Kahulugan ng even at odd. Paano matukoy ang pantay at kakaibang mga function

Mga function na zero
Ang zero ng function ay ang halaga X, kung saan ang function ay nagiging 0, iyon ay, f(x)=0.

Ang mga zero ay ang mga punto ng intersection ng graph ng function na may axis Oh.

Pagkakaparehas ng function
Tinatawag ang isang function kahit na para sa alinman X mula sa domain ng kahulugan, ang pagkakapantay-pantay f(-x) = f(x)

Ang pantay na function ay simetriko tungkol sa axis OU

Kakaibang function
Ang isang function ay tinatawag na kakaiba kung para sa alinman X mula sa domain ng kahulugan, ang pagkakapantay-pantay f(-x) = -f(x) ay nasiyahan.

Ang isang kakaibang function ay simetriko na may paggalang sa pinagmulan.
Ang isang function na hindi kahit na o kakaiba ay tinatawag na isang pangkalahatang function.

Pagtaas ng Function
Ang function na f(x) ay tinatawag na pagtaas kung ang mas malaking halaga ng argument ay tumutugma sa mas malaking halaga ng function, i.e. x 2 >x 1 → f(x 2)> f(x 1)

Pagbaba ng function
Ang function na f(x) ay tinatawag na pagbaba kung ang mas malaking halaga ng argument ay tumutugma sa mas maliit na halaga ng function, i.e. x 2 >x 1 → f(x 2)
Tinatawag ang mga pagitan kung saan bumababa o tumataas lamang ang function mga pagitan ng monotony. Ang function na f(x) ay may 3 pagitan ng monotonicity:
(-∞ x 1), (x 1 , x 2), (x 3 ; +∞)

Maghanap ng mga pagitan ng monotonicity gamit ang serbisyo Mga pagitan ng pagtaas at pagbaba ng mga function

Lokal na maximum
Dot x 0 ay tinatawag na lokal na pinakamataas na punto kung para sa alinman X mula sa isang kapitbahayan ng isang punto x 0 ang mga sumusunod na hindi pagkakapantay-pantay ay mayroong: f(x 0) > f(x)

Lokal na minimum
Dot x 0 ay tinatawag na lokal na minimum na punto kung para sa alinman X mula sa isang kapitbahayan ng isang punto x 0 ang mga sumusunod na hindi pagkakapantay-pantay ay mayroong: f(x 0)< f(x).

Ang mga lokal na maximum na puntos at lokal na pinakamababang puntos ay tinatawag na mga lokal na extremum point.

x 1 , x 2 - mga lokal na extremum na puntos.

Periodicity ng Function
Ang function na f(x) ay tinatawag na periodic, na may period T, kung para sa alinman X f(x+T) = f(x) .

Mga agwat ng tuluy-tuloy
Ang mga agwat kung saan ang function ay positibo lamang o negatibo lamang ay tinatawag na mga pagitan ng pare-parehong tanda.

f(x)>0 para sa x∈(x 1 , x 2)∪(x 2 , +∞), f(x)<0 при x∈(-∞,x 1)∪(x 1 , x 2)

Pagpapatuloy ng pag-andar
Ang function na f(x) ay tinatawag na tuloy-tuloy sa puntong x 0 kung ang limitasyon ng function bilang x → x 0 ay katumbas ng halaga ng function sa puntong ito, i.e. .

break points
Ang mga punto kung saan nilalabag ang kondisyon ng pagpapatuloy ay tinatawag na mga punto ng discontinuity ng function.

x0- sukdulan.

Pangkalahatang pamamaraan para sa pag-plot ng mga function

1. Hanapin ang domain ng function na D(y).
2. Hanapin ang mga intersection point ng graph ng mga function na may mga coordinate axes.
3. Siyasatin ang function para sa even o odd.
4. Siyasatin ang function para sa periodicity.
5. Maghanap ng mga pagitan ng monotonicity at extremum point ng function.
6. Maghanap ng mga pagitan ng convexity at inflection point ng function.
7. Hanapin ang mga asymptotes ng function.
8. Batay sa mga resulta ng pag-aaral, bumuo ng isang graph.

Halimbawa: Galugarin ang function at buuin ang graph nito: y = x 3 - 3x
8) Batay sa mga resulta ng pag-aaral, gagawa tayo ng graph ng function:

Bumalik pasulong

Pansin! Ang slide preview ay para sa mga layuning pang-impormasyon lamang at maaaring hindi kumakatawan sa buong lawak ng pagtatanghal. Kung interesado ka sa gawaing ito, mangyaring i-download ang buong bersyon.

Mga layunin:

• upang mabuo ang konsepto ng kahit at kakaibang mga pag-andar, upang turuan ang kakayahang matukoy at gamitin ang mga katangiang ito sa pag-aaral ng mga pag-andar, paglalagay ng mga graph;
• upang bumuo ng malikhaing aktibidad ng mga mag-aaral, lohikal na pag-iisip, ang kakayahang maghambing, gawing pangkalahatan;
• upang linangin ang kasipagan, kultura ng matematika; bumuo ng mga kasanayan sa komunikasyon .

Kagamitan: pag-install ng multimedia, interactive na whiteboard, mga handout.

Mga anyo ng trabaho: frontal at pangkat na may mga elemento ng mga aktibidad sa paghahanap at pananaliksik.

Mga mapagkukunan ng impormasyon:

1. Algebra class 9 A.G. Mordkovich. Teksbuk.
2. Algebra Grade 9 A.G. Mordkovich. Aklat ng gawain.
3. Algebra grade 9. Mga gawain para sa pagkatuto at pagpapaunlad ng mga mag-aaral. Belenkova E.Yu. Lebedintseva E.A.

SA PANAHON NG MGA KLASE

1. Organisasyon sandali

Pagtatakda ng mga layunin at layunin ng aralin.

2. Sinusuri ang takdang-aralin

No. 10.17 (Aklat ng problema ika-9 na baitang A.G. Mordkovich).

a) sa = f(X), f(X) =

b) f (–2) = –3; f (0) = –1; f(5) = 69;

c) 1. D( f) = [– 2; + ∞)
2. E( f) = [– 3; + ∞)
3. f(X) = 0 para sa X ~ 0,4
4. f(X) >0 sa X > 0,4 ; f(X) < 0 при – 2 < X < 0,4.
5. Ang function ay tumataas nang may X € [– 2; + ∞)
6. Ang function ay limitado mula sa ibaba.
7. sa upa = - 3, sa wala si naib
8. Ang function ay tuloy-tuloy.

(Ginamit mo ba ang feature exploration algorithm?) Slide.

2. Suriin natin ang talahanayan na tinanong sa iyo sa slide.

Punan ang talahanayan
	Domain	Mga function na zero	Mga agwat ng tuluy-tuloy		Mga coordinate ng mga punto ng intersection ng graph na may Oy
		x = -5, x = 2	х € (–5;3) U U(2;∞)	х € (–∞;–5) U U (–3;2)
	x ∞ -5, x ≠ 2		х € (–5;3) U U(2;∞)	х € (–∞;–5) U U (–3;2)
	x ≠ -5, x ≠ 2		x € (–∞; –5) U U(2;∞)	x € (–5; 2)

3. Pag-update ng kaalaman

- Ibinigay ang mga function.
– Tukuyin ang domain ng kahulugan para sa bawat function.
– Ihambing ang halaga ng bawat function para sa bawat pares ng mga halaga ng argumento: 1 at – 1; 2 at - 2.
– Para sa alin sa mga ibinigay na function sa domain ng kahulugan ang mga pagkakapantay-pantay f(– X) = f(X), f(– X) = – f(X)? (ilagay ang data sa talahanayan) Slide

		f(1) at f(– 1)	f(2) at f(– 2)	mga tsart	f(– X) = –f(X)	f(– X) = f(X)
1. f(X) =
2. f(X) = X 3
3. f(X) = | X |
4.f(X) = 2X – 3
5. f(X) =	X ≠ 0
6. f(X)=	X > –1		at hindi tinukoy.

4. Bagong materyal

- Habang ginagawa ang gawaing ito, guys, nagsiwalat kami ng isa pang pag-aari ng function, na hindi pamilyar sa iyo, ngunit hindi gaanong mahalaga kaysa sa iba - ito ang kapantay at kakaiba ng function. Isulat ang paksa ng aralin: "Even at kakaibang mga pag-andar", ang aming gawain ay upang malaman kung paano matukoy ang pantay at kakaibang mga pag-andar, alamin ang kahalagahan ng pag-aari na ito sa pag-aaral ng mga pag-andar at paglalagay.
Kaya, hanapin natin ang mga kahulugan sa aklat-aralin at basahin (p. 110) . Slide

Def. isa Function sa = f (X) na tinukoy sa set X ay tinatawag kahit, kung para sa anumang halaga XЄ X na isinasagawa pagkakapantay-pantay f (–x) = f (x). Magbigay ng halimbawa.

Def. 2 Function y = f(x), na tinukoy sa set X ay tinatawag kakaiba, kung para sa anumang halaga XЄ X ang pagkakapantay-pantay f(–х)= –f(х) ay nasiyahan. Magbigay ng halimbawa.

Saan natin nakilala ang mga katagang "kahit" at "kakaiba"?
Alin sa mga function na ito ang magiging pantay, sa tingin mo? Bakit? Alin ang kakaiba? Bakit?
Para sa anumang function ng form sa= x n, saan n ay isang integer, maaari itong mapagtatalunan na ang function ay kakaiba para sa n ay kakaiba at ang function ay kahit para sa n- kahit.
- Tingnan ang mga function sa= at sa = 2X– 3 ay hindi kahit na o kakaiba, dahil hindi natutugunan ang mga pagkakapantay-pantay f(– X) = – f(X), f(– X) = f(X)

Ang pag-aaral ng tanong kung ang isang function ay even o odd ay tinatawag na pag-aaral ng isang function para sa parity. Slide

Ang mga kahulugan 1 at 2 ay tumatalakay sa mga halaga ng function sa x at - x, kaya ipinapalagay na ang function ay tinukoy din sa halaga X, at sa - X.

ODA 3. Kung ang isang numero na itinakda kasama ng bawat isa sa mga elemento nito na x ay naglalaman ng kabaligtaran na elementong x, kung gayon ang hanay X ay tinatawag na simetriko set.

Mga halimbawa:

(–2;2), [–5;5]; (∞;∞) ay simetriko set, at , [–5;4] ay nonsymmetric.

- Ang kahit na mga function ba ay may isang domain ng kahulugan - isang simetriko set? Ang mga kakaiba?
- Kung D( f) ay isang asymmetric set, kung gayon ano ang function?
– Kaya, kung ang function sa = f(X) ay pantay o kakaiba, kung gayon ang domain ng kahulugan nito ay D( f) ay isang simetriko set. Ngunit totoo ba ang kabaligtaran, kung ang domain ng isang function ay isang simetriko set, kung gayon ito ay kahit o kakaiba?
- Kaya't ang pagkakaroon ng simetriko na hanay ng domain ng kahulugan ay isang kinakailangang kundisyon, ngunit hindi sapat.
– Kaya paano natin masisiyasat ang function para sa parity? Subukan nating magsulat ng isang algorithm.

Slide

Algorithm para sa pagsusuri ng isang function para sa parity

1. Tukuyin kung simetriko ang domain ng function. Kung hindi, ang function ay hindi kahit na o kakaiba. Kung oo, pagkatapos ay pumunta sa hakbang 2 ng algorithm.

2. Sumulat ng isang ekspresyon para sa f(–X).

3. Paghambingin f(–X).at f(X):

• kung f(–X).= f(X), kung gayon ang function ay pantay;
• kung f(–X).= – f(X), kung gayon ang pag-andar ay kakaiba;
• kung f(–X) ≠ f(X) at f(–X) ≠ –f(X), kung gayon ang function ay hindi kahit na o kakaiba.

Mga halimbawa:

Siyasatin ang function para sa parity a) sa= x 5 +; b) sa= ; sa) sa= .

Desisyon.

a) h (x) \u003d x 5 +,

1) D(h) = (–∞; 0) U (0; +∞), symmetric set.

2) h (- x) \u003d (-x) 5 + - x5 - \u003d - (x 5 +),

3) h (- x) \u003d - h (x) \u003d\u003e function h(x)= x 5 + kakaiba.

b) y =,

sa = f(X), D(f) = (–∞; –9)? (–9; +∞), asymmetric set, kaya ang function ay hindi even o odd.

sa) f(X) = , y = f(x),

1) D( f) = (–∞; 3] ≠ ; b) (∞; –2), (–4; 4]?

Opsyon 2

1. Symmetric ba ang ibinigay na set: a) [–2;2]; b) (∞; 0], (0; 7) ?

a); b) y \u003d x (5 - x 2). 2. Suriin ang function para sa parity:

a) y \u003d x 2 (2x - x 3), b) y \u003d

3. Sa fig. binalak sa = f(X), para sa lahat X, nagbibigay-kasiyahan sa kondisyon X? 0.
I-plot ang Function sa = f(X), kung sa = f(X) ay isang pantay na function.

3. Sa fig. binalak sa = f(X), para sa lahat ng x na nagbibigay-kasiyahan sa x? 0.
I-plot ang Function sa = f(X), kung sa = f(X) ay isang kakaibang function.

Mutual check on slide.

6. Takdang-Aralin: №11.11, 11.21,11.22;

Patunay ng geometric na kahulugan ng parity property.

*** (Pagtatalaga ng opsyon sa PAGGAMIT).

1. Ang kakaibang function na y \u003d f (x) ay tinukoy sa buong totoong linya. Para sa anumang di-negatibong halaga ng variable na x, ang halaga ng function na ito ay tumutugma sa halaga ng function na g( X) = X(X + 1)(X + 3)(X– 7). Hanapin ang halaga ng function na h( X) = sa X = 3.

7. Pagbubuod

Kahulugan 1. Tinatawag ang function kahit (kakaiba ) kung kasama ang bawat halaga ng variable
ibig sabihin - X nabibilang din
at ang pagkakapantay-pantay

Kaya, ang isang function ay maaaring maging kahit o kakaiba lamang kapag ang domain ng kahulugan nito ay simetriko na may kinalaman sa pinagmulan sa totoong linya (mga numero X at - X sabay-sabay na nabibilang
). Halimbawa, ang function
ay hindi kahit na o kakaiba, dahil ang domain ng kahulugan nito
hindi simetriko tungkol sa pinagmulan.

Function
kahit, dahil
simetriko na may paggalang sa pinagmulan ng mga coordinate at.

Function
kakaiba kasi
at
.

Function
ay hindi kahit na o kakaiba, dahil bagaman
at simetriko na may kinalaman sa pinagmulan, ang mga pagkakapantay-pantay (11.1) ay hindi nasisiyahan. Halimbawa,.

Ang graph ng pantay na function ay simetriko tungkol sa axis OU, dahil kung ang punto

nabibilang din sa graph. Ang graph ng isang kakaibang function ay simetriko tungkol sa pinagmulan, dahil kung
nabibilang sa graph, pagkatapos ay ang punto
nabibilang din sa graph.

Kapag nagpapatunay kung ang isang function ay pantay o kakaiba, ang mga sumusunod na pahayag ay kapaki-pakinabang.

Teorama 1. a) Ang kabuuan ng dalawang even (odd) function ay isang even (odd) function.

b) Ang produkto ng dalawang even (odd) function ay isang even function.

c) Ang produkto ng isang even at isang odd na function ay isang kakaibang function.

d) Kung f ay isang pantay na function sa set X, at ang function g tinukoy sa set
, pagkatapos ay ang function
- kahit.

e) Kung f ay isang kakaibang function sa set X, at ang function g tinukoy sa set
at kahit na (kakaiba), pagkatapos ay ang function
- kahit (kakaiba).

Patunay. Patunayan natin, halimbawa, b) at d).

b) Hayaan
at
ay kahit na mga function. Pagkatapos, samakatuwid. Ang kaso ng mga kakaibang function ay itinuturing na katulad
at
.

d) Hayaan f ay isang pantay na function. Pagkatapos.

Ang iba pang mga pahayag ng teorama ay napatunayang katulad. Napatunayan na ang theorem.

Teorama 2. Anumang function
, tinukoy sa set X, na simetriko na may kinalaman sa pinagmulan, ay maaaring katawanin bilang kabuuan ng kahit at kakaibang function.

Patunay. Function
maaaring isulat sa anyo

.

Function
ay pantay, dahil
, at ang function
ay kakaiba dahil. kaya,
, saan
- kahit na, at
ay isang kakaibang function. Napatunayan na ang theorem.

Kahulugan 2. Pag-andar
tinawag periodical kung may numero
, tulad na para sa anumang
numero
at
nabibilang din sa domain ng kahulugan
at ang mga pagkakapantay-pantay

Ang ganyang numero T tinawag panahon mga function
.

Ang kahulugan 1 ay nagpapahiwatig na kung T- panahon ng pag-andar
, pagkatapos ay ang numero T masyadong ay ang panahon ng pag-andar
(kasi kapag pinapalitan T sa - T ang pagkakapantay-pantay ay pinananatili). Gamit ang paraan ng mathematical induction, maipapakita na kung T- panahon ng pag-andar f, pagkatapos at
, ay isang panahon din. Ito ay sumusunod na kung ang isang function ay may isang panahon, kung gayon ito ay may walang katapusang maraming mga panahon.

Kahulugan 3. Ang pinakamaliit sa mga positibong yugto ng isang function ay tinatawag na nito pangunahing panahon.

Teorama 3. Kung T ay ang pangunahing panahon ng pag-andar f, kung gayon ang natitirang mga panahon ay mga multiple nito.

Patunay. Ipagpalagay na ang kabaligtaran, iyon ay, na mayroong isang panahon mga function f (>0), hindi maramihan T. Pagkatapos, paghahati-hati sa T kasama ang natitira, nakukuha namin
, saan
. Kaya

i.e - panahon ng pag-andar f, at
, na sumasalungat sa katotohanang iyon T ay ang pangunahing panahon ng pag-andar f. Ang assertion ng theorem ay sumusunod mula sa nakuhang kontradiksyon. Napatunayan na ang theorem.

Kilalang-kilala na ang mga function ng trigonometriko ay pana-panahon. Pangunahing panahon
at
katumbas
,
at
. Hanapin ang panahon ng function
. Hayaan
ay ang panahon ng pagpapaandar na ito. Pagkatapos

(bilang
.

ororor
.

Ibig sabihin T, na tinutukoy mula sa unang pagkakapantay-pantay, ay hindi maaaring maging isang panahon, dahil ito ay nakasalalay sa X, ibig sabihin. ay isang function ng X, hindi isang pare-parehong numero. Ang panahon ay tinutukoy mula sa pangalawang pagkakapantay-pantay:
. Mayroong walang katapusang maraming mga panahon
ang pinakamaliit na positibong panahon ay nakukuha kapag
:
. Ito ang pangunahing panahon ng pag-andar
.

Ang isang halimbawa ng isang mas kumplikadong periodic function ay ang Dirichlet function

Tandaan na kung T ay isang rational na numero, kung gayon
at
ay mga rational na numero sa ilalim ng rational X at hindi makatwiran kapag hindi makatwiran X. Kaya

para sa anumang makatwirang numero T. Samakatuwid, anumang makatwirang numero T ay ang panahon ng Dirichlet function. Malinaw na ang function na ito ay walang pangunahing panahon, dahil may mga positibong rational na numero na arbitraryong malapit sa zero (halimbawa, ang isang rational na numero ay maaaring gawin sa pamamagitan ng pagpili n arbitraryong malapit sa zero).

Teorama 4. Kung function f itinakda sa set X at may period T, at ang function g itinakda sa set
, pagkatapos ay ang kumplikadong function
may period din T.

Patunay. Mayroon kami samakatuwid

ibig sabihin, ang assertion ng theorem ay napatunayan.

Halimbawa, mula noong cos x may period
, pagkatapos ay ang mga pag-andar
magkaroon ng period
.

Kahulugan 4. Tinatawag ang mga function na hindi periodic hindi pana-panahon .

. Upang gawin ito, gumamit ng graph paper o isang graphical na calculator. Pumili ng anumang bilang ng mga numerong halaga para sa malayang variable x (\displaystyle x) at isaksak ang mga ito sa function upang kalkulahin ang mga halaga ng dependent variable y (\displaystyle y). Ilagay ang nahanap na mga coordinate ng mga punto sa coordinate plane, at pagkatapos ay ikonekta ang mga puntong ito upang bumuo ng isang graph ng function.

• Palitan ang mga positibong halaga ng numero sa function x (\displaystyle x) at kaukulang mga negatibong numerong halaga. Halimbawa, binigyan ng isang function f (x) = 2 x 2 + 1 (\displaystyle f(x)=2x^(2)+1). Palitan ang mga sumusunod na halaga dito x (\displaystyle x):

Suriin kung ang graph ng function ay simetriko tungkol sa y-axis. Ang symmetry ay tumutukoy sa salamin na imahe ng graph tungkol sa y-axis. Kung ang bahagi ng graph sa kanan ng y-axis (mga positibong value ng independent variable) ay tumutugma sa bahagi ng graph sa kaliwa ng y-axis (negatibong value ng independent variable), ang ang graph ay simetriko tungkol sa y-axis. Kung ang function ay simetriko tungkol sa y-axis, ang function ay pantay.

Suriin kung ang graph ng function ay simetriko tungkol sa pinagmulan. Ang pinagmulan ay ang puntong may mga coordinate (0,0). Symmetry tungkol sa pinagmulan ay nangangahulugan na ang isang positibong halaga y (\displaystyle y)(na may positibong halaga x (\displaystyle x)) ay tumutugma sa isang negatibong halaga y (\displaystyle y)(na may negatibong halaga x (\displaystyle x)), at kabaliktaran. Ang mga kakaibang function ay may simetrya na may paggalang sa pinagmulan.

Suriin kung ang graph ng function ay may anumang simetrya. Ang huling uri ng function ay isang function na ang graph ay walang simetrya, iyon ay, walang mirror image na parehong nauugnay sa y-axis at nauugnay sa pinanggalingan. Halimbawa, binigyan ng isang function.

• Palitan ang ilang positibo at katumbas na negatibong mga halaga sa function x (\displaystyle x):
• Ayon sa mga resultang nakuha, walang simetrya. Mga halaga y (\displaystyle y) para sa magkasalungat na halaga x (\displaystyle x) hindi tugma at hindi kabaligtaran. Kaya, ang pag-andar ay hindi kahit na o kakaiba.
• Mangyaring tandaan na ang function f (x) = x 2 + 2 x + 1 (\displaystyle f(x)=x^(2)+2x+1) maaaring isulat ng ganito: f (x) = (x + 1) 2 (\displaystyle f(x)=(x+1)^(2)). Nakasulat sa form na ito, lumilitaw na pantay ang function dahil mayroong pantay na exponent. Ngunit ang halimbawang ito ay nagpapatunay na ang anyo ng isang function ay hindi maaaring mabilis na matukoy kung ang malayang variable ay nakapaloob sa mga panaklong. Sa kasong ito, kailangan mong buksan ang mga bracket at pag-aralan ang mga resultang exponent.

Na sa isang antas o iba pa ay pamilyar sa iyo. Nabanggit din doon na ang stock ng mga katangian ng pag-andar ay unti-unting mapupunan. Dalawang bagong pag-aari ang tatalakayin sa seksyong ito.

Kahulugan 1.

Ang function na y \u003d f (x), x є X, ay tinatawag kahit na para sa anumang halaga x mula sa set X ang pagkakapantay-pantay f (-x) \u003d f (x) ay totoo.

Kahulugan 2.

Ang function na y \u003d f (x), x є X, ay tinatawag na kakaiba kung para sa anumang halaga x mula sa set X ang pagkakapantay-pantay f (-x) \u003d -f (x) ay totoo.

Patunayan na ang y = x 4 ay isang even function.

Desisyon. Mayroon kaming: f (x) \u003d x 4, f (-x) \u003d (-x) 4. Ngunit (-x) 4 = x 4 . Kaya, para sa anumang x, ang pagkakapantay-pantay f (-x) = f (x), i.e. pantay ang function.

Katulad nito, mapapatunayan na ang mga function na y - x 2, y \u003d x 6, y - x 8 ay pantay.

Patunayan na ang y = x 3 ay isang kakaibang function.

Desisyon. Mayroon kaming: f (x) \u003d x 3, f (-x) \u003d (-x) 3. Ngunit (-x) 3 = -x 3 . Samakatuwid, para sa anumang x, ang pagkakapantay-pantay f (-x) \u003d -f (x), i.e. kakaiba ang function.

Katulad nito, mapapatunayan na ang mga pag-andar y \u003d x, y \u003d x 5, y \u003d x 7 ay kakaiba.

Ikaw at ako ay paulit-ulit na nakumbinsi ang ating sarili na ang mga bagong termino sa matematika ay kadalasang may "makalupang" pinagmulan, i.e. maaari silang ipaliwanag sa ilang paraan. Ito ang kaso para sa parehong pantay at kakaibang mga pag-andar. Tingnan ang: y - x 3, y \u003d x 5, y \u003d x 7 ay mga kakaibang function, habang ang y \u003d x 2, y \u003d x 4, y \u003d x 6 ay even functions. At sa pangkalahatan, para sa anumang pag-andar ng form na y \u003d x "(sa ibaba ay partikular na pag-aralan natin ang mga function na ito), kung saan ang n ay isang natural na numero, maaari nating tapusin: kung ang n ay isang kakaibang numero, kung gayon ang function na y \u003d x "ay kakaiba; kung ang n ay isang even na numero, kung gayon ang function na y = xn ay even.

Mayroon ding mga function na hindi kahit na o kakaiba. Ganito, halimbawa, ang function na y \u003d 2x + 3. Sa katunayan, f (1) \u003d 5, at f (-1) \u003d 1. Tulad ng makikita mo, dito Samakatuwid, ni ang pagkakakilanlan f (-x ) \u003d f ( x), o ang pagkakakilanlan f(-x) = -f(x).

Kaya, ang isang function ay maaaring maging kahit na, kakaiba, o hindi.

Ang pag-aaral ng tanong kung ang isang ibinigay na function ay even o odd ay karaniwang tinatawag na pag-aaral ng function para sa parity.

Ang mga kahulugan 1 at 2 ay tumatalakay sa mga halaga ng function sa mga puntong x at -x. Ipinapalagay nito na ang function ay tinukoy pareho sa puntong x at sa punto -x. Nangangahulugan ito na ang point -x ay kabilang sa domain ng function kasabay ng point x. Kung ang isang numerical set X kasama ang bawat isa sa mga elemento nito x ay naglalaman ng kabaligtaran na elemento -x, ang X ay tinatawag na isang simetriko set. Sabihin nating (-2, 2), [-5, 5], (-oo, +oo) ay simetriko set, habang )