Lihtsamate määramata integraalide tabel. Mannekeeni integraalid: kuidas lahendada, arvutusreeglid, selgitused

Definitsioon 1

Funktsiooni $y=f(x)$ antituletis $F(x)$ segmendis $$ on funktsioon, mis on diferentseeruv selle segmendi igas punktis ja selle tuletise kohta kehtib järgmine võrdsus:

Definitsioon 2

Mingil segmendil defineeritud antud funktsiooni $y=f(x)$ kõigi antiderivaatide hulka nimetatakse antud funktsiooni $y=f(x)$ määramatuks integraaliks. Määramata integraali tähistatakse sümboliga $\int f(x)dx $.

Tuletiste tabelist ja 2. definitsioonist saame põhiintegraalide tabeli.

Näide 1

Kontrolli valemi 7 kehtivust integraalide tabelist:

\[\int tgxdx =-\ln |\cos x|+C,\, \, C=const.\]

Eristame paremat poolt: $-\ln |\cos x|+C$.

\[\left(-\ln |\cos x|+C\right)"=-\frac(1)(\cos x) \cdot (-\sin x)=\frac(\sin x)(\cos x)=tgx\]

Näide 2

Kontrolli valemi 8 kehtivust integraalide tabelist:

\[\int ctgxdx =\ln |\sin x|+C,\, \, C=const.\]

Eristage parem pool: $\ln |\sin x|+C$.

\[\left(\ln |\sin x|\right)"=\frac(1)(\sin x) \cdot \cos x=ctgx\]

Tuletis osutus integrandiga võrdseks. Seetõttu on valem õige.

Näide 3

Kontrollige integraalide tabelist valemi 11" kehtivust:

\[\int \frac(dx)(a^(2) +x^(2) ) =\frac(1)(a) arctg\frac(x)(a) +C,\, \, C=const .\]

Erista parem pool: $\frac(1)(a) arctg\frac(x)(a) +C$.

\[\left(\frac(1)(a) arctg\frac(x)(a) +C\right)"=\frac(1)(a) \cdot \frac(1)(1+\left( \frac(x)(a) \right)^(2) ) \cdot \frac(1)(a) =\frac(1)(a^(2) ) \cdot \frac(a^(2) ) (a^(2) +x^(2) ) \]

Tuletis osutus integrandiga võrdseks. Seetõttu on valem õige.

Näide 4

Kontrolli valemi 12 kehtivust integraalide tabelist:

\[\int \frac(dx)(a^(2) -x^(2) ) =\frac(1)(2a) \ln \left|\frac(a+x)(a-x) \right|+ C,\, \, C=konst.\]

Eristage parem pool: $\frac(1)(2a) \ln \left|\frac(a+x)(a-x) \right|+C$.

$\left(\frac(1)(2a) \ln \left|\frac(a+x)(a-x) \right|+C\right)"=\frac(1)(2a) \cdot \frac( 1)(\frac(a+x)(a-x) ) \cdot \left(\frac(a+x)(a-x) \right)"=\frac(1)(2a) \cdot \frac(a-x)( a+x) \cdot \frac(a-x+a+x)((a-x)^(2) ) =\frac(1)(2a) \cdot \frac(a-x)(a+x) \cdot \ frac(2a)((a-x)^(2) ) =\frac(1)(a^(2) -x^(2) ) $Tuletis võrdub integrandiga. Seetõttu on valem õige.

Näide 5

Kontrollige integraalide tabelist valemi 13 kehtivust:

\[\int \frac(dx)(\sqrt(a^(2) -x^(2) ) ) =\arcsin \frac(x)(a) +C,\, \, C=const.\]

Eristage parem pool: $\arcsin \frac(x)(a) +C$.

\[\left(\arcsin \frac(x)(a) +C\right)"=\frac(1)(\sqrt(1-\left(\frac(x)(a) \right)^(2 ) ) ) \cdot \frac(1)(a) =\frac(a)(\sqrt(a^(2) -x^(2) ) ) \cdot \frac(1)(a) =\frac( 1)(\sqrt(a^(2) -x^(2) ) \]

Tuletis osutus integrandiga võrdseks. Seetõttu on valem õige.

Näide 6

Kontrolli valemi 14 kehtivust integraalide tabelist:

\[\int \frac(dx)(\sqrt(x^(2) \pm a^(2) ) ) =\ln |x+\sqrt(x^(2) \pm a^(2) ) |+ C,\, \, C=konst.\]

Eristage parem pool: $\ln |x+\sqrt(x^(2) \pm a^(2) ) |+C$.

\[\left(\ln |x+\sqrt(x^(2) \pm a^(2) ) |+C\right)"=\frac(1)(x+\sqrt(x^(2) \pm a^(2) ) ) \cdot \left(x+\sqrt(x^(2) \pm a^(2) ) \right)"=\frac(1)(x+\sqrt(x^(2) \ pm a^(2) ) ) \cdot \left(1+\frac(1)(2\sqrt(x^(2) \pm a^(2) ) ) \cdot 2x\right)=\] \[ =\frac(1)(x+\sqrt(x^(2) \pm a^(2) ) ) \cdot \frac(\sqrt(x^(2) \pm a^(2) ) +x)( \sqrt(x^(2) \pm a^(2) ) ) =\frac(1)(\sqrt(x^(2) \pm a^(2) ) ) \]

Tuletis osutus integrandiga võrdseks. Seetõttu on valem õige.

Näide 7

Leidke integraal:

\[\int \left(\cos (3x+2)+5x\right) dx.\]

Kasutame integraalsumma teoreemi:

\[\int \left(\cos (3x+2)+5x\right) dx=\int \cos (3x+2)dx +\int 5xdx .\]

Kasutame teoreemi integraalimärgist konstantse teguri väljavõtmise kohta:

\[\int \cos (3x+2)dx +\int 5xdx =\int \cos (3x+2)dx +5\int xdx .\]

Integraalide tabeli järgi:

\[\int \cos x dx=\sin x+C;\] \[\int xdx =\frac(x^(2) )(2) +C.\]

Esimese integraali arvutamisel kasutame reeglit 3:

\[\int \cos (3x+2) dx=\frac(1)(3) \sin (3x+2)+C_(1) .\]

Seega

\[\int \left(\cos (3x+2)+5x\right) dx=\frac(1)(3) \sin (3x+2)+C_(1) +\frac(5x^(2) )(2) +C_(2) =\frac(1)(3) \sin (3x+2)+\frac(5x^(2) )(2) +C,\, \, C=C_(1 ) +C_(2) \]

Loetleme elementaarfunktsioonide integraalid, mida mõnikord nimetatakse tabeliteks:

Mistahes ülaltoodud valemit saab tõestada, võttes parempoolse külje tuletise (selle tulemusena saadakse integrand).

Integratsioonimeetodid

Vaatleme mõningaid integreerimise põhimeetodeid. Need sisaldavad:

1. Lagundamise meetod(otsene integratsioon).

See meetod põhineb tabelintegraalide otsesel rakendamisel, aga ka määramatu integraali omaduste 4 ja 5 rakendamisel (st konstantse teguri väljavõtmine sulust ja/või integrandi esitamine funktsioonide summana - laiendades integrandi terminiteks).

Näide 1 Näiteks (dx/x 4) leidmiseks saate x n dx jaoks otse kasutada tabeliintegraali. Tõepoolest, (dx/x 4) = x -4 dx=x -3 /(-3) +C= -1/3x 3 +C.

Näide 2 Leidmiseks kasutame sama integraali:

Näide 3 Leidmiseks peate võtma

Näide 4 Leidmiseks esindame integrandi kujul ja kasutage eksponentsiaalfunktsiooni jaoks tabeliintegraali:

Kaaluge konstantse teguri sulgude kasutamist.

Näide 5Leiame näiteks . Seda arvestades saame

Näide 6 Otsime üles. Niivõrd kui , kasutame tabeliintegraali Hangi

Sulgusid ja tabeliintegraale saate kasutada ka kahes järgmises näites.

Näide 7

(kasutame ja );

Näide 8

(me kasutame ja ).

Vaatame keerukamaid näiteid, mis kasutavad summaintegraali.

Näide 9 Näiteks leiame
. Laiendusmeetodi rakendamiseks lugejas kasutame summa-kuubi valemit  ja jagame saadud polünoomiliikmete kaupa nimetajaga.

=((8x 3/2 + 12x+ 6x 1/2 + 1)/(x 3/2))dx=(8 + 12x -1/2 + 6/x+x -3/2)dx= 8 dx+ 12x -1/2 dx+ + 6dx/x+x -3/2 dx=

Tuleb märkida, et lahenduse lõppu kirjutatakse üks ühine konstant C (ja mitte iga termini integreerimisel eraldi). Edaspidi tehakse ka ettepanek jätta lahendamise käigus üksikute terminite integreerimisest konstandid välja seni, kuni avaldis sisaldab vähemalt ühte määramatut integraali (ühe konstandi kirjutame lahenduse lõppu).

Näide 10 Otsime üles . Selle ülesande lahendamiseks faktoreerime lugeja (pärast seda saame nimetajat vähendada).

Näide 11. Otsime üles. Siin saab kasutada trigonomeetrilisi identiteete.

Mõnikord tuleb avaldise terminiteks lagundamiseks kasutada keerukamaid tehnikaid.

Näide 12. Otsime üles . Integrandis valime murdosa täisarvulise osa . Siis

Näide 13 Otsime üles

2. Muutuv asendusmeetod (asendusmeetod)

Meetod põhineb järgmisel valemil: f(x)dx=f((t))`(t)dt, kus x =(t) on vaadeldaval intervallil diferentseeruv funktsioon.

Tõestus. Leiame valemi vasakust ja paremast osast tuletised muutuja t suhtes.

Pange tähele, et vasakul pool on kompleksfunktsioon, mille vaheargumendiks on x = (t). Seetõttu eristamaks seda t suhtes, eristame esmalt integraali x suhtes ja seejärel võtame vaheargumendi tuletise t suhtes.

( f(x)dx)` t = ( f(x)dx)` x *x` t = f(x) `(t)

Parema külje tuletis:

(f((t))`(t)dt)` t =f((t))`(t) =f(x)`(t)

Kuna need tuletised on võrdsed, siis Lagrange'i teoreemi järelduvalt erinevad tõestatava valemi vasak ja parem osa mingi konstandi võrra. Kuna määramata integraalid ise on defineeritud kuni määramata konstandiliikmeni, võib selle konstandi lõplikus tähistuses välja jätta. Tõestatud.

Muutuja edukas muutmine võimaldab algset integraali lihtsustada ja kõige lihtsamal juhul taandada tabeliks. Selle meetodi rakendamisel eristatakse lineaarse ja mittelineaarse asendamise meetodeid.

a) Lineaarne asendusmeetod vaatame näidet.

Näide 1
. Lett = 1 – 2x, siis

dx=d(½ - ½t) = - ½ dt

Tuleb märkida, et uut muutujat ei pea selgesõnaliselt välja kirjutama. Sellistel juhtudel räägitakse funktsiooni teisendamisest diferentsiaali märgi all või konstantide ja muutujate sisseviimisest diferentsiaali märgi alla, s.t. umbes kaudne muutuja asendus.

Näide 2 Näiteks leiame cos(3x + 2)dx. Diferentsiaali omaduste järgi dx = (1/3)d(3x) = (1/3)d(3x + 2), siiscos(3x + 2)dx =(1/3)cos(3x + 2)d (3x + 2) = (1/3)cos(3x + 2)d(3x + 2) = (1/3)sin(3x + 2) +C.

Mõlemas vaadeldavas näites kasutati integraalide leidmiseks lineaarset asendust t=kx+b(k0).

Üldjuhul kehtib järgmine teoreem.

Lineaarne asendusteoreem. Olgu F(x) funktsiooni f(x) antituletis. Siisf(kx+b)dx= (1/k)F(kx+b) +C, kus k ja b on mingid konstandid,k0.

Tõestus.

Integraali f(kx+b)d(kx+b) =F(kx+b) +C definitsiooni järgi. Hod(kx+b)= (kx+b)`dx=kdx. Integraalimärgi jaoks võtame välja konstantteguri k: kf(kx+b)dx=F(kx+b) +C. Nüüd saame jagada võrduse vasaku ja parema osa k-ga ja saada tõestatava väite kuni konstantse liikme tähistuseni.

See teoreem väidab, et kui integraali f(x)dx= F(x) + C definitsioonis asendada avaldis (kx+b), siis see toob endaga kaasa lisateguri 1/k ilmumise ees. antiderivaadist.

Tõestatud teoreemi kasutades lahendame järgmised näited.

Näide 3

Otsime üles . Siin kx+b= 3 –x, st k= -1,b= 3. Siis

Näide 4

Otsime üles. Siin kx+b= 4x+ 3, st k= 4,b= 3. Siis

Näide 5

Otsime üles . Siin kx+b= -2x+ 7, st k= -2,b= 7. Siis

.

Näide 6 Otsime üles
. Siin kx+b= 2x+ 0, st k= 2,b= 0.

.

Võrdleme saadud tulemust näitega 8, mis oli lahendatud dekomponeerimismeetodil. Lahendades sama probleemi mõne muu meetodiga, saime vastuse
. Võrdleme tulemusi: Seega erinevad need avaldised üksteisest konstantse liikme võrra , st. saadud vastused ei ole vastuolus.

Näide 7 Otsime üles
. Valime nimetajasse täisruudu.

Mõnel juhul ei taanda muutuja muutmine integraali otse tabeliks, kuid see võib lahendust lihtsustada, võimaldades järgmises etapis rakendada dekomponeerimismeetodit.

Näide 8 Näiteks leiame . Asenda t=x+ 2, siis dt=d(x+ 2) =dx. Siis

,

kus C \u003d C 1 - 6 (kui asendada t asemel avaldis (x + 2), saame kahe esimese liikme asemel ½x 2 -2x - 6).

Näide 9 Otsime üles
. Olgu t= 2x+ 1, siis dt= 2dx;dx= ½dt;x= (t– 1)/2.

Asendame t asemel avaldise (2x + 1), avame sulud ja anname sarnased.

Pange tähele, et teisenduste käigus läksime üle teisele konstantsele terminile, sest konstantsete terminite rühma teisenduste protsessis võiks ära jätta.

b) Mittelineaarse asendamise meetod vaatame näidet.

Näide 1
. Olgu t= -x 2 . Lisaks võib x-i väljendada t-ga, seejärel leida avaldise dx jaoks ja rakendada muutuja muudatust nõutavas integraalis. Aga sel juhul on lihtsam teisiti teha. Leidke dt=d(-x 2) = -2xdx. Pange tähele, et avaldis xdx on nõutava integraali integrandi tegur. Avaldame selle saadud võrrandist xdx= - ½dt. Siis

=  (- ½)e t dt = (- ½) e t dt = (- ½)e t + C = (- ½)
+ C

Vaatame veel paar näidet.

Näide 2 Otsime üles . Olgu t= 1 -x 2 . Siis

Näide 3 Otsime üles . Olgu t=. Siis

;

Näide 4 Mittelineaarse asendamise korral on mugav kasutada ka implitsiitset muutuja asendust.

Näiteks leiame
. Kirjutame xdx= = (-1/4)d(3 - 2x 2) (kaudselt asendatud muutujaga t= 3 - 2x 2). Siis

Näide 5 Otsime üles . Siin tutvustame ka diferentsiaalmärgi all olevat muutujat: (implitsiitne asendus t= 3 + 5x 3). Siis

Näide 6 Otsime üles . Niivõrd kui ,

Näide 7 Otsime üles. Sellest ajast

Vaatleme mitmeid näiteid, mille puhul on vaja kombineerida erinevaid asendusi.

Näide 8 Otsime üles
. Olgu t= 2x+ 1, siis x= (t– 1)/2;dx= ½dt.

Näide 9 Otsime üles
. Olgu t=x- 2, siis x=t+ 2;dx=dt.

Antiderivatiivse funktsiooni määratlus

• Funktsioon y=F(x) nimetatakse funktsiooni antiderivaadiks y=f(x) etteantud intervalliga X, kui kõigi jaoks X ∈X võrdsus kehtib: F'(x) = f(x)

Seda saab lugeda kahel viisil:

1. f funktsiooni tuletis F
2. F antiderivaat funktsiooni jaoks f

antiderivaatide omadus

• Kui a F(x)- funktsiooni antiderivaat f(x) antud intervalli korral on funktsioonil f(x) lõpmatult palju antituletisi ja kõiki neid antituletisi saab kirjutada kui F(x) + C, kus C on suvaline konstant.

Geomeetriline tõlgendus

• Antud funktsiooni kõigi antiderivaatide graafikud f(x) saadakse mis tahes ühe antiderivaadi graafikult paralleelsete ülekannetega piki O-telge juures.

Antiderivaatide arvutamise reeglid

1. Summa antiderivaat võrdub antiderivatiivide summaga. Kui a F(x)- primitiivne jaoks f(x), ja G(x) on selle antiderivaat g(x), siis F(x) + G(x)- primitiivne jaoks f(x) + g(x).
2. Konstantteguri saab tuletise märgist välja võtta. Kui a F(x)- primitiivne jaoks f(x), ja k on siis konstantne kF(x)- primitiivne jaoks kf(x).
3. Kui a F(x)- primitiivne jaoks f(x), ja k,b- alaline ja k ≠ 0, siis 1/k F(kx + b)- primitiivne jaoks f(kx + b).

Pea meeles!

Mis tahes funktsioon F (x) \u003d x 2 + C , kus C on suvaline konstant ja ainult selline funktsioon on funktsiooni antituletis f(x) = 2x.

• Näiteks:

  F "(x) \u003d (x 2 + 1)" \u003d 2x \u003d f (x);

  f(x) = 2x, sest F "(x) \u003d (x 2 - 1)" \u003d 2x \u003d f (x);

  f(x) = 2x, sest F "(x) \u003d (x 2 -3)" \u003d 2x \u003d f (x);

Funktsiooni graafikute ja selle antiderivaadi vaheline seos:

1. Kui funktsiooni graafik f(x)>0 intervalli kohta, seejärel selle antiderivaadi graafik F(x) suureneb selle intervalli jooksul.
2. Kui funktsiooni graafik f(x) intervallil, siis selle antiderivaadi graafik F(x) väheneb selle intervalli jooksul.
3. Kui a f(x)=0, siis selle antiderivaadi graafik F(x) sel hetkel muutub tõusust kahanevaks (või vastupidi).

Antituletise tähistamiseks kasutatakse määramatu integraali märki ehk integraali ilma lõimimise piire näitamata.

Määramatu integraal

Definitsioon:

• Funktsiooni f(x) määramatu integraal on avaldis F(x) + C ehk antud funktsiooni f(x) kõigi antiderivaatide hulk. Määramatu integraal on tähistatud järgmiselt: \int f(x) dx = F(x) + C

• f(x) nimetatakse integrandiks;
• f(x) dx- nimetatakse integrandiks;
• x- nimetatakse integratsiooni muutujaks;
• F(x)- funktsiooni f(x) üks antituletistest;
• Koos on suvaline konstant.

Määramata integraali omadused

1. Määramatu integraali tuletis on võrdne integrandiga: (\int f(x) dx)\prime= f(x) .
2. Integrandi konstantse teguri saab integraalimärgist välja võtta: \int k \cdot f(x) dx = k \cdot \int f(x) dx.
3. Funktsioonide summa (erinevuse) integraal on võrdne nende funktsioonide integraalide summaga (erinevus): \int (f(x) \pm g(x)) dx = \int f(x) dx \pm \int g(x) dx.
4. Kui a k,b on konstandid ja k ≠ 0, siis \int f(kx + b) dx = \frac ( 1 ) ( k ) \cdot F(kx + b) + C.

Antiderivaatide ja määramata integraalide tabel

Funktsioon f(x)	antiderivaat F(x) + C	Määramata integraalid \int f(x) dx = F(x) + C
0	C	\int 0 dx = C
f(x) = k	F(x) = kx + C	\int kdx = kx + C
f(x) = x^m, m\not =-1	F(x) = \frac (x^ (m+1)) (m+1) + C	\int x ( ^m ) dx = \frac ( x^ ( m+1 ) ) ( m+1 ) + C
f(x) = \frac ( 1 ) (x)	F(x) = l n \lvert x \rvert + C	\int \frac ( dx ) ( x ) = l n \lvert x \rvert + C
f(x) = e^x	F(x) = e^x + C	\int e ( ^x ) dx = e^x + C
f(x) = a^x	F(x) = \frac ( a^x ) ( lna ) + C	\int a (^x) dx = \frac (a^x) (l na) + C
f(x) = \sin x	F(x) = -\cos x + C	\int \sin x dx = -\cos x + C
f(x) = \cos x	F(x)=\sin x + C	\int \cos x dx = \sin x + C
f(x) = \frac ( 1 ) ( \sin ( ^ 2 ) x )	F(x) = -\ctg x + C	\int \frac ( dx ) ( \sin ( ^2 ) x ) = -\ctg x + C
f(x) = \frac ( 1 ) ( \cos ( ^2 ) x)	F(x) = \tg x + C	\int \frac ( dx ) ( \sin ( ^ 2 ) x ) = \ tg x + C
f(x) = \sqrt (x)	F(x) =\frac ( 2x \sqrt ( x ) ) ( 3 ) + C
f(x) =\frac (1) (\sqrt (x))	F(x) =2\sqrt ( x ) + C
f(x) =\frac ( 1 ) ( \sqrt ( 1-x^2 ))	F(x)=\arcsin x + C	\int \frac ( dx ) ( \sqrt ( 1-x^2 ) ) =\arcsin x + C
f(x) =\frac ( 1 ) ( \sqrt ( 1+x^2 ))	F(x)=\arctg x + C	\int \frac ( dx ) ( \sqrt ( 1+x^2 ) ) =\arctg x + C
f(x)=\frac ( 1 ) ( \sqrt ( a^2-x^2 ))	F(x)=\arcsin \frac ( x ) ( a ) + C	\int \frac ( dx ) ( \sqrt ( a^2-x^2 ) ) =\arcsin \frac ( x ) ( a ) + C
f(x)=\frac ( 1 ) ( \sqrt ( a^2+x^2 ))	F(x)=\arctg \frac ( x ) ( a ) + C	\int \frac (dx) (\sqrt (a^2+x^2)) = \frac (1) (a) \arctg \frac (x) (a) + C
f(x) =\frac ( 1 ) ( 1+x^2)	F(x)=\arctg + C	\int \frac ( dx ) ( 1+x^2 ) =\arctg + C
f(x)=\frac ( 1 ) ( \sqrt ( x^2-a^2 ) ) (a \not= 0)	F(x)=\frac ( 1 ) ( 2a ) l n \lvert \frac ( x-a ) ( x+a ) \rvert + C	\int \frac ( dx ) ( \sqrt ( x^2-a^2 ) ) =\frac ( 1 ) ( 2a ) l n \lvert \frac ( x-a ) ( x+a ) \rvert + C
f(x)=\tg x	F(x)= - l n \lvert \cos x \rvert + C	\int \tg x dx =-l n \lvert \cos x \rvert + C
f(x)=\ctg x	F(x)= l n \lvert \sin x \rvert + C	\int \ctg x dx = l n \lvert \sin x \rvert + C
f(x)=\frac ( 1 ) ( \sin x )	F(x)= l n \lvert \tg \frac ( x ) ( 2 ) \rvert + C	\int \frac ( dx ) ( \ sin x ) = l n \lvert \tg \frac ( x ) ( 2 ) \rvert + C
f(x)=\frac ( 1 ) ( \cos x )	F(x)= l n \lvert \tg (\frac ( x ) ( 2 ) +\frac ( \pi ) ( 4 )) \rvert + C	\int \frac ( dx ) ( \cos x ) = l n \lvert \tg (\frac ( x ) ( 2 ) +\frac ( \pi ) ( 4 )) \rvert + C

Newtoni-Leibnizi valem

Las olla f(x) see funktsioon, F selle suvaline primitiivne.

\int_ ( a ) ^ ( b ) f(x) dx =F(x)|_ ( a ) ^ ( b )= F(b) – F(a)

kus F(x)- primitiivne jaoks f(x)

See tähendab funktsiooni integraal f(x) intervallil on võrdne punktides olevate antiderivaatide erinevusega b ja a.

Kõverajoonelise trapetsi pindala

Kurviline trapets nimetatakse figuuriks, mis on piiratud lõigu mittenegatiivse ja pideva funktsiooni graafikuga f, telg Ox ja sirgjooned x = a ja x = b.

Kõverajoonelise trapetsi pindala leitakse Newtoni-Leibnizi valemi abil:

S= \int_ ( a ) ^ ( b ) f(x) dx

Antiderivaatide ("integraalide") tabel. Integraalide tabel. Tabelikujulised määramatud integraalid. (Lihtintegraalid ja integraalid parameetriga). Osade kaupa integreerimise valemid. Newtoni-Leibnizi valem.

Antiderivaatide ("integraalide") tabel. Tabelikujulised määramatud integraalid. (Lihtintegraalid ja integraalid parameetriga).
Toitefunktsiooni lahutamatu osa.	Toitefunktsiooni lahutamatu osa.
Integraal, mis taandub võimsusfunktsiooni integraaliks, kui x juhitakse diferentsiaali märgi all.
	Eksponentintegraal, kus a on konstantne arv.
Kompleksse eksponentsiaalfunktsiooni integraal.	Eksponentfunktsiooni integraal.
Naturaallogaritmiga võrdne integraal.	Integraal: "Pikk logaritm".
	Integraal: "Pikk logaritm".
Integraal: "Kõrge logaritm".	Integraal, kus x lugejas on viidud diferentsiaali märgi alla (märgi all olevat konstanti saab nii liita kui ka lahutada), on selle tulemusena sarnane naturaallogaritmiga võrdse integraaliga.
Integraal: "Kõrge logaritm".
Koosinusintegraal.	Siinuse integraal.
Puutujaga võrdne integraal.	Kootangensiga võrdne integraal.
Integraal, mis on võrdne nii arcsinuse kui ka arssiinusega
Integraal, mis on võrdne nii pöörd- kui ka pöördkoosinusega.	Integraal, mis on võrdne nii kaartangensi kui ka kaare kotangensiga.
Integraal on võrdne kosekantsiga.	Integraal võrdub sekantiga.
Integraal, mis on võrdne kaarekujuga.	Integraal, mis on võrdne kaare koosekandiga.
Integraal, mis on võrdne kaarekujuga.	Integraal, mis on võrdne kaarekujuga.
Integraal, mis on võrdne hüperboolse siinusega.	Integraal, mis on võrdne hüperboolse koosinusega.
Integraal, mis on võrdne hüperboolse siinusega, kus sinhx on inglise keeles hüperboolne siinus.	Integraal, mis on võrdne hüperboolse koosinusega, kus sinhx on ingliskeelses versioonis hüperboolne siinus.
Integraal, mis on võrdne hüperboolse puutujaga.	Integraal, mis on võrdne hüperboolse kotangensiga.
Integraal, mis on võrdne hüperboolse sekantiga.	Integraal, mis on võrdne hüperboolse kosekandiga.

Osade kaupa integreerimise valemid. Integratsioonireeglid.

Osade kaupa integreerimise valemid. Newtoni-Leibnizi valem Integratsioonireeglid.
Toote (funktsiooni) integreerimine konstandiga:
Funktsioonide summa integreerimine:
määramata integraalid:
Integreerimine osade valemiga kindlad integraalid:
Newtoni-Leibnizi valem kindlad integraalid:	Kus F(a), F(b) on antiderivaatide väärtused vastavalt punktides b ja a.

Tuletise tabel. Tabelituletised. Toote tuletis. Eraviisi tuletis. Kompleksfunktsiooni tuletis.

Kui x on sõltumatu muutuja, siis:

Tuletise tabel. Tabelituletised. "tabelituletis" - jah, kahjuks otsitakse neid Internetist nii
	Võimsusfunktsiooni tuletis
	Eksponent tuletis
Liiteksponentfunktsiooni tuletis	Eksponentfunktsiooni tuletis
Logaritmilise funktsiooni tuletis	Naturaallogaritmi tuletis
	Funktsiooni naturaallogaritmi tuletis
Siinuse tuletis	koosinustuletis
Koossekandi tuletis	Sekantne tuletis
Arsiini tuletis	Kaarkoosinuse tuletis
Arsiini tuletis	Kaarkoosinuse tuletis
Tangentne tuletis	Kotangentne tuletis
Kaartangensi tuletis	Pöördtangensi tuletis
Kaartangensi tuletis	Pöördtangensi tuletis
Arkekantne tuletis	Kaare kosekandi tuletis
Arkekantne tuletis	Kaare kosekandi tuletis
Hüperboolse siinuse tuletis Hüperboolse siinuse tuletis ingliskeelses versioonis	Hüperboolne koosinustuletis Hüperboolse koosinuse tuletis ingliskeelses versioonis
Hüperboolse puutuja tuletis	Hüperboolse kotangensi tuletis
Hüperboolse sekanti tuletis	Hüperboolse kosekandi tuletis

Eristamise reeglid. Toote tuletis. Eraviisi tuletis. Kompleksfunktsiooni tuletis.
Toote (funktsiooni) tuletis konstandi abil:
Summa tuletis (funktsioonid):
Toote (funktsioonide) tuletis:
Jagatise (funktsioonide) tuletis:
Kompleksfunktsiooni tuletis:

Logaritmide omadused. Logaritmide põhivalemid. Kümnend (lg) ja naturaallogaritmid (ln).

Põhiline logaritmiline identiteet
Näitame, kuidas saab mis tahes vormi a b funktsiooni muuta eksponentsiaalseks. Kuna funktsiooni kujul e x nimetatakse eksponentsiaalseks, siis
Mis tahes funktsiooni kujul a b võib esitada kümne astmena

Naturaallogaritm ln (logaritmi alus e = 2,718281828459045…) ln(e)=1; log(1)=0

Taylori sari. Funktsiooni laiendamine Taylori seerias.

Selgub, et enamik praktiliselt kokku puutunud matemaatilisi funktsioone saab esitada mis tahes täpsusega teatud punkti läheduses muutuja astmeid kasvavas järjekorras sisaldavate astmeridade kujul. Näiteks punkti x=1 läheduses:

Ridade kasutamisel kutsutakse taylor rows, segafunktsioone, mis sisaldavad näiteks algebralisi, trigonomeetrilisi ja eksponentsiaalfunktsioone, saab väljendada puhtalt algebraliste funktsioonidena. Seeriate abil saab sageli kiiresti läbi viia eristamise ja integreerimise.

Taylori seerial punkti a läheduses on järgmised vormid:

1) , kus f(x) on funktsioon, millel on x=a kõigi järkude tuletised. R n - Taylori seeria ülejäänud liige määratakse avaldise järgi

2)

rea k-s koefitsient (at x k) määratakse valemiga

3) Taylori seeria erijuhtum on Maclaurini seeria (=McLaren) (lagundamine toimub punkti a=0 ümber)

a = 0 jaoks

seeria liikmed määratakse valemiga

Taylori seeria rakendamise tingimused.

1. Funktsiooni f(x) laiendamiseks Taylori seerias intervallil (-R;R) on vajalik ja piisav, et Taylori valemis (Maclaurin (=McLaren)) jääv liige funktsioon kaldub määratud intervalli (-R;R) juures k →∞ nulli.

2. Selle funktsiooni jaoks peavad olema tuletised punktis, mille lähedusse me ehitame Taylori seeria.

Taylori seeria omadused.

Kui f on analüütiline funktsioon, koondub selle Taylori jada f domeeni mis tahes punktis a f-le mõnes a naabruses.

On lõpmatult diferentseeruvaid funktsioone, mille Taylori seeria koondub, kuid erineb funktsioonist a mis tahes naabruses. Näiteks:

Taylori seeriaid kasutatakse aproksimeerimiseks (aproksimatsioon on teaduslik meetod, mis seisneb mõne objekti asendamises teistega, mis on ühes või teises mõttes originaalile lähedased, kuid lihtsamad) funktsioonide polünoomide abil. Eelkõige lineariseerimine ((sõnast linearis - lineaarne), üks suletud mittelineaarsete süsteemide ligikaudse kujutamise meetodeid, milles mittelineaarse süsteemi uurimine asendatakse lineaarse süsteemi analüüsiga, mis on teatud mõttes samaväärne algse süsteemiga. .) võrrandite laiendamine Taylori seeriaks ja kõigi esimest järku ülaltoodud terminite lõikamine.

Seega saab peaaegu iga funktsiooni etteantud täpsusega esitada polünoomina.

Näited mõnedest levinud võimsusfunktsioonide laiendustest Maclaurini seerias (= McLaren, Taylor punkti 0 läheduses) ja Taylor punkti 1 läheduses. Taylori ja MacLareni seeria põhifunktsioonide laienduste esimesed terminid.

Näited mõnedest Maclaurini seeria võimsusfunktsioonide laiendustest (= MacLaren, Taylor punkti 0 läheduses)

Näited mõningatest tavalistest Taylori seeria laiendustest punkti 1 ümber

Otsene integreerimine antiderivaatide tabeli abil (määramata integraalide tabelid)

Antiderivaatide tabel

Antituletise leiame funktsiooni teadaoleva diferentsiaali järgi, kui kasutame määramatu integraali omadusi. Põhiliste elementaarfunktsioonide tabelist, kasutades võrrandeid ∫ d F (x) = ∫ F "(x) d x = ∫ f (x) d x = F (x) + C ja ∫ k f (x) d x = k ∫ f (x) d x saame teha antiderivaatide tabeli.

Tuletiste tabeli kirjutame diferentsiaalide kujul.

Konstant y = C C" = 0 Võimsusfunktsioon y = x p . (x p)" = p x p - 1	Konstant y = C d (C) = 0 dx Võimsusfunktsioon y = x p . d (x p) = p x p - 1 d x
(a x)" = a x ln a	Eksponentfunktsioon y = a x . d (a x) = a x ln α d x Täpsemalt, a = e korral on meil y = e x d (e x) = e x d x
log a x " = 1 x ln a	Logaritmfunktsioonid y = log a x . d (log a x) = d x x ln a Täpsemalt, kui a = e on meil y = ln x d (ln x) = d x x
trigonomeetrilised funktsioonid. sin x "= cos x (cos x)" = - sin x (t g x) "= 1 c o s 2 x (c t g x)" = - 1 sin 2 x	trigonomeetrilised funktsioonid. d sin x = cos x d x d (cos x) = - sin x d x d (t g x) = d x c o s 2 x d (c t g x) = - d x sin 2 x
a r c sin x " = 1 1 - x 2 a r c cos x " = - 1 1 - x 2 a r c t g x " = 1 1 + x 2 a r c c t g x " = - 1 1 + x 2	Trigonomeetrilised pöördfunktsioonid. d a r c sin x = d x 1 - x 2 d a r c cos x = - d x 1 - x 2 d a r c t g x = d x 1 + x 2 d a r c c t g x = - d x 1 + x 2

Illustreerime ülaltoodut näitega. Leidke astmefunktsiooni f (x) = x p määramatu integraal.

Diferentsiaalide tabeli järgi d (x p) = p x p - 1 d x. Määramatu integraali omaduste järgi saame ∫ d (x p) = ∫ p x p - 1 d x = p ∫ x p - 1 d x = x p + C . Seetõttu ∫ x p - 1 d x = x p p + C p , p ≠ 0. Teine tähistus on järgmine: ∫ x p d x = x p + 1 p + 1 + C p + 1 = x p + 1 p + 1 + C 1 , p ≠ - 1 .

Võtame selle võrdseks -1-ga, leiame astmefunktsiooni f (x) = x p antiderivaatide hulk: ∫ x p d x = ∫ x - 1 d x = ∫ d x x .

Nüüd vajame naturaallogaritmi d (ln x) = d x x, x > 0 diferentsiaalide tabelit, seega ∫ d (ln x) = ∫ d x x = ln x. Seetõttu ∫ d x x = ln x , x > 0 .

Antiderivaatide tabel (määramata integraalid)

Tabeli vasakpoolne veerg sisaldab valemeid, mida nimetatakse põhilisteks antiderivaatideks. Parempoolses veerus olevad valemid ei ole põhilised, kuid neid saab kasutada määramata integraalide leidmiseks. Neid saab kontrollida eristamise teel.

Otsene integratsioon

Otsese integreerimise teostamiseks kasutame antiderivaatide tabeleid, integreerimisreegleid ∫ f (k x + b) d x = 1 k F (k x + b) + C ja määramata integraalide omadusi ∫ k f (x) d x = k ∫ f (x) d x ∫ (f (x) ± g (x)) d x = ∫ f (x) d x ± ∫ g (x) d x

Põhiintegraalide tabelit ja integraalide omadusi saab kasutada alles pärast integrandi kerget teisendamist.

Näide 1

Leiame integraali ∫ 3 sin x 2 + cos x 2 2 d x

Otsus

Integraalimärgi alt võtame välja koefitsiendi 3:

∫ 3 sin x 2 + cos x 2 2 d x = 3 ∫ sin x 2 + cos x 2 2 d x

Kasutades trigonomeetria valemeid, teisendame integrandi:

3 ∫ sin x 2 + cos x 2 2 d x = 3 ∫ sin x 2 2 + 2 sin x 2 cos x 2 + cos x 2 2 d x = = 3 ∫ 1 + 2 sin x 2 cos x 2 d x = 3 ∫ 1 + sin x d x

Kuna summa integraal on võrdne integraalide summaga, siis
3 ∫ 1 + sin x d x = 3 ∫ 1 d x + ∫ sin x d x

Kasutame antiderivaatide tabelist saadud andmeid: 3 ∫ 1 d x + ∫ sin x d x \u003d 3 (1 x + C 1 - cos x + C 2) \u003d \u003d n u t 3 C 1 + C 2 \u003d C 3 x - 3 cos x + C

Vastus:∫ 3 sin x 2 + cos x 2 2 d x = 3 x - 3 cos x + C .

Näide 2

Vaja on leida funktsiooni f (x) = 2 3 4 x - 7 antiderivaatide hulk.

Otsus

Eksponentfunktsiooni jaoks kasutame antiderivatiivide tabelit: ∫ a x · d x = a x ln a + C . See tähendab, et ∫ 2 x · d x = 2 x ln 2 + C .

Kasutame integreerimisreeglit ∫ f (k x + b) d x = 1 k F (k x + b) + C .

Saame ∫ 2 3 4 x - 7 d x = 1 3 4 2 3 4 x - 7 ln 2 + C = 4 3 2 3 4 x - 7 ln 2 + C .

Vastus: f (x) = 2 3 4 x - 7 = 4 3 2 3 4 x - 7 ln 2 + C

Kasutades antiderivaatide, omaduste ja integratsioonireegli tabelit, võime leida palju ebamääraseid integraale. See on võimalik juhtudel, kui integrandi on võimalik teisendada.

Logaritmifunktsiooni integraali, puutuja- ja kotangensifunktsioonide ning paljude teiste leidmiseks kasutatakse spetsiaalseid meetodeid, mida käsitleme jaotises "Põhilised integreerimismeetodid".

Kui märkate tekstis viga, tõstke see esile ja vajutage Ctrl+Enter