Konstruksyon ng isang regular na hexagon na nakasulat sa isang bilog.
Ang pagtatayo ng isang hexagon ay batay sa katotohanan na ang gilid nito ay katumbas ng radius ng circumscribed na bilog. Samakatuwid, upang maitayo ito, sapat na upang hatiin ang bilog sa anim na pantay na bahagi at ikonekta ang mga nahanap na punto sa bawat isa.
Ang isang regular na hexagon ay maaaring itayo gamit ang isang tuwid na gilid at isang 30X60° square. Upang maisagawa ang konstruksiyon na ito, kinukuha namin ang pahalang na diameter ng bilog bilang bisector ng mga anggulo 1 at 4, bumuo ng mga panig 1 - 6, 4 - 3, 4 - 5 at 7 - 2, pagkatapos nito gumuhit kami ng mga panig 5 - 6 at 3 - 2.
Ang mga vertice ng naturang tatsulok ay maaaring itayo gamit ang isang compass at isang parisukat na may mga anggulo ng 30 at 60 ° o isang compass lamang. Isaalang-alang natin ang dalawang paraan upang makabuo ng isang equilateral triangle na nakasulat sa isang bilog.
Unang paraan(Larawan 61,a) ay batay sa katotohanan na ang lahat ng tatlong anggulo ng tatsulok 7, 2, 3 ay naglalaman ng 60°, at ang patayong linya na iginuhit sa punto 7 ay parehong taas at bisector ng anggulo 1. Dahil ang anggulo Ang 0 - 1 - 2 ay katumbas ng 30°, pagkatapos ay upang mahanap ang side 1 - 2 ito ay sapat na upang bumuo ng isang anggulo ng 30° mula sa point 1 at side 0 - 1. Upang gawin ito, i-install ang crossbar at parisukat tulad ng ipinapakita sa figure, gumuhit ng linya 1 - 2, na magiging isa sa mga gilid ng nais na tatsulok. Upang bumuo ng bahagi 2 - 3, itakda ang crossbar sa posisyon na ipinapakita ng mga putol-putol na linya, at gumuhit ng isang tuwid na linya hanggang sa punto 2, na tutukuyin ang ikatlong tuktok ng tatsulok.
Pangalawang paraan ay batay sa katotohanan na kung bumuo ka ng isang regular na hexagon na nakasulat sa isang bilog at pagkatapos ay ikonekta ang mga vertices nito sa pamamagitan ng isa, makakakuha ka ng isang equilateral triangle.
Upang makabuo ng isang tatsulok, markahan ang vertex point 1 sa diameter at gumuhit ng isang diametrical na linya 1 - 4. Susunod, mula sa punto 4 na may radius na katumbas ng D/2, inilalarawan namin ang isang arko hanggang sa mag-intersect ito sa bilog sa mga punto 3 at 2. Ang mga resultang puntos ay ang iba pang dalawang vertices ng nais na tatsulok.
Ang pagtatayo na ito ay maaaring gawin gamit ang isang parisukat at isang compass.
Unang paraan ay batay sa katotohanan na ang mga diagonal ng parisukat ay bumalandra sa gitna ng circumscribed na bilog at nakakiling sa mga palakol nito sa isang anggulo na 45°. Batay dito, ini-install namin ang crossbar at parisukat na may mga anggulo na 45° tulad ng ipinapakita sa Fig. 62, a, at markahan ang mga puntos 1 at 3. Susunod, sa pamamagitan ng mga puntong ito ay iguguhit natin ang mga pahalang na gilid ng parisukat na 4 - 1 at 3 -2 gamit ang isang crossbar. Pagkatapos, gamit ang isang tuwid na gilid sa gilid ng parisukat, iginuhit namin ang mga patayong gilid ng parisukat 1 - 2 at 4 - 3.
Pangalawang paraan ay batay sa katotohanan na ang mga vertices ng isang parisukat ay hinahati ang mga arko ng isang bilog na nakapaloob sa pagitan ng mga dulo ng diameter. Minarkahan namin ang mga puntong A, B at C sa mga dulo ng dalawang magkaparehong patayong diameter at mula sa kanila na may radius y inilalarawan namin ang mga arko hanggang sa magsalubong sila sa isa't isa.
Susunod, sa pamamagitan ng mga intersection point ng mga arko ay gumuhit kami ng mga pantulong na tuwid na linya, na minarkahan sa figure na may mga solidong linya. Ang mga punto ng kanilang intersection sa bilog ay tutukoy sa mga vertice 1 at 3; 4 at 2. Ikinonekta namin ang mga vertices ng nais na parisukat na nakuha sa ganitong paraan sa serye sa bawat isa.
Konstruksyon ng isang regular na pentagon na nakasulat sa isang bilog.
Upang magkasya ang isang regular na pentagon sa isang bilog, ginagawa namin ang mga sumusunod na konstruksyon. Minarkahan namin ang punto 1 sa bilog at kunin ito bilang isa sa mga vertice ng pentagon. Hinahati namin ang segment na AO sa kalahati. Upang gawin ito, inilalarawan namin ang isang arko mula sa punto A na may radius AO hanggang sa mag-intersect ito sa bilog sa mga puntong M at B. Sa pamamagitan ng pagkonekta sa mga puntong ito sa isang tuwid na linya, nakukuha namin ang punto K, na pagkatapos ay ikinonekta namin sa punto 1. Gamit ang isang radius na katumbas ng segment na A7, inilalarawan namin ang isang arko mula sa puntong K hanggang sa mag-intersect ito sa diametrical line AO sa punto H. Sa pamamagitan ng pagkonekta ng point 1 sa point H, nakukuha namin ang gilid ng pentagon. Pagkatapos, gamit ang isang solusyon sa compass na katumbas ng segment 1H, na naglalarawan ng isang arko mula sa vertex 1 hanggang sa intersection sa bilog, nakita namin ang mga vertices 2 at 5. Ang pagkakaroon ng mga notches mula sa vertex 2 at 5 na may parehong solusyon ng compass, nakuha namin ang natitirang vertices 3 at 4. Ikinonekta namin ang mga nahanap na punto nang sunud-sunod sa bawat isa.
Pagbuo ng isang regular na pentagon sa isang naibigay na panig.
Upang makabuo ng isang regular na pentagon sa isang naibigay na panig (Larawan 64), hinati namin ang segment AB sa anim na pantay na bahagi. Mula sa mga puntong A at B na may radius AB ay inilalarawan namin ang mga arko, ang intersection na kung saan ay magbibigay ng punto K. Sa pamamagitan ng puntong ito at dibisyon 3 sa linya AB gumuhit kami ng isang patayong linya. Susunod, mula sa puntong K sa tuwid na linyang ito ay tinanggal namin ang isang segment na katumbas ng 4/6 AB. Nakukuha namin ang point 1 - ang vertex ng pentagon. Pagkatapos, na may radius na katumbas ng AB, mula sa punto 1 ay inilalarawan namin ang isang arko hanggang sa ito ay nagsalubong sa mga arko na dati nang iginuhit mula sa mga puntong A at B. Tinutukoy ng mga intersection point ng mga arko ang mga pentagon na vertice 2 at 5. Ikinonekta namin ang natagpuang mga vertice sa serye sa isa't isa.
Konstruksyon ng isang regular na heptagon na nakasulat sa isang bilog.
Hayaang magbigay ng bilog na may diameter na D; kailangan mong magkasya ang isang regular na heptagon dito (Larawan 65). Hatiin ang patayong diameter ng bilog sa pitong pantay na bahagi. Mula sa punto 7 na may radius na katumbas ng diameter ng bilog D, inilalarawan namin ang isang arko hanggang sa ito ay intersect sa pagpapatuloy ng pahalang na diameter sa punto F. Tinatawag namin ang punto F na poste ng polygon. Ang pagkuha ng punto VII bilang isa sa mga vertices ng heptagon, gumuhit kami ng mga ray mula sa poste F sa pamamagitan ng pantay na mga dibisyon ng vertical diameter, ang intersection kung saan sa bilog ay matukoy ang mga vertices VI, V at IV ng heptagon. Upang makakuha ng mga vertices / - // - /// mula sa mga puntos IV, V at VI, gumuhit ng mga pahalang na linya hanggang sa magsalubong ang mga ito sa bilog. Ikinonekta namin ang mga natagpuang vertex nang sunud-sunod sa isa't isa. Ang isang heptagon ay maaaring itayo sa pamamagitan ng pagguhit ng mga sinag mula sa F pole at sa pamamagitan ng mga kakaibang dibisyon ng vertical diameter.
Ang pamamaraan sa itaas ay angkop para sa pagbuo ng mga regular na polygon na may anumang bilang ng mga panig.
Ang paghahati ng isang bilog sa anumang bilang ng mga pantay na bahagi ay maaari ding gawin gamit ang data sa Talahanayan. 2, na nagbibigay ng mga coefficient na ginagawang posible upang matukoy ang mga sukat ng mga gilid ng regular na inscribed polygons.
Mga haba ng gilid ng regular na inscribed na mga polygon.
Ang unang column ng table na ito ay nagpapakita ng bilang ng mga gilid ng isang regular na inscribed polygon, at ang pangalawang column ay nagpapakita ng mga coefficient. Ang haba ng gilid ng isang binigay na polygon ay nakukuha sa pamamagitan ng pagpaparami ng radius ng isang binigay na bilog sa isang koepisyent na tumutugma sa bilang ng mga gilid ng polygon na ito.
Regular na pentagon(Griyego πενταγωνον ) - isang geometric na pigura, isang regular na polygon na may limang panig.
Ari-arian
- Ang dodecahedron ay ang tanging regular na polyhedron na ang mga mukha ay regular na pentagons.
- Ang Pentagon, ang gusali ng US Department of Defense, ay may hugis ng isang regular na pentagon.
- Ang regular na pentagon ay isang regular na polygon na may pinakamaliit na anggulo na hindi maaaring i-tile sa isang eroplano.
- Sa kalikasan, walang mga kristal na may mga mukha sa hugis ng isang regular na pentagon.
- Ang pentagon kasama ang lahat ng mga dayagonal nito ay ang projection ng 4-simplex.
Tingnan din
Sumulat ng pagsusuri tungkol sa artikulong "Regular Pentagon"
Mga Tala
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
||||||||||||||||||||||||||||||
Sipi na nagpapakilala sa Regular Pentagon
Hindi alam ni Petya kung gaano ito katagal: nasiyahan siya sa kanyang sarili, patuloy na nagulat sa kanyang kasiyahan at nagsisisi na walang sinumang magsasabi nito. Nagising siya ng malumanay na boses ni Likhachev.- Ready, your honor, hatiin mo sa dalawa ang guard.
Nagising si Petya.
- madaling araw na, talagang, madaling araw na! - sigaw niya.
Ang dating hindi nakikitang mga kabayo ay naging nakikita hanggang sa kanilang mga buntot, at ang isang matubig na liwanag ay nakikita sa pamamagitan ng mga hubad na sanga. Napailing si Petya, tumalon, kumuha ng isang ruble mula sa kanyang bulsa at ibinigay kay Likhachev, kumaway, sinubukan ang saber at inilagay ito sa kaluban. Kinalagan ng mga Cossacks ang mga kabayo at hinigpitan ang mga bigkis.
"Narito ang kumander," sabi ni Likhachev. Lumabas si Denisov sa guardhouse at, tinawag si Petya, inutusan silang maghanda.
Mabilis sa kalahating kadiliman ay binuwag nila ang mga kabayo, hinigpitan ang mga kabilugan at inayos ang mga koponan. Tumayo si Denisov sa guardhouse, na nagbigay ng mga huling utos. Ang impanterya ng partido, na humahampas ng isang daang talampakan, ay nagmartsa pasulong sa kalsada at mabilis na naglaho sa pagitan ng mga puno sa madaling araw na hamog. May iniutos si Esaul sa mga Cossack. Hinawakan ni Petya ang kanyang kabayo sa renda, naiinip na naghihintay ng utos na umakyat. Hinugasan malamig na tubig, ang kanyang mukha, lalo na ang kanyang mga mata, ay nasusunog sa apoy, ang lamig ay dumaloy sa kanyang likod, at isang bagay sa kanyang buong katawan ang mabilis at pantay na nanginginig.
- Buweno, handa na ba ang lahat para sa iyo? - sabi ni Denisov. - Ibigay sa amin ang mga kabayo.
Pinapasok ang mga kabayo. Nagalit si Denisov sa Cossack dahil mahina ang mga girth, at, pinagalitan siya, naupo. Hinawakan ni Petya ang estribo. Ang kabayo, dahil sa ugali, ay gustong kumagat sa kanyang binti, ngunit si Petya, na hindi naramdaman ang kanyang bigat, ay mabilis na tumalon sa saddle at, tumingin pabalik sa mga hussars na lumilipat sa likuran sa kadiliman, sumakay kay Denisov.
- Vasily Fedorovich, ipagkakatiwala mo ba sa akin ang isang bagay? Please... for God's sake... - sabi niya. Tila nakalimutan ni Denisov ang tungkol sa pagkakaroon ni Petya. Binalik niya ang tingin sa kanya.
"Isang bagay ang hinihiling ko sa iyo," matigas niyang sabi, "upang sundin ako at huwag makialam kahit saan."
Sa buong paglalakbay, hindi nagsalita si Denisov kay Petya at tahimik na sumakay. Pagdating namin sa gilid ng gubat, kapansin-pansing lumiliwanag ang field. Nagsalita si Denisov nang pabulong kasama ang esaul, at nagsimulang magmaneho ang Cossacks lampas kina Petya at Denisov. Nang makalampas na silang lahat, pinaandar ni Denisov ang kanyang kabayo at sumakay pababa. Nakaupo sa kanilang likuran at dumudulas, ang mga kabayo ay bumaba kasama ang kanilang mga sakay sa bangin. Sumakay si Petya sa tabi ni Denisov. Lalong lumakas ang panginginig sa buong katawan niya. Ito ay naging mas magaan at mas magaan, tanging ang hamog lamang ang nagtago ng mga malalayong bagay. Bumaba at lumingon sa likod, tumango si Denisov sa Cossack na nakatayo sa tabi niya.
- Senyales! - sinabi niya.
Itinaas ng Cossack ang kanyang kamay at umalingawngaw ang isang putok. At sa parehong sandali, ang padyak ng mga tumatakbong kabayo ay narinig sa harap, mga hiyawan mula sa iba't ibang panig at higit pang mga putok.
Kasabay ng mga unang tunog ng pagtapak at pagsigaw ay narinig, si Petya, na tinamaan ang kanyang kabayo at pinakawalan ang mga bato, hindi nakikinig kay Denisov, na sumisigaw sa kanya, ay tumakbo pasulong. Tila kay Petya na biglang sumikat na kasingliwanag ng kalagitnaan ng araw sa sandaling iyon nang marinig ang putok. Tumakbo siya patungo sa tulay. Ang mga Cossack ay tumakbo sa unahan ng kalsada. Sa tulay ay nakatagpo siya ng isang nahuhuling Cossack at sumakay. Ang ilang mga tao sa unahan - malamang na sila ay Pranses - ay tumatakbo mula sa kanang bahagi ng kalsada sa kaliwa. Ang isa ay nahulog sa putik sa ilalim ng mga paa ng kabayo ni Petya.
Nagsisiksikan ang mga Cossack sa isang kubo, may ginagawa. Isang nakakatakot na hiyawan ang narinig mula sa gitna ng karamihan. Tumakbo si Petya sa pulutong na ito, at ang una niyang nakita ay ang maputlang mukha ng isang Pranses na may nanginginig na ibabang panga, na nakahawak sa baras ng isang sibat na nakatutok sa kanya.
“Hurray!.. Guys... ours...” sigaw ni Petya at, binigay ang renda sa sobrang init na kabayo, tumakbo pasulong sa kalsada.
Narinig ang mga putok sa unahan. Ang mga Cossack, hussars at gulanit na mga bilanggo ng Russia, na tumatakbo mula sa magkabilang gilid ng kalsada, ay sumisigaw ng isang bagay nang malakas at alanganin. Isang guwapong Pranses, na walang sumbrero, na may pula, nakasimangot na mukha, sa isang asul na kapote, ay lumaban sa mga hussar gamit ang isang bayoneta. Nang humakbang si Petya, nahulog na ang Pranses. Huli na naman ako, umilaw si Petya sa kanyang ulo, at tumakbo siya papunta sa kung saan naririnig ang madalas na mga putok. Umalingawngaw ang mga putok sa looban ng manor house kung saan kasama niya si Dolokhov kagabi. Ang mga Pranses ay nakaupo doon sa likod ng isang bakod sa isang siksik na hardin na tinutubuan ng mga palumpong at pinaputok ang mga Cossacks na masikip sa tarangkahan. Paglapit sa tarangkahan, si Petya, sa usok ng pulbos, ay nakita si Dolokhov na may maputla, maberde na mukha, na sumisigaw ng isang bagay sa mga tao. “Kumalma ka! Hintayin ang infantry!" - sigaw niya, habang si Petya ay nagmaneho papunta sa kanya.
“Teka?.. Hurray!..” sigaw ni Petya at, walang pag-aalinlangan ni isang minuto, tumakbo siya papunta sa lugar kung saan narinig ang mga putok at kung saan mas makapal ang usok ng pulbos. Isang volley ang narinig, tumili ang mga basyo ng bala at may tinamaan. Ang Cossacks at Dolokhov ay tumakbo pagkatapos ni Petya sa mga pintuan ng bahay. Ang mga Pranses, sa umuuga na makapal na usok, ang ilan ay naghagis ng kanilang mga sandata at tumakbo palabas ng mga palumpong upang salubungin ang mga Cossacks, ang iba ay tumakbo pababa sa lawa. Si Petya ay tumakbo sa kanyang kabayo sa kahabaan ng bakuran ng asyenda at, sa halip na hawakan ang mga bato, kakaiba at mabilis na iwinagayway ang magkabilang braso at bumagsak papalayo sa siyahan sa isang tabi. Ang kabayo, na tumatakbo sa apoy na nagbabaga sa liwanag ng umaga, nagpahinga, at si Petya ay nahulog nang husto sa basang lupa. Nakita ng mga Cossacks kung gaano kabilis ang pagkibot ng kanyang mga braso at binti, sa kabila ng katotohanang hindi gumagalaw ang kanyang ulo. Tumagos ang bala sa kanyang ulo.
Matapos makipag-usap sa senior na opisyal ng Pranses, na lumabas sa kanya mula sa likod ng bahay na may scarf sa kanyang espada at inihayag na sila ay sumuko, si Dolokhov ay bumaba sa kanyang kabayo at lumapit kay Petya, na nakahiga nang hindi gumagalaw, na nakaunat ang kanyang mga braso.
"Handa," sabi niya, nakasimangot, at dumaan sa gate upang salubungin si Denisov, na papalapit sa kanya.
- Pinatay?! - Sumigaw si Denisov, na nakikita mula sa malayo ang pamilyar, walang alinlangan na walang buhay na posisyon kung saan nakahiga ang katawan ni Petya.
"Handa," ulit ni Dolokhov, na parang ang pagbigkas ng salitang ito ay nagbigay sa kanya ng kasiyahan, at mabilis na nagpunta sa mga bilanggo, na napapalibutan ng mga bumabagsak na Cossacks. - Hindi namin ito kukunin! – sigaw niya kay Denisov.
Imposibleng gawin nang hindi pinag-aaralan ang pamamaraan ng prosesong ito. Mayroong ilang mga pagpipilian para sa paggawa ng trabaho. Kung paano gumuhit ng isang bituin gamit ang isang pinuno ay makakatulong sa iyo na maunawaan ang mga pinakatanyag na pamamaraan ng prosesong ito.
Mga uri ng bituin
Mayroong maraming mga pagpipilian hitsura isang pigura na parang bituin.
Mula noong sinaunang panahon, ang limang-tulis na iba't nito ay ginagamit upang gumuhit ng mga pentagram. Ito ay ipinaliwanag sa pamamagitan ng pag-aari nito, na nagpapahintulot sa iyo na gumawa ng isang pagguhit nang hindi inaangat ang panulat mula sa papel.
Mayroon ding anim na puntos, buntot na mga kometa.
Limang taluktok ang tradisyonal na mayroon Starfish. Ang mga imahe ng bersyon ng Pasko ay madalas na matatagpuan sa parehong hugis.
Sa anumang kaso, upang gumuhit ng limang-tulis na bituin na hakbang-hakbang, kailangan mong tumulong mga espesyal na kasangkapan, dahil malabong magmukhang simetriko at maganda ang isang larawang iginuhit ng kamay.
Pagpapatupad ng pagguhit
Upang maunawaan kung paano gumuhit ng kahit na bituin, dapat mong maunawaan ang kakanyahan ng figure na ito.
Ang batayan para sa pagguhit nito ay isang sirang linya, ang mga dulo nito ay nagtatagpo sa panimulang punto. Ito ay bumubuo ng isang regular na pentagon - isang pentagon.
Ang mga natatanging katangian ng naturang figure ay ang posibilidad na isulat ito sa isang bilog, pati na rin ang bilog sa polygon na ito.
Ang lahat ng panig ng pentagon ay pantay sa bawat isa. Sa pamamagitan ng pag-unawa kung paano magsagawa ng wastong pagguhit, mauunawaan mo ang kakanyahan ng proseso ng pagbuo ng lahat ng mga figure, pati na rin ang iba't ibang mga diagram ng mga bahagi at bahagi.
Upang makamit ang isang layunin tulad ng pagguhit ng isang bituin gamit ang isang ruler, dapat kang magkaroon ng kaalaman sa pinakasimpleng mga mathematical formula na pangunahing sa geometry. Kakailanganin mo rin ang kakayahang umasa sa isang calculator. Ngunit ang pinakamahalagang bagay ay ang lohikal na pag-iisip.
Ang gawain ay hindi mahirap, ngunit ito ay mangangailangan ng katumpakan at pagiging maingat. Ang pagsisikap na ginugol ay gagantimpalaan ng isang mahusay na simetriko, at samakatuwid ay maganda, imahe ng isang limang-tulis na bituin.
Klasikong pamamaraan
Ang pinakatanyag na paraan upang gumuhit ng isang bituin gamit ang isang compass, ruler at protractor ay medyo simple.
Para sa diskarteng ito kakailanganin mo ng ilang mga tool: isang compass o protractor, isang ruler, isang simpleng lapis, isang pambura at isang sheet ng puting papel.
Upang maunawaan kung paano gumuhit ng isang bituin nang maganda, dapat kang kumilos nang sunud-sunod, hakbang-hakbang.
Maaari kang gumamit ng mga espesyal na kalkulasyon sa iyong trabaho.
Pagkalkula ng figure
Sa yugtong ito ng pagguhit ng tamang bituin, lumilitaw ang mga contour ng natapos na pigura.
Kung ang lahat ay tapos na nang tama, ang magreresultang imahe ay magiging makinis. Maaari itong masuri nang biswal sa pamamagitan ng pag-ikot ng isang piraso ng papel at pagtatasa ng hugis. Ito ay mananatiling pareho sa tuwing liliko ka.
Ang mga pangunahing contour ay iginuhit nang mas malinaw gamit ang isang ruler at isang simpleng lapis. Ang lahat ng mga pantulong na linya ay tinanggal.
Upang maunawaan kung paano gumuhit ng isang bituin hakbang-hakbang, dapat mong isagawa ang lahat ng mga hakbang nang may pag-iisip. Sa kaso ng isang error, maaari mong iwasto ang pagguhit gamit ang isang pambura o isagawa muli ang lahat ng mga manipulasyon.
Pagpaparehistro ng trabaho
Ang tapos na anyo ay maaaring palamutihan sa iba't ibang paraan. Ang pangunahing bagay ay hindi matakot na mag-eksperimento. Ang pantasya ay magmumungkahi ng orihinal at magandang larawan.
Maaari mong palamutihan ang iginuhit na tuwid na bituin gamit ang isang simpleng lapis o gumamit ng iba't ibang kulay at shade.
Upang malaman kung paano gumuhit ng tamang bituin, kailangan mong manatili sa perpektong mga linya sa kabuuan. Samakatuwid, ang pinakasikat na pagpipilian sa disenyo ay ang hatiin ang bawat sinag ng pigura sa dalawang pantay na bahagi na may linyang nagmumula sa itaas hanggang sa gitna.
Hindi mo kailangang paghiwalayin ang mga gilid ng bituin na may mga linya. Maaari mo lamang ipinta ang bawat sinag ng figure na may mas madilim na lilim sa isang gilid.
Ang pagpipiliang ito ay magiging sagot din sa tanong kung paano gumuhit ng tamang bituin, dahil ang lahat ng mga linya nito ay magiging simetriko.
Kung ninanais, kapag aesthetically pagdidisenyo ng isang figure, maaari kang magdagdag ng isang dekorasyon o iba pang iba't ibang mga elemento. Sa pamamagitan ng pagdaragdag ng mga bilog sa tuktok, maaari kang makakuha ng bituin ng sheriff. Sa pamamagitan ng paglalapat ng makinis na pagtatabing ng mga gilid ng anino, maaari kang makakuha ng starfish.
Ang pamamaraan na ito ay ang pinaka-karaniwan, dahil walang labis na pagsisikap na ito ay nagbibigay-daan sa iyo upang maunawaan kung paano gumuhit ng isang limang-tulis na bituin na hakbang-hakbang. Nang hindi gumagamit ng kumplikadong mga kalkulasyon sa matematika, posible na makakuha ng isang tama, magandang imahe.
Ang pagkakaroon ng pagsasaalang-alang sa lahat ng mga paraan upang gumuhit ng isang bituin gamit ang isang pinuno, maaari mong piliin ang pinaka-angkop para sa iyong sarili. Ang pinakasikat ay ang geometric step-by-step na paraan. Ito ay medyo simple at epektibo. Gamit ang pantasya at imahinasyon, maaari kang lumikha ng isang orihinal na komposisyon mula sa nagresultang tama, magandang hugis. Mayroong isang mahusay na iba't ibang mga pagpipilian sa disenyo. Ngunit maaari kang palaging makabuo ng iyong sarili, pinaka-hindi pangkaraniwang at hindi malilimutang balangkas. Ang pangunahing bagay ay huwag matakot na mag-eksperimento!
5.3. Gintong Pentagon; pagtatayo ng Euclid.
Ang isang kahanga-hangang halimbawa ng "golden ratio" ay isang regular na pentagon - convex at hugis-bituin (Larawan 5).
Upang bumuo ng isang pentagram, kailangan mong bumuo ng isang regular na pentagon.
Hayaang O ang sentro ng bilog, A ang punto sa bilog, at E ang gitnang punto ng segment na OA. Ang patayo sa radius OA, na naibalik sa punto O, ay nagsalubong sa bilog sa punto D. Gamit ang isang compass, i-plot ang segment CE = ED sa diameter. Ang haba ng gilid ng isang regular na pentagon na nakasulat sa isang bilog ay katumbas ng DC. I-plot namin ang mga segment na DC sa bilog at kumuha ng limang puntos para gumuhit ng regular na pentagon. Ikinonekta namin ang mga sulok ng pentagon sa isa't isa na may mga diagonal at kumuha ng pentagram. Ang lahat ng mga diagonal ng pentagon ay nahahati sa bawat isa sa mga segment na konektado ng gintong ratio.
Ang bawat dulo ng pentagonal na bituin ay kumakatawan sa isang gintong tatsulok. Ang mga gilid nito ay bumubuo ng isang anggulo ng 36 ° sa tuktok, at ang base, na inilatag sa gilid, hinahati ito sa proporsyon ng gintong ratio.
Mayroon ding gintong cuboid - ito ay isang parihabang parallelepiped na may mga gilid na may haba na 1.618, 1 at 0.618.
Ngayon isaalang-alang ang patunay na inaalok ni Euclid sa Elements.
| |
mula sa gitna ng circumscribed circle. Magsimula tayo sa
segment ABE, hinati sa mean at
Kaya hayaan ang AC=AE. Tukuyin natin sa pamamagitan ng isang pantay na anggulo ang EBC at CEB. Dahil AC=AE, ang anggulong ACE ay katumbas din ng a. Ang theorem na ang kabuuan ng mga anggulo ng isang tatsulok ay katumbas ng 180 degrees ay nagbibigay-daan sa amin upang mahanap ang anggulo LAHAT: ito ay katumbas ng 180-2a, at ang anggulo EAC ay 3a - 180. Ngunit pagkatapos ay ang anggulo ABC ay katumbas ng 180 -a. Pagbubuod ng mga anggulo ng tatsulok na ABC na nakukuha natin,
180=(3a -180) + (3a-180) + (180 - a)
Kung saan ang 5a=360 ay nangangahulugang a=72.
Kaya, ang bawat isa sa mga base na anggulo ng tatsulok na WEIGHT ay dalawang beses ang vertex angle, na 36 degrees. Samakatuwid, upang makabuo ng isang regular na pentagon, kailangan mo lamang gumuhit ng anumang bilog na may sentro sa punto E, intersecting EC sa punto X at gilid EB sa punto Y: ang segment XY ay nagsisilbing isa sa mga gilid ng isang regular na pentagon na nakasulat sa bilog; Sa pamamagitan ng paglibot sa buong bilog, mahahanap mo ang lahat ng iba pang panig.
Patunayan natin ngayon na AC = AE. Ipagpalagay na ang vertex C ay konektado ng isang segment ng linya sa gitnang N ng segment BE. Tandaan na dahil CB = CE, tama ang anggulong CNE. Ayon sa Pythagorean theorem:
CN 2 = a 2 – (a/2j) 2 = a 2 (1-4j 2)
Kaya mayroon tayong (AC/a) 2 = (1+1/2j) 2 + (1-1/4j 2) = 2+1/j = 1 + j =j 2
Kaya, AC = ja = jAB = AE, na kung ano ang kailangan upang mapatunayan
5.4 Archimedes' spiral.
Sa pamamagitan ng sunud-sunod na pagputol ng mga parisukat mula sa mga ginintuang parihaba at infinitum, sa bawat oras na pagkonekta sa magkasalungat na mga punto na may isang quarter ng bilog, nakakakuha tayo ng medyo eleganteng kurba. Ang unang nakakuha ng pansin dito ay ang sinaunang siyentipikong Griyego na si Archimedes, na ang pangalan ay taglay nito. Pinag-aralan niya ito at nakuha ang equation ng spiral na ito.
Sa kasalukuyan, ang Archimedes spiral ay malawakang ginagamit sa teknolohiya.
6. Fibonacci numero.
Ang pangalan ng Italyano na matematiko na si Leonardo mula sa Pisa, na mas kilala sa kanyang palayaw na Fibonacci (Fibonacci - pinaikling filius Bonacci, iyon ay, ang anak ni Bonacci), ay hindi direktang konektado sa gintong ratio.
Noong 1202 isinulat niya ang aklat na "Liber abacci", iyon ay, "The Book of Abacus". Ang "Liber abacci" ay isang napakaraming akda na naglalaman ng halos lahat ng aritmetika at algebraic na impormasyon noong panahong iyon at may mahalagang papel sa pag-unlad ng matematika sa Kanlurang Europa sa susunod na ilang siglo. Sa partikular, mula sa aklat na ito nakilala ng mga Europeo ang mga numerong Hindu (“Arabic”).
Ang materyal na iniulat sa aklat ay ipinaliwanag sa pamamagitan ng isang malaking bilang ng mga problema na bumubuo ng isang mahalagang bahagi ng treatise na ito.
Isaalang-alang natin ang isang ganoong problema:
"Ilang pares ng kuneho ang ipinanganak mula sa isang pares sa isang taon?
Ang isang tao ay naglagay ng isang pares ng mga kuneho sa isang tiyak na lugar, na nabakuran sa lahat ng panig ng isang pader, upang malaman kung gaano karaming mga pares ng mga kuneho ang isisilang sa taong ito, kung ang likas na katangian ng mga kuneho ay tulad na sa isang buwan isang pares ng ang mga kuneho ay magpaparami ng isa pa, at ang mga kuneho ay manganganak mula sa ikalawang buwan pagkatapos ng kanilang kapanganakan."
| mga buwan | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
| Mga pares ng kuneho | 2 | 3 | 5 | 8 | 13 | 21 | 34 | 55 | 89 | 144 | 233 | 377 |
Lumipat tayo ngayon mula sa mga kuneho patungo sa mga numero at isaalang-alang ang sumusunod na pagkakasunud-sunod ng numero:
u 1 , u 2 … u n
kung saan ang bawat termino ay katumbas ng kabuuan ng naunang dalawa, i.e. para sa anumang n>2
u n =u n -1 +u n -2 .
Ang pagkakasunud-sunod na ito ay asymptotically (lumalapit nang higit at mas mabagal) ay may posibilidad sa ilang patuloy na kaugnayan. Gayunpaman, ang ratio na ito ay hindi makatwiran, iyon ay, ito ay isang numero na may walang katapusan, hindi mahuhulaan na pagkakasunud-sunod ng mga decimal na digit sa fractional na bahagi. Imposibleng ipahayag ito nang tumpak.
Kung ang anumang termino ng Fibonacci sequence ay hinati sa hinalinhan nito (halimbawa, 13:8), ang resulta ay magiging isang value na nagbabago sa paligid ng hindi makatwirang halaga na 1.61803398875... at minsan ay lumalampas dito, minsan ay hindi umabot dito.
Ang asymptotic na pag-uugali ng pagkakasunud-sunod at ang damped oscillations ng ratio nito sa paligid ng hindi makatwirang numero Ф ay maaaring maging mas maliwanag kung ipapakita natin ang mga ratio ng unang ilang termino ng pagkakasunud-sunod. Ipinapakita ng halimbawang ito ang mga ugnayan ng ikalawang termino sa una, ang ikatlo sa pangalawa, ang ikaapat sa ikatlo, at iba pa:
1:1 = 1.0000, na mas mababa sa phi ng 0.6180
2:1 = 2.0000, na 0.3820 higit pa sa phi
3:2 = 1.5000, na mas mababa sa phi ng 0.1180
5:3 = 1.6667, na 0.0486 higit pa sa phi
8:5 = 1.6000, na mas mababa sa phi ng 0.0180
Sa paglipat mo sa Fibonacci summation sequence, hahatiin ng bawat bagong termino ang susunod na may mas malaki at mas malaking pagtatantya sa hindi maabot na F.
Ang tao ay subconsciously naghahanap ng Banal na proporsyon: ito ay kinakailangan upang masiyahan ang kanyang pangangailangan para sa kaginhawahan.
Kapag hinahati ang sinumang miyembro ng Fibonacci sequence sa susunod, ang resulta ay kabaligtaran lamang ng 1.618 (1: 1.618 = 0.618). Ngunit ito rin ay isang napaka-pangkaraniwan, kahit na kapansin-pansing kababalaghan. Dahil ang orihinal na ratio ay isang walang katapusang fraction, ang ratio na ito ay dapat ding walang katapusan.
Kapag hinahati ang bawat numero sa susunod na isa pagkatapos nito, nakukuha natin ang numerong 0.382
Sa pagpili ng mga ratio sa ganitong paraan, makuha natin ang pangunahing hanay ng mga ratio ng Fibonacci: 4.235, 2.618, 1.618, 0.618, 0.382, 0.236. Banggitin din natin ang 0.5. Lahat sila ay may espesyal na papel sa kalikasan at partikular sa teknikal na pagsusuri.
Dapat pansinin dito na ipinaalala lamang ni Fibonacci sa sangkatauhan ang kanyang pagkakasunud-sunod, dahil kilala ito noong sinaunang panahon tinatawag na Golden Ratio.
Ang ginintuang ratio, tulad ng nakita natin, ay lumitaw na may kaugnayan sa isang regular na pentagon, samakatuwid ang mga numero ng Fibonacci ay may papel sa lahat ng bagay na may kinalaman sa mga regular na pentagon - matambok at hugis-bituin.
Ang serye ng Fibonacci ay maaaring nanatili lamang sa isang matematikal na insidente, kung hindi para sa katotohanan na ang lahat ng mga mananaliksik ng gintong dibisyon sa mundo ng halaman at hayop, hindi banggitin ang sining, ay palaging dumating sa seryeng ito bilang isang aritmetika na pagpapahayag ng batas ng ginintuang dibisyon. Patuloy na aktibong binuo ng mga siyentipiko ang teorya ng mga numero ng Fibonacci at ang gintong ratio. Nilulutas ni Yu. Matiyasevich ang ika-10 problema ni Hilbert (tungkol sa paglutas ng mga equation ng Diophantine) gamit ang mga numerong Fibonacci. Ang mga eleganteng pamamaraan ay umuusbong para sa paglutas ng ilang mga problema sa cybernetic (teorya sa paghahanap, laro, programming) gamit ang mga numero ng Fibonacci at ang ginintuang ratio. Sa USA, kahit na ang Mathematical Fibonacci Association ay nilikha, na naglalathala ng isang espesyal na journal mula noong 1963.
Isa sa mga nagawa sa larangang ito ay ang pagtuklas ng mga pangkalahatang numero ng Fibonacci at mga pangkalahatang gintong ratio. Ang serye ng Fibonacci (1, 1, 2, 3, 5, 8) at ang "binary" na serye ng mga numero na natuklasan niya 1, 2, 4, 8, 16... (iyon ay, isang serye ng mga numero hanggang sa n , kung saan man natural na numero, mas mababa sa n ang maaaring kinakatawan ng kabuuan ng ilang numero sa seryeng ito) sa unang tingin ay ganap na naiiba. Ngunit ang mga algorithm para sa kanilang pagtatayo ay halos kapareho sa bawat isa: sa unang kaso, ang bawat numero ay ang kabuuan ng nakaraang numero na may sarili nitong 2 = 1 + 1; 4 = 2 + 2..., sa pangalawa - ito ang kabuuan ng dalawang naunang numero 2 = 1 + 1, 3 = 2 + 1, 5 = 3 + 2.... Posible bang makahanap ng pangkalahatan mathematical formula kung saan kami kumukuha ng “ binary series at Fibonacci series?
Sa katunayan, tukuyin natin ang isang numerical parameter S, na maaaring tumagal ng anumang mga halaga: 0, 1, 2, 3, 4, 5... Isaalang-alang serye ng numero, S + 1 ng mga unang termino na kung saan ay mga isa, at ang bawat isa sa mga kasunod na mga ay katumbas ng kabuuan ng dalawang termino ng nauna, na kung saan ay pinaghihiwalay mula sa naunang isa sa pamamagitan ng S hakbang. Kung nth term Tinutukoy namin ang seryeng ito ng S (n), pagkatapos ay nakuha namin ang pangkalahatang formula S (n) = S (n – 1) + S (n – S – 1).
Malinaw na sa S = 0 mula sa formula na ito makakakuha tayo ng isang "binary" na serye, sa S = 1 - isang Fibonacci series, sa S = 2, 3, 4 - bagong serye ng mga numero, na tinatawag na S-Fibonacci na mga numero. .
SA pangkalahatang pananaw Ang golden S-proportion ay ang positibong ugat ng golden S-section equation x S+1 – x S – 1 = 0.
Madaling ipakita na sa S = 0 ang segment ay nahahati sa kalahati, at sa S = 1 ang pamilyar na klasikal na golden ratio ay nakuha.
Ang mga ratio ng mga kalapit na Fibonacci S-number ay nag-tutugma sa ganap na katumpakan ng matematika sa limitasyon sa mga gintong S-proporsyon! Ibig sabihin, ang mga gintong S-section ay mga numerical invariant ng Fibonacci S-numbers.
7.Golden ratio sa sining.
7.1. Golden ratio sa pagpipinta.
Ang paglipat sa mga halimbawa ng "gintong ratio" sa pagpipinta, hindi maaaring hindi tumutok ang isang tao sa gawain ni Leonardo da Vinci. Ang kanyang pagkatao ay isa sa mga misteryo ng kasaysayan. Si Leonardo da Vinci mismo ang nagsabi: "Huwag hayaan ang sinuman na hindi isang matematiko na mangahas na basahin ang aking mga gawa."
Walang alinlangan na si Leonardo da Vinci ay isang mahusay na artista, nakilala na ito ng kanyang mga kontemporaryo, ngunit ang kanyang personalidad at aktibidad ay mananatiling nababalot ng misteryo, dahil iniwan niya sa kanyang mga inapo ang hindi isang magkakaugnay na pagtatanghal ng kanyang mga ideya, ngunit maraming sulat-kamay lamang. sketches, mga tala na nagsasabing "tungkol sa lahat ng tao sa mundo."
Ang larawan ni Monna Lisa (La Gioconda) ay nakakuha ng atensyon ng mga mananaliksik sa loob ng maraming taon, na natuklasan na ang komposisyon ng larawan ay batay sa mga gintong tatsulok, na mga bahagi ng isang regular na hugis-bituin na pentagon.
Gayundin, lumilitaw ang proporsyon ng gintong ratio sa pagpipinta ni Shishkin. Dito sa sikat na pagpipinta Malinaw na ipinapakita ng I. I. Shishkin ang mga motibo ng gintong seksyon. Hinahati ng maliwanag na sikat ng araw na pine tree (nakatayo sa harapan) ang haba ng larawan ayon sa golden ratio. Sa kanan ng pine tree ay isang burol na naliliwanagan ng araw. Hinahati nito ang kanang bahagi ng larawan nang pahalang ayon sa gintong ratio.
Sa pagpipinta ni Raphael na "The Massacre of the Innocents" isa pang elemento ng gintong proporsyon ang makikita - ang gintong spiral. Sa paghahanda ng sketch ni Raphael, ang mga pulang linya ay iginuhit na tumatakbo mula sa sentro ng semantiko ng komposisyon - ang punto kung saan ang mga daliri ng mandirigma ay nakasara sa bukong-bukong ng bata - kasama ang mga pigura ng bata, ang babaeng nakahawak sa kanya nang malapit, ang mandirigma na may kanyang espada na nakataas, at pagkatapos ay kasama ang mga figure ng parehong grupo sa kanang bahagi ng sketch. Hindi alam kung ginawa ni Raphael ang gintong spiral o naramdaman ito.
Ginamit ni T. Cook ang golden ratio noong sinusuri ang painting ni Sandro Botticelli na "The Birth of Venus."
7.2. Pyramids ng gintong ratio.
Ang mga medikal na katangian ng mga pyramids, lalo na ang ginintuang ratio, ay malawak na kilala. Ayon sa ilan sa mga pinakakaraniwang opinyon, ang silid kung saan matatagpuan ang naturang pyramid ay tila mas malaki at ang hangin ay mas transparent. Ang mga panaginip ay nagsisimulang mas maalala. Alam din na ang golden ratio ay malawakang ginagamit sa arkitektura at iskultura. Ang isang halimbawa nito ay: ang Pantheon at Parthenon sa Greece, mga gusali ng mga arkitekto na sina Bazhenov at Malevich
8. Konklusyon.
Dapat sabihin na ang golden ratio ay may mahusay na aplikasyon sa ating buhay.
Napatunayan na ang katawan ng tao ay nahahati sa proporsyon sa gintong ratio ng linya ng sinturon.
Ang nautilus shell ay baluktot na parang ginintuang spiral.
Salamat sa ginintuang ratio, natuklasan ang asteroid belt sa pagitan ng Mars at Jupiter - ayon sa proporsyon, dapat mayroong isa pang planeta doon.
Ang kapana-panabik na string sa puntong hinahati ito kaugnay sa gintong dibisyon ay hindi magiging sanhi ng pag-vibrate ng string, iyon ay, ito ang compensation point.
Sa sasakyang panghimpapawid na may mga mapagkukunan ng electromagnetic na enerhiya, ang mga hugis-parihaba na selula na may proporsyon ng ginintuang ratio ay nilikha.
Ang Mona Lisa ay itinayo sa mga gintong tatsulok; ang ginintuang spiral ay naroroon sa pagpipinta ni Raphael na "Massacre of the Innocents".
Ang proporsyon ay natuklasan sa pagpipinta ni Sandro Botticelli na "The Birth of Venus"
Maraming kilalang monumento ng arkitektura na itinayo gamit ang gintong ratio, kabilang ang Pantheon at Parthenon sa Athens, mga gusali ng mga arkitekto na sina Bazhenov at Malevich.
Si John Kepler, na nabuhay limang siglo na ang nakalilipas, ay nagsabi: "Ang geometry ay may dalawang dakilang kayamanan. Ang una ay ang Pythagorean theorem, ang pangalawa ay ang paghahati ng isang segment sa extreme at mean ratio."
Bibliograpiya
1. D. Pidou. Geometry at sining. – M.: Mir, 1979.
2. Magazine na "Science and Technology"
3. Magasin na "Quantum", 1973, No. 8.
4. Magasin na "Mathematics at School", 1994, No. 2; No. 3.
5. Kovalev F.V. Golden ratio sa pagpipinta. K.: Vyshcha School, 1989.
6. Stakhov A. Mga code ng ginintuang proporsyon.
7. Vorobiev N.N. "Mga numero ng Fibonacci" - M.: Nauka 1964
8. "Mathematics - Encyclopedia for Children" M.: Avanta +, 1998
9. Impormasyon mula sa Internet.
Fibonacci matrices at ang tinatawag na "golden" matrice, bagong computer arithmetic, bagong coding theory at bagong cryptography theory. Ang kakanyahan ng bagong agham ay upang baguhin ang lahat ng matematika mula sa punto ng view ng ginintuang seksyon, simula sa Pythagoras, na, natural, ay magsasama ng bago at tiyak na napaka-kagiliw-giliw na mga resulta ng matematika sa teorya. Sa mga praktikal na termino - "ginintuang" computerization. At dahil...
Hindi makakaapekto sa resultang ito. Ang batayan ng ginintuang proporsyon ay isang invariant ng recursive na relasyon 4 at 6. Ito ay nagpapakita ng "katatagan" ng ginintuang seksyon, isa sa mga prinsipyo ng organisasyon ng buhay na bagay. Gayundin, ang base ng ginintuang proporsyon ay isang solusyon sa dalawang kakaibang recursive sequence (Fig. 4.) Fig. 4 Recursive Fibonacci Sequence...
Ang tainga ay j5, at ang distansya mula sa tainga hanggang sa korona ay j6. Kaya, sa estatwa na ito makikita natin ang isang geometric na pag-unlad na may denominator na j: 1, j, j2, j3, j4, j5, j6. (Larawan.9). Kaya, ang golden ratio ay isa sa pangunahing mga prinsipyo sa sining sinaunang Greece. Mga ritmo ng puso at utak. Pantay-pantay ang tibok ng puso ng tao - humigit-kumulang 60 beats kada minuto kapag nagpapahinga. Parang piston ang pintig ng puso ko...
Antas ng kahirapan: Madali
1 hakbang
Una, piliin kung saan ilalagay ang gitna ng bilog. Doon kailangan mong maglagay ng panimulang punto, hayaan itong tawaging O. Gamit ang isang compass, gumuhit ng isang bilog sa paligid nito ng isang ibinigay na diameter o radius.
Hakbang 2
Pagkatapos ay gumuhit kami ng dalawang palakol sa pamamagitan ng punto O, ang gitna ng bilog, isang pahalang, ang isa pa sa 90 degrees na nauugnay dito - patayo. Tawagan natin ang mga pahalang na intersection point mula kaliwa hanggang kanan A at B, patayo, mula sa itaas hanggang sa ibaba - M at N. Ang radius, na namamalagi sa anumang axis, halimbawa, sa pahalang sa kanang bahagi, ay nahahati sa kalahati. Ito ay maaaring gawin tulad nito: magtakda ng isang compass na may radius ng isang bilog na kilala sa amin na may dulo nito sa punto ng intersection ng pahalang na axis at ang bilog - B, markahan ang mga intersection na may bilog, tawagan ang mga nagresultang punto, ayon sa pagkakabanggit, mula sa itaas hanggang sa ibaba - C at P, ikonekta ang mga ito sa isang segment na magsa-intersect sa OB axis, Tinatawag namin ang intersection point na K.
Hakbang 3
Ikinonekta namin ang mga puntong K at M at kumuha ng isang segment na KM, itakda ang isang compass sa punto M, itakda ang distansya upang ituro ang K dito at gumuhit ng mga marka sa radius OA, tawagan ang puntong ito E, pagkatapos ay iguhit ang compass sa intersection sa itaas. kaliwang bahagi ng bilog OM. Tinatawag namin itong intersection point na F. Ang distansya na katumbas ng segment na ME ay ang kinakailangang bahagi ng equilateral pentagon. Sa kasong ito, ang point M ay magiging isang vertex ng pentagon na binuo sa bilog, at ang point F ay ang isa.
Hakbang 4
Susunod, mula sa mga nakuha na puntos sa buong bilog, gumuhit kami ng mga distansya ng compass na katumbas ng segment ME, sa kabuuan ay dapat mayroong 5 puntos. Ikinonekta namin ang lahat ng mga punto na may mga segment - nakakakuha kami ng isang pentagon na nakasulat sa bilog.
- Kapag gumuhit, mag-ingat sa pagsukat ng mga distansya, huwag pahintulutan ang mga error upang ang pentagon ay talagang maging equilateral.
