Визначення парних та непарних. Як визначати парні та непарні функції

Нулі функції
Нулем функції називається те значення х, У якому функція звертається в 0, тобто f(x)=0.

Нулі – це точки перетину графіка функції з віссю Ох.

парність функції
Функція називається парною, якщо для будь-кого хз області визначення виконується рівність f(-x) = f(x)

Парна функція симетрична щодо осі Оу

Непарність функції
Функція називається непарною, якщо для будь-кого хз області визначення виконується рівність f(-x) = -f(x).

Непарна функція симетрична щодо початку координат.
Функція яка не є ні парною, ні непарною називається функцією загального вигляду.

Зростання функції
Функція f(x) називається зростаючою, якщо більшого значення аргументу відповідає більше значення функції, тобто. x 2 >x 1 → f(x 2)>f(x 1)

Зменшення функції
Функція f(x) називається спадною, якщо більшого значення аргументу відповідає менше значення функції, тобто. x 2 >x 1 → f(x 2)
Проміжки, на яких функція або лише зменшується, або тільки зростає, називаються проміжками монотонності. Функція f(x) має 3 проміжки монотонності:
(-∞ x 1), (x 1 , x 2), (x 3; +∞)

Знаходять проміжки монотонності за допомогою сервісу Інтервали зростання та зменшення функції

Локальний максимум
Крапка х 0називається точкою локального максимуму, якщо для будь-якого хз околиці точки х 0виконується нерівність: f(x 0) > f(x)

Локальний мінімум
Крапка х 0називається точкою локального мінімуму, якщо для будь-якого хз околиці точки х 0виконується нерівність: f(x 0)< f(x).

Точки локального максимуму та точки локального мінімуму називаються точками локального екстремуму.

x 1 x 2 - точки локального екстремуму.

Періодичність функції
Функція f(x) називається періодичною, з періодом Т, якщо для будь-кого хвиконується рівність f(x+T) = f(x).

Проміжки знаковості
Проміжки, у яких функція або лише позитивна, або лише негативна, називаються проміжками знакопостійності.

f(x)>0 при x∈(x 1 , x 2)∪(x 2 , +∞), f(x)<0 при x∈(-∞,x 1)∪(x 1 , x 2)

Безперервність функції
Функція f(x) називається безперервною в точці x 0 якщо межа функції при x → x 0 дорівнює значенню функції в цій точці, тобто. .

Точки розриву
Точки, у яких порушена умова безперервності, називаються точками розриву функції.

x 0- точка розриву.

Загальна схема для побудови графіків функцій

1. Знайти область визначення функції D(y).
2. Знайти точки перетину графіка функцій з осями координат.
3. Дослідити функцію на парність чи непарність.
4. Дослідити функцію на періодичність.
5. Знайти проміжки монотонності та точки екстремуму функції.
6. Знайти проміжки опуклості та точки перегину функції.
7. Знайти асимптоти функції.
8. За наслідками дослідження побудувати графік.

Приклад:Дослідити функцію та побудувати її графік: y = x 3 – 3x
8) За результатами дослідження побудуємо графік функції:

Назад вперед

Увага! Попередній перегляд слайдів використовується виключно для ознайомлення та може не давати уявлення про всі можливості презентації. Якщо вас зацікавила ця робота, будь ласка, завантажте повну версію.

Цілі:

• сформувати поняття парності та непарності функції, вивчати вмінню визначати та використовувати ці властивості при дослідженні функцій, побудові графіків;
• розвивати творчу активність учнів, логічне мислення, вміння порівнювати, узагальнювати;
• виховувати працьовитість, математичну культуру; розвивати комунікативні якості .

Обладнання:мультимедійне встановлення, інтерактивна дошка, роздатковий матеріал.

Форми роботи:фронтальна та групова з елементами пошуково-дослідницької діяльності.

Інформаційні джерела:

1. Алгебра9клас А.Г Мордкович. Підручник
2. Алгебра 9клас А.Г Мордкович. Задачник.
3. Алгебра 9 клас. Завдання для навчання та розвитку учнів. Бєлєнкова Є.Ю. Лебедінцева Є.А

ХІД УРОКУ

1. Організаційний момент

Постановка цілей та завдань уроку.

2. Перевірка домашнього завдання

№10.17 (Задачник 9кл. А.Г. Мордкович).

а) у = f(х), f(х) =

б) f (–2) = –3; f (0) = –1; f(5) = 69;

в) 1. D( f) = [– 2; + ∞)
2. Е( f) = [– 3; + ∞)
3. f(х) = 0 при х ~ 0,4
4. f(х) >0 при х > 0,4 ; f(х) < 0 при – 2 < х < 0,4.
5. Функція зростає за х € [– 2; + ∞)
6. Функція обмежена знизу.
7. унай = – 3, унаиб не існує
8. Функція безперервна.

(Ви використали алгоритм дослідження функції?) Слайд.

2. Таблицю, яку вам задавалася, перевіримо на слайд.

Заповніть таблицю
	Область визначення	Нулі функції	Проміжки знаковості		Координати точок перетину графіка з ОУ
		х = -5, х = 2	х € (–5;3) U U (2; ∞)	х € (–∞;–5) U U (–3;2)
	х ∞ -5, х ≠ 2		х € (–5;3) U U (2; ∞)	х € (–∞;–5) U U (–3;2)
	х ≠ -5, х ≠ 2		х € (–∞; –5) U U (2; ∞)	х € (–5; 2)

3. Актуалізація знань

– Надано функції.
– Вказати область визначення кожної функції.
– Порівняти значення кожної функції для кожної пари значення аргументу: 1 та – 1; 2 та – 2.
– Для яких з даних функцій у області визначення виконуються рівність f(– х) = f(х), f(– х) = – f(х)? (отримані дані занести до таблиці) Слайд

		f(1) та f(– 1)	f(2) та f(– 2)	графіки	f(– х) = –f(х)	f(– х) = f(х)
1. f(х) =
2. f(х) = х 3
3. f(х) = | х |
4.f(х) = 2х – 3
5. f(х) =	х ≠ 0
6. f(х)=	х > –1		і не визна.

4. Новий матеріал

- Виконуючи цю роботу, хлопці ми виявили ще одну властивість функції, незнайому вам, але не менш важливу, ніж інші - це парність і непарність функції. Запишіть тему уроку: «Парні та непарні функції», наше завдання – навчитися визначати парність та непарність функції, з'ясувати значущість цієї якості у дослідженні функцій та побудові графіків.
Отже, знайдемо визначення у підручнику та прочитаємо (стор. 110) . Слайд

Опр. 1Функція у = f (х), задана на множині Х називається парноїякщо для будь-якого значення хЄ Х виконується рівність f(-х) = f(х). Наведіть приклади.

Опр. 2Функція у = f(х), задана на множині Х називається непарнийякщо для будь-якого значення хЄ Х виконується рівність f(-х) = -f (х). Наведіть приклади.

Де ми зустрічалися з термінами «парні» та «непарні»?
Які з цих функцій будуть парними, на вашу думку? Чому? Які непарні? Чому?
Для будь-якої функції виду у= х n, де n- ціле число можна стверджувати, що функція непарна при n- непарному і функція парна при n- парному.
- Функції виду у= і у = 2х– 3 є ні парним, ні непарними, т.к. не виконуються рівності f(– х) = – f(х), f(– х) = f(х)

Вивчення питання у тому, чи є функція парної чи непарної називають дослідженням функції на парність.Слайд

У визначеннях 1 і 2 йшлося про значення функції при х і - х, тим самим передбачається, що функція визначена і при значенні х, і при - х.

Опр 3.Якщо числова множина разом з кожним своїм елементом х містить і протилежний елемент -х, то множина Хназивають симетричною множиною.

Приклади:

(-2; 2), [-5; 5]; (∞;∞) – симетричні множини, а , [–5;4] – несиметричні.

– У парних функцій область визначення – симетрична множина? У непарних?
- Якщо ж D( f) – несиметрична множина, то функція яка?
– Отже, якщо функція у = f(х) – парна чи непарна, то її область визначення D( f) – симетрична множина. А чи вірне зворотне твердження, якщо область визначення функції симетричне безліч, вона парна, чи непарна?
– Значить наявність симетричної множини області визначення – це необхідна умова, але недостатня.
– То як же досліджувати функцію на парність? Спробуємо скласти алгоритм.

Слайд

Алгоритм дослідження функції на парність

1. Встановити, чи симетрична область визначення функції. Якщо ні, то функція не є ні парною, ні непарною. Якщо так, то перейдіть до кроку 2 алгоритму.

2. Скласти вираз для f(–х).

3. Порівняти f(–х).і f(х):

• якщо f(–х).= f(х), то функція парна;
• якщо f(–х).= – f(х), то функція непарна;
• якщо f(–х) ≠ f(х) та f(–х) ≠ –f(х), то функція не є ні парною, ні непарною.

Приклади:

Дослідити на парність функцію а) у= х 5+; б) у=; в) у= .

Рішення.

а) h(х) = х 5 +,

1) D(h) = (–∞; 0) U (0; +∞), симетрична множина.

2) h (-х) = (-х) 5 + - х5 - = - (х 5 +),

3) h(-х) = - h(х) => функція h(х)= х 5 + непарна.

б) у =,

у = f(х), D(f) = (–∞; –9)? (–9; +∞), несиметрична множина, отже функція ні парна, ні непарна.

в) f(х) = , у = f (х),

1) D( f) = (–∞; 3] ≠ ; б) (∞; –2), (–4; 4]?

Варіант 2

1. Чи є симетричною задана множина: а) [–2;2]; б) (∞; 0], (0; 7)?

а); б) у = х · (5 - х 2). 2. Дослідіть на парність функцію:

а) у = х 2 · (2х - х 3), б) у =

3. На рис. побудований графік у = f(х), для всіх х, що задовольняють умові х? 0.
Побудуйте графік функції у = f(х), якщо у = f(х) - парна функція.

3. На рис. побудований графік у = f(х), для всіх х, які задовольняють умові х? 0.
Побудуйте графік функції у = f(х), якщо у = f(х) - непарна функція.

Взаємоперевірка з слайд.

6. Завдання додому: №11.11, 11.21,11.22;

Доказ геометричного сенсу якості парності.

***(Завдання варіанта ЄДІ).

1. Непарна функція у = f(х) визначена на всій числовій прямій. Для будь-якого невід'ємного значення змінної x значення цієї функції збігається зі значенням функції g( х) = х(х + 1)(х + 3)(х- 7). Знайдіть значення функції h ( х) = при х = 3.

7. Підбиття підсумків

Визначення 1. Функціяназивається парний (непарною ), якщо разом з кожним значенням змінної
значення – хтакож належить
і виконується рівність

Таким чином, функція може бути парною або непарною лише тоді, коли її область визначення симетрична щодо початку координат на числовій прямій (числа хі – ходночасно належать
). Наприклад, функція
не є парною і непарною, оскільки її область визначення
не симетрична щодо початку координат.

Функція
парна, оскільки
симетрична щодо початку координат і.

Функція
непарна, оскільки
і
.

Функція
не є парною і непарною, тому що хоча
та симетрична щодо початку координат, рівності (11.1) не виконуються. Наприклад.

Графік парної функції симетричний щодо осі Оу, тому що якщо точка

теж належить графіку. Графік непарної функції симетричний щодо початку координат, оскільки якщо
належить графіку, то й точка
теж належить графіку.

При доказі парності чи непарності функції бувають корисні такі твердження.

Теорема 1. а) Сума двох парних (непарних) функцій є функція парна (непарна).

б) Добуток двох парних (непарних) функцій є функція парна.

в) Добуток парної та непарної функцій є функція непарна.

г) Якщо f– парна функція на множині Х, а функція g визначена на безлічі
, то функція
– парна.

д) Якщо f- непарна функція на безлічі Х, а функція g визначена на безлічі
і парна (непарна), то функція
- парна (непарна).

Доведення. Доведемо, наприклад, б) та г).

б) Нехай
і
– парні функції. Тоді тому. Аналогічно розглядається випадок непарних функцій
і
.

г) Нехай f – парна функція. Тоді.

Інші твердження теореми доводяться аналогічно. Теорему доведено.

Теорема 2. Будь-яку функцію
, задану на безлічі Х, симетричному щодо початку координат, можна представити у вигляді суми парної та непарної функцій.

Доведення. Функцію
можна записати у вигляді

.

Функція
- парна, оскільки
, а функція
- Непарна, оскільки. Таким чином,
, де
- парна, а
- Непарна функції. Теорему доведено.

Визначення 2. Функція
називається періодичної якщо існує число
, таке, що за будь-якого
числа
і
також належать області визначення
та виконуються рівності

Таке число Tназивається періодом функції
.

З визначення 1 випливає, що якщо Т– період функції
, то число Ттеж є періодом функції
(оскільки при заміні Тна – Трівність зберігається). За допомогою методу математичної індукції можна показати, що якщо Т– період функції f, то й
, також є періодом. Звідси випливає, що й функція має період, вона має нескінченно багато періодів.

Визначення 3. Найменший із позитивних періодів функції називається її основним періодом.

Теорема 3. Якщо Т- Основний період функції f, то інші періоди кратні йому.

Доведення. Припустимо неприємне, тобто що існує період функції f (>0), не кратний Т. Тоді, розділивши на Тіз залишком, отримаємо
, де
. Тому

тобто – період функції f, причому
, а це суперечить тому, що Т- Основний період функції f. З отриманого протиріччя випливає твердження теореми. Теорему доведено.

Добре відомо, що тригонометричні функції є періодичними. Основний період
і
дорівнює
,
і
. Знайдемо період функції
. Нехай
- Період цієї функції. Тоді

(так як
.

абоіліїлі
.

Значення T, що визначається з першої рівності, не може бути періодом, тому що залежить від х, тобто. є функцією від х, а чи не постійним числом. Період визначається з другої рівності:
. Періодів нескінченно багато, при
найменший позитивний період виходить за
:
. Це – основний період функції
.

Прикладом складнішої періодичної функції є функція Діріхле

Зауважимо, що якщо T- Раціональне число, то
і
є раціональними числами при раціональному хта ірраціональними при ірраціональному х. Тому

за будь-якого раціонального числа T. Отже, будь-яке раціональне число Tє періодом функції Діріхле. Ясно, що основного періоду у цієї функції немає, оскільки є позитивні раціональні числа, скільки завгодно близькі до нуля (наприклад, раціональне число можна зробити вибором nяк завгодно близьким до нуля).

Теорема 4. Якщо функція f задана на безлічі Хі має період Т, а функція g задана на безлічі
, то складна функція
теж має період Т.

Доведення. Маємо, тому

тобто твердження теореми підтверджено.

Наприклад, оскільки cos x має період
, то й функції
мають період
.

Визначення 4. Функції, що не є періодичними, називаються неперіодичними .

. Для цього скористайтесь міліметрівкою або графічним калькулятором. Виберіть кілька будь-яких числових значень незалежної змінної x (\displaystyle x)і підставте їх у функцію, щоб обчислити значення залежної змінної y (\displaystyle y). Знайдені координати точок нанесіть на координатну площину, а потім з'єднайте ці точки, щоб побудувати графік функції.

• У функцію підставте позитивні числові значення x (\displaystyle x)та відповідні негативні числові значення. Наприклад, дана функція f(x) = 2 x 2 + 1 (\displaystyle f(x)=2x^(2)+1). Підставте до неї наступні значення x (\displaystyle x):

Перевірте, чи симетричний графік функції щодо осі Y.Під симетрією мається на увазі дзеркальне відображення графіка щодо осі ординат. Якщо частина графіка праворуч від осі Y (позитивні значення незалежної змінної) збігається з частиною графіка ліворуч від осі Y (негативні значення незалежної змінної), графік симетричний щодо осі Y. Якщо функція симетрична щодо осі ординат, така функція парна.

Перевірте, чи симетричний графік функції щодо початку координат.Початок координат – точка з координатами (0,0). Симетрія щодо початку координат означає, що позитивне значення y (\displaystyle y)(при позитивному значенні x (\displaystyle x)) відповідає негативне значення y (\displaystyle y)(при негативному значенні x (\displaystyle x)), і навпаки. Непарні функції мають симетрію щодо початку координат.

Перевірте, чи має графік функції якусь симетрію.Останній вид функції – це функція, графік якої немає симетрії, тобто дзеркальне відображення відсутня як щодо осі ординат, і щодо початку координат. Наприклад, дана функція .

• У функцію підставте кілька позитивних та відповідних негативних значень x (\displaystyle x):
• Згідно з отриманими результатами, симетрії немає. Значення y (\displaystyle y)для протилежних значень x (\displaystyle x)не збігаються і є протилежними. Таким чином, функція є ні парною, ні непарною.
• Зверніть увагу, що функція f(x) = x 2 + 2 x + 1 (\displaystyle f(x)=x^(2)+2x+1)можна записати так: f(x) = (x + 1) 2 (\displaystyle f(x)=(x+1)^(2)). Будучи записаною в такій формі, функція здається парною, тому що є парний показник ступеня. Але цей приклад доводить, що вид функції не можна швидко визначити, якщо незалежна змінна укладена у дужки. І тут потрібно розкрити дужки і проаналізувати отримані показники ступеня.

Які тією чи іншою мірою були вам знайомі. Там було помічено, що запас властивостей функцій поступово поповнюватиметься. Про дві нові властивості і йтиметься у цьому параграфі.

Визначення 1.

Функцію у = f(x), х є Х, називають парною, якщо для будь-якого значення х із множини X виконується рівність f(-х) = f(х).

Визначення 2.

Функцію у = f(x), х є X, називають непарною, якщо для будь-якого значення х із множини X виконується рівність f(-х) = -f(х).

Довести, що у = х 4 – парна функція.

Рішення. Маємо: f(х) = х4, f(-х) = (-х)4. Але (-х) 4 = х4. Отже, будь-якого х виконується рівність f(-х) = f(х), тобто. функція є парною.

Аналогічно можна довести, що функції у - х 2, у = х 6, у - х 8 є парними.

Довести, що у = х 3 ~ непарна функція.

Рішення. Маємо: f(х) = х3, f(-х) = (-х)3. Але (-х) 3 = -х 3. Отже, будь-якого х виконується рівність f(-х) = -f(х), тобто. функція є непарною.

Аналогічно можна довести, що функції у = х, у = х 5, у = х 7 є непарними.

Ми з вами неодноразово переконувалися у цьому, нові терміни в математиці найчастіше мають «земне» походження, тобто. їх можна якимось чином пояснити. Так і з парними, і з непарними функціями. Дивіться: у - х 3, у = х 5, у = х 7 - непарні функції, тоді як у = х 2, у = х 4, у = х 6 - парні функції. І взагалі для будь-якої функції виду у = х "(нижче ми спеціально займемося вивченням цих функцій), де n - натуральне число, можна зробити висновок: якщо n - непарне число, то функція у = х" - непарна; якщо ж n – парне число, то функція у = хn – парна.

Існують і функції, які не є ні парними, ні непарними. Така, наприклад, функція у = 2х + 3. Справді, f(1) = 5, а f(-1) = 1. Як бачите, тут Значить, не може виконуватись ні тотожність f(-х) = f ( х), ні тотожність f(-х) = -f(х).

Отже, функція може бути парною, непарною, а також жодною.

Вивчення питання, чи є задана функція парної чи непарної, зазвичай називають дослідженням функції на парність.

У визначеннях 1 і 2 йдеться про значення функції у точках х і -х. Тим самим передбачається, що функція визначена і в точці х, і в точці -х. Це означає, що точка -х належить області визначення функції одночасно з точкою х. Якщо числове безліч X разом із кожним своїм елементом містить і протилежний елемент -х, то X називають симетричним безліччю. Скажімо, (-2, 2), [-5, 5], (-оо, +оо) - симетричні множини, тоді як )