Период.
Периодом T называется промежуток времени, в течение которого система совершает одно полное колебание:N - число полных колебаний за время t .
Частота.
Частота ν - число колебаний в единицу времени:Единица частоты - 1 герц (Гц) = 1 с -1
Циклическая частота:
Уравнение гармонического колебания:
x - смещение тела от положения. X m - амплитуда, то есть максимальное смещение, (ωt + φ 0) - фаза колебаний, Ψ 0 - его начальная фаза.
Скорость.
При φ 0 = 0:
Ускорение.
При φ 0 = 0:
Свободные колебания.
Свободными называются колебания, возникающие в механической системе (осцилляторе) при единичном отклонении её от положения равновесия, имеющие собственную частоту ω 0 , задаваемую только параметрами системы, и затухающие со временем из-за наличия трения.Математический маятник.
Частота:
l - длина маятника, g - ускорение свободного падения.
Максимальную кинетическую энергию маятник имеет в момент прохождения положения равновесия:
Пружинный маятник.
Частота:
k - жёсткость пружины, m - масса груза.
Максимальную потенциальную энергию маятник имеет при максимальном смещении:
Вынужденные колебания.
Вынужденными называют колебания, возникающие в колебательной системе (осцилляторе) под действием периодически меняющейся внешней силы.Резонанс.
Резонанс - резкое увеличение амплитуды X m вынужденных колебаний при совпадении частоты ω вынуждающей силы с частотой ω 0 собственных колебаний системы.Волны.
Волны - это колебания вещества (механические) или поля (электромагнитные), распространяющиеся в пространстве с течением времени.Скорость волны.
Скорость распространения волны υ - скорость передачи энергии колебания. При этом частицы среды колеблются около положения равновесия, а не движутся с волной.Длина волны.
Длина волны λ - расстояние, на которое распространяется колебание за один период:Единица длины волны - 1 метр (м).
Частота волны:
Единица частоты волны - 1 герц(Гц).
Механические колебания .
Амплитуда, циклическая частота, фаза гармонических колебаний. Гармонический осциллятор. Пружинный маятник. Физический маятник. Математический маятник. Сложение колебаний. Затухающие колебания. Декремент колебания. Добротность колебательной системы. Вынужденные колебания под действием синусоидальной силы. Резонанс. Резонансные кривые.
Электромагнитные колебания .
Колебательный контур. Формула Томсона. Переменный ток. Дифференциальное уравнение затухающих колебаний и его решение. Коэффициент затухания, логарифмический декремент. Добротность. Дифференциальное уравнение вынужденных колебаний и его решение. Резонанс. Амплитуда и фаза при вынужденных колебаниях.
Волны .
Волновые процессы. Продольные поперечные волны. Длина волны, волновое число, фазовая скорость. Фронт волны. Волновая поверхность. Плоская волна. Бегущая волна. Сферическая волна. Стоячие волны. Электромагнитные волны. Волновое уравнение. Скорость распространения электромагнитных волн. Поляризация волн.
Оптика
Геометрическая оптика.
Элементы геометрической оптики. Законы геометрической оптики. Явление полного отражения. Линза. Формула тонкой линзы.
Волновая оптика.
Свет как электромагнитная волна. Когерентность и монохроматичность световых волн. Интерференционное поле от двух точечных источников. Опыт Юнга. Интерферометр Майкельсона. Интерференция в тонких пленках. Многолучевая интерференция.
Дифракция света. Принцип Гюйгенса-Френеля. Дифракция Френеля. Дифракция на одной щели. Дифракционная решетка. Дифракция Фраунгофера. Понятие о голографии. Распространение света в веществе. Дисперсия света. Поляризация света. Естественный и поляризованный свет. Поляризация света при его отражении и преломлении. Закон Брюстера. Двойное лучепреломление.
Квантовая физика
Физика атома, атомного ядра и элементарных частиц
Квантовая природа излучения .
Тепловое излучение и его характеристики. Законы Кирхгофа. Законы Стефана-Больцмана и смещения Вина. Формулы Рэлея-Джинса и Планка. Внешний фотоэффект. Уравнение Эйнштейна для внешнего фотоэффекта. Масса и импульс фотона. Давление света. Эффект Комптона. Диалектическое единство корпускулярных и волновых свойств электромагнитного излучения.
Физические модели атомов.
Модели атома Томсона и Резерфорда. Линейчатый спектр атома водорода. Эмпирические закономерности в атомных спектрах. Формула Бальмера.
Теория атома водорода по Бору. Постулаты Бора. Теория водородоподобного атома.
Квантовая природа вещества.
Элементы квантовой механики. Корпускулярно-волновой дуализм свойств вещества. Гипотеза де Бройля. Опыты Дэвиссона и Джермера. Дифракция микрочастиц. Принцип неопределенности Гейзенберга. Волновая функция, ее статистический смысл и условия, которым она должна удовлетворять. Уравнение Шредингера. Квантовая частица в одномерной потенциальной яме. Одномерный потенциальный порог и барьер. Линейный гармонический осциллятор в квантовой механике.
Физика атомов и молекул.
Элементы современной физики атомов и молекул. Стационарное уравнение Шредингера для атома водорода. Волновые функции и квантовые числа. Правила отбора для квантовых переходов. Опыт Штерна и Герлаха. Эффект Зеемана.
Принцип Паули. Молекулярные спектры.
Оптические квантовые генераторы
Спонтанное и индуцированное излучение. Инверсное заселение уровней активной среды. Основные компоненты лазера. Условие усиления и генерации света. Особенности лазерного излучения. Основные типы лазеров и их применение.
Физика атомного ядра и элементарных частиц.
Строение и свойства атомных ядер. Состав ядра. Изотопы. Масса и энергия связи в ядре. Радиоактивность. Ядерные реакции. Явление радиоактивности. Закон радиоактивного распада. Период полураспада. Понятие о ядерных реакциях. Законы сохранения в ядерных реакциях.
Современная физическая картина мира.
Иерархия строения материи. Эволюция Вселенной. Физическая картина мира как философская категория.
ПРИМЕРЫ ОФОРМЛЕНИЯ КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ
ВАРИАНТ 1
Задача №1
В подвешенный на нити длиной м деревянный шар массой кг попадает горизонтально летящая пуля массой г. С какой скоростью летела пуля, если нить с шаром и застрявшей в ней пулей отклонилась от вертикали на угол ? Размером шара пренебречь. Удар пули считать прямым центральным.
столкновения как движение материальной точки с массой .
 |
Запишем закон сохранения импульса для системы тел и :
где – общая скорость шара и пули после неупругого удара.
В проекции на ось x имеем:
Уравнение (1) позволяет выразить искомую величину через , которая в свою очередь может быть найдена на основании закона сохранения энергии в применении к системе после ее формирования, т.е. после неупругого столкновения.
Итак, из уравнения (1) имеем:
(2)
Запишем закон сохранения энергии для системы тел после неупругого соударения (полная механическая энергия остается величиной постоянной):
Величина может быть найдена из геометрических соображений:
Подставляя (3) в (2), получаем
.
Проверка размерности:
м/с.
Выполняем расчет:
Ответ: м/с.
Задача №2
Смесь водорода и азота общей массой г при температуре T = 600 К и давлении p = 2,46 МПа занимает объем V = 30 л. Определить массу m 1 водорода и массу m 2 азота.
Для определения парциального давления запишем уравнение Менделеева – Клапейрона для каждого компонента:
, (2)
, (3)
где индексом “1” отмечены характеристики, относящиеся к водороду, а индексом “2” – к азоту. Выразим и из уравнений (2) и (3) и подставим в закон Дальтона (1):
; (4)
при этом 
. (5)
Из (4) и (5) следует
. (6)
Из (6) получаем
. (7)
Проверка размерности:
.
Ответ: = 0,01 кг, = 0,28 кг.
Задача №3
Две –частицы, находясь первоначально достаточно далеко друг от друга, движутся по одной прямой навстречу одна другой со скоростями и 2 соответственно. На какое наименьшее расстояние они могут сблизиться?
противоположны по направлению и равны по модулю . В подобной ситуации (точнее, в этой системе отсчета) частицы в момент наибольшего сближения останавливаются и при этом их кинетическая энергия полностью переходит в потенциальную энергию электростатического взаимодействия.
 |
На основании закона сохранения энергии
.
,
где 
– электрическая постоянная.
Проверка размерности:
.
Ответ: 
.
Задача №4
Тонкий провод в виде кольца массой г свободно подвешен на неупругой нити в однородном магнитном поле. По кольцу течет ток силой i =6 А. Период Т малых крутильных колебаний относительно вертикальной оси равен 2,2 с. Найти индукцию В магнитного поля.
Если же вектор магнитного момента не совпадает с вектором , то на контур действует возвращающий механический момент под действием которого контур будет совершать колебательные движения. (Здесь S
– площадь, ограниченная контуром).
Запишем уравнение движения кругового контура для случая малых колебаний:
где – момент инерции кольца относительности оси, лежащей в плоскости кольца и проходящей через его центр; – угловое ускорение, N
- возвращающий механический момент, равный 
(при малых углах ); . Тогда уравнение (1) примет вид:
;
;
Таким образом, мы получаем уравнение гармонических колебаний кольца для которых циклическая частота .
Учитывая связь периода колебаний и частоты, имеем:
.
следовательно,
Проверка размерности:
.
(Tл)
Ответ: 
.
Задача №5
На дифракционную решетку нормально к ее поверхности падает монохроматический свет. Постоянная дифракционной решетки в n = 4,6 раза больше длины световой волны. Найти общее число m дифракционных максимумов, которое теоретически возможно наблюдать в данном случае.
Для решения задачи воспользуемся условием максимума дифракционной решетки. Разность хода лучей от соседних щелей должна быть равна целому числу длин волн.
, (1)
где k – порядок максимума.
Модуль не может превысить единицу.
Поэтому из формулы (1) вытекает, что наибольший порядок наблюдаемого максимума k max должен быть меньше отношения периода решетки d к длине волны λ
k max < ;L , где (скорости света). При напряжениях порядка В необходимо перейти к соотношениям релятивистской динамики:
и проводить анализ решения на основе этого соотношения.
Ответ: = 0,7 см.
Используемая литература:
1. Савельев, И.В. Курс общей физики: В 3 т. [Текст]: Учебное пособие / И. В. Савельев.– Изд.5-е, стереотип. – СПб.: Изд-во “Лань”, 2006, Т.1- 496 с. – (Механика, колебания и волны, молекулярная физика).
2. Савельев, И.В. Курс общей физики: В 3 т. [Текст]: Учебное пособие / И. В. Савельев.– Изд.5-е, стереотип. – СПб.: Изд-во “Лань”, 2006, Т.2. - 496 с.- (Электричество и магнетизм. Волны. Оптика).
3. Савельев, И.В. Курс общей физики: В 3 [Текст]: Учебное пособие / И. В. Савельев. – Изд.5-е, стереотип. – СПб.: Изд-во “Лань”, 2006,т. - 2-е изд., испр. - М.: Наука, 1982. Т.3 - 304 с. (Квантовая оптика. Атомная физика. Физика твердого тела. Физика атомного ядра и элементарных частиц)
4. Пиралишвили,Ш.А. Механика. Электромагнетизм. - [Текст]/ Ш.А.Пиралишвили, Н.А.Мочалова, З.В.Суворова, Е.В.Шалагина, В.В.Шувалов. –М.: Машиностроение, 2006. -336с.
5. Пиралишвили, Ш.А. Колебания. Волны. Геометрическая и волновая оптика. Квантовая и ядерная физика. .- [Текст]/ Ш.А.Пиралишвили, Н.А.Мочалова, З.В.Суворова, Е.В.Шалагина, В.В.Шувалов. –М.: Машиностроение-1, 2007. -341с.
6. Пиралишвили, Ш.А.Термодинамика и молекулярная физика. Элементы статистической физики. Элементы физики конденсированного состояния. - [Текст]/ Ш.А.Пиралишвили, Н.А.Каляева, З.В.Суворова, Е.В.Шалагина, В.В.Шувалов. –М.: Машиностроение-1, 2008. -348с.
Если посмотреть на пшеничное поле в ветреную погоду, то мы увидим, что оно «волнуется», что вдоль него что-то перемещается. Не ясно что, ведь стебли остаются на месте. Они лишь наклоняются, выпрямляются, снова наклоняются и т.д. Если взять шнур и закрепить один его конец, а другой привести в колебательное движение, то мы увидим, что вдоль шнура «бежит» волна. Если мы бросим камень в воду, то вокруг места падения камня «пойдёт круги». Эти круги – тоже волны.
Источниками волн являются колебания. Колеблются стебли растений, деформируемые ветром, колеблются частицы воды, колеблется конец шнура. А колебания, возникшие в одном месте, передаются другим частицам. То, что мы называем волной, и есть распространение колебаний от точки к точке, от частицы к частице.
Моделью образования волны в шнуре может служить цепочка шариков, имеющих массу, между которыми действует сила упругости. Вообразим, что между шариками расположены маленькие пружинки.
Пусть шарик 1 отведен вверх и отпущен. Пружинка, связывающая его с шариком 2, при этом растянется, возникнет сила упругости, которая действует не только на шарик 1, но и на шарик 2. Следовательно, начнёт колебаться и шарик 2. Это приведёт к деформации следующей пружинки, так что начнёт совершать колебания и шарик 3 и т.д.
Поскольку у всех шариков одинаковые массы и силу упругости, то все шарики будут колебаться – каждый около своего положения равновесия – с одинаковыми периодами и одинаковыми амплитудами. Однако все шарики обладают инертностью (так как у них есть масса), поэтому колебания шариков начнутся не одновременно, поскольку на изменение их скорости требуется время. Поэтому 2-я точка начнёт колебаться позже, чем 1-я, 3-я позже, чем 2-я, 4-я позже, чем 3-я и т.д.
Если наблюдать за любой точкой шнура, мы увидим, что каждая точка совершает колебания с тем же периодом Т. Хотя все точки шнура колеблются с одинаковой частотой, эти колебания «смещены» относительно друг друга во времени. Именно вследствие этого смещения во времени и возникает волна. Например, колебания точки 2 отстают от колебаний точки 1 на четверть периода . А колебания точки 3 отстают от колебаний точки 2 на один целый период Т. Отсюда следует важный вывод: точки 2 и 3 движутся одинаково.
Расстояние между ближайшими точками волны, которые движутся одинаково, называется длиной волны и обозначается λ .
Итак, механические волны – это механические колебания, распространяющиеся в пространстве с течением времени.
Скорость волны
За время, равное одному периоду Т, каждая точка среды совершила одно колебание и, значит, вернулась в то же самое положение. Следовательно, волна сместилась в пространстве как раз на одну длину волны. Таким образом, если обозначить скорость распространения волны υ , получим, что скорость волны
λ = υ Т
Так как Т = 1/ν , тогда получим, что скорость волны, длина волны и частота волны связаны соотношением
υ = λ ν
Что переносят волны?
В приведённые примерах видно, что вещество не перемещается вдоль направления распространения волны, т.е. волны не переносят вещество
.
Однако волны переносят энергию
:
ведь волна – это колебание, распространяющиеся в пространстве, а любые колебания обладают энергией.
Колебания – это физические процессы, которые точно или приблизительно повторяются через одинаковые интервалы времени. Если колебательный процесс распространяется в пространстве с течением времени, то говорят о распространении волн.
Колебательные движения часто встречаются в природе и технике: колеблются деревья в лесу, струны музыкальных инструментов, поршни двигателя, голосовые связки, сердце и т.д. Колебательные движения происходят в жизни – землетрясения, приливы и отливы, сжимание и расширение нашей Вселенной.
Колебания возникают в системах всегда, если эти системы обладают устойчивыми положениями равновесия. При отклонении от положения равновесия возникает «возвращающая» сила, которая пытается вернуть систему в положение равновесия. Так как телам присуща инертность, то они «проскакивают» положение равновесия и тогда отклонение происходит в противоположном направлении. И тогда процесс начинает периодически повторяться.
В зависимости от физической природы различают механические и электромагнитные колебания . Однако колебания и волны независимо от их природы описываются количественно одними и теми же уравнениями.
Механические колебания – это такие движения тел, при которых через равные интервалы времени координаты движущегося тела, его скорость и ускорение принимают исходные значения.
Основные виды колебаний
1. Свободные
2. Вынужденные
3. Автоколебания
Свободные колебания
Свободные колебания – это колебания, возникающие в системе под действием внутренних сил после того, как систему вывели из положения равновесия. То есть такие колебания происходят только за счёт запаса энергии, сообщённого системе.
Условия возникновения свободных колебаний:
1.
Система находится вблизи положения устойчивого равновесия (для возникновения «возвращающей» силы);
2.
Трение в системе должно быть достаточно мало (иначе колебания быстро затухнут или вообще не возникнут).
Вынужденные колебания
Вынужденные колебания – это колебания, возникающие под действием внешних периодически изменяющихся сил.
Отличие от свободных колебаний:
1.
Частота вынужденных колебаний всегда равна частоте периодической вынуждающей силы.
2.
Амплитуда вынужденных колебаний не уменьшается со временем, даже если в системе присутствует трение. Поскольку потери механической энергии восполняются за счёт работы внешних сил.
Автоколебания
Автоколебания – это незатухающие колебания, которые могут существовать в системе без воздействия на неё внешних периодических сил. Такие колебания существуют за счёт поступления энергии от постоянного источника (которым обладает система) и регулируется самой системой.
К автоколебательным системам относятся: часы с маятником, электрический звонок с прерывателем, наше сердце и лёгкие и т.д.
Особенности автоколебаний:
1.
Частота автоколебаний равна частоте свободных колебаний колебательной системы и не зависит от источника энергии (отличие от вынужденных колебаний)
.
2.
Амплитуда автоколебаний не зависит от энергии, сообщённой системе, а устанавливается самой системой (отличие от свободных колебаний)
.
Гармонические колебания
Колебания, при которых смещение зависит от времени по закону косинуса или синуса, называют гармоническими.
Уравнение гармонического колебания
х = X max cosωt
Величины характеризующие колебательные движения
Амплитуда
Амплитуда колебаний – максимальное значение величины, которая испытывает колебания по гармоническому закону.
Физический смысл X max – максимальное значение смещения тела от положения равновесия при гармонических колебаниях.
Период и частота
Период гармонического колебания Т – это время одного полного колебания, то есть промежуток времени, через который движение полностью повторяется.
Единица измерения периода [Т ] = 1с
Частота колебаний ν – это число полных колебаний N, совершаемых телом за единицу времени t.
Единица измерения частоты [ν ] = 1 Гц = 1/с
Циклическая частота колебаний
Циклическая частота колебаний ω – это число полных колебаний, совершаемых за 2π секунд.
Единица измерения циклической частоты [ω ] = 1 рад/с
График гармонического колебания
Пример
100. Колебательным процессом (колебанием) называется такое изменение состояния системы, при котором значения параметров состояния последовательно отклоняются то в одну, то в другую сторону от некоторого значения.
101. Свободные колебания - это колебания, которые совершаются под действием внутренних сил, пропорциональных смещению и направленных к положению равновесия. Они совершаются за счет первоначально сообщенной энергии при последующем отсутствии внешних воздействий на колебательную систему.
102. Гармоническими называются колебания, при которых величины, описывающие систему, изменяются по закону синуса или косинуса. Этими величинами могут быть: координата точки, энергия, напряжённость электрического поля, индукция магнитного поля, скорость и т.д.
103. Уравнение гармонических колебаний:
где х - значение изменяющейся величины в данный момент времени, х m - амплитуда колебаний, ‑ циклическая частота, 0 - начальная фаза.
104. Амплитуда колебаний - это модуль максимального отклонения изменяющейся величина от положения равновесия.
105. Частота - это число колебаний за единицу времени (обычно за секунду). В системе СИ частота измеряется в герцах (Гц).
106. Циклическая частота - это число колебаний за 2 секунд. В системе СИ циклическая частота измеряется в с -1 .
107. Период колебаний T - это время, за которое совершается одно полное колебание. В системе СИ период измеряется в секундах (с).
108. Связь периода, частоты и циклической частоты колебаний
109. Значение выражения (t + 0), стоящего под знаком косинуса или синуса в уравнении гармонических колебаний и определяющего при постоянной амплитуде состояние колебательной системы в данный момент времени, называется фазой колебаний. Фаза колебаний в системе СИ измеряется в радианах (рад).
110. Скорость колеблющейся точки
111. Максимальная скорость колеблющейся точки:
112. Ускорение колеблющейся точки
113. Максимальное ускорение колеблющейся точки
114. Сила, действующая на колеблющуюся материальную точку
115. Полная энергия материальной точки , совершающей гармонические колебания
116. Математическим маятником называется материальная точка, подвешенная на длинной, невесомой и нерастяжимой нити. При выведении из положения равновесия такая система совершает колебания под действием силы тяжести.
117. Период колебаний математического маятника равен
где l -длина математического маятника, g - ускорение свободного падения.
118. Период колебаний пружинного маятника:
где m - масса маятника, k - коэффициент упругости пружины.
119. Затухающими называются колебания, амплитуда которых уменьшается с течением времени.
120. Вынужденными называются колебания, которые происходят под влиянием внешних периодических воздействий. Вынужденные колебания происходят с частотой внешних периодических воздействий.
121. Автоколебания - это незатухающие колебания, существующие за счёт постоянного источника энергии, который периодически включается и выключается самой колебательной системой в нужные моменты времени для пополнения запаса энергии.
122. Резонанс - это явление резкого возрастания амплитуды вынужденных колебаний, когда частота внешних периодических воздействий совпадает с частотой собственных колебаний колебательной системы.
123. Волна - это процесс распространения колебаний в материальной среде.
124. Фронт волны - это поверхность, которая отделяет область пространства, уже вовлечённую в волновой процесс, от области пространства, в которой колебания ещё не возникли.
125. Волновой поверхностью называется геометрическое место точек, колеблющихся в одинаковой фазе.
126. Волны называют поперечными , если колебания в них происходят перпендикулярно направлению распространения волны.
127. Волны называют продольными , если колебания в них происходят вдоль направления их распространения.
128. Поперечные волны распространяются только в твёрдых телах и вдоль границ раздела сред с различными физическими свойствами, например, на границе между водой и воздухом (на поверхности воды), т.к. за механизм их возникновения ответственна деформация сдвига, которая возможна только в твёрдых телах или на границе раздела сред, обладающей упругими свойствами. Примером поперечных волн могут служить электромагнитные волны, волны на поверхности воды.
129. Продольные волны могут существовать в любых средах, т.к. за механизм их возникновения ответственна деформация растяжения-сжатия, которая может возникать в любых средах. Примером продольных волн могут служить звуковые волны в воздухе.
130. Расстояние, на которое распространяется волна за один период называется длиной волны . Или другое определение: кратчайшее расстояние между точками, колеблющимися в одинаковой фазе, называется длиной волны .
131. Волны, частота которых лежит в диапазоне от 16 Гц до 20 кГц, называются звуковыми или акустическими.
132. Скорость звука в воздухе порядка 340 м/с. Она изменяется в зависимости от температуры, плотности, влажности, атмосферного давления. Чем выше плотность среды, тем больше скорость звука. Например, в твёрдых телах она составляет тысячи м/с.
133. Громкость звука зависит от амплитуды колебаний частиц в волне. Чем больше амплитуда колебаний, тем выше громкость звука.
134. Высота тона зависит от частоты. Чем выше частота, тем выше тон.
135. Принцип суперпозиции волн: при распространении в среде нескольких волн каждая из них распространяется так, как будто другие волны отсутствуют, а результирующее смещение частиц среды в любой момент времени равно геометрической сумме смещений, которые получают частицы, участвуя в каждом из слагающих волновых процессов.
136. Когерентность - согласованное протекание во времени и пространстве нескольких колебательных или волновых процессов.
137. Когерентные волны - это волны одинаковой частоты, разность фаз которых в процессе распространения остается постоянной во времени.
138. Интерференция волн - сложение когерентных волн, при котором в разных точках пространства получается устойчивая картина усиления или ослабления амплитуды результирующей волны.
139. Условия интерференционных максимумов: разность хода волн равна чётному числу длин полуволн или целому числу длин волн.
140. Условия интерференционных минимумов: разность хода волн равна нечётному числу длин полуволн.
где r - разность хода волн, - длина волны, k = 0,1,2,...
141. Разность фаз двух когерентных волн в данной точке
где r 1 и r 2 – расстояния точки от источников когерентных волн; r 2 -r 1 =r - разность хода волн.
142. Инфразвук - волны с частотами меньше 16 Гц.
143. Ультразвук - волны с частотами больше 20 кГц.
144. Интенсивность звука - величина, определяемая средней по времени энергией, переносимой звуковой волной за 1 с через площадку 1 м 2 , перпендикулярную направлению распространению волны.
Колебания – изменения какой-либо физической величины, при которых эта величина принимает одни и те же значения. Параметры колебаний:
- 1) Амплитуда – величина наибольшего отклонения от состояния равновесия;
- 2) Период – время одного полного колебания, обратная величина – частота;
- 3) Закон изменения колеблющейся величины со временем;
- 4) Фаза – характеризует состояние колебаний в момент времени t.
F x = -r k – восстанавливающая сила
Гармонические колебания - колебания, при которых величина, вызывающая отклонение системы от устойчивого состояния, изменяется по закону синуса или косинуса. Гармонические колебания являются частным случаем периодических колебаний. Колебания можно представлять графическим, аналитическим (например, x(t) = Asin (?t + ?), где? - начальная фаза колебания) и векторным способом (длина вектора пропорциональна амплитуде, вектор вращается в плоскости чертежа с угловой скоростью? вокруг оси, перпендикулярной плоскости чертежа, проходящей через начало вектора, угол отклонения вектора от оси X есть начальная фаза?). Уравнение гармонических колебаний:
Сложение гармонических колебаний , происходящих вдоль одной прямой с одинаковыми или близкими частотами. Рассмотрим два гармонических колебания, происходящих с одной частотой: x1(t) = A1sin(?t + ?1); x2(t) = A2sin(?t + ?2).
Вектор, представляющий собой сумму этих колебаний, вращается с угловой скоростью?. Амплитуда суммарного колебаний – векторная сумма двух амплитуд. Ее квадрат равен A?2 = A12 + A22 + 2A1A2cos(?2 - ?1).
Начальная фаза определяется следующим образом:
Т.е. тангенс? равен отношению проекций амплитуды суммарного колебания на координатные оси.
В случае если частоты колебаний отличаются на величину 2?: ?1 = ?0 + ?; ?2 = ?0 - ?, где? << ?. Положим также?1 = ?2 = 0 и А1 = А2:
X 1 (t)+X 2 (t) = A(Sin(W o +?)t+Sin((W o +?)t) X 1 (t)+X 2 (t) =2ACos?tSinW?.
Величина 2Аcos?t есть амплитуда полученного колебания. Она медленно меняется во времени.
Биения . Результат суммы таких колебаний называется биением. В случае, если А1 ? А2, то амплитуда биения меняется в пределах от А1 + А2 до А1 – А2.
В обоих случаях (при равных и при различных амплитудах) суммарное колебание не является гармоническим, т.к. его амплитуда не постоянна, а медленно меняется во времени.
Сложение перпендикулярных колебаний. Рассмотрим два колебания, направления которых перпендикулярны друг другу (частоты колебаний равны, начальная фаза первого колебания равна нулю):
y= bsin(?t + ?).
Из уравнения первого колебания имеем: . Второе уравнение можно преобразовать следующим образом
sin?t?cos? + cos?t?sin? = y/b
Возведем обе части уравнения в квадрат и воспользуемся основным тригонометрическим тождеством. Получим(см ниже): . Полученное уравнение есть уравнение эллипса, оси которого несколько повернуты относительно осей координат. При? = 0 или? = ? эллипс принимает вид прямой y = ?bx/a; при? = ?/2 оси эллипса совпадают с осями координат.
Фигуры Лиссажу . В случае если?1 ? ?2, форма кривой, которую описывает радиус вектор суммарного колебаний гораздо более сложная, она зависит от отношения?1/?2. Если это отношение равно целому числу (?2 кратна?1), при сложении колебаний получаются фигуры, называемые фигурами Лиссажу.
Гармонический осцилятор – колеблющаяся система, потенциальная энергия которой пропорциональна квадрату отклонения от положения равновесия.
Маятник , твёрдое тело, совершающее под действием приложенных сил колебания около неподвижной точки или оси. В физике под М. обычно понимают М., совершающий колебания под действием силы тяжести; при этом его ось не должна проходить через центр тяжести тела. Простейший М. состоит из небольшого массивного груза C, подвешенного на нити (или лёгком стержне) длиной l. Если считать нить нерастяжимой и пренебречь размерами груза по сравнению с длиной нити, а массой нити по сравнению с массой груза, то груз на нити можно рассматривать как материальную точку, находящуюся на неизменном расстоянии l от точки подвеса O (рис. 1, а). Такой М. называется математическим . Если же, как это обычно имеет место, колеблющееся тело нельзя рассматривать как материальную точку, то М. называется физическим .
Математический маятник . Если М., отклоненный от равновесного положения C0, отпустить без начальной скорости или сообщить точке C скорость, направленную перпендикулярно OC и лежащую в плоскости начального отклонения, то М. будет совершать колебания в одной вертикальной плоскости по дуге окружности (плоский, или круговой математический М.). В этом случае положение М. определяется одной координатой, например углом j, на который М. отклонен от положения равновесия. В общем случае колебания М. не являются гармоническими; их период T зависит от амплитуды. Если же отклонения М. малы, он совершает колебания, близкие к гармоническим, с периодом:
где g - ускорение свободного падения; в этом случае период T не зависит от амплитуды, то есть колебания изохронны.
Если отклонённому М. сообщить начальную скорость, не лежащую в плоскости начального отклонения, то точка C будет описывать на сфере радиуса l кривые, заключённые между 2 параллелями z = z1 и z = z2, а), где значения z1 и z2 зависят от начальных условий (сферический маятник). В частном случае, при z1 = z2, б) точка C будет описывать окружность в горизонтальной плоскости (конический маятник). Из некруговых М. особый интерес представляет циклоидальный маятник, колебания которого изохронны при любой величине амплитуды.
Физический маятник . Физическим М. обычно называется твёрдое тело, совершающее под действием силы тяжести колебания вокруг горизонтальной оси подвеса (рис. 1, б). Движение такого М. вполне аналогично движению кругового математического М. При малых углах отклонения j М. также совершает колебания, близкие к гармоническим, с периодом: ,
где I - момент инерцииМ. относительно оси подвеса, l - расстояние от оси подвеса O до центра тяжести C, M - масса М. Следовательно, период колебаний физического М. совпадает с периодом колебаний такого математического М., который имеет длину l0 = I/Ml. Эта длина называется приведённой длиной данного физического М.
Пружинный маятник - это груз массой m, закрепленный на абсолютно упругой пружине и совершающий гармонические колебания под действием упругой силы Fупр= - k x, где k - коэффициент упругости, в случае пружины наз. жесткостью. Ур движения маятника:, или.
Из приведенных выражений следует, что пружинный маятник совершает гармонические колебания по закону х = A cos (w0 t +?j), с циклической частотой
и периодом
Формула справедлива для упругих колебаний в пределах, в которых выполняется закон Гука (Fупр= - k x), т. е. когда масса пружины мала по сравнению с массой тела.
Потенциальная энергия пружинного маятника равна
U = k x2/2 = m w02 x2/2 .
Вынужденные колебания. Резонанс . Вынужденные колебания происходят под действием внешней периодической силы. Частота вынужденных колебаний задается внешним источником и не зависит от параметров самой системы. Уравнение движения груза на пружине может быть получено формальным введением в уравнение некой внешней силы F(t) = F0sin?t: . После преобразований, аналогичных выводу уравнения затухающих колебаний, получаем:
Где f0 = F0/m. Решением этого дифференциального уравнения является функция x(t) = Asin(?t + ?).
Слагаемое? появляется из-за инерционности системы. Запишем f0sin (?t - ?) = f(t) = f0 sin (?t + ?), т.е. сила действует с некоторым опережением. Тогда можно записать:
x(t) = A sin ?t.
Найдем А. Для этого подсчитаем первую и вторую производные последнего уравнения и подставим их в дифференциальное уравнение вынужденных колебаний. Послед приведения подобных получим:
Теперь освежим в своей памяти представления о векторной записи колебаний. Что же мы видим? Вектор f0 представляет собой сумму векторов 2??A и A(?02 - ?2), причем эти вектора (почему-то) перпендикулярны. Запишем теорему Пифагора:
4?2?2A2 + A2(?02 - ?2)2 = f02:
Отсюда выражаем А:
Таким образом амплитуда А является функцией от частоты внешнего воздействия. Однако если колеблющаяся система обладает слабым затуханием? << ?, то при близких значениях? и?0 происходит резкое возрастание амплитуды колебаний. Это явление получило название резонанса.
