ლუწი და კენტის განმარტება. როგორ განვსაზღვროთ ლუწი და კენტი ფუნქციები

ფუნქცია ნულები
ფუნქციის ნული არის მნიშვნელობა X, რომლის დროსაც ფუნქცია ხდება 0, ანუ f(x)=0.

ნულები არის ფუნქციის გრაფიკის ღერძთან გადაკვეთის წერტილები ოჰ.

ფუნქციის პარიტეტი
ფუნქცია გამოიძახება თუნდაც რომელიმესთვის Xგანმარტების დომენიდან, ტოლობა f(-x) = f(x)

ლუწი ფუნქცია სიმეტრიულია ღერძის მიმართ OU

უცნაური ფუნქცია
ფუნქციას ეწოდება კენტი, თუ რომელიმე Xგანმარტების დომენიდან დაკმაყოფილებულია ტოლობა f(-x) = -f(x).

კენტი ფუნქცია სიმეტრიულია საწყისის მიმართ.
ფუნქციას, რომელიც არც ლუწია და არც კენტი, ზოგადი ფუნქცია ეწოდება.

ფუნქციის გაზრდა
ფუნქცია f(x) ეწოდება მზარდი, თუ არგუმენტის უფრო დიდი მნიშვნელობა შეესაბამება ფუნქციის უფრო დიდ მნიშვნელობას, ე.ი. x 2 >x 1 → f(x 2)> f(x 1)

კლების ფუნქცია
f(x) ფუნქციას კლებადი ეწოდება, თუ არგუმენტის უფრო დიდი მნიშვნელობა შეესაბამება ფუნქციის უფრო მცირე მნიშვნელობას, ე.ი. x 2 >x 1 → f(x 2)
ინტერვალებს, რომლებზეც ფუნქცია ან მხოლოდ მცირდება ან მხოლოდ იზრდება, ეწოდება ერთფეროვნების ინტერვალები. f(x) ფუნქციას აქვს მონოტონურობის 3 ინტერვალი:
(-∞ x 1), (x 1 , x 2), (x 3 ; +∞)

იპოვეთ მონოტონურობის ინტერვალები სერვისის გამოყენებით გაზრდის და კლების ფუნქციების ინტერვალები

ადგილობრივი მაქსიმუმი
Წერტილი x 0ეწოდება ლოკალური მაქსიმალური წერტილი ასეთის შემთხვევაში Xწერტილის სამეზობლოდან x 0მოქმედებს შემდეგი უტოლობა: f(x 0) > f(x)

ადგილობრივი მინიმალური
Წერტილი x 0ეწოდება ლოკალურ მინიმალურ წერტილს, თუ არსებობს Xწერტილის სამეზობლოდან x 0მოქმედებს შემდეგი უტოლობა: f(x 0)< f(x).

ლოკალურ მაქსიმალურ წერტილებს და ლოკალურ მინიმალურ წერტილებს ეწოდება ადგილობრივი ექსტრემალური წერტილები.

x 1, x 2 - ადგილობრივი ექსტრემალური წერტილები.

ფუნქციის პერიოდულობა
ფუნქციას f(x) ეწოდება პერიოდული, წერტილით თ, თუ რომელიმესთვის X f(x+T) = f(x) .

მუდმივი ინტერვალები
ინტერვალებს, რომლებზეც ფუნქცია მხოლოდ დადებითია ან მხოლოდ უარყოფითია, მუდმივი ნიშნის ინტერვალებს უწოდებენ.

f(x)>0 x∈(x 1, x 2)∪(x 2, +∞), f(x)<0 при x∈(-∞,x 1)∪(x 1 , x 2)

ფუნქციის უწყვეტობა
ფუნქცია f(x) ეწოდება უწყვეტს x 0 წერტილში, თუ ფუნქციის ზღვარი x → x 0 უდრის ფუნქციის მნიშვნელობას ამ წერტილში, ე.ი. .

შესვენების წერტილები
წერტილებს, რომლებშიც დარღვეულია უწყვეტობის პირობა, ეწოდება ფუნქციის უწყვეტობის წერტილები.

x0- რღვევის წერტილი.

ფუნქციების შედგენის ზოგადი სქემა

1. იპოვეთ D(y) ფუნქციის დომენი.
2. იპოვეთ ფუნქციების გრაფიკის გადაკვეთის წერტილები კოორდინატთა ღერძებით.
3. გამოიკვლიეთ ფუნქცია ლუწი ან კენტი.
4. გამოიკვლიეთ ფუნქცია პერიოდულობისთვის.
5. იპოვეთ ფუნქციის ერთფეროვნების და უკიდურესი წერტილების ინტერვალები.
6. იპოვეთ ფუნქციის ამოზნექილობისა და დახრის წერტილების ინტერვალები.
7. იპოვეთ ფუნქციის ასიმპტოტები.
8. კვლევის შედეგების მიხედვით ააგეთ გრაფიკი.

მაგალითი:გამოიკვლიეთ ფუნქცია და შექმენით მისი გრაფიკი: y = x 3 - 3x
8) კვლევის შედეგების საფუძველზე ავაშენებთ ფუნქციის გრაფიკს:

უკან წინ

ყურადღება! სლაიდის გადახედვა მხოლოდ საინფორმაციო მიზნებისთვისაა და შეიძლება არ წარმოადგენდეს პრეზენტაციის სრულ ნაწილს. თუ გაინტერესებთ ეს ნამუშევარი, გთხოვთ, ჩამოტვირთოთ სრული ვერსია.

მიზნები:

• ლუწი და კენტი ფუნქციების ცნების ჩამოყალიბება, ფუნქციების შესწავლისას ამ თვისებების განსაზღვრისა და გამოყენების უნარის სწავლება, გრაფიკების გამოსახვა;
• მოსწავლეთა შემოქმედებითი აქტივობის, ლოგიკური აზროვნების, შედარების, განზოგადების უნარის განვითარება;
• შრომისმოყვარეობის, მათემატიკური კულტურის გამომუშავება; განუვითარდებათ კომუნიკაციის უნარები .

აღჭურვილობა:მულტიმედიური ინსტალაცია, ინტერაქტიული დაფა, დარიგებები.

მუშაობის ფორმები:ფრონტალური და ჯგუფური საძიებო და კვლევითი საქმიანობის ელემენტებით.

ინფორმაციის წყაროები:

1. ალგებრა კლასი 9 A.G Mordkovich. სახელმძღვანელო.
2. ალგებრა 9 კლასი A.G Mordkovich. დავალების წიგნი.
3. ალგებრა მე-9 კლასი. მოსწავლეთა სწავლისა და განვითარების ამოცანები. ბელენკოვა ე.იუ. ლებედინცევა ე.ა.

გაკვეთილების დროს

1. საორგანიზაციო მომენტი

გაკვეთილის მიზნებისა და ამოცანების დასახვა.

2. საშინაო დავალების შემოწმება

No10.17 (პრობლემური წიგნი მე-9 კლასი ა.გ. მორდკოვიჩი).

ა) ზე = ვ(X), ვ(X) =

ბ) ვ (–2) = –3; ვ (0) = –1; ვ(5) = 69;

გ) 1. D( ვ) = [– 2; + ∞)
2. E( ვ) = [– 3; + ∞)
3. ვ(X) = 0 ამისთვის X ~ 0,4
4. ვ(X) >0 ზე X > 0,4 ; ვ(X) < 0 при – 2 < X < 0,4.
5. ფუნქცია იზრდება X € [– 2; + ∞)
6. ფუნქცია შეზღუდულია ქვემოდან.
7. ზედაქირავება = - 3, ზენაიბი არ არსებობს
8. ფუნქცია უწყვეტია.

(იყენებდით თუ არა ფუნქციების კვლევის ალგორითმს?) სლაიდი.

2. შევამოწმოთ ცხრილი, რომელიც გკითხეს სლაიდზე.

შეავსეთ ცხრილი
	დომენი	ფუნქცია ნულები	მუდმივი ინტერვალები		გრაფიკის Oy-სთან გადაკვეთის წერტილების კოორდინატები
		x = -5, x = 2	х € (–5;3) U U(2;∞)	х € (–∞;–5) U U (–3;2)
	x ∞ -5, x ≠ 2		х € (–5;3) U U(2;∞)	х € (–∞;–5) U U (–3;2)
	x ≠ -5, x ≠ 2		x € (–∞; –5) U U(2;∞)	x € (–5; 2)

3. ცოდნის განახლება

- ფუნქციები მოცემულია.
– მიუთითეთ თითოეული ფუნქციის განსაზღვრის დომენი.
– შეადარეთ თითოეული ფუნქციის მნიშვნელობა არგუმენტების თითოეული წყვილისთვის: 1 და – 1; 2 და - 2.
– რომელი მოცემული ფუნქციის განსაზღვრების სფეროში არის ტოლობები ვ(– X) = ვ(X), ვ(– X) = – ვ(X)? (ჩადეთ მონაცემები ცხრილში) სლაიდი

		ვ(1) და ვ(– 1)	ვ(2) და ვ(– 2)	სქემები	ვ(– X) = –ვ(X)	ვ(– X) = ვ(X)
1. ვ(X) =
2. ვ(X) = X 3
3. ვ(X) = | X |
4.ვ(X) = 2X – 3
5. ვ(X) =	X ≠ 0
6. ვ(X)=	X > –1		და არ არის განსაზღვრული.

4. ახალი მასალა

- ამ სამუშაოს შესრულებისას, ბიჭებო, ჩვენ გამოვავლინეთ ფუნქციის კიდევ ერთი თქვენთვის უცნობი, მაგრამ სხვებზე არანაკლებ მნიშვნელოვანი თვისება - ეს არის ფუნქციის თანასწორობა და უცნაურობა. ჩაწერეთ გაკვეთილის თემა: „ლუწი და კენტი ფუნქციები“, ჩვენი ამოცანაა ვისწავლოთ როგორ განვსაზღვროთ ლუწი და კენტი ფუნქციები, გავარკვიოთ ამ თვისების მნიშვნელობა ფუნქციების შესწავლასა და გამოსახულებაში.
მაშ, მოვძებნოთ განმარტებები სახელმძღვანელოში და წავიკითხოთ (გვ. 110) . სლაიდი

დეფ. ერთიფუნქცია ზე = ვ (X) X სიმრავლეზე განსაზღვრული ეწოდება თუნდაც, თუ რაიმე ღირებულებისთვის XЄ X მიმდინარეობს თანასწორობა f (–x) = f (x). მიეცით მაგალითები.

დეფ. 2ფუნქცია y = f(x) X სიმრავლეზე განსაზღვრული ეწოდება კენტი, თუ რაიმე ღირებულებისთვის XЄ X ტოლობა f(–х)= –f(х) სრულდება. მიეცით მაგალითები.

სად შევხვდით ტერმინებს „ლუწი“ და „კენტი“?
ამ ფუნქციებიდან რომელი იქნება ლუწი, როგორ ფიქრობთ? რატომ? რომელია უცნაური? რატომ?
ფორმის ნებისმიერი ფუნქციისთვის ზე= x n, სად ნარის მთელი რიცხვი, შეიძლება ითქვას, რომ ფუნქცია კენტია ნარის კენტი და ფუნქცია არის ლუწი ნ- თუნდაც.
- ფუნქციების ნახვა ზე= და ზე = 2X– 3 არც ლუწია და არც კენტი, რადგან თანასწორობა არ არის დაცული ვ(– X) = – ვ(X), ვ(– X) = ვ(X)

ფუნქციის ლუწი ან კენტი კითხვის შესწავლას ეწოდება ფუნქციის შესწავლა პარიტეტისათვის.სლაიდი

განმარტებები 1 და 2 ეხებოდა ფუნქციის მნიშვნელობებს x და - x-ზე, ამიტომ ვარაუდობენ, რომ ფუნქცია ასევე განისაზღვრება მნიშვნელობით Xდა ზე - X.

ODA 3.თუ რიცხვი სიმრავლე x მის თითოეულ ელემენტთან ერთად შეიცავს x საპირისპირო ელემენტს, მაშინ სიმრავლე Xსიმეტრიულ სიმრავლეს უწოდებენ.

მაგალითები:

(–2;2), [–5;5]; (∞;∞) არის სიმეტრიული სიმრავლეები, და, [–5;4] არის არასიმეტრიული.

- ფუნქციებს აქვთ თუ არა განსაზღვრების დომენი - სიმეტრიული სიმრავლე? უცნაურები?
- თუ დ( ვ) არის ასიმეტრიული სიმრავლე, მაშინ რა ფუნქცია აქვს?
– ამრიგად, თუ ფუნქცია ზე = ვ(X) არის ლუწი ან კენტი, მაშინ მისი განმარტების დომენი არის D( ვ) არის სიმეტრიული ნაკრები. მაგრამ მართალია საპირისპირო, თუ ფუნქციის დომენი არის სიმეტრიული სიმრავლე, მაშინ ის ლუწია თუ კენტი?
- ასე რომ, განსაზღვრების დომენის სიმეტრიული სიმრავლის არსებობა აუცილებელი პირობაა, მაგრამ არა საკმარისი.
– მაშ, როგორ შეგვიძლია გამოვიკვლიოთ ფუნქცია პარიტეტისათვის? შევეცადოთ დავწეროთ ალგორითმი.

სლაიდი

ფუნქციის პარიტეტის გამოკვლევის ალგორითმი

1. დაადგინეთ არის თუ არა ფუნქციის დომენი სიმეტრიული. თუ არა, მაშინ ფუნქცია არც ლუწია და არც კენტი. თუ კი, მაშინ გადადით ალგორითმის მე-2 საფეხურზე.

2. დაწერეთ გამოთქმა ვ(–X).

3. შეადარე ვ(–X) და ვ(X):

• თუ ვ(–X).= ვ(X), მაშინ ფუნქცია ლუწია;
• თუ ვ(–X).= – ვ(X), მაშინ ფუნქცია კენტია;
• თუ ვ(–X) ≠ ვ(X) და ვ(–X) ≠ –ვ(X), მაშინ ფუნქცია არც ლუწია და არც კენტი.

მაგალითები:

გამოიკვლიეთ ფუნქცია პარიტეტისთვის ა) ზე= x 5 +; ბ) ზე= ; in) ზე= .

გადაწყვეტილება.

ა) h (x) \u003d x 5 +,

1) D(h) = (–∞; 0) U (0; +∞), სიმეტრიული სიმრავლე.

2) h (- x) \u003d (-x) 5 + - x5 - \u003d - (x 5 +),

3) h (- x) \u003d - h (x) \u003d\u003e ფუნქცია h(x)= x 5 + კენტი.

ბ) y =,

ზე = ვ(X), D(f) = (–∞; –9)? (–9; +∞), ასიმეტრიული სიმრავლე, ამიტომ ფუნქცია არც ლუწია და არც კენტი.

in) ვ(X) = , y = f(x),

1) D( ვ) = (–∞; 3] ≠ ; ბ) (∞; –2), (–4; 4]?

ვარიანტი 2

1. არის თუ არა მოცემული სიმრავლე სიმეტრიული: ა) [–2;2]; ბ) (∞; 0], (0; 7) ?

ა); ბ) y \u003d x (5 - x 2). 2. შეამოწმეთ ფუნქცია პარიტეტისათვის:

ა) y \u003d x 2 (2x - x 3), ბ) y \u003d

3. ნახ. ნაკვეთი ზე = ვ(X), ყველასთვის X, აკმაყოფილებს პირობას X? 0.
დახაზეთ ფუნქცია ზე = ვ(X), თუ ზე = ვ(X) არის თანაბარი ფუნქცია.

3. ნახ. ნაკვეთი ზე = ვ(X), ყველა x-ისთვის დამაკმაყოფილებელია x? 0.
დახაზეთ ფუნქცია ზე = ვ(X), თუ ზე = ვ(X) კენტი ფუნქციაა.

ორმხრივი შემოწმება სლაიდი.

6. საშინაო დავალება: №11.11, 11.21,11.22;

პარიტეტული თვისების გეომეტრიული მნიშვნელობის დადასტურება.

*** (USE ვარიანტის მინიჭება).

1. კენტი ფუნქცია y \u003d f (x) განისაზღვრება მთელ რეალურ ხაზზე. x ცვლადის ნებისმიერი არაუარყოფითი მნიშვნელობისთვის, ამ ფუნქციის მნიშვნელობა ემთხვევა g ფუნქციის მნიშვნელობას X) = X(X + 1)(X + 3)(X- 7). იპოვნეთ ფუნქციის მნიშვნელობა h( X) = ზე X = 3.

7. შეჯამება

განმარტება 1. ფუნქცია გამოძახებულია თუნდაც (კენტი ) თუ ცვლადის თითოეულ მნიშვნელობასთან ერთად
მნიშვნელობა - Xასევე ეკუთვნის
და თანასწორობა

ამრიგად, ფუნქცია შეიძლება იყოს ლუწი ან კენტი მხოლოდ მაშინ, როდესაც მისი განმარტების დომენი სიმეტრიულია რეალურ ხაზში წარმოშობის მიმართ (რიცხვები Xდა - Xერთდროულად ეკუთვნის
). მაგალითად, ფუნქცია
არც ლუწია და არც კენტი, რადგან მისი განმარტების სფეროა
არ არის სიმეტრიული წარმოშობის მიმართ.

ფუნქცია
თუნდაც იმიტომ
სიმეტრიული კოორდინატების წარმოშობის მიმართ და.

ფუნქცია
უცნაური იმიტომ
და
.

ფუნქცია
არც ლუწია და არც კენტი, ვინაიდან თუმცა
და არის სიმეტრიული წარმოშობის მიმართ, თანასწორობები (11.1) არ არის დაკმაყოფილებული. Მაგალითად,.

ლუწი ფუნქციის გრაფიკი სიმეტრიულია ღერძის მიმართ OU, ვინაიდან თუ წერტილი

ასევე ეკუთვნის გრაფიკს. კენტი ფუნქციის გრაფიკი სიმეტრიულია წარმოშობის მიმართ, რადგან თუ
ეკუთვნის გრაფიკს, შემდეგ წერტილს
ასევე ეკუთვნის გრაფიკს.

ლუწი თუ კენტი ფუნქციის დამტკიცებისას სასარგებლოა შემდეგი დებულებები.

თეორემა 1. ა) ორი ლუწი (კენტი) ფუნქციის ჯამი ლუწი (კენტი) ფუნქციაა.

ბ) ორი ლუწი (კენტი) ფუნქციის ნამრავლი არის ლუწი ფუნქცია.

გ) ლუწი და კენტი ფუნქციის ნამრავლი არის კენტი ფუნქცია.

დ) თუ ვარის თანაბარი ფუნქცია კომპლექტში Xდა ფუნქცია გ კომპლექტზე განსაზღვრული
, შემდეგ ფუნქცია
- თუნდაც.

ე) თუ ვარის უცნაური ფუნქცია კომპლექტში Xდა ფუნქცია გ კომპლექტზე განსაზღვრული
და ლუწი (კენტი), შემდეგ ფუნქცია
- ლუწი (კენტი).

მტკიცებულება. დავამტკიცოთ, მაგალითად, ბ) და დ).

ბ) მოდით
და
არის კიდეც ფუნქციები. მაშინ, ამიტომ. ანალოგიურად განიხილება კენტი ფუნქციების შემთხვევაც
და
.

დ) დაე ვ თანაბარი ფუნქციაა. მერე.

ანალოგიურად დადასტურებულია თეორემის სხვა მტკიცებულებებიც. თეორემა დადასტურდა.

თეორემა 2. ნებისმიერი ფუნქცია
, განსაზღვრული კომპლექტში X, რომელიც სიმეტრიულია საწყისის მიმართ, შეიძლება წარმოდგენილი იყოს როგორც ლუწი და კენტი ფუნქციის ჯამი.

მტკიცებულება. ფუნქცია
შეიძლება ჩაიწეროს ფორმაში

.

ფუნქცია
არის თანაბარი, რადგან
და ფუნქცია
უცნაურია, რადგან. ამრიგად,
, სად
- კი და
უცნაური ფუნქციაა. თეორემა დადასტურდა.

განმარტება 2. ფუნქცია
დაურეკა პერიოდული თუ არის ნომერი
, ისეთი, რომ ნებისმიერი
ნომრები
და
ასევე განეკუთვნება განმარტების სფეროს
და თანასწორობები

ასეთი რიცხვი თდაურეკა პერიოდი ფუნქციები
.

განმარტება 1 გულისხმობს, რომ თუ თ- ფუნქციონირების პერიოდი
, შემდეგ ნომერი თძალიან არის ფუნქციის პერიოდი
(რადგან გამოცვლისას თზე - თთანასწორობა დაცულია). მათემატიკური ინდუქციის მეთოდის გამოყენებით შეიძლება აჩვენოს, რომ თუ თ- ფუნქციონირების პერიოდი ვ, შემდეგ და
, ასევე პერიოდია. აქედან გამომდინარეობს, რომ თუ ფუნქციას აქვს პერიოდი, მაშინ მას აქვს უსასრულოდ ბევრი პერიოდი.

განმარტება 3. ფუნქციის დადებითი პერიოდებიდან უმცირესს მისი ეწოდება მთავარი პერიოდი.

თეორემა 3. თუ თფუნქციის ძირითადი პერიოდია ვ, მაშინ დარჩენილი პერიოდები მისი მრავლობითია.

მტკიცებულება. დავუშვათ პირიქით, ანუ არის პერიოდი ფუნქციები ვ (>0), არა მრავალჯერადი თ. შემდეგ, გაყოფა ზე თდანარჩენთან ერთად ვიღებთ
, სად
. Ისე

ე.ი - ფუნქციონირების პერიოდი ვ, და
, რაც ეწინააღმდეგება იმ ფაქტს, რომ თფუნქციის ძირითადი პერიოდია ვ. თეორემის მტკიცება გამომდინარეობს მიღებული წინააღმდეგობიდან. თეორემა დადასტურდა.

ცნობილია, რომ ტრიგონომეტრიული ფუნქციები პერიოდულია. ძირითადი პერიოდი
და
უდრის
,
და
. იპოვნეთ ფუნქციის პერიოდი
. დაე იყოს
არის ამ ფუნქციის პერიოდი. მერე

(როგორც
.

ორორორი
.

მნიშვნელობა თპირველი თანასწორობიდან განსაზღვრული, არ შეიძლება იყოს პერიოდი, რადგან ეს დამოკიდებულია X, ე.ი. არის ფუნქცია X, არა მუდმივი რიცხვი. პერიოდი განისაზღვრება მეორე თანასწორობიდან:
. უსასრულოდ ბევრი პერიოდია
ყველაზე მცირე დადებითი პერიოდი მიიღება როდესაც
:
. ეს არის ფუნქციის ძირითადი პერიოდი
.

უფრო რთული პერიოდული ფუნქციის მაგალითია დირიხლეს ფუნქცია

გაითვალისწინეთ, რომ თუ თრაციონალური რიცხვია, მაშინ
და
არის რაციონალური რიცხვები რაციონალურ ქვეშ Xდა ირაციონალური როცა ირაციონალური X. Ისე

ნებისმიერი რაციონალური რიცხვისთვის თ. მაშასადამე, ნებისმიერი რაციონალური რიცხვი თდირიხლეს ფუნქციის პერიოდია. ნათელია, რომ ამ ფუნქციას არ აქვს ძირითადი პერიოდი, რადგან არსებობს დადებითი რაციონალური რიცხვები, რომლებიც თვითნებურად უახლოვდება ნულს (მაგალითად, რაციონალური რიცხვი შეიძლება გაკეთდეს არჩევით ნთვითნებურად ნულთან ახლოს).

თეორემა 4. თუ ფუნქცია ვ გადასაღებ მოედანზე დაყენებული Xდა აქვს პერიოდი თდა ფუნქცია გ გადასაღებ მოედანზე დაყენებული
, შემდეგ კომპლექსური ფუნქცია
ასევე აქვს პერიოდი თ.

მტკიცებულება. ამიტომ გვაქვს

ანუ დადასტურებულია თეორემის მტკიცება.

მაგალითად, მას შემდეგ cos x აქვს პერიოდი
, შემდეგ ფუნქციები
აქვს პერიოდი
.

განმარტება 4. ფუნქციებს, რომლებიც არ არის პერიოდული, ეწოდება არაპერიოდული .

. ამისათვის გამოიყენეთ გრაფიკული ქაღალდი ან გრაფიკული კალკულატორი. აირჩიეთ ნებისმიერი რაოდენობის რიცხვითი მნიშვნელობები დამოუკიდებელი ცვლადისთვის x (\displaystyle x)და შეაერთეთ ისინი ფუნქციაში დამოკიდებული ცვლადის მნიშვნელობების გამოსათვლელად y (\displaystyle y). დააყენეთ წერტილების ნაპოვნი კოორდინატები კოორდინატულ სიბრტყეზე და შემდეგ დააკავშირეთ ეს წერტილები ფუნქციის გრაფიკის შესაქმნელად.

• ჩაანაცვლეთ დადებითი რიცხვითი მნიშვნელობები ფუნქციაში x (\displaystyle x)და შესაბამისი უარყოფითი რიცხვითი მნიშვნელობები. მაგალითად, მოცემული ფუნქცია f (x) = 2 x 2 + 1 (\displaystyle f(x)=2x^(2)+1). ჩაანაცვლეთ მასში შემდეგი მნიშვნელობები x (\displaystyle x):

შეამოწმეთ არის თუ არა ფუნქციის გრაფიკი სიმეტრიული y ღერძის მიმართ.სიმეტრია ეხება გრაფიკის სარკის სურათს y ღერძის შესახებ. თუ გრაფიკის ნაწილი y ღერძის მარჯვნივ (დამოუკიდებელი ცვლადის დადებითი მნიშვნელობები) ემთხვევა გრაფიკის ნაწილს y ღერძის მარცხნივ (დამოუკიდებელი ცვლადის უარყოფითი მნიშვნელობები), გრაფიკი სიმეტრიულია y ღერძის მიმართ, თუ ფუნქცია სიმეტრიულია y ღერძის მიმართ, ფუნქცია ლუწია.

შეამოწმეთ არის თუ არა ფუნქციის გრაფიკი სიმეტრიული წარმოშობის მიმართ.საწყისი არის წერტილი კოორდინატებით (0,0). წარმოშობის სიმეტრია ნიშნავს დადებით მნიშვნელობას y (\displaystyle y)(დადებითი მნიშვნელობით x (\displaystyle x)) შეესაბამება უარყოფით მნიშვნელობას y (\displaystyle y)(უარყოფითი მნიშვნელობით x (\displaystyle x)), და პირიქით. კენტ ფუნქციებს აქვთ სიმეტრია საწყისის მიმართ.

შეამოწმეთ აქვს თუ არა ფუნქციის გრაფიკს რაიმე სიმეტრია.ფუნქციის ბოლო ტიპი არის ფუნქცია, რომლის გრაფიკს არ აქვს სიმეტრია, ანუ არ არსებობს სარკისებური გამოსახულება როგორც y ღერძთან, ასევე საწყისთან მიმართებაში. მაგალითად, მოცემული ფუნქცია.

• ჩაანაცვლეთ რამდენიმე დადებითი და შესაბამისი უარყოფითი მნიშვნელობა ფუნქციაში x (\displaystyle x):
• მიღებული შედეგების მიხედვით, სიმეტრია არ არის. ღირებულებები y (\displaystyle y)საპირისპირო მნიშვნელობებისთვის x (\displaystyle x)არ ემთხვევა და არ არის საპირისპირო. ამრიგად, ფუნქცია არც ლუწია და არც კენტი.
• გთხოვთ გაითვალისწინოთ, რომ ფუნქცია f (x) = x 2 + 2 x + 1 (\displaystyle f(x)=x^(2)+2x+1)შეიძლება დაიწეროს ასე: f (x) = (x + 1) 2 (\displaystyle f(x)=(x+1)^(2)). ამ ფორმით დაწერილი ფუნქცია ლუწი ჩანს, რადგან არსებობს ლუწი მაჩვენებლები. მაგრამ ეს მაგალითი ადასტურებს, რომ ფუნქციის ფორმა არ შეიძლება სწრაფად განისაზღვროს, თუ დამოუკიდებელი ცვლადი ჩასმულია ფრჩხილებში. ამ შემთხვევაში, თქვენ უნდა გახსნათ ფრჩხილები და გააანალიზოთ მიღებული მაჩვენებლები.

რომლებიც ამა თუ იმ ხარისხით თქვენთვის ნაცნობი იყო. იქვე აღინიშნა, რომ ფუნქციონალური თვისებების მარაგი ეტაპობრივად შეივსება. ამ განყოფილებაში ორი ახალი თვისება იქნება განხილული.

განმარტება 1.

ფუნქცია y \u003d f (x), x є X, იწოდება მაშინაც კი, თუ x სიმრავლიდან რომელიმე x მნიშვნელობისთვის f (-x) \u003d f (x) ტოლობა ჭეშმარიტია.

განმარტება 2.

ფუნქცია y \u003d f (x), x є X, ეწოდება კენტი, თუ X სიმრავლედან რომელიმე x მნიშვნელობისთვის f (-x) \u003d -f (x) ტოლობა მართალია.

დაამტკიცეთ, რომ y = x 4 არის ლუწი ფუნქცია.

გადაწყვეტილება. გვაქვს: f (x) \u003d x 4, f (-x) \u003d (-x) 4. მაგრამ (-x) 4 = x 4 . აქედან გამომდინარე, ნებისმიერი x-ისთვის ტოლობა f (-x) = f (x), ე.ი. ფუნქცია თანაბარია.

ანალოგიურად, შეიძლება დადასტურდეს, რომ ფუნქციები y - x 2, y \u003d x 6, y - x 8 ლუწია.

დაამტკიცეთ, რომ y = x 3 არის კენტი ფუნქცია.

გადაწყვეტილება. გვაქვს: f (x) \u003d x 3, f (-x) \u003d (-x) 3. მაგრამ (-x) 3 = -x 3 . აქედან გამომდინარე, ნებისმიერი x-ისთვის ტოლობა f (-x) \u003d -f (x), ე.ი. ფუნქცია უცნაურია.

ანალოგიურად, შეიძლება დადასტურდეს, რომ ფუნქციები y \u003d x, y \u003d x 5, y \u003d x 7 არის უცნაური.

მე და თქვენ არაერთხელ დავრწმუნდით, რომ მათემატიკაში ახალ ტერმინებს ყველაზე ხშირად „მიწიერი“ წარმოშობა აქვთ, ე.ი. მათი ახსნა შეიძლება გარკვეულწილად. ეს ეხება როგორც ლუწი, ასევე კენტი ფუნქციებს. იხილეთ: y - x 3, y \u003d x 5, y \u003d x 7 არის უცნაური ფუნქციები, ხოლო y \u003d x 2, y \u003d x 4, y \u003d x 6 არის ლუწი ფუნქციები. და ზოგადად, y \u003d x "ფორმის ნებისმიერი ფუნქციისთვის (ქვემოთ ჩვენ კონკრეტულად შევისწავლით ამ ფუნქციებს), სადაც n არის ნატურალური რიცხვი, შეგვიძლია დავასკვნათ: თუ n არის უცნაური რიცხვი, მაშინ ფუნქცია y \u003d x "უცნაურია; თუ n არის ლუწი რიცხვი, მაშინ ფუნქცია y = xn არის ლუწი.

ასევე არის ფუნქციები, რომლებიც არც ლუწია და არც კენტი. ასეთია, მაგალითად, ფუნქცია y \u003d 2x + 3. მართლაც, f (1) \u003d 5, და f (-1) \u003d 1. როგორც ხედავთ, აქ აქედან გამომდინარე, არც იდენტურობა f (-x ) \u003d f ( x), არც იდენტურობა f(-x) = -f(x).

ამრიგად, ფუნქცია შეიძლება იყოს ლუწი, კენტი ან არცერთი.

კითხვას, არის თუ არა მოცემული ფუნქცია ლუწი თუ კენტი, ჩვეულებრივ უწოდებენ ფუნქციის შესწავლას პარიტეტისათვის.

1 და 2 განმარტებები ეხება ფუნქციის მნიშვნელობებს x და -x წერტილებში. ეს ვარაუდობს, რომ ფუნქცია განისაზღვრება x წერტილში და -x წერტილში. ეს ნიშნავს, რომ წერტილი -x ეკუთვნის ფუნქციის დომენს ამავე დროს, როგორც x წერტილი. თუ X რიცხვითი სიმრავლე x მის თითოეულ ელემენტთან ერთად შეიცავს საპირისპირო ელემენტს -x, მაშინ X ეწოდება სიმეტრიულ სიმრავლეს. ვთქვათ (-2, 2), [-5, 5], (-oo, +oo) არის სიმეტრიული სიმრავლეები, ხოლო )