Potențialul câmpului vectorial. Definiția unui câmp vectorial

Materialul teoretic pe această temă este prezentat la p. 228-236 din această publicație.

Exemplul 30. Verificați dacă un câmp vectorial este

a) potențial; b) solenoidal. Dacă câmpul este potențial, găsiți-i potențialul.

Soluţie. A) Găsiți rotorul de câmp

Prin urmare, domeniul este potențial.

B) Aflați divergența câmpului

Prin urmare, câmpul nu este solenoidal.

B) Deoarece , potențialul câmpului poate fi calculat folosind formula

Integrala de linie a diferenţialului total nu depinde de calea de integrare. Aici este convenabil să luăm originea coordonatelor ca punct de plecare. Ca cale de integrare luăm linia întreruptă OAVM(Fig. 17).

Orez. 17

1. Pe segment deci

2. Pe segmentul de aici

3. Pe segmentul de aici

Deci, unde este o constantă arbitrară.

In sfarsit,

Sarcinile de testare nr. 5-8

Numerele sarcinilor sunt selectate dintr-un tabel în conformitate cu ultimele două cifre ale codului și prima literă a numelui de familie. De exemplu, elevul Ivanov, cod 1-45-5815, rezolvă problemele 5, 15, 21,31 în testul 5, problemele 45, 51, 61, 71 în testul 6, problemele 85, 91 în testul 7, 101, 111, în testul 8 - probleme 125.135.141.151.

Ultima cifră a cifrului
Numărul testului
Penultima cifră a cifrului
Numărul testului
Prima literă a numelui de familie	A, I T	B,OC	V,NH	G, FYA	D, ZL	E,MR	F, MF	K E	P	U, SHYU
Numărul testului

Test №5

În problemele 1-10, găsiți soluția generală a ecuației diferențiale de ordinul întâi

În problemele 11-20, găsiți soluția generală sau integrala generală a unei ecuații diferențiale de ordinul doi

În problemele 21-30, găsiți soluția generală a ecuațiilor liniare de ordinul doi

În problemele 31-40 găsiți regiunea de convergență a seriei de puteri

Testul nr. 6

În problemele 41-50, extindeți funcția într-o serie Maclaurin, determinați domeniul de convergență al seriei

În problemele 51-60, construiți domeniul integrării și schimbați ordinea integrării

61. Calculați aria suprafeței unei părți a unei sfere , tăiat cu cilindru si avionul .

62. Calculați aria unei plăci plate delimitate de liniile: și (în afara parabolei).

63. Calculați aria suprafeței cilindrului, tăiată de avioane.

64. Aflați volumul unui corp delimitat de suprafețe , , , , .

65. Aflați volumul unui corp delimitat de suprafețe: și , situată în primul octant la .

66. Găsiți aria unei plăci plate delimitate de linii, .

67. Determinați aria părții cercului situată în afara cercului (utilizați coordonatele polare).

68. Calculați masa unei plăci plane omogene (),

mărginită de un cerc și drepte și .

69. Aflați masa unei plăci cu densitate , mărginit de linii , , .

70. Aflați masa plăcii cu densitate , dat de inegalitățile: .

În problemele 71-80, calculați integralele curbilinii de-a lungul curbei:

Testul nr. 7

În problemele 81-86, extindeți funcțiile într-o serie Fourier; reprezentați grafic o funcție dată

81.

82.

83.

84.

85.

86.

În problemele 87, 88, extindeți funcția într-o serie Fourier în termeni de sinusuri; desenați un grafic al funcției date.

87.

88.

În problemele 89.90, extindeți funcția într-o serie Fourier în cosinus; desenați un grafic al funcției date.

89.

90.

În problemele 91-95, rezolvați ecuația de undă pe un segment dat cu condiții la limită folosind metoda Fourier și date condiții inițiale.

91.

93.

95.

În problemele 96-100, rezolvați ecuația conducției căldurii pe un segment dat folosind metoda Fourier pentru o condiție inițială și condiții la limită date. .

96.

97.

98.

99.

100.

În problemele 101-106, se calculează integrala triplă asupra ariei T, dat de inegalități. Faceți un desen.

103.
(la calcularea integralelor, mergeți la coordonatele cilindrice).

105. (la calcularea integralelor, mergeți la coordonatele cilindrice).

În problemele 107-110, găsiți masa unui corp dată de inegalități și având o densitate dată. Faceți un desen.

108. (la calcularea integralei triple, mergeți la coordonatele cilindrice).

110. (la calcularea integralei triple, treceți la coordonatele cilindrice).

În problemele 111-120, se calculează integrala de suprafață. Faceți un desen al suprafeței.

111. unde face parte din avion limitat de planuri de coordonate.

112. - partea superioară a unei părți a unui cilindru parabolic, delimitată de un cilindru circular si avionul. Când calculați integrala peste, mergeți la coordonatele polare.

113. - o parte din suprafața cilindrului limitată de planuri

114. , unde face parte din suprafața conului , limitat de planuri și (la calculul integralei duble, mergeți la coordonatele polare).

115. , - parte dintr-un cilindru circular delimitat de plane

116. - partea superioară a părții conului , limitat de avioane . Când calculați integrala peste, mergeți la coordonatele polare.

117. , unde este partea superioară a sferei . Când calculați o integrală dublă, mergeți la coordonatele polare.

118. , unde este partea superioară a părții plane , limitat de planuri de coordonate.

119. , - parte dintr-un cilindru parabolic limitat de planuri de coordonate și de plan.

120. ; - partea superioară a unei părți a unui cilindru circular, delimitată de un cilindru circular și avion Mergeți la coordonatele polare.

Testul nr. 8

În problemele 121-130, găsiți gradientul câmpului scalar și verificați dacă câmpul scalar este armonic.

În problemele 131-135, găsiți fluxul câmpului vectorial prin partea de suprafață situată în primul octant în direcţia normalei formând un unghi ascuţit cu axa. Faceți un desen.

În problemele 136-140, utilizați teorema lui Ostrogradsky pentru a calcula fluxul câmpului vectorial către normala exterioară prin suprafața corpului aflat în primul octant. și limitată suprafata datași planuri de coordonate. Faceți un desen.

În problemele 141-150, calculați circulația câmpului vectorial de-a lungul traseului de intersecție cu planurile de coordonate ale acelei părți a suprafeței care se află în primul octant . - punctele de intersecţie ale suprafeţei cu axele, respectiv. Faceți un desen.

În problemele 141-145, calculați circulațiile folosind teorema lui Stokes.

În problemele 146-150, calculați circulația folosind definiția acesteia.

În problemele 151-160, verificați dacă câmpul vectorial este: a) potențial, b) solenoidal. Dacă câmpul este potențial, găsiți-i potențialul.

152.

155.

Controlul curentului

Sarcini de testare

1. Determinați care ecuație are următoarea soluție .

O) b) V)

2. Determinați ecuația caracteristică pentru ecuația diferențială

a) b) V)

3. Determinați la ce valoare va converge seria de puteri folosind testul lui D’Alembert .

4. Formulați o interpretare geometrică a integralei duble.

5. Formulați o interpretare geometrică a integralei triple.

6. Determinați semnul potențialității unui câmp vectorial:

a) b) c)

Controlul final

Întrebări pentru pregătirea examenului de matematică

(semestrul III)

Ecuații diferențiale

1. Definiția unei ecuații diferențiale obișnuite, ordinea și soluția acesteia. Ecuație diferențială de ordinul întâi, câmp de direcție, izocline.

2. Problemă Cauchy pentru o ecuație diferențială de ordinul întâi. Teorema existenței și unicității unei soluții la problema Cauchy.

3. Determinarea soluției generale și particulare (integrale) a unei ecuații diferențiale de ordinul întâi.

4. Ecuația cu variabile separabile, integrarea ei.

5. Ecuația liniară de ordinul întâi, integrarea ei.

6. Ecuație diferențială omogenă de ordinul întâi, integrarea ei.

7. Ecuația diferențială n-a ordine. Problemă Cauchy pentru ecuația diferențială n-a ordine. Teorema de existență și unicitate pentru rezolvarea problemei Cauchy pentru ecuație n-a ordine.

8. Determinarea soluțiilor generale și particulare ale unei ecuații diferențiale n-a ordine. Integrarea unei ecuații de formă.

9. Ecuații care permit o scădere în ordine. Metodă de integrare a unei ecuații de forma , unde k< n.

10. Metoda de integrare a ecuatiilor de forma .

11. Definirea unei ecuații diferențiale liniare n-a ordine. Ecuație liniară omogenă. Proprietăți ale soluțiilor unei ecuații liniare omogene.

12. Definirea funcţiilor liniar dependente şi liniar independente. Exemple.

13. Determinarea sistemului fundamental de soluții la o ecuație liniară omogenă. Teoremă privind structura soluției generale a unei ecuații liniare omogene n-a ordine.

14. Teoremă privind structura soluției generale a unei ecuații liniare neomogene n-a ordine.

15. Ecuație liniară omogenă cu coeficienți constanți. Metoda lui Euler, ecuație caracteristică.

16. Construirea unui sistem fundamental de soluții și a unei soluții generale a unei ecuații liniare omogene n-de ordinul în cazul rădăcinilor reale distincte ale ecuației caracteristice. Exemplu.

17. Construirea unui sistem fundamental de soluții și a unei soluții generale a unei ecuații liniare omogene n-de ordinul în cazul rădăcinilor conjugate complexe ale ecuației caracteristice. Exemplu.

18. Construirea unui sistem fundamental de soluții și a unei soluții generale a unei ecuații liniare omogene n-de ordinul în cazul rădăcinilor reale egale ale ecuației caracteristice. Exemplu.

19. Regula pentru găsirea unei anumite soluții la o ecuație liniară neomogenă cu coeficienți constanți dacă partea dreaptă are forma , unde este un polinom de grad .

20. Regula pentru găsirea unei anumite soluții la o ecuație liniară neomogenă cu coeficienți constanți, dacă partea dreaptă are forma , unde .

21. Metoda de rezolvare a unei ecuaţii diferenţiale neomogene liniare de formă (principiul suprapunerii).

22. Sistem de ecuații diferențiale liniare în formă normală. Problema Cauchy. Teorema existenței și unicității unei soluții la problema Cauchy. Determinarea soluțiilor generale și particulare ale sistemului. Metoda de eliminare pentru sisteme normale de ecuații diferențiale.

23. Sisteme de ecuații diferențiale liniare. Proprietățile soluțiilor. Rezolvarea sistemelor de ecuații diferențiale liniare cu coeficienți constanți.

Rânduri

24. Seria de numere. Definiţie n-a-a sumă parțială a seriei. Concepte de convergență și divergență serie de numere. Suma unei serii convergente. Seria geometrică.

25. Proprietăţile serii convergente: înmulţirea unei serii cu un număr, adunarea serii termen cu termen.

26. Restul rândului. Teorema privind convergența simultană a unei serii și a restului acesteia.

27. Un semn necesar de convergență a unei serii. Ilustrare a insuficienței sale cu un exemplu.

28. Serii pozitive. Necesar și condiție suficientă convergenţa unei serii pozitive.

29. Primul și al doilea semn de comparare a seriilor pozitive.

30. Semnul lui D'Alembert.

31. Testul Cauchy integral.

32. Serii armonice generalizate, unde p– orice număr real. Comportamentul serialului la p<1, p=1, p>1.

33. Serii alternante. Convergență absolută și non-absolută. Teorema privind convergența unei serii absolut convergente.

34. Testul lui Leibniz pentru convergența unei serii alternative. Estimarea erorii absolute la înlocuirea sumei unei serii convergente cu suma primei n

42. Serii binomiale pentru funcție.

Definiție 1. Fie A un câmp vectorial într-un domeniu Funcția se numește potențialul câmpului A într-un domeniu dacă este în acest domeniu

Definiție 2. Un câmp care are potențial se numește câmp potențial.

Deoarece într-o regiune conexă derivatele parțiale determină funcția până la o constantă, atunci într-o astfel de regiune potențialul câmpului este determinat până la o constantă aditivă.

În prima parte a cursului, am vorbit deja pe scurt despre potențial. Aici vom discuta acest concept important mai detaliat. Să remarcăm în legătură cu aceste definiții că în fizică, atunci când se consideră diferite tipuri de câmpuri de forță, potențialul câmpului este de obicei numit o astfel de funcție încât Un astfel de potențial diferă de cel introdus de Definiția 1 doar în semn.

Exemplul 1. Puterea câmpului gravitațional creat de o masă punctuală M plasată la originea coordonatelor într-un punct din spațiu având un vector rază se calculează conform legii lui Newton sub forma

Aceasta este forța cu care câmpul acționează asupra unei unități de masă în punctul corespunzător din spațiu. Câmp gravitațional (1)

potenţial. Potențialul său în sensul Definiției 1 este funcția

Exemplul 2. Tensiunea E câmp electric o sarcină punctiformă plasată la origine, într-un punct din spațiu având un vector cu rază calculat conform legii lui Coulomb

Definiția 27. Câmp vectorial O = {O x , O y , O z) se numește potenţial, dacă este vector O este gradientul unei funcții scalare u = u(x, y, z) :

O = grad u = . (119)

În acest caz, funcția Şi numit potenţial a acestui câmp vectorial.

Exemple de câmpuri potențiale sunt câmpul gravitațional al unei mase punctuale T, plasat la origine, câmpul electric al unei sarcini punctuale e, situat la origine, și altele.

Să aflăm în ce condiții un câmp vectorial este potențial.

Din moment ce din (119) rezultă că
Că

întrucât derivata mixtă de ordinul doi nu depinde de ordinea diferențierii. Din aceste egalități obținem cu ușurință că

putrezi O = 0 – (120)

condiție pentru potențialul unui câmp vectorial.

Definiția 28. Câmp vectorial O = {O x , O y , O z), pentru care putrezesc O = 0, numit irotaţional.

Din argumentele anterioare rezultă că orice câmp potențial este irotațional. De asemenea, se poate demonstra contrariul, adică că orice câmp irotațional este un câmp potențial.

Exemplul 30.

Determinați dacă un câmp vectorial este potențial. Dacă răspunsul este pozitiv, găsiți-i potențialul Şi sub presupunerea că la origine Şi = 0.

Să calculăm derivatele parțiale ale funcțiilor,

Prin urmare,
adică gura F = 0 – condiția (120) este îndeplinită, iar câmpul este potențial.

8. Câmpuri vectoriale solenoidale și armonice

Definiția 29. Câmp vectorial O = {O x , O y , O z) se numește solenoidalîn zonă D, dacă în fiecare punct al acestei zone

div O = 0. (121)

Comentariu. Întrucât divergenţa caracterizează densitatea surselor de câmp O , apoi în regiunea în care câmpul este solenoidal nu există surse ale acestui câmp. Un exemplu de câmp solenoidal este câmpul unei sarcini punctiforme eîn toate punctele, cu excepția punctului în care se află încărcătura.

Condiția ca câmpul să fie solenoidal este cerința ca vectorul O este bucla unui vector ÎN : O = putrezire B . Să demonstrăm.

Într-adevăr, dacă , atunci

div O =

Definiția 30. Câmp scalar definit de o funcție u = u(x, y, z) , numit armonicîntr-o anumită zonă, dacă funcția Şiîn această regiune satisface ecuația Laplace: Δ Şi = 0.

Exemple: funcție liniară, potențial de câmp electric al unei sarcini punctuale sau câmp gravitațional al unei mase punctuale.

Literatură

Fikhtengolts G.M. Curs de calcul diferențial și integral. M.: Nauka, 1969.

Kudryavtsev L.D. Curs scurt analiză matematică. M.: Nauka, 1989.

Ilyin V.A., Poznyak E.G. Analiza matematică.

M.: Nauka, 1999.

Smirnov V.I. Curs de matematică superioară.- T.2. M.: Nauka, 1965.

Bugrov Ya.S., Nikolsky S.M. Ecuații diferențiale. Integrale multiple. Rânduri.

Funcțiile unei variabile complexe. M.: Nauka, 1981.

Piskunov N.S. Calcul diferențial și integral. – T.2. M.: Nauka, 1981.

Culegere de probleme de matematică pentru colegii.

Secțiuni speciale de analiză matematică (sub conducerea lui A.V. Efimov și B.P. Demidovich). – T.2. M.: Nauka, 1981.

Myshkis A.D. Prelegeri de matematică superioară. M.: Nauka, 1973. Teorema 1. Pentru ca un câmp vectorial specificat în regiunea T să fie solenoidal, este necesar și suficient ca acest câmp să fie câmpul rotor al unui anumit vector, adică. astfel încât să existe un vector care îndeplinește condiția în toate punctele regiunii T

Dovada. Adecvarea.

Avem

Necesitate.

Lasă

Să arătăm că aceste funcții satisfac sistemul de ecuații (1). Intr-adevar avem

Într-adevăr, funcția construită satisface condiția

Funcția se numește potențial vectorial.

La demonstrarea teoremei, am propus o metodă care ne permite să determinăm potențialul vectorial al câmpului.

Observație 1. Dacă funcția este un potențial vectorial al câmpului, atunci funcția

unde este o funcție scalară arbitrară și este, de asemenea, potențialul vectorial al câmpului.

Secțiuni speciale de analiză matematică (sub conducerea lui A.V. Efimov și B.P. Demidovich). – T.2. M.: Nauka, 1981.

În consecință, potențialul vectorial este determinat în mod ambiguu.

Exemplul 1: Arătați că un câmp

Soluţie. Avem.

Să calculăm

Funcția găsită este potențialul vectorial dorit. Să verificăm această afirmație, adică hai sa gasim rotorul:

Condiția este îndeplinită. Este ușor de verificat că potențialul vectorial al acestui câmp poate fi o funcție mai simetrică

Exemplul 2: Arătați că un câmp

solenoidală și găsiți potențialul vectorial al acestui câmp.

Soluţie. Avem.

Să calculăm

Să verificăm:

Condiția este îndeplinită. Este ușor de verificat că potențialul vectorial al acestui câmp poate fi funcții mai simetrice

Din exemplele de mai sus este clar că expresiile pentru potențialul vectorial pentru același câmp pot diferi semnificativ. Acest lucru se datorează faptului că gradientul oricărei funcții scalare poate fi adăugat la potențialul vectorial găsit.