Definiția even and odd. Cum se determină funcțiile pare și impare

Zerourile funcției
Zero al funcției este valoarea X, la care funcția devine 0, adică f(x)=0.

Zerourile sunt punctele de intersecție ale graficului funcției cu axa Oh.

Paritatea funcției
O funcție este apelată chiar dacă pentru oricare X din domeniul definiției, egalitatea f(-x) = f(x)

O funcție pară este simetrică față de axă OU

Funcție ciudată
O funcție se numește impar dacă pentru oricare X din domeniul definiției se satisface egalitatea f(-x) = -f(x).

O funcție impară este simetrică față de origine.
O funcție care nu este nici pară, nici impară se numește funcție generală.

Funcție de creștere
Funcția f(x) se numește crescător dacă valoarea mai mare a argumentului corespunde valorii mai mari a funcției, adică. x 2 >x 1 → f(x 2)> f(x 1)

Funcția descrescătoare
Funcția f(x) se numește descrescătoare dacă valoarea mai mare a argumentului corespunde valorii mai mici a funcției, adică. x 2 >x 1 → f(x 2)
Se numesc intervalele la care funcția fie doar scade, fie doar crește intervale de monotonie. Funcția f(x) are 3 intervale de monotonitate:
(-∞ x 1), (x 1 , x 2), (x 3 ; +∞)

Găsiți intervale de monotonitate folosind serviciul Intervalele funcțiilor crescătoare și descrescătoare

Maxim local
Punct x 0 se numește punct maxim local dacă este cazul X dintr-o vecinătate a unui punct x 0 următoarea inegalitate este valabilă: f(x 0) > f(x)

Minimum local
Punct x 0 se numește un punct minim local dacă există X dintr-o vecinătate a unui punct x 0 următoarea inegalitate este valabilă: f(x 0)< f(x).

Punctele maxime locale și punctele minime locale sunt numite puncte extreme locale.

x 1 , x 2 - puncte extreme locale.

Periodicitatea funcției
Funcția f(x) se numește periodică, cu perioadă T, dacă pentru vreunul X f(x+T) = f(x) .

Intervale de constanță
Intervalele în care funcția este fie numai pozitivă, fie numai negativă se numesc intervale de semn constant.

f(x)>0 pentru x∈(x 1 , x 2)∪(x 2 , +∞), f(x)<0 при x∈(-∞,x 1)∪(x 1 , x 2)

Continuitatea funcției
Funcția f(x) se numește continuă în punctul x 0 dacă limita funcției ca x → x 0 este egală cu valoarea funcției în acest punct, adică. .

puncte de pauză
Punctele în care condiția de continuitate este încălcată se numesc puncte de discontinuitate ale funcției.

x0- punctul limita.

Schema generală de reprezentare a funcțiilor

1. Găsiți domeniul funcției D(y).
2. Aflați punctele de intersecție ale graficului funcțiilor cu axele de coordonate.
3. Investigați funcția pentru par sau impar.
4. Investigați funcția pentru periodicitate.
5. Găsiți intervale de monotonitate și puncte extreme ale funcției.
6. Aflați intervale de convexitate și puncte de inflexiune ale funcției.
7. Găsiți asimptotele funcției.
8. Pe baza rezultatelor studiului, construiți un grafic.

Exemplu: Explorează funcția și construiește graficul acesteia: y = x 3 - 3x
8) Pe baza rezultatelor studiului, vom construi un grafic al funcției:

Inapoi inainte

Atenţie! Previzualizarea slide-ului are doar scop informativ și este posibil să nu reprezinte întreaga amploare a prezentării. Dacă sunteți interesat de această lucrare, vă rugăm să descărcați versiunea completă.

Obiective:

• să formeze conceptul de funcții pare și impare, să învețe capacitatea de a determina și de a utiliza aceste proprietăți în studiul funcțiilor, trasând grafice;
• să dezvolte activitatea creativă a elevilor, gândirea logică, capacitatea de a compara, de a generaliza;
• a cultiva hărnicia, cultura matematică; dezvolta abilitati de comunicare .

Echipament: instalare multimedia, tablă interactivă, fișe.

Forme de lucru: frontal şi grup cu elemente de căutare şi activităţi de cercetare.

Surse de informare:

1. Clasa de algebră 9 A.G. Mordkovich. Manual.
2. Algebră Clasa 9 A.G. Mordkovich. Caiet de sarcini.
3. Algebră clasa a 9-a. Sarcini de învățare și dezvoltare a elevilor. Belenkova E.Yu. Lebedintseva E.A.

ÎN CURILE CURĂRILOR

1. Moment organizatoric

Stabilirea scopurilor și obiectivelor lecției.

2. Verificarea temelor

Nr. 10.17 (Cartea cu probleme clasa a IX-a A.G. Mordkovich).

A) la = f(X), f(X) =

b) f (–2) = –3; f (0) = –1; f(5) = 69;

c) 1. D( f) = [– 2; + ∞)
2. E( f) = [– 3; + ∞)
3. f(X) = 0 pentru X ~ 0,4
4. f(X) >0 la X > 0,4 ; f(X) < 0 при – 2 < X < 0,4.
5. Funcția crește cu X € [– 2; + ∞)
6. Funcția este limitată de jos.
7. la angajare = - 3, la naib nu există
8. Funcția este continuă.

(Ați folosit algoritmul de explorare a caracteristicilor?) Slide.

2. Să verificăm tabelul care a fost întrebat pe diapozitiv.

Umple tabelul
	Domeniu	Zerourile funcției	Intervale de constanță		Coordonatele punctelor de intersecție ale graficului cu Oy
		x = -5, x = 2	х € (–5;3) U U(2;∞)	х € (–∞;–5) U U (–3;2)
	x ∞ -5, x ≠ 2		х € (–5;3) U U(2;∞)	х € (–∞;–5) U U (–3;2)
	x ≠ -5, x ≠ 2		x € (–∞; –5) U U(2;∞)	x € (–5; 2)

3. Actualizare de cunoștințe

– Sunt date funcții.
– Specificați domeniul de definiție pentru fiecare funcție.
– Comparați valoarea fiecărei funcții pentru fiecare pereche de valori de argument: 1 și – 1; 2 și - 2.
– Pentru care dintre funcțiile date în domeniul definiției sunt egalitățile f(– X) = f(X), f(– X) = – f(X)? (pune datele în tabel) Slide

		f(1) și f(– 1)	f(2) și f(– 2)	grafice	f(– X) = –f(X)	f(– X) = f(X)
1. f(X) =
2. f(X) = X 3
3. f(X) = | X |
4.f(X) = 2X – 3
5. f(X) =	X ≠ 0
6. f(X)=	X > –1		și nedefinită.

4. Material nou

- În timp ce facem această muncă, băieți, am dezvăluit încă o proprietate a funcției, necunoscută pentru dvs., dar nu mai puțin importantă decât celelalte - aceasta este uniformitatea și ciudatenia funcției. Scrieți subiectul lecției: „Funcții pare și impare”, sarcina noastră este să învățăm cum să determinăm funcțiile pare și impare, să aflăm semnificația acestei proprietăți în studiul funcțiilor și al trasării.
Deci, să găsim definițiile în manual și să citim (p. 110) . Slide

Def. unu Funcţie la = f (X) definită pe mulțimea X este numită chiar, dacă pentru orice valoare XЄ X în curs egalitatea f (–x) = f (x). Dă exemple.

Def. 2 Funcţie y = f(x), definit pe setul X este numit ciudat, dacă pentru orice valoare XЄ X egalitatea f(–х)= –f(х) este îndeplinită. Dă exemple.

Unde am întâlnit termenii „par” și „impar”?
Care dintre aceste funcții vor fi egale, crezi? De ce? Care sunt ciudate? De ce?
Pentru orice functie a formei la= x n, Unde n este un întreg, se poate argumenta că funcția este impară pentru n este impar și funcția este pară pentru n- chiar.
– Vizualizați funcțiile la= și la = 2X– 3 nu este nici par, nici impar, pentru că egalitățile nu sunt îndeplinite f(– X) = – f(X), f(– X) = f(X)

Studiul întrebării dacă o funcție este pară sau impară se numește studiul unei funcții pentru paritate. Slide

Definițiile 1 și 2 s-au ocupat de valorile funcției la x și - x, astfel încât se presupune că funcția este definită și la valoarea X, și la - X.

AOD 3. Dacă o mulțime de numere împreună cu fiecare dintre elementele sale x conține elementul opus x, atunci mulțimea X se numeste multime simetrica.

Exemple:

(–2;2), [–5;5]; (∞;∞) sunt mulțimi simetrice, iar , [–5;4] sunt nesimetrice.

- Chiar și funcțiile au un domeniu de definiție - o mulțime simetrică? Cele ciudate?
- Dacă D( f) este o mulțime asimetrică, atunci care este funcția?
– Astfel, dacă funcția la = f(X) este par sau impar, atunci domeniul său de definiție este D( f) este o mulțime simetrică. Dar este adevărat invers, dacă domeniul unei funcții este o mulțime simetrică, atunci este par sau impar?
- Deci prezența unei mulțimi simetrice a domeniului definiției este o condiție necesară, dar nu suficientă.
– Deci, cum putem investiga funcția pentru paritate? Să încercăm să scriem un algoritm.

Slide

Algoritm pentru examinarea unei funcții pentru paritate

1. Stabiliți dacă domeniul funcției este simetric. Dacă nu, atunci funcția nu este nici pară, nici impară. Dacă da, mergeți la pasul 2 al algoritmului.

2. Scrie o expresie pentru f(–X).

3. Comparați f(–X).și f(X):

• dacă f(–X).= f(X), atunci funcția este pară;
• dacă f(–X).= – f(X), atunci funcția este impară;
• dacă f(–X) ≠ f(X) și f(–X) ≠ –f(X), atunci funcția nu este nici pară, nici impară.

Exemple:

Investigați funcția pentru paritate a) la= x 5 +; b) la= ; în) la= .

Decizie.

a) h (x) \u003d x 5 +,

1) D(h) = (–∞; 0) U (0; +∞), mulţime simetrică.

2) h (- x) \u003d (-x) 5 + - x5 - \u003d - (x 5 +),

3) h (- x) \u003d - h (x) \u003d\u003e funcție h(x)= x 5 + impar.

b) y =,

la = f(X), D(f) = (–∞; –9)? (–9; +∞), mulțime asimetrică, deci funcția nu este nici pară, nici impară.

în) f(X) = , y = f(x),

1) D( f) = (–∞; 3] ≠ ; b) (∞; –2), (–4; 4]?

Opțiunea 2

1. Mulțimea dată este simetrică: a) [–2;2]; b) (∞; 0], (0; 7) ?

A); b) y \u003d x (5 - x 2). 2. Examinați funcția pentru paritate:

a) y \u003d x 2 (2x - x 3), b) y \u003d

3. În fig. complotată la = f(X), pentru toți X, îndeplinind condiția X? 0.
Trasează funcția la = f(X), dacă la = f(X) este o funcție uniformă.

3. În fig. complotată la = f(X), pentru toate x care satisface x? 0.
Trasează funcția la = f(X), dacă la = f(X) este o funcție impară.

Verificare reciprocă diapozitiv.

6. Tema pentru acasă: №11.11, 11.21,11.22;

Dovada semnificației geometrice a proprietății de paritate.

*** (Atribuirea opțiunii USE).

1. Funcția impară y \u003d f (x) este definită pe întreaga linie reală. Pentru orice valoare nenegativă a variabilei x, valoarea acestei funcții coincide cu valoarea funcției g( X) = X(X + 1)(X + 3)(X– 7). Aflați valoarea funcției h( X) = la X = 3.

7. Rezumând

Definiție 1. Funcția este numită chiar (ciudat ) dacă împreună cu fiecare valoare a variabilei
sens - X de asemenea aparține
si egalitatea

Astfel, o funcție poate fi pară sau impară numai atunci când domeniul ei de definiție este simetric față de originea pe dreapta reală (numerele Xși - X aparțin simultan
). De exemplu, funcția
nu este nici par, nici impar, deoarece domeniul său de definiție
nesimetric față de origine.

Funcţie
chiar, pentru că
simetric faţă de originea coordonatelor şi.

Funcţie
ciudat pentru că
și
.

Funcţie
nu este nici par, nici impar, deoarece deși
și este simetric față de origine, egalitățile (11.1) nu sunt îndeplinite. De exemplu,.

Graficul unei funcții pare este simetric în raport cu axa OU, deoarece dacă punctul

aparține și graficului. Graficul unei funcții impare este simetric față de origine, deoarece dacă
aparține graficului, apoi punctului
aparține și graficului.

Când se demonstrează dacă o funcție este pară sau impară, următoarele afirmații sunt utile.

Teorema 1. a) Suma a două funcții pare (impare) este o funcție pară (impare).

b) Produsul a două funcții pare (impare) este o funcție pară.

c) Produsul unei funcții par și impar este o funcție impară.

d) Dacă f este o funcție uniformă pe platou X, și funcția g definite pe platou
, apoi funcția
- chiar.

e) Dacă f este o funcție ciudată pe platou X, și funcția g definite pe platou
și par (impar), apoi funcția
- chiar ciudat).

Dovada. Să demonstrăm, de exemplu, b) și d).

b) Fie
și
sunt chiar funcții. Atunci, deci. Cazul funcțiilor impare este considerat în mod similar
și
.

d) Fie f este o funcție uniformă. Apoi.

Celelalte afirmații ale teoremei sunt dovedite în mod similar. Teorema a fost demonstrată.

Teorema 2. Orice funcție
, definit pe platou X, care este simetric față de origine, poate fi reprezentat ca suma unei funcții par și impare.

Dovada. Funcţie
poate fi scris sub forma

.

Funcţie
este chiar, pentru că
, și funcția
este ciudat pentru că. Prin urmare,
, Unde
- chiar și
este o funcție ciudată. Teorema a fost demonstrată.

Definiție 2. Funcția
numit periodic dacă există un număr
, astfel încât pentru orice
numerele
și
aparțin și domeniului definiției
și egalitățile

Un astfel de număr T numit perioadă funcții
.

Definiția 1 implică faptul că dacă T– perioada de functionare
, apoi numărul T de asemenea este perioada funcției
(pentru că la înlocuire T pe - T se menține egalitatea). Folosind metoda inducţiei matematice se poate demonstra că dacă T– perioada de functionare f, apoi și
, este, de asemenea, o perioadă. Rezultă că, dacă o funcție are o perioadă, atunci are infinit de perioade.

Definiție 3. Cea mai mică dintre perioadele pozitive ale unei funcții se numește ei principal perioadă.

Teorema 3. Dacă T este perioada principală a funcției f, atunci perioadele rămase sunt multipli ale acestuia.

Dovada. Să presupunem contrariul, adică că există o perioadă funcții f (>0), nu multiplu T. Apoi, împărțirea pe T cu restul, obținem
, Unde
. Asa de

adică – perioada de functionare f, și
, ceea ce contrazice faptul că T este perioada principală a funcției f. Din contradicția obținută decurge afirmația teoremei. Teorema a fost demonstrată.

Este bine cunoscut faptul că funcțiile trigonometrice sunt periodice. Perioada principală
și
egală
,
și
. Aflați perioada funcției
. Lasa
este perioada acestei funcții. Apoi

(la fel de
.

ororor
.

Sens T, determinată din prima egalitate, nu poate fi o perioadă, deoarece depinde de X, adică este o functie a X, nu un număr constant. Perioada se determină din a doua egalitate:
. Sunt infinite de perioade
cea mai mică perioadă pozitivă se obţine când
:
. Aceasta este perioada principală a funcției
.

Un exemplu de funcție periodică mai complexă este funcția Dirichlet

Rețineți că dacă T este un număr rațional, atunci
și
sunt numere raționale sub rațional Xși irațional când este irațional X. Asa de

pentru orice număr rațional T. Prin urmare, orice număr rațional T este perioada funcției Dirichlet. Este clar că această funcție nu are perioadă principală, deoarece există numere raționale pozitive în mod arbitrar apropiate de zero (de exemplu, un număr rațional poate fi făcut prin alegerea nîn mod arbitrar aproape de zero).

Teorema 4. Dacă funcţia f pus pe platou X si are o perioada T, și funcția g pus pe platou
, apoi funcția complexă
are si punct T.

Dovada. Avem prin urmare

adică se demonstrează afirmaţia teoremei.

De exemplu, din moment ce cos X are punct
, apoi funcțiile
au o perioadă
.

Definiție 4. Se numesc funcţiile care nu sunt periodice neperiodică .

. Pentru a face acest lucru, utilizați hârtie milimetrică sau un calculator grafic. Selectați orice număr de valori numerice pentru variabila independentă x (\displaystyle x)și conectați-le la funcția pentru a calcula valorile variabilei dependente y (\displaystyle y). Puneți coordonatele găsite ale punctelor pe planul de coordonate și apoi conectați aceste puncte pentru a construi un grafic al funcției.

• Înlocuiți valori numerice pozitive în funcție x (\displaystyle x)și valorile numerice negative corespunzătoare. De exemplu, dată o funcție f (x) = 2 x 2 + 1 (\displaystyle f(x)=2x^(2)+1). Înlocuiți următoarele valori în el x (\displaystyle x):

Verificați dacă graficul funcției este simetric față de axa y. Simetria se referă la imaginea în oglindă a graficului despre axa y. Dacă partea graficului din dreapta axei y (valorile pozitive ale variabilei independente) se potrivește cu partea din stânga axei y (valorile negative ale variabilei independente), graficul este simetric față de axa y. Dacă funcția este simetrică față de axa y, funcția este pară.

Verificați dacă graficul funcției este simetric față de origine. Originea este punctul cu coordonatele (0,0). Simetria cu privire la origine înseamnă că o valoare pozitivă y (\displaystyle y)(cu valoare pozitivă x (\displaystyle x)) corespunde unei valori negative y (\displaystyle y)(cu valoare negativă x (\displaystyle x)), si invers. Funcțiile impare au simetrie față de origine.

Verificați dacă graficul funcției are vreo simetrie. Ultimul tip de funcție este o funcție al cărei grafic nu are simetrie, adică nu există o imagine în oglindă atât față de axa y, cât și față de origine. De exemplu, dată o funcție.

• Înlocuiți mai multe valori pozitive și negative corespunzătoare în funcție x (\displaystyle x):
• Conform rezultatelor obținute, nu există simetrie. Valori y (\displaystyle y) pentru valori opuse x (\displaystyle x) nu se potrivesc si nu sunt opuse. Astfel, funcția nu este nici pară, nici impară.
• Vă rugăm să rețineți că funcția f (x) = x 2 + 2 x + 1 (\displaystyle f(x)=x^(2)+2x+1) se poate scrie asa: f (x) = (x + 1) 2 (\displaystyle f(x)=(x+1)^(2)). Scrisă în această formă, funcția pare a fi pară, deoarece există un exponent par. Dar acest exemplu demonstrează că forma unei funcții nu poate fi determinată rapid dacă variabila independentă este cuprinsă în paranteze. În acest caz, trebuie să deschideți parantezele și să analizați exponenții rezultați.

Care, într-o măsură sau alta, vă erau familiare. De asemenea, s-a remarcat acolo că stocul de proprietăți funcționale va fi completat treptat. Două proprietăți noi vor fi discutate în această secțiune.

Definiția 1.

Funcția y \u003d f (x), x є X, este numită chiar dacă pentru orice valoare x din mulțimea X, egalitatea f (-x) \u003d f (x) este adevărată.

Definiția 2.

Funcția y \u003d f (x), x є X, se numește impară dacă pentru orice valoare x din mulțimea X, egalitatea f (-x) \u003d -f (x) este adevărată.

Demonstrați că y = x 4 este o funcție pară.

Decizie. Avem: f (x) \u003d x 4, f (-x) \u003d (-x) 4. Dar (-x) 4 = x 4 . Prin urmare, pentru orice x, egalitatea f (-x) = f (x), i.e. funcția este egală.

În mod similar, se poate demonstra că funcțiile y - x 2, y \u003d x 6, y - x 8 sunt pare.

Demonstrați că y = x 3 este o funcție impară.

Decizie. Avem: f (x) \u003d x 3, f (-x) \u003d (-x) 3. Dar (-x) 3 = -x 3 . Prin urmare, pentru orice x, egalitatea f (-x) \u003d -f (x), adică. functia este impara.

În mod similar, se poate dovedi că funcțiile y \u003d x, y \u003d x 5, y \u003d x 7 sunt impare.

Tu și cu mine ne-am convins în mod repetat că termenii noi din matematică au cel mai adesea o origine „pământească”, adică. ele pot fi explicate într-un fel. Acesta este cazul atât pentru funcțiile pare, cât și pentru cele impare. Vezi: y - x 3, y \u003d x 5, y \u003d x 7 sunt funcții impare, în timp ce y \u003d x 2, y \u003d x 4, y \u003d x 6 sunt funcții pare. Și, în general, pentru orice funcție de forma y \u003d x "(mai jos vom studia în mod specific aceste funcții), unde n este un număr natural, putem concluziona: dacă n este un număr impar, atunci funcția y \u003d x " este ciudat; dacă n este un număr par, atunci funcția y = xn este pară.

Există și funcții care nu sunt nici pare, nici impare. Astfel, de exemplu, este funcția y \u003d 2x + 3. Într-adevăr, f (1) \u003d 5 și f (-1) \u003d 1. După cum puteți vedea, aici, prin urmare, nici identitatea f (-x ) \u003d f ( x), nici identitatea f(-x) = -f(x).

Deci, o funcție poate fi pară, impară sau nici una.

Studiul întrebării dacă o funcție dată este pară sau impară se numește de obicei studiul funcției pentru paritate.

Definițiile 1 și 2 se referă la valorile funcției în punctele x și -x. Aceasta presupune că funcția este definită atât în ​​punctul x, cât și în punctul -x. Aceasta înseamnă că punctul -x aparține domeniului funcției în același timp cu punctul x. Dacă o mulțime numerică X împreună cu fiecare dintre elementele sale x conține elementul opus -x, atunci X se numește mulțime simetrică. Să presupunem (-2, 2), [-5, 5], (-oo, +oo) sunt mulțimi simetrice, în timp ce )