Επίλυση παραστάσεων με κλάσματα. Πράξεις με συνηθισμένα κλάσματα

Στο άρθρο που θα δείξουμε πώς να λύσετε κλάσματαχρησιμοποιώντας απλά, κατανοητά παραδείγματα. Ας καταλάβουμε τι είναι ένα κλάσμα και ας εξετάσουμε επίλυση κλασμάτων!

Εννοια κλάσματαεισάγεται στα μαθήματα των μαθηματικών ξεκινώντας από την ΣΤ' τάξη της δευτεροβάθμιας εκπαίδευσης.

Τα κλάσματα έχουν τη μορφή: ±X/Y, όπου το Y είναι ο παρονομαστής, λέει σε πόσα μέρη χωρίστηκε το σύνολο και το X είναι ο αριθμητής, λέει πόσα τέτοια μέρη ελήφθησαν. Για λόγους σαφήνειας, ας πάρουμε ένα παράδειγμα με ένα κέικ:

Στην πρώτη περίπτωση το κέικ κόπηκε εξίσου και έπαιρνε το μισό, δηλ. 1/2. Στη δεύτερη περίπτωση, το κέικ κόπηκε σε 7 μέρη, από τα οποία πάρθηκαν τα 4, δηλ. 4/7.

Αν το μέρος της διαίρεσης ενός αριθμού με έναν άλλο δεν είναι ακέραιος, γράφεται ως κλάσμα.

Για παράδειγμα, η έκφραση 4:2 = 2 δίνει έναν ακέραιο, αλλά το 4:7 δεν διαιρείται με ένα σύνολο, επομένως αυτή η έκφραση γράφεται ως κλάσμα 4/7.

Με άλλα λόγια κλάσμαείναι μια έκφραση που υποδηλώνει τη διαίρεση δύο αριθμών ή παραστάσεων και η οποία γράφεται με κλασματική κάθετο.

Αν ο αριθμητής είναι μικρότερος από τον παρονομαστή, το κλάσμα είναι σωστό, αν το αντίστροφο, είναι ακατάλληλο κλάσμα. Ένα κλάσμα μπορεί να περιέχει έναν ακέραιο αριθμό.

Για παράδειγμα, 5 ολόκληρα 3/4.

Αυτή η καταχώριση σημαίνει ότι για να πάρουμε ολόκληρο το 6, λείπει ένα μέρος από τα τέσσερα.

Αν θέλεις να θυμάσαι, πώς να λύσετε κλάσματα για την 6η δημοτικού, πρέπει να το καταλάβετε επίλυση κλασμάτων, βασικά, καταλήγει στην κατανόηση μερικών απλών πραγμάτων.

• Ένα κλάσμα είναι ουσιαστικά μια έκφραση ενός κλάσματος. Δηλαδή, μια αριθμητική έκφραση του τμήματος μιας δεδομένης τιμής ενός συνόλου. Για παράδειγμα, το κλάσμα 3/5 εκφράζει ότι αν χωρίσουμε κάτι ολόκληρο σε 5 μέρη και ο αριθμός των μετοχών ή μερών αυτού του συνόλου είναι τρία.
• Το κλάσμα μπορεί να είναι μικρότερο από 1, για παράδειγμα 1/2 (ή ουσιαστικά το μισό), τότε είναι σωστό. Εάν το κλάσμα είναι μεγαλύτερο από 1, για παράδειγμα 3/2 (τρία μισά ή ενάμισι), τότε είναι λάθος και για να απλοποιήσουμε τη λύση, είναι καλύτερα να επιλέξουμε ολόκληρο το μέρος 3/2 = 1 ολόκληρο 1 /2.
• Τα κλάσματα είναι οι ίδιοι αριθμοί με το 1, το 3, το 10, ακόμη και το 100, μόνο που οι αριθμοί δεν είναι ακέραιοι αλλά κλάσματα. Μπορείτε να εκτελέσετε όλες τις ίδιες λειτουργίες με αυτούς όπως και με τους αριθμούς. Η μέτρηση των κλασμάτων δεν είναι πιο δύσκολη και θα το δείξουμε περαιτέρω με συγκεκριμένα παραδείγματα.

Πώς να λύσετε κλάσματα. Παραδείγματα.

Μια μεγάλη ποικιλία αριθμητικών πράξεων εφαρμόζεται στα κλάσματα.

Αναγωγή κλάσματος σε κοινό παρονομαστή

Για παράδειγμα, πρέπει να συγκρίνετε τα κλάσματα 3/4 και 4/5.

Για να λύσουμε το πρόβλημα, βρίσκουμε πρώτα τον χαμηλότερο κοινό παρονομαστή, δηλ. ο μικρότερος αριθμός που διαιρείται με κάθε έναν από τους παρονομαστές των κλασμάτων χωρίς να αφήνει υπόλοιπο

Ελάχιστος κοινός παρονομαστής(4,5) = 20

Τότε ο παρονομαστής και των δύο κλασμάτων ανάγεται στον χαμηλότερο κοινό παρονομαστή

Απάντηση: 20/15

Πρόσθεση και αφαίρεση κλασμάτων

Εάν είναι απαραίτητο να υπολογιστεί το άθροισμα δύο κλασμάτων, πρώτα φέρονται σε έναν κοινό παρονομαστή, στη συνέχεια προστίθενται οι αριθμητές, ενώ ο παρονομαστής παραμένει αμετάβλητος. Η διαφορά μεταξύ των κλασμάτων υπολογίζεται με τον ίδιο τρόπο, η μόνη διαφορά είναι ότι αφαιρούνται οι αριθμητές.

Για παράδειγμα, πρέπει να βρείτε το άθροισμα των κλασμάτων 1/2 και 1/3

Ας βρούμε τώρα τη διαφορά μεταξύ των κλασμάτων 1/2 και 1/4

Πολλαπλασιασμός και διαίρεση κλασμάτων

Εδώ η επίλυση κλασμάτων δεν είναι δύσκολη, όλα είναι αρκετά απλά εδώ:

• Πολλαπλασιασμός - οι αριθμητές και οι παρονομαστές των κλασμάτων πολλαπλασιάζονται μαζί.
• Διαίρεση - πρώτα παίρνουμε το αντίστροφο κλάσμα του δεύτερου κλάσματος, δηλ. Ανταλλάσσουμε τον αριθμητή και τον παρονομαστή του και μετά πολλαπλασιάζουμε τα κλάσματα που προκύπτουν.

Για παράδειγμα:

Για αυτό πρόκειται πώς να λύσετε κλάσματα, Ολα. Εάν εξακολουθείτε να έχετε ερωτήσεις σχετικά με επίλυση κλασμάτων, αν κάτι δεν είναι ξεκάθαρο, γράψτε στα σχόλια και σίγουρα θα σας απαντήσουμε.

Εάν είστε δάσκαλος, τότε ίσως η λήψη μιας παρουσίασης για το δημοτικό σχολείο (http://school-box.ru/nachalnaya-shkola/prezentazii-po-matematike.html) θα είναι χρήσιμη για εσάς.

Τώρα που μάθαμε πώς να προσθέτουμε και να πολλαπλασιάζουμε μεμονωμένα κλάσματα, μπορούμε να δούμε πιο πολύπλοκες δομές. Για παράδειγμα, τι γίνεται αν το ίδιο πρόβλημα περιλαμβάνει την πρόσθεση, την αφαίρεση και τον πολλαπλασιασμό κλασμάτων;

Πρώτα απ 'όλα, πρέπει να μετατρέψετε όλα τα κλάσματα σε ακατάλληλα. Στη συνέχεια εκτελούμε τις απαιτούμενες ενέργειες διαδοχικά - με την ίδια σειρά όπως για τους συνηθισμένους αριθμούς. Και συγκεκριμένα:

1. Πρώτα γίνεται η εκθεσιμότητα - απαλλαγείτε από όλες τις εκφράσεις που περιέχουν εκθέτες.
2. Στη συνέχεια - διαίρεση και πολλαπλασιασμός.
3. Το τελευταίο βήμα είναι η πρόσθεση και η αφαίρεση.

Φυσικά, εάν υπάρχουν παρενθέσεις στην έκφραση, αλλάζει η σειρά των πράξεων - ό,τι βρίσκεται μέσα στις παρενθέσεις πρέπει πρώτα να μετρηθεί. Και θυμηθείτε τα ακατάλληλα κλάσματα: πρέπει να επισημάνετε ολόκληρο το μέρος μόνο όταν έχουν ήδη ολοκληρωθεί όλες οι άλλες ενέργειες.

Ας μετατρέψουμε όλα τα κλάσματα από την πρώτη έκφραση σε ακατάλληλα και, στη συνέχεια, εκτελέστε τα ακόλουθα βήματα:

Τώρα ας βρούμε την τιμή της δεύτερης έκφρασης. Δεν υπάρχουν κλάσματα με ακέραιο μέρος, αλλά υπάρχουν παρενθέσεις, οπότε πρώτα κάνουμε πρόσθεση και μόνο μετά διαίρεση. Σημειώστε ότι 14 = 7 · 2. Επειτα:

Τέλος, εξετάστε το τρίτο παράδειγμα. Εδώ υπάρχουν αγκύλες και πτυχίο - καλύτερα να τα μετρήσετε χωριστά. Θεωρώντας ότι 9 = 3 3, έχουμε:

Δώστε προσοχή στο τελευταίο παράδειγμα. Για να αυξήσετε ένα κλάσμα σε δύναμη, πρέπει να αυξήσετε χωριστά τον αριθμητή σε αυτήν την ισχύ και ξεχωριστά τον παρονομαστή.

Μπορείτε να αποφασίσετε διαφορετικά. Αν θυμηθούμε τον ορισμό του βαθμού, το πρόβλημα θα περιοριστεί στον συνηθισμένο πολλαπλασιασμό των κλασμάτων:

Πολυόροφα κλάσματα

Μέχρι τώρα, θεωρούσαμε μόνο «καθαρά» κλάσματα, όταν ο αριθμητής και ο παρονομαστής είναι συνηθισμένοι αριθμοί. Αυτό είναι αρκετά συνεπές με τον ορισμό ενός αριθμητικού κλάσματος που δόθηκε στο πρώτο μάθημα.

Τι γίνεται όμως αν βάλετε ένα πιο σύνθετο αντικείμενο στον αριθμητή ή στον παρονομαστή; Για παράδειγμα, ένα άλλο αριθμητικό κλάσμα; Τέτοιες κατασκευές προκύπτουν αρκετά συχνά, ειδικά όταν εργάζεστε με μακριές εκφράσεις. Ακολουθούν μερικά παραδείγματα:

Υπάρχει μόνο ένας κανόνας για την εργασία με κλάσματα πολλαπλών ορόφων: πρέπει να τα ξεφορτωθείτε αμέσως. Η αφαίρεση των «έξτρα» δαπέδων είναι αρκετά απλή, αν θυμάστε ότι η κάθετο σημαίνει την τυπική λειτουργία διαίρεσης. Επομένως, οποιοδήποτε κλάσμα μπορεί να ξαναγραφτεί ως εξής:

Χρησιμοποιώντας αυτό το γεγονός και ακολουθώντας τη διαδικασία, μπορούμε εύκολα να αναγάγουμε οποιοδήποτε πολυώροφο κλάσμα σε ένα συνηθισμένο. Ρίξτε μια ματιά στα παραδείγματα:

Εργο. Μετατρέψτε τα πολυώροφα κλάσματα σε συνηθισμένα:

Σε κάθε περίπτωση, ξαναγράφουμε το κύριο κλάσμα, αντικαθιστώντας τη διαχωριστική γραμμή με ένα σύμβολο διαίρεσης. Θυμηθείτε επίσης ότι οποιοσδήποτε ακέραιος μπορεί να αναπαρασταθεί ως κλάσμα με παρονομαστή 1. Δηλαδή 12 = 12/1; 3 = 3/1. Παίρνουμε:

Στο τελευταίο παράδειγμα, τα κλάσματα ακυρώθηκαν πριν από τον τελικό πολλαπλασιασμό.

Προδιαγραφές εργασίας με κλάσματα πολλαπλών επιπέδων

Υπάρχει μια λεπτότητα στα κλάσματα πολλαπλών επιπέδων που πρέπει πάντα να θυμόμαστε, διαφορετικά μπορείτε να πάρετε τη λάθος απάντηση, ακόμα κι αν όλοι οι υπολογισμοί ήταν σωστοί. Ρίξε μια ματιά:

1. Ο αριθμητής περιέχει τον απλό αριθμό 7 και ο παρονομαστής περιέχει το κλάσμα 12/5.
2. Ο αριθμητής περιέχει το κλάσμα 7/12 και ο παρονομαστής τον χωριστό αριθμό 5.

Έτσι, για μια ηχογράφηση πήραμε δύο εντελώς διαφορετικές ερμηνείες. Εάν μετρήσετε, οι απαντήσεις θα είναι επίσης διαφορετικές:

Για να διασφαλίσετε ότι η εγγραφή διαβάζεται πάντα χωρίς αμφιβολία, χρησιμοποιήστε έναν απλό κανόνα: η διαχωριστική γραμμή του κύριου κλάσματος πρέπει να είναι μεγαλύτερη από τη γραμμή του ένθετου κλάσματος. Κατά προτίμηση πολλές φορές.

Εάν ακολουθείτε αυτόν τον κανόνα, τότε τα παραπάνω κλάσματα θα πρέπει να γράφονται ως εξής:

Ναι, μάλλον είναι αντιαισθητικό και πιάνει πολύ χώρο. Θα μετρήσεις όμως σωστά. Τέλος, μερικά παραδείγματα όπου στην πραγματικότητα προκύπτουν κλάσματα πολλαπλών ορόφων:

Εργο. Βρείτε τις έννοιες των εκφράσεων:

Λοιπόν, ας δουλέψουμε με το πρώτο παράδειγμα. Ας μετατρέψουμε όλα τα κλάσματα σε ακατάλληλα και, στη συνέχεια, κάνουμε πράξεις πρόσθεσης και διαίρεσης:

Ας κάνουμε το ίδιο με το δεύτερο παράδειγμα. Ας μετατρέψουμε όλα τα κλάσματα σε ακατάλληλα και ας εκτελέσουμε τις απαιτούμενες πράξεις. Για να μην κουράσω τον αναγνώστη, θα παραλείψω κάποιους προφανείς υπολογισμούς. Εχουμε:

Λόγω του γεγονότος ότι ο αριθμητής και ο παρονομαστής των βασικών κλασμάτων περιέχουν αθροίσματα, τηρείται αυτόματα ο κανόνας για τη γραφή πολυώροφων κλασμάτων. Επίσης, στο τελευταίο παράδειγμα, αφήσαμε σκόπιμα το 46/1 σε μορφή κλάσματος για να εκτελέσουμε διαίρεση.

Θα σημειώσω επίσης ότι και στα δύο παραδείγματα η γραμμή κλασμάτων αντικαθιστά στην πραγματικότητα τις παρενθέσεις: πρώτα απ 'όλα, βρήκαμε το άθροισμα και μόνο τότε το πηλίκο.

Κάποιοι θα πουν ότι η μετάβαση σε ακατάλληλα κλάσματα στο δεύτερο παράδειγμα ήταν σαφώς περιττή. Ίσως αυτό είναι αλήθεια. Αλλά κάνοντάς το αυτό ασφαλιζόμαστε από λάθη, γιατί την επόμενη φορά το παράδειγμα μπορεί να αποδειχθεί πολύ πιο περίπλοκο. Επιλέξτε μόνοι σας τι είναι πιο σημαντικό: ταχύτητα ή αξιοπιστία.

Αυτό το άρθρο είναι μια γενική ματιά στη λειτουργία με κλάσματα. Εδώ θα διατυπώσουμε και θα αιτιολογήσουμε τους κανόνες πρόσθεσης, αφαίρεσης, πολλαπλασιασμού, διαίρεσης και εκθέσεως κλασμάτων της γενικής μορφής Α/Β, όπου Α και Β είναι κάποιοι αριθμοί, αριθμητικές εκφράσεις ή εκφράσεις με μεταβλητές. Ως συνήθως, θα παρέχουμε στο υλικό επεξηγηματικά παραδείγματα με λεπτομερείς περιγραφές λύσεων.

Πλοήγηση στη σελίδα.

Κανόνες για την εκτέλεση πράξεων με γενικά αριθμητικά κλάσματα

Ας συμφωνήσουμε ότι ως γενικά αριθμητικά κλάσματα εννοούμε τα κλάσματα στα οποία ο αριθμητής ή/και ο παρονομαστής μπορεί να αναπαρασταθεί όχι μόνο με φυσικούς αριθμούς, αλλά και με άλλους αριθμούς ή αριθμητικές εκφράσεις. Για λόγους σαφήνειας, εδώ είναι μερικά παραδείγματα τέτοιων κλασμάτων: .

Γνωρίζουμε τους κανόνες με τους οποίους εκτελούνται. Χρησιμοποιώντας τους ίδιους κανόνες, μπορείτε να εκτελέσετε πράξεις με γενικά κλάσματα:

Το σκεπτικό των κανόνων

Για να δικαιολογήσετε την εγκυρότητα των κανόνων για την εκτέλεση πράξεων με γενικά αριθμητικά κλάσματα, μπορείτε να ξεκινήσετε από τα ακόλουθα σημεία:

• Η κάθετο είναι ουσιαστικά ένα σημάδι διαίρεσης,
• Η διαίρεση με κάποιον μη μηδενικό αριθμό μπορεί να θεωρηθεί πολλαπλασιασμός με το αντίστροφο του διαιρέτη (αυτό εξηγεί αμέσως τον κανόνα για τη διαίρεση των κλασμάτων),
• ιδιότητες πράξεων με πραγματικούς αριθμούς,
• και η γενική κατανόησή του,

Σας επιτρέπουν να πραγματοποιήσετε τους ακόλουθους μετασχηματισμούς που δικαιολογούν τους κανόνες πρόσθεσης, αφαίρεσης κλασμάτων με παρονομαστές όμοιους και διαφορετικούς, καθώς και τον κανόνα του πολλαπλασιασμού των κλασμάτων:

Παραδείγματα

Ας δώσουμε παραδείγματα εκτέλεσης πράξεων με γενικά κλάσματα σύμφωνα με τους κανόνες που μάθαμε στην προηγούμενη παράγραφο. Ας πούμε αμέσως ότι συνήθως μετά την εκτέλεση πράξεων με κλάσματα, το κλάσμα που προκύπτει απαιτεί απλοποίηση και η διαδικασία απλοποίησης ενός κλάσματος είναι συχνά πιο περίπλοκη από την εκτέλεση προηγούμενων ενεργειών. Δεν θα σταθούμε λεπτομερώς στην απλοποίηση των κλασμάτων (οι αντίστοιχοι μετασχηματισμοί συζητούνται στο άρθρο μετασχηματισμός κλασμάτων), για να μην αποσπάσουμε την προσοχή από το θέμα που μας ενδιαφέρει.

Ας ξεκινήσουμε με παραδείγματα πρόσθεσης και αφαίρεσης κλασμάτων με όμοιους παρονομαστές. Αρχικά, ας προσθέσουμε τα κλάσματα και . Προφανώς οι παρονομαστές είναι ίσοι. Σύμφωνα με τον αντίστοιχο κανόνα, γράφουμε ένα κλάσμα του οποίου ο αριθμητής είναι ίσος με το άθροισμα των αριθμητών των αρχικών κλασμάτων και αφήνουμε τον παρονομαστή ίδιο, έχουμε. Η προσθήκη έχει γίνει, το μόνο που μένει είναι να απλοποιηθεί το κλάσμα που προκύπτει: . Ετσι, .

Η λύση θα μπορούσε να αντιμετωπιστεί διαφορετικά: πρώτα να γίνει η μετάβαση στα συνηθισμένα κλάσματα και μετά να γίνει η προσθήκη. Με αυτή την προσέγγιση έχουμε .

Τώρα ας αφαιρέσουμε από το κλάσμα κλάσμα . Οι παρονομαστές των κλασμάτων είναι ίσοι, επομένως, ακολουθούμε τον κανόνα για την αφαίρεση των κλασμάτων με τους ίδιους παρονομαστές:

Ας προχωρήσουμε σε παραδείγματα πρόσθεσης και αφαίρεσης κλασμάτων με διαφορετικούς παρονομαστές. Η κύρια δυσκολία εδώ είναι να φέρουμε τα κλάσματα σε έναν κοινό παρονομαστή. Για τα γενικά κλάσματα, αυτό είναι ένα αρκετά εκτενές θέμα· θα το εξετάσουμε λεπτομερώς σε ξεχωριστό άρθρο. φέρνοντας τα κλάσματα σε κοινό παρονομαστή. Προς το παρόν, θα περιοριστούμε σε μερικές γενικές συστάσεις, καθώς αυτή τη στιγμή μας ενδιαφέρει περισσότερο η τεχνική εκτέλεσης πράξεων με κλάσματα.

Γενικά, η διαδικασία είναι παρόμοια με τη μείωση των συνηθισμένων κλασμάτων σε έναν κοινό παρονομαστή. Δηλαδή, οι παρονομαστές παρουσιάζονται με τη μορφή προϊόντων, στη συνέχεια λαμβάνονται όλοι οι συντελεστές από τον παρονομαστή του πρώτου κλάσματος και προστίθενται σε αυτούς οι συντελεστές που λείπουν από τον παρονομαστή του δεύτερου κλάσματος.

Όταν οι παρονομαστές των κλασμάτων που προστίθενται ή αφαιρούνται δεν έχουν κοινούς συντελεστές, τότε είναι λογικό να παίρνουμε το γινόμενο τους ως κοινό παρονομαστή. Ας δώσουμε ένα παράδειγμα.

Ας πούμε ότι πρέπει να κάνουμε πρόσθεση κλασμάτων και 1/2. Εδώ, ως κοινός παρονομαστής, είναι λογικό να παίρνουμε το γινόμενο των παρονομαστών των αρχικών κλασμάτων, δηλαδή . Σε αυτήν την περίπτωση, ο πρόσθετος παράγοντας για το πρώτο κλάσμα θα είναι 2. Αφού πολλαπλασιάσουμε τον αριθμητή και τον παρονομαστή με αυτόν, το κλάσμα θα πάρει τη μορφή . Και για το δεύτερο κλάσμα, ο πρόσθετος παράγοντας είναι η έκφραση. Με τη βοήθειά του, το κλάσμα 1/2 μειώνεται στη μορφή . Το μόνο που μένει είναι να προσθέσουμε τα κλάσματα που προκύπτουν με τους ίδιους παρονομαστές. Ακολουθεί μια περίληψη ολόκληρης της λύσης:

Στην περίπτωση των γενικών κλασμάτων, δεν μιλάμε πλέον για τον χαμηλότερο κοινό παρονομαστή, στον οποίο συνήθως ανάγονται τα συνηθισμένα κλάσματα. Αν και σε αυτό το θέμα είναι ακόμα σκόπιμο να επιδιώξουμε κάποιο μινιμαλισμό. Με αυτό θέλουμε να πούμε ότι δεν πρέπει να λαμβάνετε αμέσως το γινόμενο των παρονομαστών των αρχικών κλασμάτων ως κοινό παρονομαστή. Για παράδειγμα, δεν είναι καθόλου απαραίτητο να ληφθεί ο κοινός παρονομαστής των κλασμάτων και του γινόμενου . Εδώ μπορούμε να πάρουμε.

Ας προχωρήσουμε σε παραδείγματα πολλαπλασιασμού των γενικών κλασμάτων. Ας πολλαπλασιάσουμε κλάσματα και . Ο κανόνας για την εκτέλεση αυτής της ενέργειας μας καθοδηγεί να γράψουμε ένα κλάσμα, ο αριθμητής του οποίου είναι το γινόμενο των αριθμητών των αρχικών κλασμάτων και ο παρονομαστής είναι το γινόμενο των παρονομαστών. Εχουμε . Εδώ, όπως και σε πολλές άλλες περιπτώσεις κατά τον πολλαπλασιασμό των κλασμάτων, μπορείτε να μειώσετε το κλάσμα: .

Ο κανόνας για τη διαίρεση των κλασμάτων σας επιτρέπει να μετακινηθείτε από τη διαίρεση στον πολλαπλασιασμό με το αμοιβαίο κλάσμα. Εδώ πρέπει να θυμάστε ότι για να πάρετε το αντίστροφο ενός δεδομένου κλάσματος, πρέπει να αλλάξετε τον αριθμητή και τον παρονομαστή του δεδομένου κλάσματος. Ακολουθεί ένα παράδειγμα της μετάβασης από τη διαίρεση γενικών αριθμητικών κλασμάτων στον πολλαπλασιασμό: . Το μόνο που απομένει είναι να εκτελέσετε τον πολλαπλασιασμό και να απλοποιήσετε το κλάσμα που προκύπτει (αν είναι απαραίτητο, δείτε τον μετασχηματισμό των παράλογων εκφράσεων):

Ολοκληρώνοντας τις πληροφορίες αυτής της παραγράφου, θυμηθείτε ότι οποιοσδήποτε αριθμός ή αριθμητική παράσταση μπορεί να αναπαρασταθεί ως κλάσμα με παρονομαστή 1, επομένως, η πρόσθεση, η αφαίρεση, ο πολλαπλασιασμός και η διαίρεση αριθμών και κλασμάτων μπορεί να θεωρηθεί ότι εκτελεί την αντίστοιχη πράξη με κλάσματα, ένα εκ των οποίων έχει ένα στον παρονομαστή . Για παράδειγμα, αντικατάσταση στην έκφραση ρίζα τριών με ένα κλάσμα, μεταβαίνουμε από τον πολλαπλασιασμό ενός κλάσματος με έναν αριθμό στον πολλαπλασιασμό δύο κλασμάτων: .

Κάνοντας πράγματα με κλάσματα που περιέχουν μεταβλητές

Οι κανόνες από το πρώτο μέρος αυτού του άρθρου ισχύουν επίσης για την εκτέλεση πράξεων με κλάσματα που περιέχουν μεταβλητές. Ας δικαιολογήσουμε το πρώτο από αυτά - τον κανόνα για την πρόσθεση και την αφαίρεση κλασμάτων με ίδιους παρονομαστές, τα υπόλοιπα αποδεικνύονται με τον ίδιο απολύτως τρόπο.

Ας αποδείξουμε ότι για οποιεσδήποτε παραστάσεις A, C και D (το D δεν είναι ταυτόσημο με το μηδέν) ισχύει η ισότητα σχετικά με το εύρος των επιτρεπόμενων τιμών μεταβλητών.

Ας πάρουμε ένα συγκεκριμένο σύνολο μεταβλητών από το ODZ. Αφήστε τις παραστάσεις A, C και D να λάβουν τις τιμές a 0, c 0 και d 0 για αυτές τις τιμές των μεταβλητών. Στη συνέχεια, η αντικατάσταση των τιμών των μεταβλητών από το επιλεγμένο σύνολο στην έκφραση το μετατρέπει σε άθροισμα (διαφορά) αριθμητικών κλασμάτων με παρονομαστές της μορφής, το οποίο, σύμφωνα με τον κανόνα της πρόσθεσης (αφαίρεσης) αριθμητικών κλασμάτων με παρονομαστές , είναι ίσο με . Αλλά η αντικατάσταση των τιμών των μεταβλητών από το επιλεγμένο σύνολο στην έκφραση το μετατρέπει στο ίδιο κλάσμα. Αυτό σημαίνει ότι για το επιλεγμένο σύνολο μεταβλητών τιμών από το ODZ, οι τιμές των παραστάσεων και είναι ίσες. Είναι σαφές ότι οι τιμές των υποδεικνυόμενων παραστάσεων θα είναι ίσες για οποιοδήποτε άλλο σύνολο τιμών μεταβλητών από το ODZ, πράγμα που σημαίνει ότι οι εκφράσεις και είναι πανομοιότυπα ίσες, δηλαδή η ισότητα που αποδεικνύεται είναι αληθής .

Παραδείγματα πρόσθεσης και αφαίρεσης κλασμάτων με μεταβλητές

Όταν οι παρονομαστές των κλασμάτων που προστίθενται ή αφαιρούνται είναι οι ίδιοι, τότε όλα είναι πολύ απλά - οι αριθμητές προστίθενται ή αφαιρούνται, αλλά ο παρονομαστής παραμένει ο ίδιος. Είναι σαφές ότι το κλάσμα που λαμβάνεται μετά από αυτό απλοποιείται εάν είναι απαραίτητο και δυνατό.

Σημειώστε ότι μερικές φορές οι παρονομαστές των κλασμάτων διαφέρουν μόνο με την πρώτη ματιά, αλλά στην πραγματικότητα είναι πανομοιότυπες ίσες εκφράσεις, για παράδειγμα, και , ή και . Και μερικές φορές αρκεί να απλοποιήσουμε τα αρχικά κλάσματα έτσι ώστε να «εμφανίζονται» οι ίδιοι παρονομαστές τους.

Παράδειγμα.

, β) , V) .

Λύση.

α) Πρέπει να αφαιρέσουμε κλάσματα με όμοιους παρονομαστές. Σύμφωνα με τον αντίστοιχο κανόνα, αφήνουμε τον παρονομαστή ίδιο και αφαιρούμε τους αριθμητές, έχουμε . Η δράση ολοκληρώθηκε. Αλλά μπορείτε επίσης να ανοίξετε τις παρενθέσεις στον αριθμητή και να παρουσιάσετε παρόμοιους όρους: .

β) Προφανώς, οι παρονομαστές των κλασμάτων που προστίθενται είναι ίδιοι. Επομένως, αθροίζουμε τους αριθμητές και αφήνουμε τον παρονομαστή ίδιο: . Η προσθήκη ολοκληρώθηκε. Αλλά είναι εύκολο να δούμε ότι το κλάσμα που προκύπτει μπορεί να μειωθεί. Πράγματι, ο αριθμητής του προκύπτοντος κλάσματος μπορεί να συμπτύξει χρησιμοποιώντας τον τύπο τετράγωνο του αθροίσματος ως (lgx+2) 2 (βλ. τύπους για συντομευμένο πολλαπλασιασμό), έτσι γίνονται οι ακόλουθοι μετασχηματισμοί: .

γ) Κλάσματα άθροισμα έχουν διαφορετικούς παρονομαστές. Αλλά, έχοντας μετασχηματίσει ένα από τα κλάσματα, μπορείτε να προχωρήσετε στην προσθήκη κλασμάτων με τους ίδιους παρονομαστές. Θα δείξουμε δύο λύσεις.

Πρώτος τρόπος. Ο παρονομαστής του πρώτου κλάσματος μπορεί να παραγοντοποιηθεί χρησιμοποιώντας τον τύπο διαφοράς τετραγώνων και στη συνέχεια να μειωθεί αυτό το κλάσμα: . Ετσι, . Δεν βλάπτει ακόμα να απελευθερωθείς από τον παραλογισμό στον παρονομαστή του κλάσματος: .

Δεύτερος τρόπος. Πολλαπλασιάζοντας τον αριθμητή και τον παρονομαστή του δεύτερου κλάσματος με (αυτή η έκφραση δεν μηδενίζεται για καμία τιμή της μεταβλητής x από το ODZ για την αρχική έκφραση) σας επιτρέπει να επιτύχετε δύο στόχους ταυτόχρονα: απελευθερωθείτε από τον παραλογισμό και προχωρήστε στο προσθέτοντας κλάσματα με τους ίδιους παρονομαστές. Εχουμε

Απάντηση:

ΕΝΑ) , β) , V) .

Το τελευταίο παράδειγμα μας έφερε στο ζήτημα της αναγωγής των κλασμάτων σε έναν κοινό παρονομαστή. Εκεί σχεδόν τυχαία φτάσαμε στους ίδιους παρονομαστές απλοποιώντας ένα από τα προστιθέμενα κλάσματα. Αλλά στις περισσότερες περιπτώσεις, όταν προσθέτετε και αφαιρείτε κλάσματα με διαφορετικούς παρονομαστές, πρέπει να φέρετε σκόπιμα τα κλάσματα σε έναν κοινό παρονομαστή. Για να γίνει αυτό, συνήθως οι παρονομαστές των κλασμάτων παρουσιάζονται με τη μορφή προϊόντων, λαμβάνονται όλοι οι παράγοντες από τον παρονομαστή του πρώτου κλάσματος και προστίθενται σε αυτούς οι συντελεστές που λείπουν από τον παρονομαστή του δεύτερου κλάσματος.

Παράδειγμα.

Εκτελέστε πράξεις με κλάσματα: α) , προ ΧΡΙΣΤΟΥ) .

Λύση.

α) Δεν χρειάζεται να κάνουμε τίποτα με τους παρονομαστές των κλασμάτων. Ως κοινό παρονομαστή παίρνουμε το γινόμενο . Σε αυτή την περίπτωση, ο πρόσθετος παράγοντας για το πρώτο κλάσμα είναι η έκφραση και για το δεύτερο κλάσμα - ο αριθμός 3. Αυτοί οι πρόσθετοι παράγοντες φέρνουν τα κλάσματα σε έναν κοινό παρονομαστή, ο οποίος αργότερα μας επιτρέπει να εκτελέσουμε την ενέργεια που χρειαζόμαστε, έχουμε

β) Σε αυτό το παράδειγμα, οι παρονομαστές αντιπροσωπεύονται ήδη ως προϊόντα και δεν απαιτούν πρόσθετους μετασχηματισμούς. Προφανώς, οι παράγοντες στους παρονομαστές διαφέρουν μόνο σε εκθέτες, επομένως, ως κοινός παρονομαστής παίρνουμε το γινόμενο των παραγόντων με τους υψηλότερους εκθέτες, δηλαδή . Τότε ο πρόσθετος παράγοντας για το πρώτο κλάσμα θα είναι x 4 και για το δεύτερο – ln(x+1) . Τώρα είμαστε έτοιμοι να αφαιρέσουμε κλάσματα:

γ) Και σε αυτή την περίπτωση, πρώτα θα δουλέψουμε με τους παρονομαστές των κλασμάτων. Οι τύποι για τη διαφορά των τετραγώνων και του τετραγώνου του αθροίσματος σας επιτρέπουν να μετακινηθείτε από το αρχικό άθροισμα στην έκφραση . Τώρα είναι σαφές ότι αυτά τα κλάσματα μπορούν να αναχθούν σε έναν κοινό παρονομαστή . Με αυτήν την προσέγγιση, η λύση θα μοιάζει με αυτό:

Απάντηση:

ΕΝΑ)

σι)

V)

Παραδείγματα πολλαπλασιασμού κλασμάτων με μεταβλητές

Ο πολλαπλασιασμός των κλασμάτων παράγει ένα κλάσμα του οποίου ο αριθμητής είναι το γινόμενο των αριθμητών των αρχικών κλασμάτων και ο παρονομαστής είναι το γινόμενο των παρονομαστών. Εδώ, όπως μπορείτε να δείτε, όλα είναι γνωστά και απλά, και μπορούμε μόνο να προσθέσουμε ότι το κλάσμα που προκύπτει ως αποτέλεσμα αυτής της ενέργειας συχνά αποδεικνύεται αναγωγίσιμο. Σε αυτές τις περιπτώσεις μειώνεται, εκτός αν βέβαια είναι απαραίτητο και δικαιολογημένο.

Αυτό το άρθρο εξετάζει πράξεις σε κλάσματα. Θα σχηματιστούν και θα αιτιολογηθούν κανόνες πρόσθεσης, αφαίρεσης, πολλαπλασιασμού, διαίρεσης ή εκθέσεως κλασμάτων της μορφής Α Β, όπου τα Α και Β μπορεί να είναι αριθμοί, αριθμητικές εκφράσεις ή εκφράσεις με μεταβλητές. Συμπερασματικά, θα εξεταστούν παραδείγματα λύσεων με λεπτομερείς περιγραφές.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Κανόνες για την εκτέλεση πράξεων με γενικά αριθμητικά κλάσματα

Τα γενικά κλάσματα έχουν έναν αριθμητή και έναν παρονομαστή που περιέχουν φυσικούς αριθμούς ή αριθμητικές εκφράσεις. Αν λάβουμε υπόψη κλάσματα όπως 3 5, 2, 8 4, 1 + 2 3 4 (5 - 2), 3 4 + 7 8 2, 3 - 0, 8, 1 2 2, π 1 - 2 3 + π, 2 0, 5 ln 3, τότε είναι σαφές ότι ο αριθμητής και ο παρονομαστής μπορούν να έχουν όχι μόνο αριθμούς, αλλά και εκφράσεις διαφόρων τύπων.

Ορισμός 1

Υπάρχουν κανόνες με τους οποίους εκτελούνται οι πράξεις με συνηθισμένα κλάσματα. Είναι επίσης κατάλληλο για γενικά κλάσματα:

• Κατά την αφαίρεση κλασμάτων με παρονομαστές, προστίθενται μόνο οι αριθμητές και ο παρονομαστής παραμένει ο ίδιος, δηλαδή: a d ± c d = a ± c d, οι τιμές a, c και d ≠ 0 είναι κάποιοι αριθμοί ή αριθμητικές εκφράσεις.
• Όταν προσθέτουμε ή αφαιρούμε ένα κλάσμα με διαφορετικούς παρονομαστές, είναι απαραίτητο να το ανάγουμε σε έναν κοινό παρονομαστή και στη συνέχεια να προσθέτουμε ή να αφαιρούμε τα κλάσματα που προκύπτουν με τους ίδιους εκθέτες. Κυριολεκτικά μοιάζει με αυτό: a b ± c d = a · p ± c · r s, όπου οι τιμές a, b ≠ 0, c, d ≠ 0, p ≠ 0, r ≠ 0, s ≠ 0 είναι πραγματικοί αριθμοί, και b · p = d · r = s. Όταν p = d και r = b, τότε a b ± c d = a · d ± c · d b · d.
• Κατά τον πολλαπλασιασμό των κλασμάτων, η ενέργεια εκτελείται με αριθμητές, μετά από τους οποίους με παρονομαστές, τότε παίρνουμε a b · c d = a · c b · d, όπου a, b ≠ 0, c, d ≠ 0 ενεργούν ως πραγματικοί αριθμοί.
• Όταν διαιρούμε ένα κλάσμα με ένα κλάσμα, πολλαπλασιάζουμε το πρώτο με το δεύτερο αντίστροφο, δηλαδή ανταλλάσσουμε αριθμητή και παρονομαστή: a b: c d = a b · d c.

Το σκεπτικό των κανόνων

Ορισμός 2

Υπάρχουν τα ακόλουθα μαθηματικά σημεία στα οποία πρέπει να βασιστείτε κατά τον υπολογισμό:

• η κάθετο σημαίνει το σύμβολο της διαίρεσης.
• Η διαίρεση με έναν αριθμό αντιμετωπίζεται ως πολλαπλασιασμός με την αμοιβαία τιμή του.
• εφαρμογή της ιδιότητας των πράξεων με πραγματικούς αριθμούς.
• εφαρμογή της βασικής ιδιότητας των κλασμάτων και των αριθμητικών ανισώσεων.

Με τη βοήθειά τους, μπορείτε να πραγματοποιήσετε μετασχηματισμούς της φόρμας:

a d ± c d = a · d - 1 ± c · d - 1 = a ± c · d - 1 = a ± c d ; a b ± c d = a · p b · p ± c · r d · r = a · p s ± c · e s = a · p ± c · r s ; α β · γ δ = α · δ β · δ · β · γ β · δ = α · δ · α · δ - 1 · β · γ · β · δ - 1 = = α · δ · β · γ · β · δ - 1 · β · δ - 1 = α · δ · β · γ β · δ · β · δ - 1 = = (α · γ) · (β · δ) - 1 = α · γ β · δ

Παραδείγματα

Στην προηγούμενη παράγραφο ειπώθηκε για πράξεις με κλάσματα. Μετά από αυτό, το κλάσμα πρέπει να απλοποιηθεί. Αυτό το θέμα συζητήθηκε λεπτομερώς στην παράγραφο για τη μετατροπή κλασμάτων.

Αρχικά, ας δούμε ένα παράδειγμα πρόσθεσης και αφαίρεσης κλασμάτων με τον ίδιο παρονομαστή.

Παράδειγμα 1

Λαμβάνοντας υπόψη τα κλάσματα 8 2, 7 και 1 2, 7, τότε σύμφωνα με τον κανόνα είναι απαραίτητο να προσθέσετε τον αριθμητή και να ξαναγράψετε τον παρονομαστή.

Λύση

Στη συνέχεια παίρνουμε ένα κλάσμα της μορφής 8 + 1 2, 7. Αφού εκτελέσουμε την πρόσθεση, λαμβάνουμε ένα κλάσμα της μορφής 8 + 1 2, 7 = 9 2, 7 = 90 27 = 3 1 3. Άρα, 8 2, 7 + 1 2, 7 = 8 + 1 2, 7 = 9 2, 7 = 90 27 = 3 1 3.

Απάντηση: 8 2 , 7 + 1 2 , 7 = 3 1 3

Υπάρχει και άλλη λύση. Αρχικά, μεταβαίνουμε στη μορφή ενός συνηθισμένου κλάσματος, μετά την οποία εκτελούμε μια απλοποίηση. Μοιάζει με αυτό:

8 2 , 7 + 1 2 , 7 = 80 27 + 10 27 = 90 27 = 3 1 3

Παράδειγμα 2

Ας αφαιρέσουμε από το 1 - 2 3 · log 2 3 · log 2 5 + 1 ένα κλάσμα της μορφής 2 3 3 · log 2 3 · log 2 5 + 1 .

Εφόσον δίνονται ίσοι παρονομαστές, σημαίνει ότι υπολογίζουμε ένα κλάσμα με τον ίδιο παρονομαστή. Το καταλαβαίνουμε

1 - 2 3 log 2 3 log 2 5 + 1 - 2 3 3 log 2 3 log 2 5 + 1 = 1 - 2 - 2 3 3 log 2 3 log 2 5 + 1

Υπάρχουν παραδείγματα υπολογισμού κλασμάτων με διαφορετικούς παρονομαστές. Ένα σημαντικό σημείο είναι η αναγωγή σε έναν κοινό παρονομαστή. Χωρίς αυτό, δεν θα μπορέσουμε να εκτελέσουμε περαιτέρω λειτουργίες με κλάσματα.

Η διαδικασία θυμίζει αόριστα αναγωγή σε κοινό παρονομαστή. Δηλαδή, αναζητείται ο λιγότερο κοινός διαιρέτης στον παρονομαστή, μετά τον οποίο προστίθενται στα κλάσματα οι παράγοντες που λείπουν.

Εάν τα κλάσματα που προστίθενται δεν έχουν κοινούς παράγοντες, τότε το γινόμενο τους μπορεί να γίνει ένα.

Παράδειγμα 3

Ας δούμε το παράδειγμα της πρόσθεσης κλασμάτων 2 3 5 + 1 και 1 2.

Λύση

Στην περίπτωση αυτή, ο κοινός παρονομαστής είναι το γινόμενο των παρονομαστών. Τότε παίρνουμε ότι 2 · 3 5 + 1. Στη συνέχεια, όταν ορίζουμε πρόσθετους παράγοντες, έχουμε ότι για το πρώτο κλάσμα είναι ίσο με 2 και για το δεύτερο είναι 3 5 + 1. Μετά τον πολλαπλασιασμό, τα κλάσματα μειώνονται στη μορφή 4 2 · 3 5 + 1. Η γενική μείωση του 1 2 θα είναι 3 5 + 1 2 · 3 5 + 1. Προσθέτουμε τις κλασματικές εκφράσεις που προκύπτουν και το παίρνουμε

2 3 5 + 1 + 1 2 = 2 2 2 3 5 + 1 + 1 3 5 + 1 2 3 5 + 1 = = 4 2 3 5 + 1 + 3 5 + 1 2 3 5 + 1 = 4 + 3 5 + 1 2 3 5 + 1 = 5 + 3 5 2 3 5 + 1

Απάντηση: 2 3 5 + 1 + 1 2 = 5 + 3 5 2 3 5 + 1

Όταν έχουμε να κάνουμε με γενικά κλάσματα, τότε συνήθως δεν μιλάμε για τον χαμηλότερο κοινό παρονομαστή. Είναι ασύμφορο να παίρνουμε ως παρονομαστή το γινόμενο των αριθμητών. Πρώτα πρέπει να ελέγξετε αν υπάρχει αριθμός που είναι μικρότερος σε αξία από το προϊόν τους.

Παράδειγμα 4

Ας εξετάσουμε το παράδειγμα των 1 6 · 2 1 5 και 1 4 · 2 3 5, όταν το γινόμενο τους είναι ίσο με 6 · 2 1 5 · 4 · 2 3 5 = 24 · 2 4 5. Στη συνέχεια παίρνουμε το 12 · 2 3 5 ως κοινό παρονομαστή.

Ας δούμε παραδείγματα πολλαπλασιασμού των γενικών κλασμάτων.

Παράδειγμα 5

Για να το κάνετε αυτό, πρέπει να πολλαπλασιάσετε 2 + 1 6 και 2 · 5 3 · 2 + 1.

Λύση

Ακολουθώντας τον κανόνα, είναι απαραίτητο να ξαναγράψουμε και να γράψουμε το γινόμενο των αριθμητών ως παρονομαστή. Παίρνουμε ότι 2 + 1 6 2 5 3 2 + 1 2 + 1 2 5 6 3 2 + 1. Μόλις πολλαπλασιαστεί ένα κλάσμα, μπορείτε να κάνετε αναγωγές για να το απλοποιήσετε. Στη συνέχεια 5 · 3 3 2 + 1: 10 9 3 = 5 · 3 3 2 + 1 · 9 3 10.

Χρησιμοποιώντας τον κανόνα για τη μετάβαση από τη διαίρεση στον πολλαπλασιασμό με ένα αντίστροφο κλάσμα, παίρνουμε ένα κλάσμα που είναι το αντίστροφο του δεδομένου. Για να γίνει αυτό, ο αριθμητής και ο παρονομαστής ανταλλάσσονται. Ας δούμε ένα παράδειγμα:

5 3 3 2 + 1: 10 9 3 = 5 3 3 2 + 1 9 3 10

Στη συνέχεια, πρέπει να πολλαπλασιάσουν και να απλοποιήσουν το κλάσμα που προκύπτει. Αν χρειαστεί, απαλλαγείτε από τον παραλογισμό στον παρονομαστή. Το καταλαβαίνουμε

5 3 3 2 + 1: 10 9 3 = 5 3 3 9 3 10 2 + 1 = 5 2 10 2 + 1 = 3 2 2 + 1 = 3 2 - 1 2 2 + 1 2 - 1 = 3 2 - 1 2 2 2 - 1 2 = 3 2 - 1 2

Απάντηση: 5 3 3 2 + 1: 10 9 3 = 3 2 - 1 2

Αυτή η παράγραφος ισχύει όταν ένας αριθμός ή μια αριθμητική παράσταση μπορεί να αναπαρασταθεί ως κλάσμα με παρονομαστή ίσο με 1, τότε η πράξη με ένα τέτοιο κλάσμα θεωρείται ξεχωριστή παράγραφος. Για παράδειγμα, η έκφραση 1 6 · 7 4 - 1 · 3 δείχνει ότι η ρίζα του 3 μπορεί να αντικατασταθεί από μια άλλη έκφραση 3 1. Τότε αυτή η καταχώρηση θα μοιάζει με τον πολλαπλασιασμό δύο κλασμάτων της μορφής 1 6 · 7 4 - 1 · 3 = 1 6 · 7 4 - 1 · 3 1.

Εκτέλεση πράξεων σε κλάσματα που περιέχουν μεταβλητές

Οι κανόνες που συζητήθηκαν στο πρώτο άρθρο ισχύουν για πράξεις με κλάσματα που περιέχουν μεταβλητές. Εξετάστε τον κανόνα της αφαίρεσης όταν οι παρονομαστές είναι ίδιοι.

Είναι απαραίτητο να αποδειχθεί ότι οι A, C και D (D όχι ίσο με μηδέν) μπορούν να είναι οποιεσδήποτε εκφράσεις και η ισότητα A D ± C D = A ± C D είναι ισοδύναμη με το εύρος των επιτρεπόμενων τιμών της.

Είναι απαραίτητο να λάβετε ένα σύνολο μεταβλητών ODZ. Τότε τα A, C, D πρέπει να λάβουν τις αντίστοιχες τιμές a 0 , c 0 και δ 0. Η αντικατάσταση της μορφής A D ± C D οδηγεί σε μια διαφορά της μορφής a 0 d 0 ± c 0 d 0 , όπου, χρησιμοποιώντας τον κανόνα πρόσθεσης, λαμβάνουμε έναν τύπο της μορφής a 0 ± c 0 d 0 . Αν αντικαταστήσουμε την έκφραση A ± C D, τότε παίρνουμε το ίδιο κλάσμα της μορφής a 0 ± c 0 d 0. Από εδώ συμπεραίνουμε ότι η επιλεγμένη τιμή που ικανοποιεί τα ODZ, A ± C D και A D ± C D θεωρούνται ίσες.

Για οποιαδήποτε τιμή των μεταβλητών, αυτές οι εκφράσεις θα είναι ίσες, δηλαδή ονομάζονται ταυτόσημα ίσες. Αυτό σημαίνει ότι αυτή η έκφραση θεωρείται αποδείξιμη ισότητα της μορφής A D ± C D = A ± C D .

Παραδείγματα πρόσθεσης και αφαίρεσης κλασμάτων με μεταβλητές

Όταν έχετε τους ίδιους παρονομαστές, χρειάζεται μόνο να προσθέσετε ή να αφαιρέσετε τους αριθμητές. Αυτό το κλάσμα μπορεί να απλοποιηθεί. Μερικές φορές πρέπει να εργαστείτε με κλάσματα που είναι πανομοιότυπα ίσα, αλλά με την πρώτη ματιά αυτό δεν γίνεται αντιληπτό, καθώς πρέπει να πραγματοποιηθούν ορισμένοι μετασχηματισμοί. Για παράδειγμα, x 2 3 x 1 3 + 1 και x 1 3 + 1 2 ή 1 2 sin 2 α και sin a cos a. Τις περισσότερες φορές, απαιτείται απλοποίηση της αρχικής έκφρασης για να δείτε τους ίδιους παρονομαστές.

Παράδειγμα 6

Υπολογίστε: 1) x 2 + 1 x + x - 2 - 5 - x x + x - 2, 2) l g 2 x + 4 x · (l g x + 2) + 4 · l g x x · (l g x + 2) , x - 1 x - 1 + x x + 1 .

Λύση

1. Για να κάνετε τον υπολογισμό, πρέπει να αφαιρέσετε τα κλάσματα που έχουν τον ίδιο παρονομαστή. Τότε παίρνουμε ότι x 2 + 1 x + x - 2 - 5 - x x + x - 2 = x 2 + 1 - 5 - x x + x - 2 . Μετά από αυτό μπορείτε να επεκτείνετε τις αγκύλες και να προσθέσετε παρόμοιους όρους. Παίρνουμε ότι x 2 + 1 - 5 - x x + x - 2 = x 2 + 1 - 5 + x x + x - 2 = x 2 + x - 4 x + x - 2
2. Εφόσον οι παρονομαστές είναι ίδιοι, το μόνο που μένει είναι να προσθέσουμε τους αριθμητές, αφήνοντας τον παρονομαστή: l g 2 x + 4 x (l g x + 2) + 4 l g x x (l g x + 2) = l g 2 x + 4 + 4 x (l g x + 2)
   Η προσθήκη ολοκληρώθηκε. Μπορεί να φανεί ότι είναι δυνατή η μείωση του κλάσματος. Ο αριθμητής του μπορεί να διπλωθεί χρησιμοποιώντας τον τύπο για το τετράγωνο του αθροίσματος, τότε παίρνουμε (l g x + 2) 2 από συντομευμένους τύπους πολλαπλασιασμού. Τότε το καταλαβαίνουμε
   l g 2 x + 4 + 2 l g x x (l g x + 2) = (l g x + 2) 2 x (l g x + 2) = l g x + 2 x
3. Δίνονται κλάσματα της μορφής x - 1 x - 1 + x x + 1 με διαφορετικούς παρονομαστές. Μετά τον μετασχηματισμό, μπορείτε να προχωρήσετε στην προσθήκη.

Ας εξετάσουμε μια διπλή λύση.

Η πρώτη μέθοδος είναι ότι ο παρονομαστής του πρώτου κλάσματος παραγοντοποιείται χρησιμοποιώντας τετράγωνα, με την επακόλουθη αναγωγή του. Παίρνουμε ένα κλάσμα της φόρμας

x - 1 x - 1 = x - 1 (x - 1) x + 1 = 1 x + 1

Άρα x - 1 x - 1 + x x + 1 = 1 x + 1 + x x + 1 = 1 + x x + 1 .

Σε αυτή την περίπτωση, είναι απαραίτητο να απαλλαγούμε από τον παραλογισμό στον παρονομαστή.

1 + x x + 1 = 1 + x x - 1 x + 1 x - 1 = x - 1 + x x - x x - 1

Η δεύτερη μέθοδος είναι να πολλαπλασιάσουμε τον αριθμητή και τον παρονομαστή του δεύτερου κλάσματος με την έκφραση x - 1. Έτσι, απαλλαγούμε από τον παραλογισμό και προχωράμε στην πρόσθεση κλασμάτων με τον ίδιο παρονομαστή. Επειτα

x - 1 x - 1 + x x + 1 = x - 1 x - 1 + x x - 1 x + 1 x - 1 = = x - 1 x - 1 + x x - x x - 1 = x - 1 + x x - x x - 1

Απάντηση: 1) x 2 + 1 x + x - 2 - 5 - x x + x - 2 = x 2 + x - 4 x + x - 2, 2) l g 2 x + 4 x · (l g x + 2) + 4 · l g x x · (l g x + 2) = l g x + 2 x, 3) x - 1 x - 1 + x x + 1 = x - 1 + x · x - x x - 1 .

Στο τελευταίο παράδειγμα διαπιστώσαμε ότι η αναγωγή σε κοινό παρονομαστή είναι αναπόφευκτη. Για να γίνει αυτό, πρέπει να απλοποιήσετε τα κλάσματα. Όταν προσθέτετε ή αφαιρείτε, πρέπει πάντα να αναζητάτε έναν κοινό παρονομαστή, ο οποίος μοιάζει με το γινόμενο των παρονομαστών με πρόσθετους παράγοντες που προστίθενται στους αριθμητές.

Παράδειγμα 7

Υπολογίστε τις τιμές των κλασμάτων: 1) x 3 + 1 x 7 + 2 2, 2) x + 1 x ln 2 (x + 1) (2 x - 4) - sin x x 5 ln (x + 1) (2 x - 4) , 3) ​​1 cos 2 x - x + 1 cos 2 x + 2 cos x x + x

Λύση

1. Ο παρονομαστής δεν απαιτεί σύνθετους υπολογισμούς, επομένως πρέπει να επιλέξετε το γινόμενο τους της μορφής 3 x 7 + 2 · 2, στη συνέχεια επιλέξτε x 7 + 2 · 2 για το πρώτο κλάσμα ως πρόσθετο παράγοντα και 3 για το δεύτερο. Κατά τον πολλαπλασιασμό, παίρνουμε ένα κλάσμα της μορφής x 3 + 1 x 7 + 2 2 = x x 7 + 2 2 3 x 7 + 2 2 + 3 1 3 x 7 + 2 2 = = x x 7 + 2 2 + 3 3 x 7 + 2 2 = x x 7 + 2 2 x + 3 3 x 7 + 2 2
2. Μπορεί να φανεί ότι οι παρονομαστές παρουσιάζονται με τη μορφή προϊόντος, πράγμα που σημαίνει ότι οι πρόσθετοι μετασχηματισμοί δεν είναι απαραίτητοι. Ο κοινός παρονομαστής θα θεωρηθεί ότι είναι γινόμενο της μορφής x 5 · ln 2 x + 1 · 2 x - 4 . Επομένως x 4 είναι ένας πρόσθετος παράγοντας στο πρώτο κλάσμα και ln(x + 1) στο δεύτερο. Στη συνέχεια αφαιρούμε και παίρνουμε:
   x + 1 x · ln 2 (x + 1) · 2 x - 4 - sin x x 5 · ln (x + 1) · 2 x - 4 = = x + 1 · x 4 x 5 · ln 2 (x + 1 ) · 2 x - 4 - αμαρτία x · ln x + 1 x 5 · ln 2 (x + 1) · (2 ​​x - 4) = = x + 1 · x 4 - sin x · ln (x + 1 ) x 5 · ln 2 (x + 1) · (2 ​​x - 4) = x · x 4 + x 4 - sin x · ln (x + 1) x 5 · ln 2 (x + 1) · ( 2 x - 4)
3. Αυτό το παράδειγμα έχει νόημα όταν εργάζεστε με παρονομαστές κλασμάτων. Είναι απαραίτητο να εφαρμοστούν οι τύποι για τη διαφορά των τετραγώνων και του τετραγώνου του αθροίσματος, καθώς θα επιτρέψουν τη μετάβαση σε μια έκφραση της μορφής 1 cos x - x · cos x + x + 1 (cos x + x) 2. Φαίνεται ότι τα κλάσματα ανάγονται σε κοινό παρονομαστή. Παίρνουμε ότι cos x - x · cos x + x 2 .

Τότε το καταλαβαίνουμε

1 cos 2 x - x + 1 cos 2 x + 2 cos x x + x = = 1 cos x - x cos x + x + 1 cos x + x 2 = = cos x + x cos x - x cos x + x 2 + cos x - x cos x - x cos x + x 2 = = cos x + x + cos x - x cos x - x cos x + x 2 = 2 cos x cos x - x cos x + x 2

Απάντηση:

1) x 3 + 1 x 7 + 2 2 = x x 7 + 2 2 x + 3 3 x 7 + 2 2, 2) x + 1 x ln 2 (x + 1) 2 x - 4 - sin x x 5 · ln (x + 1) · 2 x - 4 = = x · x 4 + x 4 - sin x · ln (x + 1) x 5 · ln 2 (x + 1) · ( 2 x - 4) , 3) ​​​​1 cos 2 x - x + 1 cos 2 x + 2 · cos x · x + x = 2 · cos x cos x - x · cos x + x 2 .

Παραδείγματα πολλαπλασιασμού κλασμάτων με μεταβλητές

Κατά τον πολλαπλασιασμό των κλασμάτων, ο αριθμητής πολλαπλασιάζεται με τον αριθμητή και ο παρονομαστής με τον παρονομαστή. Στη συνέχεια, μπορείτε να εφαρμόσετε την ιδιότητα μείωσης.

Παράδειγμα 8

Πολλαπλασιάστε τα κλάσματα x + 2 · x x 2 · ln x 2 · ln x + 1 και 3 · x 2 1 3 · x + 1 - 2 sin 2 · x - x.

Λύση

Πρέπει να γίνει πολλαπλασιασμός. Το καταλαβαίνουμε

x + 2 x x 2 ln x 2 ln x + 1 3 x 2 1 3 x + 1 - 2 αμαρτία (2 x - x) = = x - 2 x 3 x 2 1 3 x + 1 - 2 x 2 ln x 2 ln x + 1 αμαρτία (2 x - x)

Ο αριθμός 3 μετακινείται στην πρώτη θέση για την ευκολία των υπολογισμών και μπορείτε να μειώσετε το κλάσμα κατά x 2, τότε λαμβάνουμε μια έκφραση της φόρμας

3 x - 2 x x 1 3 x + 1 - 2 ln x 2 ln x + 1 sin (2 x - x)

Απάντηση: x + 2 x x 2 ln x 2 ln x + 1 3 x 2 1 3 x + 1 - 2 sin (2 x - x) = 3 x - 2 x x 1 3 x + 1 - 2 ln x 2 · ln x + 1 · αμαρτία (2 · x - x) .

Διαίρεση

Η διαίρεση των κλασμάτων είναι παρόμοια με τον πολλαπλασιασμό, αφού το πρώτο κλάσμα πολλαπλασιάζεται με το δεύτερο αντίστροφο. Αν πάρουμε για παράδειγμα το κλάσμα x + 2 x x 2 ln x 2 ln x + 1 και διαιρέσουμε με το 3 x 2 1 3 x + 1 - 2 sin 2 x - x, τότε μπορεί να γραφτεί ως

x + 2 · x x 2 · ln x 2 · ln x + 1: 3 · x 2 1 3 · x + 1 - 2 sin (2 · x - x) , στη συνέχεια αντικαταστήστε με ένα γινόμενο της μορφής x + 2 · x x 2 · ln x 2 ln x + 1 3 x 2 1 3 x + 1 - 2 sin (2 x - x)

Εκθεσιμότητα

Ας προχωρήσουμε στην εξέταση των πράξεων με γενικά κλάσματα με εκθετικότητα. Αν υπάρχει δύναμη με φυσικό εκθέτη, τότε η ενέργεια θεωρείται πολλαπλασιασμός ίσων κλασμάτων. Αλλά συνιστάται η χρήση μιας γενικής προσέγγισης που βασίζεται στις ιδιότητες των βαθμών. Οποιεσδήποτε παραστάσεις A και C, όπου το C δεν είναι πανομοιότυπα ίσο με το μηδέν, και οποιοδήποτε πραγματικό r στο ODZ για μια παράσταση της μορφής A Cr ισχύει η ισότητα A Cr = A r Cr. Το αποτέλεσμα είναι ένα κλάσμα αυξημένο σε ισχύ. Για παράδειγμα, σκεφτείτε:

x 0, 7 - π · ln 3 x - 2 - 5 x + 1 2, 5 = = x 0, 7 - π · ln 3 x - 2 - 5 2, 5 x + 1 2, 5

Διαδικασία εκτέλεσης πράξεων με κλάσματα

Οι λειτουργίες σε κλάσματα εκτελούνται σύμφωνα με ορισμένους κανόνες. Στην πράξη, παρατηρούμε ότι μια έκφραση μπορεί να περιέχει πολλά κλάσματα ή κλασματικές εκφράσεις. Στη συνέχεια, είναι απαραίτητο να εκτελέσετε όλες τις ενέργειες με αυστηρή σειρά: αύξηση σε δύναμη, πολλαπλασιασμός, διαίρεση, μετά προσθήκη και αφαίρεση. Εάν υπάρχουν παρενθέσεις, η πρώτη ενέργεια εκτελείται σε αυτές.

Παράδειγμα 9

Υπολογίστε 1 - x cos x - 1 c o s x · 1 + 1 x .

Λύση

Δεδομένου ότι έχουμε τον ίδιο παρονομαστή, τότε 1 - x cos x και 1 c o s x, αλλά οι αφαιρέσεις δεν μπορούν να εκτελεστούν σύμφωνα με τον κανόνα· πρώτα, εκτελούνται οι ενέργειες στις παρενθέσεις, μετά πολλαπλασιασμός και μετά πρόσθεση. Τότε κατά τον υπολογισμό το παίρνουμε

1 + 1 x = 1 1 + 1 x = x x + 1 x = x + 1 x

Όταν αντικαθιστούμε την έκφραση στην αρχική, παίρνουμε ότι 1 - x cos x - 1 cos x · x + 1 x. Κατά τον πολλαπλασιασμό των κλασμάτων έχουμε: 1 συν x · x + 1 x = x + 1 συν x · x. Έχοντας κάνει όλες τις αντικαταστάσεις, παίρνουμε 1 - x cos x - x + 1 cos x · x. Τώρα πρέπει να δουλέψετε με κλάσματα που έχουν διαφορετικούς παρονομαστές. Παίρνουμε:

x · 1 - x cos x · x - x + 1 cos x · x = x · 1 - x - 1 + x cos x · x = = x - x - x - 1 cos x · x = - x + 1 cos x x

Απάντηση: 1 - x cos x - 1 c o s x · 1 + 1 x = - x + 1 cos x · x .

Εάν παρατηρήσετε κάποιο σφάλμα στο κείμενο, επισημάνετε το και πατήστε Ctrl+Enter

) και παρονομαστή προς παρονομαστή (παίρνουμε τον παρονομαστή του γινομένου).

Τύπος για τον πολλαπλασιασμό των κλασμάτων:

Για παράδειγμα:

Πριν ξεκινήσετε τον πολλαπλασιασμό αριθμητών και παρονομαστών, πρέπει να ελέγξετε αν το κλάσμα μπορεί να μειωθεί. Εάν μπορείτε να μειώσετε το κλάσμα, θα είναι ευκολότερο για εσάς να κάνετε περαιτέρω υπολογισμούς.

Διαίρεση κοινού κλάσματος με κλάσμα.

Διαίρεση κλασμάτων που περιλαμβάνουν φυσικούς αριθμούς.

Δεν είναι τόσο τρομακτικό όσο φαίνεται. Όπως και στην περίπτωση της πρόσθεσης, μετατρέπουμε τον ακέραιο σε κλάσμα με ένα στον παρονομαστή. Για παράδειγμα:

Πολλαπλασιασμός μικτών κλασμάτων.

Κανόνες για τον πολλαπλασιασμό των κλασμάτων (μικτοί):

• μετατροπή μικτών κλασμάτων σε ακατάλληλα κλάσματα.
• πολλαπλασιάζοντας τους αριθμητές και τους παρονομαστές των κλασμάτων.
• μειώστε το κλάσμα.
• Εάν πάρετε ένα ακατάλληλο κλάσμα, τότε μετατρέπουμε το ακατάλληλο κλάσμα σε μικτό κλάσμα.

Σημείωση!Για να πολλαπλασιάσετε ένα μικτό κλάσμα με ένα άλλο μικτό κλάσμα, πρέπει πρώτα να τα μετατρέψετε στη μορφή ακατάλληλων κλασμάτων και, στη συνέχεια, να πολλαπλασιάσετε σύμφωνα με τον κανόνα για τον πολλαπλασιασμό των συνηθισμένων κλασμάτων.

Ο δεύτερος τρόπος πολλαπλασιασμού ενός κλάσματος με έναν φυσικό αριθμό.

Ίσως είναι πιο βολικό να χρησιμοποιήσετε τη δεύτερη μέθοδο πολλαπλασιασμού ενός κοινού κλάσματος με έναν αριθμό.

Σημείωση!Για να πολλαπλασιάσετε ένα κλάσμα με έναν φυσικό αριθμό, πρέπει να διαιρέσετε τον παρονομαστή του κλάσματος με αυτόν τον αριθμό και να αφήσετε τον αριθμητή αμετάβλητο.

Από το παράδειγμα που δόθηκε παραπάνω, είναι σαφές ότι αυτή η επιλογή είναι πιο βολική για χρήση όταν ο παρονομαστής ενός κλάσματος διαιρείται χωρίς υπόλοιπο με έναν φυσικό αριθμό.

Πολυόροφα κλάσματα.

Στο γυμνάσιο, συχνά συναντώνται τριώροφα (ή περισσότερα) κλάσματα. Παράδειγμα:

Για να φέρετε ένα τέτοιο κλάσμα στη συνηθισμένη του μορφή, χρησιμοποιήστε τη διαίρεση σε 2 σημεία:

Σημείωση!Κατά τη διαίρεση των κλασμάτων, η σειρά διαίρεσης είναι πολύ σημαντική. Προσέξτε, είναι εύκολο να μπερδευτείτε εδώ.

Σημείωση, Για παράδειγμα:

Κατά τη διαίρεση ενός με οποιοδήποτε κλάσμα, το αποτέλεσμα θα είναι το ίδιο κλάσμα, μόνο ανεστραμμένο:

Πρακτικές συμβουλές για τον πολλαπλασιασμό και τη διαίρεση κλασμάτων:

1. Το πιο σημαντικό πράγμα όταν εργάζεστε με κλασματικές εκφράσεις είναι η ακρίβεια και η προσοχή. Κάντε όλους τους υπολογισμούς προσεκτικά και με ακρίβεια, συγκεντρωμένα και καθαρά. Είναι καλύτερα να γράψετε μερικές επιπλέον γραμμές στο προσχέδιό σας παρά να χαθείτε στους διανοητικούς υπολογισμούς.

2. Σε εργασίες με διαφορετικούς τύπους κλασμάτων, πηγαίνετε στον τύπο των συνηθισμένων κλασμάτων.

3. Μειώνουμε όλα τα κλάσματα μέχρι να μην είναι πλέον δυνατή η μείωση.

4. Μετατρέπουμε κλασματικές εκφράσεις πολλαπλών επιπέδων σε συνηθισμένες χρησιμοποιώντας διαίρεση σε 2 σημεία.

5. Διαιρέστε μια μονάδα με ένα κλάσμα στο κεφάλι σας, απλώς αναποδογυρίζοντας το κλάσμα.