημα.

Ρύζι. 1. Γραφική αναπαράσταση της σειράς παραλλαγής.

Στο Σχ. 1 ορατό:

1) από όλους αυτούς που εξετάστηκαν, η μεγαλύτερη ομάδα αποτελούνταν από αθλητές των οποίων ο χρόνος αποκατάστασης του καρδιακού ρυθμού ήταν 84 δευτερόλεπτα.

2) για πολλούς αυτός ο χρόνος είναι 81 s.

3) η μικρότερη ομάδα αποτελούνταν από αθλητές με σύντομο χρόνο ανάκτησης σφυγμού - 74 δευτερόλεπτα και μεγάλο - 90 δευτερόλεπτα.

Έτσι, μετά την ολοκλήρωση μιας σειράς δοκιμών, θα πρέπει να ταξινομήσετε τους αριθμούς που προέκυψαν και να συντάξετε μια σειρά παραλλαγών, που είναι ένα συγκεκριμένο μαθηματικό σύστημα. Για λόγους σαφήνειας, η σειρά παραλλαγών μπορεί να απεικονιστεί με ένα γράφημα.

Η παραπάνω σειρά παραλλαγών ονομάζεται επίσης διακεκριμένοςδίπλα του - ένα στο οποίο κάθε επιλογή εκφράζεται με έναν αριθμό.

Ας δώσουμε μερικά ακόμη παραδείγματα μεταγλώττισης σειρών παραλλαγών.

Παράδειγμα 3. 12 σκοπευτές, εκτελώντας μια επιρρεπή άσκηση 10 βολών, έδειξαν τα ακόλουθα αποτελέσματα (σε βαθμούς):

94; 91; 96; 94; 94; 92; 91; 92; 91; 95; 94; 94.

Για να σχηματίσουμε μια σειρά παραλλαγών, θα ταξινομήσουμε αυτούς τους αριθμούς.

94; 94; 94; 94; 94;

Μετά την κατάταξη, καταρτίζουμε μια σειρά παραλλαγών (Πίνακας 3).