Obiectivul lecției:
- Introduceți conceptul de fiabil, imposibil și evenimente aleatorii.
- Pentru a dezvolta cunoștințe și abilități în determinarea tipului de evenimente.
- Dezvoltați: abilități de calcul; Atenţie; capacitatea de a analiza, a raționa, a trage concluzii;
abilități de lucru în grup.
Progresul lecției
1) Moment organizatoric.
Exercițiu interactiv: copiii trebuie să rezolve exemple și să descifreze cuvinte pe baza rezultatelor, acestea sunt împărțite în grupuri (adevărate, imposibile și aleatoare) și stabilesc tema lecției;
| 0,5 | 1,6 | 12,6 | 5,2 | 7,5 | 8 | 5,2 | 2,08 | 0,5 | 9,54 | 1,6 |
1 card.
| 0,5 | 2,1 | 14,5 | 1,9 | 2,1 | 20,4 | 14 | 1,6 | 5,08 | 8,94 | 14 |
2 card
| 5 | 2,4 | 6,7 | 4,7 | 8,1 | 18 | 40 | 9,54 | 0,78 |
3 card
2) Actualizarea cunoștințelor învățate.
Jocul „Clap”: număr par - clap, număr impar - ridicați-vă. Misiunea: de la această serie
numerele 42, 35, 8, 9, 7, 10, 543, 88, 56, 13, 31, 77, ... determină par și impar.
3) Studierea unui subiect nou.
Sunt cuburi pe mesele tale. Să le aruncăm o privire mai atentă. Ce vezi?
Unde se folosesc zarurile? Cum?
Lucrați în grupuri.
Efectuarea unui experiment.
Ce predicții poți face când arunci un zar? Prima previziune:
va apărea unul dintre numerele 1,2,3,4,5 sau 6. Se numește un eveniment care se va întâmpla cu siguranță într-o anumită experiență.
de încredere A doua predicție:
va apărea numărul 7.
Crezi că evenimentul prezis se va întâmpla sau nu?
Acest lucru este imposibil! Se numește un eveniment care nu poate avea loc într-o anumită experiență
imposibil. A treia predicție:
va apărea numărul 1.
Se va întâmpla acest eveniment? Se numește un eveniment care poate sau nu să apară într-o anumită experiență.
aleatoriu
4) Consolidarea materialului studiat.
-I. Determinați tipul evenimentului
Mâine va ninge roșu.
Mâine va ninge abundent.
Mâine, deși este iulie, va ninge.
Mâine, deși este iulie, nu va fi ninsoare.
Mâine va ninge și va fi viscol.
II. Adaugă un cuvânt la această propoziție în așa fel încât evenimentul să devină imposibil.
Kolya a primit A în istorie.
Sasha nu a finalizat nicio sarcină la test.
Oksana Mikhailovna (profesor de istorie) va explica un nou subiect.
III. Dați exemple de evenimente imposibile, aleatorii și de încredere.
Descrieți evenimentele discutate în sarcinile de mai jos ca fiind de încredere, imposibile sau aleatorii.
Nr. 959. Petya a plănuit număr natural. Evenimentul este după cum urmează:
a) se intenționează un număr par;
b) se intenționează un număr impar;
c) este conceput un număr care nu este nici par, nici impar;
d) este conceput un număr par sau impar.
Nr. 960. Ai deschis acest manual pe orice pagină și ai ales primul substantiv care a apărut. Evenimentul este după cum urmează:
a) există o vocală în ortografia cuvântului selectat;
b) ortografia cuvântului selectat conține litera „o”;
c) nu există vocale în ortografia cuvântului selectat;
d) există un semn moale în ortografia cuvântului selectat.
Rezolvați nr. 961, nr. 964.
Discuție despre sarcinile rezolvate.
5) Reflecție.
1. Despre ce evenimente ai aflat în lecție?
2. Indicați care dintre ele evenimentele viitoare sigur, ce imposibil și ce aleatoriu:
O) vacantele de vara nu va fi;
b) sandvișul va cădea cu untul în jos;
V) an universitar se va termina vreodată.
6) Tema pentru acasă:
Vino cu două evenimente de încredere, aleatorii și imposibile.
Faceți un desen pentru unul dintre ei.
clasa a 5-a. Introducere în probabilitate (4 ore)
(dezvoltarea a 4 lecții pe această temă)
Obiectivele de învățare : - introduceți definiția unui eveniment aleatoriu, de încredere și imposibil;
Oferiți primele idei despre rezolvarea problemelor combinatorii: utilizarea unui arbore de opțiuni și utilizarea regulii înmulțirii.
Scop educativ: dezvoltarea viziunii despre lume a elevilor.
Scop de dezvoltare : dezvoltarea imaginației spațiale, îmbunătățirea abilității de a lucra cu o riglă.
Evenimente de încredere, imposibile și aleatorii (2 ore)
Probleme combinatorii (2 ore)
Evenimente de încredere, imposibile și aleatorii.
Prima lectie
Echipament pentru lecție: zaruri, monede, table.
Viața noastră constă în mare parte din accidente. Există o știință precum „Teoria probabilității”. Folosind limbajul său, puteți descrie multe fenomene și situații.
Chiar și liderul primitiv a înțeles că o duzină de vânători aveau o „probabilitate” mai mare de a lovi un zimbră cu o suliță decât unul. De aceea vânau colectiv pe atunci.
Comandanți antici precum Alexandru cel Mare sau Dmitri Donskoy, pregătindu-se de luptă, s-au bazat nu numai pe vitejia și arta războinicilor, ci și pe întâmplare.
Mulți oameni iubesc matematica pentru adevărurile eterne: de două ori doi este întotdeauna patru, suma numerelor pare este pară, aria unui dreptunghi este egală cu produsul laturilor sale adiacente etc. În orice problemă pe care o rezolvați, toată lumea primește același răspuns - trebuie doar să nu faci greșeli în decizie.
Viața reală nu este atât de simplă și directă. Rezultatul multor evenimente nu poate fi prezis din timp. Este imposibil, de exemplu, să spunem cu siguranță ce față va ateriza o monedă aruncată în sus când anul viitor prima ninsoare va cădea sau câți oameni din oraș vor dori să dea un telefon în următoarea oră. Se numesc astfel de evenimente imprevizibile aleatoriu .
Totuși, întâmplarea are și propriile sale legi, care încep să se manifeste atunci când fenomenele întâmplătoare se repetă de multe ori. Dacă aruncați o monedă de 1000 de ori, aceasta va apărea capete aproximativ jumătate din timp, ceea ce nu este cazul cu două sau chiar zece aruncări. „Aproximativ” nu înseamnă jumătate. În general, acest lucru poate fi sau nu cazul. Legea nu prevede nimic sigur, dar oferă un anumit grad de încredere că un eveniment întâmplător va avea loc. Astfel de modele sunt studiate de o ramură specială a matematicii - Teoria probabilității . Cu ajutorul lui, poți prezice cu un grad mai mare de încredere (dar încă nu cu siguranță) atât data primei ninsori, cât și numărul de apeluri telefonice.
Teoria probabilității este indisolubil legată de viața noastră de zi cu zi. Acest lucru ne oferă o oportunitate minunată de a stabili multe legi probabilistice experimental, repetând experimente aleatorii de multe ori. Materialele pentru aceste experimente vor fi cel mai adesea o monedă obișnuită, un zar, un set de piese de domino, table, ruleta sau chiar un pachet de cărți. Fiecare dintre aceste elemente este legat de jocuri într-un fel sau altul. Cert este că cazul apare aici în forma sa cea mai frecventă. Iar primele sarcini probabilistice au fost legate de evaluarea șanselor de câștig ale jucătorilor.
Teoria modernă a probabilității s-a îndepărtat de jocurile de noroc, dar recuzita ei rămân încă cea mai simplă și de încredere sursă de șansă. După ce te-ai exersat cu o ruletă și un zar, vei învăța să calculezi probabilitatea unor evenimente aleatoare în situații din viața reală, ceea ce îți va permite să-ți evaluezi șansele de reușită, să testezi ipoteze și să iei decizii optime nu numai în jocuri și loterie.
Când rezolvați probleme probabilistice, fiți foarte atenți, încercați să justificați fiecare pas pe care îl faceți, pentru că nicio altă zonă a matematicii nu conține atât de multe paradoxuri. Ca și teoria probabilității. Și poate că principala explicație pentru aceasta este legătura sa cu lumea reală în care trăim.
Multe jocuri folosesc un zar cu un număr diferit de puncte de la 1 la 6 marcate pe fiecare parte Jucătorul aruncă zarul, se uită la câte puncte apar (pe partea care este situată deasupra) și face numărul corespunzător de mișcări. : 1,2,3 ,4,5, sau 6. Aruncarea unui zar poate fi considerată o experiență, un experiment, un test, iar rezultatul obținut poate fi considerat un eveniment. Oamenii sunt de obicei foarte interesați să ghicească apariția acestui sau aceluia eveniment și să prezică rezultatul acestuia. Ce predicții pot face atunci când aruncă zarurile? Prima previziune: va apărea unul dintre numerele 1,2,3,4,5 sau 6. Crezi că evenimentul prezis se va întâmpla sau nu? Desigur, va veni cu siguranță. Se numește un eveniment care se va întâmpla cu siguranță într-o anumită experiență un eveniment de încredere.
A doua predicție : va apărea numărul 7 Crezi că evenimentul prezis se va întâmpla sau nu? Bineînțeles că nu se va întâmpla, este pur și simplu imposibil. Se numește un eveniment care nu poate avea loc într-o anumită experiență eveniment imposibil.
A treia predicție : va apărea numărul 1. Crezi că s-a întâmplat sau nu? Nu putem răspunde la această întrebare cu deplină certitudine, deoarece evenimentul prezis poate să apară sau nu. Se numește un eveniment care poate sau nu să apară într-o anumită experiență un eveniment aleatoriu.
Exercita : Descrieți evenimentele discutate în sarcinile de mai jos. Ca sigur, imposibil sau întâmplător.
Să aruncăm o monedă. A apărut o stemă. (aleatoriu)
Vânătorul a tras în lup și l-a lovit.
(aleatoriu)
Şcolarul iese la plimbare în fiecare seară. În timp ce mergea luni, s-a întâlnit cu trei cunoscuți.
(aleatoriu)
Să realizăm mental următorul experiment: întoarce un pahar cu apă cu susul în jos. Dacă acest experiment se desfășoară nu în spațiu, ci acasă sau într-o sală de clasă, atunci apa se va vărsa.
(de încredere)
№959. Trei focuri de foc au fost trase în țintă.” Au fost cinci lovituri" (imposibil)
Aruncă piatra în sus. Piatra rămâne atârnată în aer. (imposibil)
Rearanjam literele cuvântului „antagonism” la întâmplare.
Rezultatul este cuvântul „anacroism”. (imposibil)
№ 961. Petya s-a gândit la un număr natural. Evenimentul este după cum urmează:
a) zilele lor de naștere nu coincid; (aleatorie) b) zilele lor de naștere sunt aceleași; (aleatoriu)
d) ambele zile de naștere cad de sărbători - Anul Nou (1 ianuarie) și Ziua Independenței Ruse (12 iunie). (aleatoriu)
№ 962. Când joci table, se folosesc două zaruri. Numărul de mișcări pe care le face un participant la joc este determinat prin adăugarea numerelor de pe cele două părți ale cubului care cad și dacă se aruncă un „dublu” (1 + 1,2 + 2,3 + 3,4 + 4,5 + 5,6 + 6) ), apoi numărul de mutări se dublează. Dai zarurile și îți dai seama câte mișcări trebuie să faci. Evenimentul este după cum urmează:
a) trebuie să faci o singură mișcare; b) trebuie sa faci 7 miscari;
c) trebuie sa faci 24 de miscari;
d) trebuie sa faci 13 miscari.
a) – imposibil (se poate face 1 mutare dacă se aruncă combinația 1 + 0, dar nu există un număr 0 pe zar).
b) – aleatoriu (dacă se aruncă 1 + 6 sau 2 + 5).
c) – aleatoriu (dacă apare combinația 6 +6).
d) – imposibil (nu există combinații de numere de la 1 la 6, a căror sumă este 13; acest număr nu poate fi obținut nici măcar când se aruncă un „dublu”, deoarece este impar).
Testează-te. (dictat matematic)
1) Indicați care dintre următoarele evenimente sunt imposibile, care sunt de încredere, care sunt aleatorii:
Meciul de fotbal „Spartak” - „Dinamo” se va încheia la egalitate. (aleatoriu)
Veți câștiga participând la o loterie câștig-câștig (de încredere)
Zăpada va cădea la miezul nopții și soarele va străluci 24 de ore mai târziu. (imposibil)
Mâine va fi un test de matematică.
(aleatoriu)
Veți fi ales președinte al Statelor Unite.
(imposibil)
Veți fi ales președinte al Rusiei.
(aleatoriu)
2) Ați cumpărat un televizor dintr-un magazin, pentru care producătorul oferă o garanție de doi ani. Care dintre următoarele evenimente sunt imposibile, care sunt aleatorii, care sunt de încredere:
Televizorul nu se va rupe timp de un an.
(aleatoriu)
Televizorul nu se va sparge timp de doi ani.
(aleatoriu)
Nu va trebui să plătiți pentru reparațiile televizorului timp de doi ani. (de încredere)
Televizorul se va sparge în al treilea an.
(aleatoriu)
3) Un autobuz care transportă 15 pasageri trebuie să facă 10 opriri. Care dintre următoarele evenimente sunt imposibile, care sunt aleatorii, care sunt de încredere: : p. 53 nr. 960, 963, 965 (veniți singur cu două evenimente de încredere, aleatorii și imposibile).
A doua lectie.
Examinare teme pentru acasă. (oral)
a) Explicați ce sunt evenimentele certe, aleatorii și imposibile.
b) Indicați care dintre următoarele evenimente este de încredere, care este imposibil, care este aleatoriu:
Nu vor fi vacanțe de vară.
(imposibil)
Sandvișul va cădea cu untul în jos.
(aleatoriu)
Anul școlar se va încheia într-o zi.
№ 960. (de încredere)
Mă vor întreba mâine în clasă.
(aleatoriu)
Voi întâlni o pisică neagră astăzi.
(aleatoriu)
№ 963. Ai deschis acest manual pe orice pagină și ai ales primul substantiv care a apărut. Evenimentul este după cum urmează:
a) există o vocală în ortografia cuvântului selectat. ((de încredere)
b) ortografia cuvântului ales conține litera „o”. (aleatoriu)
c) nu există vocale în ortografia cuvântului selectat. (imposibil)
d) există un semn moale în ortografia cuvântului selectat. (aleatoriu)
Jucați table din nou. Descrieți următorul eveniment:
№ 964. a) jucătorul nu trebuie să facă mai mult de două mișcări. (imposibil - cu o combinație a celor mai mici numere 1 + 1 jucătorul face 4 mutări; o combinație de 1 + 2 dă 3 mutări; toate celelalte combinații dau mai mult de 3 mutări)
b) jucătorul trebuie să facă mai mult de două mișcări. (de încredere - orice combinație dă 3 sau mai multe mișcări)
c) jucătorul nu trebuie să facă mai mult de 24 de mutări. (de încredere - combinația celor mai mari numere 6 + 6 dă 24 de mișcări, iar toate celelalte dau mai puțin de 24 de mișcări)
d) jucătorul trebuie să facă un număr de două cifre de mutări. (aleatoriu – de exemplu, combinația 2 + 3 oferă un număr de mișcări cu o singură cifră: 5, iar rostogolirea a două patru paturi dă un număr de două cifre de mișcări)
2. Rezolvarea problemelor.
Într-o pungă sunt 10 bile: 3 albastre, 3 albe și 4 roșii. Descrieți următorul eveniment: a) S-au scos 4 bile din pungă și toate sunt albastre;
(imposibil)
b) s-au scos 4 bile din pungă și toate sunt roșii;
(aleatoriu)
c) s-au scos 4 bile din pungă și toate s-au dovedit a fi de culori diferite;
(imposibil)
d) S-au scos din pungă 4 bile, iar printre ele nu era nicio bilă neagră. (de încredere)
Sarcina 1. Winnie the Pooh, Purcelul și toată lumea - toată lumea - toată lumea se așează la masa rotundă pentru a-și sărbători ziua de naștere. La ce număr dintre toate - toate - toate este de încredere evenimentul „Winnie the Pooh și Purcelul stând unul lângă celălalt” și la ce număr este aleatoriu?
(dacă există doar 1 dintre toate - toate - toate, atunci evenimentul este de încredere, dacă există mai mult de 1, atunci este aleatoriu).
Sarcina 3. Dintre 100 de bilete de loterie de caritate, 20 sunt câștigătoare Câte bilete trebuie să cumpărați pentru a face imposibil evenimentul „nu veți câștiga nimic”.
Sarcina 4. În clasă sunt 10 băieți și 20 de fete. Care dintre următoarele evenimente sunt imposibile pentru această clasă, care sunt aleatorii, care sunt de încredere
Sunt doi oameni în clasă care s-au născut în luni diferite. (aleatoriu)
Sunt doi oameni în clasă care s-au născut în aceeași lună. (de încredere)
În clasă sunt doi băieți care s-au născut în aceeași lună. (aleatoriu)
În clasă sunt două fete care s-au născut în aceeași lună. (de încredere)
Toți băieții s-au născut în luni diferite.
(de încredere)
Toate fetele s-au născut în luni diferite.
(aleatoriu)
Există un băiat și o fată născuți în aceeași lună. (aleatoriu) Există un băiat și o fată născuți în luni diferite. (aleatoriu)
Sarcina 5.
În cutie sunt 3 bile roșii, 3 galbene și 3 verzi. Scoatem 4 bile la întâmplare. Luați în considerare evenimentul „Printre bile extrase vor fi bile de exact M culori.” Pentru fiecare M de la 1 la 4, determinați ce fel de eveniment este - imposibil, de încredere sau aleatoriu și completați tabelul:Munca independentă.
eu
opţiune
a) numărul de naștere al prietenului tău este mai mic de 32;
c) mâine va avea loc o probă la matematică;
d) Anul viitor prima ninsoare la Moscova va cădea duminică.
Aruncarea unui zar. Descrie evenimentul:
a) cubul, căzut, va sta pe marginea lui;
b) va apărea unul dintre numere: 1, 2, 3, 4, 5, 6;
c) va apărea numărul 6;
d) un număr care este multiplu de 7 va fi aruncat.
O cutie conține 3 bile roșii, 3 galbene și 3 verzi. Descrie evenimentul:
a) toate bilele extrase sunt de aceeași culoare;
b) toate bilele extrase sunt de culori diferite;
c) printre bile extrase se află bile de diferite culori;Munca independentă.
c) printre bilele extrase se află o minge roșie, galbenă și verde.
II
Descrieți evenimentul în cauză ca fiind de încredere, imposibil sau accidental:
a) un sandviș care cade de pe masă va cădea cu fața în jos pe podea; b) la Moscova va cădea zăpadă la miezul nopții, iar după 24 de ore va străluci soarele;;
c) vei câștiga participând la
loterie câștig-câștig
a) era un zero pe card;
b) pe card era un număr multiplu de 5;
c) pe card era un număr multiplu de 100;
d) pe card era un număr mai mare de 9 și mai mic de 100.
Cutia conține 10 pixuri roșii, 1 verde și 2 albastre. Două obiecte sunt extrase la întâmplare din cutie. Descrie evenimentul:
a) se scot două pixuri albastre;
b) se scot două pixuri roșii;
c) se scot două mânere verzi;
d) se scot mânerele verzi și negre.
Teme pentru acasă: 1). Vino cu două evenimente de încredere, aleatorii și imposibile.
2). Sarcină . În cutie sunt 3 bile roșii, 3 galbene și 3 verzi. Tragem N bile la întâmplare. Luați în considerare evenimentul „printre bile extrase vor fi bile de exact trei culori”. Pentru fiecare N de la 1 la 9, determinați ce fel de eveniment este - imposibil, de încredere sau aleatoriu și completați tabelul:
Probleme combinatorii.
Prima lectie
Verificarea temelor.
(oral)
a) verificăm problemele cu care au venit elevii.
b) o sarcină suplimentară.
Citesc un fragment din cartea lui V. Levshin „Trei zile în Karlikania”.
3 + 1 + 2 + 4 = 10
4 + 1 + 3 + 2 = 10
„La început, pe sunetele unui vals lin, numerele formau un grup: 1 + 3 + 4 + 2 = 10. Apoi tinerii patinatori au început să-și schimbe locurile, formând tot mai multe grupuri noi: 2 + 3 + 4 + 1 = 10
1 + 4 + 2 + 3 = 10 etc.
Acest lucru a continuat până când patinatorii s-au întors la poziția de start.”
De câte ori au schimbat locul? Astăzi la clasă vom învăța cum să rezolvăm astfel de probleme. Sunt numiti
combinatorie.
3. Studierea materialelor noi. Sarcina 1.
Câte numere din două cifre pot fi făcute din numerele 1, 2, 3? 11, 12, 13
Soluţie:
31, 32, 33. 9 numere în total. Astăzi la clasă vom învăța cum să rezolvăm astfel de probleme. Sunt numiti Când am rezolvat această problemă, am căutat prin toate opțiunile posibile sau, așa cum se spune de obicei în aceste cazuri. Toate combinațiile posibile. Prin urmare, astfel de probleme sunt numite
№ 967. Trebuie să calculați opțiunile posibile (sau imposibile) în viață destul de des, așa că este util să vă familiarizați cu problemele combinatorii.
Mai multe țări au decis să folosească simboluri pentru drapelul lor național sub forma a trei dungi orizontale de aceeași lățime în culori diferite - alb, albastru, roșu. Câte țări pot folosi astfel de simboluri, cu condiția ca fiecare țară să aibă propriul ei steag? Soluţie.
Să presupunem că prima dungă este albă. Apoi, a doua dungă poate fi albastră sau roșie, iar a treia dungă, respectiv, roșie sau albastră. Avem două opțiuni: alb, albastru, roșu sau alb, roșu, albastru.
Lasă prima dungă să fie roșie, apoi mai sunt două opțiuni: roșu, alb, albastru sau roșu, albastru, alb.
Au fost 6 opțiuni posibile în total. Acest steag poate fi folosit de 6 țări.
Deci, atunci când am rezolvat această problemă, am căutat o modalitate de a enumera opțiunile posibile. În multe cazuri, se dovedește a fi util să construiești o imagine - o diagramă a opțiunilor de enumerare. Acest lucru este, în primul rând, clar în al doilea rând, ne permite să ținem cont de totul și să nu pierdem nimic.
Această diagramă este numită și arbore de opțiuni posibile.
Prima pagină
A doua dungă
A treia bandă
Combinația rezultată
№ 968. Câte numere din două cifre pot fi făcute din numerele 1, 2, 4, 6, 8?
Mai multe țări au decis să folosească simboluri pentru drapelul lor național sub forma a trei dungi orizontale de aceeași lățime în culori diferite - alb, albastru, roșu. Câte țări pot folosi astfel de simboluri, cu condiția ca fiecare țară să aibă propriul ei steag? Pentru numerele de două cifre care ne interesează, primul loc poate fi oricare dintre cifrele date, cu excepția 0. Dacă punem numărul 2 pe primul loc, atunci oricare dintre cifrele date poate fi pe locul doi. Veți obține cinci numere din două cifre: 2.,22, 24, 26, 28. În același mod, vor fi cinci numere din două cifre cu prima cifră 4, cinci numere din două cifre cu prima cifră 6 și cinci numere din două cifre cu prima cifră 8.
Răspuns: Vor fi 20 de numere în total.
Să construim un arbore cu opțiuni posibile pentru a rezolva această problemă.
Cifre duble
Prima cifră
A doua cifră
Numerele primite
20, 22, 24, 26, 28, 60, 62, 64, 66, 68,
40, 42, 44, 46, 48, 80, 82, 84, 86, 88.
Rezolvați următoarele probleme construind un arbore cu opțiuni posibile.
№ 971. Conducerea unei anumite țări a decis să-și facă steagul național să arate astfel: pe un fundal dreptunghiular cu o singură culoare, un cerc de altă culoare este plasat într-unul dintre colțuri. S-a decis alegerea culorilor dintre trei posibile: roșu, galben, verde. Câte variante ale acestui steag?
exista? Figura prezintă câteva dintre opțiunile posibile.
Răspuns: 24 de opțiuni.
№ 973. a) Câte numere din trei cifre pot fi făcute din numerele 1,3, 5,? (27 de numere)
b) Câte numere din trei cifre se pot face din numerele 1,3, 5, cu condiția ca numerele să nu se repete?
№ 979. (6 numere)
Pentatleții moderni participă la competiții în cinci sporturi pe parcursul a două zile: sărituri, scrimă, înot, tir și alergare.
a) Câte variante există pentru ordinea finalizării tipurilor de concurs?
(120 de opțiuni)
№ 981. b) Câte opțiuni există pentru ordinea evenimentelor din competiție, dacă se știe că ultimul eveniment ar trebui să se desfășoare? (24 opțiuni)
a) câte combinații diferite de bile extrase există (combinațiile precum „alb - roșu” și „roșu - alb” sunt considerate la fel)?
(15 combinatii)
b) Câte combinații există în care bilele extrase sunt de aceeași culoare?
(5 combinatii)
c) câte combinații există în care bilele extrase sunt de culori diferite?
(15 – 5 = 10 combinații)
Teme pentru acasă: p. 54, nr. 969, 972, veniți singuri cu o problemă combinatorie.
№ 969. Mai multe țări au decis să folosească simboluri pentru steagul lor național sub forma a trei dungi verticale de aceeași lățime în culori diferite: verde, negru, galben. Câte țări pot folosi astfel de simboluri, cu condiția ca fiecare țară să aibă propriul ei steag?
№ 972. a) Câte numere din două cifre se pot forma din numerele 1, 3, 5, 7, 9?
b) Câte numere din două cifre se pot face din numerele 1, 3, 5, 7, 9, cu condiția ca numerele să nu se repete?
A doua lectie
Verificarea temelor. a) Nr. 969 și Nr. 972a) și Nr. 972b) - construiți un arbore de opțiuni posibile pe tablă.
b) verificăm oral sarcinile îndeplinite.
Rezolvarea problemelor.
Deci, înainte de aceasta, am învățat cum să rezolvăm probleme combinatorii folosind un arbore de opțiuni. Este aceasta o modalitate bună? Probabil că da, dar foarte greoaie. Să încercăm să rezolvăm problema temei nr. 972 altfel. Cine poate ghici cum se poate face asta?
Răspuns: Pentru fiecare dintre cele cinci culori de tricouri există 4 culori de chiloți. Total: 4 * 5 = 20 de opțiuni.
№ 980. Urnele conțin cinci bile fiecare în cinci culori diferite: alb, albastru, roșu, galben, verde. Din fiecare urnă se extrage câte o minge o dată. Descrieți următorul eveniment ca fiind sigur, accidental sau imposibil:
a) scoase bile de diferite culori; (aleatoriu)
b) bile scoase de aceeași culoare;
(aleatoriu)
c) se trag bile albe-negre; (imposibil)
№ 982. d) se trag două bile, ambele colorate cu una din următoarele culori: alb, albastru, roșu, galben, verde. (de încredere)
Un grup de turiști intenționează să facă drumeții pe traseul Antonovo - Borisovo - Vlasovo - Gribovo. De la Antonovo la Borisovo poți să faci pluta pe râu sau să mergi pe jos. De la Borisovo la Vlasovo puteți merge pe jos sau cu bicicleta. De la Vlasovo la Gribovo puteți înota de-a lungul râului, puteți merge cu bicicleta sau puteți merge pe jos. Din câte opțiuni de drumeție pot alege turiștii? Câte opțiuni de drumeții pot alege turiștii, cu condiția să folosească bicicletele pe cel puțin o parte a traseului?
Sarcina 5.
(12 opțiuni de traseu, 8 dintre ele folosind biciclete)
a) Câte numere din trei cifre pot fi făcute din cifrele: 0, 1, 3, 5, 7?
b) Câte numere din trei cifre se pot face din cifre: 0, 1, 3, 5, 7, cu condiția ca cifrele să nu se repete?
Athos, Porthos și Aramis au doar o sabie, un pumnal și un pistol.
a) În câte moduri pot fi înarmați muschetarii?
b) Câte opțiuni de arme există dacă Aramis trebuie să mânuiască o sabie?
c) Câte opțiuni de arme există dacă Aramis trebuie să mânuiască sabia și Porthos trebuie să mânuiască pistolul?
Undeva Dumnezeu i-a trimis lui Raven o bucată de brânză, precum și brânză feta, cârnați, pâine albă și neagră. Cocoțată pe un molid, cioara era aproape gata să ia micul dejun, dar a început să se gândească: în câte moduri pot fi făcute sandvișuri din aceste produse?
Opțiunea 2
a) Câte numere din trei cifre pot fi făcute din cifrele: 0, 2, 4, 6, 8?
b) Câte numere din trei cifre se pot face din cifre: 0, 2, 4, 6, 8, cu condiția ca cifrele să nu se repete?
Contele Monte Cristo a decis să-i dea prințesei Hayde cercei, un colier și o brățară. Fiecare bijuterie trebuie să conțină unul dintre următoarele tipuri de pietre prețioase: diamante, rubine sau granate.
a) Câte opțiuni există pentru combinarea bijuteriilor din pietre prețioase?
b) Câte opțiuni de bijuterii există dacă cerceii ar trebui să fie cu diamante?
c) Câte opțiuni de bijuterii există dacă cerceii ar trebui să fie cu diamante și brățara să fie granat?
Pentru micul dejun puteți alege o chiflă, sandviș sau turtă dulce cu cafea sau chefir. Câte opțiuni de mic dejun poți crea?
3) Un autobuz care transportă 15 pasageri trebuie să facă 10 opriri. Care dintre următoarele evenimente sunt imposibile, care sunt aleatorii, care sunt de încredere: : Nr. 974, 975. (prin compilarea unui arbore de opțiuni și folosind regula înmulțirii)
№ 974 . a) Câte numere din trei cifre pot fi făcute din numerele 0, 2, 4?
b) Câte numere din trei cifre se pot face din numerele 0, 2, 4, cu condiția ca numerele să nu se repete?
№ 975 . a) Câte numere din trei cifre pot fi făcute din numerele 1,3, 5,7?
b) Câte numere de trei cifre se pot face din numerele 1,3, 5,7 cu condiția. Ce numere nu trebuie repetate?
Numerele problemei luate din manual
„Matematică-5”, I.I. Zubareva, A.G. Mordkovici, 2004.
Evenimentele (fenomenele) pe care le observăm pot fi împărțite în următoarele trei tipuri: de încredere, imposibil și aleatoriu.
De încredere numiți un eveniment care va avea loc cu siguranță dacă un anumit set de condiții S este îndeplinit De exemplu, dacă un vas conține apă la presiunea atmosferică normală și o temperatură de 20°, atunci evenimentul „apa din vas este la. stare lichidă„Există ceva de încredere. În acest exemplu, dat presiunea atmosfericăși temperatura apei constituie un set de condiții S.
Imposibil ei numesc un eveniment care cu siguranță nu se va întâmpla dacă setul de condiții S este îndeplinit. De exemplu, evenimentul „apa din vas este în stare solidă” cu siguranță nu se va întâmpla dacă setul de condiții din exemplul anterior este îndeplinit.
Aleatoriu numiți un eveniment care, atunci când un set de condiții S este îndeplinit, poate apărea sau nu. De exemplu, dacă o monedă este aruncată, aceasta poate cădea astfel încât să existe fie o stemă, fie o inscripție deasupra. Prin urmare, evenimentul „când aruncați o monedă, „steama” a căzut este aleatoriu. Fiecare eveniment aleatoriu, în special apariția unei „steme”, este o consecință a acțiunii mai multor cauze aleatorii (în exemplul nostru: forța cu care a fost aruncată moneda, forma monedei și multe altele) . Este imposibil să se țină cont de influența tuturor acestor motive asupra rezultatului, deoarece numărul lor este foarte mare și legile acțiunii lor sunt necunoscute. Prin urmare, teoria probabilității nu își pune sarcina de a prezice dacă un singur eveniment va avea loc sau nu - pur și simplu nu poate face acest lucru.
Situația este diferită dacă luăm în considerare evenimente aleatoare care pot fi observate în mod repetat atunci când sunt îndeplinite aceleași condiții S, adică dacă vorbim de evenimente aleatoare omogene masive. Rezultă că un număr suficient de mare de evenimente aleatoare omogene, indiferent de natura lor specifică, sunt supuse anumitor tipare, și anume tipare probabilistice. Teoria probabilității este preocupată de stabilirea acestor tipare.
Astfel, subiectul teoriei probabilităților este studiul tiparelor probabilistice ale evenimentelor aleatoare omogene în masă.
Metodele teoriei probabilităților sunt utilizate pe scară largă în diferite ramuri ale științelor naturale și ale tehnologiei. Teoria probabilității servește și la fundamentarea statisticilor matematice și aplicate.
Tipuri de evenimente aleatorii. Evenimentele sunt numite incompatibil, dacă apariția unuia dintre ele exclude apariția altor evenimente în cadrul aceluiași proces.
Exemplu. Se aruncă o monedă. Aspectul „stemei” exclude aspectul inscripției. Evenimentele „a apărut o stemă” și „a apărut o inscripție” sunt incompatibile.
Se formează mai multe evenimente grup complet, dacă cel puțin unul dintre ele apare în urma testului. În special, dacă evenimentele care formează un grup complet sunt inconsecvente între perechi, atunci testul va avea ca rezultat unul și numai unul dintre aceste evenimente. Acest caz particular este de cel mai mare interes pentru noi, deoarece va fi folosit în continuare.
Exemplul 2. Au fost achiziționate două bilete de loterie în numerar și îmbrăcăminte. Unul și doar unul dintre următoarele evenimente se va întâmpla cu siguranță: „câștigurile au căzut pe primul bilet și nu au căzut pe al doilea”, „câștigurile nu au căzut pe primul bilet și au scăzut pe al doilea”, „câștigurile au scăzut pe ambele bilete”, a căzut „nu au existat câștiguri la ambele bilete”. Aceste evenimente formează un grup complet de evenimente incompatibile în perechi.
Exemplul 3. Tragatorul a tras in tinta. Unul dintre următoarele două evenimente se va întâmpla cu siguranță: hit, miss. Aceste două evenimente incompatibile formează un grup complet.
Evenimentele sunt numite la fel de posibil, dacă există motive să credem că niciunul dintre ele nu este mai posibil decât celălalt.
Exemplul 4. Apariția unei „steme” și apariția unei inscripții la aruncarea unei monede sunt evenimente la fel de posibile. Într-adevăr, se presupune că moneda este realizată dintr-un material omogen, are o formă cilindrică obișnuită, iar prezența baterii nu afectează pierderea uneia sau alteia fețe a monedei.
Sunt notat cu majuscule ale alfabetului latin: A, B, C,.. A 1, A 2..
Opusii sunt două tipuri de mutine posibile, care formează un grup complet. Dacă unul dintre cei doi este de sex opus. evenimentele sunt desemnate de A, apoi o altă desemnare este A`.
Exemplul 5. Loviți și ratați când trageți la o țintă - câmp opus. personal
Teoria probabilității, ca orice ramură a matematicii, operează cu o anumită gamă de concepte. Majoritatea conceptelor teoriei probabilităților au o definiție, dar unele sunt considerate primare, nedefinite, cum ar fi un punct, o dreaptă, un plan în geometrie. Conceptul principal al teoriei probabilităților este un eveniment. Un eveniment este înțeles ca ceva despre care, după un anumit moment în timp, se poate spune unul și doar unul din două lucruri:
- · Da, sa întâmplat.
- · Nu, nu sa întâmplat.
De exemplu, am un bilet de loterie. După ce sunt publicate rezultatele loteriei, evenimentul care mă interesează - câștigul a o mie de ruble - fie are loc, fie nu are loc. Orice eveniment are loc ca urmare a unui test (sau experiență). Un test (sau experiență) se referă la acele condiții în urma cărora are loc un eveniment. De exemplu, aruncarea unei monede este un test, iar apariția unei „steme” pe ea este un eveniment. Un eveniment este de obicei notat cu majuscule latine: A,B,C,…. Evenimentele din lumea materială pot fi împărțite în trei categorii - de încredere, imposibil și aleatoriu.
Un anumit eveniment este un eveniment despre care se știe dinainte că are loc. Este notat cu litera W. Astfel, este de încredere să nu aruncați mai mult de șase puncte atunci când aruncați un zaruri, aspectul unei bile albe atunci când este scoasă dintr-o urna care conține doar bile albe etc.
Un eveniment imposibil este un eveniment care este cunoscut dinainte și care nu se va întâmpla. Este notat cu litera E. Exemple de evenimente imposibile sunt extragerea a mai mult de patru ași dintr-un pachet obișnuit de cărți, extragerea unei mingi roșii dintr-o urna care conține doar bile albe și negre etc.
Un eveniment aleatoriu este un eveniment care poate să apară sau nu ca urmare a unui test. Evenimentele A și B sunt numite incompatibile dacă apariția unuia dintre ele exclude posibilitatea apariției celuilalt. Astfel, apariția oricărui număr posibil de puncte la aruncarea unui zar (evenimentul A) este incompatibilă cu apariția unui alt număr (evenimentul B). Obținerea unui număr par de puncte este incompatibilă cu obținerea unui număr impar. Dimpotrivă, aruncarea unui număr par de puncte (evenimentul A) și a unui număr de puncte care este un multiplu de trei (evenimentul B) nu va fi incompatibilă, deoarece apariția a șase puncte înseamnă apariția atât a evenimentului A, cât și a evenimentului B, deci apariţia unuia dintre ele nu exclude apariţia celuilalt. Puteți efectua operațiuni pe evenimente. Unirea a două evenimente C=AUB este un eveniment C care are loc dacă și numai dacă are loc cel puțin unul dintre aceste evenimente A și B Intersecția a două evenimente D=A?? B este un eveniment care are loc dacă și numai dacă apar ambele evenimente A și B.
