Juft va toq tushunchalarining ta’rifi. Juft va toq funksiyalarni qanday aniqlash mumkin

Funktsiya nollari
Funktsiyaning noli qiymati hisoblanadi X, bunda funksiya 0 ga aylanadi, ya'ni f(x)=0.

Nollar - funksiya grafigining o'q bilan kesishish nuqtalari Oh.

Funktsiya pariteti
Funktsiya har qanday bo'lsa ham chaqiriladi X ta'rif sohasidan f(-x) = f(x) tengligi.

Juft funksiya o‘qga nisbatan simmetrikdir OU

G'alati funktsiya
Agar mavjud bo'lsa, funktsiya g'alati deyiladi X ta'rif sohasidan f(-x) = -f(x) tenglik bajariladi.

Toq funksiya boshiga nisbatan simmetrikdir.
Juft ham, toq ham bo‘lmagan funksiya umumiy funksiya deyiladi.

Funktsiyani oshirish
Agar argumentning kattaroq qiymati funksiyaning kattaroq qiymatiga mos kelsa, f(x) funksiya ortib boruvchi deyiladi, ya'ni. x 2 >x 1 → f(x 2)> f(x 1)

Funktsiyani kamaytirish
Agar argumentning kattaroq qiymati funksiyaning kichik qiymatiga to'g'ri kelsa, f(x) funksiya kamayuvchi deb ataladi, ya'ni. x 2 >x 1 → f(x 2)
Funksiya faqat kamayadigan yoki faqat ortib boruvchi intervallar deyiladi monotonlik intervallari. f(x) funksiyasi 3 ta monotonlik intervaliga ega:
(-∞ x 1), (x 1 , x 2), (x 3 ; +∞)

Xizmatdan foydalanib, monotonlik oraliqlarini toping O'sish va kamayish funksiyalarining intervallari

Mahalliy maksimal
Nuqta x 0 agar mavjud bo'lsa, mahalliy maksimal nuqta deb ataladi X bir nuqtaning mahallasidan x 0 quyidagi tengsizlik bajariladi: f(x 0) > f(x)

Mahalliy minimal
Nuqta x 0 agar mavjud bo'lsa, mahalliy minimal nuqta deb ataladi X bir nuqtaning mahallasidan x 0 quyidagi tengsizlik bajariladi: f(x 0)< f(x).

Mahalliy maksimal nuqtalar va mahalliy minimal nuqtalar mahalliy ekstremal nuqtalar deb ataladi.

x 1 , x 2 - mahalliy ekstremal nuqtalar.

Funktsiya davriyligi
f(x) funksiya davriy, davriy deyiladi T, agar mavjud bo'lsa X f(x+T) = f(x) .

Doimiylik intervallari
Funktsiya faqat musbat yoki faqat manfiy bo'lgan intervallarni doimiy ishorali intervallar deyiladi.

x∈(x 1 , x 2)∪(x 2 , +∞), f(x) uchun f(x)>0<0 при x∈(-∞,x 1)∪(x 1 , x 2)

Funktsiyaning uzluksizligi
f(x) funksiya x 0 nuqtada uzluksiz deyiladi, agar funksiyaning x → x 0 sifatidagi chegarasi shu nuqtadagi funktsiya qiymatiga teng bo'lsa, ya'ni. .

uzilish nuqtalari
Uzluksizlik sharti buzilgan nuqtalar funksiyaning uzilish nuqtalari deyiladi.

x0- sinish nuqtasi.

Funksiyalarni chizishning umumiy sxemasi

1. D(y) funksiyaning aniqlanish sohasini toping.
2. Funksiyalar grafigining koordinata o`qlari bilan kesishish nuqtalarini toping.
3. Juft yoki toq funksiyani o‘rganing.
4. Davriylik funksiyasini o‘rganing.
5. Funksiyaning monotonlik oraliqlari va ekstremum nuqtalarini toping.
6. Funksiyaning qavariqlik va burilish nuqtalari oraliqlarini toping.
7. Funksiyaning asimptotalarini toping.
8. Tadqiqot natijalari asosida grafik tuzing.

Misol: Funksiyani o‘rganing va uning grafigini tuzing: y = x 3 - 3x
8) Tadqiqot natijalariga ko'ra biz funktsiyaning grafigini tuzamiz:

Orqaga oldinga

Diqqat! Slaydni oldindan ko'rish faqat ma'lumot olish uchun mo'ljallangan va taqdimotning to'liq hajmini ko'rsatmasligi mumkin. Agar siz ushbu ish bilan qiziqsangiz, to'liq versiyasini yuklab oling.

Maqsadlar:

• juft va toq funksiyalar haqida tushunchani shakllantirish, bu xossalarni aniqlash va funksiyalarni o‘rganishda, grafiklarni tuzishda foydalanish ko‘nikmalarini o‘rgatish;
• o'quvchilarning ijodiy faolligini, mantiqiy fikrlashni, taqqoslash, umumlashtirish qobiliyatini rivojlantirish;
• mehnatsevarlikni, matematik madaniyatni tarbiyalash; muloqot qobiliyatlarini rivojlantirish .

Uskunalar: multimediali montaj, interfaol doska, tarqatma materiallar.

Ish shakllari: qidiruv va tadqiqot faoliyati elementlari bilan frontal va guruh.

Axborot manbalari:

1. Algebra 9-sinf A.G.Mordkovich. Darslik.
2. Algebra 9-sinf A.G.Mordkovich. Vazifa kitobi.
3. Algebra 9-sinf. Talabalarni o'rganish va rivojlantirish uchun vazifalar. Belenkova E.Yu. Lebedintseva E.A.

Darslar davomida

1. Tashkiliy moment

Darsning maqsad va vazifalarini belgilash.

2. Uy vazifasini tekshirish

10.17-son (Muammolar kitobi 9-sinf A.G. Mordkovich).

a) da = f(X), f(X) =

b) f (–2) = –3; f (0) = –1; f(5) = 69;

c) 1. D( f) = [– 2; + ∞)
2. E( f) = [– 3; + ∞)
3. f(X) = 0 uchun X ~ 0,4
4. f(X) >0 da X > 0,4 ; f(X) < 0 при – 2 < X < 0,4.
5. Funktsiya bilan ortadi X € [– 2; + ∞)
6. Funktsiya pastdan cheklangan.
7. da yollash = - 3, da naib mavjud emas
8. Funksiya uzluksiz.

(Xususiyatlarni o'rganish algoritmidan foydalandingizmi?) Slayd.

2. Slaydda so'ralgan jadvalni tekshiramiz.

Jadvalni to'ldiring
	Domen	Funktsiya nollari	Doimiylik intervallari		Grafikning Oy bilan kesishish nuqtalarining koordinatalari
		x = -5, x = 2	x € (–5;3) U U(2;∞)	x € (–∞;–5) U U (–3;2)
	x ∞ -5, x ≠ 2		x € (–5;3) U U(2;∞)	x € (–∞;–5) U U (–3;2)
	x ≠ -5, x ≠ 2		x € (–∞; –5) U U(2;∞)	x € (–5; 2)

3. Bilimlarni yangilash

- Funktsiyalar berilgan.
– Har bir funksiya uchun taʼrif sohasini belgilang.
– Har bir argument qiymatlari juftligi uchun har bir funktsiya qiymatini solishtiring: 1 va – 1; 2 va - 2.
– Aniqlash sohasida berilgan funksiyalarning qaysi biri uchun tenglik hisoblanadi f(– X) = f(X), f(– X) = – f(X)? (ma'lumotlarni jadvalga qo'ying) Slayd

		f(1) va f(– 1)	f(2) va f(– 2)	grafikalar	f(– X) = –f(X)	f(– X) = f(X)
1. f(X) =
2. f(X) = X 3
3. f(X) = | X |
4.f(X) = 2X – 3
5. f(X) =	X ≠ 0
6. f(X)=	X > –1		va aniqlanmagan.

4. Yangi material

- Bolalar, bu ishni bajara turib, biz funksiyaning siz uchun notanish, ammo boshqalardan kam bo'lmagan yana bir xususiyatini aniqladik - bu funktsiyaning to'g'ri va to'qlikligi. Dars mavzusini yozing: "Juft va toq funktsiyalar", bizning vazifamiz juft va toq funktsiyalarni qanday aniqlashni o'rganish, funktsiyalarni o'rganish va chizmalarini tuzishda ushbu xususiyatning ahamiyatini aniqlashdir.
Demak, darslikdagi ta’riflarni topib, o‘qib chiqamiz (110-bet). . Slayd

Def. bitta Funktsiya da = f (X X to'plamda aniqlangan ) deyiladi hatto, har qanday qiymat uchun XÊ X davom etmoqda f (–x) = f (x) tengligi. Misollar keltiring.

Def. 2 Funktsiya y = f(x), X to'plamda aniqlangan deb ataladi g'alati, har qanday qiymat uchun XÊ X f(–x)= –f(x) tenglik bajariladi. Misollar keltiring.

Biz "juft" va "toq" atamalarini qayerda uchratdik?
Sizningcha, bu funksiyalarning qaysi biri teng bo'ladi? Nega? Qaysi biri g'alati? Nega?
Shaklning har qanday funktsiyasi uchun da= x n, qayerda n butun son bo‘lsa, funksiya uchun toq ekanligini ta’kidlash mumkin n toq va funksiya juft uchun n- hatto.
- Funktsiyalarni ko'rish da= va da = 2X– 3 juft ham, toq ham emas, chunki tengliklari bajarilmaydi f(– X) = – f(X), f(– X) = f(X)

Funksiyaning juft yoki toq ekanligi haqidagi savolni oʻrganish funksiyani paritet uchun oʻrganish deyiladi. Slayd

1 va 2 ta'riflar funksiyaning x va - x da qiymatlari bilan bog'liq, shuning uchun funktsiya qiymatda ham aniqlangan deb taxmin qilinadi. X, va da - X.

ODA 3. Agar to'plam o'zining har bir elementi x bilan birga qarama-qarshi x elementni o'z ichiga olsa, u holda to'plam X simmetrik to'plam deyiladi.

Misollar:

(–2;2), [–5;5]; (∞;∞) simmetrik toʻplamlar, , [–5;4] nosimmetrik toʻplamlar.

- Hatto funksiyalarning aniqlanish sohasi - simmetrik to'plam bormi? G'alatilarmi?
- Agar D( f) assimetrik to‘plam bo‘lsa, u holda funksiya nima?
– Shunday qilib, agar funktsiya da = f(X) juft yoki toq boʻlsa, uning taʼrif sohasi D( f) simmetrik to‘plamdir. Ammo buning aksi to'g'rimi, agar funktsiya sohasi simmetrik to'plam bo'lsa, u juft yoki toq bo'ladimi?
- Demak, ta'rif sohasining simmetrik to'plamining mavjudligi zaruriy shart, ammo etarli emas.
– Xo‘sh, paritet funksiyasini qanday tekshirishimiz mumkin? Keling, algoritm yozishga harakat qilaylik.

Slayd

Funksiyani paritet uchun tekshirish algoritmi

1. Funksiya sohasi simmetrik ekanligini aniqlang. Agar yo'q bo'lsa, u holda funktsiya juft ham, toq ham emas. Ha bo'lsa, algoritmning 2-bosqichiga o'ting.

2. uchun ifoda yozing f(–X).

3. Taqqoslash f(–X).va f(X):

• agar f(–X).= f(X), u holda funksiya juft bo‘ladi;
• agar f(–X).= – f(X), u holda funksiya toq bo'ladi;
• agar f(–X) ≠ f(X) va f(–X) ≠ –f(X), u holda funksiya juft ham, toq ham emas.

Misollar:

a) paritet funksiyasini o‘rganing. da= x 5 +; b) da= ; ichida) da= .

Qaror.

a) h (x) \u003d x 5 +,

1) D(h) = (–∞; 0) U (0; +∞), simmetrik toʻplam.

2) h (- x) \u003d (-x) 5 + - x5 - \u003d - (x 5 +),

3) h (- x) \u003d - h (x) \u003d\u003e funktsiyasi h(x)= x 5 + toq.

b) y =,

da = f(X), D(f) = (–∞; –9)? (–9; +∞), assimetrik to'plam, shuning uchun funktsiya juft ham, toq ham emas.

ichida) f(X) = , y = f(x),

1) D( f) = (–∞; 3] ≠ ; b) (∞; –2), (–4; 4]?

Variant 2

1. Berilgan to‘plam simmetrikmi: a) [–2;2]; b) (∞; 0], (0; 7) ?

a); b) y \u003d x (5 - x 2). 2. Funksiyani paritet uchun tekshiring:

a) y \u003d x 2 (2x - x 3), b) y \u003d

3. rasmda. chizilgan da = f(X), Barcha uchun X, shartni qondirish X? 0.
Funktsiyani chizing da = f(X), agar da = f(X) juft funksiyadir.

3. rasmda. chizilgan da = f(X), barcha x qanoatlantiruvchi x uchun? 0.
Funktsiyani chizing da = f(X), agar da = f(X) g‘alati funksiyadir.

O'zaro tekshirish slayd.

6. Uyga vazifa: №11.11, 11.21,11.22;

Paritet xossasining geometrik ma’nosini isbotlash.

*** (USE variantini tayinlash).

1. Toq funksiya y \u003d f (x) butun real chiziqda aniqlanadi. x o'zgaruvchining har qanday manfiy bo'lmagan qiymati uchun bu funktsiyaning qiymati g( funktsiyaning qiymatiga to'g'ri keladi. X) = X(X + 1)(X + 3)(X– 7). h( funksiyaning qiymatini toping. X) = da X = 3.

7. Xulosa qilish

Ta'rif 1. Funktsiya chaqiriladi hatto (g'alati ) agar o'zgaruvchining har bir qiymati bilan birga bo'lsa
ma'nosi - X ham tegishli
va tenglik

Shunday qilib, funktsiya faqat aniqlanish sohasi haqiqiy chiziqdagi (raqamlar) boshiga nisbatan simmetrik bo'lgandagina juft yoki toq bo'lishi mumkin. X va - X bir vaqtning o'zida tegishli
). Masalan, funktsiya
na juft, na toq, chunki uning ta'rif sohasi
kelib chiqishiga nisbatan simmetrik emas.

Funktsiya
hatto, chunki
koordinatalarning kelib chiqishiga nisbatan simmetrik va.

Funktsiya
g'alati chunki
va
.

Funktsiya
juft ham, toq ham emas, chunki garchi
va kelib chiqishiga nisbatan simmetrikdir, (11.1) tengliklar bajarilmaydi. Misol uchun,.

Juft funksiya grafigi o‘qga nisbatan simmetrikdir OU, chunki agar nuqta

grafikga ham tegishli. Toq funksiyaning grafigi koordinataga nisbatan simmetrikdir, chunki agar
grafaga, keyin nuqtaga tegishli
grafikga ham tegishli.

Funksiyaning juft yoki toq ekanligini isbotlashda quyidagi gaplar foydalidir.

Teorema 1. a) Ikki juft (toq) funksiyalar yig‘indisi juft (toq) funksiyadir.

b) Ikki juft (toq) funksiyaning hosilasi juft funktsiyadir.

c) Juft va toq funksiyaning ko‘paytmasi toq funksiyadir.

d) Agar f to‘plamdagi juft funksiyadir X, va funksiya g to'plamda aniqlanadi
, keyin funksiya
- hatto.

e) Agar f to'plamdagi g'alati funktsiyadir X, va funksiya g to'plamda aniqlanadi
va juft (g'alati), keyin funksiya
- juft toq).

Isbot. Masalan, b) va d) ni isbotlaymiz.

b) ruxsat bering
va
hatto funksiyalardir. Keyin, shuning uchun. Toq funksiyalar holati ham xuddi shunday ko'rib chiqiladi
va
.

d) ruxsat bering f juft funksiya hisoblanadi. Keyin.

Teoremaning boshqa tasdiqlari ham xuddi shunday isbotlangan. Teorema isbotlangan.

Teorema 2. Har qanday funktsiya
, to'plamda belgilangan X, boshiga nisbatan simmetrik bo'lgan, juft va toq funksiyalar yig'indisi sifatida ifodalanishi mumkin.

Isbot. Funktsiya
shaklida yozilishi mumkin

.

Funktsiya
juftdir, chunki
, va funksiya
g'alati, chunki. Shunday qilib,
, qayerda
- hatto, va
g'alati funktsiyadir. Teorema isbotlangan.

Ta'rif 2. Funktsiya
chaqirdi davriy nashr agar raqam bo'lsa
, har qanday uchun shunday
raqamlar
va
ta’rif sohasiga ham tegishli
va tenglik

Bunday raqam T chaqirdi davri funktsiyalari
.

1 ta'rifi shuni anglatadiki, agar T- funktsiya davri
, keyin raqam T ham funksiyaning davri hisoblanadi
(chunki almashtirishda T ustida - T tenglik saqlanib qoladi). Matematik induksiya usulidan foydalanib shuni ko rsatish mumkinki, agar T- funktsiya davri f, keyin va
, ham davr hisoblanadi. Bundan kelib chiqadiki, agar funktsiyaning davri bo'lsa, unda cheksiz ko'p davrlar mavjud.

Ta'rif 3. Funksiyaning musbat davrlarining eng kichigi deyiladi asosiy davri.

Teorema 3. Agar T funksiyaning asosiy davri hisoblanadi f, keyin qolgan davrlar uning ko'paytmalari.

Isbot. Buning aksini, ya'ni davr borligini taxmin qiling funktsiyalari f (>0), bir nechta emas T. Keyin, bo'linish ustida T qolganlari bilan biz olamiz
, qayerda
. Shunday qilib

ya'ni - funktsiya davri f, va
, bu haqiqatga zid keladi T funksiyaning asosiy davri hisoblanadi f. Teoremaning tasdiqlanishi olingan ziddiyatdan kelib chiqadi. Teorema isbotlangan.

Ma'lumki, trigonometrik funktsiyalar davriydir. Asosiy davr
va
teng
,
va
. Funksiya davrini toping
. Bo'lsin
bu funksiyaning davri. Keyin

(sifatida
.

ororor
.

Ma'nosi T, birinchi tenglikdan aniqlanadi, davr bo'la olmaydi, chunki u ga bog'liq X, ya'ni. ning funksiyasi hisoblanadi X, doimiy raqam emas. Davr ikkinchi tenglikdan aniqlanadi:
. Cheksiz ko'p davrlar mavjud
eng kichik ijobiy davr qachon olinadi
:
. Bu funktsiyaning asosiy davri
.

Murakkabroq davriy funksiyaga Dirixle funksiyasini misol qilib keltirish mumkin

E'tibor bering, agar T u holda ratsional sondir
va
ratsional sonlar ostidagi ratsional sonlardir X va irratsional bo'lsa irratsional X. Shunday qilib

har qanday ratsional son uchun T. Shuning uchun har qanday ratsional son T- Dirixle funksiyasining davri. Bu funktsiyaning asosiy davri yo'qligi aniq, chunki ixtiyoriy ravishda nolga yaqin ijobiy ratsional sonlar mavjud (masalan, ratsional sonni tanlash orqali qilish mumkin). n o'zboshimchalik bilan nolga yaqin).

Teorema 4. If funktsiya f to'plamga o'rnatildi X va davri bor T, va funksiya g to'plamga o'rnatildi
, keyin kompleks funksiya
davri ham bor T.

Isbot. Shuning uchun bizda bor

ya'ni teoremaning tasdiqlanishi isbotlangan.

Masalan, beri cos x davri bor
, keyin funksiyalar
davri bor
.

Ta'rif 4. Davriy bo'lmagan funksiyalar deyiladi davriy bo'lmagan .

. Buning uchun grafik qog'oz yoki grafik kalkulyatordan foydalaning. Mustaqil o'zgaruvchi uchun istalgan sonli qiymatlarni tanlang x (\displaystyle x) va bog'liq o'zgaruvchining qiymatlarini hisoblash uchun ularni funktsiyaga ulang y (\displaystyle y). Nuqtalarning topilgan koordinatalarini koordinata tekisligiga qo‘ying, so‘ngra ushbu nuqtalarni ulang va funksiya grafigini tuzing.

• Funktsiyaga ijobiy raqamli qiymatlarni qo'ying x (\displaystyle x) va mos keladigan salbiy raqamli qiymatlar. Masalan, berilgan funksiya f (x) = 2 x 2 + 1 (\displaystyle f(x)=2x^(2)+1). Unga quyidagi qiymatlarni almashtiring x (\displaystyle x):

Funktsiya grafigi y o'qiga nisbatan simmetrik ekanligini tekshiring. Simmetriya y o'qi atrofidagi grafikning oyna tasvirini bildiradi. Agar grafikning y o'qining o'ng tomonidagi qismi (mustaqil o'zgaruvchining ijobiy qiymatlari) y o'qining chap tomonidagi qismiga (mustaqil o'zgaruvchining salbiy qiymatlari) mos kelsa, grafigi y o'qiga nisbatan simmetrik bo'lsa, funktsiya y o'qiga nisbatan simmetrik bo'lsa, funksiya juft bo'ladi.

Funksiya grafigi koordinata boshiga nisbatan simmetrik ekanligini tekshiring. Koordinatalari (0,0) bo'lgan nuqta boshlanish nuqtasidir. Kelib chiqishi bo'yicha simmetriya ijobiy qiymatni anglatadi y (\displaystyle y)(ijobiy qiymat bilan x (\displaystyle x)) manfiy qiymatga mos keladi y (\displaystyle y)(salbiy qiymat bilan x (\displaystyle x)), va teskari. Toq funksiyalar kelib chiqishiga nisbatan simmetriyaga ega.

Funktsiya grafigida simmetriya borligini tekshiring. Funksiyaning oxirgi turi - grafigi simmetriyaga ega bo'lmagan funksiya, ya'ni y o'qiga nisbatan ham, koordinata ko'rinishiga ham ko'zgu tasviri yo'q. Masalan, berilgan funksiya.

• Funktsiyaga bir nechta ijobiy va mos keladigan salbiy qiymatlarni almashtiring x (\displaystyle x):
• Olingan natijalarga ko'ra, simmetriya yo'q. Qiymatlar y (\displaystyle y) qarama-qarshi qiymatlar uchun x (\displaystyle x) mos kelmaydi va qarama-qarshi emas. Demak, funksiya juft ham, toq ham emas.
• Funktsiyaga e'tibor bering f (x) = x 2 + 2 x + 1 (\displaystyle f(x)=x^(2)+2x+1) shunday yozilishi mumkin: f (x) = (x + 1) 2 (\displaystyle f(x)=(x+1)^(2)). Bu shaklda yozilsa, funktsiya juft bo'lib ko'rinadi, chunki juft ko'rsatkich mavjud. Ammo bu misol, agar mustaqil o'zgaruvchi qavs ichiga olingan bo'lsa, funksiya shaklini tezda aniqlab bo'lmasligini isbotlaydi. Bunday holda, siz qavslarni ochishingiz va olingan ko'rsatkichlarni tahlil qilishingiz kerak.

Qaysi biri u yoki bu darajada sizga tanish edi. Shuningdek, u yerda funksiya xossalari zaxirasi bosqichma-bosqich to‘ldirilishi qayd etildi. Ushbu bo'limda ikkita yangi xususiyat muhokama qilinadi.

Ta'rif 1.

Y \u003d f (x), x ê X funktsiyasi, agar X to'plamidagi har qanday x qiymati uchun f (-x) \u003d f (x) tengligi to'g'ri bo'lsa ham chaqiriladi.

Ta'rif 2.

Y \u003d f (x), x ê X funktsiyasi, agar X to'plamidagi har qanday x qiymati uchun f (-x) \u003d -f (x) tengligi to'g'ri bo'lsa, g'alati deyiladi.

y = x 4 juft funksiya ekanligini isbotlang.

Qaror. Bizda: f (x) \u003d x 4, f (-x) \u003d (-x) 4. Lekin (-x) 4 = x 4 . Demak, har qanday x uchun f (-x) = f (x) tengligi, ya'ni. funksiyasi teng.

Xuddi shunday, y - x 2, y \u003d x 6, y - x 8 funktsiyalari juft ekanligini isbotlash mumkin.

y = x 3 toq funksiya ekanligini isbotlang.

Qaror. Bizda: f (x) \u003d x 3, f (-x) \u003d (-x) 3. Lekin (-x) 3 = -x 3 . Demak, har qanday x uchun f (-x) \u003d -f (x) tengligi, ya'ni. funksiya g'alati.

Xuddi shunday, y \u003d x, y \u003d x 5, y \u003d x 7 funktsiyalari g'alati ekanligini isbotlash mumkin.

Siz va men o'zimizni matematikadagi yangi atamalar ko'pincha "erdan" kelib chiqishiga bir necha bor ishontirganmiz, ya'ni. ularni qandaydir tarzda tushuntirish mumkin. Bu juft va toq funksiyalar uchun ham shunday. Qarang: y - x 3, y \u003d x 5, y \u003d x 7 toq funksiyalar, y \u003d x 2, y \u003d x 4, y \u003d x 6 esa juft funksiyalardir. Va umuman olganda, y \u003d x "shaklidagi har qanday funktsiya uchun (quyida biz ushbu funktsiyalarni maxsus o'rganamiz), bu erda n - natural son, biz xulosa qilishimiz mumkin: agar n toq son bo'lsa, u holda y \u003d x funktsiyasi " g'alati; agar n juft son bo'lsa, u holda y = xn funksiya juft bo'ladi.

Juft ham, toq ham bo‘lmagan funksiyalar ham bor. Bu, masalan, y \u003d 2x + 3 funktsiyasidir. Darhaqiqat, f (1) \u003d 5 va f (-1) \u003d 1. Ko'rib turganingizdek, bu erda f (-x) identifikatori ham yo'q. ) \u003d f ( x), na f(-x) = -f(x) identifikatori.

Demak, funksiya juft, toq yoki hech biri bo‘lmasligi mumkin.

Berilgan funksiyaning juft yoki toq ekanligi haqidagi savolni oʻrganish odatda funksiyani paritet boʻyicha oʻrganish deb ataladi.

1 va 2 ta'riflar funksiyaning x va -x nuqtalaridagi qiymatlari bilan bog'liq. Bu funksiya x nuqtada ham, -x nuqtada ham aniqlangan deb faraz qiladi. Demak, -x nuqta x nuqta bilan bir vaqtda funksiya sohasiga tegishli. Agar X sonli to‘plam o‘zining har bir elementi x bilan birga qarama-qarshi element -x ni o‘z ichiga olsa, X simmetrik to‘plam deyiladi. Aytaylik (-2, 2), [-5, 5], (-oo, +oo) simmetrik to'plamlar, esa )