Un eveniment este rezultatul unui test. Ce este un eveniment? O minge este extrasă la întâmplare din urnă. Scoaterea unei mingi dintr-o urna este un test. Apariția unei mingi de o anumită culoare este un eveniment. În teoria probabilității, un eveniment este înțeles ca ceva despre care, după un anumit moment de timp, se poate spune unul și doar unul dintre cele două. Da, sa întâmplat. Nu, nu sa întâmplat. Rezultatul posibil al unui experiment se numește eveniment elementar, iar setul de astfel de rezultate se numește simplu eveniment.
Evenimentele imprevizibile se numesc aleatoare. Un eveniment se numește aleatoriu dacă, în aceleași condiții, poate să apară sau nu. Lansarea unui zar va avea ca rezultat un șase. Am un bilet de loterie. După publicarea rezultatelor extragerii la loterie, evenimentul care mă interesează - câștigul a o mie de ruble, fie are loc, fie nu are loc. Exemplu.
Două evenimente care, în condiții date, pot avea loc simultan se numesc articulare, iar cele care nu pot avea loc simultan se numesc incompatibile. Se aruncă o monedă. Aspectul „stemei” exclude aspectul inscripției. Evenimentele „a apărut o stemă” și „a apărut o inscripție” sunt incompatibile. Exemplu.
Un eveniment care se întâmplă întotdeauna se numește cert. Un eveniment care nu se poate întâmpla se numește imposibil. Să presupunem, de exemplu, că o minge este extrasă dintr-o urnă care conține doar bile negre. Atunci apariția unei mingi negre este un anumit eveniment; apariția unei mingi albe este un eveniment imposibil. Exemple. LA anul urmator zăpada nu va cădea. Când aruncați un zar, va apărea un șapte. Acestea sunt evenimente imposibile. Zăpada va cădea anul viitor. Lansarea zarului va avea ca rezultat un număr mai mic de șapte. Răsărit zilnic. Acestea sunt evenimente reale.
Rezolvarea problemelor Pentru fiecare dintre evenimentele descrise, determinați ce este: imposibil, sigur sau aleatoriu. 1. Din cei 25 de elevi din clasă, doi își serbează ziua de naștere a) 30 ianuarie; b) 30 februarie. 2. Un manual de literatură este deschis aleatoriu și al doilea cuvânt se găsește pe pagina din stânga. Acest cuvânt începe: a) cu litera „K”; b) cu litera „b”.
3. Astăzi la Soci barometrul arată normal Presiunea atmosferică. În acest caz: a) apa din tigaie fiartă la temperatura de 80°C; b) când temperatura a scăzut la -5º C, apa din baltă a înghețat. 4. Aruncați două zaruri: a) 3 puncte pe primul zar, și 5 puncte pe al doilea; b) suma punctelor de pe cele două zaruri este egală cu 1; c) suma punctelor aruncate pe cele două zaruri este 13; d) 3 puncte la ambele zaruri; e) suma punctelor de pe două zaruri este mai mică de 15. Rezolvarea problemelor
5. Ai deschis cartea la orice pagină și ai citit primul substantiv pe care l-ai întâlnit. S-a dovedit că: a) există o vocală în grafia cuvântului ales; b) în ortografia cuvântului selectat există litera „O”; c) nu există vocale în grafia cuvântului ales; d) ortografia cuvântului ales are semn moale. Rezolvarea problemelor
1.1. Câteva informații din combinatorică
1.1.1. Cazare
Luați în considerare cele mai simple concepte legate de selecția și locația unui anumit set de obiecte.
Numărarea numărului de moduri în care aceste acțiuni pot fi efectuate se face adesea atunci când se rezolvă probleme probabilistice.
Definiție. Cazare de la n elemente prin k (k ≤n) este orice subset ordonat al k elemente ale unui set format din n diverse elemente.
Exemplu. Următoarele secvențe de numere sunt aranjamente a 2 elemente din 3 elemente ale mulțimii (1;2;3): 12, 13, 23, 21, 31, 32.
Rețineți că plasamentele diferă în ordinea elementelor constitutive și compoziția lor. Locațiile 12 și 21 conțin aceleași numere, dar ordinea lor este diferită. Prin urmare, aceste plasări sunt considerate diferite.
Numărul de destinații de plasare diferite de la n elemente prin k notat și calculat prin formula:
,
Unde n! = 1∙2∙...∙(n - 1)∙n(citit " n factoriale).
Numărul numerelor din două cifre care pot fi alcătuite din cifrele 1, 2, 3, cu condiția să nu se repete nicio cifră este: .
1.1.2. Permutări
Definiție. Permutări din n elementele sunt numite astfel de plasări din n elemente care diferă doar prin dispunerea elementelor.
Numărul de permutări de la n elemente P n calculat prin formula: P n=n!
Exemplu.În câte moduri se pot alinia 5 persoane? Numărul de moduri este egal cu numărul de permutări a 5 elemente, adică.
P 5 =5!=1∙2∙3∙4∙5=120.
Definiție. Dacă printre n elemente k identice, apoi permutarea acestora n elemente se numește permutare cu repetări.
Exemplu. Să presupunem că dintre 6 cărți 2 sunt la fel. Orice aranjare a tuturor cărților de pe raft este o permutare cu repetări.
Numărul de permutări diferite cu repetări (din n elemente, printre care k identic) se calculează prin formula: .
În exemplul nostru, numărul de moduri în care cărțile pot fi aranjate pe un raft este: .
1.1.3. Combinații
Definiție. Combinatii din n elemente prin k se numesc astfel de plasamente n elemente prin k, care diferă unele de altele prin cel puțin un element.
Numărul de combinații diferite de n elemente prin k notat şi calculat prin formula: .
Prin definiție, 0!=1.
Combinațiile au următoarele proprietăți:
1.
2.
3.
4.
Exemplu. Sunt 5 flori de culori diferite. Pentru un buchet sunt selectate 3 flori. Numărul de buchete diferite de 3 flori din 5 este: .
1.2. evenimente aleatorii
1.2.1. Evenimente
Cunoașterea realității în științele naturii are loc ca urmare a testelor (experiment, observație, experiență).
Test
sau experiența este implementarea unui set specific de condiții care pot fi reproduse de un număr arbitrar de mare de ori.
Aleatoriu
numit un eveniment care poate sau nu să apară ca urmare a unui test (experiență).
Astfel, evenimentul este considerat ca rezultat al unui test.
Exemplu. Aruncarea unei monede este un test. Apariția unui vultur atunci când este aruncat este un eveniment.
Evenimentele pe care le observăm diferă prin gradul de posibilitate a producerii lor și prin natura relației lor.
Evenimentul este numit de încredere
dacă este sigur că va apărea în urma testului.
Exemplu. Un student care primește o notă pozitivă sau negativă la un examen este un anumit eveniment dacă examenul se desfășoară conform regulilor obișnuite.
Evenimentul este numit imposibil
dacă nu poate apărea în urma acestui test.
Exemplu. Extragerea unei bile albe dintr-o urna care contine doar bile colorate (nealbe) este un eveniment imposibil. Rețineți că în alte condiții ale experimentului nu este exclusă apariția unei mingi albe; astfel, acest eveniment este imposibil doar în condițiile experienței noastre.
În plus, evenimentele aleatoare vor fi notate cu limba latină mare literele A,B,C... Un eveniment sigur va fi notat cu litera Ω, un eveniment imposibil cu Ø.
Două sau mai multe evenimente sunt numite la fel de posibil
într-un anumit test, dacă există motive să credem că niciunul dintre aceste evenimente nu este mai probabil sau mai puțin probabil decât altele.
Exemplu. Cu o singură aruncare de zar, apariția a 1, 2, 3, 4, 5 și 6 puncte sunt toate evenimente la fel de posibile. Se presupune, desigur, că matrița este realizată dintr-un material omogen și are forma corectă.
Cele două evenimente sunt numite incompatibil
într-un proces dat, dacă apariția unuia dintre ele exclude apariția celuilalt și comun
in caz contrar.
Exemplu. Cutia conține piese standard și non-standard. Să luăm un detaliu. Aspectul unei piese standard exclude aspectul unei piese nestandard. Aceste evenimente sunt incompatibile.
Se formează mai multe evenimente grup complet de evenimente
în acest test, dacă în urma acestei încercări apare în mod necesar cel puțin unul dintre ele.
Exemplu. Evenimentele din exemplu formează un grup complet de evenimente la fel de posibile și incompatibile în perechi.
Sunt numite două evenimente disjunse care formează un grup complet de evenimente într-un proces dat evenimente opuse.
Dacă unul dintre ele este notat cu A, apoi celălalt este de obicei notat prin (se citește „nu A»).
Exemplu. Lovirea și ratarea cu o lovitură la o țintă sunt evenimente opuse.
1.2.2. Definiția clasică a probabilității
Probabilitatea evenimentului
este o măsură numerică a posibilității apariției sale.
Eveniment DAR numit favorabil
eveniment LA dacă ori de câte ori are loc un eveniment DAR, evenimentul are loc LA.
Evenimente DAR 1 , DAR 2 , ..., DARn formă diagrama de caz
, dacă ei:
1) sunt la fel de posibile;
2) sunt incompatibile perechi;
3) formați un grup complet.
În schema cazurilor (și numai în această schemă) are loc definiția clasică a probabilității P(A) evenimente DAR. Aici, fiecare dintre evenimentele aparținând grupului complet selectat de evenimente la fel de posibile și incompatibile între perechi se numește caz.
În cazul în care un n este numărul tuturor cazurilor din schemă și m- numărul de cazuri favorabile evenimentului DAR, apoi probabilitatea evenimentului
DAR este definit de egalitatea:
Următoarele proprietăți rezultă din definiția probabilității:
1. Probabilitate eveniment sigur este egal cu unu.
Într-adevăr, dacă un eveniment este cert, atunci fiecare apariție din schema de apariții favorizează evenimentul. În acest caz m = nși, prin urmare 
2. Probabilitatea unui eveniment imposibil este zero.
Într-adevăr, dacă evenimentul este imposibil, atunci niciunul dintre cazurile din schema cauzelor nu favorizează evenimentul. Asa de m=0 și, prin urmare, 
Probabilitatea unui eveniment aleatoriu este un număr pozitiv între zero și unu.
Într-adevăr, un eveniment aleatoriu este favorizat doar de o parte din numărul total cazuri din diagrama de caz. Prin urmare 0<m<n, ceea ce înseamnă 0<m/n<1 и, следовательно, 0 < P(A) < 1.
Deci, probabilitatea oricărui eveniment satisface inegalitățile
0 ≤ P(A) ≤ 1.
În prezent, proprietățile probabilității sunt definite sub forma unor axiome formulate de A.N. Kolmogorov.
Unul dintre principalele avantaje ale definiției clasice a probabilității este capacitatea de a calcula probabilitatea unui eveniment în mod direct, i.e. fără a recurge la experimente, care sunt înlocuite de raționament logic.
Probleme de calcul direct al probabilităţilor
Sarcina 1.1. Care este probabilitatea de a obține un număr par de puncte (evenimentul A) într-o singură aruncare a unui zar?
Decizie. Luați în considerare evenimentele DARi- abandonat i puncte, i= 1, 2, …, 6. Evident, aceste evenimente formează un tipar de cazuri. Apoi numărul tuturor cazurilor n= 6. Un număr par de puncte este favorizat de cazuri DAR 2 , DAR 4 , DAR 6, adică m= 3. Apoi 
.
Sarcina 1.2. O urna contine 5 bile albe si 10 negre. Bilele se amestecă bine și apoi se scoate 1 minge la întâmplare. Care este probabilitatea ca mingea extrasă să fie albă?
Decizie. Sunt 15 cazuri în total, care formează tiparul cazurilor. Și evenimentul așteptat DAR- aspectul unei mingi albe este favorizat de 5 dintre ei, asadar 
.
Sarcina 1.3. Copilul se joacă cu șase litere ale alfabetului: A, A, E, K, P, T. Găsiți probabilitatea ca el să poată adăuga aleatoriu cuvântul CARUS (evenimentul A).
Decizie. Decizia este complicată de faptul că printre litere sunt aceleași - două litere „A”. Prin urmare, numărul tuturor cazurilor posibile din acest proces este egal cu numărul de permutări cu repetări de 6 litere:
.
Aceste cazuri sunt la fel de posibile, incompatibile perechi și formează un grup complet de evenimente, de ex. formați o diagramă de caz. O singură șansă favorizează evenimentul DAR. Asa de
.
Sarcina 1.4. Tanya și Vanya au convenit să sărbătorească Anul Nou într-o companie de 10 persoane. Amândoi își doreau foarte mult să stea unul lângă celălalt. Care este probabilitatea ca dorința lor să se împlinească dacă se obișnuiește să se împartă locurile între prietenii lor prin tragere la sorți?
Decizie. Notează prin DAR eveniment „împlinirea dorinței lui Tanya și Vanya”. 10 persoane pot sta la o masă de 10! căi diferite. Câte dintre acestea n= 10! sunt modalități la fel de posibile favorabile pentru Tanya și Vanya? Tanya și Vanya, stând una lângă alta, pot lua 20 de poziții diferite. În același timp, opt dintre prietenii lor pot sta la masa 8! moduri diferite, deci m= 20∙8!. Prin urmare, 
.
Sarcina 1.5. Un grup de 5 femei și 20 de bărbați selectează trei delegați. Presupunând că fiecare dintre cei prezenți este la fel de probabil să fie ales, găsiți probabilitatea ca două femei și un bărbat să fie aleși.
Decizie. Numărul total de rezultate la fel de probabile ale testului este egal cu numărul de moduri în care trei delegați pot fi aleși din 25 de persoane, de ex. . Să calculăm acum numărul de cazuri favorabile, i.e. de câte ori apare evenimentul de interes. Delegatul masculin poate fi ales în douăzeci de moduri. În același timp, restul de două delegate trebuie să fie femei și puteți alege două femei din cinci. Prin urmare, . Asa de
.
Problema 1.6. Patru bile sunt împrăștiate aleatoriu pe patru găuri, fiecare bilă cade într-una sau alta gaură cu aceeași probabilitate și independent de celelalte (nu există obstacole pentru a introduce mai multe bile în aceeași gaură). Găsiți probabilitatea ca într-una dintre găuri să fie trei bile, una în cealaltă și nicio bile în celelalte două găuri.
Decizie. Numărul total de cazuri n=4 4 . Numărul de moduri în care poate fi aleasă o gaură, unde vor fi trei bile, . Numărul de moduri în care puteți alege gaura în care va fi o minge, . Numărul de moduri în care puteți alege trei bile din patru bile pentru a le pune în prima gaură, . Numărul total de cazuri favorabile . Probabilitatea evenimentului: 
Problema 1.7.În cutie sunt 10 bile identice, marcate cu numerele 1, 2, ..., 10. Se extrag șase bile pentru noroc. Aflați probabilitatea ca printre bilele extrase să fie: a) bila nr.1; b) bilele #1 și #2.
Decizie. a) Numărul total de rezultate elementare posibile ale testului este egal cu numărul de moduri în care pot fi extrase șase bile din zece, adică.
Să aflăm numărul de rezultate care favorizează evenimentul care ne interesează: printre cele șase bile selectate se află bila nr. 1 și, în consecință, celelalte cinci bile au numere diferite. Numărul de astfel de rezultate este în mod evident egal cu numărul de moduri în care cinci bile pot fi selectate dintre celelalte nouă, adică.
Probabilitatea dorită este egală cu raportul dintre numărul de rezultate care favorizează evenimentul luat în considerare și numărul total de rezultate elementare posibile:
b) Numărul de rezultate care favorizează evenimentul care ne interesează (dintre bilele selectate există bilele nr. 1 și nr. 2, prin urmare, patru bile au numere diferite) este egal cu numărul de moduri în care patru bile pot fi extras din restul de opt, i.e. Probabilitatea dorită 
1.2.3. Probabilitate statistică
Definiția statistică a probabilității este utilizată atunci când rezultatele unui experiment nu sunt la fel de probabile.
Frecvența relativă a evenimentelor
DAR este definit de egalitatea:
,
Unde m este numărul de încercări în care evenimentul DAR a venit n este numărul total de teste efectuate.
J. Bernoulli a demonstrat că, cu o creștere nelimitată a numărului de experimente, frecvența relativă a apariției unui eveniment va diferi practic în mod arbitrar de un număr constant. S-a dovedit că acest număr constant este probabilitatea apariției unui eveniment. Prin urmare, în mod firesc, frecvența relativă a apariției unui eveniment cu un număr suficient de mare de încercări se numește probabilitate statistică, spre deosebire de probabilitatea introdusă anterior.
Exemplul 1.8. Cum poți aproxima numărul de pești dintr-un lac?
Lasă în lac X peşte. Aruncăm rețeaua și, să zicem, găsim în ea n peşte. Îl marchem pe fiecare și îl eliberăm înapoi. Câteva zile mai târziu, pe aceeași vreme și în același loc, aruncăm aceeași plasă. Să presupunem că găsim m pești în el, printre care k etichetat. Lasă evenimentul DAR- „Peștele prins este etichetat”. Apoi, prin definiția frecvenței relative.
Dar dacă în lac X pește și l-am eliberat n etichetat, apoi .
La fel de R * (DAR) » R(DAR), apoi .
1.2.4. Operațiuni pe evenimente. Teorema adunării
sumă, sau o unire, a mai multor evenimente este un eveniment constând în producerea a cel puțin unuia dintre aceste evenimente (în același test).
Sumă DAR 1 + DAR 2 + … + DARn notat astfel: 
sau 
.
Exemplu. Se aruncă două zaruri. Lasă evenimentul DAR constă în aruncarea a 4 puncte pe 1 zar și evenimentul LA- într-o aruncare de 5 puncte pe un alt zar. Evenimente DARși LA comun. Prin urmare evenimentul DAR +LA constă în aruncarea a 4 puncte pe primul zar sau 5 puncte pe al doilea zar sau 4 puncte pe primul zar și 5 puncte pe al doilea zar în același timp.
Exemplu. Eveniment DAR– câștig la 1 împrumut, eveniment LA- câștigă la 2 împrumuturi. Apoi evenimentul A+B- câștigarea a cel puțin un împrumut (eventual două deodată).
muncă sau intersecţia mai multor evenimente este un eveniment constând în producerea în comun a tuturor acestor evenimente (în acelaşi test).
Muncă LA evenimente DAR 1 , DAR 2 , …, DARn notat astfel:
.
Exemplu. Evenimente DARși LA constau în parcurgerea cu succes a rundelor I, respectiv a II-a, la admiterea în institut. Apoi evenimentul DAR×B constă în parcurgerea cu succes a ambelor runde.
Conceptele de sumă și produs al evenimentelor au o interpretare geometrică clară. Lasă evenimentul DAR există o lovitură de punct în zonă DAR, și evenimentul LA- lovirea unui punct în zonă LA. Apoi evenimentul A+B există o lovitură de punct în unirea acestor zone (Fig. 2.1) și evenimentul DARLA există o lovire a unui punct în intersecția acestor zone (Fig. 2.2).
Orez. 2.1 Fig. 2.2
Teorema. Dacă evenimentele Ai(i = 1, 2, …, n) sunt incompatibile perechi, atunci probabilitatea sumei evenimentelor este egală cu suma probabilităților acestor evenimente: 
.
Lasa DARși Ā
– evenimente opuse, i.e. A + a= Ω, unde Ω este un anumit eveniment. Din teorema adunării rezultă că
P(Ω) = R(DAR) + R(Ā
) = 1, prin urmare
R(Ā
) = 1 – R(DAR).
Dacă evenimentele DAR 1 și DAR 2 sunt comune, atunci probabilitatea sumei a două evenimente comune este egală cu:
R(DAR 1 + DAR 2) = R(DAR 1) + R(DAR 2) – P( DAR 1× DAR 2).
Teoremele de adunare a probabilităților fac posibilă trecerea de la un calcul direct al probabilităților la determinarea probabilităților de apariție a evenimentelor complexe.
Sarcina 1.8. Trăgătorul trage o singură lovitură în țintă. Probabilitatea de a elimina 10 puncte (eveniment DAR), 9 puncte (eveniment LA) și 8 puncte (eveniment Cu) sunt egale cu 0,11, respectiv; 0,23; 0,17. Găsiți probabilitatea ca, cu o singură lovitură, trăgătorul să marcheze mai puțin de 8 puncte (eveniment D).
Decizie. Să trecem la evenimentul opus - cu o singură lovitură, trăgătorul va elimina cel puțin 8 puncte. Evenimentul are loc dacă DAR sau LA, sau Cu, adică . De la evenimente A, B, Cu sunt inconsistente pe perechi, atunci, prin teorema de adunare,
, Unde .
Sarcina 1.9. Din echipa brigăzii, formată din 6 bărbați și 4 femei, pentru conferința sindicală sunt selectate două persoane. Care este probabilitatea ca cel puțin o femeie dintre aleși (evenimentul DAR).
Decizie. Dacă se întâmplă un eveniment DAR, atunci va avea loc în mod necesar unul dintre următoarele evenimente incompatibile: LA- „se aleg un bărbat și o femeie”; Cu„Au fost alese două femei.” Prin urmare, putem scrie: A=B+C. Găsiți probabilitatea evenimentelor LAși Cu. Două persoane din 10 pot fi alese în diferite moduri. Două femei din 4 pot fi alese în moduri. Mascul și femela pot fi aleși în moduri 6×4. Apoi . De la evenimente LAși Cu sunt inconsistente, atunci, prin teorema adunării,
P(A) = P(B + C) = P(B) + P(C) = 8/15 + 2/15 = 2/3.
Problema 1.10. Există 15 manuale aranjate aleatoriu pe un raft în bibliotecă, dintre care cinci sunt legate. Bibliotecarul ia la întâmplare trei manuale. Găsiți probabilitatea ca cel puțin unul dintre manualele luate să fie legat (eveniment DAR).
Decizie. Prima cale. Cerința - cel puțin unul dintre cele trei manuale legate luate - va fi îndeplinită dacă apare oricare dintre următoarele trei evenimente incompatibile: LA- 1 manual legat Cu- două manuale legate D- Trei manuale legate.
Eveniment care ne interesează DAR poate fi reprezentat ca o sumă de evenimente: A=B+C+D. Prin teorema adunării,
P(A) = P(B) + P(C) + P(D). (2.1)
Găsiți probabilitatea evenimentelor B, Cși D(vezi scheme combinatorii): 
Reprezentând aceste probabilități în egalitate (2.1), obținem în final
P(A)= 45/91 + 20/91 + 2/91 = 67/91.
A doua cale. Eveniment DAR(cel puțin unul dintre cele trei manuale luate are legătură) și Ā
(niciunul din manualele luate nu are legătură) sunt opuse, așadar P(A) + P(Â) = 1 (suma probabilităților a două evenimente opuse este egală cu 1). De aici P(A) = 1 – P(a). Probabilitatea apariției unui eveniment Ā
(niciunul din manualele luate nu este legat)
Probabilitatea dorită
P(A) = 1 – P(Â) = 1 – 24/91 = 67/91.
1.2.5. Probabilitate condițională. Teorema înmulțirii probabilităților
Probabilitate condițională P(B/DAR) este probabilitatea evenimentului B, calculată din ipoteza că evenimentul A a avut deja loc.
Teorema. Probabilitatea apariției comune a două evenimente este egală cu produsul dintre probabilitățile unuia dintre ele și probabilitatea condiționată a celuilalt, calculată din ipoteza că primul eveniment a avut deja loc:
P(A∙B) = P(A)∙P( LA/DAR). (2.2)
Două evenimente sunt numite independente dacă apariția unuia dintre ele nu modifică probabilitatea de apariție a celuilalt, i.e.
P(A) = P(A/B) sau P(B) = P(B/DAR). (2.3)
Dacă evenimentele DARși LA sunt independente, atunci formulele (2.2) și (2.3) implică
P(A∙B) = P(A)∙P(B). (2.4)
Afirmația inversă este de asemenea adevărată, adică. dacă egalitatea (2.4) este valabilă pentru două evenimente, atunci aceste evenimente sunt independente. Într-adevăr, formulele (2.4) și (2.2) implică
P(A∙B) = P(A)∙P(B) = P(A) × P(B/DAR), Unde P(A) = P(B/DAR).
Formula (2.2) poate fi generalizată la cazul unui număr finit de evenimente DAR 1 , DAR 2 ,…,A n:
P(A 1 ∙DAR 2 ∙…∙A n)=P(A 1)∙P(A 2 /DAR 1)∙P(A 3 /DAR 1 DAR 2)∙…∙Tigaie/DAR 1 DAR 2 …A n -1).
Sarcina 1.11. Dintr-o urnă care conține 5 bile albe și 10 bile negre, se desenează două bile pe rând. Găsiți probabilitatea ca ambele bile să fie albe (eveniment DAR).
Decizie. Luați în considerare evenimentele: LA- prima bila extrasa este alba; Cu– a doua minge extrasă este albă. Apoi A = BC.
Experiența poate fi realizată în două moduri:
1) cu retur: dupa fixarea culorii, bila trasa este returnata in urna. În acest caz, evenimentele LAși Cu independent:
P(A) = P(B)∙P(C) = 5/15 × 5/15 = 1/9;
2) fără înlocuire: mingea extrasă este pusă deoparte. În acest caz, evenimentele LAși Cu dependent:
P(A) = P(B)∙P(C/LA).
Pentru un eveniment LA conditiile sunt aceleasi, iar pentru Cu situatia s-a schimbat. S-a întâmplat LA, deci au rămas 14 bile în urnă, dintre care 4 sunt albe.
Asa de, .
Sarcina 1.12. Dintre cele 50 de becuri, 3 sunt nestandard. Găsiți probabilitatea ca două becuri luate în același timp să nu fie standard.
Decizie. Luați în considerare evenimentele: DAR- primul bec este nestandard, LA- al doilea bec este nestandard, Cu- ambele becuri sunt nestandard. Este clar că C = A∙LA. eveniment DAR favorizează 3 cazuri din 50 posibile, adică P(A) = 3/50. Dacă evenimentul DAR sa întâmplat deja, evenimentul LA favorizează două cazuri din 49 posibile, adică P(B/DAR) = 2/49. Prin urmare,
.
Sarcina 1.13. Doi sportivi trag în mod independent la aceeași țintă. Probabilitatea de a lovi ținta primului atlet este de 0,7, iar al doilea este de 0,8. Care este probabilitatea ca ținta să fie lovită?
Decizie. Ținta va fi lovită dacă primul trăgător, sau al doilea, sau ambele o lovesc, de exemplu. se va întâmpla un eveniment A+B, unde evenimentul DAR constă în lovirea țintei de către primul sportiv, și evenimentul LA- al doilea. Apoi
P(A+LA)=P(A)+P(B)–P(A∙LA)=0, 7+0, 8–0, 7∙0,8=0,94.
Problema 1.14.În sala de lectură există șase manuale despre teoria probabilității, dintre care trei sunt legate. Bibliotecarul a luat la întâmplare două manuale. Găsiți probabilitatea ca două manuale să fie legate.
Decizie. Să introducem notarea evenimentelor : A– primul manual luat are o legare, LA- Al doilea manual este legat. Probabilitatea ca primul manual să aibă o legare,
P(A) = 3/6 = 1/2.
Probabilitatea ca al doilea manual să fie legat, având în vedere că prima carte luată a fost legată, i.e. probabilitatea condiționată a unui eveniment LA, este acesta: P(B/DAR) = 2/5.
Probabilitatea dorită ca ambele manuale să aibă o legare, conform teoremei înmulțirii pentru probabilitățile evenimentelor, este egală cu
P(AB) = P(A) ∙ P(B/DAR)= 1/2 ∙ 2/5 = 0,2.
Problema 1.15.În magazin sunt angajați 7 bărbați și 3 femei. Trei persoane au fost alese aleatoriu în funcție de numărul de personal. Găsiți probabilitatea ca toate persoanele selectate să fie bărbați.
Decizie. Să introducem notarea evenimentelor: A- bărbatul ales primul LA- al doilea bărbat selectat, CU - al treilea bărbat ales. Probabilitatea ca un bărbat să fie selectat primul P(A) = 7/10.
Probabilitatea ca un bărbat să fie selectat al doilea, cu condiția ca un bărbat să fi fost deja selectat primul, adică probabilitatea condiționată a unui eveniment LA Următorul : P(B/A) = 6/9 = 2/3.
Probabilitatea ca un bărbat să fie selectat al treilea, cu condiția ca doi bărbați să fi fost deja selectați, i.e. probabilitatea condiționată a unui eveniment Cu este: P(C/AB) = 5/8.
Probabilitatea dorită ca toate cele trei persoane selectate să fie bărbați, P(ABC) = P(A) P(B/DAR) P(C/AB) = 7/10 2/3 5/8 = 7/24.
1.2.6. Formula probabilității totale și formula Bayes
Lasa B 1 , B 2 ,…, B n sunt evenimente incompatibile perechi (ipoteze) și DAR- un eveniment care poate avea loc numai în legătură cu unul dintre ele.
Anunță-ne și nouă Р(B i) și P(A/B i) (i = 1, 2, …, n).
În aceste condiții, formulele sunt valabile: 
(2.5)
(2.6)
Formula (2.5) se numește formula probabilității totale
. Acesta calculează probabilitatea unui eveniment DAR(probabilitate totală).
Formula (2.6) se numește Formula Bayes
. Vă permite să recalculați probabilitățile ipotezelor dacă evenimentul DAR s-a întâmplat.
La compilarea exemplelor, este convenabil să se ia în considerare că ipotezele formează un grup complet.
Sarcina 1.16. Coșul conține mere de la patru pomi din același soi. Din primul - 15% din toate merele, din al doilea - 35%, din al treilea - 20%, din al patrulea - 30%. Merele coapte sunt respectiv 99%, 97%, 98%, 95%.
a) Care este probabilitatea ca un măr ales la întâmplare să fie copt? DAR).
b) Cu condiția ca un măr luat la întâmplare să fie copt, calculați probabilitatea ca acesta să fie din primul copac.
Decizie. a) Avem 4 ipoteze:
B 1 - se ia un mar luat la intamplare din primul pom;
B 2 - se ia un mar luat la intamplare din al 2-lea pom;
B 3 - se ia un mar luat la intamplare din al 3-lea pom;
B 4 - un măr luat la întâmplare este luat din al 4-lea copac.
Probabilitățile lor în funcție de condiție: P(B 1) = 0,15; P(B 2) = 0,35; P(B 3) = 0,2; P(B 4) = 0,3.
Probabilități de evenimente condiționate DAR:
P(A/B 1) = 0,99; P(A/B 2) = 0,97; P(A/B 3) = 0,98; P(A/B 4) = 0,95.
Probabilitatea ca un măr ales la întâmplare să fie copt se găsește prin formula probabilității totale:
P(A)=P(B 1)∙P(A/B 1)+P(B 2)∙P(A/B 2)+P(B 3)∙P(A/B 3)+P(B 4)∙P(A/B 4)=0,969.
b) Formula Bayes pentru cazul nostru are forma: 
.
Problema 1.17. O bilă albă este aruncată într-o urnă care conține două bile, după care o bilă este extrasă la întâmplare. Găsiți probabilitatea ca bila extrasă să fie albă dacă toate ipotezele posibile despre compoziția inițială a bilelor (după culoare) sunt la fel de posibile.
Decizie. Notează prin DAR eveniment - se extrage o minge albă. Sunt posibile următoarele ipoteze (ipoteze) despre compoziția inițială a bilelor: B1 fara bile albe ÎN 2- o bila alba IN 3- două bile albe.
Deoarece sunt trei ipoteze în total, iar suma probabilităților ipotezelor este egală cu 1 (deoarece formează un grup complet de evenimente), atunci probabilitatea fiecărei ipoteze este egală cu 1/3, adică.
P(B 1) = P(B 2)= P(B 3) = 1/3.
Probabilitatea condiționată ca o bilă albă să fie extrasă, având în vedere că inițial nu au existat bile albe în urnă, P(A/B 1)=1/3. Probabilitatea condiționată ca o bilă albă să fie extrasă, având în vedere că urna conținea inițial o bilă albă, P(A/B 2)=2/3. Probabilitatea condiționată ca o bilă albă să fie extrasă, având în vedere că inițial urna conținea două bile albe. P(A/B 3)=3/ 3=1.
Probabilitatea dorită ca o bilă albă să fie extrasă se găsește prin formula probabilității totale:
R(DAR)=P(B 1)∙P(A/B 1)+P(B 2)∙P(A/B 2)+P(B 3)∙P(A/B 3)=1/3 1/3+1/3 2/3+1/3 1=2/3 .
Sarcina 1.18. Două mașini produc aceleași piese care sunt alimentate la un transportor comun. Performanța primei mașini este de două ori mai mare decât a celei de-a doua. Prima mașină produce în medie 60% din piese de calitate excelentă, iar a doua - 84%. Piesa luată la întâmplare de pe linia de asamblare s-a dovedit a fi de o calitate excelentă. Găsiți probabilitatea ca acest articol să fi fost produs de prima mașină.
Decizie. Notează prin DAR evenimentul este un articol de calitate excelentă. Se pot face două ipoteze: B1- piesa este produsă de prima mașină și (deoarece prima mașină produce de două ori mai multe piese decât a doua) P(A/B 1) = 2/3; B 2 - piesa a fost produsă de a doua mașină și P(B 2) = 1/3.
Probabilitatea condiționată ca piesa să fie de calitate excelentă dacă este produsă de prima mașină, P(A/B 1)=0,6.
Probabilitatea condiționată ca piesa să fie de o calitate excelentă dacă este produsă de a doua mașină, P(A/B 1)=0,84.
Probabilitatea ca o parte luată la întâmplare să fie de calitate excelentă, conform formulei probabilității totale, este egală cu
P(A)=P(B 1) ∙P(A/B 1)+P(B 2) ∙P(A/B 2)=2/3 0,6+1/3 0,84 = 0,68.
Probabilitatea dorită ca partea excelentă luată să fie produsă de primul automat, conform formulei Bayes, este egală cu
Sarcina 1.19. Există trei loturi de piese cu câte 20 de piese fiecare. Numărul de piese standard din primul, al doilea și al treilea lot este de 20, 15, respectiv 10. O parte care s-a dovedit a fi standard a fost extrasă aleatoriu din lotul selectat. Piesele sunt returnate în lot și o piesă este îndepărtată aleatoriu din același lot pentru a doua oară, ceea ce se dovedește, de asemenea, a fi standard. Găsiți probabilitatea ca piesele să fi fost luate din al treilea lot.
Decizie. Notează prin DAR eveniment - în fiecare dintre cele două teste (cu retur), a fost preluată o piesă standard. Pot fi formulate trei ipoteze: B 1 - părțile sunt îndepărtate din primul lot, LA 2
– piesele sunt luate din al doilea lot, LA 3 - părțile sunt îndepărtate din al treilea lot.
Detaliile au fost luate la întâmplare din lotul luat, astfel încât probabilitățile ipotezelor sunt aceleași: P(B 1) = P(B 2) = P(B 3) = 1/3.
Găsiți probabilitatea condiționată P(A/B 1), adică probabilitatea ca două părți standard să fie extrase consecutiv din primul lot. Acest eveniment este de încredere, pentru că. în primul lot, toate piesele sunt standard, deci P(A/B 1) = 1.
Găsiți probabilitatea condiționată P(A/B 2), adică probabilitatea ca două părți standard să fie extrase secvenţial (cu returnare) din al doilea lot: P(A/B 2)= 15/20 ∙ 15/20 = 9/16.
Găsiți probabilitatea condiționată P(A/B 3), adică probabilitatea ca două părți standard să fie eliminate succesiv (cu returnare) din al treilea lot: P(A/B 3) = 10/20 10/20 = 1/4.
Probabilitatea dorită ca ambele părți standard extrase să fie luate din al treilea lot, conform formulei Bayes, este egală cu 
1.2.7. Retestări
Dacă se efectuează mai multe teste și probabilitatea unui eveniment DARîn fiecare studiu nu depinde de rezultatele altor studii, atunci astfel de studii sunt numite independent față de evenimentul A.În diferite studii independente, evenimentul DAR poate avea fie probabilități diferite, fie aceeași probabilitate. Vom lua în considerare în continuare doar astfel de studii independente în care evenimentul DAR are aceeași probabilitate.
Lasă-l să fie produs Pîncercări independente, în fiecare dintre ele un eveniment DAR poate sau nu să apară. Să presupunem că probabilitatea unui eveniment DARîn fiecare test este același, și anume egal cu R. Prin urmare, probabilitatea neapariției evenimentului DARîn fiecare test este, de asemenea, constantă și egală cu 1– R. O astfel de schemă probabilistică se numește Schema Bernoulli. Să ne punem sarcina de a calcula probabilitatea ca P Procesele evenimentului Bernoulli DAR se va împlini exact k o singura data ( k- numărul de succese) și, prin urmare, nu se vor realiza P- o singura data. Este important de subliniat că nu este necesar ca evenimentul DAR repetat exact k ori într-o anumită succesiune. Indicați probabilitatea dorită R p (k).
De exemplu, simbolul R 5 (3) înseamnă probabilitatea ca în cinci încercări evenimentul să apară exact de 3 ori și, prin urmare, să nu se producă de 2 ori.
Problema poate fi rezolvată folosind așa-numitul formule Bernoulli, care arata ca: 
.
Problema 1.20. Probabilitatea ca consumul de energie electrică în cursul unei zile să nu depășească norma stabilită este egală cu R=0,75. Aflați probabilitatea ca în următoarele 6 zile consumul de energie electrică pentru 4 zile să nu depășească norma.
Decizie. Probabilitatea consumului normal de energie electrică în fiecare dintre cele 6 zile este constantă și egală cu R=0,75. Prin urmare, probabilitatea de supracheltuire a energiei electrice în fiecare zi este, de asemenea, constantă și egală cu q= 1–R=1–0,75=0,25.
Probabilitatea dorită conform formulei Bernoulli este egală cu
.
Sarcina 1.21. Doi jucători egali de șah joacă șah. Care este mai probabil: să câștigi două jocuri din patru sau trei jocuri din șase (nu se iau în considerare remizele)?
Decizie. Jucători egali de șah joacă, deci probabilitatea de a câștiga R= 1/2, de unde probabilitatea de a pierde q este de asemenea egal cu 1/2. pentru că în toate jocurile probabilitatea de câștig este constantă și nu contează în ce secvență sunt câștigate jocurile, atunci se aplică formula Bernoulli.
Găsiți probabilitatea ca două jocuri din patru să fie câștigate:
Găsiți probabilitatea ca trei din șase jocuri să fie câștigate:
pentru că P 4 (2) > P 6 (3), este mai probabil să câștigi două jocuri din patru decât trei din șase.
Cu toate acestea, se poate vedea că folosind formula Bernoulli pentru valori mari n este destul de dificil, deoarece formula necesită efectuarea de operații pe numere uriașe și, prin urmare, erorile se acumulează în procesul de calcule; ca urmare, rezultatul final poate diferi semnificativ de cel adevărat.
Pentru a rezolva această problemă, există mai multe teoreme limită care sunt utilizate pentru cazul unui număr mare de încercări.
1. Teorema lui Poisson
Când se efectuează un număr mare de teste conform schemei Bernoulli (cu n=> ∞) și cu un număr mic de rezultate favorabile k(presupunând că probabilitatea de succes p mic), formula Bernoulli se apropie de formula Poisson 
.
Exemplul 1.22. Probabilitatea căsătoriei în producerea unei unități de producție de către întreprindere este egală cu p=0,001. Care este probabilitatea ca în producția a 5000 de unități de produse să fie mai puțin de 4 defecte (eveniment DAR Decizie. pentru că n este mare, folosim teorema locală Laplace: 
Calcula X:
Funcţie 
este par, prin urmare φ(–1,67) = φ(1,67).
Conform tabelului din Anexa A.1, găsim φ(1,67) = 0,0989.
Probabilitatea dorită P 2400 (1400) = 0,0989.
3. Teorema integrală Laplace
Dacă probabilitatea R producerea unui eveniment Aîn fiecare încercare conform schemei Bernoulli este constantă și diferită de zero și unu, apoi cu un număr mare de încercări n, probabilitate R p (k 1 , k 2) producerea evenimentului Aîn aceste încercări k 1 la k de 2 ori aproximativ egal
R p(k 1 , k 2) = Φ ( X"") – Φ ( X"), Unde 
este funcția Laplace,
Integrala definită în funcția Laplace nu este calculată pe clasa funcțiilor analitice, așa că tabelul 1 este folosit pentru a o calcula. Clauza 2, prezentată în anexă.
Exemplul 1.24. Probabilitatea ca un eveniment să apară în fiecare dintre cele o sută de încercări independente este constantă și egală cu p= 0,8. Aflați probabilitatea ca evenimentul să se producă: a) de cel puțin 75 de ori și de cel mult 90 de ori; b) de cel puțin 75 de ori; c) de cel mult 74 de ori.
Decizie. Să folosim teorema integrală a lui Laplace:
R p(k 1 , k 2) = Φ ( X"") – Φ( X"), unde Ф( X) este funcția Laplace,
a) După condiție n = 100, p = 0,8, q = 0,2, k 1 = 75, k 2 = 90. Calculați X""și X" :
Avand in vedere ca functia Laplace este impara, i.e. F(- X) = – F( X), primim
P 100 (75; 90) \u003d F (2,5) - F (-1,25) \u003d F (2,5) + F (1,25).
Conform tabelului P.2. găsi aplicații:
F(2,5) = 0,4938; Ф(1,25) = 0,3944.
Probabilitatea dorită
P 100 (75; 90) = 0,4938 + 0,3944 = 0,8882.
b) Cerința ca evenimentul să se producă de cel puțin 75 de ori înseamnă că numărul de apariții ale evenimentului poate fi egal cu 75, sau 76, ..., sau 100. Astfel, în cazul în cauză, trebuie acceptat k 1 = 75, k 2 = 100. Atunci 
.
Conform tabelului P.2. aplicații, găsim Ф (1,25) = 0,3944; Ф(5) = 0,5.
Probabilitatea dorită
P 100 (75;100) = (5) – (–1,25) = (5) + (1,25) = 0,5 + 0,3944 = 0,8944.
c) Eveniment - " DAR a apărut de cel puțin 75 de ori" și " DAR a apărut de cel mult 74 de ori” sunt opuse, deci suma probabilităților acestor evenimente este 1. Prin urmare, probabilitatea dorită
P 100 (0;74) = 1 – P 100 (75; 100) = 1 – 0,8944 = 0,1056.
Doar nu în traducătorul online.
Poarta de Aur este un simbol al Kievului, unul dintre cele mai vechi exemple de arhitectură care a supraviețuit până în vremea noastră. Porțile de aur ale Kievului au fost construite sub celebrul prinț Kiev Iaroslav cel Înțelept în 1164. Inițial, au fost numite de Sud și făceau parte din sistemul de fortificații defensive al orașului, practic cu nimic diferit de celelalte porți de gardă ale orașului. Primul mitropolit rus Ilarion le-a numit „Mare” în „Predică despre lege și har”. După ce a fost construită maiestuoasa Hagia Sofia, porțile „Marele” au devenit principala intrare terestră în Kiev din partea de sud-vest. Dându-și seama de semnificația lor, Iaroslav cel Înțelept a poruncit să construiască peste porți o mică Biserică a Bunei Vestiri pentru a aduce un omagiu religiei creștine care domina orașul și Rusia. Din acel moment, toate sursele cronice rusești au început să numească Porțile de Sud ale Kievului Porțile de Aur. Lățimea porții era de 7,5 m, înălțimea de trecere era de 12 m, iar lungimea de aproximativ 25 m.
le sport ce n "est pas seulement des cours de gym. C" est aussi sauter toujours plus haut nager jouer au ballon danser. le sport développé ton corps et aussi ton cerveau. Quand tu prends l "escalier et non pas l" ascenseur tu fais du sport. Quand tu fais une cabane dans un arbre tu fais du sport. Quand tu te bats avec ton frere tu fais du sport. Quand tu course, parce que tu es en retard a l "ecole, tu fais du sport.
Teoria probabilității, ca orice ramură a matematicii, operează cu o anumită gamă de concepte. Cele mai multe dintre conceptele teoriei probabilităților sunt definite, dar unele sunt luate ca primare, nedefinite, ca în geometrie un punct, o dreaptă, un plan. Conceptul principal al teoriei probabilităților este un eveniment. Un eveniment este ceva despre care, după un anumit moment de timp, unul și numai unul dintre cei doi se poate spune:
- · Da, sa întâmplat.
- · Nu, nu sa întâmplat.
De exemplu, am un bilet de loterie. După publicarea rezultatelor extragerii la loterie, evenimentul care mă interesează - câștigul a o mie de ruble fie are loc, fie nu are loc. Orice eveniment are loc ca urmare a unui test (sau experiență). În cadrul testului (sau experienței), înțelegeți acele condiții în urma cărora are loc un eveniment. De exemplu, aruncarea unei monede este un test, iar apariția unei „steme” pe ea este un eveniment. Evenimentul este de obicei notat cu majuscule latine: A, B, C, .... Evenimentele din lumea materială pot fi împărțite în trei categorii - sigure, imposibile și întâmplătoare.
Un anumit eveniment este unul despre care se știe dinainte că are loc. Este notat cu litera W. Astfel, nu mai mult de șase puncte sunt de încredere la aruncarea unui zar obișnuit, aspectul unei bile albe atunci când este extrasă dintr-o urnă care conține doar bile albe etc.
Un eveniment imposibil este un eveniment despre care se știe dinainte că nu se va întâmpla. Este notat cu litera E. Exemple de evenimente imposibile sunt tragerea a mai mult de patru ași dintr-un pachet obișnuit de cărți, apariția unei mingi roșii dintr-o urna care conține doar bile albe și negre etc.
Un eveniment aleatoriu este un eveniment care poate sau nu să apară ca urmare a unui test. Evenimentele A și B sunt numite incompatibile dacă apariția unuia dintre ele exclude posibilitatea apariției celuilalt. Deci, apariția oricărui număr posibil de puncte la aruncarea unui zar (evenimentul A) este incompatibilă cu apariția unui alt număr (evenimentul B). Aducerea unui număr par de puncte este incompatibilă cu obținerea unui număr impar. În schimb, un număr par de puncte (evenimentul A) și un număr de puncte divizibil cu trei (evenimentul B) nu vor fi incompatibile, deoarece pierderea a șase puncte înseamnă apariția atât a evenimentelor A, cât și a evenimentului B, deci apariția unuia. dintre ele nu exclude apariţia celuilalt. Operațiunile pot fi efectuate pe evenimente. O unire a două evenimente C=AUB este un eveniment C care are loc dacă și numai dacă are loc cel puțin unul dintre aceste evenimente A și B. Intersecția a două evenimente D=A?? B este un eveniment care are loc dacă și numai dacă au loc ambele evenimente A și B.
Clasa 5 Introducere în probabilitate (4 ore)
(dezvoltarea a 4 lecții pe această temă)
obiectivele de învățare : - introduceți definiția unui eveniment aleatoriu, de încredere și imposibil;
Conduceți primele idei despre rezolvarea problemelor combinatorii: utilizarea unui arbore de opțiuni și utilizarea regulii înmulțirii.
obiectiv educațional: dezvoltarea mentalității elevilor.
Scopul de dezvoltare : dezvoltarea imaginației spațiale, îmbunătățirea abilității de a lucra cu o riglă.
Evenimente de încredere, imposibile și aleatorii (2 ore)
Sarcini combinatorii (2 ore)
Evenimente de încredere, imposibile și aleatorii.
Prima lectie
Echipament pentru lecție: zaruri, monede, table.
Viața noastră este în mare parte alcătuită din accidente. Există o astfel de știință „Teoria probabilității”. Folosind limbajul său, este posibil să descrii multe fenomene și situații.
Chiar și liderul primitiv a înțeles că o duzină de vânători avea o „probabilitate” mai mare de a lovi un zimbră cu o suliță decât unul. Prin urmare, atunci au vânat colectiv.
Comandanți antici precum Alexandru cel Mare sau Dmitry Donskoy, pregătindu-se pentru luptă, s-au bazat nu numai pe vitejia și priceperea războinicilor, ci și pe șansă.
Mulți oameni iubesc matematica pentru adevărurile eterne de două ori doi este întotdeauna patru, suma numerelor pare este pară, aria unui dreptunghi este egală cu produsul laturilor sale adiacente etc. În orice problemă pe care o rezolvați, toată lumea primește același răspuns - trebuie doar să nu faci greșeli în soluție.
Viața reală nu este atât de simplă și lipsită de ambiguitate. Rezultatele multor evenimente nu pot fi prezise în avans. Este imposibil, de exemplu, să spunem cu siguranță pe ce față va cădea o monedă aruncată, când va cădea prima ninsoare anul viitor sau câți oameni din oraș vor dori să dea un telefon în următoarea oră. Se numesc astfel de evenimente imprevizibile Aleatoriu .
Cu toate acestea, cazul are și propriile legi, care încep să se manifeste prin repetarea repetată a fenomenelor întâmplătoare. Dacă arunci o monedă de 1000 de ori, atunci „vulturul” va cădea aproximativ jumătate din timp, ceea ce nu se poate spune despre două sau chiar zece aruncări. „Aproximativ” nu înseamnă jumătate. Acesta, de regulă, poate fi sau nu cazul. Legea, în general, nu afirmă nimic sigur, dar oferă un anumit grad de certitudine că un eveniment întâmplător va avea loc. Astfel de regularități sunt studiate de o ramură specială a matematicii - Teoria probabilității . Cu el, puteți prezice cu mai multă încredere (dar încă nu cu siguranță) atât data primei ninsori, cât și numărul de apeluri telefonice.
Teoria probabilității este indisolubil legată de viața noastră de zi cu zi. Acest lucru ne oferă o oportunitate minunată de a stabili multe legi probabilistice empiric, repetând în mod repetat experimente aleatorii. Materialele pentru aceste experimente vor fi cel mai adesea o monedă obișnuită, un zar, un set de piese de domino, table, ruleta sau chiar un pachet de cărți. Fiecare dintre aceste elemente este legat de jocuri într-un fel sau altul. Cert este că cazul de aici apare în cea mai frecventă formă. Iar primele sarcini probabilistice au fost asociate cu evaluarea șanselor jucătorilor de a câștiga.
Teoria modernă a probabilității s-a îndepărtat de jocurile de noroc, dar recuzita lor este încă cea mai simplă și mai de încredere sursă de șansă. Exersând cu o roată de ruletă și un zar, vei învăța cum să calculezi probabilitatea unor evenimente aleatorii în situații din viața reală, ceea ce îți va permite să-ți evaluezi șansele de succes, să testezi ipoteze și să iei decizii optime nu numai în jocuri și loterie. .
Când rezolvați probleme probabilistice, fiți foarte atenți, încercați să justificați fiecare pas, deoarece nicio altă zonă a matematicii nu conține un asemenea număr de paradoxuri. Ca și teoria probabilității. Și poate că principala explicație pentru aceasta este legătura sa cu lumea reală în care trăim.
În multe jocuri, este folosit un zar, care are un număr diferit de puncte de la 1 la 6 pe fiecare parte. Jucătorul aruncă zarul, se uită la câte puncte au căzut (pe partea care este situată deasupra) și face numărul adecvat de mișcări: 1,2,3 ,4,5 sau 6. Aruncarea unui zar poate fi considerată o experiență, un experiment, un test, iar rezultatul obținut poate fi considerat un eveniment. Oamenii sunt de obicei foarte interesați să ghicească debutul unui eveniment, să prezică rezultatul acestuia. Ce predicții pot face atunci când un zar este aruncat? Prima previziune: va cădea unul dintre numerele 1,2,3,4,5 sau 6. Crezi că evenimentul prezis va veni sau nu? Bineînțeles că va veni cu siguranță. Se numește un eveniment care se va întâmpla cu siguranță într-o anumită experiență eveniment de încredere.
A doua predicție : va cădea numărul 7. Crezi că evenimentul prezis va veni sau nu? Bineînțeles că nu va fi, este doar imposibil. Se numește un eveniment care nu poate avea loc într-un anumit experiment eveniment imposibil.
A treia predicție : va cădea numărul 1. Crezi că evenimentul prezis va veni sau nu? Nu putem răspunde la această întrebare cu deplină certitudine, deoarece evenimentul prezis poate să apară sau nu. Se numește un eveniment care poate sau nu să apară într-o anumită experiență eveniment aleatoriu.
Exercițiu : descrieți evenimentele care sunt discutate în sarcinile de mai jos. Ca sigur, imposibil sau întâmplător.
Aruncăm o monedă. A apărut stema. (Aleatoriu)
Vânătorul a tras în lup și a lovit. (Aleatoriu)
Elevul iese la plimbare în fiecare seară. La o plimbare, luni, s-a întâlnit cu trei cunoscuți. (Aleatoriu)
Să realizăm mental următorul experiment: întoarce un pahar cu apă cu susul în jos. Dacă acest experiment se desfășoară nu în spațiu, ci acasă sau într-o sală de clasă, atunci se va revărsa apă. (autentic)
Trei focuri trase în țintă. Au fost cinci lovituri" (imposibil)
Aruncăm piatra în sus. Piatra rămâne suspendată în aer. (imposibil)
Literele cuvântului „antagonism” sunt rearanjate la întâmplare. Obțineți cuvântul „anacroism”. (imposibil)
№959. Petya s-a gândit la un număr natural. Evenimentul este după cum urmează:
a) este conceput un număr par; (aleatoriu) b) este conceput un număr impar; (Aleatoriu)
c) este conceput un număr care nu este nici par, nici impar; (imposibil)
d) este conceput un număr par sau impar. (autentic)
№ 961. Petya și Tolya își compară zilele de naștere. Evenimentul este după cum urmează:
a) zilele lor de naștere nu se potrivesc; (aleatoriu) b) zilele lor de naștere sunt aceleași; (Aleatoriu)
d) ambele zile de naștere cad de sărbători - Anul Nou (1 ianuarie) și Ziua Independenței Rusiei (12 iunie). (Aleatoriu)
№ 962. Când joci table, se folosesc două zaruri. Numărul de mișcări pe care le face un jucător este determinat prin adăugarea numerelor de pe cele două fețe ale zarului care au căzut, iar dacă un „dublu” cade (1 + 1,2 + 2,3 + 3,4 + 4,5 + 5,6 + 6), atunci se dublează numărul de mișcări. Dai zarurile și calculezi câte mișcări trebuie să faci. Evenimentul este după cum urmează:
a) trebuie să faci o singură mișcare; b) trebuie sa faci 7 miscari;
c) trebuie sa faci 24 de miscari; d) trebuie să faci 13 mutări.
a) - imposibil (1 mutare poate fi făcută dacă combinația 1 + 0 cade, dar nu există un număr 0 pe zar).
b) - aleatoriu (dacă cade 1 + 6 sau 2 + 5).
c) - aleatoriu (dacă cade combinația 6 +6).
d) - imposibil (nu există combinații de numere de la 1 la 6, a căror sumă este 13; acest număr nu poate fi obținut nici măcar atunci când se aruncă un „dublu”, deoarece este impar).
Verifică-te. (dictare matematica)
1) Indicați care dintre următoarele evenimente sunt imposibile, care sunt sigure, care sunt aleatorii:
Meciul de fotbal „Spartak” - „Dynamo” se va încheia la egalitate. (Aleatoriu)
Veți câștiga participând la loteria câștig-câștig (autentică)
Zăpada va cădea la miezul nopții, iar soarele va străluci 24 de ore mai târziu. (imposibil)
Mâine va fi un test de matematică. (Aleatoriu)
Veți fi ales președinte al Statelor Unite. (imposibil)
Veți fi ales președinte al Rusiei. (Aleatoriu)
2) Ați cumpărat un televizor dintr-un magazin, pentru care producătorul oferă o garanție de doi ani. Care dintre următoarele evenimente sunt imposibile, care sunt aleatorii, care sunt sigure:
Televizorul nu se va sparge într-un an. (Aleatoriu)
Televizorul nu se va sparge timp de doi ani. (Aleatoriu)
În doi ani, nu va trebui să plătiți pentru reparațiile TV. (autentic)
Televizorul se va sparge în al treilea an. (Aleatoriu)
3) Un autobuz care transportă 15 pasageri are 10 opriri de făcut. Care dintre următoarele evenimente sunt imposibile, care sunt aleatorii, care sunt sigure:
Toți pasagerii vor coborî din autobuz în diferite stații. (imposibil)
Toți pasagerii vor coborî la aceeași oprire. (Aleatoriu)
La fiecare oprire, cineva va coborî. (Aleatoriu)
Va fi o oprire la care nimeni nu va coborî. (Aleatoriu)
La toate opririle, un număr par de pasageri va coborî. (imposibil)
La toate opririle, un număr impar de pasageri va coborî. (imposibil)
Teme pentru acasă : 53 nr. 960, 963, 965 (veniți singur cu două evenimente de încredere, întâmplătoare și imposibile).
A doua lectie.
Verificarea temelor. (oral)
a) Explicați ce sunt evenimentele certe, aleatorii și imposibile.
b) Indicați care dintre următoarele evenimente este cert, care este imposibil, care este întâmplător:
Nu vor fi vacanțe de vară. (imposibil)
Sandvișul va cădea cu untul în jos. (Aleatoriu)
Anul școlar se va încheia în cele din urmă. (autentic)
Voi fi întrebat în clasă mâine. (Aleatoriu)
Mă întâlnesc azi cu o pisică neagră. (Aleatoriu)
№ 960. Ai deschis acest manual pe orice pagină și ai ales primul substantiv care a apărut. Evenimentul este după cum urmează:
a) există o vocală în ortografia cuvântului ales. ((autentic)
b) în ortografia cuvântului ales există litera „o”. (Aleatoriu)
c) nu există vocale în ortografia cuvântului ales. (imposibil)
d) există un semn moale în ortografia cuvântului selectat. (Aleatoriu)
№ 963. Jucați table din nou. Descrieți următorul eveniment:
a) jucătorul nu trebuie să facă mai mult de două mișcări. (imposibil - cu combinația celor mai mici numere 1 + 1, jucătorul face 4 mutări; combinația 1 + 2 dă 3 mutări; toate celelalte combinații dau mai mult de 3 mutări)
b) jucătorul trebuie să facă mai mult de două mișcări. (de încredere - orice combinație dă 3 sau mai multe mișcări)
c) jucătorul nu trebuie să facă mai mult de 24 de mutări. (de încredere - combinația celor mai mari numere 6 + 6 dă 24 de mișcări, iar restul - mai puțin de 24 de mișcări)
d) jucătorul trebuie să facă un număr de mutări din două cifre. (aleatoriu - de exemplu, o combinație de 2 + 3 dă un număr de mișcări de o cifră: 5, iar căderea a două patru paturi dă un număr de mișcări din două cifre)
2. Rezolvarea problemelor.
№ 964. Într-o pungă sunt 10 bile: 3 albastre, 3 albe și 4 roșii. Descrieți următorul eveniment:
a) Se scot 4 bile din pungă și toate sunt albastre; (imposibil)
b) se scot din pungă 4 bile, toate roșii; (Aleatoriu)
c) s-au scos din pungă 4 bile, toate s-au dovedit a fi de diferite culori; (imposibil)
d) Se scot 4 bile din pungă, iar printre ele nu există nicio bilă neagră. (autentic)
Sarcina 1 . Cutia conține 10 pixuri roșii, 1 verde și 2 albastre. Două articole sunt luate la întâmplare din cutie. Care dintre următoarele evenimente sunt imposibile, care sunt aleatorii, care sunt sigure:
a) două mânere roșii sunt scoase (aleatoriu)
b) se scot două mânere verzi; (imposibil)
c) se scot două mânere albastre; (Aleatoriu)
d) se scot mânere de două culori diferite; (Aleatoriu)
e) se scot două mânere; (autentic)
e) Se scot două creioane. (imposibil)
Sarcina 2. Winnie the Pooh, Purcelul și toată lumea - toată lumea - toată lumea se așează la o masă rotundă pentru a sărbători o zi de naștere. Cu ce număr din toate - toate - toate evenimentul „Winnie the Pooh și Purcelul vor sta unul lângă altul” este de încredere și cu ce - aleatoriu?
(dacă există doar 1 din toate - toate - toate, atunci evenimentul este de încredere, dacă este mai mult de 1, atunci este aleatoriu).
Sarcina 3. Din 100 de bilete de loterie de caritate, 20 câștigătoare Câte bilete trebuie să cumperi pentru a face imposibil evenimentul „nu câștigi nimic”?
Sarcina 4. În clasă sunt 10 băieți și 20 de fete. Care dintre următoarele evenimente sunt imposibile pentru o astfel de clasă, care sunt aleatorii, care sunt sigure
Sunt doi oameni în clasă care s-au născut în luni diferite. (Aleatoriu)
În clasă sunt doi oameni care s-au născut în aceeași lună. (autentic)
În clasă sunt doi băieți care s-au născut în aceeași lună. (Aleatoriu)
În clasă sunt două fete care s-au născut în aceeași lună. (autentic)
Toți băieții s-au născut în luni diferite. (autentic)
Toate fetele s-au născut în luni diferite. (Aleatoriu)
Există un băiat și o fată născuți în aceeași lună. (Aleatoriu)
Există un băiat și o fată născuți în luni diferite. (Aleatoriu)
Sarcina 5. Într-o cutie sunt 3 bile roșii, 3 galbene și 3 verzi. Extrageți 4 bile la întâmplare. Luați în considerare evenimentul „Printre bile extrase vor fi bile de exact M culori”. Pentru fiecare M de la 1 la 4, determinați ce eveniment este - imposibil, sigur sau aleatoriu și completați tabelul:
Muncă independentă.
euopțiune
a) ziua de naștere a prietenului tău este mai mică de 32 de ani;
c) mâine va fi un test de matematică;
d) Anul viitor, duminică va cădea prima ninsoare la Moscova.
Aruncă un zar. Descrie evenimentul:
a) cubul, căzut, va sta pe marginea lui;
b) unul dintre numere va cădea: 1, 2, 3, 4, 5, 6;
c) numărul 6 va cădea;
d) va apărea un număr care este multiplu de 7.
O cutie conține 3 bile roșii, 3 galbene și 3 verzi. Descrie evenimentul:
a) toate bilele extrase sunt de aceeași culoare;
b) toate mingile trase de diferite culori;
c) printre bilele extrase se află bile de diferite culori;
c) printre bilele extrase se află o minge roșie, galbenă și verde.
IIopțiune
Descrieți evenimentul în cauză ca fiind sigur, imposibil sau întâmplător:
a) un sandviș care a căzut de pe masă va cădea pe podea, cu untul în jos;
b) la Moscova va cădea zăpadă la miezul nopții, iar în 24 de ore va străluci soarele;
c) câștigați participând la o loterie câștig-câștig;
d) anul viitor în luna mai se va auzi primul tunet de primăvară.
Toate numerele din două cifre sunt scrise pe carduri. O carte este aleasă la întâmplare. Descrie evenimentul:
a) cardul s-a dovedit a fi zero;
b) pe card există un număr care este multiplu de 5;
c) pe card există un număr care este multiplu de 100;
d) cardul conține un număr mai mare de 9 și mai mic de 100.
Cutia conține 10 pixuri roșii, 1 verde și 2 albastre. Două articole sunt luate la întâmplare din cutie. Descrie evenimentul:
a) se scot două mânere albastre;
b) se scot două mânere roșii;
c) se scot două mânere verzi;
d) se scot manerele verzi si negre.
Teme pentru acasă: 1). Vino cu două evenimente de încredere, aleatorii și imposibile.
2). Sarcină . Într-o cutie sunt 3 bile roșii, 3 galbene și 3 verzi. Tragem N bile la întâmplare. Luați în considerare evenimentul „printre bile extrase vor fi bile de exact trei culori”. Pentru fiecare N de la 1 la 9, determinați ce eveniment este - imposibil, sigur sau aleatoriu și completați tabelul:
sarcini combinatorii.
Prima lectie
Verificarea temelor. (oral)
a) Verificăm problemele cu care au venit elevii.
b) sarcină suplimentară.
Citesc un fragment din cartea lui V. Levshin „Trei zile în Karlikanii”.
„Mai întâi, pe sunetele unui vals lin, numerele au format un grup: 1+ 3 + 4 + 2 = 10. Apoi tinerii patinatori au început să-și schimbe locurile, formând tot mai multe grupuri noi: 2 + 3 + 4 + 1 = 10
3 + 1 + 2 + 4 = 10
4 + 1 + 3 + 2 = 10
1 + 4 + 2 + 3 = 10 etc.
Acest lucru a continuat până când patinatorii au revenit la poziția inițială.
De câte ori și-au schimbat locul?
Astăzi, în lecție, vom învăța cum să rezolvăm astfel de probleme. Sunt chemați combinatorie.
3. Învățarea de noi materiale.
Sarcina 1. Câte numere din două cifre se pot forma din numerele 1, 2, 3?
Decizie: 11, 12, 13
31, 32, 33. Doar 9 numere.
Când am rezolvat această problemă, am enumerat toate opțiunile posibile sau, așa cum se spune de obicei în aceste cazuri. Toate combinațiile posibile. Prin urmare, astfel de sarcini sunt numite combinatorie. Este destul de comun să se calculeze opțiuni posibile (sau imposibile) în viață, așa că este util să se familiarizeze cu problemele combinatorii.
№ 967. Mai multe țări au decis să folosească pentru drapelul lor național simboluri sub forma a trei dungi orizontale de aceeași lățime în culori diferite - alb, albastru, roșu. Câte țări pot folosi astfel de simboluri, cu condiția ca fiecare țară să aibă propriul ei steag?
Decizie. Să presupunem că prima dungă este albă. Apoi, a doua dungă poate fi albastră sau roșie, iar a treia dungă, respectiv, roșie sau albastră. S-au dovedit două opțiuni: alb, albastru, roșu sau alb, roșu, albastru.
Acum lăsați prima dungă să fie albastră, apoi vom obține din nou două opțiuni: alb, roșu, albastru sau albastru, roșu, alb.
Prima dungă să fie roșie, apoi încă două opțiuni: roșu, alb, albastru sau roșu, albastru, alb.
Există 6 opțiuni posibile în total. Acest steag poate fi folosit de 6 țări.
Deci, atunci când am rezolvat această problemă, am căutat o modalitate de a enumera opțiunile posibile. În multe cazuri, se dovedește a fi util să construiești o imagine - o schemă pentru enumerarea opțiunilor. Aceasta, în primul rând, este vizuală, iar în al doilea rând, ne permite să ținem cont de totul, să nu pierdem nimic.
Această schemă este numită și arbore de opțiuni posibile.
Prima pagina
A doua bandă
banda a treia
Combinație primită
№ 968. Câte numere din două cifre pot fi făcute din numerele 1, 2, 4, 6, 8?
Decizie. Pentru numerele de două cifre care ne interesează, oricare dintre cifrele date poate fi pe primul loc, cu excepția lui 0. Dacă punem numărul 2 pe primul loc, atunci oricare dintre cifrele date poate fi pe locul doi. Vor fi cinci numere din două cifre: 2.,22, 24, 26, 28. În mod similar, vor fi cinci numere din două cifre cu prima cifră 4, cinci numere din două cifre cu prima cifră 6 și cinci cu două cifre. numere de cifre cu prima cifră 8.
Răspuns: Sunt 20 de numere în total.
Să construim un arbore cu opțiuni posibile pentru rezolvarea acestei probleme.
Cifre duble
Prima cifră
A doua cifră
Numerele primite
20, 22, 24, 26, 28, 60, 62, 64, 66, 68,
40, 42, 44, 46, 48, 80, 82, 84, 86, 88.
Rezolvați următoarele probleme construind un arbore cu opțiuni posibile.
№ 971. Conducerea unei anumite țări a decis să-și facă steagul național astfel: pe un fundal dreptunghiular de o culoare, un cerc de altă culoare este plasat într-unul dintre colțuri. S-a decis alegerea culorilor dintre trei posibile: roșu, galben, verde. Câte variante ale acestui steag
exista? Figura prezintă câteva dintre opțiunile posibile.
Răspuns: 24 de opțiuni.
№ 973. a) Câte numere din trei cifre pot fi făcute din numerele 1,3, 5,? (27 de numere)
b) Câte numere din trei cifre se pot face din numerele 1,3, 5, cu condiția ca numerele să nu fie repetate? (6 numere)
№ 979. Pentatleții moderni concurează timp de două zile în cinci sporturi: sărituri, scrimă, înot, tir și alergare.
a) Câte variante există pentru ordinea de promovare a tipurilor de concurs? (120 de opțiuni)
b) Câte opțiuni există pentru ordinea de trecere a probelor competiției, dacă se știe că ultimul eveniment ar trebui să fie o alergare? (24 opțiuni)
c) Câte opțiuni există pentru ordinea de trecere a tipurilor de competiție, dacă se știe că ultimul tip ar trebui să fie alergarea, iar primul - sărituri de obstacole? (6 opțiuni)
№ 981. Două urne conțin cinci bile fiecare în cinci culori diferite: alb, albastru, roșu, galben, verde. Din fiecare urnă se extrage câte o minge o dată.
a) câte combinații diferite de bile extrase există (combinațiile precum „alb-roșu” și „roșu-alb” sunt considerate la fel)?
(15 combinatii)
b) Câte combinații există în care bilele extrase sunt de aceeași culoare?
(5 combinatii)
c) câte combinații există în care bilele extrase sunt de culori diferite?
(15 - 5 = 10 combinații)
Teme pentru acasă: 54, nr. 969, 972, venim noi înșine cu o problemă combinatorie.
№ 969. Mai multe țări au decis să folosească simboluri sub forma a trei dungi verticale de aceeași lățime în culori diferite pentru steagul lor național: verde, negru, galben. Câte țări pot folosi astfel de simboluri, cu condiția ca fiecare țară să aibă propriul ei steag?
№ 972. a) Câte numere din două cifre se pot forma din numerele 1, 3, 5, 7, 9?
b) Câte numere din două cifre se pot face din numerele 1, 3, 5, 7, 9, cu condiția ca numerele să nu se repete?
A doua lectie
Verificarea temelor. a) Nr. 969 și Nr. 972a) și Nr. 972b) - construiți un arbore de opțiuni posibile pe tablă.
b) verifica verbal sarcinile compilate.
Rezolvarea problemelor.
Deci, înainte de asta, am învățat cum să rezolvăm probleme combinatorii folosind un arbore de opțiuni. Este aceasta o modalitate bună? Probabil că da, dar foarte greoaie. Să încercăm să rezolvăm problema de acasă nr. 972 într-un mod diferit. Cine poate ghici cum se poate face asta?
Răspuns: Pentru fiecare dintre cele cinci culori de tricouri, există 4 culori de pantaloni scurți. Total: 4 * 5 = 20 de opțiuni.
№ 980. Urnele conțin cinci bile în cinci culori diferite: alb, albastru, roșu, galben, verde. Din fiecare urnă se extrage câte o minge o dată. Descrieți următorul eveniment ca fiind sigur, aleatoriu sau imposibil:
a) bile desenate de diferite culori; (Aleatoriu)
b) bile trase de aceeași culoare; (Aleatoriu)
c) se extrag bile albe-negre; (imposibil)
d) se scot două bile, iar ambele sunt colorate în una din următoarele culori: alb, albastru, roșu, galben, verde. (autentic)
№ 982. Un grup de turiști plănuiește să facă o excursie pe traseul Antonovo - Borisovo - Vlasovo - Gribovo. De la Antonovo la Borisovo poți să cobori cu pluta pe râu sau să mergi pe jos. De la Borisovo la Vlasovo puteți merge pe jos sau cu bicicleta. De la Vlasovo la Gribovo puteți înota de-a lungul râului, puteți merge cu bicicleta sau puteți merge pe jos. Câte opțiuni de drumeții pot alege turiștii? Câte opțiuni de drumeții pot alege turiștii, cu condiția ca cel puțin unul dintre tronsoanele traseului să folosească biciclete?
(12 opțiuni de traseu, 8 dintre ele folosind biciclete)
Muncă independentă.
1 opțiune
a) Câte numere din trei cifre se pot forma din numerele: 0, 1, 3, 5, 7?
b) Câte numere din trei cifre se pot face din numerele: 0, 1, 3, 5, 7, cu condiția ca numerele să nu se repete?
Athos, Porthos și Aramis au doar o sabie, un pumnal și un pistol.
a) În câte feluri pot fi înarmați muschetarii?
b) Câte opțiuni de arme există dacă Aramis trebuie să mânuiască o sabie?
c) Câte opțiuni de arme există dacă Aramis ar trebui să aibă o sabie și Porthos ar trebui să aibă un pistol?
Undeva, Dumnezeu a trimis o bucată de brânză unui corb, precum și brânză, cârnați, pâine albă și neagră. Cocoțată pe un brad, o cioară era pe cale să ia micul dejun, dar ea s-a gândit: în câte feluri se pot face sandvișuri din aceste produse?
Opțiunea 2
a) Câte numere din trei cifre se pot forma din numerele: 0, 2, 4, 6, 8?
b) Câte numere din trei cifre se pot face din numerele: 0, 2, 4, 6, 8, cu condiția ca numerele să nu se repete?
Contele Monte Cristo a decis să-i dea prințesei Hyde cercei, un colier și o brățară. Fiecare bijuterie trebuie să conțină unul dintre următoarele tipuri de pietre prețioase: diamante, rubine sau granate.
a) Câte combinații de bijuterii cu pietre prețioase există?
b) Câte opțiuni de bijuterii există dacă cerceii trebuie să fie cu diamante?
c) Câte opțiuni de bijuterii există dacă cerceii ar trebui să fie din diamant și brățara granat?
Pentru micul dejun, puteți alege o chiflă, sandviș sau turtă dulce cu cafea sau chefir. Câte opțiuni de mic dejun poți face?
Teme pentru acasă : Nr. 974, 975. (prin compilarea unui arbore de opțiuni și folosind regula înmulțirii)
№ 974 . a) Câte numere din trei cifre se pot forma din numerele 0, 2, 4?
b) Câte numere din trei cifre se pot face din numerele 0, 2, 4, cu condiția ca numerele să nu se repete?
№ 975 . a) Câte numere din trei cifre pot fi făcute din numerele 1.3, 5.7?
b) Câte numere din trei cifre se pot face din numerele 1.3, 5.7, prevăzute. Ce numere nu trebuie repetate?
Numerele problemelor sunt luate din manual
„Matematică-5”, I.I. Zubareva, A.G. Mordkovici, 2004.
