Găsiți aria unei figuri dată parametric online. Volumul unui corp obtinut prin rotirea arcului unui cicloid

Sănătate

06.12.202027.05.2017

Secțiuni: Matematică

Tip de lecție: combinată.

Obiectivul lecției:învață să calculezi volumele corpurilor de revoluție folosind integrale.

Sarcini:

consolidarea capacității de a identifica trapezele curbilinie dintr-un număr de figuri geometrice și dezvoltarea abilității de a calcula ariile trapezelor curbilinie;
familiarizează-te cu conceptul de figură tridimensională;
învață să calculezi volumele corpurilor de revoluție;
promovează dezvoltarea gândirii logice, vorbirea matematică competentă, acuratețea la construirea desenelor;
să cultive interesul pentru subiect, în operarea cu concepte și imagini matematice, să cultive voința, independența și perseverența în obținerea rezultatului final.

Progresul lecției

I. Moment organizatoric.

Salutări din partea grupului. Comunicați elevilor obiectivele lecției.

Reflecţie. Melodie calmă.

– Aș vrea să încep lecția de astăzi cu o pildă. „Trăia odată un om înțelept care știa totul. Un bărbat a vrut să demonstreze că înțeleptul nu știe totul. Ținând un fluture în mâini, a întrebat: „Spune-mi, înțelept, care fluture este în mâinile mele: mort sau viu?” Și el însuși gândește: „Dacă cel viu zice, o voi omorî, cel mort va spune: o voi elibera”. Înțeleptul, după ce s-a gândit, a răspuns: „Totul este în mâinile tale.” (Prezentare.Slide)

– Prin urmare, să lucrăm fructuos astăzi, să dobândim un nou depozit de cunoștințe și vom aplica abilitățile și abilitățile dobândite în viața viitoare și în activități practice. „Totul este în mâinile tale.”

II. Repetarea materialului studiat anterior.

– Să ne amintim punctele principale ale materialului studiat anterior. Pentru a face acest lucru, să finalizăm sarcina „Elimină cuvântul inutil.”(Diapozitiv.)

(Elevul merge la ID folosește o radieră pentru a elimina cuvântul suplimentar.)

- Corect "Diferenţial". Încercați să numiți cuvintele rămase cu un singur cuvânt comun. (Calcul integral.)

– Să ne amintim principalele etape și concepte asociate calculului integral.

„Grupul de matematică”.

Exercita. Recuperați golurile. (Elevul iese și scrie cu un stilou cuvintele cerute.)

– Vom auzi un rezumat despre aplicarea integralelor mai târziu.

Lucrați în caiete.

– Formula Newton-Leibniz a fost derivată de fizicianul englez Isaac Newton (1643–1727) și de filozoful german Gottfried Leibniz (1646–1716). Și acest lucru nu este surprinzător, deoarece matematica este limba vorbită de natura însăși.

– Să luăm în considerare modul în care această formulă este utilizată pentru a rezolva probleme practice.

Exemplul 1: Calculați aria unei figuri delimitate de linii

Soluție: Să construim grafice ale funcțiilor pe planul de coordonate . Să selectăm zona figurii care trebuie găsită.

III. Învățarea de materiale noi.

- Fii atent la ecran. Ce se arată în prima poză? (Diapozitiv) (Figura arată o figură plată.)

– Ce se arată în a doua imagine? Această cifră este plată? (Diapozitiv) (Figura arată o figură tridimensională.)

– În spațiu, pe pământ și în interior viata de zi cu ziÎntâlnim nu numai figuri plate, ci și tridimensionale, dar cum putem calcula volumul unor astfel de corpuri? De exemplu, volumul unei planete, comete, meteorit etc.

– Oamenii se gândesc la volum atât când construiesc case, cât și când turnează apă dintr-un vas în altul. Au trebuit să apară reguli și tehnici pentru calcularea volumelor, cât de precise și rezonabile erau acestea este o altă problemă.

Mesaj de la un student. (Tyurina Vera.)

Anul 1612 a fost foarte roditor pentru locuitorii orașului austriac Linz, unde a locuit faimosul astronom Johannes Kepler, în special pentru struguri. Oamenii pregăteau butoaie de vin și doreau să știe să-și determine practic volumele. (Diapozitivul 2)

– Astfel, lucrările considerate ale lui Kepler au pus bazele unui întreg flux de cercetare care a culminat în ultimul sfert al secolului al XVII-lea. design în lucrările lui I. Newton și G.V. Leibniz de calcul diferenţial şi integral. Din acel moment, matematica variabilelor a ocupat un loc de frunte în sistemul cunoștințelor matematice.

– Astăzi, tu și cu mine ne vom angaja în astfel de activități practice, prin urmare,

Tema lecției noastre: „Calculul volumelor corpurilor de rotație folosind o integrală definită.” (Diapozitiv)

– Veți învăța definiția unui corp de revoluție completând următoarea sarcină.

"Labirint".

Labirint (cuvânt grecesc) înseamnă a merge în subteran. Un labirint este o rețea complicată de căi, pasaje și camere interconectate.

Dar definiția a fost „ruptă”, lăsând indicii sub formă de săgeți.

Exercita. Găsiți o cale de a ieși din situația confuză și scrieți definiția.

Slide. „Instrucțiuni hărți” Calculul volumelor.

Folosind o integrală definită, puteți calcula volumul unui anumit corp, în special un corp de revoluție.

Un corp de revoluție este un corp obținut prin rotirea unui trapez curbat în jurul bazei sale (Fig. 1, 2)

Volumul unui corp de rotație este calculat folosind una dintre formulele:

1. în jurul axei OX.

2. , dacă rotația unui trapez curbat în jurul axei amplificatorului operațional.

Fiecare elev primește un card de instrucțiuni. Profesorul subliniază punctele principale.

– Profesorul explică soluțiile la exemplele de pe tablă.

Să luăm în considerare un fragment din faimosul basm al lui A. S. Pușkin „Povestea țarului Saltan, a gloriosului și puternicului său fiu Prințul Guidon Saltanovici și a frumoasei prințese lebădă” (Diapozitivul 4):

…..
Iar mesagerul beat a adus
În aceeași zi, ordinea este următoarea:
„Regele poruncește boierilor săi,
Fără a pierde timpul,
Și regina și urmașii
Aruncă în secret în abisul apei.”
Nu e nimic de făcut: boierii,
Îngrijorarea suveranului
Și tinerei regine,
O mulțime a venit în dormitorul ei.
Ei au declarat testamentul regelui -
Ea și fiul ei au o parte rea,
Citim decretul cu voce tare,
Și regina la aceeași oră
M-au băgat într-un butoi cu fiul meu,
Au gudronat și au plecat
Și m-au lăsat să intru în okiyan -
Așa a ordonat țarul Saltan.

Care ar trebui să fie volumul butoiului pentru ca regina și fiul ei să încapă în el?

– Luați în considerare următoarele sarcini

1. Aflați volumul corpului obținut prin rotirea în jurul axei ordonatelor unui trapez curbiliniu delimitat de drepte: x 2 + y 2 = 64, y = -5, y = 5, x = 0.

Răspuns: 1163 cm 3 .

Aflați volumul corpului obținut prin rotirea unui trapez parabolic în jurul axei absciselor y = , x = 4, y = 0.

IV. Consolidarea materialului nou

Exemplul 2. Calculați volumul corpului, format prin rotatie petală, în jurul axei x y = x 2 , y 2 = x.

Să construim grafice ale funcției. y = x 2 , y 2 = x. Programa y2 = x converti la forma y= .

Avem V = V 1 – V 2 Să calculăm volumul fiecărei funcții

– Acum, să ne uităm la turnul pentru postul de radio din Moscova pe Shabolovka, construit după proiectul remarcabilului inginer rus, academicianul onorific V. G. Shukhov. Este format din părți - hiperboloizi de rotație. În plus, fiecare dintre ele este făcută din tije metalice drepte care leagă cercurile adiacente (Fig. 8, 9).

- Să luăm în considerare problema.

Aflați volumul corpului obținut prin rotirea arcelor de hiperbolă în jurul axei sale imaginare, așa cum se arată în fig. 8, unde

cub unitati

Misiuni de grup. Elevii trag la sorți sarcinile, desenează desene pe hârtie Whatman, iar unul dintre reprezentanții grupului apără lucrarea.

grupa 1.

Lovit! Lovit! Încă o lovitură!
Mingea zboară în poartă - MINGE!
Și aceasta este o minge de pepene verde
Verde, rotund, gustos.
Uită-te mai bine - ce minge!
Nu este făcută decât din cercuri.
Tăiați pepenele verde în cercuri
Și gustă-le.

Aflați volumul corpului obținut prin rotație în jurul axei OX a funcției limitate

Eroare! Marcajul nu este definit.

– Te rog spune-mi unde întâlnim această figură?

Casa. sarcină pentru 1 grup. CILINDRU (diapozitiv) .

"Cilidru - ce este?" – l-am întrebat pe tatăl meu.
Părintele a râs: Pălăria de sus este o pălărie.
Pentru a avea o idee corectă,
Un cilindru, să spunem, este o cutie de tablă.
Țeava vaporului cu aburi - cilindru,
Și țeava de pe acoperișul nostru,

Toate țevile sunt similare cu un cilindru.
Și am dat un exemplu ca acesta -
Caleidoscop Dragul meu,
Nu-ți poți lua ochii de la el,
Și arată și ca un cilindru.

- Exercițiu. Teme pentru acasă reprezentați grafic funcția și calculați volumul.

a 2-a grupă. CON (diapozitiv).

Mama a spus: Și acum
Povestea mea va fi despre con.
Stargazer într-o pălărie înaltă
Numărează stelele pe tot parcursul anului.
CON - pălărie de observator de stele.
Așa este el. Înțeles? Asta este.
Mama stătea la masă,
Am turnat ulei în sticle.
-Unde este pâlnia? Fără pâlnie.
Caută-l. Nu sta pe margine.
- Mamă, nu mă clin.
Spune-mi mai multe despre con.
– Pâlnia este sub forma unui con de udator.
Haide, găsește-o repede pentru mine.
Nu am găsit pâlnia
Dar mama a făcut o geantă,
Mi-am înfășurat cartonul în jurul degetului
Și l-a asigurat cu îndemânare cu o agrafă.
Uleiul curge, mama este fericită,
Conul a ieșit corect.

Exercita. Calculați volumul unui corp obținut prin rotirea în jurul axei absciselor

Casa. sarcina pentru grupa a 2-a. PIRAMIDĂ(diapozitiv).

Am văzut poza. În această poză
Există o PYRAMIDĂ în deșertul de nisip.
Totul în piramidă este extraordinar,
Există un fel de mister și mister în el.
Și Turnul Spasskaya din Piața Roșie
Este foarte familiar atât copiilor, cât și adulților.
Dacă te uiți la turn, pare obișnuit,
Ce este pe deasupra? Piramidă!

Exercita. Tema pentru acasă: reprezentați grafic funcția și calculați volumul piramidei

– Am calculat volumele diferitelor corpuri pe baza formulei de bază pentru volumele corpurilor folosind o integrală.

Aceasta este o altă confirmare că integrala definită este o bază pentru studiul matematicii.

- Ei bine, acum hai să ne odihnim puțin.

Găsiți o pereche.

Joc de melodie matematică de domino.

„Drumul pe care eu însumi îl căutam nu va fi uitat niciodată...”

Munca de cercetare. Aplicarea integralului în economie și tehnologie.

Teste pentru studenți puternici și fotbal matematic.

Simulator de matematică.

2. Se numește mulțimea tuturor antiderivatelor unei funcții date

A) o integrală nedefinită,

B) funcția,

B) diferențiere.

7. Aflați volumul corpului obținut prin rotirea în jurul axei absciselor unui trapez curbiliniu delimitat de linii:

D/Z. Calculați volumele corpurilor de rotație.

Reflecţie.

Recepția reflectării în formă syncwin(cinci rânduri).

Rândul 1 – numele subiectului (un substantiv).

Rândul 2 – descrierea subiectului în două cuvinte, două adjective.

Rândul 3 – descrierea acțiunii din cadrul acestui subiect în trei cuvinte.

Al 4-lea rând este o frază de patru cuvinte care arată atitudinea față de subiect (o propoziție întreagă).

A 5-a rând este un sinonim care repetă esența subiectului.

Volum.
Funcție integrală definită, integrabilă.
Construim, rotim, calculăm.
Un corp obținut prin rotirea unui trapez curbat (în jurul bazei sale).
Corpul de rotație (corp geometric volumetric).

Concluzie (diapozitiv).

O integrală definită este o anumită bază pentru studiul matematicii, care aduce o contribuție de neînlocuit la rezolvarea problemelor practice.
Subiectul „Integral” demonstrează în mod clar legătura dintre matematică și fizică, biologie, economie și tehnologie.
Dezvoltare stiinta moderna este de neconceput fără a folosi integrala. În acest sens, este necesar să începem studiul lui în cadrul învățământului secundar de specialitate!

Notare. (Cu comentarii.)

Marele Omar Khayyam - matematician, poet, filozof. El ne încurajează să fim stăpâni pe propriul nostru destin. Să ascultăm un fragment din munca lui:

Veți spune, această viață este un moment.
Apreciază-l, inspiră-te din el.
Pe măsură ce o cheltuiți, așa va trece.
Nu uita: ea este creația ta.

Înainte de a trece la formulele pentru suprafața unei suprafețe de revoluție, vom oferi o scurtă formulare a suprafeței de revoluție în sine. O suprafață de revoluție sau, ceea ce este același lucru, o suprafață a unui corp de revoluție este o figură spațială formată prin rotația unui segment AB curba în jurul axei Bou(poza de mai jos).

Să ne imaginăm un trapez curbat mărginit de sus de segmentul menționat al curbei. Un corp format prin rotirea acestui trapez în jurul aceleiași axe Bou, și este un corp de rotație. Și aria suprafeței de revoluție sau suprafața unui corp de revoluție este învelișul său exterior, fără a număra cercurile formate prin rotație în jurul axei liniilor drepte x = oŞi x = b .

Rețineți că un corp de revoluție și, în consecință, suprafața sa poate fi format și prin rotirea figurii nu în jurul axei Bou, și în jurul axei Oi.

Calcularea ariei unei suprafețe de revoluție specificată în coordonate dreptunghiulare

Lăsați în coordonate dreptunghiulare pe plan ecuația y = f(x) este specificată o curbă, a cărei rotație în jurul axei de coordonate formează un corp de revoluție.

Formula pentru calcularea suprafeței de revoluție este următoarea:

(1).

Exemplul 1. Găsiți aria suprafeței paraboloidului format prin rotație în jurul axei sale Bou arc de parabolă corespunzător schimbării x din x= 0 la x = o .

Soluţie. Să exprimăm în mod explicit funcția care definește arcul parabolei:

Să găsim derivata acestei funcții:

Înainte de a folosi formula pentru a găsi aria unei suprafețe de revoluție, să scriem acea parte a integrandului său care reprezintă rădăcina și să înlocuim derivata pe care tocmai am găsit-o acolo:

Răspuns: Lungimea arcului curbei este

Exemplul 2. Aflați aria suprafeței formate prin rotație în jurul unei axe Bou astroid.

Soluţie. Este suficient să calculăm suprafața rezultată din rotația unei ramuri a astroidului, situată în primul trimestru, și să o înmulțim cu 2. Din ecuația astroidului, vom exprima în mod explicit funcția pe care va trebui să o înlocuim în formula pentru a afla suprafața de rotație:

Noi integrăm de la 0 la o:

Calculul ariei unei suprafețe de revoluție specificate parametric

Să luăm în considerare cazul când curba care formează suprafața de revoluție este dată de ecuații parametrice

Apoi aria suprafeței de rotație este calculată prin formula

(2).

Exemplul 3. Aflați aria suprafeței de revoluție formată prin rotație în jurul unei axe Oi figură delimitată de o cicloidă și o linie dreaptă y = o. Cicloida este dată de ecuații parametrice

Soluţie. Să găsim punctele de intersecție ale cicloidei și ale dreptei. Echivalarea ecuației unui cicloid cu ecuația unei linii drepte y = o, hai sa gasim

De aici rezultă că granițele integrării corespund

Acum putem aplica formula (2). Să găsim derivate:

Să scriem expresia radicalului în formulă, înlocuind derivatele găsite:

Să găsim rădăcina acestei expresii:

Să înlocuim ceea ce am găsit în formula (2):

Să facem o înlocuire:

Și în sfârșit găsim

Formulele trigonometrice au fost folosite pentru a transforma expresii

Răspuns: Suprafața revoluției este .

Calcularea ariei unei suprafețe de revoluție specificată în coordonate polare

Fie ca curba, a cărei rotație formează suprafața, să fie specificată în coordonate polare.

Ca și în problema găsirii zonei, aveți nevoie de abilități de desen încrezător - acesta este aproape cel mai important lucru (deoarece integralele în sine vor fi adesea ușoare). Puteți stăpâni tehnici de graficare competente și rapide folosind materiale didacticeși Transformări geometrice ale graficelor. Dar, de fapt, despre importanța desenelor am vorbit deja de câteva ori în clasă.

În general, există o mulțime de aplicații interesante în calculul integral folosind o integrală definită, puteți calcula aria unei figuri, volumul unui corp de rotație, lungimea arcului, suprafața de rotație și multe; Mai mult. Deci va fi distractiv, vă rog să fiți optimist!

Imaginează-ți o figură plată pe planul de coordonate. Introdus? ... Mă întreb cine a prezentat ce... =))) Am găsit deja zona lui. Dar, în plus, această cifră poate fi, de asemenea, rotită și rotită în două moduri:

– în jurul axei absciselor;
– în jurul axei ordonatelor.

Acest articol va examina ambele cazuri. A doua metodă de rotație este deosebit de interesantă, ea provoacă cele mai multe dificultăți, dar de fapt soluția este aproape aceeași ca în rotația mai comună în jurul axei x. Ca bonus, voi reveni la problema găsirii ariei unei figuriși vă voi spune cum să găsiți zona în al doilea mod - de-a lungul axei. Nu este atât de mult un bonus, deoarece materialul se potrivește bine cu subiectul.

Să începem cu cel mai popular tip de rotație.

figură plată în jurul unei axe

Exemplul 1

Calculați volumul unui corp obținut prin rotirea unei figuri delimitate de linii în jurul unei axe.

Soluţie: Ca și în problema găsirii zonei, soluția începe cu un desen al unei figuri plate. Adică, pe plan este necesar să construiți o figură delimitată de drepte și nu uitați că ecuația specifică axa. Cum să finalizați un desen mai eficient și mai rapid poate fi găsit pe pagini Grafice și proprietăți ale funcțiilor elementareŞi Integrală definită. Cum se calculează aria unei figuri. Acesta este un memento chinezesc și mai departe în acest moment nu mă mai opresc.

Desenul de aici este destul de simplu:

Figura plată dorită este umbrită în albastru; este cea care se rotește în jurul axei. Rezultatul este o farfurie zburătoare ușor ovoidă. De fapt, corpul are un nume matematic, dar mi-e prea lene să clarific ceva în cartea de referință, așa că mergem mai departe.

Cum se calculează volumul unui corp de revoluție?

Volumul unui corp de revoluție poate fi calculat folosind formula:

În formulă, numărul trebuie să fie prezent înaintea integralei. Așa s-a întâmplat - tot ceea ce se învârte în viață este legat de această constantă.

Cred că este ușor de ghicit cum să setați limitele integrării „a” și „fi” din desenul finalizat.

Funcția... ce este această funcție? Să ne uităm la desen. Figura plană este delimitată de graficul parabolei din partea de sus. Aceasta este funcția care este implicată în formulă.

În sarcinile practice, o figură plată poate fi uneori situată sub axă. Acest lucru nu schimbă nimic - integrandul din formulă este pătrat: , astfel integrala este întotdeauna nenegativă, ceea ce este foarte logic.

Să calculăm volumul unui corp de rotație folosind această formulă:

După cum am menționat deja, integrala se dovedește aproape întotdeauna a fi simplă, principalul lucru este să fii atent.

Răspuns:

În răspunsul dvs., trebuie să indicați dimensiunea - unități cubice. Adică, în corpul nostru de rotație există aproximativ 3,35 „cuburi”. De ce cubic unitati? Pentru că cea mai universală formulare. Ar putea fi centimetri cubi, ar putea fi metri cubi, ar putea fi kilometri cubi, etc., așa câți oameni verzi poate pune imaginația ta într-o farfurie zburătoare.

Exemplul 2

Aflați volumul unui corp format prin rotație în jurul axei unei figuri delimitate de linii , ,

Acesta este un exemplu pentru decizie independentă. Soluție completă și răspuns la sfârșitul lecției.

Să luăm în considerare încă două sarcini complexe, care sunt adesea întâlnite și în practică.

Exemplul 3

Calculați volumul corpului obținut prin rotirea în jurul axei absciselor figurii delimitate de liniile , și

Soluţie: Să descriem în desen o figură plată delimitată de liniile , , , , fără a uita că ecuația definește axa:

Figura dorită este umbrită în albastru. Când se rotește în jurul axei sale, se dovedește a fi o gogoașă suprarealistă cu patru colțuri.

Să calculăm volumul corpului de rotație ca diferența de volume a corpurilor.

Mai întâi, să ne uităm la figura încercuită cu roșu. Când se rotește în jurul unei axe, se obține un trunchi de con. Să notăm volumul acestui trunchi de con cu .

Luați în considerare figura care este încercuită verde. Dacă rotiți această cifră în jurul axei, veți obține și un trunchi de con, doar puțin mai mic. Să notăm volumul acestuia cu .

Și, evident, diferența de volume este exact volumul „gogoșii” noastre.

Folosim formula standard pentru a găsi volumul unui corp de revoluție:

1) Figura încercuită cu roșu este delimitată deasupra printr-o linie dreaptă, prin urmare:

2) Figura încercuită cu verde este delimitată deasupra printr-o linie dreaptă, prin urmare:

3) Volumul corpului de rotație dorit:

Răspuns:

Interesant este că în acest caz soluția poate fi verificată folosind formula școlară pentru a calcula volumul unui trunchi de con.

Decizia în sine este adesea scrisă mai scurt, ceva de genul acesta:

Acum hai să ne odihnim puțin și să vă spunem despre iluziile geometrice.

Oamenii au adesea iluzii asociate cu volumele, ceea ce a fost observat de Perelman (altul) în carte Geometrie distractivă. Uită-te la figura plată din problema rezolvată - pare să fie mică ca suprafață, iar volumul corpului de revoluție este puțin peste 50 de unități cubice, ceea ce pare prea mare. Apropo, omul obișnuit bea în toată viața echivalentul unei încăperi de 18 metri pătrați de lichid, care, dimpotrivă, pare un volum prea mic.

În general, sistemul de învățământ din URSS a fost cu adevărat cel mai bun. Aceeași carte a lui Perelman, apărută în 1950, dezvoltă foarte bine, așa cum spunea umoristul, gândirea și te învață să cauți soluții originale, nestandardizate, la probleme. Am recitit recent unele capitole cu mare interes, o recomand, este accesibilă chiar și umaniștilor. Nu, nu trebuie să zâmbești că am oferit timp liber, erudiția și orizonturile largi în comunicare sunt un lucru grozav.

După o digresiune lirică, este potrivit să rezolvi o sarcină creativă:

Exemplul 4

Calculați volumul unui corp format prin rotație în jurul axei unei figuri plate delimitate de liniile , , unde .

Acesta este un exemplu de rezolvat singur. Vă rugăm să rețineți că toate cazurile apar în bandă, cu alte cuvinte, sunt date limite de integrare gata făcute. Desenați grafice corect funcții trigonometrice, permiteți-mi să vă reamintesc materialul de lecție despre transformări geometrice ale graficelor: dacă argumentul este împărțit la două: , atunci graficele sunt întinse de două ori de-a lungul axei. Este indicat să găsiți cel puțin 3-4 puncte conform tabelelor trigonometrice pentru a completa desenul mai precis. Soluție completă și răspuns la sfârșitul lecției. Apropo, sarcina poate fi rezolvată rațional și nu foarte rațional.

Calculul volumului unui corp format prin rotație
figură plată în jurul unei axe

Al doilea paragraf va fi chiar mai interesant decât primul. Sarcina de a calcula volumul unui corp de revoluție în jurul axei ordonatelor este, de asemenea, un invitat destul de frecvent în teste. Pe parcurs se va lua în considerare problema găsirii ariei unei figuri a doua metodă este integrarea de-a lungul axei, aceasta vă va permite nu numai să vă îmbunătățiți abilitățile, ci și să vă învețe să găsiți cea mai profitabilă cale de soluție. Există și un sens practic al vieții în asta! După cum și-a amintit zâmbind profesoara mea de metode de predare a matematicii, mulți absolvenți i-au mulțumit cu cuvintele: „Materia ta ne-a ajutat foarte mult, acum suntem manageri eficienți și gestionăm în mod optim personalul”. Profitând de această ocazie, îi exprim și marea mea recunoștință față de ea, mai ales că folosesc cunoștințele dobândite în scopul propus =).

Îl recomand tuturor, chiar și manechinelor complete. Mai mult, materialul învățat în al doilea paragraf va oferi un ajutor neprețuit în calcularea integralelor duble.

Exemplul 5

Dată o figură plată mărginită de liniile , , .

1) Aflați aria unei figuri plate delimitate de aceste linii.
2) Aflați volumul corpului obținut prin rotirea unei figuri plane delimitate de aceste linii în jurul axei.

Atenţie! Chiar dacă vrei să citești doar al doilea punct, mai întâi Neapărat citeste primul!

Soluţie: Sarcina constă din două părți. Să începem cu pătratul.

1) Să facem un desen:

Este ușor de observat că funcția specifică ramura superioară a parabolei, iar funcția specifică ramura inferioară a parabolei. În fața noastră se află o parabolă banală care „se află pe o parte”.

Figura dorită, a cărei zonă se găsește, este umbrită în albastru.

Cum să găsiți aria unei figuri? Poate fi găsit în modul „obișnuit”, despre care s-a discutat în clasă Integrală definită. Cum se calculează aria unei figuri. În plus, aria figurii se găsește ca suma suprafețelor:
- pe segment ;
- pe segment.

De aceea:

De ce soluția obișnuită este proastă în acest caz? În primul rând, avem două integrale. În al doilea rând, integralele sunt rădăcini, iar rădăcinile în integrale nu sunt un dar și, în plus, puteți deveni confuz în înlocuirea limitelor integrării. De fapt, integralele, desigur, nu sunt ucigașe, dar în practică totul poate fi mult mai trist, doar am ales funcții „mai bune” pentru problemă.

Există o soluție mai rațională: constă în trecerea la funcții inverse și integrarea de-a lungul axei.

Cum se ajunge la funcțiile inverse? În linii mari, trebuie să exprimați „x” prin „y”. Mai întâi, să ne uităm la parabola:

Este suficient, dar să ne asigurăm că aceeași funcție poate fi derivată din ramura inferioară:

Este mai ușor cu o linie dreaptă:

Acum uitați-vă la axă: vă rugăm să înclinați periodic capul la dreapta cu 90 de grade în timp ce explicați (aceasta nu este o glumă!). Cifra de care avem nevoie se află pe segment, care este indicată de linia punctată roșie. În acest caz, pe segment, linia dreaptă este situată deasupra parabolei, ceea ce înseamnă că aria figurii trebuie găsită folosind formula deja familiară: . Ce s-a schimbat în formulă? Doar o scrisoare și nimic mai mult.

! Nota: Limitele de integrare de-a lungul axei trebuie stabilite strict de jos în sus!

Găsirea zonei:

Pe segment, prin urmare:

Vă rugăm să rețineți cum am realizat integrarea, acesta este cel mai rațional mod, iar în următorul paragraf al sarcinii va fi clar de ce.

Pentru cititorii care se îndoiesc de corectitudinea integrării, voi găsi derivate:

Se obține funcția integrand originală, ceea ce înseamnă că integrarea a fost efectuată corect.

Răspuns:

2) Să calculăm volumul corpului format prin rotirea acestei figuri în jurul axei.

Voi redesena desenul într-un design ușor diferit:

Deci, figura umbrită în albastru se rotește în jurul axei. Rezultatul este un „fluture plutitor” care se rotește în jurul axei sale.

Pentru a găsi volumul unui corp de rotație, vom integra de-a lungul axei. Mai întâi trebuie să mergem la funcțiile inverse. Acest lucru a fost deja făcut și descris în detaliu în paragraful anterior.

Acum înclinăm din nou capul spre dreapta și ne studiem silueta. Evident, volumul unui corp de rotație ar trebui găsit ca diferență de volume.

Rotim figura încercuită cu roșu în jurul axei, rezultând un trunchi de con. Să notăm acest volum cu .

Rotim figura încercuită cu verde în jurul axei și o notăm cu volumul corpului de rotație rezultat.

Volumul fluturelui nostru este egal cu diferența de volume.

Folosim formula pentru a găsi volumul unui corp de revoluție:

Care este diferența față de formula din paragraful anterior? Doar în scrisoare.

Dar avantajul integrării, despre care am vorbit recent, este mult mai ușor de găsit , mai degrabă decât ridicarea întâi a integrandului la puterea a 4-a.

Răspuns:

Cu toate acestea, nu un fluture bolnăvicios.

Rețineți că, dacă aceeași figură plată este rotită în jurul axei, veți obține un corp de rotație complet diferit, cu un volum diferit, în mod natural.

Exemplul 6

Dată o figură plată delimitată de linii și o axă.

1) Accesați funcțiile inverse și găsiți aria unei figuri plane delimitată de aceste drepte prin integrarea peste variabilă.
2) Calculați volumul corpului obținut prin rotirea unei figuri plane delimitate de aceste linii în jurul axei.

Acesta este un exemplu de rezolvat singur. Cei interesați pot găsi, de asemenea, zona unei figuri în modul „obișnuit”, verificând astfel punctul 1). Dar dacă, repet, rotiți o figură plată în jurul axei, veți obține un cu totul alt corp de rotație cu un volum diferit, apropo, răspunsul corect (și pentru cei cărora le place să rezolve probleme).

O soluție completă la cele două puncte propuse ale sarcinii se află la sfârșitul lecției.

Da, și nu uitați să înclinați capul spre dreapta pentru a înțelege corpurile de rotație și limitele integrării!

Salutări, dragi studenți ai Universității din Argemona!

Încă puțin și cursul va fi finalizat, dar acum vom face asta.

Zhouli și-a fluturat ușor mâna și o siluetă a apărut în aer. Mai exact, era un trapez dreptunghiular. Pur și simplu a atârnat în aer, creată de energia magică care curgea de-a lungul laturilor sale și, de asemenea, s-a învârtit în interiorul trapezului însuși, făcându-l să strălucească și să strălucească.
Apoi profesorul a făcut o mișcare circulară ușor vizibilă cu degetele ei - iar trapezul a început să se rotească în jurul unei axe invizibile. La început încet, apoi din ce în ce mai repede - astfel încât o figură tridimensională a început să apară clar în aer. Părea că energia magică se răspândea prin ea.

Apoi s-a întâmplat următoarele: contururile strălucitoare ale figurii și interiorul acesteia au început să fie umplute cu ceva substanță, strălucirea a devenit din ce în ce mai puțin vizibilă, dar figura în sine a devenit din ce în ce mai mult ca ceva tangibil. Granulele de material au fost distribuite uniform pe figură. Și apoi totul s-a terminat: rotația și strălucirea. Era un obiect care arăta ca o pâlnie atârnând în aer. Zhouli l-a mutat cu grijă pe masă.

Poftim. Cam așa puteți materializa multe obiecte - prin rotirea unor figuri plate în jurul unor linii drepte imaginare. Desigur, pentru materializare aveți nevoie de o anumită cantitate de substanță, care va umple întregul volum format și ținut temporar cu ajutorul energiei magice. Dar pentru a calcula cu exactitate câtă substanță este necesară, trebuie să cunoașteți volumul corpului rezultat. În caz contrar, dacă există puțină substanță, aceasta nu va umple întregul volum și corpul se poate dovedi fragil, cu defecte. Iar a materializa și a reține în continuare un mare exces de materie este o cheltuială inutilă de energie magică.
Ei bine, ce se întâmplă dacă avem o cantitate limitată de substanță? Apoi, fiind capabili să calculăm volumele corpurilor, putem estima ce dimensiune a corpului putem face fără a cheltui prea mult energie magică.
Există un alt gând despre excesul de material atras. Unde se duce excesul de substanță? Se prăbușesc atunci când nu sunt implicați? Sau se lipesc de corp la întâmplare?
În general, mai este ceva de gândit. Dacă aveți deodată gânduri, aș fi bucuros să le ascult. Între timp, să trecem la calculul volumelor de corpuri obținute în acest fel.
Mai multe cazuri sunt luate în considerare aici.

Cazul 1.

Zona pe care o vom roti este cel mai clasic trapez curbat.

Desigur, îl putem roti doar în jurul axei OX. Dacă acest trapez este deplasat la dreapta pe orizontală, astfel încât să nu intersecteze axa OY, atunci poate fi rotit și în raport cu această axă. Formulele de vrăjire pentru ambele cazuri sunt următoarele:

Tu și cu mine am stăpânit deja destul de bine efectele magice de bază asupra funcțiilor, așa că cred că nu vă va fi dificil, dacă este necesar, să mutați figura în axele de coordonate, astfel încât să fie amplasată convenabil pentru a lucra cu ea.

Cazul 2.

Puteți roti nu numai clasicul trapez curbat, ci și o figură ca aceasta:

Când ne rotim, obținem un fel de inel. Și prin mutarea figurii în zona pozitivă, o putem roti în raport cu axa OY. Vom primi și inelul sau nu. Totul depinde de modul în care figura va fi poziționată: dacă marginea stângă va trece exact de-a lungul axei OY, apoi inelul nu va funcționa. Puteți calcula volumele unor astfel de corpuri de rotație folosind următoarele vrăji:

Cazul 3.

Să ne amintim că avem curbe minunate, dar ele sunt definite nu în mod obișnuit, ci într-o formă parametrică. Astfel de curbe sunt adesea închise. Parametrul t trebuie modificat în așa fel încât figura închisă, când o ocolește de-a lungul curbei (bordului), să rămână la stânga.

Apoi, pentru a calcula volumele corpurilor de rotație în raport cu axa OX sau OY, trebuie să utilizați următoarele vrăji:

Aceleași formule pot fi folosite și pentru cazul curbelor neînchise: când ambele capete se află pe axa OX sau pe axa OY. Figura se dovedește a fi închisă în orice fel: capetele sunt închise de un segment al axei.

Cazul 4.

Unele dintre minunatele noastre curbe sunt specificate prin coordonate polare (r=r(fi)). Și apoi figura poate fi rotită în jurul axei polare. În acest caz, sistemul de coordonate carteziene este combinat cu cel polar și se presupune
x=r(fi)*cos(fi)
y=r(fi)*sin(fi)
Astfel, ajungem la o formă parametrică a curbei, unde parametrul fi ar trebui să se schimbe astfel încât la parcurgerea curbei, aria să rămână la stânga.
Și folosim formulele de vrăji din cazul 3.

Cu toate acestea, pentru cazul coordonatelor polare, există și o formulă de vrăjire:

Desigur, figurile plate pot fi rotite în raport cu orice alte linii drepte, nu numai în raport cu axele OX și OY, dar aceste manipulări sunt mai complexe, așa că ne vom limita la acele cazuri care au fost discutate în prelegere.

Și acum teme pentru acasă . Nu vă voi da cifre precise. Am studiat deja multe funcții și mi-aș dori să proiectați singur ceva de care ați putea avea nevoie în practica magică. Cred că patru exemple pentru toate cazurile indicate în prelegere vor fi suficiente.

Prelegeri 8. Aplicații ale unei integrale definite.

Aplicarea integralei la problemele fizice se bazează pe proprietatea aditivității integralei asupra unei mulțimi. Prin urmare, folosind integrala, pot fi calculate cantități care sunt ele însele aditive în mulțime. De exemplu, aria unei figuri este egală cu suma ariilor părților sale, lungimea arcului, aria suprafeței, volumul unui corp și masa unui corp au aceeași proprietate. Prin urmare, toate aceste mărimi pot fi calculate folosind o integrală definită.

Puteți utiliza două metode pentru a rezolva probleme: metoda sumelor integrale și metoda diferențialelor.

Metoda sumelor integrale repetă construcția unei integrale definite: se construiește o partiție, se marchează puncte, se calculează funcția la ele, se calculează suma integrală și se realizează trecerea la limită. În această metodă, principala dificultate este de a demonstra că în limită rezultatul este exact ceea ce este necesar în problemă.

Metoda diferenţială foloseşte integrală nedefinităși formula Newton-Leibniz. Se calculează diferența mărimii de determinat și apoi, prin integrarea acestei diferențe, se obține cantitatea necesară folosind formula Newton-Leibniz. În această metodă, principala dificultate este de a demonstra că diferența valorii cerute a fost calculată și nu altceva.

Calculul ariilor figurilor plane.

1. Cifra este limitată de graficul unei funcții definite într-un sistem de coordonate carteziene.

Am ajuns la conceptul de integrală definită din problema ariei unui trapez curbat (de fapt, folosind metoda sumelor integrale). Dacă o funcție ia doar valori nenegative, atunci aria de sub graficul funcției pe un segment poate fi calculată folosind o integrală definită. Rețineți că prin urmare, metoda diferenţialelor poate fi văzută şi aici.

Dar o funcție poate lua și valori negative pe un anumit segment, atunci integrala peste acest segment va da o zonă negativă, ceea ce contrazice definiția ariei.

Puteți calcula suprafața folosind formulaS=. Acest lucru este echivalent cu schimbarea semnului funcției în acele zone în care aceasta ia valori negative.

Dacă trebuie să calculați aria unei figuri delimitate deasupra de graficul funcției și mai jos de graficul funcției, atunci poți folosi formulaS= , pentru că .

Exemplu. Calculați aria figurii delimitată de drepte x=0, x=2 și grafice ale funcțiilor y=x 2, y=x 3.

Rețineți că în intervalul (0,1) inegalitatea x 2 > x 3 este valabilă, iar pentru x >1 inegalitatea x 3 > x 2 este valabilă. De aceea

2. Cifra este limitată de graficul unei funcții specificate într-un sistem de coordonate polare.

Fie dat graficul unei funcții într-un sistem de coordonate polar și dorim să calculăm aria unui sector curbiliniu delimitat de două raze și graficul unei funcții într-un sistem de coordonate polar.

Aici puteți utiliza metoda sumelor integrale, calculând aria unui sector curbiliniu ca limită a sumei ariilor sectoarelor elementare în care graficul funcției este înlocuit cu un arc circular .

De asemenea, puteți utiliza metoda diferențială: .

Puteți gândi așa. Înlocuind sectorul curbiliniu elementar corespunzător unghiului central cu un sector circular, avem proporția . De aici . Integrând și utilizând formula Newton–Leibniz, obținem .

Exemplu. Să calculăm aria cercului (verificați formula). Noi credem. Aria cercului este .

Exemplu. Să calculăm aria delimitată de cardioid .

3 Cifra este limitată de graficul unei funcții definite parametric.

Funcția poate fi specificată parametric sub forma . Folosim formula S= , substituind în ea limitele integrării peste noua variabilă. . De obicei, la calcularea integralei se identifică acele zone în care funcția integrand are un anumit semn și se ia în considerare zona corespunzătoare cu unul sau altul.

Exemplu. Calculați aria cuprinsă de elipsă.

Folosind simetria elipsei, calculăm aria sfertului elipsei situată în primul cadran. În acest cadran. De aceea .

Calculul volumelor corpurilor.

1. Calculul volumelor corpurilor din zonele secțiunilor paralele.

Să fie necesar să se calculeze volumul unui anumit corp V din ariile secțiunilor transversale cunoscute ale acestui corp prin plane perpendiculare pe dreapta OX trasată prin orice punct x al segmentului de dreaptă OX.

Să aplicăm metoda diferenţialelor. Considerând volumul elementar de deasupra segmentului ca volum al unui cilindru circular drept cu aria bazei și înălțimea, obținem . Integrând și aplicând formula Newton–Leibniz, obținem

2. Calculul volumelor corpurilor de revoluție.

Să fie necesar să se calculeze BOU.

Apoi .

De asemenea, volumul unui corp de revoluție în jurul unei axeOY, dacă funcția este dată sub forma , poate fi calculată folosind formula .

Dacă funcția este specificată în formular și este necesară determinarea volumului unui corp de rotație în jurul unei axeOY, atunci formula de calcul al volumului poate fi obținută după cum urmează.

Trecând la diferenţial şi neglijând termenii patratici, avem . Integrând și aplicând formula Newton–Leibniz, avem .

Exemplu. Calculați volumul sferei.

Exemplu. Calculați volumul unui con circular drept delimitat de o suprafață și un plan.

Să calculăm volumul ca volum al unui corp de revoluție format prin rotație în jurul axei OZ a unui triunghi dreptunghic în planul OXZ, ale cărui catete se află pe axa OZ și pe linia z = H, iar ipotenuza se află pe linia.

Exprimând x în termeni de z, obținem .