Définition de pair et impair. Comment déterminer les fonctions paires et impaires

Fonction zéros
Le zéro de la fonction est la valeur X, auquel la fonction devient 0, c'est-à-dire f(x)=0.

Les zéros sont les points d'intersection du graphique de la fonction avec l'axe Oh.

Parité des fonctions
Une fonction est appelée même si pour tout X du domaine de définition, l'égalité f(-x) = f(x)

Une fonction paire est symétrique par rapport à l'axe UO

Fonction impaire
Une fonction est dite impaire si pour tout X du domaine de définition, l'égalité f(-x) = -f(x) est satisfaite.

Une fonction impaire est symétrique par rapport à l'origine.
Une fonction qui n'est ni paire ni impaire est appelée fonction générale.

Incrément de fonction
La fonction f(x) est dite croissante si la plus grande valeur de l'argument correspond à la plus grande valeur de la fonction, c'est-à-dire x 2 >x 1 → f(x 2)> f(x 1)

Fonction décroissante
La fonction f(x) est dite décroissante si la plus grande valeur de l'argument correspond à la plus petite valeur de la fonction, c'est-à-dire x 2 >x 1 → f(x 2)
Les intervalles sur lesquels la fonction ne fait que décroître ou ne fait qu'augmenter sont appelés intervalles de monotonie. La fonction f(x) a 3 intervalles de monotonie :
(-∞ x 1), (x 1 , x 2), (x 3 ; +∞)

Trouver des intervalles de monotonie à l'aide du service Intervalles de fonctions croissantes et décroissantes

Maximale locale
Point x 0 est appelé un point maximum local si pour tout X d'un voisinage d'un point x 0 l'inégalité suivante est vraie : f(x 0) > f(x)

Minimale locale
Point x 0 est appelé un point minimum local si pour tout X d'un voisinage d'un point x 0 l'inégalité suivante est vraie : f(x 0)< f(x).

Les points maximaux locaux et les points minimaux locaux sont appelés points extrêmes locaux.

x 1 , x 2 - points extrêmes locaux.

Périodicité de la fonction
La fonction f(x) est dite périodique, de période J, si pour tout X f(x+T) = f(x) .

Intervalles de constance
Les intervalles sur lesquels la fonction est soit uniquement positive, soit uniquement négative sont appelés intervalles de signe constant.

f(x)>0 pour x∈(x 1 , x 2)∪(x 2 , +∞), f(x)<0 при x∈(-∞,x 1)∪(x 1 , x 2)

Continuité de fonctionnement
La fonction f(x) est dite continue au point x 0 si la limite de la fonction lorsque x → x 0 est égale à la valeur de la fonction en ce point, c'est-à-dire .

points de rupture
Les points où la condition de continuité est violée sont appelés points de discontinuité de la fonction.

x0- point de rupture.

Schéma général des fonctions de traçage

1. Trouver le domaine de la fonction D(y).
2. Trouvez les points d'intersection du graphique des fonctions avec les axes de coordonnées.
3. Étudiez la fonction pair ou impair.
4. Étudiez la fonction de périodicité.
5. Trouver les intervalles de monotonie et les points extrêmes de la fonction.
6. Trouver les intervalles de convexité et les points d'inflexion de la fonction.
7. Trouvez les asymptotes de la fonction.
8. Sur la base des résultats de l'étude, construisez un graphique.

Exemple: Explorer la fonction et construire son graphique : y = x 3 - 3x
8) Sur la base des résultats de l'étude, nous allons construire un graphique de la fonction :

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Attention! L'aperçu de la diapositive est fourni à titre informatif uniquement et peut ne pas représenter l'intégralité de la présentation. Si vous êtes intéressé par ce travail, veuillez télécharger la version complète.

Objectifs:

• former le concept de fonctions paires et impaires, enseigner la capacité de déterminer et d'utiliser ces propriétés dans l'étude des fonctions, le traçage;
• développer l'activité créative des élèves, la pensée logique, la capacité de comparer, de généraliser;
• cultiver la diligence, la culture mathématique ; développer des compétences en communication .

Équipement: installation multimédia, tableau blanc interactif, polycopiés.

Formes de travail : frontal et groupe avec des éléments de recherche et d'activités de recherche.

Sources d'informations:

1. Classe d'algèbre 9 A.G. Mordkovich. Cahier de texte.
2. Algèbre 9e année A.G. Mordkovich. Cahier de tâches.
3. Algèbre de niveau 9. Tâches pour l'apprentissage et le développement des étudiants. Belenkova E.Yu. Lebedintseva E.A.

PENDANT LES COURS

1. Moment organisationnel

Fixer les buts et les objectifs de la leçon.

2. Vérification des devoirs

N ° 10.17 (livre de problèmes 9e année A.G. Mordkovich).

un) à = F(X), F(X) =

b) F (–2) = –3; F (0) = –1; F(5) = 69;

c) 1. D( F) = [– 2; + ∞)
2. E( F) = [– 3; + ∞)
3. F(X) = 0 pour X ~ 0,4
4. F(X) >0 à X > 0,4 ; F(X) < 0 при – 2 < X < 0,4.
5. La fonction augmente avec X € [– 2; + ∞)
6. La fonction est limitée par le bas.
7. à location = - 3, à naib n'existe pas
8. La fonction est continue.

(Avez-vous utilisé l'algorithme d'exploration de fonctionnalités ?) Glisser.

2. Vérifions le tableau qui vous a été demandé sur la diapositive.

Remplissez le tableau
	Domaine	Fonction zéros	Intervalles de constance		Coordonnées des points d'intersection du graphe avec Oy
		x = -5, x = 2	х € (–5;3) U U(2;∞)	х € (–∞;–5) U U (–3;2)
	x ∞ -5, x ≠ 2		х € (–5;3) U U(2;∞)	х € (–∞;–5) U U (–3;2)
	x ≠ -5, x ≠ 2		x € (–∞; –5) U U(2;∞)	x € (–5 ; 2)

3. Mise à jour des connaissances

– Les fonctions sont données.
– Spécifier le domaine de définition pour chaque fonction.
– Comparez la valeur de chaque fonction pour chaque couple de valeurs d'argument : 1 et – 1 ; 2 et - 2.
– Pour laquelle des fonctions données dans le domaine de définition sont les égalités F(– X) = F(X), F(– X) = – F(X)? (mettre les données dans le tableau) Glisser

		F(1) et F(– 1)	F(2) et F(– 2)	graphiques	F(– X) = –F(X)	F(– X) = F(X)
1. F(X) =
2. F(X) = X 3
3. F(X) = | X |
4.F(X) = 2X – 3
5. F(X) =	X ≠ 0
6. F(X)=	X > –1		et non défini.

4. Nouveau matériel

- En faisant ce travail, les gars, nous avons révélé une autre propriété de la fonction, qui vous est inconnue, mais non moins importante que les autres - c'est la régularité et l'étrangeté de la fonction. Notez le sujet de la leçon: "Fonctions paires et impaires", notre tâche est d'apprendre à déterminer les fonctions paires et impaires, de découvrir la signification de cette propriété dans l'étude des fonctions et du traçage.
Alors, trouvons les définitions dans le manuel et lisons (p. 110) . Glisser

Déf. une Une fonction à = F (X) défini sur l'ensemble X est appelé même, si pour n'importe quelle valeur XЄ X en cours égalité f (–x) = f (x). Donne des exemples.

Déf. 2 Une fonction y = f(x), défini sur l'ensemble X est appelé étrange, si pour n'importe quelle valeur XЄ X l'égalité f(–х)= –f(х) est satisfaite. Donne des exemples.

Où avons-nous rencontré les termes "pair" et "impair" ?
Laquelle de ces fonctions sera paire, pensez-vous ? Pourquoi? Lesquels sont impairs ? Pourquoi?
Pour toute fonction de la forme à= xn, où n est un entier, on peut dire que la fonction est impaire pour n est impaire et la fonction est paire pour n- même.
– Afficher les fonctions à= et à = 2X– 3 n'est ni pair ni impair, car les égalités ne sont pas respectées F(– X) = – F(X), F(– X) = F(X)

L'étude de la question de savoir si une fonction est paire ou impaire s'appelle l'étude d'une fonction pour la parité. Glisser

Les définitions 1 et 2 traitaient des valeurs de la fonction à x et - x, on suppose donc que la fonction est également définie à la valeur X, et à - X.

APD 3. Si un nombre ensemble avec chacun de ses éléments x contient l'élément opposé x, alors l'ensemble X est appelé un ensemble symétrique.

Exemples:

(–2;2), [–5;5] ; (∞;∞) sont des ensembles symétriques, et , [–5;4] sont non symétriques.

- Les fonctions paires ont-elles un domaine de définition - un ensemble symétrique ? Les impairs ?
- Si D( F) est un ensemble asymétrique, alors quelle est la fonction ?
– Ainsi, si la fonction à = F(X) est pair ou impair, alors son domaine de définition est D( F) est un ensemble symétrique. Mais l'inverse est-il vrai, si le domaine d'une fonction est un ensemble symétrique, alors il est pair ou impair ?
- Donc la présence d'un ensemble symétrique du domaine de définition est une condition nécessaire, mais pas suffisante.
– Alors, comment pouvons-nous étudier la fonction de parité ? Essayons d'écrire un algorithme.

Glisser

Algorithme d'examen d'une fonction pour la parité

1. Déterminez si le domaine de la fonction est symétrique. Sinon, la fonction n'est ni paire ni impaire. Si oui, passez à l'étape 2 de l'algorithme.

2. Écrivez une expression pour F(–X).

3. Comparez F(–X).et F(X):

• si F(–X).= F(X), alors la fonction est paire ;
• si F(–X).= – F(X), alors la fonction est impaire ;
• si F(–X) ≠ F(X) et F(–X) ≠ –F(X), alors la fonction n'est ni paire ni impaire.

Exemples:

Étudier la fonction de parité a) à=x5+ ; b) à= ; dans) à= .

Décision.

a) h (x) \u003d x 5 +,

1) D(h) = (–∞; 0) U (0; +∞), ensemble symétrique.

2) h (- x) \u003d (-x) 5 + - x5 - \u003d - (x 5 +),

3) h (- x) \u003d - h (x) \u003d\u003e fonction h(x)= x 5 + impair.

b) y =,

à = F(X), D(f) = (–∞; –9) ? (–9 ; +∞), ensemble asymétrique, donc la fonction n'est ni paire ni impaire.

dans) F(X) = , y = f(x),

1) D( F) = (–∞; 3] ≠ ; b) (∞; –2), (–4; 4] ?

Option 2

1. L'ensemble donné est-il symétrique : a) [–2;2] ; b) (∞ ; 0], (0 ; 7) ?

un); b) y \u003d x (5 - x 2). 2. Examinez la fonction de parité :

a) y \u003d x 2 (2x - x 3), b) y \u003d

3. Dans la fig. comploté à = F(X), pour tous X, remplissant la condition X? 0.
Tracer la fonction à = F(X), si à = F(X) est une fonction paire.

3. Dans la fig. comploté à = F(X), pour tout x satisfaisant x ? 0.
Tracer la fonction à = F(X), si à = F(X) est une fonction impaire.

Contrôle mutuel sur glisser.

6. Devoirs : №11.11, 11.21,11.22;

Preuve de la signification géométrique de la propriété de parité.

*** (Affectation de l'option USE).

1. La fonction impaire y \u003d f (x) est définie sur toute la ligne réelle. Pour toute valeur non négative de la variable x, la valeur de cette fonction coïncide avec la valeur de la fonction g( X) = X(X + 1)(X + 3)(X- 7). Trouver la valeur de la fonction h( X) = à X = 3.

7. Résumé

Définition 1. La fonction est appelée même (étrange ) si avec chaque valeur de la variable
sens - X appartient aussi
et l'égalité

Ainsi, une fonction ne peut être paire ou impaire que lorsque son domaine de définition est symétrique par rapport à l'origine des coordonnées sur la droite réelle (nombres X et - X appartiennent simultanément
). Par exemple, la fonction
n'est ni pair ni impair, puisque son domaine de définition
non symétrique par rapport à l'origine.

Une fonction
même, parce que
symétrique par rapport à l'origine des coordonnées et.

Une fonction
étrange parce que
et
.

Une fonction
n'est ni pair ni impair, puisque bien que
et est symétrique par rapport à l'origine, les égalités (11.1) ne sont pas satisfaites. Par example,.

Le graphe d'une fonction paire est symétrique par rapport à l'axe UO, puisque si le point

appartient aussi au graphe. Le graphe d'une fonction impaire est symétrique par rapport à l'origine, car si
appartient au graphe, alors le point
appartient aussi au graphe.

Pour prouver si une fonction est paire ou impaire, les déclarations suivantes sont utiles.

Théorème 1. a) La somme de deux fonctions paires (impaires) est une fonction paire (impaire).

b) Le produit de deux fonctions paires (impaires) est une fonction paire.

c) Le produit d'une fonction paire et d'une fonction impaire est une fonction impaire.

d) Si F est une fonction paire sur l'ensemble X, et la fonction g défini sur le plateau
, alors la fonction
- même.

e) Si F est une fonction impaire sur l'ensemble X, et la fonction g défini sur le plateau
et pair (impair), alors la fonction
- même bizarre).

Preuve. Démontrons, par exemple, b) et d).

b) Laissez
et
sont même des fonctions. Alors, donc. Le cas des fonctions impaires est considéré de la même manière
et
.

d) Laissez F est une fonction paire. Puis.

Les autres assertions du théorème se prouvent de la même manière. Le théorème a été démontré.

Théorème 2. Toute fonction
, défini sur l'ensemble X, qui est symétrique par rapport à l'origine, peut être représenté comme la somme d'une fonction paire et d'une fonction impaire.

Preuve. Une fonction
peut s'écrire sous la forme

.

Une fonction
est pair puisque
, et la fonction
est bizarre parce que. Ainsi,
, où
- même, et
est une fonction impaire. Le théorème a été démontré.

Définition 2. Fonction
appelé périodique s'il y a un nombre
, de sorte que pour tout
Nombres
et
appartiennent aussi au domaine de la définition
et les égalités

Un tel nombre J appelé période les fonctions
.

La définition 1 implique que si J– période de fonction
, alors le nombre J aussi est la période de la fonction
(parce que lors du remplacement J sur le - J l'égalité est maintenue). En utilisant la méthode de l'induction mathématique, on peut montrer que si J– période de fonction F, puis et
, est aussi une période. Il s'ensuit que si une fonction a une période, alors elle a une infinité de périodes.

Définition 3. La plus petite des périodes positives d'une fonction est appelée son principale période.

Théorème 3. Si J est la période principale de la fonction F, alors les périodes restantes en sont des multiples.

Preuve. Supposons le contraire, c'est-à-dire qu'il existe une période les fonctions F (>0), non multiple J. Puis, en divisant sur le J avec le reste on obtient
, où
. Alors

c'est à dire – période de fonction F, et
, ce qui contredit le fait que J est la période principale de la fonction F. L'assertion du théorème découle de la contradiction obtenue. Le théorème a été démontré.

Il est bien connu que les fonctions trigonométriques sont périodiques. Période principale
et
équivaut à
,
et
. Trouver la période de la fonction
. Laisser être
est la période de cette fonction. Puis

(comme
.

ouoror
.

Sens J, déterminée à partir de la première égalité, ne peut pas être une période, puisqu'elle dépend de X, c'est à dire. est une fonction de X, pas un nombre constant. La période est déterminée à partir de la seconde égalité :
. Il y a une infinité de périodes
la plus petite période positive est obtenue lorsque
:
. C'est la période principale de la fonction
.

Un exemple de fonction périodique plus complexe est la fonction de Dirichlet

Notez que si J est un nombre rationnel, alors
et
sont des nombres rationnels sous rationnel X et irrationnel quand irrationnel X. Alors

pour tout nombre rationnel J. Par conséquent, tout nombre rationnel J est la période de la fonction de Dirichlet. Il est clair que cette fonction n'a pas de période principale, puisqu'il existe des nombres rationnels positifs arbitrairement proches de zéro (par exemple, un nombre rationnel peut être fait en choisissant n arbitrairement proche de zéro).

Théorème 4. Si la fonction F sur le plateau X et a une période J, et la fonction g sur le plateau
, alors la fonction complexe
a aussi une période J.

Preuve. Nous avons donc

c'est-à-dire que l'assertion du théorème est prouvée.

Par exemple, depuis parce que X a une période
, alors les fonctions
avoir une période
.

Définition 4. Les fonctions qui ne sont pas périodiques sont appelées non périodique .

. Pour ce faire, utilisez du papier millimétré ou une calculatrice graphique. Sélectionnez n'importe quel nombre de valeurs numériques pour la variable indépendante x (\displaystyle x) et branchez-les dans la fonction pour calculer les valeurs de la variable dépendante y (\displaystyle y). Mettez les coordonnées trouvées des points sur le plan de coordonnées, puis connectez ces points pour construire un graphique de la fonction.

• Substituer des valeurs numériques positives dans la fonction x (\displaystyle x) et les valeurs numériques négatives correspondantes. Par exemple, étant donné une fonction f (x) = 2 x 2 + 1 (\displaystyle f(x)=2x^(2)+1). Remplacez-y les valeurs suivantes x (\displaystyle x):

Vérifiez si le graphique de la fonction est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées. La symétrie fait référence à l'image miroir du graphique autour de l'axe y. Si la partie du graphique à droite de l'axe des y (valeurs positives de la variable indépendante) correspond à la partie du graphique à gauche de l'axe des y (valeurs négatives de la variable indépendante), le est symétrique par rapport à l'axe des Y. Si la fonction est symétrique par rapport à l'axe des Y, la fonction est paire.

Vérifiez si le graphe de la fonction est symétrique par rapport à l'origine. L'origine est le point de coordonnées (0,0). La symétrie autour de l'origine signifie qu'une valeur positive y (\displaystyle y)(avec une valeur positive x (\displaystyle x)) correspond à une valeur négative y (\displaystyle y)(avec une valeur négative x (\displaystyle x)), et vice versa. Les fonctions impaires ont une symétrie par rapport à l'origine.

Vérifiez si le graphique de la fonction a une symétrie. Le dernier type de fonction est une fonction dont le graphique n'a pas de symétrie, c'est-à-dire qu'il n'y a pas d'image miroir à la fois par rapport à l'axe des ordonnées et par rapport à l'origine. Par exemple, étant donné une fonction.

• Remplacez plusieurs valeurs négatives positives et correspondantes dans la fonction x (\displaystyle x):
• D'après les résultats obtenus, il n'y a pas de symétrie. Valeurs y (\displaystyle y) pour des valeurs opposées x (\displaystyle x) ne correspondent pas et ne sont pas opposés. Ainsi, la fonction n'est ni paire ni impaire.
• Veuillez noter que la fonction f (x) = x 2 + 2 x + 1 (\displaystyle f(x)=x^(2)+2x+1) peut s'écrire ainsi : f (x) = (x + 1) 2 (\displaystyle f(x)=(x+1)^(2)). Écrite sous cette forme, la fonction semble être paire car il y a un exposant pair. Mais cet exemple prouve que la forme d'une fonction ne peut être déterminée rapidement si la variable indépendante est entre parenthèses. Dans ce cas, vous devez ouvrir les crochets et analyser les exposants résultants.

Qui à un degré ou à un autre vous étaient familiers. Il y a également été noté que le stock de biens de fonction sera progressivement reconstitué. Deux nouvelles propriétés seront abordées dans cette section.

Définition 1.

La fonction y \u003d f (x), x є X, est appelée même si pour toute valeur x de l'ensemble X l'égalité f (-x) \u003d f (x) est vraie.

Définition 2.

La fonction y \u003d f (x), x є X, est dite impaire si pour toute valeur x de l'ensemble X l'égalité f (-x) \u003d -f (x) est vraie.

Montrer que y = x 4 est une fonction paire.

Décision. Nous avons: f (x) \u003d x 4, f (-x) \u003d (-x) 4. Mais (-x) 4 = x 4 . Donc, pour tout x, l'égalité f (-x) = f (x), c'est-à-dire la fonction est paire.

De même, on peut prouver que les fonctions y - x 2, y \u003d x 6, y - x 8 sont paires.

Montrer que y = x 3 est une fonction impaire.

Décision. Nous avons: f (x) \u003d x 3, f (-x) \u003d (-x) 3. Mais (-x) 3 = -x 3 . D'où, pour tout x, l'égalité f (-x) \u003d -f (x), c'est-à-dire la fonction est impaire.

De même, on peut prouver que les fonctions y \u003d x, y \u003d x 5, y \u003d x 7 sont impaires.

Vous et moi nous sommes convaincus à plusieurs reprises que les nouveaux termes en mathématiques ont le plus souvent une origine "terrestre", c'est-à-dire ils peuvent être expliqués d'une manière ou d'une autre. C'est le cas pour les fonctions paires et impaires. Voir: y - x 3, y \u003d x 5, y \u003d x 7 sont des fonctions impaires, tandis que y \u003d x 2, y \u003d x 4, y \u003d x 6 sont des fonctions paires. Et en général, pour toute fonction de la forme y \u003d x "(ci-dessous, nous étudierons spécifiquement ces fonctions), où n est un nombre naturel, nous pouvons conclure: si n est un nombre impair, alors la fonction y \u003d x " est impair; si n est un nombre pair, alors la fonction y = xn est paire.

Il existe également des fonctions qui ne sont ni paires ni impaires. Telle, par exemple, est la fonction y \u003d 2x + 3. En effet, f (1) \u003d 5, et f (-1) \u003d 1. Comme vous pouvez le voir, ici Par conséquent, ni l'identité f (-x ) \u003d f ( x), ni l'identité f(-x) = -f(x).

Ainsi, une fonction peut être paire, impaire ou ni l'une ni l'autre.

L'étude de la question de savoir si une fonction donnée est paire ou impaire est généralement appelée l'étude de la fonction de parité.

Les définitions 1 et 2 traitent des valeurs de la fonction aux points x et -x. Cela suppose que la fonction est définie à la fois au point x et au point -x. Cela signifie que le point -x appartient au domaine de la fonction en même temps que le point x. Si un ensemble numérique X avec chacun de ses éléments x contient l'élément opposé -x, alors X est appelé un ensemble symétrique. Disons que (-2, 2), [-5, 5], (-oo, +oo) sont des ensembles symétriques, tandis que )