Cel mai simplu număr este număr natural. Sunt folosite în viata de zi cu zi pentru numărare obiecte, adică pentru a calcula numărul și ordinea acestora.
Ce este un număr natural: numere naturale numiți numerele cu care sunt obișnuite numărarea articolelor sau pentru a indica numărul de serie al oricărui articol din toate omogene articole.
Numerele naturale- acestea sunt numere care incep de la unu. Ele se formează în mod natural la numărare.De exemplu, 1,2,3,4,5... -primele numere naturale.
Cel mai mic număr natural- unul. Nu există cel mai mare număr natural. La numărarea numărului Zero nu este folosit, deci zero este un număr natural.
Seria de numere naturale este succesiunea tuturor numerelor naturale. Scrierea numerelor naturale:
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12 ...
În seria naturală, fiecare număr este mai mare decât precedentul câte unul.
Câte numere sunt în seria naturală? Seria naturală este infinită cel mai mare număr natural nu există.
Decimală deoarece 10 unități din orice cifră formează 1 unitate din cea mai mare cifră. Pozițional așa modul în care semnificația unei cifre depinde de locul ei în număr, adică din categoria unde este scris.
Clase de numere naturale.
Orice număr natural poate fi scris folosind 10 cifre arabe:
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.
Pentru a citi numerele naturale, acestea sunt împărțite, începând din dreapta, în grupuri de câte 3 cifre. 3 primul numerele din dreapta sunt clasa unităților, următoarele 3 sunt clasa miilor, apoi clasele milioanelor, miliardelor șiasa mai departe. Fiecare dintre cifrele clasei se numește eideversare.
Comparația numerelor naturale.
Dintre 2 numere naturale, cu atât mai mic este numărul care este numit mai devreme la numărare. De exemplu, număr 7 Mai puțin 11 (scrie asa:7 < 11 ). Când un număr este mai mare decât al doilea, se scrie astfel:386 > 99 .
Tabel de cifre și clase de numere.
|
unitate de clasa I |
Prima cifră a unității a 2-a cifră zeci Locul 3 sute |
|
clasa a II-a mie |
Prima cifră a unității de mii A doua cifră zeci de mii Categoria a 3-a sute de mii |
|
milioane de clasa a 3-a |
Prima cifră a unității de milioane Categoria a 2-a zeci de milioane Categoria a 3-a sute de milioane |
|
miliarde de clasa a 4-a |
Prima cifră a unității de miliarde Categoria a 2-a zeci de miliarde Categoria a 3-a sute de miliarde |
|
Numerele din clasa a 5-a și mai sus sunt considerate numere mari. Unitățile din clasa a 5-a sunt trilioane, a 6-a clasa - cvadrilioane, clasa a 7-a - chintilioane, clasa a 8-a - sextilioane, clasa a 9-a - eptilioane. Proprietățile de bază ale numerelor naturale.
Operatii pe numere naturale. 4. Împărțirea numerelor naturale este operația inversă a înmulțirii. Dacă b ∙ c = a, Asta
Formule de împărțire: a: 1 = a a: a = 1, a ≠ 0 0: a = 0, a ≠ 0 (O∙ b) : c = (a:c) ∙ b (O∙ b) : c = (b:c) ∙ a Expresii numerice și egalități numerice. O notație în care numerele sunt conectate prin semne de acțiune este expresie numerică. De exemplu, 10∙3+4; (60-2∙5):10. Înregistrările în care 2 expresii numerice sunt combinate cu un semn egal sunt egalități numerice. Egalitatea are partea stângă și dreaptă. Ordinea efectuării operațiilor aritmetice. Adunarea și scăderea numerelor sunt operații de gradul I, iar înmulțirea și împărțirea sunt operații de gradul II. Când o expresie numerică constă din acțiuni de un singur grad, acestea sunt efectuate secvenţial de la stânga la dreapta. Când expresiile constau din acțiuni de gradul I și II, atunci acțiunile sunt efectuate mai întâi al doilea grad, iar apoi - acțiuni de gradul întâi. Când există paranteze într-o expresie, acțiunile din paranteze sunt efectuate mai întâi. De exemplu, 36:(10-4)+3∙5= 36:6+15 = 6+15 = 21. |
Numerele naturale și proprietățile lor
Numerele naturale sunt folosite pentru a număra obiectele din viață. Când scrieți orice număr natural, sunt folosite numerele $0,1,2,3,4,5,6,7,8,9$.
O succesiune de numere naturale, fiecare număr următor în care este $1$ mai mare decât precedentul, formează o serie naturală, care începe cu unu (deoarece unul este cel mai mic număr natural) și nu are cea mai mare valoare, adică. infinit.
Zero nu este considerat un număr natural.
Proprietățile relației de succesiune
Toate proprietățile numerelor naturale și operațiile asupra lor decurg din patru proprietăți ale relațiilor de succesiune, care au fost formulate în 1891 de D. Peano:
Unul este un număr natural care nu urmează niciunui număr natural.
Fiecare număr natural este urmat de un singur număr
Fiecare număr natural, altul decât $1$, urmează unul și numai un număr natural
Submulțimea numerelor naturale care conține numărul $1$ și împreună cu fiecare număr numărul care îl urmează, conține toate numerele naturale.
Dacă introducerea unui număr natural constă dintr-o cifră, se numește o singură cifră (de exemplu, $2,6.9$ etc.), dacă intrarea este formată din două cifre, se numește două cifre (de exemplu, $12 ,18,45$), etc. prin analogie. Două cifre, trei cifre, patru cifre etc. În matematică, numerele sunt numite multivalorice.
Proprietatea adunării numerelor naturale
Proprietate comutativă: $a+b=b+a$
Suma nu se modifică atunci când termenii sunt rearanjați
Proprietate combinativă: $a+ (b+c) =(a+b) +c$
Pentru a adăuga suma a două numere la un număr, puteți adăuga mai întâi primul termen, iar apoi, la suma rezultată, adăugați al doilea termen
Adăugarea zero nu schimbă numărul, iar dacă adăugați orice număr la zero, obțineți numărul adăugat.
Proprietățile scăderii
Proprietatea de a scădea o sumă dintr-un număr $a-(b+c) =a-b-c$ dacă $b+c ≤ a$
Pentru a scădea o sumă dintr-un număr, puteți scădea mai întâi primul termen din acest număr, iar apoi al doilea termen din diferența rezultată.
Proprietatea de a scădea un număr din suma $(a+b) -c=a+(b-c)$ dacă $c ≤ b$
Pentru a scădea un număr dintr-o sumă, îl puteți scădea dintr-un termen și adăuga un alt termen la diferența rezultată.
Dacă scadeți zero dintr-un număr, numărul nu se va schimba
Dacă îl scădeți din numărul în sine, obțineți zero
Proprietățile înmulțirii
Comunicativ $a\cdot b=b\cdot a$
Produsul a două numere nu se schimbă atunci când factorii sunt rearanjați
Conjunctiv $a\cdot (b\cdot c)=(a\cdot b)\cdot c$
Pentru a înmulți un număr cu produsul a două numere, îl poți înmulți mai întâi cu primul factor și apoi să înmulți produsul rezultat cu al doilea factor
Când este înmulțit cu unu, produsul nu se modifică $m\cdot 1=m$
Când este înmulțit cu zero, produsul este zero
Când nu există paranteze în notația produsului, înmulțirea se face în ordine de la stânga la dreapta
Proprietățile înmulțirii relativ la adunare și scădere
Proprietatea distributivă a înmulțirii în raport cu adunarea
$(a+b)\cdot c=ac+bc$
Pentru a înmulți o sumă cu un număr, puteți înmulți fiecare termen cu acest număr și adăugați produsele rezultate
De exemplu, $5(x+y)=5x+5y$
Proprietatea distributivă a înmulțirii în raport cu scăderea
$(a-b)\cdot c=ac-bc$
Pentru a înmulți diferența cu un număr, înmulțiți minuend și scădeți cu acest număr și scadeți al doilea din primul produs
De exemplu, $5(x-y)=5x-5y$
Comparația numerelor naturale
Pentru orice numere naturale $a$ și $b$, doar una dintre cele trei relații poate fi satisfăcută: $a=b$, $a
Numărul care apare mai devreme în seria naturală este considerat mai mic, iar numărul care apare mai târziu este considerat mai mare. Zero este mai mic decât orice număr natural.
Exemplul 1
Comparați numerele $a$ și $555$, dacă se știe că există un anumit număr $b$ și sunt valabile următoarele relații: $a
Soluţie: Pe baza proprietății specificate, deoarece prin conditia $a
în orice submulțime de numere naturale care conține cel puțin un număr există cel mai mic număr
În matematică, o submulțime este o parte a unei mulțimi. Se spune că o mulțime este o submulțime a alteia dacă fiecare element al submulțimii este și un element al mulțimii mai mari
Adesea, pentru a compara numerele, își găsesc diferența și o compară cu zero. Dacă diferența este mai mare de $0$, dar primul număr este mai mare decât al doilea, dacă diferența este mai mică de $0$, atunci primul număr este mai mic decât al doilea.
Rotunjirea numerelor naturale
Când nu este necesară precizia completă sau nu este posibilă, numerele sunt rotunjite, adică sunt înlocuite cu numere apropiate cu zerouri la sfârșit.
Numerele naturale sunt rotunjite la zeci, sute, mii etc.
Când se rotunjește un număr la zeci, acesta este înlocuit cu cel mai apropiat număr format din zeci întregi; un astfel de număr are cifra $0$ în locul unităților
Când se rotunjește un număr la cea mai apropiată sută, acesta este înlocuit cu cel mai apropiat număr format din sute întregi; un astfel de număr trebuie să aibă cifra $0$ în locul zecilor și unităților. etc.
Numerele la care este rotunjit se numesc valoarea aproximativă a numărului cu o precizie a cifrelor indicate. De exemplu, dacă rotunjiți numărul $564$ la zeci, descoperim că îl puteți rotunji în jos și obțineți $560$ sau. cu un exces și obțineți 570$.
Regula pentru rotunjirea numerelor naturale
Dacă în dreapta cifrei la care este rotunjit numărul există o cifră $5$ sau o cifră mai mare de $5$, atunci la cifra acestei cifre se adaugă $1$; în caz contrar, această cifră rămâne neschimbată
Toate cifrele situate în dreapta cifrei la care este rotunjit numărul sunt înlocuite cu zerouri
1.1.Definiţie
Sunt apelate numerele pe care oamenii le folosesc atunci când numără natural(de exemplu, unu, doi, trei,..., o sută, o sută unu,..., trei mii două sute douăzeci și unu,...) Pentru a scrie numere naturale se folosesc semne speciale (simboluri), numit în cifre.
In zilele noastre este acceptat sistem numeric zecimal. Sistemul zecimal (sau metoda) de scriere a numerelor folosește cifre arabe. Acestea sunt zece caractere numerice diferite: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 .
Cel mai puţin un număr natural este un număr unul, ea scris folosind un număr zecimal - 1. Următorul număr natural se obține din cel anterior (cu excepția unuia) prin adăugarea a 1 (unu). Această adăugare se poate face de mai multe ori (un număr infinit de ori). Aceasta înseamnă că Nu cel mai mare număr natural. Prin urmare, ei spun că seria numerelor naturale este nelimitată sau infinită, deoarece nu are sfârșit. Numerele naturale sunt scrise folosind cifre zecimale.
1.2. Numărul „zero”
Pentru a indica absența a ceva, utilizați numărul " zero" sau " zero".
Se scrie folosind numere 0 (zero).
De exemplu, într-o cutie toate bilele sunt roșii. Câte dintre ele sunt verzi? - Răspuns: zero .
Aceasta înseamnă că nu există bile verzi în cutie! Cifra 0 poate însemna că ceva s-a încheiat. De exemplu, Masha a avut 3 mere. Ea a împărțit două cu prietenii și a mâncat ea însăși unul. Deci ea a plecat 0
(zero) mere, i.e. nu a mai ramas nici unul. Cifra 0 poate însemna că ceva nu s-a întâmplat. De exemplu, meciul de hochei Echipa Rusia - Echipa Canada s-a încheiat cu scorul 3:0
(citim „trei - zero”) în favoarea echipei ruse. Aceasta înseamnă că echipa rusă a marcat 3 goluri, iar echipa canadiană a marcat 0 goluri și nu a putut înscrie niciun gol. Trebuie să ne amintim că numărul zero nu este un număr natural.
1.3. Scrierea numerelor naturale
În modul zecimal de a scrie un număr natural, fiecare cifră poate reprezenta un număr diferit. Depinde de locul acestei cifre în înregistrarea numărului. Se numește un anumit loc în notația unui număr natural poziţie. Prin urmare, sistemul numeric zecimal este numit pozițional. Luați în considerare notația zecimală de 7777 șapte mii șapte sute șaptezeci și șapte. Această intrare conține șapte mii, șapte sute, șapte zeci și șapte unități.
Fiecare dintre locurile (pozițiile) din notația zecimală a unui număr este numită deversare. Fiecare trei cifre sunt combinate în Clasă. Această îmbinare se face de la dreapta la stânga (de la sfârșitul înregistrării numărului). Diverse categorii și clase au propriile lor nume. Gama de numere naturale este nelimitată. Prin urmare, numărul de ranguri și clase nu este limitat ( la nesfârşit). Să ne uităm la numele cifrelor și claselor folosind exemplul unui număr cu notație zecimală
38 001 102 987 000 128 425:
|
Clasele și gradele |
||
|
chintilioane |
sute de chintilioane |
|
|
zeci de chintilioane |
||
|
chintilioane |
||
|
cvadrilioane |
sute de cvadrilioane |
|
|
zeci de cvadrilioane |
||
|
cvadrilioane |
||
|
trilioane |
sute de trilioane |
|
|
zeci de trilioane |
||
|
trilioane |
||
|
miliarde |
sute de miliarde |
|
|
zeci de miliarde |
||
|
miliarde |
||
|
milioane |
sute de milioane |
|
|
zeci de milioane |
||
|
milioane |
||
|
sute de mii |
||
|
zeci de mii |
||
Deci, clasele, începând cu cele mai mici, au nume: unități, mii, milioane, miliarde, trilioane, cvadrilioane, chintilioane.
1.4. Unități de biți
Fiecare dintre clasele de notare a numerelor naturale este formată din trei cifre. Fiecare rang are unități de cifre. Următoarele numere sunt numite unități de cifre:
1 - cifră unitate de unități cifra,
unitate de 10 cifre a zecilor locului,
100 - unitate de sute de cifre,
1 000 - unitate de mii de cifre,
10 000 este o unitate de cifre de zeci de mii loc,
100.000 este o unitate de loc pentru sute de mii,
1.000.000 este unitatea de milioane de cifre etc.
Un număr din oricare dintre cifre arată numărul de unități ale acestei cifre. Astfel, numărul 9, în locul sutelor de miliarde, înseamnă că numărul 38.001.102.987.000 128.425 include nouă miliarde (adică, de 9 ori 1.000.000.000 sau unități de 9 cifre ale locului de miliarde). Un loc gol de sute de chintilioane înseamnă că nu există sute de chintilioane în numărul dat sau numărul lor este zero. În acest caz, numărul 38 001 102 987 000 128 425 se poate scrie astfel: 038 001 102 987 000 128 425.
Puteți scrie altfel: 000 038 001 102 987 000 128 425. Zerourile de la începutul numărului indică cifre goale de ordin înalt. De obicei, acestea nu sunt scrise, spre deosebire de zerourile din interiorul notației zecimale, care marchează în mod necesar cifrele goale. Astfel, trei zerouri din clasa milioane înseamnă că sutele de milioane, zeci de milioane și unitățile de milioane sunt goale.
1.5. Abrevieri pentru scrierea numerelor
La scrierea numerelor naturale se folosesc abrevieri. Iată câteva exemple:
1.000 = 1 mie (o mie)
23.000.000 = 23 de milioane (douăzeci și trei de milioane)
5.000.000.000 = 5 miliarde (cinci miliarde)
203.000.000.000.000 = 203 trilioane. (două sute trei trilioane)
107.000.000.000.000.000 = 107 metri pătrați. (o sută șapte cvadrilioane)
1.000.000.000.000.000.000 = 1 kwt. (un chintilion)
Blocul 1.1. Dicţionar
Alcătuiește un dicționar de termeni și definiții noi din §1. Pentru a face acest lucru, scrieți cuvinte din lista de termeni de mai jos în celulele goale. În tabel (la sfârșitul blocului), indicați pentru fiecare definiție numărul termenului din listă.
Blocul 1.2. Auto-pregătire
în lume numere mari
Economie .
- Bugetul Rusiei pentru anul viitor va fi: 6328251684128 ruble.
- Cheltuielile planificate pentru acest an sunt: 5124983252134 ruble.
- Venitul țării a depășit cheltuielile cu 1203268431094 ruble.
Întrebări și sarcini
- Citiți toate cele trei numere date
- Scrieți cifrele din clasa milioanelor pentru fiecare dintre cele trei numere.
- Cărei secțiuni din fiecare dintre numere îi aparține cifra situată în poziția a șaptea de la sfârșitul înregistrării numerelor?
- Ce număr de unități de cifre indică numărul 2 în introducerea primului număr?... în introducerea celui de-al doilea și al treilea număr?
- Numiți unitatea de cifre pentru poziția a opta de la sfârșitul în notația a trei numere.
Geografie (lungime)
- Raza ecuatorială a Pământului: 6378245 m
- Circumferința ecuatorului: 40075696 m
- Cea mai mare adâncime a oceanelor din lume (Șanțul Mariana în Oceanul Pacific) 11500 m
Întrebări și sarcini
- Convertiți toate cele trei valori în centimetri și citiți numerele rezultate.
- Pentru primul număr (în cm), scrieți numerele în secțiunile:
sute de mii _______
zeci de milioane _______
mii _______
miliarde _______
sute de milioane _______
- Pentru al doilea număr (în cm), notați unitățile de cifre corespunzătoare numerelor 4, 7, 5, 9 în notația numerică
- Convertiți a treia valoare în milimetri și citiți numărul rezultat.
- Pentru toate pozițiile din introducerea celui de-al treilea număr (în mm), indicați cifrele și unitățile de cifre din tabel:
Geografie (pătrat)
- Suprafața întregii suprafețe a Pământului este de 510.083 mii de kilometri pătrați.
- Suprafața sumelor de pe Pământ este de 148.628 mii de kilometri pătrați.
- Suprafața apei Pământului este de 361.455 mii de kilometri pătrați.
Întrebări și sarcini
- Convertiți toate cele trei valori în metri pătrați și citiți numerele rezultate.
- Denumiți clasele și categoriile corespunzătoare cifrelor diferite de zero din înregistrarea acestor numere (în mp).
- În scrierea celui de-al treilea număr (în mp), numiți unitățile de cifre corespunzătoare numerelor 1, 3, 4, 6.
- În două intrări ale celei de-a doua valori (în km pătrați și m²), indicați căreia dintre cifre aparține numărul 2.
- Scrieți unitățile de valoare de loc pentru cifra 2 în a doua notație de cantitate.
Blocul 1.3. Dialog cu computerul.
Se știe că numerele mari sunt adesea folosite în astronomie. Să dăm exemple. Distanța medie a Lunii de Pământ este de 384 mii km. Distanța Pământului față de Soare (medie) este de 149.504 mii km, Pământul de la Marte este de 55 milioane km. Pe un computer, folosind editorul de text Word, creați tabele astfel încât fiecare cifră din introducerea numerelor indicate să fie într-o celulă (celulă) separată. Pentru a face acest lucru, executați comenzile din bara de instrumente: tabel → adăugați tabel → număr de rânduri (utilizați cursorul pentru a seta „1”) → număr de coloane (calculați-vă singur). Creați tabele pentru alte numere (în blocul „Pregătire personală”).
Blocul 1.4. Stafeu numere mari
Primul rând al tabelului conține un număr mare. Citiți. Apoi finalizați sarcinile: mutând numerele din înregistrarea numerelor la dreapta sau la stânga, obțineți următoarele numere și citiți-le. (Nu mutați zerourile de la sfârșitul numărului!). În clasă, ștafeta poate fi efectuată pasându-l unul altuia.
Linia 2 . Mutați toate cifrele numărului din prima linie spre stânga prin două celule. Înlocuiți numerele 5 cu următorul număr. Umpleți celulele goale cu zerouri. Citiți numărul.
Linia 3 . Mutați toate cifrele numărului din a doua linie spre dreapta prin trei celule. Înlocuiți numerele 3 și 4 din număr cu următoarele numere. Umpleți celulele goale cu zerouri. Citiți numărul.
Linia 4. Mutați toate cifrele numărului din rândul 3 cu o celulă la stânga. Înlocuiți numărul 6 din clasa trilioanelor cu cel precedent, iar din clasa miliardelor cu următorul număr. Umpleți celulele goale cu zerouri. Citiți numărul rezultat.
Linia 5 . Mutați toate cifrele numărului din rândul 4 cu o celulă la dreapta. Înlocuiți numărul 7 din categoria „zeci de mii” cu cea anterioară, iar din categoria „zeci de milioane” cu următoarea. Citiți numărul rezultat.
Linia 6 . Mutați toate cifrele numărului din rândul 5 la stânga prin 3 celule. Înlocuiți numărul 8 din locul sute de miliarde cu cel precedent, iar numărul 6 din locul sute de milioane cu următorul număr. Umpleți celulele goale cu zerouri. Calculați numărul rezultat.
Linia 7 . Mutați toate cifrele numărului din rândul 6 în celula din dreapta. Schimbați numerele în zeci de cvadrilioane și zeci de miliarde de locuri. Citiți numărul rezultat.
Linia 8 . Mutați toate cifrele numărului din rândul 7 la stânga printr-o celulă. Schimbați numerele în locurile de cinci miliarde și cvadrilioane. Umpleți celulele goale cu zerouri. Citiți numărul rezultat.
Linia 9 . Mutați toate cifrele numărului din rândul 8 la dreapta prin trei celule. Schimbați două cifre adiacente din clasele de milioane și trilioane într-o linie numerică. Citiți numărul rezultat.
Linia 10 . Mutați toate cifrele numărului din rândul 9 cu o celulă la dreapta. Citiți numărul rezultat. Selectați numerele care indică anul Olimpiadei de la Moscova.
Blocul 1.5. Să ne jucăm
Aprindeți flacăra
Terenul de joc este un desen al unui pom de Crăciun. Are 24 de becuri. Dar doar 12 dintre ele sunt conectate la rețeaua electrică. Pentru a selecta lămpile conectate, trebuie să răspundeți corect la întrebări cu „Da” sau „Nu”. Același joc poate fi jucat pe computer, răspunsul corect „aprinde” becul.
- Este adevărat că numerele sunt semne speciale pentru scrierea numerelor naturale? (1 - da, 2 - nu)
- Este adevărat că 0 este cel mai mic număr natural? (3 - da, 4 - nu)
- Este adevărat că în sistemul numeric pozițional aceeași cifră poate reprezenta numere diferite? (5 - da, 6 - nu)
- Este adevărat că un anumit loc în notația zecimală a numerelor se numește loc? (7 - da, 8 - nu)
- Este dat numărul 543.384. Este adevărat că numărul unităților cu cele mai mari cifre din el este 543, iar cifrele cele mai mici sunt 384? (9 - da, 10 - nu)
- Este adevărat că în clasa miliardelor, cea mai mare unitate de cifre este de o sută de miliarde, iar cea mai mică este de un miliard? (11 - da, 12 - nu)
- Este dat numărul 458.121. Este adevărat că suma numărului unităților cu cifrele cele mai mari și numărul celor mai mici este 5? (13 - da, 14 - nu)
- Este adevărat că unitatea cu cea mai mare cifră din clasa trilionului este de un milion de ori mai mare decât unitatea cu cea mai mare cifră din clasa milionului? (15 - da, 16 - nu)
- Având în vedere două numere 637.508 și 831. Este adevărat că cea mai mare unitate de cifre a primului număr este de 1000 de ori mai mare decât cea mai mare unitate de cifre a celui de-al doilea număr? (17 - da, 18 - nu)
- Având în vedere numărul 432. Este adevărat că cea mai mare unitate de cifre a acestui număr este de 2 ori mai mare decât cea mai mică? (19 - da, 20 - nu)
- Este dat numărul 100.000.000 Este adevărat că numărul de unități de cifre din el care alcătuiesc 10.000 este egal cu 1000? (21 - da, 22 - nu)
- Este adevărat că înaintea clasei de trilioane există o clasă de cvadrilioane, iar înaintea acestei clase există o clasă de chintilioane? (23 - da, 24 - nu)
1.6. Din istoria numerelor
Din cele mai vechi timpuri, oamenii s-au confruntat cu nevoia de a număra numărul de lucruri, de a compara cantitățile de obiecte (de exemplu, cinci mere, șapte săgeți...; într-un trib sunt 20 de bărbați și treizeci de femei,... ). Era, de asemenea, necesitatea stabilirii ordinii într-un anumit număr de obiecte. De exemplu, atunci când vânează, liderul tribului merge primul, cel mai puternic războinic al tribului vine pe al doilea etc. Numerele au fost folosite în aceste scopuri. Pentru ei au fost inventate nume speciale. În vorbire se numesc numerale: unu, doi, trei etc. sunt numere cardinale, iar primul, al doilea, al treilea sunt numerale ordinale. Numerele au fost scrise folosind caractere speciale - numere.
De-a lungul timpului au apărut sisteme de numere. Acestea sunt sisteme care includ modalități de a scrie numere și de a efectua diverse operații asupra lor. Cele mai vechi sisteme de numere cunoscute sunt sistemele de numere egiptean, babilonian și roman. În antichitate, în Rus', literele alfabetului cu semnul special ~ (titlu) erau folosite pentru a scrie numere. În prezent, sistemul numeric zecimal este cel mai utilizat. Sistemele de numere binare, octale și hexazecimale sunt utilizate pe scară largă, în special în lumea computerelor.
Deci, pentru a scrie același număr pe care îl puteți folosi diverse semne- numere. Deci, numărul patru sute douăzeci și cinci poate fi scris cu cifre egiptene - hieroglife:
Acesta este modul egiptean de a scrie numerele. Acesta este același număr în cifre romane: CDXXV(modul roman de a scrie numere) sau cifre zecimale 425 (sistem de numere zecimale). În notație binară arată astfel: 110101001 (sistem de numere binar sau binar), iar în octal - 651 (sistem de numere octale). În sistemul numeric hexazecimal se va scrie: 1A9(sistem de numere hexazecimale). O poți face destul de simplu: faceți, ca Robinson Crusoe, patru sute douăzeci și cinci de crestături (sau lovituri) pe un stâlp de lemn - IIIIIIIII…... III. Acestea sunt primele imagini ale numerelor naturale.
Deci, în sistemul zecimal de scriere a numerelor (în modul zecimal de scriere a numerelor) sunt folosite cifre arabe. Acestea sunt zece simboluri diferite - numere: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 . În binar - două cifre binare: 0, 1; în octal - opt cifre octale: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7; în hexazecimal - șaisprezece cifre hexazecimale diferite: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F; în sexagesimal (babilonian) - șaizeci de caractere diferite - numere etc.)
Cifre zecimale au venit în țările europene din țările din Orientul Mijlociu, țările arabe. De aici și numele - cifre arabe. Dar au venit la arabi din India, unde au fost inventați pe la mijlocul primului mileniu.
1.7. Sistemul de numere romane
Unul dintre sistemele de numere antice care este folosit astăzi este sistemul roman. Prezentăm în tabel principalele numere ale sistemului numeric roman și numerele corespunzătoare ale sistemului zecimal.
|
numeral roman |
C |
||||||
|
50 cincizeci |
500 cinci sute |
1000 de mii |
Sistemul numeric roman este sistem de adăugare.În ea, spre deosebire de sistemele poziționale (de exemplu, zecimală), fiecare cifră reprezintă același număr. Da, înregistrează II- denotă numărul doi (1 + 1 = 2), notație III- numărul trei (1 + 1 + 1 = 3), notație XXX- numărul treizeci (10 + 10 + 10 = 30), etc. Următoarele reguli se aplică pentru scrierea numerelor.
- Dacă numărul inferior este după mai mare, apoi se adaugă la cea mai mare: VII- numărul șapte (5 + 2 = 5 + 1 + 1 = 7), XVII- numărul șaptesprezece (10 + 7 = 10 + 5 + 1 + 1 = 17), MCL- numărul o mie o sută cincizeci (1000 + 100 + 50 = 1150).
- Dacă numărul inferior este înainte mai mare, atunci se scade din cea mai mare: IX- numărul nouă (9 = 10 - 1), L.M.- numărul nouă sute cincizeci (1000 - 50 = 950).
Pentru a scrie numere mari, trebuie să folosiți (inventați) simboluri noi - numere. În același timp, înregistrarea numerelor se dovedește a fi greoaie și este foarte dificil să se efectueze calcule cu cifre romane. Astfel, anul lansării primului satelit artificial de Pământ (1957) din înregistrările romane are forma MCMLVII .
Blocul 1. 8. Card perforat
Citirea numerelor naturale
Aceste sarcini sunt verificate folosind o hartă cu cercuri. Să explicăm aplicarea acestuia. După ce ați finalizat toate sarcinile și ați găsit răspunsurile corecte (sunt indicate prin literele A, B, C etc.), plasați o foaie de hârtie transparentă pe hartă. Utilizați semnele „X” pentru a marca pe el răspunsurile corecte, precum și semnul de potrivire „+”. Apoi aplicați foaie transparentă pe pagină, astfel încât mărcile de înregistrare să se potrivească. Dacă toate semnele „X” sunt în cercurile gri de pe această pagină, atunci sarcinile au fost finalizate corect.
1.9. Ordinea citirii numerelor naturale
Când citiți un număr natural, procedați după cum urmează.
- Împărțiți mental numărul în triplete (clase) de la dreapta la stânga, de la sfârșitul numărului.
- Începând de la clasa de juniori, de la dreapta la stânga (de la sfârșitul numărului) notează numele claselor: unități, mii, milioane, miliarde, trilioane, cvadrilioane, chintilioane.
- Au citit numărul începând din liceu. În acest caz, sunt apelate numărul de unități de biți și numele clasei.
- Dacă bitul conține un zero (bitul este gol), atunci nu este apelat. Dacă toate cele trei cifre ale clasei numite sunt zerouri (cifrele sunt goale), atunci această clasă nu este apelată.
Să citim (numim) numărul scris în tabel (vezi §1), conform pașilor 1 - 4. Împărțim mental numărul 38001102987000128425 în clase de la dreapta la stânga: 038 001 102 987 000 128 425. Indicăm numele clase în acest număr, începând de la sfârșit înregistrările sale: unități, mii, milioane, miliarde, trilioane, cvadrilioane, chintilioane. Acum puteți citi numărul, începând cu clasa de seniori. Numim numere de trei cifre, două cifre și o singură cifră, adăugând numele clasei corespunzătoare. Nu denumim clase goale. Obținem următorul număr:
- 038 - treizeci și opt de chintilioane
- 001 - un cvadrilion
- 102 - o sută două trilioane
- 987 - nouă sute optzeci și șapte de miliarde
- 000 - nu denumim (nu citim)
- 128 - o sută douăzeci și opt de mii
- 425 - patru sute douăzeci și cinci
Ca urmare, citim numărul natural 38 001 102 987 000 128 425 după cum urmează: „treizeci și opt de chintilioane un cvadrilion o sută două trilioane nouă sute optzeci și șapte de miliarde o sută douăzeci și opt de mii patru sute douăzeci și cinci”.
1.9. Ordinea scrierii numerelor naturale
Numerele naturale sunt scrise în următoarea ordine.
- Notați trei cifre ale fiecărei clase, începând cu clasa cea mai înaltă până la locul celor. În acest caz, pentru clasa senior pot exista două sau o cifre.
- Dacă clasa sau categoria nu este denumită, atunci se scriu zerouri în categoriile corespunzătoare.
De exemplu, numărul douăzeci și cinci de milioane trei sute două scris sub forma: 25 000 302 (clasa miilor nu este numită, deci toate cifrele clasei miilor sunt scrise cu zerouri).
1.10. Reprezentarea numerelor naturale ca sumă de termeni de cifre
Iată un exemplu: 7.563.429 este notația zecimală a unui număr șapte milioane cinci sute șaizeci și trei mii patru sute douăzeci și nouă. Acest număr conține șapte milioane, cinci sute de mii, șase zece mii, trei mii, patru sute, două zeci și nouă unități. Poate fi reprezentat ca suma: 7.563.429 = 7.000.000 + 500.000 + 60.000 + + 3.000 + 400 + 20 + 9. Această notație se numește reprezentând un număr natural ca sumă de termeni de cifre.
Blocul 1.11. Să ne jucăm
Temnita Treasures
Pe terenul de joc este un desen din basmul lui Kipling „Mowgli”. Cinci cufere au lacăte. Pentru a le deschide, trebuie să rezolvați problemele. În același timp, prin deschiderea unui cufăr de lemn, obțineți un punct. Deschiderea unui cufăr de tablă vă oferă două puncte, un cufăr de cupru primește trei puncte, un cufăr de argint primește patru puncte și un cufăr de aur primește cinci puncte. Câștigă cel care deschide toate cuferele cel mai repede. Același joc poate fi jucat pe computer.
- Cufăr din lemn
Aflați câți bani (în mii de ruble) sunt în acest cufăr. Pentru a face acest lucru trebuie să găsiți număr total cele mai mici unități de cifre din clasa milionului pentru numărul: 125308453231.
- Cufă de tablă
Aflați câți bani (în mii de ruble) sunt în acest cufăr. Pentru a face acest lucru, în numărul 12530845323, găsiți numărul unităților cu cifrele cele mai mici ale clasei de unități și numărul unităților cu cifrele cele mai mici din clasa milioanelor. Apoi găsiți suma acestor numere și adăugați numărul din locul zecilor de milioane din dreapta.
- Cufă de cupru
Pentru a găsi banii din acest cufăr (în mii de ruble), trebuie să găsiți în numărul 751305432198203 numărul unităților cu cele mai mici cifre din clasa trilioanelor și numărul celor mai mici unități din clasa miliardelor. Apoi găsiți suma acestor numere și scrieți în dreapta numerele naturale ale clasei de unități ale acestui număr în ordinea locației lor.
- Cufăr de argint
Banii din acest cufăr (în milioane de ruble) vor fi afișați prin suma a două numere: numărul unităților cu cifrele cele mai mici din clasa miilor și unitățile cu cifrele mijlocii ale clasei de miliarde pentru numărul 481534185491502.
- Cufăr de aur
Numărul 800123456789123456789 este dat dacă înmulțim numerele din cele mai mari cifre din toate clasele acestui număr, primim banii acestui cufăr într-un milion de ruble.
Blocul 1.12. Meci
Scrierea numerelor naturale. Reprezentarea numerelor naturale ca sumă de termeni de cifre
Pentru fiecare sarcină din coloana din stânga, selectați o soluție din coloana din dreapta. Scrieți răspunsul sub forma: 1a; 2g; 3b...
|
Scrieți numărul în numere: cinci milioane douăzeci și cinci de mii |
|||
|
Scrieți numărul în numere: cinci miliarde douăzeci și cinci de milioane |
|||
|
Scrieți numărul în numere: cinci trilioane douăzeci și cinci |
|||
|
Scrieți numărul în numere:șaptezeci și șapte de milioane șaptezeci și șapte de mii șapte sute șapte și șapte |
|||
|
Scrieți numărul în numere:șaptezeci și șapte de trilioane șapte sute șapte și șapte de mii șapte |
|||
|
Scrieți numărul în numere:șaptezeci și șapte de milioane șapte sute șapte și șapte de mii șapte |
|||
|
Scrieți numărul în numere: o sută douăzeci și trei de miliarde patru sute cincizeci și șase de milioane șapte sute optzeci și nouă de mii |
|||
|
Scrieți numărul în numere: o sută douăzeci și trei de milioane patru sute cincizeci și șase de mii șapte sute optzeci și nouă |
|||
|
Scrieți numărul în numere: trei miliarde unsprezece |
|||
|
Scrieți numărul în numere: trei miliarde unsprezece milioane |
Opțiunea 2
|
treizeci și două de miliarde o sută șaptezeci și cinci de milioane două sute nouăzeci și opt de mii trei sute patruzeci și unu |
100000000 + 1000000 + 10000 + 100 + 1 |
||
|
Prezentați numărul ca o sumă de termeni de cifre: trei sute douăzeci și unu de milioane patruzeci și unu |
30000000000 + 2000000000 + 100000000 + 70000000 + 5000000 + 200000 + 90000 + 8000 + 300 + 40 + 1 |
||
|
Prezentați numărul ca o sumă de termeni de cifre: 321000175298341 |
|||
|
Prezentați numărul ca o sumă de termeni de cifre: 101010101 |
|||
|
Prezentați numărul ca o sumă de termeni de cifre: 11111 |
300000000 + 20000000 + 1000000 + |
||
|
5000000 + 300000 + 20000 + 1000 |
|||
|
Scrieți cu notație zecimală numărul prezentat ca o sumă de termeni de cifre: 5000000 + 300 + 20 + 1 |
30000000000000 + 2000000000000 + 1000000000000 + 100000000 + 70000000 + 5000000 + 200000 + 90000 + 8000 + 300 + 40 + 1 |
||
|
Scrieți cu notație zecimală numărul prezentat ca o sumă de termeni de cifre: 10000000000 + 2000000000 + 100000 + 10 + 9 |
|||
|
Scrieți cu notație zecimală numărul prezentat ca o sumă de termeni de cifre: 10000000000 + 2000000000 + 100000000 + 10000000 + 9000000 |
|||
|
Scrieți cu notație zecimală numărul prezentat ca o sumă de termeni de cifre: 9000000000000 + 9000000000 + 9000000 + 9000 + 9 |
10000 + 1000 + 100 + 10 + 1 |
Blocul 1.13. Testul fațetelor
Numele testului provine de la cuvântul „ochi compus de insecte”. Acesta este un ochi complex format din „ocelli” individuale. Sarcinile de testare fațetă sunt formate din elemente individuale indicate prin numere. De obicei, testele fațete conțin un număr mare de sarcini. Dar în acest test există doar patru sarcini, dar sunt alcătuite dintr-un număr mare de elemente. Acesta este conceput pentru a vă învăța cum să „asamblați” problemele de testare. Dacă le puteți crea, puteți face față cu ușurință altor teste fațete.
Să explicăm cum sunt compuse sarcinile folosind exemplul celei de-a treia sarcini. Este compus din elemente de testare numerotate: 1, 4, 7, 11, 1, 5, 7, 9, 10, 16, 17, 22, 21, 25
« Dacă» 1) ia numere (cifra) din tabel; 4) 7; 7) plasați-l într-o categorie; 11) miliarde; 1) ia un număr de pe masă; 5) 8; 7) plasați-l în categorii; 9) zeci de milioane; 10) sute de milioane; 16) sute de mii; 17) zeci de mii; 22) Așezați numerele 9 și 6 în locurile cu mii și sute. 21) umpleți biții rămași cu zerouri; " CĂ» 26) obținem un număr egal cu timpul (perioada) de revoluție a planetei Pluto în jurul Soarelui în secunde (s); " Acest număr este egal cu": 7880889600 str. În răspunsuri este indicat prin literă „V”.
Când rezolvați probleme, folosiți un creion pentru a scrie numerele în celulele tabelului.
Testul fațetelor. Alcătuiește un număr
Tabelul conține numerele:
Dacă
1) luați numărul(ele) din tabel:
2) 4; 3) 5; 4) 7; 5) 8; 6) 9;
7) plasați această(e) cifră(e) în cifre(e);
8) sute de cvadrilioane și zeci de cvadrilioane;
9) zeci de milioane;
10) sute de milioane;
11) miliarde;
12) chintilioane;
13) zeci de chintilioane;
14) sute de chintilioane;
15) trilioane;
16) sute de mii;
17) zeci de mii;
18) umpleți clasa(ele) cu aceasta (ele);
19) chintilioane;
20) miliarde;
21) umpleți biții rămași cu zerouri;
22) așezați numerele 9 și 6 în locurile miilor și sutelor;
23) obținem un număr egal cu masa Pământului în zeci de tone;
24) obținem un număr aproximativ egal cu volumul Pământului în metri cubi;
25) obținem un număr egal cu distanța (în metri) de la Soare la cea mai îndepărtată planetă sistem solar Pluton;
26) obținem un număr egal cu timpul (perioada) revoluției planetei Pluto în jurul Soarelui în secunde (s);
Acest număr este egal cu:
a) 5929000000000
b) 9999900000000000000000
d) 5980000000000000000000
Rezolva probleme:
1, 3, 6, 5, 18, 19, 21, 23
1, 6, 7, 14, 13, 12, 8, 21, 24
1, 4, 7, 11, 1, 5, 7, 10, 9, 16, 17, 22, 21, 26
1, 3, 7, 15, 1, 6, 2, 6, 18, 20, 21, 25
Răspunsuri
1, 3, 6, 5, 18, 19, 21, 23 - g
1, 6, 7, 14, 13, 12, 8, 21, 24 - b
1, 4, 7, 11, 1, 5, 7, 10, 9, 16, 17, 22, 21, 26 - în
1, 3, 7, 15, 1, 6, 2, 6, 18, 20, 21, 25 - a
În matematică există mai multe seturi diferite de numere: reale, complexe, întregi, raționale, iraționale, ... viata de zi cu zi Cel mai adesea folosim numere naturale, deoarece le întâlnim la numărare și la căutare, desemnând numărul de obiecte.
Ce numere se numesc numere naturale?
Din zece cifre puteți scrie absolut orice sumă existentă de clase și ranguri. Valorile naturale sunt considerate a fi acelea care sunt folosite:
- Când numărați orice obiecte (primul, al doilea, al treilea, ... al cincilea, ... al zecelea).
- La indicarea numărului de articole (unu, doi, trei...)
N valorile sunt întotdeauna întregi și pozitive. Nu există cel mai mare N deoarece setul de valori întregi este nelimitat.
Atenţie! Numerele naturale se obțin la numărarea obiectelor sau la indicarea cantității acestora.
Absolut orice număr poate fi descompus și prezentat sub formă de termeni de cifre, de exemplu: 8.346.809=8 milioane+346 mii+809 unități.
Set N
Mulțimea N este în mulțime reale, întregi și pozitive. Pe diagrama mulțimilor, acestea ar fi situate unele în altele, deoarece mulțimea celor naturale face parte din ele.
Mulțimea numerelor naturale se notează cu litera N. Această mulțime are un început, dar fără sfârșit.
Există, de asemenea, o mulțime extinsă N, unde este inclus zero.
Cel mai mic număr natural
În majoritatea școlilor de matematică, cea mai mică valoare a lui N este considerată o unitate, deoarece absența obiectelor este considerată gol.
Dar în străinătate scoli de matematica, de exemplu în franceză, este considerat natural. Prezența lui zero în serie face demonstrația mai ușoară unele teoreme.
O serie de valori N care include zero se numește extinsă și se notează prin simbolul N0 (indice zero).
Serii de numere naturale
Seria N este o succesiune a tuturor N seturi de cifre. Această secvență nu are sfârșit.
Particularitatea seriei naturale este că următorul număr va diferi cu unul de cel precedent, adică va crește. Dar semnificațiile nu poate fi negativ.
Atenţie! Pentru ușurința numărării, există clase și categorii:
- Unități (1, 2, 3),
- Zeci (10, 20, 30),
- Sute (100, 200, 300),
- Mii (1000, 2000, 3000),
- Zeci de mii (30.000),
- Sute de mii (800.000),
- Milioane (4000000), etc.
Toate N
Toți N sunt în mulțimea valorilor reale, întregi, nenegative. Sunt ai lor parte integrantă.
Aceste valori merg la infinit, pot aparține claselor de milioane, miliarde, chintilioane etc.
De exemplu:
- Cinci mere, trei pisoi,
- Zece ruble, treizeci de creioane,
- O sută de kilograme, trei sute de cărți,
- Un milion de stele, trei milioane de oameni etc.
Secvența în N
În diferite școli de matematică puteți găsi două intervale cărora le aparține șirul N:
de la zero la plus infinit, inclusiv capete, și de la unu la plus infinit, inclusiv capete, adică totul răspunsuri întregi pozitive.
N seturi de cifre pot fi fie pare, fie impare. Să luăm în considerare conceptul de ciudățenie.
Impar (orice număr impar se termină cu numerele 1, 3, 5, 7, 9.) cu doi au un rest. De exemplu, 7:2=3,5, 11:2=5,5, 23:2=11,5.
Ce înseamnă chiar și N?
Orice sume pare ale claselor se termină în numere: 0, 2, 4, 6, 8. Când chiar N este împărțit la 2, nu va mai rămâne niciun rest, adică rezultatul este întregul răspuns. De exemplu, 50:2=25, 100:2=50, 3456:2=1728.
Important! O serie de numere de N nu poate consta doar din valori pare sau impare, deoarece acestea trebuie să alterneze: par este întotdeauna urmat de impar, urmat din nou de par etc.
Proprietăți N
Ca toate celelalte mulțimi, N are propriile sale proprietăți speciale. Să luăm în considerare proprietățile seriei N (neextinsă).
- Valoarea care este cea mai mică și care nu urmează nici unei alte este una.
- N reprezintă o succesiune, adică una valoare naturală urmează altul(cu excepția unuia - este primul).
- Când efectuăm operații de calcul pe N sume de cifre și clase (adunare, înmulțire), atunci răspunsul se dovedește întotdeauna natural sens.
- Permutarea și combinația pot fi utilizate în calcule.
- Fiecare valoare ulterioară nu poate fi mai mică decât cea anterioară. Tot în seria N se va aplica următoarea lege: dacă numărul A este mai mic decât B, atunci în seria numerică va exista întotdeauna un C pentru care egalitatea este valabilă: A+C=B.
- Dacă luăm două expresii naturale, de exemplu A și B, atunci una dintre expresii va fi adevărată pentru ele: A = B, A este mai mare decât B, A este mai mică decât B.
- Dacă A este mai mic decât B și B este mai mic decât C, atunci rezultă că că A este mai mic decât C.
- Dacă A este mai mic decât B, atunci rezultă că: dacă le adăugăm aceeași expresie (C), atunci A + C este mai mic decât B + C. De asemenea, este adevărat că dacă aceste valori sunt înmulțite cu C, atunci AC este mai mic decât AB.
- Dacă B este mai mare decât A, dar mai mic decât C, atunci: B-A mai puțin S-A.
Atenţie! Toate inegalitățile de mai sus sunt valabile și în direcția opusă.
Cum se numesc componentele înmulțirii?
În multe simple și chiar sarcini complexe Găsirea răspunsului depinde de abilitățile elevilor.
Pentru a vă înmulți rapid și corect și pentru a putea rezolva probleme inverse, trebuie să cunoașteți componentele înmulțirii.
15. 10=150. În această expresie există 15 și 10 sunt multiplicatori, iar 150 este un produs.
Înmulțirea are proprietăți care sunt necesare atunci când se rezolvă probleme, ecuații și inegalități:
- Rearanjarea factorilor nu va schimba produsul final.
- Pentru a găsi un factor necunoscut, trebuie să împărțiți produsul la un factor cunoscut (adevărat pentru toți factorii).
De exemplu: 15 . X=150. Să împărțim produsul la un factor cunoscut. 150:15=10. Hai să facem o verificare. 15 . 10=150. Conform acestui principiu, ei chiar decid complex ecuații liniare (pentru a le simplifica).
Important! Un produs poate consta din mai mult de doi factori. De exemplu: 840=2 . 5. 7. 3. 4
Ce sunt numerele naturale în matematică?
Locuri și clase de numere naturale
Concluzie
Să rezumam. N este folosit la numărarea sau indicarea numărului de articole. Seria de mulțimi naturale de numere este infinită, dar include doar sume întregi și pozitive de cifre și clase. Înmulțirea este, de asemenea, necesară pentru a a număra obiectele, precum și pentru rezolvarea de probleme, ecuații și diverse inegalități.
Definiţie
Numerele naturale sunt numere care sunt folosite la numărarea sau pentru a indica numărul de serie al unui obiect printre obiecte similare.
De exemplu. Numerele naturale vor fi: $2,37,145,1059,24411$
Numerele naturale scrise în ordine crescătoare serie de numere. Începe cu cel mai mic număr natural 1. Mulțimea tuturor numerelor naturale se notează cu $N=\(1,2,3, \dots n, \ldots\)$. Este infinit pentru că nu există cel mai mare număr natural. Dacă adăugăm unul la orice număr natural, obținem numărul natural după numărul dat.
Exemplu
Exercita. Care dintre următoarele numere sunt numere naturale?
$$-89 ; 7; \frac(4)(3) ; 34; 2; 11; 3,2; \sqrt(129) ; \sqrt(5)$$
Răspuns. $7 ; 34 ; 2 ; 11$
Pe multimea numerelor naturale se introduc doua operatii aritmetice de baza - adunare si inmultire. Pentru a desemna aceste operații se folosesc, respectiv, simbolurile " + " Şi " " (sau " × " ).
Adunarea numerelor naturale
Fiecare pereche de numere naturale $n$ și $m$ este asociată cu un număr natural $s$, numit sumă. Suma $s$ este formată din câte unități există în numerele $n$ și $m$. Se spune că numărul $s$ se obține prin adăugarea numerelor $n$ și $m$, iar ele scriu
Numerele $n$ și $m$ se numesc termeni. Operația de adunare a numerelor naturale are următoarele proprietăți:
- Comutativitate: $n+m=m+n$
- Asociativitate: $(n+m)+k=n+(m+k)$
Citiți mai multe despre adăugarea numerelor urmând linkul.
Exemplu
Exercita. Aflați suma numerelor:
$13+9 \quad$ și $ \quad 27+(3+72)$
Soluţie. $13+9=22$
Pentru a calcula a doua sumă, pentru a simplifica calculele, îi aplicăm mai întâi proprietatea de asociativitate a adunării:
$$27+(3+72)=(27+3)+72=30+72=102$$
Răspuns.$13+9=22 \quad;\quad 27+(3+72)=102$
Înmulțirea numerelor naturale
Fiecare pereche ordonată de numere naturale $n$ și $m$ este asociată cu un număr natural $r$, numit produsul lor. Produsul $r$ conține atâtea unități câte sunt în numărul $n$, luate de câte ori sunt unități în numărul $m$. Se spune că numărul $r$ se obține prin înmulțirea numerelor $n$ și $m$ și se scrie
$n \cdot m=r \quad $ sau $ \quad n \times m=r$
Numerele $n$ și $m$ se numesc factori sau factori.
Operația de înmulțire a numerelor naturale are următoarele proprietăți:
- Comutativitate: $n \cdot m=m \cdot n$
- Asociativitate: $(n \cdot m) \cdot k=n \cdot(m \cdot k)$
Citiți mai multe despre înmulțirea numerelor urmând linkul.
Exemplu
Exercita. Găsiți produsul numerelor:
12$\cdot 3 \quad $ și $ \quad 7 \cdot 25 \cdot 4$
Soluţie. Prin definiția operației de înmulțire:
$$12 \cdot 3=12+12+12=36$$
Aplicăm proprietatea de asociativitate a înmulțirii celui de-al doilea produs:
$$7 \cdot 25 \cdot 4=7 \cdot(25 \cdot 4)=7 \cdot 100=700$$
Răspuns.$12 \cdot 3=36 \quad;\quad 7 \cdot 25 \cdot 4=700$
Operația de adunare și înmulțire a numerelor naturale este legată de legea distributivității înmulțirii relativ la adunare:
$$(n+m) \cdot k=n \cdot k+m \cdot k$$
Suma și produsul oricăror două numere naturale este întotdeauna un număr natural, prin urmare mulțimea tuturor numerelor naturale este închisă sub operațiile de adunare și înmulțire.
De asemenea, pe multimea numerelor naturale se pot introduce operatiile de scadere si impartire, ca operatii inverse operatiilor de adunare si respectiv inmultire. Dar aceste operații nu vor fi definite în mod unic pentru nicio pereche de numere naturale.
Proprietatea de asociativitate a înmulțirii numerelor naturale ne permite să introducem conceptul de putere naturală a unui număr natural: $n$-a putere a unui număr natural $m$ este numărul natural $k$ obținut prin înmulțirea numărului $m $ de la sine de $n$ ori:
Pentru a desemna $n$-a putere a unui număr $m$, se folosește de obicei următoarea notație: $m^(n)$, în care se numește numărul $m$ baza gradului, iar numărul $n$ este exponent.
Exemplu
Exercita. Găsiți valoarea expresiei $2^(5)$
Soluţie. Prin definiția puterii naturale a unui număr natural, această expresie poate fi scrisă după cum urmează
$$2^(5)=2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2=32$$
