Το άθροισμα μιας αριθμητικής προόδου.

Το άθροισμα μιας αριθμητικής προόδου είναι απλό πράγμα. Και σε νόημα και σε τύπο. Αλλά υπάρχουν όλα τα είδη εργασιών σε αυτό το θέμα. Από δημοτικό έως αρκετά συμπαγές.

Αρχικά, ας ασχοληθούμε με τη σημασία και τον τύπο του αθροίσματος. Και μετά θα αποφασίσουμε. Για τη δική σας ευχαρίστηση.) Η έννοια του αθροίσματος είναι τόσο απλή όσο το χαμήλωμα. Για να βρείτε το άθροισμα μιας αριθμητικής προόδου, χρειάζεται απλώς να προσθέσετε προσεκτικά όλα τα μέλη της. Εάν αυτοί οι όροι είναι λίγοι, μπορείτε να προσθέσετε χωρίς τύπους. Αλλά αν υπάρχουν πολλά, ή πολλά ... η προσθήκη είναι ενοχλητική.) Σε αυτήν την περίπτωση, ο τύπος σώζει.

Ο τύπος του αθροίσματος είναι απλός:

Ας καταλάβουμε τι είδους γράμματα περιλαμβάνονται στον τύπο. Αυτό θα ξεκαθαρίσει πολλά.

S n είναι το άθροισμα μιας αριθμητικής προόδου. Αποτέλεσμα προσθήκης όλαμέλη, με πρώταεπί τελευταίος.Είναι σημαντικό. Προσθέστε ακριβώς όλαμέλη στη σειρά, χωρίς κενά και άλματα. Και, ακριβώς, ξεκινώντας από πρώτα.Σε προβλήματα όπως η εύρεση του αθροίσματος του τρίτου και του όγδοου όρων ή του αθροίσματος των όρων πέντε έως εικοστού, η άμεση εφαρμογή του τύπου θα είναι απογοητευτική.)

Α'1 - πρώταμέλος της προόδου. Όλα είναι ξεκάθαρα εδώ, είναι απλό πρώτααριθμός σειράς.

a n- τελευταίοςμέλος της προόδου. Ο τελευταίος αριθμός της σειράς. Δεν είναι πολύ γνωστό όνομα, αλλά, όταν εφαρμόζεται στην ποσότητα, είναι πολύ κατάλληλο. Τότε θα το δείτε μόνοι σας.

n είναι ο αριθμός του τελευταίου μέλους. Είναι σημαντικό να καταλάβουμε ότι στον τύπο αυτός ο αριθμός συμπίπτει με τον αριθμό των μελών που προστέθηκαν.

Ας ορίσουμε την έννοια τελευταίοςμέλος a n. Συμπληρωματική ερώτηση: τι είδους μέλος θα τελευταίος,εάν δοθεί ατελείωτεςαριθμητική πρόοδος;

Για μια σίγουρη απάντηση, πρέπει να κατανοήσετε τη βασική σημασία μιας αριθμητικής προόδου και ... να διαβάσετε προσεκτικά την εργασία!)

Στο έργο της εύρεσης του αθροίσματος μιας αριθμητικής προόδου, εμφανίζεται πάντα ο τελευταίος όρος (άμεσα ή έμμεσα), που θα πρέπει να περιοριστεί.Διαφορετικά, ένα πεπερασμένο, συγκεκριμένο ποσό απλά δεν υπάρχει.Για τη λύση, δεν έχει σημασία τι είδους εξέλιξη δίνεται: πεπερασμένη ή άπειρη. Δεν έχει σημασία πώς δίνεται: από μια σειρά αριθμών, ή από τον τύπο του nου μέλους.

Το πιο σημαντικό είναι να καταλάβουμε ότι ο τύπος λειτουργεί από τον πρώτο όρο της προόδου στον όρο με τον αριθμό n.Στην πραγματικότητα, το πλήρες όνομα του τύπου μοιάζει με αυτό: το άθροισμα των πρώτων ν όρων μιας αριθμητικής προόδου.Ο αριθμός των πρώτων αυτών μελών, δηλ. n, καθορίζεται αποκλειστικά από την εργασία. Στην εργασία, όλες αυτές οι πολύτιμες πληροφορίες είναι συχνά κρυπτογραφημένες, ναι ... Αλλά τίποτα, στα παρακάτω παραδείγματα θα αποκαλύψουμε αυτά τα μυστικά.)

Παραδείγματα εργασιών για το άθροισμα μιας αριθμητικής προόδου.

Πρωτίστως, χρήσιμες πληροφορίες:

Η κύρια δυσκολία στις εργασίες για το άθροισμα μιας αριθμητικής προόδου είναι ο σωστός προσδιορισμός των στοιχείων του τύπου.

Οι συντάκτες των εργασιών κρυπτογραφούν αυτά τα στοιχεία με απεριόριστη φαντασία.) Το κύριο πράγμα εδώ είναι να μην φοβάστε. Κατανοώντας την ουσία των στοιχείων, αρκεί απλώς να τα αποκρυπτογραφήσουμε. Ας ρίξουμε μια ματιά σε μερικά παραδείγματα λεπτομερώς. Ας ξεκινήσουμε με μια εργασία που βασίζεται σε ένα πραγματικό GIA.

1. Αριθμητική πρόοδοςδίνεται από την συνθήκη: a n = 2n-3,5. Βρείτε το άθροισμα των 10 πρώτων όρων.

Καλή δουλειά. Εύκολο.) Για να προσδιορίσουμε την ποσότητα σύμφωνα με τον τύπο, τι πρέπει να γνωρίζουμε; Πρώτο μέλος Α'1, τελευταίος όρος a n, ναι ο αριθμός του τελευταίου όρου n.

Πού να βρείτε τον τελευταίο αριθμό μέλους n? Ναι, στο ίδιο μέρος, στην κατάσταση! Λέει βρείτε το άθροισμα τα πρώτα 10 μέλη.Λοιπόν, τι αριθμός θα είναι τελευταίος,δέκατο μέλος;) Δεν θα το πιστέψετε, ο αριθμός του είναι δέκατος!) Επομένως, αντί για a nθα αντικαταστήσουμε στον τύπο ένα 10, αλλά ανταυτού n- δέκα. Και πάλι, ο αριθμός του τελευταίου μέλους είναι ίδιος με τον αριθμό των μελών.

Μένει να καθοριστεί Α'1και ένα 10. Αυτό υπολογίζεται εύκολα από τον τύπο του nου όρου, που δίνεται στη δήλωση προβλήματος. Δεν ξέρετε πώς να το κάνετε; Επισκεφθείτε το προηγούμενο μάθημα, χωρίς αυτό - τίποτα.

Α'1= 2 1 - 3,5 = -1,5

ένα 10\u003d 2 10 - 3,5 \u003d 16,5

S n = S 10.

Ανακαλύψαμε τη σημασία όλων των στοιχείων του τύπου για το άθροισμα μιας αριθμητικής προόδου. Απομένει να τα αντικαταστήσουμε και να μετρήσουμε:

Αυτό είναι το μόνο που υπάρχει σε αυτό. Απάντηση: 75.

Μια άλλη εργασία που βασίζεται στο GIA. Λίγο πιο περίπλοκο:

2. Δίνεται μια αριθμητική πρόοδος (a n), η διαφορά της οποίας είναι 3,7. a 1 \u003d 2.3. Βρείτε το άθροισμα των πρώτων 15 όρων.

Γράφουμε αμέσως τον τύπο αθροίσματος:

Αυτός ο τύπος μας επιτρέπει να βρούμε την τιμή οποιουδήποτε μέλους με τον αριθμό του. Ψάχνουμε για μια απλή αντικατάσταση:

a 15 \u003d 2,3 + (15-1) 3,7 \u003d 54,1

Απομένει να αντικαταστήσουμε όλα τα στοιχεία στον τύπο για το άθροισμα μιας αριθμητικής προόδου και να υπολογίσουμε την απάντηση:

Απάντηση: 423.

Παρεμπιπτόντως, εάν στον τύπο του αθροίσματος αντί για a nΑπλώς αντικαταστήστε τον τύπο του nου όρου, παίρνουμε:

Δίνουμε παρόμοια, παίρνουμε έναν νέο τύπο για το άθροισμα των μελών μιας αριθμητικής προόδου:

Όπως μπορείτε να δείτε, δεν υπάρχει καμία ανάγκη ντο μέλος a n. Σε ορισμένες εργασίες, αυτός ο τύπος βοηθάει πολύ, ναι... Μπορείτε να θυμηθείτε αυτόν τον τύπο. Και μπορείτε απλά να το αποσύρετε την κατάλληλη στιγμή, όπως εδώ. Εξάλλου, ο τύπος για το άθροισμα και ο τύπος για τον nο όρο πρέπει να θυμόμαστε με κάθε τρόπο.)

Τώρα η εργασία με τη μορφή μιας σύντομης κρυπτογράφησης):

3. Να βρείτε το άθροισμα όλων των θετικών διψήφιων αριθμών που είναι πολλαπλάσια του τριών.

Πως! Κανένα πρώτο μέλος, κανένα τελευταίο, καμία εξέλιξη... Πώς να ζήσεις!;

Θα πρέπει να σκεφτείτε με το κεφάλι σας και να βγάλετε από τη συνθήκη όλα τα στοιχεία του αθροίσματος μιας αριθμητικής προόδου. Τι είναι οι διψήφιοι αριθμοί - ξέρουμε. Αποτελούνται από δύο αριθμούς.) Ποιος διψήφιος αριθμός θα πρώτα? 10, πιθανώς.) το τελευταίο πράγμαδιψήφιος αριθμός; 99, φυσικά! Οι τριψήφιοι θα τον ακολουθήσουν...

Πολλαπλάσια των τριών... Χμ... Είναι αριθμοί που διαιρούνται ομοιόμορφα με το τρία, εδώ! Το δέκα δεν διαιρείται με το τρία, το 11 δεν διαιρείται... Το 12... διαιρείται! Άρα, κάτι προκύπτει. Μπορείτε ήδη να γράψετε μια σειρά σύμφωνα με την κατάσταση του προβλήματος:

12, 15, 18, 21, ... 96, 99.

Αυτή η σειρά θα είναι μια αριθμητική εξέλιξη; Σίγουρα! Κάθε όρος διαφέρει από τον προηγούμενο αυστηρά κατά τρεις. Εάν προστεθεί 2 ή 4 στον όρο, ας πούμε, το αποτέλεσμα, δηλ. ένας νέος αριθμός δεν θα διαιρείται πλέον με το 3. Μπορείτε να προσδιορίσετε αμέσως τη διαφορά της αριθμητικής προόδου στο σωρό: d = 3.Χρήσιμος!)

Έτσι, μπορούμε να γράψουμε με ασφάλεια ορισμένες παραμέτρους προόδου:

Ποιος θα είναι ο αριθμός nτελευταίο μέλος; Όποιος πιστεύει ότι το 99 κάνει μοιραία λάθος ... Αριθμοί - πηγαίνουν πάντα στη σειρά και τα μέλη μας ξεπερνούν τους τρεις πρώτους. Δεν ταιριάζουν.

Εδώ υπάρχουν δύο λύσεις. Ένας τρόπος είναι για τους σούπερ εργατικούς. Μπορείτε να ζωγραφίσετε την πρόοδο, ολόκληρη τη σειρά των αριθμών και να μετρήσετε τον αριθμό των μελών με το δάχτυλό σας.) Ο δεύτερος τρόπος είναι για τους σκεπτόμενους. Πρέπει να θυμάστε τον τύπο για τον nο όρο. Εάν ο τύπος εφαρμοστεί στο πρόβλημά μας, παίρνουμε ότι το 99 είναι το τριακοστό μέλος της προόδου. Εκείνοι. n = 30.

Εξετάζουμε τον τύπο για το άθροισμα μιας αριθμητικής προόδου:

Κοιτάμε και χαιρόμαστε.) Βγάλαμε όλα τα απαραίτητα για τον υπολογισμό του ποσού από την κατάσταση του προβλήματος:

Α'1= 12.

ένα 30= 99.

S n = S 30.

Αυτό που μένει είναι η στοιχειώδης αριθμητική. Αντικαταστήστε τους αριθμούς στον τύπο και υπολογίστε:

Απάντηση: 1665

Ένας άλλος τύπος δημοφιλών παζλ:

4. Δίνεται αριθμητική πρόοδος:

-21,5; -20; -18,5; -17; ...

Βρείτε το άθροισμα των όρων από τον εικοστό έως τον τριάντα τέταρτο.

Κοιτάμε τον τύπο του αθροίσματος και ... στεναχωριόμαστε.) Ο τύπος, να σας θυμίσω, υπολογίζει το άθροισμα από την πρώτημέλος. Και στο πρόβλημα πρέπει να υπολογίσετε το άθροισμα από τον εικοστό...Ο τύπος δεν θα λειτουργήσει.

Μπορείτε, φυσικά, να ζωγραφίσετε ολόκληρη την εξέλιξη σε μια σειρά και να βάλετε τα μέλη από 20 έως 34. Αλλά ... κατά κάποιο τρόπο αποδεικνύεται ανόητα και για μεγάλο χρονικό διάστημα, σωστά;)

Υπάρχει μια πιο κομψή λύση. Ας χωρίσουμε τη σειρά μας σε δύο μέρη. Το πρώτο μέρος θα από τον πρώτο όρο έως τον δέκατο ένατο.Δεύτερο μέρος - είκοσι έως τριάντα τέσσερα.Είναι σαφές ότι αν υπολογίσουμε το άθροισμα των όρων του πρώτου μέρους S 1-19, ας το προσθέσουμε στο άθροισμα των μελών του δεύτερου μέρους S 20-34, παίρνουμε το άθροισμα της προόδου από τον πρώτο όρο στον τριάντα τέταρτο S 1-34. Σαν αυτό:

S 1-19 + S 20-34 = S 1-34

Αυτό δείχνει ότι για να βρείτε το άθροισμα S 20-34μπορεί να γίνει με απλή αφαίρεση

S 20-34 = S 1-34 - S 1-19

Λαμβάνονται υπόψη και τα δύο ποσά στη δεξιά πλευρά από την πρώτημέλος, δηλ. Ο τυπικός τύπος αθροίσματος είναι αρκετά εφαρμόσιμος σε αυτά. Ξεκινάμε;

Εξάγουμε τις παραμέτρους προόδου από την συνθήκη εργασίας:

d = 1,5.

Α'1= -21,5.

Για να υπολογίσουμε τα αθροίσματα των πρώτων 19 και των πρώτων 34 όρων, θα χρειαστούμε τον 19ο και τον 34ο όρο. Τις μετράμε σύμφωνα με τον τύπο του nου όρου, όπως στο πρόβλημα 2:

ένα 19\u003d -21,5 + (19-1) 1,5 \u003d 5,5

ένα 34\u003d -21,5 + (34-1) 1,5 \u003d 28

Δεν έμεινε τίποτα. Αφαιρέστε το άθροισμα των 19 όρων από το άθροισμα των 34 όρων:

S 20-34 = S 1-34 - S 1-19 = 110,5 - (-152) = 262,5

Απάντηση: 262,5

Μια σημαντική σημείωση! Υπάρχει μια πολύ χρήσιμη δυνατότητα για την επίλυση αυτού του προβλήματος. Αντί για άμεσο υπολογισμό τι χρειάζεστε (S 20-34),μετρήσαμε τι, φαίνεται, δεν χρειάζεται - S 1-19.Και μετά αποφάσισαν S 20-34, απορρίπτοντας τα περιττά από το πλήρες αποτέλεσμα. Μια τέτοια "προσποίηση με τα αυτιά" συχνά σώζει σε κακούς γρίφους.)

Σε αυτό το μάθημα, εξετάσαμε προβλήματα για τα οποία αρκεί να κατανοήσουμε την έννοια του αθροίσματος μιας αριθμητικής προόδου. Λοιπόν, πρέπει να γνωρίζετε μερικούς τύπους.)

Πρακτικές συμβουλές:

Όταν λύνετε οποιοδήποτε πρόβλημα για το άθροισμα μιας αριθμητικής προόδου, συνιστώ να γράψετε αμέσως τους δύο κύριους τύπους από αυτό το θέμα.

Τύπος του nου όρου:

Αυτοί οι τύποι θα σας πουν αμέσως τι να αναζητήσετε, προς ποια κατεύθυνση να σκεφτείτε για να λύσετε το πρόβλημα. Βοηθάει.

Και τώρα τα καθήκοντα για ανεξάρτητη λύση.

5. Να βρείτε το άθροισμα όλων των διψήφιων αριθμών που δεν διαιρούνται με το τρία.

Καλό;) Η υπόδειξη είναι κρυμμένη στη σημείωση για το πρόβλημα 4. Λοιπόν, το πρόβλημα 3 θα βοηθήσει.

6. Η αριθμητική πρόοδος δίνεται από την συνθήκη: a 1 =-5,5; a n+1 = a n +0,5. Βρείτε το άθροισμα των πρώτων 24 όρων.

Ασυνήθιστο;) Αυτή είναι μια επαναλαμβανόμενη φόρμουλα. Μπορείτε να διαβάσετε σχετικά στο προηγούμενο μάθημα. Μην αγνοήσετε τον σύνδεσμο, τέτοια παζλ βρίσκονται συχνά στο GIA.

7. Η Βάσια μάζεψε χρήματα για τις διακοπές. Μέχρι και 4550 ρούβλια! Και αποφάσισα να χαρίσω στον πιο αγαπημένο άνθρωπο (τον εαυτό μου) λίγες μέρες ευτυχίας). Ζήστε όμορφα χωρίς να αρνηθείτε τίποτα στον εαυτό σας. Ξοδέψτε 500 ρούβλια την πρώτη μέρα και ξοδέψτε 50 ρούβλια περισσότερα την επόμενη μέρα από την προηγούμενη! Μέχρι να τελειώσουν τα λεφτά. Πόσες μέρες ευτυχίας είχε η Βάσια;

Είναι δύσκολο;) Μια πρόσθετη φόρμουλα από την εργασία 2 θα βοηθήσει.

Απαντήσεις (σε αταξία): 7, 3240, 6.

Αν σας αρέσει αυτό το site...

Παρεμπιπτόντως, έχω μερικές ακόμη ενδιαφέρουσες τοποθεσίες για εσάς.)

Μπορείτε να εξασκηθείτε στην επίλυση παραδειγμάτων και να μάθετε το επίπεδό σας. Δοκιμή με άμεση επαλήθευση. Μάθηση - με ενδιαφέρον!)

μπορείτε να εξοικειωθείτε με συναρτήσεις και παραγώγους.

Κατά τη μελέτη της άλγεβρας σε ένα σχολείο δευτεροβάθμιας εκπαίδευσης (τάξη 9), ένα από τα σημαντικά θέματα είναι η μελέτη των αριθμητικών ακολουθιών, οι οποίες περιλαμβάνουν προόδους - γεωμετρικές και αριθμητικές. Σε αυτό το άρθρο, θα εξετάσουμε μια αριθμητική πρόοδο και παραδείγματα με λύσεις.

Τι είναι μια αριθμητική πρόοδος;

Για να γίνει κατανοητό αυτό, είναι απαραίτητο να δοθεί ένας ορισμός της υπό εξέταση εξέλιξης, καθώς και να δοθούν οι βασικοί τύποι που θα χρησιμοποιηθούν περαιτέρω στην επίλυση προβλημάτων.

Είναι γνωστό ότι σε κάποια αλγεβρική πρόοδο ο 1ος όρος είναι ίσος με 6 και ο 7ος όρος είναι ίσος με 18. Είναι απαραίτητο να βρούμε τη διαφορά και να επαναφέρουμε αυτή την ακολουθία στον 7ο όρο.

Ας χρησιμοποιήσουμε τον τύπο για να προσδιορίσουμε τον άγνωστο όρο: a n = (n - 1) * d + a 1 . Αντικαθιστούμε τα γνωστά δεδομένα από τη συνθήκη σε αυτό, δηλαδή τους αριθμούς a 1 και a 7, έχουμε: 18 \u003d 6 + 6 * d. Από αυτήν την έκφραση, μπορείτε εύκολα να υπολογίσετε τη διαφορά: d = (18 - 6) / 6 = 2. Έτσι, απαντήθηκε το πρώτο μέρος του προβλήματος.

Για να επαναφέρετε την ακολουθία στο 7ο μέλος, θα πρέπει να χρησιμοποιήσετε τον ορισμό μιας αλγεβρικής προόδου, δηλαδή, a 2 = a 1 + d, a 3 = a 2 + d και ούτω καθεξής. Ως αποτέλεσμα, επαναφέρουμε ολόκληρη την ακολουθία: a 1 = 6, a 2 = 6 + 2=8, a 3 = 8 + 2 = 10, a 4 = 10 + 2 = 12, a 5 = 12 + 2 = 14 , a 6 = 14 + 2 = 16 και 7 = 18.

Παράδειγμα #3: κάνοντας μια εξέλιξη

Ας περιπλέκουμε ακόμη περισσότερο την κατάσταση του προβλήματος. Τώρα πρέπει να απαντήσετε στην ερώτηση πώς να βρείτε μια αριθμητική πρόοδο. Μπορεί να δοθεί το ακόλουθο παράδειγμα: δίνονται δύο αριθμοί, για παράδειγμα, 4 και 5. Είναι απαραίτητο να γίνει μια αλγεβρική πρόοδος έτσι ώστε να τοποθετηθούν άλλοι τρεις όροι μεταξύ αυτών.

Πριν ξεκινήσετε την επίλυση αυτού του προβλήματος, είναι απαραίτητο να καταλάβετε ποια θέση θα καταλάβουν οι συγκεκριμένοι αριθμοί στη μελλοντική εξέλιξη. Δεδομένου ότι θα υπάρχουν άλλοι τρεις όροι μεταξύ τους, τότε ένας 1 \u003d -4 και ένας 5 \u003d 5. Έχοντας καθορίσει αυτό, προχωράμε σε μια εργασία που είναι παρόμοια με την προηγούμενη. Και πάλι, για τον nο όρο, χρησιμοποιούμε τον τύπο, παίρνουμε: a 5 \u003d a 1 + 4 * d. Από: d \u003d (a 5 - a 1) / 4 \u003d (5 - (-4)) / 4 \u003d 2,25. Εδώ, η διαφορά δεν είναι μια ακέραια τιμή, αλλά είναι ένας ρητός αριθμός, επομένως οι τύποι για την αλγεβρική πρόοδο παραμένουν οι ίδιοι.

Τώρα ας προσθέσουμε τη διαφορά που βρέθηκε σε ένα 1 και ας επαναφέρουμε τα μέλη της εξέλιξης που λείπουν. Παίρνουμε: a 1 = - 4, a 2 = - 4 + 2,25 = - 1,75, a 3 = -1,75 + 2,25 = 0,5, a 4 = 0,5 + 2,25 = 2,75, a 5 \u003d 2,75 + 2,25 \u που συνέπεσε με την κατάσταση του προβλήματος.

Παράδειγμα #4: Το πρώτο μέλος της εξέλιξης

Συνεχίζουμε να δίνουμε παραδείγματα αριθμητικής προόδου με λύση. Σε όλα τα προηγούμενα προβλήματα, ο πρώτος αριθμός της αλγεβρικής προόδου ήταν γνωστός. Τώρα εξετάστε ένα πρόβλημα διαφορετικού τύπου: ας δοθούν δύο αριθμοί, όπου ένας 15 = 50 και ένας 43 = 37. Είναι απαραίτητο να βρείτε από ποιον αριθμό ξεκινά αυτή η ακολουθία.

Οι τύποι που έχουν χρησιμοποιηθεί μέχρι στιγμής προϋποθέτουν γνώση του 1 και του δ. Τίποτα δεν είναι γνωστό για αυτούς τους αριθμούς στην κατάσταση του προβλήματος. Ωστόσο, ας γράψουμε τις εκφράσεις για κάθε όρο για τον οποίο έχουμε πληροφορίες: a 15 = a 1 + 14 * d και a 43 = a 1 + 42 * d. Πήραμε δύο εξισώσεις στις οποίες υπάρχουν 2 άγνωστα μεγέθη (α 1 και δ). Αυτό σημαίνει ότι το πρόβλημα περιορίζεται στην επίλυση ενός συστήματος γραμμικών εξισώσεων.

Το καθορισμένο σύστημα είναι πιο εύκολο να λυθεί εάν εκφράσετε ένα 1 σε κάθε εξίσωση και στη συνέχεια συγκρίνετε τις παραστάσεις που προκύπτουν. Πρώτη εξίσωση: a 1 = a 15 - 14 * d = 50 - 14 * d; δεύτερη εξίσωση: a 1 \u003d a 43 - 42 * d \u003d 37 - 42 * d. Εξισώνοντας αυτές τις εκφράσεις, παίρνουμε: 50 - 14 * d \u003d 37 - 42 * d, από όπου η διαφορά d \u003d (37 - 50) / (42 - 14) \u003d - 0,464 (δίνονται μόνο 3 δεκαδικά ψηφία).

Γνωρίζοντας το d, μπορείτε να χρησιμοποιήσετε οποιαδήποτε από τις 2 παραπάνω εκφράσεις για το 1 . Για παράδειγμα, πρώτα: ένα 1 \u003d 50 - 14 * d \u003d 50 - 14 * (- 0,464) \u003d 56,496.

Εάν υπάρχουν αμφιβολίες για το αποτέλεσμα, μπορείτε να το ελέγξετε, για παράδειγμα, να προσδιορίσετε το 43ο μέλος της προόδου, το οποίο καθορίζεται στη συνθήκη. Λαμβάνουμε: a 43 \u003d a 1 + 42 * d \u003d 56,496 + 42 * (- 0,464) \u003d 37,008. Ένα μικρό σφάλμα οφείλεται στο γεγονός ότι στους υπολογισμούς χρησιμοποιήθηκε η στρογγυλοποίηση στα χιλιοστά.

Παράδειγμα #5: Άθροισμα

Ας δούμε τώρα μερικά παραδείγματα με λύσεις για το άθροισμα μιας αριθμητικής προόδου.

Έστω μια αριθμητική πρόοδος της ακόλουθης μορφής: 1, 2, 3, 4, ...,. Πώς να υπολογίσετε το άθροισμα των 100 αυτών των αριθμών;

Χάρη στην ανάπτυξη της τεχνολογίας υπολογιστών, αυτό το πρόβλημα μπορεί να λυθεί, δηλαδή να αθροιστούν διαδοχικά όλοι οι αριθμοί, κάτι που θα κάνει ο υπολογιστής μόλις κάποιος πατήσει το πλήκτρο Enter. Ωστόσο, το πρόβλημα μπορεί να λυθεί διανοητικά εάν προσέξετε ότι η παρουσιαζόμενη σειρά αριθμών είναι αλγεβρική πρόοδος και η διαφορά της είναι 1. Εφαρμόζοντας τον τύπο για το άθροισμα, παίρνουμε: S n = n * (a 1 + a n) / 2 = 100 * (1 + 100) / 2 = 5050.

Είναι περίεργο να σημειωθεί ότι αυτό το πρόβλημα ονομάζεται "Gaussian" επειδή στο αρχές XVIIIτου αιώνα, ο διάσημος Γερμανός, ακόμη σε ηλικία μόλις 10 ετών, μπόρεσε να το λύσει στο μυαλό του μέσα σε λίγα δευτερόλεπτα. Το αγόρι δεν γνώριζε τον τύπο για το άθροισμα μιας αλγεβρικής προόδου, αλλά παρατήρησε ότι αν προσθέσετε ζεύγη αριθμών που βρίσκονται στις άκρες της ακολουθίας, έχετε πάντα το ίδιο αποτέλεσμα, δηλαδή 1 + 100 = 2 + 99 = 3 + 98 = ..., και δεδομένου ότι αυτά τα αθροίσματα θα είναι ακριβώς 50 (100 / 2), τότε για να πάρετε τη σωστή απάντηση, αρκεί να πολλαπλασιάσετε το 50 με το 101.

Παράδειγμα #6: άθροισμα όρων από n έως m

Ένα άλλο χαρακτηριστικό παράδειγμα του αθροίσματος μιας αριθμητικής προόδου είναι το εξής: εάν δοθεί μια σειρά αριθμών: 3, 7, 11, 15, ..., πρέπει να βρείτε ποιο θα είναι το άθροισμα των όρων της από το 8 έως το 14.

Το πρόβλημα λύνεται με δύο τρόπους. Το πρώτο από αυτά περιλαμβάνει την εύρεση άγνωστων όρων από το 8 έως το 14 και στη συνέχεια τη διαδοχική άθροισή τους. Δεδομένου ότι υπάρχουν λίγοι όροι, αυτή η μέθοδος δεν είναι αρκετά επίπονη. Ωστόσο, προτείνεται η επίλυση αυτού του προβλήματος με τη δεύτερη μέθοδο, η οποία είναι πιο καθολική.

Η ιδέα είναι να πάρουμε έναν τύπο για το άθροισμα μιας αλγεβρικής προόδου μεταξύ των όρων m και n, όπου n > m είναι ακέραιοι. Και για τις δύο περιπτώσεις, γράφουμε δύο εκφράσεις για το άθροισμα:

1. S m \u003d m * (a m + a 1) / 2.
2. S n \u003d n * (a n + a 1) / 2.

Εφόσον n > m, είναι προφανές ότι το άθροισμα 2 περιλαμβάνει το πρώτο. Το τελευταίο συμπέρασμα σημαίνει ότι αν πάρουμε τη διαφορά μεταξύ αυτών των αθροισμάτων και προσθέσουμε τον όρο a m σε αυτήν (στην περίπτωση λήψης της διαφοράς, αφαιρείται από το άθροισμα S n), τότε παίρνουμε την απαραίτητη απάντηση στο πρόβλημα. Έχουμε: S mn \u003d S n - S m + a m \u003d n * (a 1 + a n) / 2 - m * (a 1 + a m) / 2 + a m \u003d a 1 * (n - m) / 2 + a n * n / 2 + a m * (1- m / 2). Είναι απαραίτητο να αντικαταστήσετε τους τύπους για ένα n και ένα m σε αυτήν την έκφραση. Τότε παίρνουμε: S mn = a 1 * (n - m) / 2 + n * (a 1 + (n - 1) * d) / 2 + (a 1 + (m - 1) * d) * (1 - m / 2) = a 1 * (n - m + 1) + d * n * (n - 1) / 2 + d * (3 * m - m 2 - 2) / 2.

Ο προκύπτων τύπος είναι κάπως περίπλοκος, ωστόσο, το άθροισμα S mn εξαρτάται μόνο από τα n, m, a 1 και d. Στην περίπτωσή μας, a 1 = 3, d = 4, n = 14, m = 8. Αντικαθιστώντας αυτούς τους αριθμούς, παίρνουμε: S mn = 301.

Όπως φαίνεται από τις παραπάνω λύσεις, όλα τα προβλήματα βασίζονται στη γνώση της έκφρασης για τον nο όρο και στον τύπο για το άθροισμα του συνόλου των πρώτων όρων. Πριν ξεκινήσετε να επιλύετε οποιοδήποτε από αυτά τα προβλήματα, συνιστάται να διαβάσετε προσεκτικά την κατάσταση, να κατανοήσετε ξεκάθαρα τι θέλετε να βρείτε και μόνο τότε να προχωρήσετε στη λύση.

Μια άλλη συμβουλή είναι να προσπαθήσετε για απλότητα, δηλαδή, εάν μπορείτε να απαντήσετε στην ερώτηση χωρίς να χρησιμοποιήσετε σύνθετους μαθηματικούς υπολογισμούς, τότε πρέπει να κάνετε ακριβώς αυτό, καθώς σε αυτήν την περίπτωση η πιθανότητα να κάνετε λάθος είναι μικρότερη. Για παράδειγμα, στο παράδειγμα μιας αριθμητικής προόδου με τη λύση Νο. 6, θα μπορούσε κανείς να σταματήσει στον τύπο S mn \u003d n * (a 1 + a n) / 2 - m * (a 1 + a m) / 2 + a m, και χωρίστε τη γενική εργασία σε ξεχωριστές δευτερεύουσες εργασίες (σε αυτήν την περίπτωση, βρείτε πρώτα τους όρους a n και a m).

Εάν υπάρχουν αμφιβολίες για το αποτέλεσμα, συνιστάται να το ελέγξετε, όπως έγινε σε ορισμένα από τα παραδείγματα που δίνονται. Πώς να βρείτε μια αριθμητική πρόοδο, ανακαλύφθηκε. Μόλις το καταλάβετε, δεν είναι τόσο δύσκολο.

Αν κάθε φυσικός αριθμός n ταιριάζει με έναν πραγματικό αριθμό a n , τότε λένε ότι δεδομένο σειρά αριθμών :

ένα 1 , ένα 2 , ένα 3 , . . . , a n , . . . .

Άρα, μια αριθμητική ακολουθία είναι συνάρτηση ενός φυσικού ορίσματος.

Αριθμός ένα 1 που ονομάζεται το πρώτο μέλος της ακολουθίας , αριθμός ένα 2 — το δεύτερο μέλος της ακολουθίας , αριθμός ένα 3 — τρίτος και τα λοιπά. Αριθμός a n που ονομάζεται ντο μέλος της ακολουθίας και ο φυσικός αριθμός n — τον αριθμό του .

Από δύο γειτονικά μέλη a n και a n +1 ακολουθίες μελών a n +1 που ονομάζεται μεταγενέστερος (προς a n ), ένα a n — προηγούμενος (προς a n +1 ).

Για να καθορίσετε μια ακολουθία, πρέπει να καθορίσετε μια μέθοδο που σας επιτρέπει να βρείτε ένα μέλος ακολουθίας με οποιονδήποτε αριθμό.

Συχνά η ακολουθία δίνεται με τύποι nου όρου , δηλαδή ένας τύπος που σας επιτρέπει να προσδιορίσετε ένα μέλος ακολουθίας με τον αριθμό του.

Για παράδειγμα,

η ακολουθία των θετικών περιττών αριθμών μπορεί να δοθεί από τον τύπο

a n= 2n- 1,

και η ακολουθία εναλλαγής 1 και -1 - φόρμουλα

σι n = (-1)n +1 . ◄

Η σειρά μπορεί να προσδιοριστεί επαναλαμβανόμενη φόρμουλα, δηλαδή ένας τύπος που εκφράζει οποιοδήποτε μέλος της ακολουθίας, ξεκινώντας από μερικά, μέσα από τα προηγούμενα (ένα ή περισσότερα) μέλη.

Για παράδειγμα,

αν ένα 1 = 1 , ένα a n +1 = a n + 5

ένα 1 = 1,

ένα 2 = ένα 1 + 5 = 1 + 5 = 6,

ένα 3 = ένα 2 + 5 = 6 + 5 = 11,

ένα 4 = ένα 3 + 5 = 11 + 5 = 16,

ένα 5 = ένα 4 + 5 = 16 + 5 = 21.

Αν ένα Α'1= 1, Α2 = 1, a n +2 = a n + a n +1 , τότε τα πρώτα επτά μέλη της αριθμητικής ακολουθίας ορίζονται ως εξής:

Α'1 = 1,

Α2 = 1,

α 3 = Α'1 + Α2 = 1 + 1 = 2,

α 4 = Α2 + α 3 = 1 + 2 = 3,

α 5 = α 3 + α 4 = 2 + 3 = 5,

ένα 6 = ένα 4 + ένα 5 = 3 + 5 = 8,

ένα 7 = ένα 5 + ένα 6 = 5 + 8 = 13. ◄

Οι ακολουθίες μπορεί να είναι τελικός και ατελείωτες .

Η ακολουθία ονομάζεται τελικός αν έχει πεπερασμένο αριθμό μελών. Η ακολουθία ονομάζεται ατελείωτες αν έχει άπειρα μέλη.

Για παράδειγμα,

ακολουθία διψήφιων φυσικών αριθμών:

10, 11, 12, 13, . . . , 98, 99

τελικός.

Ακολουθία πρώτων αριθμών:

2, 3, 5, 7, 11, 13, . . .

ατελείωτες. ◄

Η ακολουθία ονομάζεται αυξανόμενη , αν καθένα από τα μέλη του, ξεκινώντας από το δεύτερο, είναι μεγαλύτερο από το προηγούμενο.

Η ακολουθία ονομάζεται φθίνουσα , αν καθένα από τα μέλη του, ξεκινώντας από το δεύτερο, είναι μικρότερο από το προηγούμενο.

Για παράδειγμα,

2, 4, 6, 8, . . . , 2n, . . . είναι μια αύξουσα ακολουθία.

1, 1 / 2 , 1 / 3 , 1 / 4 , . . . , 1 /n, . . . είναι μια φθίνουσα ακολουθία. ◄

Μια ακολουθία της οποίας τα στοιχεία δεν μειώνονται με τον αυξανόμενο αριθμό ή, αντίθετα, δεν αυξάνονται, ονομάζεται μονότονη ακολουθία .

Οι μονοτονικές αλληλουχίες, ειδικότερα, είναι αλληλουχίες αύξησης και φθίνουσας αλληλουχίας.

Αριθμητική πρόοδος

Αριθμητική πρόοδος καλείται μια ακολουθία, κάθε μέλος της οποίας, ξεκινώντας από τη δεύτερη, ισούται με την προηγούμενη, στην οποία προστίθεται ο ίδιος αριθμός.

ένα 1 , ένα 2 , ένα 3 , . . . , a n, . . .

είναι μια αριθμητική πρόοδος εάν για οποιοδήποτε φυσικό αριθμό n πληρούται η προϋπόθεση:

a n +1 = a n + ρε,

που ρε - κάποιο νούμερο.

Έτσι, η διαφορά μεταξύ του επόμενου και των προηγούμενων μελών μιας δεδομένης αριθμητικής προόδου είναι πάντα σταθερή:

Α2 - ένα 1 = α 3 - ένα 2 = . . . = a n +1 - a n = ρε.

Αριθμός ρε που ονομάζεται η διαφορά μιας αριθμητικής προόδου.

Για να ορίσετε μια αριθμητική πρόοδο, αρκεί να καθορίσετε τον πρώτο όρο και τη διαφορά της.

Για παράδειγμα,

αν ένα 1 = 3, ρε = 4 , τότε οι πρώτοι πέντε όροι της ακολουθίας βρίσκονται ως εξής:

Α'1 =3,

Α2 = Α'1 + ρε = 3 + 4 = 7,

α 3 = Α2 + ρε= 7 + 4 = 11,

α 4 = α 3 + ρε= 11 + 4 = 15,

ένα 5 = ένα 4 + ρε= 15 + 4 = 19. ◄

Για μια αριθμητική πρόοδο με τον πρώτο όρο ένα 1 και διαφορά ρε αυτήν n

a n = Α'1 + (n- 1)ρε.

Για παράδειγμα,

βρείτε τον τριακοστό όρο μιας αριθμητικής προόδου

1, 4, 7, 10, . . .

Α'1 =1, ρε = 3,

ένα 30 = Α'1 + (30 - 1)d= 1 + 29· 3 = 88. ◄

ένα n-1 = Α'1 + (n- 2)ρε,

a n= Α'1 + (n- 1)ρε,

a n +1 = ένα 1 + nd,

τότε προφανώς

a n=	a n-1 + a n+1
	2

κάθε μέλος της αριθμητικής προόδου, ξεκινώντας από το δεύτερο, ισούται με τον αριθμητικό μέσο όρο των προηγούμενων και των επόμενων μελών.

Οι αριθμοί α, β και γ είναι διαδοχικά μέλη κάποιας αριθμητικής προόδου αν και μόνο αν ένας από αυτούς είναι ίσος με τον αριθμητικό μέσο όρο των άλλων δύο.

Για παράδειγμα,

a n = 2n- 7 , είναι μια αριθμητική πρόοδος.

Ας χρησιμοποιήσουμε την παραπάνω δήλωση. Εχουμε:

a n = 2n- 7,

ένα n-1 = 2(n- 1) - 7 = 2n- 9,

ένα ν+1 = 2(n+ 1) - 7 = 2n- 5.

Ως εκ τούτου,

a n+1 + a n-1	=	2n- 5 + 2n- 9	= 2n- 7 = a n,
2		2

◄

Σημειώστε ότι n -ο μέλος μιας αριθμητικής προόδου μπορεί να βρεθεί όχι μόνο μέσω ένα 1 , αλλά και κάθε προηγούμενο ένα κ

a n = ένα κ + (n- κ)ρε.

Για παράδειγμα,

Για ένα 5 μπορεί να γραφτεί

α 5 = Α'1 + 4ρε,

α 5 = Α2 + 3ρε,

α 5 = α 3 + 2ρε,

α 5 = α 4 + ρε. ◄

a n = ένα ν-κ + κδ,

a n = ένα ν+κ - κδ,

τότε προφανώς

a n=	ένα ν-κ + α n+k
	2

Κάθε μέλος μιας αριθμητικής προόδου, ξεκινώντας από τη δεύτερη, ισούται με το μισό άθροισμα των μελών αυτής της αριθμητικής προόδου σε ίση απόσταση από αυτήν.

Επιπλέον, για οποιαδήποτε αριθμητική πρόοδο, ισχύει η ισότητα:

a m + a n = a k + a l,

m + n = k + l.

Για παράδειγμα,

σε αριθμητική πρόοδο

1) ένα 10 = 28 = (25 + 31)/2 = (ένα 9 + ένα 11 )/2;

2) 28 = ένα 10 = α 3 + 7ρε= 7 + 7 3 = 7 + 21 = 28;

3) ένα 10= 28 = (19 + 37)/2 = (ένα 7 + ένα 13)/2;

4) a 2 + a 12 = a 5 + a 9, όπως και

α 2 + α 12= 4 + 34 = 38,

ένα 5 + ένα 9 = 13 + 25 = 38. ◄

S n= a 1 + a 2 + a 3 + . . .+ a n,

πρώτα n μέλη μιας αριθμητικής προόδου είναι ίσο με το γινόμενο του μισού του αθροίσματος των ακραίων όρων με τον αριθμό των όρων:

Από αυτό, ειδικότερα, προκύπτει ότι εάν είναι απαραίτητο να αθροιστούν οι όροι

ένα κ, ένα κ +1 , . . . , a n,

τότε ο προηγούμενος τύπος διατηρεί τη δομή του:

Για παράδειγμα,

σε αριθμητική πρόοδο 1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31, 34, 37, . . .

μικρό 10 = 1 + 4 + . . . + 28 = (1 + 28) · 10/2 = 145;

10 + 13 + 16 + 19 + 22 + 25 + 28 = μικρό 10 - μικρό 3 = (10 + 28 ) · (10 - 4 + 1)/2 = 133. ◄

Αν δίνεται αριθμητική πρόοδος, τότε οι ποσότητες ένα 1 , a n, ρε, nκαιμικρό n συνδέονται με δύο τύπους:

Επομένως, εάν δίνονται οι τιμές τριών από αυτές τις ποσότητες, τότε οι αντίστοιχες τιμές των άλλων δύο μεγεθών καθορίζονται από αυτούς τους τύπους συνδυασμένους σε ένα σύστημα δύο εξισώσεων με δύο αγνώστους.

Μια αριθμητική πρόοδος είναι μια μονότονη ακολουθία. Εν:

• αν ρε > 0 , τότε αυξάνεται.
• αν ρε < 0 , τότε μειώνεται.
• αν ρε = 0 , τότε η ακολουθία θα είναι ακίνητη.

Γεωμετρική πρόοδος

γεωμετρική πρόοδος καλείται μια ακολουθία, κάθε μέλος της οποίας, ξεκινώντας από το δεύτερο, ισούται με την προηγούμενη, πολλαπλασιαζόμενη με τον ίδιο αριθμό.

σι 1 , σι 2 , σι 3 , . . . , b n, . . .

είναι μια γεωμετρική πρόοδος εάν για οποιονδήποτε φυσικό αριθμό n πληρούται η προϋπόθεση:

b n +1 = b n · q,

που q ≠ 0 - κάποιο νούμερο.

Έτσι, ο λόγος του επόμενου όρου αυτής της γεωμετρικής προόδου προς τον προηγούμενο είναι ένας σταθερός αριθμός:

σι 2 / σι 1 = σι 3 / σι 2 = . . . = b n +1 / b n = q.

Αριθμός q που ονομάζεται παρονομαστής μιας γεωμετρικής προόδου.

Για να ορίσετε μια γεωμετρική πρόοδο, αρκεί να καθορίσετε τον πρώτο όρο και τον παρονομαστή της.

Για παράδειγμα,

αν σι 1 = 1, q = -3 , τότε οι πρώτοι πέντε όροι της ακολουθίας βρίσκονται ως εξής:

β 1 = 1,

β 2 = β 1 · q = 1 · (-3) = -3,

β 3 = β 2 · q= -3 · (-3) = 9,

β 4 = β 3 · q= 9 · (-3) = -27,

σι 5 = σι 4 · q= -27 · (-3) = 81. ◄

σι 1 και παρονομαστής q αυτήν n -ο όρος μπορεί να βρεθεί με τον τύπο:

b n = σι 1 · q n -1 .

Για παράδειγμα,

βρείτε τον έβδομο όρο μιας γεωμετρικής προόδου 1, 2, 4, . . .

σι 1 = 1, q = 2,

σι 7 = σι 1 · q 6 = 1 2 6 = 64. ◄

bn-1 = β 1 · q n -2 ,

b n = β 1 · q n -1 ,

b n +1 = σι 1 · q n,

τότε προφανώς

b n 2 = b n -1 · b n +1 ,

κάθε μέλος της γεωμετρικής προόδου, ξεκινώντας από το δεύτερο, ισούται με το γεωμετρικό μέσο (αναλογικό) των προηγούμενων και των επόμενων μελών.

Εφόσον ισχύει και το αντίστροφο, ισχύει ο ακόλουθος ισχυρισμός:

Οι αριθμοί a, b και c είναι διαδοχικά μέλη κάποιας γεωμετρικής προόδου αν και μόνο αν το τετράγωνο του ενός είναι ίσο με το γινόμενο των άλλων δύο, δηλαδή ένας από τους αριθμούς είναι ο γεωμετρικός μέσος όρος των άλλων δύο.

Για παράδειγμα,

ας αποδείξουμε ότι η ακολουθία που δίνεται από τον τύπο b n= -3 2 n , είναι μια γεωμετρική πρόοδος. Ας χρησιμοποιήσουμε την παραπάνω δήλωση. Εχουμε:

b n= -3 2 n,

b n -1 = -3 2 n -1 ,

b n +1 = -3 2 n +1 .

Ως εκ τούτου,

b n 2 = (-3 2 n) 2 = (-3 2 n -1 ) (-3 2 n +1 ) = b n -1 · b n +1 ,

που αποδεικνύει τον απαιτούμενο ισχυρισμό. ◄

Σημειώστε ότι n Ο όρος μιας γεωμετρικής προόδου μπορεί να βρεθεί όχι μόνο μέσω σι 1 , αλλά και κάθε προηγούμενη θητεία β κ , για την οποία αρκεί η χρήση του τύπου

b n = β κ · q n - κ.

Για παράδειγμα,

Για σι 5 μπορεί να γραφτεί

β 5 = β 1 · q 4 ,

β 5 = β 2 · q 3,

β 5 = β 3 · q2,

β 5 = β 4 · q. ◄

b n = β κ · q n - κ,

b n = b n - κ · q k,

τότε προφανώς

b n 2 = b n - κ· b n + κ

το τετράγωνο οποιουδήποτε μέλους μιας γεωμετρικής προόδου, ξεκινώντας από τη δεύτερη, είναι ίσο με το γινόμενο των μελών αυτής της προόδου που ισαπέχουν από αυτήν.

Επιπλέον, για οποιαδήποτε γεωμετρική πρόοδο, ισχύει η ισότητα:

b m· b n= β κ· β λ,

Μ+ n= κ+ μεγάλο.

Για παράδειγμα,

εκθετικά

1) σι 6 2 = 32 2 = 1024 = 16 · 64 = σι 5 · σι 7 ;

2) 1024 = σι 11 = σι 6 · q 5 = 32 · 2 5 = 1024;

3) σι 6 2 = 32 2 = 1024 = 8 · 128 = σι 4 · σι 8 ;

4) σι 2 · σι 7 = σι 4 · σι 5 , όπως και

σι 2 · σι 7 = 2 · 64 = 128,

σι 4 · σι 5 = 8 · 16 = 128. ◄

S n= σι 1 + σι 2 + σι 3 + . . . + b n

πρώτα n μέλη μιας γεωμετρικής προόδου με παρονομαστή q ≠ 0 υπολογίζεται με τον τύπο:

Και πότε q = 1 - σύμφωνα με τον τύπο

S n= ν.β. 1

Σημειώστε ότι αν χρειαστεί να συνοψίσουμε τους όρους

β κ, β κ +1 , . . . , b n,

τότε χρησιμοποιείται ο τύπος:

S n- S k -1 = β κ + β κ +1 + . . . + b n = β κ ·	1 - q n - κ +1	.
	1 - q

Για παράδειγμα,

εκθετικά 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, . . .

μικρό 10 = 1 + 2 + . . . + 512 = 1 · (1 - 2 10) / (1 - 2) = 1023;

64 + 128 + 256 + 512 = μικρό 10 - μικρό 6 = 64 · (1 - 2 10-7+1) / (1 - 2) = 960. ◄

Αν δίνεται γεωμετρική πρόοδος, τότε οι ποσότητες σι 1 , b n, q, nκαι S n συνδέονται με δύο τύπους:

Επομένως, εάν δοθούν οι τιμές οποιωνδήποτε τριών από αυτές τις ποσότητες, τότε οι αντίστοιχες τιμές των άλλων δύο ποσοτήτων καθορίζονται από αυτούς τους τύπους συνδυασμένους σε ένα σύστημα δύο εξισώσεων με δύο άγνωστα.

Για μια γεωμετρική πρόοδο με τον πρώτο όρο σι 1 και παρονομαστής q λαμβάνουν χώρα τα ακόλουθα ιδιότητες μονοτονίας :

• η εξέλιξη αυξάνεται εάν πληρούται μία από τις ακόλουθες προϋποθέσεις:

σι 1 > 0 και q> 1;

σι 1 < 0 και 0 < q< 1;

• Μια εξέλιξη μειώνεται εάν πληρούται μία από τις ακόλουθες προϋποθέσεις:

σι 1 > 0 και 0 < q< 1;

σι 1 < 0 και q> 1.

Αν ένα q< 0 , τότε η γεωμετρική πρόοδος είναι εναλλασσόμενη: οι περιττοί όροι της έχουν το ίδιο πρόσημο με τον πρώτο όρο της και οι ζυγοί όροι έχουν το αντίθετο πρόσημο. Είναι σαφές ότι μια εναλλασσόμενη γεωμετρική πρόοδος δεν είναι μονότονη.

Προϊόν του πρώτου n Οι όροι μιας γεωμετρικής προόδου μπορούν να υπολογιστούν με τον τύπο:

P n= β 1 · β 2 · β 3 · . . . · b n = (β 1 · b n) n / 2 .

Για παράδειγμα,

1 · 2 · 4 · 8 · 16 · 32 · 64 · 128 = (1 · 128) 8/2 = 128 4 = 268 435 456;

3 · 6 · 12 · 24 · 48 = (3 · 48) 5/2 = (144 1/2) 5 = 12 5 = 248 832.◄

Απεριόριστα φθίνουσα γεωμετρική πρόοδος

Απεριόριστα φθίνουσα γεωμετρική πρόοδος ονομάζεται άπειρη γεωμετρική πρόοδος της οποίας ο συντελεστής παρονομαστή είναι μικρότερος από 1 , δηλ

|q| < 1 .

Σημειώστε ότι μια απεριόριστα φθίνουσα γεωμετρική πρόοδος μπορεί να μην είναι μια φθίνουσα ακολουθία. Αυτό ταιριάζει στην περίπτωση

1 < q< 0 .

Με έναν τέτοιο παρονομαστή, η ακολουθία είναι εναλλασσόμενη. Για παράδειγμα,

1, - 1 / 2 , 1 / 4 , - 1 / 8 , . . . .

Το άθροισμα μιας απείρως φθίνουσας γεωμετρικής προόδου ονομάστε τον αριθμό στον οποίο το άθροισμα του πρώτου n όρους της εξέλιξης με απεριόριστη αύξηση του αριθμού n . Αυτός ο αριθμός είναι πάντα πεπερασμένος και εκφράζεται με τον τύπο

μικρό= σι 1 + σι 2 + σι 3 + . . . =	σι 1	.
	1 - q

Για παράδειγμα,

10 + 1 + 0,1 + 0,01 + . . . = 10 / (1 - 0,1) = 11 1 / 9 ,

10 - 1 + 0,1 - 0,01 + . . . = 10 / (1 + 0,1) = 9 1 / 11 . ◄

Σχέση αριθμητικής και γεωμετρικής προόδου

Οι αριθμητικές και οι γεωμετρικές προόδους συνδέονται στενά. Ας εξετάσουμε μόνο δύο παραδείγματα.

ένα 1 , ένα 2 , ένα 3 , . . . ρε , τότε

β α 1 , β α 2 , β α 3 , . . . β δ .

Για παράδειγμα,

1, 3, 5, . . . — αριθμητική πρόοδος με διαφορά 2 και

7 1 , 7 3 , 7 5 , . . . είναι μια γεωμετρική πρόοδος με παρονομαστή 7 2 . ◄

σι 1 , σι 2 , σι 3 , . . . είναι μια γεωμετρική πρόοδος με παρονομαστή q , τότε

καταγραφή α β 1, καταγραφή α β 2, καταγραφή α β 3, . . . — αριθμητική πρόοδος με διαφορά κούτσουρο αq .

Για παράδειγμα,

2, 12, 72, . . . είναι μια γεωμετρική πρόοδος με παρονομαστή 6 και

lg 2, lg 12, lg 72, . . . — αριθμητική πρόοδος με διαφορά lg 6 . ◄

Πρώτο επίπεδο

Αριθμητική πρόοδος. Λεπτομερής θεωρία με παραδείγματα (2019)

Αριθμητική ακολουθία

Ας καθίσουμε λοιπόν και ας αρχίσουμε να γράφουμε μερικούς αριθμούς. Για παράδειγμα:
Μπορείτε να γράψετε οποιουσδήποτε αριθμούς και μπορεί να υπάρχουν όσοι θέλετε (στην περίπτωσή μας, αυτοί). Όσους αριθμούς κι αν γράψουμε, μπορούμε πάντα να πούμε ποιος από αυτούς είναι ο πρώτος, ποιος ο δεύτερος και ούτω καθεξής μέχρι τον τελευταίο, δηλαδή μπορούμε να τους αριθμήσουμε. Αυτό είναι ένα παράδειγμα ακολουθίας αριθμών:

Αριθμητική ακολουθία
Για παράδειγμα, για τη σειρά μας:

Ο εκχωρημένος αριθμός είναι συγκεκριμένος μόνο για έναν αριθμό σειράς. Με άλλα λόγια, δεν υπάρχουν τρεις δεύτεροι αριθμοί στην ακολουθία. Ο δεύτερος αριθμός (όπως ο -ος αριθμός) είναι πάντα ο ίδιος.
Ο αριθμός με τον αριθμό ονομάζεται -ο μέλος της ακολουθίας.

Συνήθως ονομάζουμε ολόκληρη την ακολουθία κάποιο γράμμα (για παράδειγμα,) και κάθε μέλος αυτής της ακολουθίας - το ίδιο γράμμα με δείκτη ίσο με τον αριθμό αυτού του μέλους: .

Στην περίπτωσή μας:

Ας πούμε ότι έχουμε μια αριθμητική ακολουθία στην οποία η διαφορά μεταξύ γειτονικών αριθμών είναι ίδια και ίση.
Για παράδειγμα:

και τα λοιπά.
Μια τέτοια αριθμητική ακολουθία ονομάζεται αριθμητική πρόοδος.
Ο όρος «πρόοδος» εισήχθη από τον Ρωμαίο συγγραφέα Βοήθιο ήδη από τον 6ο αιώνα και έγινε κατανοητός με την ευρύτερη έννοια ως μια ατελείωτη αριθμητική ακολουθία. Η ονομασία «αριθμητική» μεταφέρθηκε από τη θεωρία των συνεχών αναλογιών, με την οποία ασχολούνταν οι αρχαίοι Έλληνες.

Αυτή είναι μια αριθμητική ακολουθία, κάθε μέλος της οποίας είναι ίσο με το προηγούμενο, προστίθεται με τον ίδιο αριθμό. Ο αριθμός αυτός ονομάζεται διαφορά αριθμητικής προόδου και συμβολίζεται.

Προσπαθήστε να προσδιορίσετε ποιες ακολουθίες αριθμών είναι αριθμητική πρόοδος και ποιες όχι:

ένα)
σι)
ντο)
ρε)

Το έπιασα? Συγκρίνετε τις απαντήσεις μας:
Είναι ένααριθμητική πρόοδος - β, γ.
Δεν είναιαριθμητική πρόοδος - α, δ.

Ας επιστρέψουμε στη δεδομένη πρόοδο () και ας προσπαθήσουμε να βρούμε την τιμή του ου μέλους της. Υπάρχουν δύοτρόπο να το βρεις.

1. Μέθοδος

Μπορούμε να προσθέσουμε στην προηγούμενη τιμή του αριθμού προόδου μέχρι να φτάσουμε στον ό ​​όρο της προόδου. Είναι καλό που δεν έχουμε πολλά να συνοψίσουμε - μόνο τρεις τιμές:

Άρα, το -ο μέλος της περιγραφόμενης αριθμητικής προόδου είναι ίσο με.

2. Τρόπος

Τι θα γινόταν αν χρειαζόταν να βρούμε την τιμή του ου όρου της προόδου; Η άθροιση θα μας έπαιρνε περισσότερο από μία ώρα, και δεν είναι γεγονός ότι δεν θα κάναμε λάθη κατά την πρόσθεση των αριθμών.
Φυσικά, οι μαθηματικοί έχουν βρει έναν τρόπο με τον οποίο δεν χρειάζεται να προσθέσετε τη διαφορά μιας αριθμητικής προόδου στην προηγούμενη τιμή. Κοιτάξτε προσεκτικά τη σχεδιασμένη εικόνα ... Σίγουρα έχετε ήδη παρατηρήσει ένα συγκεκριμένο μοτίβο, δηλαδή:

Για παράδειγμα, ας δούμε τι αποτελεί την τιμή του -ου μέλους αυτής της αριθμητικής προόδου:


Με άλλα λόγια:

Προσπαθήστε να βρείτε ανεξάρτητα με αυτόν τον τρόπο την τιμή ενός μέλους αυτής της αριθμητικής προόδου.

Υπολογίστηκε; Συγκρίνετε τις καταχωρήσεις σας με την απάντηση:

Προσέξτε ότι πήρατε ακριβώς τον ίδιο αριθμό με την προηγούμενη μέθοδο, όταν προσθέσαμε διαδοχικά τα μέλη μιας αριθμητικής προόδου στην προηγούμενη τιμή.
Ας προσπαθήσουμε να «αποπροσωποποιήσουμε» αυτή τη φόρμουλα - ας την βάλουμε μέσα γενική μορφήκαι παρε:

Αριθμητική εξίσωση προόδου.

Οι αριθμητικές προόδους είτε αυξάνονται είτε μειώνονται.

Αυξάνεται- προόδους στις οποίες κάθε επόμενη τιμή των όρων είναι μεγαλύτερη από την προηγούμενη.
Για παράδειγμα:

Φθίνων- προόδους στις οποίες κάθε επόμενη τιμή των όρων είναι μικρότερη από την προηγούμενη.
Για παράδειγμα:

Ο παραγόμενος τύπος χρησιμοποιείται για τον υπολογισμό των όρων τόσο σε αύξοντες όσο και σε φθίνοντες όρους μιας αριθμητικής προόδου.
Ας το ελέγξουμε στην πράξη.
Μας δίνεται μια αριθμητική πρόοδος που αποτελείται από τους ακόλουθους αριθμούς:

Από τότε:

Έτσι, ήμασταν πεπεισμένοι ότι ο τύπος λειτουργεί τόσο στη φθίνουσα όσο και στην αύξηση της αριθμητικής προόδου.
Προσπαθήστε να βρείτε μόνοι σας τα -ο και -ο μέλη αυτής της αριθμητικής προόδου.

Ας συγκρίνουμε τα αποτελέσματα:

Ιδιότητα αριθμητικής προόδου

Ας περιπλέκουμε την εργασία - εξάγουμε την ιδιότητα μιας αριθμητικής προόδου.
Ας υποθέσουμε ότι μας δίνεται η ακόλουθη συνθήκη:
- αριθμητική πρόοδος, βρείτε την τιμή.
Είναι εύκολο, λέτε, και αρχίστε να μετράτε σύμφωνα με τον τύπο που ήδη γνωρίζετε:

Έστω α, λοιπόν:

Απόλυτο δίκιο. Αποδεικνύεται ότι πρώτα βρίσκουμε, μετά το προσθέτουμε στον πρώτο αριθμό και παίρνουμε αυτό που ψάχνουμε. Εάν η πρόοδος αντιπροσωπεύεται από μικρές τιμές, τότε δεν υπάρχει τίποτα περίπλοκο σε αυτήν, αλλά τι γίνεται αν μας δοθούν αριθμοί στη συνθήκη; Συμφωνώ, υπάρχει πιθανότητα να γίνουν λάθη στους υπολογισμούς.
Τώρα σκεφτείτε, είναι δυνατόν να λυθεί αυτό το πρόβλημα σε ένα βήμα χρησιμοποιώντας οποιονδήποτε τύπο; Φυσικά, ναι, και θα προσπαθήσουμε να το αναδείξουμε τώρα.

Ας υποδηλώσουμε τον επιθυμητό όρο της αριθμητικής προόδου, καθώς γνωρίζουμε τον τύπο για την εύρεση του - αυτός είναι ο ίδιος τύπος που εξάγαμε στην αρχή:
, τότε:

• το προηγούμενο μέλος της προόδου είναι:
• ο επόμενος όρος της εξέλιξης είναι:

Ας συνοψίσουμε τα προηγούμενα και τα επόμενα μέλη της εξέλιξης:

Αποδεικνύεται ότι το άθροισμα των προηγούμενων και των επόμενων μελών της προόδου είναι διπλάσια από την τιμή του μέλους της προόδου που βρίσκεται μεταξύ τους. Με άλλα λόγια, για να βρεθεί η τιμή ενός μέλους προόδου με γνωστές προηγούμενες και διαδοχικές τιμές, είναι απαραίτητο να τις προσθέσουμε και να διαιρέσουμε με.

Σωστά, έχουμε τον ίδιο αριθμό. Ας φτιάξουμε το υλικό. Υπολογίστε μόνοι σας την αξία για την εξέλιξη, γιατί δεν είναι καθόλου δύσκολο.

Μπράβο! Ξέρεις σχεδόν τα πάντα για την εξέλιξη! Απομένει να μάθουμε μόνο έναν τύπο, τον οποίο, σύμφωνα με το μύθο, ένας από τους μεγαλύτερους μαθηματικούς όλων των εποχών, ο "βασιλιάς των μαθηματικών" - ο Karl Gauss, συνήγαγε εύκολα για τον εαυτό του ...

Όταν ο Carl Gauss ήταν 9 ετών, ο δάσκαλος, απασχολημένος με τον έλεγχο της εργασίας των μαθητών από άλλες τάξεις, ζήτησε την ακόλουθη εργασία στο μάθημα: «Υπολογίστε το άθροισμα όλων των φυσικών αριθμών από μέχρι (σύμφωνα με άλλες πηγές μέχρι) συμπεριλαμβανομένων. " Ποια ήταν η έκπληξη του δασκάλου όταν ένας από τους μαθητές του (ήταν ο Καρλ Γκάους) μετά από ένα λεπτό έδωσε τη σωστή απάντηση στην εργασία, ενώ οι περισσότεροι συμμαθητές του τολμηρού μετά από μεγάλους υπολογισμούς έλαβαν λάθος αποτέλεσμα ...

Ο νεαρός Carl Gauss παρατήρησε ένα μοτίβο που μπορείτε εύκολα να παρατηρήσετε.
Ας πούμε ότι έχουμε μια αριθμητική πρόοδο που αποτελείται από μέλη -ti: Πρέπει να βρούμε το άθροισμα των δεδομένων μελών της αριθμητικής προόδου. Φυσικά, μπορούμε να αθροίσουμε χειροκίνητα όλες τις τιμές, αλλά τι γίνεται αν χρειαστεί να βρούμε το άθροισμα των όρων του στην εργασία, όπως έψαχνε ο Gauss;

Ας απεικονίσουμε την εξέλιξη που μας δόθηκε. Κοιτάξτε προσεκτικά τους επισημασμένους αριθμούς και προσπαθήστε να εκτελέσετε διάφορες μαθηματικές πράξεις με αυτούς.


Δοκιμασμένος? Τι προσέξατε; Σωστά! Τα αθροίσματά τους είναι ίσα

Τώρα απαντήστε, πόσα τέτοια ζευγάρια θα υπάρχουν στην εξέλιξη που μας δίνεται; Φυσικά, ακριβώς το ήμισυ όλων των αριθμών, δηλαδή.
Με βάση το γεγονός ότι το άθροισμα δύο όρων μιας αριθμητικής προόδου είναι ίσο και παρόμοια ίσα ζεύγη, παίρνουμε ότι το συνολικό άθροισμα είναι ίσο με:
.
Έτσι, ο τύπος για το άθροισμα των πρώτων όρων οποιασδήποτε αριθμητικής προόδου θα είναι:

Σε ορισμένα προβλήματα, δεν γνωρίζουμε τον ό ​​όρο, αλλά γνωρίζουμε τη διαφορά προόδου. Προσπαθήστε να αντικαταστήσετε στον τύπο του αθροίσματος, τον τύπο του ου μέλους.
Τι πήρες?

Μπράβο! Τώρα ας επιστρέψουμε στο πρόβλημα που δόθηκε στον Carl Gauss: υπολογίστε μόνοι σας ποιο είναι το άθροισμα των αριθμών που ξεκινούν από το -ο και το άθροισμα των αριθμών που ξεκινούν από το -ο.

Πόσα πήρες;
Ο Gauss αποδείχθηκε ότι το άθροισμα των όρων είναι ίσο και το άθροισμα των όρων. Έτσι αποφάσισες;

Στην πραγματικότητα, ο τύπος για το άθροισμα των μελών μιας αριθμητικής προόδου αποδείχθηκε από τον αρχαίο Έλληνα επιστήμονα Διόφαντο τον 3ο αιώνα και σε όλο αυτό το διάστημα, οι πνευματώδεις άνθρωποι χρησιμοποιούσαν τις ιδιότητες μιας αριθμητικής προόδου με δύναμη και κύρια.
Για παράδειγμα, φανταστείτε την Αρχαία Αίγυπτο και το μεγαλύτερο εργοτάξιο εκείνης της εποχής - την κατασκευή μιας πυραμίδας ... Η εικόνα δείχνει τη μία πλευρά της.

Πού είναι η εξέλιξη εδώ λέτε; Κοιτάξτε προσεκτικά και βρείτε ένα σχέδιο στον αριθμό των τούβλων άμμου σε κάθε σειρά του τοίχου της πυραμίδας.


Γιατί όχι μια αριθμητική πρόοδος; Μετρήστε πόσα τετράγωνα χρειάζονται για να χτιστεί ένας τοίχος αν τοποθετηθούν τούβλα στη βάση. Ελπίζω να μην μετράτε μετακινώντας το δάχτυλό σας στην οθόνη, θυμάστε τον τελευταίο τύπο και όλα όσα είπαμε για την αριθμητική πρόοδο;

Σε αυτήν την περίπτωση, η εξέλιξη μοιάζει με αυτό:
Αριθμητική διαφορά προόδου.
Ο αριθμός των μελών μιας αριθμητικής προόδου.
Ας αντικαταστήσουμε τα δεδομένα μας στους τελευταίους τύπους (μετράμε τον αριθμό των μπλοκ με 2 τρόπους).

Μέθοδος 1.

Μέθοδος 2.

Και τώρα μπορείτε επίσης να υπολογίσετε στην οθόνη: συγκρίνετε τις λαμβανόμενες τιμές​​με τον αριθμό των μπλοκ που βρίσκονται στην πυραμίδα μας. Συμφωνούσε; Μπράβο, καταλάβατε το άθροισμα των όρων μιας αριθμητικής προόδου.
Φυσικά, δεν μπορείτε να χτίσετε μια πυραμίδα από τα μπλοκ στη βάση, αλλά από; Προσπαθήστε να υπολογίσετε πόσα τούβλα άμμου χρειάζονται για να χτίσετε έναν τοίχο με αυτή την κατάσταση.
Κατάφερες?
Η σωστή απάντηση είναι μπλοκ:

Προπόνηση

Καθήκοντα:

1. Η Μάσα παίρνει φόρμα για το καλοκαίρι. Κάθε μέρα αυξάνει τον αριθμό των squats κατά. Πόσες φορές η Μάσα θα κάνει οκλαδόν μέσα σε εβδομάδες αν έκανε squat στην πρώτη προπόνηση.
2. Ποιο είναι το άθροισμα όλων των περιττών αριθμών που περιέχονται.
3. Όταν αποθηκεύουν κορμούς, οι ξυλοκόποι τα στοιβάζουν με τέτοιο τρόπο ώστε κάθε επάνω στρώμα να περιέχει ένα κορμό λιγότερο από το προηγούμενο. Πόσοι κορμοί υπάρχουν σε μια τοιχοποιία, αν η βάση της τοιχοποιίας είναι κορμοί.

Απαντήσεις:

1. Ας ορίσουμε τις παραμέτρους της αριθμητικής προόδου. Σε αυτήν την περίπτωση
   (εβδομάδες = ημέρες).

   Απάντηση:Σε δύο εβδομάδες, η Μάσα πρέπει να κάνει οκλαδόν μία φορά την ημέρα.

2. Πρώτος μονός αριθμός, τελευταίος αριθμός.
   Αριθμητική διαφορά προόδου.
   Ο αριθμός των περιττών αριθμών στο - μισό, ωστόσο, ελέγξτε αυτό το γεγονός χρησιμοποιώντας τον τύπο για την εύρεση του -ου μέλους μιας αριθμητικής προόδου:

   Οι αριθμοί περιέχουν περιττούς αριθμούς.
   Αντικαθιστούμε τα διαθέσιμα δεδομένα στον τύπο:

   Απάντηση:Το άθροισμα όλων των περιττών αριθμών που περιέχονται σε είναι ίσο με.

3. Θυμηθείτε το πρόβλημα με τις πυραμίδες. Για την περίπτωσή μας, a , αφού κάθε επάνω στρώμα μειώνεται κατά ένα κούτσουρο, υπάρχουν μόνο ένα σωρό στρώματα, δηλαδή.
   Αντικαταστήστε τα δεδομένα στον τύπο:

   Απάντηση:Υπάρχουν κορμοί στην τοιχοποιία.

Ανακεφαλαίωση

1. - μια αριθμητική ακολουθία στην οποία η διαφορά μεταξύ γειτονικών αριθμών είναι ίδια και ίση. Αυξάνεται και μειώνεται.
2. Εύρεση φόρμουλαςΤο μέλος μιας αριθμητικής προόδου γράφεται με τον τύπο - , όπου είναι ο αριθμός των αριθμών στην πρόοδο.
3. Ιδιότητα μελών μιας αριθμητικής προόδου- - όπου - ο αριθμός των αριθμών στην πρόοδο.
4. Το άθροισμα των μελών μιας αριθμητικής προόδουμπορεί να βρεθεί με δύο τρόπους:
   
   , όπου είναι ο αριθμός των τιμών.

ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΡΟΟΔΟΣ. ΜΕΣΑΙΟ ΕΠΙΠΕΔΟ

Αριθμητική ακολουθία

Ας καθίσουμε να αρχίσουμε να γράφουμε κάποιους αριθμούς. Για παράδειγμα:

Μπορείτε να γράψετε οποιουσδήποτε αριθμούς και μπορεί να υπάρχουν όσοι θέλετε. Αλλά μπορείς πάντα να πεις ποιο από αυτά είναι το πρώτο, ποιο το δεύτερο και ούτω καθεξής, δηλαδή μπορούμε να τα αριθμήσουμε. Αυτό είναι ένα παράδειγμα ακολουθίας αριθμών.

Αριθμητική ακολουθίαείναι ένα σύνολο αριθμών, στον καθένα από τους οποίους μπορεί να εκχωρηθεί ένας μοναδικός αριθμός.

Με άλλα λόγια, κάθε αριθμός μπορεί να συσχετιστεί με έναν συγκεκριμένο φυσικό αριθμό και μόνο έναν. Και δεν θα εκχωρήσουμε αυτόν τον αριθμό σε κανέναν άλλο αριθμό από αυτό το σύνολο.

Ο αριθμός με τον αριθμό ονομάζεται -ο μέλος της ακολουθίας.

Συνήθως ονομάζουμε ολόκληρη την ακολουθία κάποιο γράμμα (για παράδειγμα,) και κάθε μέλος αυτής της ακολουθίας - το ίδιο γράμμα με δείκτη ίσο με τον αριθμό αυτού του μέλους: .

Είναι πολύ βολικό εάν το -ο μέλος της ακολουθίας μπορεί να δοθεί με κάποιον τύπο. Για παράδειγμα, ο τύπος

ορίζει τη σειρά:

Και ο τύπος είναι η ακόλουθη σειρά:

Για παράδειγμα, μια αριθμητική πρόοδος είναι μια ακολουθία (ο πρώτος όρος εδώ είναι ίσος και η διαφορά). Ή (, διαφορά).

τύπος nου όρου

Ονομάζουμε επαναλαμβανόμενο τύπο στον οποίο, για να μάθετε τον -ο όρο, πρέπει να γνωρίζετε τον προηγούμενο ή πολλούς προηγούμενους:

Για να βρούμε, για παράδειγμα, τον ό ​​όρο της προόδου χρησιμοποιώντας έναν τέτοιο τύπο, πρέπει να υπολογίσουμε τους προηγούμενους εννέα. Για παράδειγμα, ας. Τότε:

Λοιπόν, τώρα είναι σαφές ποια είναι η φόρμουλα;

Σε κάθε γραμμή, προσθέτουμε, πολλαπλασιαζόμαστε με κάποιο αριθμό. Για τι? Πολύ απλό: αυτός είναι ο αριθμός του τρέχοντος μέλους μείον:

Πολύ πιο άνετα τώρα, σωστά; Ελέγχουμε:

Αποφασίστε μόνοι σας:

Σε μια αριθμητική πρόοδο, βρείτε τον τύπο για τον nο όρο και βρείτε τον εκατοστό όρο.

Απόφαση:

Το πρώτο μέλος είναι ίσο. Και ποια είναι η διαφορά; Και να τι:

(άλλωστε λέγεται διαφορά γιατί ισούται με τη διαφορά διαδοχικών μελών της προόδου).

Ο τύπος λοιπόν είναι:

Τότε ο εκατοστός όρος είναι:

Ποιο είναι το άθροισμα όλων των φυσικών αριθμών από έως;

Σύμφωνα με το μύθο, ο μεγάλος μαθηματικός Carl Gauss, όντας ένα αγόρι 9 ετών, υπολόγισε αυτό το ποσό μέσα σε λίγα λεπτά. Παρατήρησε ότι το άθροισμα του πρώτου και του τελευταίου αριθμού είναι ίσο, το άθροισμα του δεύτερου και του προτελευταίου είναι το ίδιο, το άθροισμα του τρίτου και του 3ου από το τέλος είναι το ίδιο κ.ο.κ. Πόσα τέτοια ζευγάρια υπάρχουν; Σωστά, ακριβώς ο μισός αριθμός όλων των αριθμών, δηλαδή. Ετσι,

Ο γενικός τύπος για το άθροισμα των πρώτων όρων οποιασδήποτε αριθμητικής προόδου θα είναι:

Παράδειγμα:
Βρείτε το άθροισμα όλων των διψήφιων πολλαπλασίων.

Απόφαση:

Ο πρώτος τέτοιος αριθμός είναι αυτός. Κάθε επόμενο προκύπτει προσθέτοντας έναν αριθμό στον προηγούμενο. Έτσι, οι αριθμοί που μας ενδιαφέρουν σχηματίζουν μια αριθμητική πρόοδο με τον πρώτο όρο και τη διαφορά.

Ο τύπος για τον όρο αυτής της προόδου είναι:

Πόσοι όροι υπάρχουν στην πρόοδο αν πρέπει να είναι όλοι διψήφιοι;

Πολύ εύκολο: .

Ο τελευταίος όρος της προόδου θα είναι ίσος. Τότε το άθροισμα:

Απάντηση: .

Τώρα αποφασίστε μόνοι σας:

1. Κάθε μέρα ο αθλητής τρέχει 1 μέτρο περισσότερο από την προηγούμενη. Πόσα χιλιόμετρα θα τρέξει σε εβδομάδες αν έτρεξε km m την πρώτη μέρα;
2. Ένας ποδηλάτης κάνει περισσότερα μίλια κάθε μέρα από την προηγούμενη. Την πρώτη μέρα ταξίδεψε χλμ. Πόσες μέρες πρέπει να οδηγήσει για να διανύσει ένα χιλιόμετρο; Πόσα χιλιόμετρα θα διανύσει την τελευταία μέρα του ταξιδιού;
3. Η τιμή ενός ψυγείου στο κατάστημα μειώνεται ισόποσα κάθε χρόνο. Προσδιορίστε πόσο μειώθηκε η τιμή ενός ψυγείου κάθε χρόνο, αν, έξι χρόνια αργότερα, πωλούνταν για ρούβλια.

Απαντήσεις:

1. Το πιο σημαντικό πράγμα εδώ είναι να αναγνωρίσουμε την αριθμητική πρόοδο και να καθορίσουμε τις παραμέτρους της. Σε αυτή την περίπτωση, (εβδομάδες = ημέρες). Πρέπει να προσδιορίσετε το άθροισμα των πρώτων όρων αυτής της προόδου:
   .
   Απάντηση:
2. Εδώ δίνεται:, είναι απαραίτητο να βρεθεί.
   Προφανώς, πρέπει να χρησιμοποιήσετε τον ίδιο τύπο αθροίσματος όπως στο προηγούμενο πρόβλημα:
   .
   Αντικαταστήστε τις τιμές:

   Η ρίζα προφανώς δεν ταιριάζει, οπότε η απάντηση.
   Ας υπολογίσουμε την απόσταση που διανύθηκε την τελευταία ημέρα χρησιμοποιώντας τον τύπο του -ου όρου:
   (χλμ).
   Απάντηση:

3. Δόθηκαν: . Να βρω: .
   Δεν γίνεται πιο εύκολο:
   (τρίψιμο).
   Απάντηση:

ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΡΟΟΔΟΣ. ΣΥΝΤΟΜΗ ΓΙΑ ΤΟ ΚΥΡΙΟ

Αυτή είναι μια αριθμητική ακολουθία στην οποία η διαφορά μεταξύ γειτονικών αριθμών είναι ίδια και ίση.

Η αριθμητική πρόοδος αυξάνεται () και μειώνεται ().

Για παράδειγμα:

Ο τύπος για την εύρεση του ν-ου μέλους μιας αριθμητικής προόδου

γράφεται ως τύπος, όπου είναι ο αριθμός των αριθμών στην πρόοδο.

Ιδιότητα μελών μιας αριθμητικής προόδου

Διευκολύνει την εύρεση ενός μέλους της προόδου εάν είναι γνωστά τα γειτονικά μέλη του - πού είναι ο αριθμός των αριθμών στην πρόοδο.

Το άθροισμα των μελών μιας αριθμητικής προόδου

Υπάρχουν δύο τρόποι για να βρείτε το άθροισμα:

Πού είναι ο αριθμός των τιμών.

Πού είναι ο αριθμός των τιμών.

Λοιπόν, το θέμα τελείωσε. Αν διαβάζετε αυτές τις γραμμές, τότε είστε πολύ cool.

Επειδή μόνο το 5% των ανθρώπων είναι σε θέση να κατακτήσουν κάτι μόνοι τους. Και αν έχεις διαβάσει μέχρι το τέλος, τότε είσαι στο 5%!

Τώρα το πιο σημαντικό.

Καταλάβατε τη θεωρία για αυτό το θέμα. Και, επαναλαμβάνω, είναι ... είναι απλά σούπερ! Είστε ήδη καλύτεροι από τη συντριπτική πλειοψηφία των συνομηλίκων σας.

Το πρόβλημα είναι ότι αυτό μπορεί να μην είναι αρκετό...

Για τι?

Για την επιτυχή επιτυχία της εξέτασης, για την εισαγωγή στο ινστιτούτο επί προϋπολογισμού και, ΤΟ ΠΙΟ ΣΗΜΑΝΤΙΚΟ, ισόβια.

Δεν θα σε πείσω για τίποτα, ένα μόνο θα πω…

Οι άνθρωποι που έχουν λάβει καλή εκπαίδευση κερδίζουν πολύ περισσότερα από εκείνους που δεν την έχουν λάβει. Αυτά είναι στατιστικά στοιχεία.

Αλλά αυτό δεν είναι το κύριο πράγμα.

Το κυριότερο είναι ότι είναι ΠΙΟ ΕΥΤΥΧΙΣΜΕΝΟΙ (υπάρχουν τέτοιες μελέτες). Ίσως επειδή ανοίγονται πολύ περισσότερες ευκαιρίες μπροστά τους και η ζωή γίνεται πιο φωτεινή; Δεν ξέρω...

Σκέψου όμως και μόνος σου...

Τι χρειάζεται για να είσαι σίγουρος ότι θα είσαι καλύτερος από τους άλλους στις εξετάσεις και τελικά θα είσαι ... πιο ευτυχισμένος;

ΓΕΜΙΣΤΕ ΤΟ ΧΕΡΙ ΣΑΣ, ΛΥΝΟΝΤΑΣ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΓΙΑ ΑΥΤΟ ΤΟ ΘΕΜΑ.

Στις εξετάσεις δεν θα ερωτηθείτε θεωρία.

Θα χρειαστείτε επίλυση προβλημάτων εγκαίρως.

Και, αν δεν τα έχετε λύσει (ΠΟΛΛΑ!), σίγουρα θα κάνετε ένα ηλίθιο λάθος κάπου ή απλά δεν θα το κάνετε εγκαίρως.

Είναι όπως στον αθλητισμό - πρέπει να επαναλάβετε πολλές φορές για να κερδίσετε σίγουρα.

Βρείτε μια συλλογή όπου θέλετε αναγκαστικά με λύσεις, αναλυτική ανάλυσηκαι αποφασίστε, αποφασίστε, αποφασίστε!

Μπορείτε να χρησιμοποιήσετε τις εργασίες μας (όχι απαραίτητες) και σίγουρα τις προτείνουμε.

Για να μπορέσετε να βοηθήσετε τις εργασίες μας, πρέπει να βοηθήσετε να παρατείνετε τη διάρκεια ζωής του εγχειριδίου YouClever που διαβάζετε αυτήν τη στιγμή.

Πως? Υπάρχουν δύο επιλογές:

1. Ξεκλειδώστε την πρόσβαση σε όλες τις κρυφές εργασίες σε αυτό το άρθρο - 299 τρίψτε.
2. Ξεκλειδώστε την πρόσβαση σε όλες τις κρυφές εργασίες και στα 99 άρθρα του σεμιναρίου - 999 τρίψτε.

Ναι, έχουμε 99 τέτοια άρθρα στο σχολικό βιβλίο και η πρόσβαση σε όλες τις εργασίες και όλα τα κρυφά κείμενα σε αυτά μπορεί να ανοίξει αμέσως.

Στη δεύτερη περίπτωση θα σας δώσουμεπροσομοιωτής "6000 εργασίες με λύσεις και απαντήσεις, για κάθε θέμα, για όλα τα επίπεδα πολυπλοκότητας." Είναι σίγουρα αρκετό για να βάλεις το χέρι σου στην επίλυση προβλημάτων για οποιοδήποτε θέμα.

Στην πραγματικότητα, αυτό είναι πολύ περισσότερο από έναν απλό προσομοιωτή - ένα ολόκληρο πρόγραμμα εκπαίδευσης. Εάν χρειαστεί, μπορείτε επίσης να το χρησιμοποιήσετε ΔΩΡΕΑΝ.

Παρέχεται πρόσβαση σε όλα τα κείμενα και τα προγράμματα για όλη τη διάρκεια ζωής του ιστότοπου.

Συμπερασματικά...

Αν δεν σας αρέσουν οι εργασίες μας, βρείτε άλλες. Απλά μην σταματάς στη θεωρία.

Το «Κατανοούμενο» και το «Ξέρω πώς να λύνω» είναι εντελώς διαφορετικές δεξιότητες. Χρειάζεσαι και τα δύο.

Βρείτε προβλήματα και λύστε!

Ναι, ναι: η αριθμητική πρόοδος δεν είναι παιχνίδι για εσάς :)

Λοιπόν, φίλοι, αν διαβάζετε αυτό το κείμενο, τότε τα στοιχεία του εσωτερικού καπακιού μου λένε ότι ακόμα δεν ξέρετε τι είναι η αριθμητική πρόοδος, αλλά πραγματικά (όχι, όπως αυτό: SOOOOO!) θέλετε να μάθετε. Επομένως, δεν θα σας βασανίσω με μεγάλες εισαγωγές και θα ασχοληθώ αμέσως.

Για αρχή, μερικά παραδείγματα. Εξετάστε διάφορα σύνολα αριθμών:

• 1; 2; 3; 4; ...
• 15; 20; 25; 30; ...
• $\sqrt(2);\ 2\sqrt(2);\ 3\sqrt(2);...$

Τι κοινό έχουν όλα αυτά τα σύνολα; Με την πρώτη ματιά, τίποτα. Αλλά στην πραγματικότητα υπάρχει κάτι. Και συγκεκριμένα: κάθε επόμενο στοιχείο διαφέρει από το προηγούμενο κατά τον ίδιο αριθμό.

Κρίνετε μόνοι σας. Το πρώτο σετ είναι απλώς διαδοχικοί αριθμοί, ο καθένας περισσότερος από τον προηγούμενο. Στη δεύτερη περίπτωση, η διαφορά μεταξύ γειτονικών αριθμών είναι ήδη ίση με πέντε, αλλά αυτή η διαφορά παραμένει σταθερή. Στην τρίτη περίπτωση, υπάρχουν ρίζες γενικά. Ωστόσο, $2\sqrt(2)=\sqrt(2)+\sqrt(2)$, ενώ $3\sqrt(2)=2\sqrt(2)+\sqrt(2)$, π.χ. οπότε κάθε επόμενο στοιχείο απλώς αυξάνεται κατά $\sqrt(2)$ (και μην φοβάστε ότι αυτός ο αριθμός είναι παράλογος).

Άρα: όλες αυτές οι ακολουθίες ονομάζονται απλώς αριθμητικές προόδους. Ας δώσουμε έναν αυστηρό ορισμό:

Ορισμός. Μια ακολουθία αριθμών στην οποία κάθε επόμενος διαφέρει από τον προηγούμενο κατά το ίδιο ακριβώς ποσό ονομάζεται αριθμητική πρόοδος. Το ίδιο το ποσό κατά το οποίο διαφέρουν οι αριθμοί ονομάζεται διαφορά προόδου και τις περισσότερες φορές συμβολίζεται με το γράμμα $d$.

Σημείωση: $\left(((a)_(n)) \right)$ είναι η ίδια η πρόοδος, η $d$ είναι η διαφορά της.

Και μόνο μερικές σημαντικές παρατηρήσεις. Πρώτον, λαμβάνεται υπόψη μόνο η εξέλιξη τακτικόςακολουθία αριθμών: επιτρέπεται να διαβαστούν αυστηρά με τη σειρά που είναι γραμμένα - και τίποτα άλλο. Δεν μπορείτε να αναδιατάξετε ή να ανταλλάξετε αριθμούς.

Δεύτερον, η ίδια η ακολουθία μπορεί να είναι είτε πεπερασμένη είτε άπειρη. Για παράδειγμα, το σύνολο (1; 2; 3) είναι προφανώς μια πεπερασμένη αριθμητική πρόοδος. Αλλά αν γράψετε κάτι σαν (1; 2; 3; 4; ...) - αυτό είναι ήδη μια άπειρη εξέλιξη. Η έλλειψη μετά τα τέσσερα, όπως ήταν, υπονοεί ότι ακολουθούν πολύ περισσότεροι αριθμοί. Άπειρα πολλά, για παράδειγμα. :)

Θα ήθελα επίσης να σημειώσω ότι οι προόδους αυξάνονται και μειώνονται. Έχουμε ήδη δει αυξανόμενα - το ίδιο σετ (1; 2; 3; 4; ...). Ακολουθούν παραδείγματα φθίνουσας προόδου:

• 49; 41; 33; 25; 17; ...
• 17,5; 12; 6,5; 1; −4,5; −10; ...
• $\sqrt(5);\ \sqrt(5)-1;\ \sqrt(5)-2;\ \sqrt(5)-3;...$

Εντάξει, εντάξει: το τελευταίο παράδειγμα μπορεί να φαίνεται υπερβολικά περίπλοκο. Αλλά τα υπόλοιπα, νομίζω, τα καταλαβαίνεις. Επομένως, εισάγουμε νέους ορισμούς:

Ορισμός. Μια αριθμητική πρόοδος ονομάζεται:

1. αυξάνεται εάν κάθε επόμενο στοιχείο είναι μεγαλύτερο από το προηγούμενο.
2. μειώνεται, εάν, αντίθετα, κάθε επόμενο στοιχείο είναι μικρότερο από το προηγούμενο.

Επιπλέον, υπάρχουν οι λεγόμενες «στάσιμες» ακολουθίες - αποτελούνται από τον ίδιο επαναλαμβανόμενο αριθμό. Για παράδειγμα, (3; 3; 3; ...).

Μόνο ένα ερώτημα παραμένει: πώς να διακρίνουμε μια αυξανόμενη εξέλιξη από μια φθίνουσα; Ευτυχώς, όλα εδώ εξαρτώνται μόνο από το πρόσημο του αριθμού $d$, δηλ. διαφορές εξέλιξης:

1. Εάν $d \gt 0$, τότε η πρόοδος αυξάνεται.
2. Εάν $d \lt 0$, τότε η εξέλιξη είναι προφανώς φθίνουσα.
3. Τέλος, υπάρχει η περίπτωση $d=0$ — σε αυτήν την περίπτωση ολόκληρη η εξέλιξη μειώνεται σε μια ακίνητη ακολουθία πανομοιότυπων αριθμών: (1; 1; 1; 1; ...), κ.λπ.

Ας προσπαθήσουμε να υπολογίσουμε τη διαφορά $d$ για τις τρεις φθίνουσες προόδους παραπάνω. Για να γίνει αυτό, αρκεί να πάρουμε οποιαδήποτε δύο γειτονικά στοιχεία (για παράδειγμα, το πρώτο και το δεύτερο) και να αφαιρέσουμε από τον αριθμό στα δεξιά, τον αριθμό στα αριστερά. Θα μοιάζει με αυτό:

• 41−49=−8;
• 12−17,5=−5,5;
• $\sqrt(5)-1-\sqrt(5)=-1$.

Όπως μπορείτε να δείτε, και στις τρεις περιπτώσεις η διαφορά αποδείχθηκε πραγματικά αρνητική. Και τώρα που λίγο-πολύ καταλάβαμε τους ορισμούς, ήρθε η ώρα να καταλάβουμε πώς περιγράφονται οι προόδους και ποιες ιδιότητες έχουν.

Μέλη της προόδου και της επαναλαμβανόμενης φόρμουλας

Δεδομένου ότι τα στοιχεία των ακολουθιών μας δεν μπορούν να εναλλάσσονται, μπορούν να αριθμηθούν:

\[\left(((a)_(n)) \right)=\left\(((a)_(1)),\ ((a)_(2)),((a)_(3 )),... \σωστά\)\]

Τα μεμονωμένα στοιχεία αυτού του συνόλου ονομάζονται μέλη της προόδου. Υποδεικνύονται με αυτόν τον τρόπο με τη βοήθεια ενός αριθμού: το πρώτο μέλος, το δεύτερο μέλος κ.ο.κ.

Επιπλέον, όπως ήδη γνωρίζουμε, τα γειτονικά μέλη της προόδου σχετίζονται με τον τύπο:

\[((a)_(n))-((a)_(n-1))=d\Δεξί βέλος ((a)_(n))=((a)_(n-1))+d \]

Εν ολίγοις, για να βρείτε τον όρο $n$th της προόδου, πρέπει να γνωρίζετε τον όρο $n-1$th και τη διαφορά $d$. Ένας τέτοιος τύπος ονομάζεται επαναλαμβανόμενος, επειδή με τη βοήθειά του μπορείτε να βρείτε οποιονδήποτε αριθμό, γνωρίζοντας μόνο τον προηγούμενο (και μάλιστα, όλους τους προηγούμενους). Αυτό είναι πολύ άβολο, επομένως υπάρχει ένας πιο δύσκολος τύπος που μειώνει οποιονδήποτε υπολογισμό στον πρώτο όρο και στη διαφορά:

\[((a)_(n))=((a)_(1))+\αριστερά(n-1 \δεξιά)d\]

Πιθανώς να έχετε συναντήσει αυτήν τη φόρμουλα στο παρελθόν. Τους αρέσει να το δίνουν σε κάθε λογής βιβλία αναφοράς και ρεσέμπνικ. Και σε κάθε λογικό εγχειρίδιο για τα μαθηματικά, είναι από τα πρώτα.

Ωστόσο, σας προτείνω να εξασκηθείτε λίγο.

Εργασία αριθμός 1. Γράψτε τους τρεις πρώτους όρους της αριθμητικής προόδου $\left(((a)_(n)) \right)$ αν $((a)_(1))=8,d=-5$.

Απόφαση. Έτσι, γνωρίζουμε τον πρώτο όρο $((a)_(1))=8$ και τη διαφορά προόδου $d=-5$. Ας χρησιμοποιήσουμε τον τύπο που μόλις δόθηκε και ας αντικαταστήσουμε τα $n=1$, $n=2$ και $n=3$:

\[\begin(align) & ((a)_(n))=((a)_(1))+\left(n-1 \right)d; \\ & ((a)_(1))=((a)_(1))+\left(1-1 \right)d=((a)_(1))=8; \\ & ((a)_(2))=((a)_(1))+\αριστερά(2-1 \δεξιά)d=((a)_(1))+d=8-5= 3; \\ & ((a)_(3))=((a)_(1))+\αριστερά(3-1 \δεξιά)d=((a)_(1))+2d=8-10= -2. \\ \end(στοίχιση)\]

Απάντηση: (8; 3; -2)

Αυτό είναι όλο! Σημειώστε ότι η πρόοδός μας μειώνεται.

Φυσικά, το $n=1$ δεν θα μπορούσε να αντικατασταθεί - γνωρίζουμε ήδη τον πρώτο όρο. Ωστόσο, αντικαθιστώντας τη μονάδα, φροντίσαμε να λειτουργεί ακόμη και για τον πρώτο όρο η φόρμουλα μας. Σε άλλες περιπτώσεις, όλα κατέληγαν σε μπανάλ αριθμητική.

Εργασία αριθμός 2. Να γράψετε τους τρεις πρώτους όρους μιας αριθμητικής προόδου αν ο έβδομος όρος της είναι −40 και ο δέκατος έβδομος όρος είναι −50.

Απόφαση. Γράφουμε την κατάσταση του προβλήματος με τους συνήθεις όρους:

\[((a)_(7))=-40;\τετράγωνο ((a)_(17))=-50.\]

\[\αριστερά\( \αρχή(στοίχιση) & ((a)_(7))=((a)_(1))+6d \\ & ((a)_(17))=(a) _(1))+16d \\ \end(στοίχιση) \δεξιά.\]

\[\αριστερά\( \αρχή(στοίχιση) & ((a)_(1))+6d=-40 \\ & ((a)_(1))+16d=-50 \\ \end(στοίχιση) \σωστά.\]

Βάζω το σήμα του συστήματος γιατί αυτές οι απαιτήσεις πρέπει να πληρούνται ταυτόχρονα. Και τώρα σημειώνουμε ότι αν αφαιρέσουμε την πρώτη εξίσωση από τη δεύτερη εξίσωση (έχουμε το δικαίωμα να το κάνουμε αυτό, επειδή έχουμε ένα σύστημα), παίρνουμε αυτό:

\[\begin(align) & ((a)_(1))+16d-\left(((a)_(1))+6d \right)=-50-\left(-40 \right); \\ & ((a)_(1))+16d-((a)_(1))-6d=-50+40; \\ & 10d=-10; \\&d=-1. \\ \end(στοίχιση)\]

Έτσι ακριβώς, βρήκαμε τη διαφορά εξέλιξης! Απομένει να αντικαταστήσουμε τον αριθμό που βρέθηκε σε οποιαδήποτε από τις εξισώσεις του συστήματος. Για παράδειγμα, στο πρώτο:

\[\begin(matrix) ((a)_(1))+6d=-40;\quad d=-1 \\ \Downarrow \\ ((a)_(1))-6=-40; \\ ((α)_(1))=-40+6=-34. \\ \end(μήτρα)\]

Τώρα, γνωρίζοντας τον πρώτο όρο και τη διαφορά, μένει να βρούμε τον δεύτερο και τον τρίτο όρο:

\[\begin(align) & ((a)_(2))=((a)_(1))+d=-34-1=-35; \\ & ((a)_(3))=((a)_(1))+2d=-34-2=-36. \\ \end(στοίχιση)\]

Ετοιμος! Το πρόβλημα λύθηκε.

Απάντηση: (-34; -35; -36)

Δώστε προσοχή σε μια περίεργη ιδιότητα της προόδου που ανακαλύψαμε: αν πάρουμε τους όρους $n$th και $m$th και τους αφαιρέσουμε ο ένας από τον άλλο, τότε λαμβάνουμε τη διαφορά της προόδου πολλαπλασιαζόμενη με τον αριθμό $n-m$:

\[((a)_(n))-((a)_(m))=d\cdot \αριστερά(n-m \δεξιά)\]

Απλό αλλά πολύ χρήσιμη ιδιότητα, που σίγουρα πρέπει να γνωρίζετε - με τη βοήθειά του μπορείτε να επιταχύνετε σημαντικά την επίλυση πολλών προβλημάτων σε προόδους. Εδώ είναι ένα χαρακτηριστικό παράδειγμα αυτού:

Εργασία αριθμός 3. Ο πέμπτος όρος της αριθμητικής προόδου είναι 8,4 και ο δέκατος όρος είναι 14,4. Βρείτε τον δέκατο πέμπτο όρο αυτής της προόδου.

Απόφαση. Επειδή $((a)_(5))=8,4$, $((a)_(10))=14,4$ και πρέπει να βρούμε $((a)_(15))$, σημειώνουμε τα εξής:

\[\begin(align) & ((a)_(15))-((a)_(10))=5d; \\ & ((a)_(10))-((a)_(5))=5δ. \\ \end(στοίχιση)\]

Αλλά από συνθήκη $((a)_(10))-((a)_(5))=14,4-8,4=6$, άρα $5d=6$, από όπου έχουμε:

\[\begin(align) & ((a)_(15))-14,4=6; \\ & ((α)_(15))=6+14,4=20,4. \\ \end(στοίχιση)\]

Απάντηση: 20.4

Αυτό είναι όλο! Δεν χρειάστηκε να φτιάξουμε κανένα σύστημα εξισώσεων και να υπολογίσουμε τον πρώτο όρο και τη διαφορά - όλα αποφασίστηκαν σε μερικές μόνο γραμμές.

Ας εξετάσουμε τώρα έναν άλλο τύπο προβλήματος - την αναζήτηση αρνητικών και θετικών μελών της εξέλιξης. Δεν είναι μυστικό ότι εάν η εξέλιξη αυξάνεται, ενώ ο πρώτος όρος είναι αρνητικός, αργά ή γρήγορα θα εμφανιστούν θετικοί όροι σε αυτήν. Και το αντίστροφο: οι όροι μιας φθίνουσας εξέλιξης αργά ή γρήγορα θα γίνουν αρνητικοί.

Ταυτόχρονα, δεν είναι πάντα δυνατό να βρεθεί αυτή η στιγμή "στο μέτωπο", ταξινομώντας διαδοχικά τα στοιχεία. Συχνά, οι εργασίες σχεδιάζονται με τέτοιο τρόπο ώστε χωρίς να γνωρίζουμε τους τύπους, οι υπολογισμοί θα χρειάζονταν πολλά φύλλα - απλώς θα κοιμόμασταν μέχρι να βρούμε την απάντηση. Επομένως, θα προσπαθήσουμε να λύσουμε αυτά τα προβλήματα με ταχύτερο τρόπο.

Εργασία αριθμός 4. Πόσοι αρνητικοί όροι σε μια αριθμητική πρόοδο -38,5; -35,8; …;

Απόφαση. Άρα, $((a)_(1))=-38,5$, $((a)_(2))=-35,8$, από τα οποία βρίσκουμε αμέσως τη διαφορά:

Σημειώστε ότι η διαφορά είναι θετική, άρα η εξέλιξη αυξάνεται. Ο πρώτος όρος είναι αρνητικός, οπότε όντως κάποια στιγμή θα πέσει πάνω σε θετικούς αριθμούς. Το μόνο ερώτημα είναι πότε θα συμβεί αυτό.

Ας προσπαθήσουμε να μάθουμε: πόσο καιρό (δηλαδή, μέχρι ποιος φυσικός αριθμός $n$) διατηρείται η αρνητικότητα των όρων:

\[\begin(align) & ((a)_(n)) \lt 0\Rightarrow ((a)_(1))+\left(n-1 \right)d \lt 0; \\ & -38,5+\left(n-1 \right)\cdot 2,7 \lt 0;\quad \left| \cdot 10 \δεξιά. \\ & -385+27\cdot \left(n-1 \right) \lt 0; \\ & -385+27n-27 \lt 0; \\ & 27n \lt 412; \\ & n \lt 15\frac(7)(27)\Δεξί βέλος ((n)_(\max ))=15. \\ \end(στοίχιση)\]

Η τελευταία γραμμή χρειάζεται διευκρίνιση. Ξέρουμε λοιπόν ότι $n \lt 15\frac(7)(27)$. Από την άλλη πλευρά, μόνο οι ακέραιες τιμές του αριθμού θα μας ταιριάζουν (εξάλλου: $n\in \mathbb(N)$), επομένως ο μεγαλύτερος επιτρεπόμενος αριθμός είναι ακριβώς $n=15$ και σε καμία περίπτωση το 16.

Εργασία αριθμός 5. Σε αριθμητική πρόοδο $(()_(5))=-150,(()_(6))=-147$. Βρείτε τον αριθμό του πρώτου θετικού όρου αυτής της προόδου.

Αυτό θα ήταν ακριβώς το ίδιο πρόβλημα με το προηγούμενο, αλλά δεν γνωρίζουμε $((a)_(1))$. Αλλά οι γειτονικοί όροι είναι γνωστοί: $((a)_(5))$ και $((a)_(6))$, οπότε μπορούμε να βρούμε εύκολα τη διαφορά προόδου:

Επιπλέον, ας προσπαθήσουμε να εκφράσουμε τον πέμπτο όρο ως προς τον πρώτο και τη διαφορά χρησιμοποιώντας τον τυπικό τύπο:

\[\begin(align) & ((a)_(n))=((a)_(1))+\left(n-1 \right)\cdot d; \\ & ((a)_(5))=((a)_(1))+4d; \\ & -150=((a)_(1))+4\cdot 3; \\ & ((a)_(1))=-150-12=-162. \\ \end(στοίχιση)\]

Τώρα προχωράμε κατ' αναλογία με το προηγούμενο πρόβλημα. Ανακαλύπτουμε σε ποιο σημείο της ακολουθίας μας θα εμφανίζονται θετικοί αριθμοί:

\[\begin(align) & ((a)_(n))=-162+\left(n-1 \right)\cdot 3 \gt 0; \\ & -162+3n-3 \gt 0; \\ & 3n \gt 165; \\ & n \gt 55\Δεξί βέλος ((n)_(\min ))=56. \\ \end(στοίχιση)\]

Η ελάχιστη ακέραια λύση αυτής της ανισότητας είναι ο αριθμός 56.

Σημείωση: σε τελευταία ανάθεσηόλα κατέληξαν σε αυστηρή ανισότητα, οπότε η επιλογή $n=55$ δεν μας ταιριάζει.

Τώρα που μάθαμε πώς να λύνουμε απλά προβλήματα, ας προχωρήσουμε σε πιο σύνθετα. Αλλά πρώτα, ας μάθουμε μια άλλη πολύ χρήσιμη ιδιότητα των αριθμητικών προόδων, η οποία θα μας εξοικονομήσει πολύ χρόνο και άνισα κελιά στο μέλλον. :)

Αριθμητικός μέσος όρος και ίσες εσοχές

Εξετάστε αρκετούς διαδοχικούς όρους της αυξανόμενης αριθμητικής προόδου $\left(((a)_(n)) \right)$. Ας προσπαθήσουμε να τα σημειώσουμε σε μια αριθμητική γραμμή:

Μέλη αριθμητικής προόδου στην αριθμητική γραμμή

Σημείωσα συγκεκριμένα τα αυθαίρετα μέλη $((a)_(n-3)),...,((a)_(n+3))$, και όχι οποιαδήποτε $((a)_(1)) , \ ((α)_(2)),\ ((α)_(3))$ κ.λπ. Γιατί ο κανόνας, που θα σας πω τώρα, λειτουργεί το ίδιο για τυχόν «τμήματα».

Και ο κανόνας είναι πολύ απλός. Ας θυμηθούμε τον αναδρομικό τύπο και ας τον γράψουμε για όλα τα επισημασμένα μέλη:

\[\begin(align) & ((a)_(n-2))=((a)_(n-3))+d; \\ & ((a)_(n-1))=((a)_(n-2))+d; \\ & ((a)_(n))=((a)_(n-1))+d; \\ & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n+1))+d; \\ \end(στοίχιση)\]

Ωστόσο, αυτές οι ισότητες μπορούν να ξαναγραφτούν διαφορετικά:

\[\begin(align) & ((a)_(n-1))=((a)_(n))-d; \\ & ((a)_(n-2))=((a)_(n))-2d; \\ & ((a)_(n-3))=((a)_(n))-3d; \\ & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n))+2d; \\ & ((a)_(n+3))=((a)_(n))+3d; \\ \end(στοίχιση)\]

Λοιπόν, τι; Αλλά το γεγονός ότι οι όροι $((a)_(n-1))$ και $((a)_(n+1))$ βρίσκονται στην ίδια απόσταση από το $((a)_(n)) $ . Και αυτή η απόσταση είναι ίση με $d$. Το ίδιο μπορεί να ειπωθεί για τους όρους $((a)_(n-2))$ και $((a)_(n+2))$ - αφαιρούνται επίσης από το $((a)_(n) )$ με την ίδια απόσταση ίση με $2d$. Μπορείτε να συνεχίσετε επ 'αόριστον, αλλά η εικόνα απεικονίζει καλά το νόημα

Τα μέλη της προόδου βρίσκονται στην ίδια απόσταση από το κέντρο

Τι σημαίνει αυτό για εμάς; Αυτό σημαίνει ότι μπορείτε να βρείτε $((a)_(n))$ εάν οι γειτονικοί αριθμοί είναι γνωστοί:

\[((a)_(n))=\frac(((a)_(n-1))+((a)_(n+1)))(2)\]

Καταλήξαμε σε μια υπέροχη δήλωση: κάθε μέλος μιας αριθμητικής προόδου είναι ίσο με τον αριθμητικό μέσο όρο των γειτονικών μελών! Επιπλέον, μπορούμε να αποκλίνουμε από το $((a)_(n))$ προς τα αριστερά και προς τα δεξιά όχι κατά ένα βήμα, αλλά κατά $k$ — και πάλι ο τύπος θα είναι σωστός:

\[((a)_(n))=\frac(((a)_(n-k))+((a)_(n+k)))(2)\]

Εκείνοι. μπορούμε εύκολα να βρούμε κάποια $((a)_(150))$ αν γνωρίζουμε $((a)_(100))$ και $((a)_(200))$, επειδή $((a)_ (150))=\frac(((a)_(100))+((a)_(200)))(2)$. Με την πρώτη ματιά, μπορεί να φαίνεται ότι αυτό το γεγονός δεν μας δίνει τίποτα χρήσιμο. Ωστόσο, στην πράξη, πολλές εργασίες «ακονίζονται» ειδικά για τη χρήση του αριθμητικού μέσου όρου. Ρίξε μια ματιά:

Εργασία αριθμός 6. Βρείτε όλες τις τιμές των $x$ έτσι ώστε οι αριθμοί $-6((x)^(2))$, $x+1$ και $14+4((x)^(2))$ να είναι διαδοχικά μέλη του μια αριθμητική πρόοδο (με καθορισμένη σειρά).

Απόφαση. Δεδομένου ότι οι υποδεικνυόμενοι αριθμοί είναι μέλη μιας προόδου, ικανοποιείται η συνθήκη του αριθμητικού μέσου όρου για αυτούς: κεντρικό στοιχείοΤο $x+1$ μπορεί να εκφραστεί με όρους γειτονικών στοιχείων:

\[\begin(align) & x+1=\frac(-6((x)^(2))+14+4((x)^(2)))(2); \\ & x+1=\frac(14-2((x)^(2)))(2); \\ & x+1=7-((x)^(2)); \\ & ((x)^(2))+x-6=0. \\ \end(στοίχιση)\]

Το αποτέλεσμα είναι μια κλασική τετραγωνική εξίσωση. Οι ρίζες του: $x=2$ και $x=-3$ είναι οι απαντήσεις.

Απάντηση: -3; 2.

Εργασία αριθμός 7. Βρείτε τις τιμές των $$ έτσι ώστε οι αριθμοί $-1;4-3;(()^(2))+1$ να σχηματίζουν μια αριθμητική πρόοδο (με αυτή τη σειρά).

Απόφαση. Και πάλι, εκφράζουμε τον μεσαίο όρο ως προς τον αριθμητικό μέσο όρο των γειτονικών όρων:

\[\begin(align) & 4x-3=\frac(x-1+((x)^(2))+1)(2); \\ & 4x-3=\frac(((x)^(2))+x)(2);\quad \left| \cdot 2\right.; \\ & 8x-6=((x)^(2))+x; \\ & ((x)^(2))-7x+6=0. \\ \end(στοίχιση)\]

Μια άλλη τετραγωνική εξίσωση. Και πάλι δύο ρίζες: $x=6$ και $x=1$.

Απάντηση: 1; 6.

Εάν κατά τη διαδικασία επίλυσης ενός προβλήματος λάβετε κάποιους βάναυσους αριθμούς ή δεν είστε απολύτως σίγουροι για την ορθότητα των απαντήσεων που βρέθηκαν, τότε υπάρχει ένα υπέροχο κόλπο που σας επιτρέπει να ελέγξετε: λύσαμε σωστά το πρόβλημα;

Ας πούμε ότι στο πρόβλημα 6 πήραμε τις απαντήσεις -3 και 2. Πώς μπορούμε να ελέγξουμε ότι αυτές οι απαντήσεις είναι σωστές; Ας τα συνδέσουμε στην αρχική τους κατάσταση και ας δούμε τι θα συμβεί. Να σας υπενθυμίσω ότι έχουμε τρεις αριθμούς ($-6(()^(2))$, $+1$ και $14+4(()^(2))$), οι οποίοι θα πρέπει να σχηματίζουν μια αριθμητική πρόοδο. Αντικατάσταση $x=-3$:

\[\begin(align) & x=-3\Rightarrow \\ & -6((x)^(2))=-54; \\ &x+1=-2; \\ & 14+4((x)^(2))=50. \end(στοίχιση)\]

Πήραμε τους αριθμούς -54. −2; Το 50 που διαφέρει κατά 52 είναι αναμφίβολα μια αριθμητική πρόοδος. Το ίδιο συμβαίνει για $x=2$:

\[\begin(align) & x=2\Rightarrow \\ & -6((x)^(2))=-24; \\ &x+1=3; \\ & 14+4((x)^(2))=30. \end(στοίχιση)\]

Και πάλι πρόοδος, αλλά με διαφορά 27. Έτσι, το πρόβλημα λύνεται σωστά. Όσοι επιθυμούν μπορούν να ελέγξουν τη δεύτερη εργασία μόνοι τους, αλλά θα πω αμέσως: όλα είναι σωστά και εκεί.

Γενικά, ενώ λύναμε τις τελευταίες εργασίες, πέσαμε πάνω σε μια άλλη ενδιαφέρον γεγονός, το οποίο πρέπει επίσης να θυμόμαστε:

Εάν τρεις αριθμοί είναι τέτοιοι που ο δεύτερος είναι ο μέσος όρος του πρώτου και του τελευταίου, τότε αυτοί οι αριθμοί σχηματίζουν μια αριθμητική πρόοδο.

Στο μέλλον, η κατανόηση αυτής της δήλωσης θα μας επιτρέψει να «κατασκευάσουμε» κυριολεκτικά τις απαραίτητες προόδους με βάση την κατάσταση του προβλήματος. Πριν όμως ασχοληθούμε με μια τέτοια «κατασκευή», θα πρέπει να δώσουμε προσοχή σε ένα ακόμη γεγονός, το οποίο προκύπτει άμεσα από όσα έχουν ήδη εξεταστεί.

Ομαδοποίηση και άθροισμα στοιχείων

Ας επιστρέψουμε ξανά στην αριθμητική γραμμή. Σημειώνουμε εκεί αρκετά μέλη της προόδου, μεταξύ των οποίων, ίσως. αξίζει πολλά άλλα μέλη:

6 στοιχεία σημειώνονται στην αριθμητική γραμμή

Ας προσπαθήσουμε να εκφράσουμε την "αριστερή ουρά" με όρους $((a)_(n))$ και $d$, και τη "δεξιά ουρά" με όρους $((a)_(k))$ και $ δ$. Είναι πολύ απλό:

\[\begin(align) & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n))+2d; \\ & ((a)_(k-1))=((a)_(k))-d; \\ & ((a)_(k-2))=((a)_(k))-2d. \\ \end(στοίχιση)\]

Τώρα σημειώστε ότι τα ακόλουθα αθροίσματα είναι ίσα:

\[\begin(align) & ((a)_(n))+((a)_(k))=S; \\ & ((a)_(n+1))+((a)_(k-1))=((a)_(n))+d+((a)_(k))-d= ΜΙΚΡΟ; \\ & ((a)_(n+2))+((a)_(k-2))=((a)_(n))+2d+((a)_(k))-2d= ΜΙΚΡΟ. \end(στοίχιση)\]

Με απλά λόγια, αν θεωρήσουμε ως αρχή δύο στοιχεία της προόδου, τα οποία συνολικά είναι ίσα με κάποιον αριθμό $S$, και μετά αρχίσουμε να βαδίζουμε από αυτά τα στοιχεία προς αντίθετες κατευθύνσεις (το ένα προς το άλλο ή αντίστροφα για να απομακρυνθούμε), τότε τα αθροίσματα των στοιχείων στα οποία θα σκοντάψουμε θα είναι επίσης ίσα$S$. Αυτό μπορεί να αναπαρασταθεί καλύτερα γραφικά:

Οι ίδιες εσοχές δίνουν ίσα ποσά

Η κατανόηση αυτού του γεγονότος θα μας επιτρέψει να επιλύσουμε προβλήματα θεμελιωδώς υψηλότερου επιπέδου πολυπλοκότητας από αυτά που εξετάσαμε παραπάνω. Για παράδειγμα, αυτά:

Εργασία αριθμός 8. Προσδιορίστε τη διαφορά μιας αριθμητικής προόδου στην οποία ο πρώτος όρος είναι 66 και το γινόμενο του δεύτερου και του δωδέκατου όρου είναι το μικρότερο δυνατό.

Απόφαση. Ας γράψουμε όλα όσα γνωρίζουμε:

\[\begin(align) & ((a)_(1))=66; \\&d=; \\ & ((a)_(2))\cdot ((a)_(12))=\min . \end(στοίχιση)\]

Άρα, δεν γνωρίζουμε τη διαφορά της προόδου $d$. Στην πραγματικότητα, ολόκληρη η λύση θα χτιστεί γύρω από τη διαφορά, αφού το γινόμενο $((a)_(2))\cdot ((a)_(12))$ μπορεί να ξαναγραφτεί ως εξής:

\[\begin(align) & ((a)_(2))=((a)_(1))+d=66+d; \\ & ((a)_(12))=((a)_(1))+11d=66+11d; \\ & ((a)_(2))\cdot ((a)_(12))=\left(66+d \right)\cdot \left(66+11d \right)= \\ & =11 \cdot \left(d+66 \right)\cdot \left(d+6 \right). \end(στοίχιση)\]

Για όσους βρίσκονται στη δεξαμενή: Έχω αφαιρέσει τον κοινό παράγοντα 11 από τη δεύτερη αγκύλη. Έτσι, το επιθυμητό γινόμενο είναι μια τετραγωνική συνάρτηση σε σχέση με τη μεταβλητή $d$. Επομένως, θεωρήστε τη συνάρτηση $f\left(d \right)=11\left(d+66 \right)\left(d+6 \right)$ - η γραφική παράσταση της θα είναι μια παραβολή με διακλαδώσεις προς τα πάνω, επειδή Αν ανοίξουμε τις αγκύλες, παίρνουμε:

\[\begin(align) & f\left(d \right)=11\left(((d)^(2))+66d+6d+66\cdot 6 \right)= \\ & =11(( δ)^(2))+11\cdot 72d+11\cdot 66\cdot 6 \end(align)\]

Όπως μπορείτε να δείτε, ο συντελεστής με τον υψηλότερο όρο είναι 11 - αυτός είναι ένας θετικός αριθμός, επομένως έχουμε να κάνουμε πραγματικά με μια παραβολή με διακλαδώσεις προς τα πάνω:

γράφημα τετραγωνικής συνάρτησης - παραβολή

Σημείωση: αυτή η παραβολή παίρνει την ελάχιστη τιμή της στην κορυφή της με την τετμημένη $((d)_(0))$. Φυσικά, μπορούμε να υπολογίσουμε αυτή την τετμημένη σύμφωνα με το τυπικό σχήμα (υπάρχει τύπος $((d)_(0))=(-b)/(2a)\;$), αλλά θα ήταν πολύ πιο λογικό να Σημειώστε ότι η επιθυμητή κορυφή βρίσκεται στη συμμετρία του άξονα της παραβολής, επομένως το σημείο $((d)_(0))$ απέχει ίση από τις ρίζες της εξίσωσης $f\left(d \right)=0$:

\[\begin(align) & f\left(d\right)=0; \\ & 11\cdot \left(d+66 \right)\cdot \left(d+6 \right)=0; \\ & ((δ)_(1))=-66;\τετράγωνο ((δ)_(2))=-6. \\ \end(στοίχιση)\]

Γι' αυτό δεν βιάστηκα να ανοίξω τις αγκύλες: στην αρχική μορφή, οι ρίζες ήταν πολύ, πολύ εύκολο να βρεθούν. Επομένως, η τετμημένη είναι ίση με τον αριθμητικό μέσο όρο των αριθμών −66 και −6:

\[((δ)_(0))=\frac(-66-6)(2)=-36\]

Τι μας δίνει τον αριθμό που ανακαλύφθηκε; Με αυτό, το απαιτούμενο προϊόν παίρνει τη μικρότερη τιμή (παρεμπιπτόντως, δεν υπολογίσαμε $((y)_(\min ))$ - αυτό δεν απαιτείται από εμάς). Ταυτόχρονα, ο αριθμός αυτός είναι η διαφορά της αρχικής προόδου, δηλ. βρήκαμε την απάντηση. :)

Απάντηση: -36

Εργασία αριθμός 9. Εισαγάγετε τρεις αριθμούς μεταξύ των αριθμών $-\frac(1)(2)$ και $-\frac(1)(6)$ ώστε μαζί με τους δεδομένους αριθμούς να σχηματίσουν μια αριθμητική πρόοδο.

Απόφαση. Στην πραγματικότητα, πρέπει να φτιάξουμε μια ακολουθία πέντε αριθμών, με τον πρώτο και τον τελευταίο αριθμό να είναι ήδη γνωστοί. Σημειώστε τους αριθμούς που λείπουν με τις μεταβλητές $x$, $y$ και $z$:

\[\left(((a)_(n)) \right)=\left\( -\frac(1)(2);x;y;z;-\frac(1)(6) \right\ )\]

Σημειώστε ότι ο αριθμός $y$ είναι το "μέσο" της ακολουθίας μας - απέχει ίση απόσταση από τους αριθμούς $x$ και $z$ και από τους αριθμούς $-\frac(1)(2)$ και $-\frac (1)( 6)$. Και αν από τους αριθμούς $x$ και $z$ είμαστε μέσα αυτή τη στιγμήδεν μπορούμε να πάρουμε $y$, τότε η κατάσταση είναι διαφορετική με τα άκρα της εξέλιξης. Θυμηθείτε τον αριθμητικό μέσο όρο:

Τώρα, γνωρίζοντας το $y$, θα βρούμε τους υπόλοιπους αριθμούς. Σημειώστε ότι το $x$ βρίσκεται μεταξύ $-\frac(1)(2)$ και $y=-\frac(1)(3)$ που μόλις βρέθηκε. Έτσι

Με το ίδιο επιχείρημα, βρίσκουμε τον υπόλοιπο αριθμό:

Ετοιμος! Βρήκαμε και τους τρεις αριθμούς. Ας τα γράψουμε στην απάντηση με τη σειρά που πρέπει να μπουν ανάμεσα στους αρχικούς αριθμούς.

Απάντηση: $-\frac(5)(12);\ -\frac(1)(3);\ -\frac(1)(4)$

Εργασία αριθμός 10. Μεταξύ των αριθμών 2 και 42, εισάγετε αρκετούς αριθμούς που μαζί με τους δεδομένους αριθμούς σχηματίζουν μια αριθμητική πρόοδο, εάν είναι γνωστό ότι το άθροισμα του πρώτου, του δεύτερου και του τελευταίου από τους αριθμούς που εισάγονται είναι 56.

Απόφαση. Ένα ακόμη πιο δύσκολο εγχείρημα, το οποίο όμως λύνεται με τον ίδιο τρόπο με τα προηγούμενα - μέσω του αριθμητικού μέσου όρου. Το πρόβλημα είναι ότι δεν ξέρουμε ακριβώς πόσους αριθμούς να εισάγουμε. Επομένως, για λόγους βεβαιότητας, υποθέτουμε ότι μετά την εισαγωγή θα υπάρχουν ακριβώς $n$ αριθμοί, και ο πρώτος από αυτούς είναι 2 και ο τελευταίος είναι 42. Σε αυτήν την περίπτωση, η επιθυμητή αριθμητική πρόοδος μπορεί να αναπαρασταθεί ως:

\[\left(((a)_(n)) \right)=\left\( 2;((a)_(2));((a)_(3));...;(( α)_(n-1));42 \δεξιά\)\]

\[((a)_(2))+((a)_(3))+((a)_(n-1))=56\]

Σημειώστε, ωστόσο, ότι οι αριθμοί $((a)_(2))$ και $((a)_(n-1))$ λαμβάνονται από τους αριθμούς 2 και 42 που στέκονται στις άκρες κατά ένα βήμα ο ένας προς τον άλλο , δηλ. στο κέντρο της ακολουθίας. Και αυτό σημαίνει ότι

\[((a)_(2))+((a)_(n-1))=2+42=44\]

Αλλά τότε η παραπάνω έκφραση μπορεί να ξαναγραφτεί ως εξής:

\[\begin(align) & ((a)_(2))+((a)_(3))+((a)_(n-1))=56; \\ & \left(((a)_(2))+((a)_(n-1)) \right)+((a)_(3))=56; \\ & 44+((a)_(3))=56; \\ & ((a)_(3))=56-44=12. \\ \end(στοίχιση)\]

Γνωρίζοντας τα $((a)_(3))$ και τα $((a)_(1))$, μπορούμε εύκολα να βρούμε τη διαφορά προόδου:

\[\begin(align) & ((a)_(3))-((a)_(1))=12-2=10; \\ & ((a)_(3))-((a)_(1))=\αριστερά(3-1 \δεξιά)\cdot d=2d; \\ & 2d=10\Δεξί βέλος d=5. \\ \end(στοίχιση)\]

Μένει μόνο να βρούμε τα υπόλοιπα μέλη:

\[\begin(align) & ((a)_(1))=2; \\ & ((a)_(2))=2+5=7; \\ & ((a)_(3))=12; \\ & ((a)_(4))=2+3\cdot 5=17; \\ & ((a)_(5))=2+4\cdot 5=22; \\ & ((a)_(6))=2+5\cdot 5=27; \\ & ((a)_(7))=2+6\cdot 5=32; \\ & ((a)_(8))=2+7\cdot 5=37; \\ & ((a)_(9))=2+8\cdot 5=42; \\ \end(στοίχιση)\]

Έτσι, ήδη στο 9ο βήμα θα φτάσουμε στο αριστερό άκρο της ακολουθίας - τον αριθμό 42. Συνολικά, χρειάστηκε να εισαχθούν μόνο 7 αριθμοί: 7; 12; 17; 22; 27; 32; 37.

Απάντηση: 7; 12; 17; 22; 27; 32; 37

Εργασίες κειμένου με προόδους

Εν κατακλείδι, θα ήθελα να εξετάσω μερικά σχετικά απλά προβλήματα. Λοιπόν, τόσο απλά: για τους περισσότερους μαθητές που σπουδάζουν μαθηματικά στο σχολείο και δεν έχουν διαβάσει όσα γράφονται παραπάνω, αυτές οι εργασίες μπορεί να φαίνονται σαν χειρονομία. Ωστόσο, είναι ακριβώς τέτοιες εργασίες που συναντώνται στο OGE και η ΧΡΗΣΗ στα μαθηματικά, γι' αυτό σας συνιστώ να εξοικειωθείτε με αυτές.

Εργασία αριθμός 11. Η ομάδα παρήγαγε 62 εξαρτήματα τον Ιανουάριο και κάθε επόμενο μήνα παρήγαγε 14 περισσότερα εξαρτήματα από τον προηγούμενο. Πόσα εξαρτήματα παρήγαγε η ταξιαρχία τον Νοέμβριο;

Απόφαση. Προφανώς, ο αριθμός των τμημάτων, που βάφονται ανά μήνα, θα είναι μια αυξανόμενη αριθμητική πρόοδος. Και:

\[\begin(align) & ((a)_(1))=62;\quad d=14; \\ & ((a)_(n))=62+\αριστερά(n-1 \δεξιά)\cdot 14. \\ \end(στοίχιση)\]

Ο Νοέμβριος είναι ο 11ος μήνας του έτους, επομένως πρέπει να βρούμε $((a)_(11))$:

\[((a)_(11))=62+10\cdot 14=202\]

Επομένως, τον Νοέμβριο θα κατασκευαστούν 202 ανταλλακτικά.

Εργασία αριθμός 12. Το εργαστήριο βιβλιοδεσίας έδεσε 216 βιβλία τον Ιανουάριο και κάθε μήνα δέσμευε 4 περισσότερα βιβλία από τον προηγούμενο μήνα. Πόσα βιβλία δέσε το εργαστήριο τον Δεκέμβριο;

Απόφαση. Ολα τα ίδια:

$\begin(align) & ((a)_(1))=216;\quad d=4; \\ & ((a)_(n))=216+\left(n-1 \right)\cdot 4. \\ \end(align)$

Ο Δεκέμβριος είναι ο τελευταίος, 12ος μήνας του έτους, επομένως αναζητούμε $((a)_(12))$:

\[((a)_(12))=216+11\cdot 4=260\]

Αυτή είναι η απάντηση - 260 βιβλία θα είναι δεμένα τον Δεκέμβριο.

Λοιπόν, αν έχετε διαβάσει ως εδώ, βιάζομαι να σας συγχαρώ: ολοκληρώσατε επιτυχώς το «μάθημα νέων μαχητών» στις αριθμητικές προόδους. Μπορούμε να προχωρήσουμε με ασφάλεια στο επόμενο μάθημα, όπου θα μελετήσουμε τον τύπο του αθροίσματος προόδου, καθώς και σημαντικές και πολύ χρήσιμες συνέπειες από αυτόν.