Paaris ja paaritu määratlus. Kuidas määrata paaris ja paarituid funktsioone

Funktsiooni nullid
Funktsiooni null on väärtus X, mille juures funktsioon muutub 0-ks, st f(x)=0.

Nullid on funktsiooni graafiku ja telje lõikepunktid Oh.

Funktsiooni paarsus
Funktsiooni kutsutakse isegi siis, kui mis tahes jaoks X definitsioonipiirkonnast võrdus f(-x) = f(x)

Paarisfunktsioon on telje suhtes sümmeetriline OU

Veider funktsioon
Funktsiooni nimetatakse paarituks, kui see on ükskõik milline X definitsioonipiirkonnast on võrdus f(-x) = -f(x) täidetud.

Paaritu funktsioon on lähtekoha suhtes sümmeetriline.
Funktsiooni, mis pole paaris ega paaritu, nimetatakse üldfunktsiooniks.

Funktsiooni juurdekasv
Funktsiooni f(x) nimetatakse kasvavaks, kui argumendi suurem väärtus vastab funktsiooni suuremale väärtusele, s.t. x 2 > x 1 → f(x 2)> f(x 1)

Vähenev funktsioon
Funktsiooni f(x) nimetatakse kahanevaks, kui argumendi suurem väärtus vastab funktsiooni väiksemale väärtusele, s.t. x 2 > x 1 → f(x 2)
Kutsutakse välja intervallid, mille jooksul funktsioon kas ainult väheneb või ainult suureneb monotoonsuse intervallid. Funktsioonil f(x) on 3 monotoonsuse intervalli:
(-∞ x 1), (x 1, x 2), (x 3; +∞)

Leia monotoonsuse intervallid, kasutades teenust Kasvavate ja kahanevate funktsioonide intervallid

Kohalik maksimum
Punkt x 0 nimetatakse kohalikuks maksimumpunktiks, kui see on olemas X punkti naabrusest x 0 kehtib järgmine ebavõrdsus: f(x 0) > f(x)

Kohalik miinimum
Punkt x 0 nimetatakse kohalikuks miinimumpunktiks, kui see on olemas X punkti naabrusest x 0 kehtib järgmine ebavõrdsus: f(x 0)< f(x).

Kohalikke maksimumpunkte ja kohalikke miinimumpunkte nimetatakse kohalikeks ekstreemumipunktideks.

x 1 , x 2 - kohalikud ekstreemumipunktid.

Funktsiooni perioodilisus
Funktsiooni f(x) nimetatakse perioodiliseks, perioodiga T, kui üldse X f(x+T) = f(x) .

Püsivuse intervallid
Intervalle, mille puhul funktsioon on kas ainult positiivne või ainult negatiivne, nimetatakse konstantse märgi intervallideks.

f(x)>0 x∈(x 1, x 2)∪(x 2, +∞), f(x)<0 при x∈(-∞,x 1)∪(x 1 , x 2)

Funktsioonide järjepidevus
Funktsiooni f(x) nimetatakse pidevaks punktis x 0, kui funktsiooni piirväärtus x → x 0 on võrdne funktsiooni väärtusega selles punktis, s.t. .

murdepunktid
Punkte, kus järjepidevuse tingimust rikutakse, nimetatakse funktsiooni katkestuspunktideks.

x0- murdepunkt.

Funktsioonide joonistamise üldskeem

1. Leia funktsiooni D(y) domeen.
2. Leia funktsioonide graafiku lõikepunktid koordinaattelgedega.
3. Uurige paaris või paaritu funktsiooni.
4. Uurige funktsiooni perioodilisuse jaoks.
5. Leia funktsiooni monotoonsuse intervallid ja äärmuspunktid.
6. Leia funktsiooni kumerus- ja käändepunktide intervallid.
7. Leia funktsiooni asümptoodid.
8. Koostage uuringu tulemuste põhjal graafik.

Näide: Uurige funktsiooni ja koostage selle graafik: y = x 3 - 3x
8) Koostame uuringu tulemuste põhjal funktsiooni graafiku:

Tagasi edasi

Tähelepanu! Slaidi eelvaade on ainult informatiivsel eesmärgil ja ei pruugi esindada esitluse kogu ulatust. Kui olete sellest tööst huvitatud, laadige alla täisversioon.

Eesmärgid:

• kujundada paaris- ja paaritu funktsioonide mõiste, õpetada nende omaduste määramise ja kasutamise oskust funktsioonide uurimisel, joonistamisel;
• arendada õpilaste loovat aktiivsust, loogilist mõtlemist, võrdlemis-, üldistusvõimet;
• kasvatada töökust, matemaatilist kultuuri; arendada suhtlemisoskusi .

Varustus: multimeedia installatsioon, interaktiivne tahvel, jaotusmaterjalid.

Töö vormid: frontaal ja rühm otsingu- ja uurimistegevuse elementidega.

Teabeallikad:

1. Algebra klass 9 A.G.Mordkovich. Õpik.
2. Algebra 9. klass A.G. Mordkovich. Ülesanderaamat.
3. Algebra hinne 9. Ülesanded õpilaste õppimiseks ja arendamiseks. Belenkova E.Yu. Lebedintseva E.A.

TUNNIDE AJAL

1. Organisatsioonimoment

Tunni eesmärkide ja eesmärkide seadmine.

2. Kodutööde kontrollimine

Nr 10.17 (Probleemiraamat 9. klass A.G. Mordkovich).

a) juures = f(X), f(X) =

b) f (–2) = –3; f (0) = –1; f(5) = 69;

c) 1. D( f) = [– 2; + ∞)
2. E( f) = [– 3; + ∞)
3. f(X) = 0 jaoks X ~ 0,4
4. f(X) >0 juures X > 0,4 ; f(X) < 0 при – 2 < X < 0,4.
5. Funktsioon suureneb koos X € [– 2; + ∞)
6. Funktsioon on altpoolt piiratud.
7. juures rent = -3, juures naibi pole olemas
8. Funktsioon on pidev.

(Kas kasutasite funktsioonide uurimise algoritmi?) Libisema.

2. Kontrollime slaidil tabelit, mida teilt küsiti.

Täida tabel
	Domeen	Funktsiooni nullid	Püsivuse intervallid		Graafiku ja Oy lõikepunktide koordinaadid
		x = -5, x = 2	х € (–5;3) U U(2;∞)	х € (–∞;–5) U U (–3;2)
	x ∞ -5, x ≠ 2		х € (–5;3) U U(2;∞)	х € (–∞;–5) U U (–3;2)
	x ≠ -5, x ≠ 2		x € (–∞; –5) U U(2;∞)	x € (–5; 2)

3. Teadmiste värskendus

- Funktsioonid on antud.
– Määrake iga funktsiooni määratluspiirkond.
– Võrrelge iga funktsiooni väärtust iga argumendi väärtuste paari jaoks: 1 ja – 1; 2 ja -2.
– Milliste definitsioonipiirkonna antud funktsioonide jaoks on võrdsused f(– X) = f(X), f(– X) = – f(X)? (pane andmed tabelisse) Libisema

		f(1) ja f(– 1)	f(2) ja f(– 2)	diagrammid	f(– X) = –f(X)	f(– X) = f(X)
1. f(X) =
2. f(X) = X 3
3. f(X) = | X |
4.f(X) = 2X – 3
5. f(X) =	X ≠ 0
6. f(X)=	X > –1		ja pole määratletud.

4. Uus materjal

- Seda tööd tehes, poisid, paljastasime veel ühe funktsiooni omaduse, mis on teile võõras, kuid mitte vähem oluline kui teised - see on funktsiooni ühtlus ja veidrus. Kirjutage üles tunni teema: "Paaris- ja paaritu funktsioonid", meie ülesandeks on õppida paaris- ja paarituid funktsioone määrama, selgitada välja selle omaduse tähtsus funktsioonide uurimisel ja graafikul.
Niisiis, otsime õpikust definitsioonid ja loeme (lk 110) . Libisema

Def. üks Funktsioon juures = f (X) kutsutakse välja hulgal X isegi, kui mis tahes väärtuse eest XЄ X pooleli võrdus f (–x) = f (x). Too näiteid.

Def. 2 Funktsioon y = f(x), defineeritud hulgal X kutsutakse kummaline, kui mis tahes väärtuse eest XЄ X võrdus f(–х)= –f(х) on täidetud. Too näiteid.

Kus kohtasime mõisteid "paaris" ja "paaritu"?
Mis te arvate, milline neist funktsioonidest on paaris? Miks? Millised on veidrad? Miks?
Vormi mis tahes funktsiooni jaoks juures= x n, kus n on täisarv, võib väita, et funktsioon on paaritu jaoks n on paaritu ja funktsioon on paaris jaoks n- isegi.
– Funktsioonide vaatamine juures= ja juures = 2X– 3 pole paaris ega paaritu, sest võrdsused ei ole täidetud f(– X) = – f(X), f(– X) = f(X)

Küsimuse uurimist, kas funktsioon on paaris või paaritu, nimetatakse pariteedi funktsiooni uurimiseks. Libisema

Definitsioonid 1 ja 2 käsitlesid funktsiooni väärtusi punktides x ja - x, seega eeldatakse, et funktsioon on defineeritud ka väärtuse juures X, ja kell - X.

ODA 3. Kui arvuhulk koos iga selle elemendiga x sisaldab vastaselementi x, siis hulk X nimetatakse sümmeetriliseks hulgaks.

Näited:

(–2;2), [–5;5]; (∞;∞) on sümmeetrilised hulgad ja , [–5;4] on mittesümmeetrilised.

- Kas isegi funktsioonidel on määratluspiirkond – sümmeetriline hulk? Imelikud?
- kui D( f) on asümmeetriline hulk, siis mis on funktsioon?
– Seega, kui funktsioon juures = f(X) on paaris või paaritu, siis on selle määratluspiirkond D( f) on sümmeetriline komplekt. Kuid kas on vastupidine, kui funktsiooni valdkond on sümmeetriline hulk, siis on see paaris või paaritu?
- Seega on definitsioonipiirkonna sümmeetrilise hulga olemasolu vajalik, kuid mitte piisav tingimus.
– Kuidas siis uurida pariteedi funktsiooni? Proovime kirjutada algoritmi.

Libisema

Pariteedi funktsiooni uurimise algoritm

1. Määrake, kas funktsiooni domeen on sümmeetriline. Kui ei, siis pole funktsioon paaris ega paaritu. Kui jah, siis minge algoritmi 2. sammu juurde.

2. Kirjutage avaldis jaoks f(–X).

3. Võrdle f(–X).ja f(X):

• kui f(–X).= f(X), siis on funktsioon paaris;
• kui f(–X).= – f(X), siis on funktsioon paaritu;
• kui f(–X) ≠ f(X) ja f(–X) ≠ –f(X), siis pole funktsioon paaris ega paaritu.

Näited:

Uurige pariteedi funktsiooni a) juures= x 5 +; b) juures= ; sisse) juures= .

Otsus.

a) h (x) \u003d x 5 +,

1) D(h) = (–∞; 0) U (0; +∞), sümmeetriline hulk.

2) h (- x) \u003d (-x) 5 + - x5 - \u003d - (x 5 +),

3) h (- x) \u003d - h (x) \u003d\u003e funktsioon h(x)= x 5 + paaritu.

b) y =,

juures = f(X), D(f) = (–∞; –9)? (–9; +∞), asümmeetriline hulk, seega pole funktsioon paaris ega paaritu.

sisse) f(X) = , y = f(x),

1) D( f) = (–∞; 3] ≠ ; b) (∞; –2), (–4; 4]?

2. variant

1. Kas antud hulk on sümmeetriline: a) [–2;2]; b) (∞; 0], (0; 7) ?

a); b) y \u003d x (5 - x 2). 2. Uurige pariteedi funktsiooni:

a) y \u003d x 2 (2x - x 3), b) y \u003d

3. Joonisel fig. joonistatud juures = f(X), kõigi jaoks X, mis vastab tingimusele X? 0.
Joonistage funktsioon juures = f(X), kui juures = f(X) on paarisfunktsioon.

3. Joonisel fig. joonistatud juures = f(X), kõigi x jaoks, mis rahuldavad x? 0.
Joonistage funktsioon juures = f(X), kui juures = f(X) on paaritu funktsioon.

Vastastikune kontroll libisema.

6. Kodutöö: №11.11, 11.21,11.22;

Paarsusomaduse geomeetrilise tähenduse tõestus.

*** (Kasutamise valiku määramine).

1. Paaritu funktsioon y \u003d f (x) on defineeritud kogu reaalreal. Muutuja x mis tahes mittenegatiivse väärtuse korral langeb selle funktsiooni väärtus kokku funktsiooni g( X) = X(X + 1)(X + 3)(X– 7). Leia funktsiooni h( X) = juures X = 3.

7. Kokkuvõtete tegemine

Definitsioon 1. Funktsioon kutsutakse välja isegi (kummaline ) kui koos muutuja iga väärtusega
tähendus - X kuulub ka
ja võrdsus

Seega saab funktsioon olla paaris või paaritu ainult siis, kui selle määratluspiirkond on sümmeetriline reaaljoone (arvude) koordinaatide alguspunkti suhtes X ja - Xüheaegselt kuuluma
). Näiteks funktsioon
ei ole paaris ega paaritu, kuna selle määratluspiirkond
ei ole sümmeetriline päritolu suhtes.

Funktsioon
isegi, sest
sümmeetriline koordinaatide alguspunkti suhtes ja.

Funktsioon
veider, sest
ja
.

Funktsioon
ei ole paaris ega paaritu, sest kuigi
ja on sümmeetriline lähtekoha suhtes, siis võrdsused (11.1) ei ole täidetud. Näiteks,.

Paarisfunktsiooni graafik on telje suhtes sümmeetriline OU, kuna kui punkt

kuulub ka graafiku juurde. Paaritu funktsiooni graafik on lähtekoha suhtes sümmeetriline, sest kui
kuulub graafikule, siis punkt
kuulub ka graafiku juurde.

Funktsiooni paaris või paaritu tõestamisel on kasulikud järgmised väited.

Teoreem 1. a) Kahe paaris (paaritu) funktsiooni summa on paaris (paaritu) funktsioon.

b) Kahe paaris (paaritu) funktsiooni korrutis on paarisfunktsioon.

c) Paaritu ja paaritu funktsiooni korrutis on paaritu funktsioon.

d) Kui f on komplekti ühtlane funktsioon X ja funktsioon g komplektis määratletud
, siis funktsioon
- isegi.

e) Kui f on komplekti paaritu funktsioon X ja funktsioon g komplektis määratletud
ja paaris (paaritu), siis funktsioon
- isegi veider).

Tõestus. Tõestame näiteks b) ja d).

b) Lase
ja
on isegi funktsioonid. Siis järelikult. Sarnaselt käsitletakse paaritute funktsioonide juhtumit
ja
.

d) Lase f on ühtlane funktsioon. Siis.

Teised teoreemi väited on tõestatud sarnaselt. Teoreem on tõestatud.

Teoreem 2. Mis tahes funktsioon
, määratletud komplektil X, mis on lähtekoha suhtes sümmeetriline, võib esitada paaris- ja paaritu funktsiooni summana.

Tõestus. Funktsioon
saab vormis kirjutada

.

Funktsioon
on ühtlane, kuna
ja funktsioon
on veider, sest. Seega
, kus
- isegi ja
on paaritu funktsioon. Teoreem on tõestatud.

Definitsioon 2. Funktsioon
helistas perioodiline kui on number
, nii et mis tahes
numbrid
ja
kuuluvad ka definitsiooni valdkonda
ja võrdsused

Selline number T helistas periood funktsioonid
.

Definitsioon 1 tähendab, et kui T- funktsiooniperiood
, siis number T ka on funktsiooni periood
(sest asendamisel T peal - T võrdsus säilib). Matemaatilise induktsiooni meetodit kasutades saab näidata, et kui T- funktsiooniperiood f, siis ja
, on ka periood. Sellest järeldub, et kui funktsioonil on punkt, siis on sellel lõpmatult palju punkte.

Definitsioon 3. Funktsiooni väikseimat positiivset perioodi nimetatakse selle funktsiooniks peamine periood.

Teoreem 3. Kui T on funktsiooni põhiperiood f, siis on ülejäänud perioodid selle kordsed.

Tõestus. Oletame vastupidist, see tähendab, et on periood funktsioonid f (>0), mitte mitu T. Seejärel jagamine peal Tülejäänud osaga saame
, kus
. Niisiis

st - funktsiooniperiood f, ja
, mis on vastuolus tõsiasjaga, et T on funktsiooni põhiperiood f. Saadud vastuolust tuleneb teoreemi väide. Teoreem on tõestatud.

On hästi teada, et trigonomeetrilised funktsioonid on perioodilised. Põhiperiood
ja
võrdub
,
ja
. Leia funktsiooni periood
. Las olla
on selle funktsiooni periood. Siis

(nagu
.

ororor
.

Tähendus T, mis on määratud esimesest võrdsusest, ei saa olla punkt, kuna see sõltub X, st. on funktsioon X, mitte konstantne arv. Periood määratakse teisest võrdsusest:
. Perioode on lõpmatult palju
väikseim positiivne periood saadakse siis, kui
:
. See on funktsiooni põhiperiood
.

Keerulisema perioodilise funktsiooni näide on Dirichleti funktsioon

Pange tähele, et kui T on siis ratsionaalne arv
ja
on ratsionaalsed arvud ratsionaalsete all X ja irratsionaalne, kui irratsionaalne X. Niisiis

mis tahes ratsionaalse arvu jaoks T. Seega mis tahes ratsionaalne arv T on Dirichlet' funktsiooni periood. On selge, et sellel funktsioonil pole põhiperioodi, kuna seal on positiivsed ratsionaalarvud suvaliselt nullilähedased (näiteks saab ratsionaalarvu teha valides n suvaliselt nullilähedane).

Teoreem 4. Kui funktsioon f võtteplatsil seatud X ja sellel on periood T ja funktsioon g võtteplatsil seatud
, siis kompleksfunktsioon
on ka periood T.

Tõestus. Meil on seega

see tähendab, et teoreemi väide on tõestatud.

Näiteks alates cos x on periood
, seejärel funktsioonid
on periood
.

Definitsioon 4. Funktsioone, mis ei ole perioodilised, kutsutakse mitteperioodiline .

. Selleks kasutage millimeetripaberit või graafilist kalkulaatorit. Valige sõltumatu muutuja jaoks suvaline arv väärtusi x (\displaystyle x) ja ühendage need sõltuva muutuja väärtuste arvutamiseks funktsiooniga y (\displaystyle y). Asetage leitud punktide koordinaadid koordinaatide tasapinnale ja ühendage need punktid funktsiooni graafiku koostamiseks.

• Asendage funktsiooni positiivsed arvväärtused x (\displaystyle x) ja vastavad negatiivsed arvväärtused. Näiteks antud funktsioon f (x) = 2 x 2 + 1 (\displaystyle f(x)=2x^(2)+1). Asendage sellesse järgmised väärtused x (\displaystyle x):

Kontrollige, kas funktsiooni graafik on y-telje suhtes sümmeetriline. Sümmeetria viitab y-telje ümber oleva graafiku peegelpildile. Kui y-teljest paremal olev graafiku osa (sõltumatu muutuja positiivsed väärtused) ühtib y-teljest vasakul oleva graafiku osaga (sõltumatu muutuja negatiivsed väärtused), graafik on sümmeetriline y-telje suhtes.Kui funktsioon on sümmeetriline y-telje suhtes, on funktsioon paaris.

Kontrollige, kas funktsiooni graafik on algpunkti suhtes sümmeetriline. Algpunktiks on punkt koordinaatidega (0,0). Sümmeetria päritolu kohta tähendab positiivset väärtust y (\displaystyle y)(positiivse väärtusega x (\displaystyle x)) vastab negatiivsele väärtusele y (\displaystyle y)(negatiivse väärtusega x (\displaystyle x)), ja vastupidi. Paaritutel funktsioonidel on sümmeetria päritolu suhtes.

Kontrollige, kas funktsiooni graafikul on sümmeetriat. Viimane funktsioonitüüp on funktsioon, mille graafikul puudub sümmeetria, st puudub peegelpilt nii y-telje kui ka alguspunkti suhtes. Näiteks antud funktsioon.

• Asendage funktsiooni mitu positiivset ja vastavat negatiivset väärtust x (\displaystyle x):
• Saadud tulemuste kohaselt sümmeetria puudub. Väärtused y (\displaystyle y) vastandlike väärtuste jaoks x (\displaystyle x) ei sobi kokku ega ole vastandlikud. Seega ei ole funktsioon paaris ega paaritu.
• Pange tähele, et funktsioon f (x) = x 2 + 2 x + 1 (\displaystyle f(x)=x^(2)+2x+1) võib kirjutada nii: f (x) = (x + 1) 2 (\displaystyle f(x)=(x+1)^(2)). Sellisel kujul kirjutatuna näib funktsioon olevat paaris, kuna sellel on paarisaste. Kuid see näide tõestab, et funktsiooni vormi ei saa kiiresti määrata, kui sõltumatu muutuja on sulgudes. Sel juhul peate avama sulud ja analüüsima saadud eksponente.

Mis ühel või teisel määral olid teile tuttavad. Seal märgiti ka ära, et funktsiooniomaduste varu täieneb järk-järgult. Selles jaotises käsitletakse kahte uut omadust.

Definitsioon 1.

Funktsiooni y \u003d f (x), x є X kutsutakse välja isegi siis, kui mis tahes hulga X väärtuse x korral on võrdsus f (-x) \u003d f (x) tõene.

2. definitsioon.

Funktsiooni y \u003d f (x), x є X nimetatakse paarituks, kui mis tahes hulga X väärtuse x korral on võrdus f (-x) \u003d -f (x) tõene.

Tõesta, et y = x 4 on paarisfunktsioon.

Otsus. Meil on: f (x) \u003d x 4, f (-x) \u003d (-x) 4. Kuid (-x) 4 = x 4 . Seega on mistahes x korral võrdsus f (-x) = f (x), st. funktsioon on ühtlane.

Samamoodi saab tõestada, et funktsioonid y - x 2, y \u003d x 6, y - x 8 on paaris.

Tõesta, et y = x 3 on paaritu funktsioon.

Otsus. Meil on: f (x) \u003d x 3, f (-x) \u003d (-x) 3. Kuid (-x) 3 = -x 3 . Seega on mis tahes x korral võrdsus f (-x) \u003d -f (x), st. funktsioon on paaritu.

Samamoodi saab tõestada, et funktsioonid y \u003d x, y \u003d x 5, y \u003d x 7 on paaritud.

Sina ja mina oleme end korduvalt veendunud, et matemaatika uued terminid on kõige sagedamini “maise” päritoluga, s.t. neid saab kuidagi seletada. See kehtib nii paaris kui paaritu funktsioonide puhul. Vaadake: y - x 3, y \u003d x 5, y \u003d x 7 on paaritud funktsioonid, samas kui y \u003d x 2, y \u003d x 4, y \u003d x 6 on paarisfunktsioonid. Ja üldiselt, mis tahes funktsiooni kujul y \u003d x "(allpool uurime neid funktsioone konkreetselt), kus n on naturaalarv, võime järeldada: kui n on paaritu arv, siis funktsioon y \u003d x " on paaritu; kui n on paarisarv, siis funktsioon y = xn on paarisarv.

On ka funktsioone, mis pole paaris ega paaritud. Selline on näiteks funktsioon y \u003d 2x + 3. Tõepoolest, f (1) \u003d 5 ja f (-1) \u003d 1. Nagu näete, ei ole siin seega ka identiteet f (-x ) \u003d f ( x) ega identiteet f(-x) = -f(x).

Seega võib funktsioon olla paaris, paaritu või mitte kumbki.

Küsimuse uurimist, kas antud funktsioon on paaris või paaritu, nimetatakse tavaliselt paarisfunktsiooni uurimiseks.

Definitsioonid 1 ja 2 käsitlevad funktsiooni väärtusi punktides x ja -x. See eeldab, et funktsioon on defineeritud nii punktis x kui ka punktis -x. See tähendab, et punkt -x kuulub funktsiooni valdkonda samaaegselt punktiga x. Kui arvuline hulk X koos iga selle elemendiga x sisaldab vastandelementi -x, siis nimetatakse X-i sümmeetriliseks hulgaks. Oletame, et (-2, 2), [-5, 5], (-oo, +oo) on sümmeetrilised hulgad, samas kui )