Zbroj aritmetičke progresije.

Zbroj aritmetičke progresije je jednostavna stvar. I po značenju i po formuli. Ali ima svakakvih zadataka na ovu temu. Od elementarnog do sasvim solidnog.

Prvo, pozabavimo se značenjem i formulom zbroja. A onda ćemo odlučiti. Za vlastito zadovoljstvo.) Značenje zbroja jednostavno je poput mukanja. Da biste pronašli zbroj aritmetičke progresije, samo trebate pažljivo zbrojiti sve njezine članove. Ako je ovih izraza malo, možete dodati bez ikakvih formula. Ali ako ima puno, ili puno ... dodavanje je neugodno.) U ovom slučaju, formula štedi.

Formula zbroja je jednostavna:

Hajde da shvatimo koja su slova uključena u formulu. Ovo će mnogo toga razjasniti.

S n je zbroj aritmetičke progresije. Rezultat zbrajanja svičlanova, sa prvi na posljednji. To je važno. Zbrojite točno svičlanova u nizu, bez razmaka i skokova. I, upravo, počevši od prvi. U problemima poput pronalaženja zbroja trećeg i osmog člana ili zbroja članova od petog do dvadesetog, izravna primjena formule bit će razočaravajuća.)

a 1 - prvičlan progresije. Ovdje je sve jasno, jednostavno je prvi broj reda.

a n- posljednjičlan progresije. Zadnji broj reda. Naziv nije baš poznat, ali kad se primijeni na količinu, vrlo je prikladan. Onda ćete se sami uvjeriti.

n je broj posljednjeg člana. Važno je razumjeti da u formuli ovaj broj poklapa se s brojem dodanih članova.

Definirajmo pojam posljednjičlan a n. Ispunjavanje pitanja: kakav će član posljednji, ako je dano beskrajan aritmetička progresija?

Za siguran odgovor potrebno je razumjeti elementarno značenje aritmetičke progresije i ... pažljivo pročitati zadatak!)

U zadatku pronalaženja zbroja aritmetičke progresije uvijek se (izravno ili neizravno) pojavljuje zadnji član, koje treba ograničiti. Inače, konačan, određeni iznos jednostavno ne postoji. Za rješenje nije važno kakva je progresija dana: konačna ili beskonačna. Nije bitno kako je zadan: nizom brojeva, ili formulom n-tog člana.

Najvažnije je razumjeti da formula radi od prvog člana progresije do člana s brojem n. Zapravo, puni naziv formule izgleda ovako: zbroj prvih n članova aritmetičke progresije. Broj ovih prvih članova, t.j. n, određuje se isključivo zadatkom. U zadatku su sve te vrijedne informacije često šifrirane, da ... Ali ništa, u primjerima ispod otkrit ćemo te tajne.)

Primjeri zadataka za zbroj aritmetičke progresije.

primarno, korisna informacija:

Glavna poteškoća u zadacima za zbroj aritmetičke progresije je ispravno određivanje elemenata formule.

Autori zadataka šifriraju upravo te elemente bezgraničnom maštom.) Ovdje je glavna stvar ne bojati se. Razumijevajući suštinu elemenata, dovoljno ih je samo dešifrirati. Pogledajmo potanko nekoliko primjera. Počnimo sa zadatkom temeljenim na stvarnom GIA.

1. Aritmetička progresija zadan uvjetom: a n = 2n-3.5. Pronađite zbroj prvih 10 članova.

Dobar posao. Jednostavno.) Što trebamo znati da bismo odredili količinu prema formuli? Prvi član a 1, posljednji mandat a n, da broj zadnjeg roka n.

Gdje dobiti zadnji članski broj n? Da, tamo, u stanju! Piše nađi zbroj prvih 10 članova. Pa koji će to broj biti posljednji, deseti član?) Nećete vjerovati, njegov broj je deseti!) Stoga, umjesto a n zamijenit ćemo u formulu a 10, ali umjesto n- deset. Opet, broj posljednjeg člana jednak je broju članova.

Ostaje da se utvrdi a 1 i a 10. To se lako izračunava pomoću formule n-tog člana, koja je dana u tekstu problema. Ne znate kako to učiniti? Posjetite prethodnu lekciju, bez ove - ništa.

a 1= 2 1 - 3,5 = -1,5

a 10\u003d 2 10 - 3,5 \u003d 16,5

S n = S 10.

Saznali smo značenje svih elemenata formule za zbroj aritmetičke progresije. Ostaje ih zamijeniti i prebrojati:

To je sve. Odgovor: 75.

Još jedan zadatak temeljen na GIA. Malo kompliciranije:

2. Zadana je aritmetička progresija (a n), čija je razlika 3,7; a 1 \u003d 2.3. Pronađite zbroj prvih 15 članova.

Odmah napišemo formulu zbroja:

Ova formula nam omogućuje da pronađemo vrijednost bilo kojeg pojma prema njegovom broju. Tražimo jednostavnu zamjenu:

a 15 \u003d 2,3 + (15-1) 3,7 \u003d 54,1

Ostaje zamijeniti sve elemente u formuli za zbroj aritmetičke progresije i izračunati odgovor:

Odgovor: 423.

Usput, ako je u formuli zbroja umjesto a n samo zamijenimo formulu n-tog člana, dobivamo:

Dajemo slične, dobivamo novu formulu za zbroj članova aritmetičke progresije:

Kao što vidite, nema potrebe n-ti pojam a n. U nekim zadacima ova formula jako pomaže, da... Možete se sjetiti ove formule. I jednostavno ga možete povući u pravom trenutku, kao ovdje. Uostalom, formula za zbroj i formula za n-ti član moraju se zapamtiti na svaki način.)

Sada zadatak u obliku kratke enkripcije):

3. Odredi zbroj svih pozitivnih dvoznamenkastih brojeva koji su višekratnici tri.

Kako! Nema prvog člana, nema zadnjeg, nema progresije uopće... Kako živjeti!?

Morat ćete razmisliti svojom glavom i iz uvjeta izvući sve elemente zbroja aritmetičke progresije. Što su dvoznamenkasti brojevi - znamo. Sastoje se od dva broja.) Koji će dvoznamenkasti broj prvi? 10, vjerojatno.) zadnja stvar dvoznamenkasti broj? 99, naravno! Troznamenkaste će ga slijediti...

Višekratnici od tri... Hm... Ovo su brojevi koji su ravnomjerno djeljivi s tri, evo! Deset nije djeljivo s tri, 11 nije djeljivo... 12... je djeljivo! Dakle, nešto se pojavljuje. Već možete napisati niz prema uvjetu problema:

12, 15, 18, 21, ... 96, 99.

Hoće li ovaj niz biti aritmetička progresija? Naravno! Svaki pojam razlikuje se od prethodnog striktno za tri. Ako se izrazu doda 2, ili 4, recimo rezultat, tj. novi broj se više neće dijeliti s 3. Možete odmah odrediti razliku aritmetičke progresije do gomile: d = 3. Koristan!)

Dakle, možemo sa sigurnošću zapisati neke parametre progresije:

Koji će biti broj n zadnji član? Tko misli da je 99, kobno se vara... Brojevi - uvijek idu u nizu, a naši članovi preskaču prva tri. Ne poklapaju se.

Ovdje postoje dva rješenja. Jedan način je za super marljive. Možete slikati progresiju, cijeli niz brojeva i brojati članove prstom.) Drugi način je za promišljene. Morate zapamtiti formulu za n-ti član. Ako se formula primijeni na naš problem, dobivamo da je 99 trideseti član progresije. Oni. n = 30.

Gledamo formulu za zbroj aritmetičke progresije:

Gledamo i radujemo se.) Iz uvjeta zadatka izvukli smo sve što je potrebno za izračunavanje iznosa:

a 1= 12.

a 30= 99.

S n = S 30.

Ono što ostaje je elementarna aritmetika. Zamijenite brojeve u formuli i izračunajte:

Odgovor: 1665

Još jedna vrsta popularnih zagonetki:

4. Dana je aritmetička progresija:

-21,5; -20; -18,5; -17; ...

Nađi zbroj članova od dvadesetog do trideset četvrtog.

Gledamo formulu zbroja i ... uzrujani smo.) Formula, da vas podsjetim, izračunava zbroj iz prvečlan. A u zadatku treba izračunati zbroj od dvadesetog... Formula neće raditi.

Možete, naravno, slikati cijelu progresiju u nizu i staviti članove od 20 do 34. Ali ... nekako ispada glupo i dugo, zar ne?)

Postoji elegantnije rješenje. Podijelimo našu seriju na dva dijela. Prvi dio će od prvog mandata do devetnaestog. Drugi dio - dvadeset do trideset četiri. Jasno je da ako izračunamo zbroj članova prvog dijela S 1-19, dodajmo ga zbroju članova drugog dijela S 20-34, dobivamo zbroj progresije od prvog člana do trideset četvrtog S 1-34. Kao ovo:

S 1-19 + S 20-34 = S 1-34

Ovo pokazuje da pronaći zbroj S 20-34 može se izvršiti jednostavnim oduzimanjem

S 20-34 = S 1-34 - S 1-19

Razmatraju se oba zbroja na desnoj strani iz prvečlan, tj. standardna formula zbroja sasvim je primjenjiva na njih. Počinjemo li?

Ekstrahiramo parametre napredovanja iz uvjeta zadatka:

d = 1,5.

a 1= -21,5.

Da bismo izračunali zbrojeve prvih 19 i prva 34 člana, trebat će nam 19. i 34. član. Brojimo ih prema formuli n-tog člana, kao u zadatku 2:

a 19\u003d -21,5 + (19-1) 1,5 \u003d 5,5

a 34\u003d -21,5 + (34-1) 1,5 \u003d 28

Nema više ničega. Od zbroja 34 člana oduzmite zbroj 19 članova:

S 20-34 = S 1-34 - S 1-19 = 110,5 - (-152) = 262,5

Odgovor: 262,5

Jedna važna napomena! Postoji vrlo korisna značajka u rješavanju ovog problema. Umjesto izravnog obračuna što ti treba (S 20-34), brojali smo ono što, čini se, nije potrebno - S 1-19. I onda su odredili S 20-34, odbacujući nepotrebno iz punog rezultata. Takva "finta s ušima" često spašava u zlim zagonetkama.)

U ovoj lekciji ispitivali smo probleme za koje je dovoljno razumjeti značenje zbroja aritmetičke progresije. Pa, morate znati nekoliko formula.)

praktične savjete:

Prilikom rješavanja bilo kojeg problema za zbroj aritmetičke progresije, preporučujem da odmah napišete dvije glavne formule iz ove teme.

Formula n-tog člana:

Ove formule će vam odmah reći što trebate tražiti, u kojem smjeru razmišljati kako biste riješili problem. Pomaže.

A sada zadaci za samostalno rješavanje.

5. Odredi zbroj svih dvoznamenkastih brojeva koji nisu djeljivi s tri.

Cool?) Savjet je skriven u bilješci za problem 4. Pa, problem 3 će pomoći.

6. Aritmetička progresija dana je uvjetom: a 1 =-5,5; a n+1 = a n +0,5. Nađi zbroj prva 24 člana.

Neobično?) Ovo je formula koja se ponavlja. O tome možete pročitati u prethodnoj lekciji. Nemojte zanemariti vezu, takve se zagonetke često nalaze u GIA.

7. Vasya je uštedio novac za odmor. Čak 4550 rubalja! I odlučio sam najdražoj osobi (sebi) pokloniti nekoliko dana sreće). Živite lijepo ne uskraćujući sebi ništa. Potrošite 500 rubalja prvog dana, a svaki sljedeći dan potrošite 50 rubalja više nego prethodnog! Dok ne ponestane novca. Koliko je dana sreće imao Vasya?

Je li teško?) Pomoći će dodatna formula iz 2. zadatka.

Odgovori (u neredu): 7, 3240, 6.

Ako vam se sviđa ova stranica...

Usput, imam još nekoliko zanimljivih stranica za vas.)

Možete vježbati rješavanje primjera i saznati svoju razinu. Testiranje uz trenutnu provjeru. Učenje - sa zanimanjem!)

možete se upoznati s funkcijama i derivacijama.

Prilikom proučavanja algebre u općeobrazovna škola(9. razred) Jedna od važnih tema je proučavanje numeričkih nizova, koji uključuju progresije - geometrijske i aritmetičke. U ovom ćemo članku razmotriti aritmetičku progresiju i primjere s rješenjima.

Što je aritmetička progresija?

Da bismo to razumjeli, potrebno je dati definiciju progresije koja se razmatra, kao i dati osnovne formule koje će se dalje koristiti u rješavanju problema.

Poznato je da je u nekoj algebarskoj progresiji 1. član jednak 6, a 7. član jednak 18. Potrebno je pronaći razliku i taj niz vratiti na 7. član.

Upotrijebimo formulu za određivanje nepoznatog člana: a n = (n - 1) * d + a 1 . U njega zamijenimo poznate podatke iz uvjeta, odnosno brojeve a 1 i a 7, imamo: 18 \u003d 6 + 6 * d. Iz ovog izraza lako možete izračunati razliku: d = (18 - 6) / 6 = 2. Time je prvi dio zadatka riješen.

Da biste vratili niz na 7. člana, trebali biste koristiti definiciju algebarske progresije, to jest, a 2 \u003d a 1 + d, a 3 \u003d a 2 + d, i tako dalje. Kao rezultat, vraćamo cijeli niz: a 1 = 6, a 2 = 6 + 2=8, a 3 = 8 + 2 = 10, a 4 = 10 + 2 = 12, a 5 = 12 + 2 = 14 , a 6 = 14 + 2 = 16 i 7 = 18.

Primjer #3: napredovanje

Zakomplicirajmo stanje problema još više. Sada morate odgovoriti na pitanje kako pronaći aritmetičku progresiju. Može se navesti sljedeći primjer: dana su dva broja, npr. 4 i 5. Potrebno je napraviti algebarsku progresiju tako da se između njih stave još tri člana.

Prije nego što počnete rješavati ovaj problem, potrebno je razumjeti koje će mjesto dati brojevi zauzeti u budućoj progresiji. Budući da će između njih biti još tri člana, zatim 1 \u003d -4 i 5 \u003d 5. Nakon što smo to utvrdili, prelazimo na zadatak koji je sličan prethodnom. Opet, za n-ti izraz koristimo formulu, dobivamo: a 5 \u003d a 1 + 4 * d. Od: d \u003d (a 5 - a 1) / 4 \u003d (5 - (-4)) / 4 \u003d 2,25. Ovdje razlika nije cjelobrojna vrijednost, već je to racionalan broj, tako da formule za algebarsku progresiju ostaju iste.

Dodajmo sada pronađenu razliku 1 i vratimo nedostajuće članove progresije. Dobivamo: a 1 = - 4, a 2 = - 4 + 2,25 = - 1,75, a 3 = -1,75 + 2,25 = 0,5, a 4 = 0,5 + 2,25 = 2,75, a 5 \u003d 2,75 + 2,25 \u003d 5, koji se poklapao s uvjetom problema.

Primjer #4: Prvi član progresije

Nastavljamo davati primjere aritmetičke progresije s rješenjem. U svim prethodnim zadacima bio je poznat prvi broj algebarske progresije. Sada razmotrite problem drugačijeg tipa: neka su dana dva broja, gdje je 15 = 50 i 43 = 37. Potrebno je pronaći od kojeg broja počinje ovaj niz.

Formule koje su do sada korištene pretpostavljaju poznavanje a 1 i d. Ništa se ne zna o ovim brojevima u uvjetu zadatka. Ipak, ispišimo izraze za svaki član o kojem imamo podatke: a 15 = a 1 + 14 * d i a 43 = a 1 + 42 * d. Dobili smo dvije jednadžbe u kojima su 2 nepoznate veličine (a 1 i d). To znači da se problem svodi na rješavanje sustava linearnih jednadžbi.

Navedeni sustav je najlakše riješiti ako u svakoj jednadžbi izrazite 1, a zatim usporedite dobivene izraze. Prva jednadžba: a 1 = a 15 - 14 * d = 50 - 14 * d; druga jednadžba: a 1 \u003d a 43 - 42 * d \u003d 37 - 42 * d. Izjednačavanjem ovih izraza dobivamo: 50 - 14 * d = 37 - 42 * d, odakle je razlika d = (37 - 50) / (42 - 14) = - 0,464 (navedene su samo 3 decimale).

Znajući d, možete koristiti bilo koji od 2 gornja izraza za 1. Na primjer, prvo: a 1 \u003d 50 - 14 * d \u003d 50 - 14 * (- 0,464) \u003d 56,496.

Ako postoje dvojbe oko rezultata, možete ga provjeriti, npr. odrediti 43. član progresije koji je naveden u uvjetu. Dobivamo: a 43 \u003d a 1 + 42 * d \u003d 56,496 + 42 * (- 0,464) \u003d 37,008. Mala pogreška je zbog činjenice da je u izračunima korišteno zaokruživanje na tisućinke.

Primjer #5: Zbroj

Sada pogledajmo neke primjere s rješenjima za zbroj aritmetičke progresije.

Neka je zadana numerička progresija sljedećeg oblika: 1, 2, 3, 4, ...,. Kako izračunati zbroj 100 ovih brojeva?

Zahvaljujući razvoju računalne tehnologije ovaj se problem može riješiti, odnosno redom zbrajati sve brojeve, što će računalo učiniti odmah, čim osoba pritisne tipku Enter. Međutim, problem se može riješiti mentalno ako obratite pozornost da je prikazani niz brojeva algebarska progresija, a njegova razlika je 1. Primjenom formule za zbroj dobivamo: S n = n * (a 1 + a n) / 2 = 100 * (1 + 100) / 2 = 5050.

Zanimljivo je primijetiti da se ovaj problem naziva "Gaussov" jer u početkom XVIII stoljeća, slavni Nijemac, još sa samo 10 godina, uspio ju je riješiti u mislima u nekoliko sekundi. Dječak nije znao formulu za zbroj algebarske progresije, ali je primijetio da ako zbrojite parove brojeva koji se nalaze na rubovima niza, uvijek ćete dobiti isti rezultat, odnosno 1 + 100 = 2 + 99. = 3 + 98 = ..., a budući da će ti zbrojevi biti točno 50 (100 / 2), onda je za točan odgovor dovoljno pomnožiti 50 sa 101.

Primjer #6: zbroj članova od n do m

Još jedan tipičan primjer zbroja aritmetičke progresije je sljedeći: zadan je niz brojeva: 3, 7, 11, 15, ..., trebate pronaći koliki će biti zbroj njegovih članova od 8 do 14.

Problem se rješava na dva načina. Prvi od njih uključuje pronalaženje nepoznatih pojmova od 8 do 14, a zatim njihovo uzastopno zbrajanje. Budući da ima malo pojmova, ova metoda nije dovoljno naporna. Ipak, predlaže se riješiti ovaj problem drugom metodom, koja je univerzalnija.

Ideja je dobiti formulu za zbroj algebarske progresije između članova m i n, gdje su n > m cijeli brojevi. Napišimo dva izraza za zbroj za oba slučaja:

1. S m \u003d m * (a m + a 1) / 2.
2. S n \u003d n * (a n + a 1) / 2.

Budući da je n > m, očito je da zbroj 2 uključuje prvi. Posljednji zaključak znači da ako uzmemo razliku između tih zbrojeva, i dodamo joj član a m (u slučaju uzimanja razlike, ona se oduzima od zbroja S n), tada dobivamo potreban odgovor na zadatak. Imamo: S mn \u003d S n - S m + a m \u003d n * (a 1 + a n) / 2 - m * (a 1 + a m) / 2 + a m \u003d a 1 * (n - m) / 2 + a n * n / 2 + a m * (1- m / 2). U ovaj izraz potrebno je zamijeniti formule za n i a m. Tada dobivamo: S mn = a 1 * (n - m) / 2 + n * (a 1 + (n - 1) * d) / 2 + (a 1 + (m - 1) * d) * (1 - m / 2) = a 1 * (n - m + 1) + d * n * (n - 1) / 2 + d * (3 * m - m 2 - 2) / 2.

Dobivena formula je donekle glomazna, međutim zbroj S mn ovisi samo o n, m, a 1 i d. U našem slučaju a 1 = 3, d = 4, n = 14, m = 8. Zamjenom ovih brojeva dobivamo: S mn = 301.

Kao što je vidljivo iz gornjih rješenja, svi zadaci temelje se na poznavanju izraza za n-ti član i formule za zbroj skupa prvih članova. Prije nego počnete rješavati bilo koji od ovih problema, preporuča se pažljivo pročitati uvjet, jasno razumjeti što želite pronaći i tek onda nastaviti s rješavanjem.

Još jedan savjet je da težite jednostavnosti, odnosno ako možete odgovoriti na pitanje bez korištenja složenih matematičkih izračuna, onda trebate učiniti upravo to, jer je u tom slučaju vjerojatnost pogreške manja. Na primjer, u primjeru aritmetičke progresije s rješenjem br. 6 moglo bi se zaustaviti na formuli S mn = n * (a 1 + a n) / 2 - m * (a 1 + a m) / 2 + a m, i razdvojite opći zadatak na zasebne podzadatke (u ovom slučaju prvo pronađite pojmove a n i a m).

Ako postoje sumnje u dobiveni rezultat, preporuča se provjeriti ga, kao što je učinjeno u nekim od navedenih primjera. Kako pronaći aritmetičku progresiju, saznali smo. Nakon što to shvatite, nije tako teško.

Ako svaki prirodni broj n odgovara realnom broju a n , onda kažu da dano niz brojeva :

a 1 , a 2 , a 3 , . . . , a n , . . . .

Dakle, numerički niz je funkcija prirodnog argumenta.

Broj a 1 nazvao prvi član niza , broj a 2 — drugi član niza , broj a 3 — treći i tako dalje. Broj a n nazvao n-ti član sekvence , i prirodni broj n — njegov broj .

Od dva susjedna člana a n i a n +1 nizovi članova a n +1 nazvao naknadni (prema a n ), a a n — prethodni (prema a n +1 ).

Da biste odredili slijed, morate navesti metodu koja vam omogućuje pronalazak člana niza s bilo kojim brojem.

Često se niz daje uz n-ti član formule , odnosno formula koja omogućuje određivanje člana niza po njegovom broju.

Na primjer,

niz pozitivnih neparnih brojeva može se dati formulom

a n= 2n- 1,

i slijed izmjeničnog 1 i -1 - formula

b n = (-1)n +1 . ◄

Redoslijed se može odrediti rekurentna formula, odnosno formula koja izražava bilo koji član niza, počevši od nekih, preko prethodnih (jednog ili više) članova.

Na primjer,

ako a 1 = 1 , a a n +1 = a n + 5

a 1 = 1,

a 2 = a 1 + 5 = 1 + 5 = 6,

a 3 = a 2 + 5 = 6 + 5 = 11,

a 4 = a 3 + 5 = 11 + 5 = 16,

a 5 = a 4 + 5 = 16 + 5 = 21.

Ako a a 1= 1, a 2 = 1, a n +2 = a n + a n +1 , tada je prvih sedam članova numeričkog niza postavljeno na sljedeći način:

a 1 = 1,

a 2 = 1,

a 3 = a 1 + a 2 = 1 + 1 = 2,

a 4 = a 2 + a 3 = 1 + 2 = 3,

a 5 = a 3 + a 4 = 2 + 3 = 5,

a 6 = a 4 + a 5 = 3 + 5 = 8,

a 7 = a 5 + a 6 = 5 + 8 = 13. ◄

Nizovi se mogu konačni i beskrajan .

Niz se zove ultimativno ako ima konačan broj članova. Niz se zove beskrajan ako ima beskonačno mnogo članova.

Na primjer,

niz dvoznamenkastih prirodnih brojeva:

10, 11, 12, 13, . . . , 98, 99

konačni.

Niz prostih brojeva:

2, 3, 5, 7, 11, 13, . . .

beskrajan. ◄

Niz se zove povećavajući se , ako je svaki njegov član, počevši od drugog, veći od prethodnog.

Niz se zove opadajući , ako je svaki njegov član, počevši od drugog, manji od prethodnog.

Na primjer,

2, 4, 6, 8, . . . , 2n, . . . je uzlazni niz;

1, 1 / 2 , 1 / 3 , 1 / 4 , . . . , 1 /n, . . . je silazni niz. ◄

Niz čiji se elementi ne smanjuju s povećanjem broja ili, obrnuto, ne povećavaju, naziva se monoton niz .

Konkretno, monotoni nizovi su rastući i opadajući nizovi.

Aritmetička progresija

Aritmetička progresija naziva se niz čiji je svaki član, počevši od drugog, jednak prethodnom kojemu se dodaje isti broj.

a 1 , a 2 , a 3 , . . . , a n, . . .

je aritmetička progresija ako za bilo koji prirodni broj n uvjet je ispunjen:

a n +1 = a n + d,

gdje d - neki broj.

Stoga je razlika između sljedećeg i prethodnog člana dane aritmetičke progresije uvijek konstantna:

a 2 - a 1 = a 3 - a 2 = . . . = a n +1 - a n = d.

Broj d nazvao razlika aritmetičke progresije.

Za postavljanje aritmetičke progresije dovoljno je navesti njen prvi član i razliku.

Na primjer,

ako a 1 = 3, d = 4 , tada se prvih pet članova niza nalazi na sljedeći način:

a 1 =3,

a 2 = a 1 + d = 3 + 4 = 7,

a 3 = a 2 + d= 7 + 4 = 11,

a 4 = a 3 + d= 11 + 4 = 15,

a 5 = a 4 + d= 15 + 4 = 19. ◄

Za aritmetičku progresiju s prvim članom a 1 i razlika d nju n

a n = a 1 + (n- 1)d.

Na primjer,

pronaći trideseti član aritmetičke progresije

1, 4, 7, 10, . . .

a 1 =1, d = 3,

a 30 = a 1 + (30 - 1)d= 1 + 29· 3 = 88. ◄

n-1 = a 1 + (n- 2)d,

a n= a 1 + (n- 1)d,

a n +1 = a 1 + nd,

onda očito

a n=	a n-1 + a n+1
	2

svaki član aritmetičke progresije, počevši od drugog, jednak je aritmetičkoj sredini prethodnog i sljedećeg člana.

brojevi a, b i c su uzastopni članovi neke aritmetičke progresije ako i samo ako je jedan od njih jednak aritmetičkoj sredini druga dva.

Na primjer,

a n = 2n- 7 , je aritmetička progresija.

Iskoristimo gornju izjavu. Imamo:

a n = 2n- 7,

n-1 = 2(n- 1) - 7 = 2n- 9,

a n+1 = 2(n+ 1) - 7 = 2n- 5.

Posljedično,

a n+1 + a n-1	=	2n- 5 + 2n- 9	= 2n- 7 = a n,
2		2

◄

Imajte na umu da n -ti član aritmetičke progresije može se pronaći ne samo kroz a 1 , ali i svaki prethodni a k

a n = a k + (n- k)d.

Na primjer,

za a 5 može se napisati

a 5 = a 1 + 4d,

a 5 = a 2 + 3d,

a 5 = a 3 + 2d,

a 5 = a 4 + d. ◄

a n = a n-k + kd,

a n = a n+k - kd,

onda očito

a n=	a n-k + a n+k
	2

bilo koji član aritmetičke progresije, počevši od drugog, jednak je polovici zbroja članova te aritmetičke progresije koji su jednako udaljeni od njega.

Osim toga, za bilo koju aritmetičku progresiju vrijedi jednakost:

a m + a n = a k + a l,

m + n = k + l.

Na primjer,

u aritmetičkoj progresiji

1) a 10 = 28 = (25 + 31)/2 = (a 9 + a 11 )/2;

2) 28 = a 10 = a 3 + 7d= 7 + 7 3 = 7 + 21 = 28;

3) a 10= 28 = (19 + 37)/2 = (a 7 + a 13)/2;

4) a 2 + a 12 = a 5 + a 9, jer

a 2 + a 12= 4 + 34 = 38,

a 5 + a 9 = 13 + 25 = 38. ◄

S n= a 1 + a 2 + a 3 + . . .+ a n,

prvi n članova aritmetičke progresije jednak je umnošku polovine zbroja ekstremnih članova s ​​brojem članova:

Iz ovoga osobito proizlazi da ako je potrebno zbrajati pojmove

a k, a k +1 , . . . , a n,

tada prethodna formula zadržava svoju strukturu:

Na primjer,

u aritmetičkoj progresiji 1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31, 34, 37, . . .

S 10 = 1 + 4 + . . . + 28 = (1 + 28) · 10/2 = 145;

10 + 13 + 16 + 19 + 22 + 25 + 28 = S 10 - S 3 = (10 + 28 ) · (10 - 4 + 1)/2 = 133. ◄

Ako je dana aritmetička progresija, onda količine a 1 , a n, d, n iS n povezuju dvije formule:

Stoga, ako su dane vrijednosti tri od ovih veličina, tada se odgovarajuće vrijednosti druge dvije veličine određuju iz ovih formula spojenih u sustav dviju jednadžbi s dvije nepoznanice.

Aritmetička progresija je monoton niz. pri čemu:

• ako d > 0 , tada se povećava;
• ako d < 0 , tada se smanjuje;
• ako d = 0 , tada će niz biti stacionaran.

Geometrijska progresija

geometrijska progresija naziva se niz čiji je svaki član, počevši od drugog, jednak prethodnom, pomnoženom s istim brojem.

b 1 , b 2 , b 3 , . . . , b n, . . .

je geometrijska progresija ako za bilo koji prirodni broj n uvjet je ispunjen:

b n +1 = b n · q,

gdje q ≠ 0 - neki broj.

Dakle, omjer sljedećeg člana ove geometrijske progresije prema prethodnom je konstantan broj:

b 2 / b 1 = b 3 / b 2 = . . . = b n +1 / b n = q.

Broj q nazvao nazivnik geometrijske progresije.

Za postavljanje geometrijske progresije dovoljno je odrediti njen prvi član i nazivnik.

Na primjer,

ako b 1 = 1, q = -3 , tada se prvih pet članova niza nalazi na sljedeći način:

b 1 = 1,

b 2 = b 1 · q = 1 · (-3) = -3,

b 3 = b 2 · q= -3 · (-3) = 9,

b 4 = b 3 · q= 9 · (-3) = -27,

b 5 = b 4 · q= -27 · (-3) = 81. ◄

b 1 i nazivnik q nju n -ti član se može pronaći formulom:

b n = b 1 · qn -1 .

Na primjer,

pronaći sedmi član geometrijske progresije 1, 2, 4, . . .

b 1 = 1, q = 2,

b 7 = b 1 · q 6 = 1 2 6 = 64. ◄

bn-1 = b 1 · qn -2 ,

b n = b 1 · qn -1 ,

b n +1 = b 1 · qn,

onda očito

b n 2 = b n -1 · b n +1 ,

svaki član geometrijske progresije, počevši od drugog, jednak je geometrijskoj sredini (proporcionalnoj) prethodnog i sljedećeg člana.

Budući da vrijedi i obrnuto, vrijedi sljedeća tvrdnja:

brojevi a, b i c su uzastopni članovi neke geometrijske progresije ako i samo ako je kvadrat jednog od njih jednak umnošku druga dva, odnosno, jedan od brojeva je geometrijska sredina druga dva.

Na primjer,

dokažimo da niz zadan formulom b n= -3 2 n , je geometrijska progresija. Iskoristimo gornju izjavu. Imamo:

b n= -3 2 n,

b n -1 = -3 2 n -1 ,

b n +1 = -3 2 n +1 .

Posljedično,

b n 2 = (-3 2 n) 2 = (-3 2 n -1 ) (-3 2 n +1 ) = b n -1 · b n +1 ,

što dokazuje traženu tvrdnju. ◄

Imajte na umu da n th član geometrijske progresije može se naći ne samo kroz b 1 , ali i svaki prethodni mandat b k , za što je dovoljno koristiti formulu

b n = b k · qn - k.

Na primjer,

za b 5 može se napisati

b 5 = b 1 · q 4 ,

b 5 = b 2 · q 3,

b 5 = b 3 · q2,

b 5 = b 4 · q. ◄

b n = b k · qn - k,

b n = b n - k · q k,

onda očito

b n 2 = b n - k· b n + k

kvadrat bilo kojeg člana geometrijske progresije, počevši od drugog, jednak je umnošku članova te progresije jednako udaljenih od njega.

Osim toga, za bilo koju geometrijsku progresiju vrijedi jednakost:

b m· b n= b k· b l,

m+ n= k+ l.

Na primjer,

eksponencijalno

1) b 6 2 = 32 2 = 1024 = 16 · 64 = b 5 · b 7 ;

2) 1024 = b 11 = b 6 · q 5 = 32 · 2 5 = 1024;

3) b 6 2 = 32 2 = 1024 = 8 · 128 = b 4 · b 8 ;

4) b 2 · b 7 = b 4 · b 5 , jer

b 2 · b 7 = 2 · 64 = 128,

b 4 · b 5 = 8 · 16 = 128. ◄

S n= b 1 + b 2 + b 3 + . . . + b n

prvi n članovi geometrijske progresije s nazivnikom q ≠ 0 izračunava se po formuli:

I kada q = 1 - prema formuli

S n= n.b. 1

Imajte na umu da ako trebamo zbrojiti pojmove

b k, b k +1 , . . . , b n,

tada se koristi formula:

S n- S k -1 = b k + b k +1 + . . . + b n = b k ·	1 - qn - k +1	.
	1 - q

Na primjer,

eksponencijalno 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, . . .

S 10 = 1 + 2 + . . . + 512 = 1 · (1 - 2 10) / (1 - 2) = 1023;

64 + 128 + 256 + 512 = S 10 - S 6 = 64 · (1 - 2 10-7+1) / (1 - 2) = 960. ◄

Ako je dana geometrijska progresija, onda količine b 1 , b n, q, n i S n povezuju dvije formule:

Stoga, ako su dane vrijednosti bilo koje tri od ovih veličina, tada se odgovarajuće vrijednosti druge dvije veličine određuju iz ovih formula spojenih u sustav dviju jednadžbi s dvije nepoznanice.

Za geometrijsku progresiju s prvim članom b 1 i nazivnik q dogodi sljedeće svojstva monotonosti :

• progresija se povećava ako je ispunjen jedan od sljedećih uvjeta:

b 1 > 0 i q> 1;

b 1 < 0 i 0 < q< 1;

• Progresija se smanjuje ako je ispunjen jedan od sljedećih uvjeta:

b 1 > 0 i 0 < q< 1;

b 1 < 0 i q> 1.

Ako a q< 0 , tada je geometrijska progresija predznakoizmjenična: njezini neparni članovi imaju isti predznak kao prvi član, a parni članovi imaju suprotan predznak. Jasno je da izmjenična geometrijska progresija nije monotona.

Proizvod prvog n članovi geometrijske progresije mogu se izračunati po formuli:

P n= b 1 · b 2 · b 3 · . . . · b n = (b 1 · b n) n / 2 .

Na primjer,

1 · 2 · 4 · 8 · 16 · 32 · 64 · 128 = (1 · 128) 8/2 = 128 4 = 268 435 456;

3 · 6 · 12 · 24 · 48 = (3 · 48) 5/2 = (144 1/2) 5 = 12 5 = 248 832.◄

Beskonačno padajuća geometrijska progresija

Beskonačno padajuća geometrijska progresija naziva se beskonačna geometrijska progresija čiji je modul nazivnika manji od 1 , to je

|q| < 1 .

Imajte na umu da beskonačno padajuća geometrijska progresija ne mora biti padajući niz. Ovo odgovara slučaju

1 < q< 0 .

S takvim nazivnikom niz je predznakoizmjeničan. Na primjer,

1, - 1 / 2 , 1 / 4 , - 1 / 8 , . . . .

Zbroj beskonačno opadajuće geometrijske progresije imenovati broj kojem je zbroj prvog n uvjetima progresije s neograničenim povećanjem broja n . Taj je broj uvijek konačan i izražava se formulom

S= b 1 + b 2 + b 3 + . . . =	b 1	.
	1 - q

Na primjer,

10 + 1 + 0,1 + 0,01 + . . . = 10 / (1 - 0,1) = 11 1 / 9 ,

10 - 1 + 0,1 - 0,01 + . . . = 10 / (1 + 0,1) = 9 1 / 11 . ◄

Odnos aritmetičke i geometrijske progresije

Aritmetička i geometrijska progresija su usko povezane. Razmotrimo samo dva primjera.

a 1 , a 2 , a 3 , . . . d , onda

b a 1 , b a 2 , b a 3 , . . . b d .

Na primjer,

1, 3, 5, . . . — aritmetička progresija s razlikom 2 i

7 1 , 7 3 , 7 5 , . . . je geometrijska progresija s nazivnikom 7 2 . ◄

b 1 , b 2 , b 3 , . . . je geometrijska progresija s nazivnikom q , onda

log a b 1, log a b 2, log a b 3, . . . — aritmetička progresija s razlikom log aq .

Na primjer,

2, 12, 72, . . . je geometrijska progresija s nazivnikom 6 i

lg 2, lg 12, lg 72, . . . — aritmetička progresija s razlikom lg 6 . ◄

Prva razina

Aritmetička progresija. Detaljna teorija s primjerima (2019.)

Numerički niz

Dakle, sjednimo i počnimo pisati neke brojeve. Na primjer:
Možete pisati bilo koje brojeve, a može ih biti koliko god želite (u našem slučaju njih). Koliko god brojeva napisali, uvijek možemo reći koji je od njih prvi, koji drugi i tako do posljednjeg, odnosno možemo ih numerirati. Ovo je primjer niza brojeva:

Numerički niz
Na primjer, za naš niz:

Dodijeljeni broj specifičan je samo za jedan redni broj. Drugim riječima, u nizu nema tri druga broja. Drugi broj (kao i -ti broj) uvijek je isti.
Broj s brojem naziva se -ti član niza.

Cijeli niz obično nazivamo nekim slovom (na primjer,), a svaki član ovog niza - istim slovom s indeksom jednakim broju ovog člana: .

U našem slučaju:

Recimo da imamo numerički niz u kojem je razlika između susjednih brojeva ista i jednaka.
Na primjer:

itd.
Takav numerički niz naziva se aritmetička progresija.
Pojam "progresija" uveo je rimski autor Boetije još u 6. stoljeću i shvaćao ga je u širem smislu kao beskonačni numerički niz. Naziv "aritmetika" prenesen je iz teorije kontinuiranih proporcija, kojom su se bavili stari Grci.

Ovo je numerički niz, čiji je svaki član jednak prethodnom, zbrojen s istim brojem. Taj se broj naziva razlika aritmetičke progresije i označava.

Pokušajte odrediti koji nizovi brojeva su aritmetička progresija, a koji nisu:

a)
b)
c)
d)

kužiš Usporedite naše odgovore:
Je aritmetička progresija - b, c.
Nije aritmetička progresija - a, d.

Vratimo se na zadanu progresiju () i pokušajmo pronaći vrijednost njenog th člana. postoji dva način da ga nađete.

1. Metoda

Prethodnoj vrijednosti broja progresije možemo dodavati dok ne dođemo do th člana progresije. Dobro je što nemamo puno za rezimirati - samo tri vrijednosti:

Dakle, -ti član opisane aritmetičke progresije jednak je.

2. Metoda

Što ako trebamo pronaći vrijednost th člana progresije? Zbrajanje bi nam oduzelo više od jednog sata, a nije činjenica da ne bismo pogriješili prilikom zbrajanja brojeva.
Naravno, matematičari su smislili način na koji prethodnoj vrijednosti ne morate dodavati razliku aritmetičke progresije. Pažljivo pogledajte nacrtanu sliku ... Sigurno ste već primijetili određeni obrazac, naime:

Na primjer, pogledajmo što čini vrijednost -tog člana ove aritmetičke progresije:


Drugim riječima:

Pokušajte na taj način samostalno pronaći vrijednost člana ove aritmetičke progresije.

Izračunati? Usporedite svoje unose s odgovorom:

Obratite pažnju da ste dobili potpuno isti broj kao u prethodnoj metodi, kada smo prethodnoj vrijednosti sukcesivno dodavali članove aritmetičke progresije.
Pokušajmo ovu formulu "depersonalizirati" - unesimo je opći oblik i dobiti:

Jednadžba aritmetičke progresije.

Aritmetičke progresije rastu ili opadaju.

Povećavajući se- progresije u kojima je svaka sljedeća vrijednost članova veća od prethodne.
Na primjer:

Silazni- progresije u kojima je svaka sljedeća vrijednost članova manja od prethodne.
Na primjer:

Izvedena formula koristi se u izračunu članova u rastućim i opadajućim članovima aritmetičke progresije.
Provjerimo to u praksi.
Dana nam je aritmetička progresija koja se sastoji od sljedećih brojeva:

Od tad:

Stoga smo se uvjerili da formula djeluje i u opadajućoj i u rastućoj aritmetičkoj progresiji.
Pokušajte sami pronaći -ti i -ti član ove aritmetičke progresije.

Usporedimo rezultate:

Svojstvo aritmetičke progresije

Zakomplicirajmo zadatak - izvodimo svojstvo aritmetičke progresije.
Pretpostavimo da nam je dan sljedeći uvjet:
- aritmetička progresija, pronađite vrijednost.
Lako je, kažete, i počnete brojati po formuli koju već znate:

Neka, a, tada:

Apsolutno u pravu. Ispada da prvo pronađemo, zatim ga dodamo prvom broju i dobijemo ono što tražimo. Ako je progresija predstavljena malim vrijednostima, onda tu nema ništa komplicirano, ali što ako su nam u uvjetu dati brojevi? Slažem se, postoji mogućnost pogreške u izračunima.
Sada razmislite je li moguće riješiti ovaj problem u jednom koraku pomoću bilo koje formule? Naravno, da, i sada ćemo to pokušati iznijeti.

Označimo željeni član aritmetičke progresije kao, znamo formulu za njegovo pronalaženje - to je ista formula koju smo izveli na početku:
, zatim:

• prethodni član progresije je:
• sljedeći član progresije je:

Zbrojimo prethodne i sljedeće članove progresije:

Ispada da je zbroj prethodnog i sljedećeg člana progresije dvostruko veći od vrijednosti člana progresije koji se nalazi između njih. Drugim riječima, da bismo pronašli vrijednost člana progresije s poznatim prethodnim i sukcesivnim vrijednostima, potrebno ih je zbrojiti i podijeliti s.

Tako je, dobili smo isti broj. Popravimo gradivo. Vrijednost za progresiju izračunajte sami, jer to uopće nije teško.

Dobro napravljeno! Znate gotovo sve o napredovanju! Ostalo je otkriti samo jednu formulu, koju je, prema legendi, jedan od najvećih matematičara svih vremena, "kralj matematičara" - Karl Gauss, lako izveo za sebe ...

Kad je Carl Gauss imao 9 godina, učiteljica, zauzeta provjeravanjem radova učenika iz drugih razreda, na satu je postavila sljedeći zadatak: "Izračunajte zbroj svih prirodnih brojeva od do (prema drugim izvorima do) uključivo. " Kakvo je bilo iznenađenje učitelja kada je jedan od njegovih učenika (bio je to Karl Gauss) nakon minute dao točan odgovor na zadatak, dok je većina školskih kolega drznika nakon dugih izračuna dobila pogrešan rezultat ...

Mladi Carl Gauss primijetio je obrazac koji možete lako uočiti.
Recimo da imamo aritmetičku progresiju koja se sastoji od -ti članova: Moramo pronaći zbroj zadanih članova aritmetičke progresije. Naravno, možemo ručno zbrojiti sve vrijednosti, ali što ako trebamo pronaći zbroj njegovih članova u zadatku, kao što je Gauss tražio?

Oslikajmo napredak koji nam je dan. Pažljivo promatrajte označene brojeve i pokušajte s njima izvesti različite matematičke operacije.


Probala? Što ste primijetili? Ispravno! Zbrojevi su im jednaki

A sada odgovorite koliko će takvih parova biti u progresiji koja nam je dana? Naravno, točno polovica svih brojeva, tj.
Na temelju činjenice da je zbroj dva člana aritmetičke progresije jednak, a sličnih jednakih parova, dobivamo da je ukupni zbroj jednak:
.
Stoga će formula za zbroj prvih članova bilo koje aritmetičke progresije biti:

U nekim problemima ne znamo th član, ali znamo razliku progresije. Pokušajte u formulu zbroja zamijeniti formulu th člana.
Što si dobio?

Dobro napravljeno! Vratimo se sada na problem koji je dobio Carl Gauss: izračunajte sami koliki je zbroj brojeva koji počinju od -tog i zbroj brojeva koji počinju od -tog.

Koliko ste dobili?
Gauss je pokazao da je zbroj članova jednak, a zbroj članova. Jeste li tako odlučili?

Naime, formulu za zbroj članova aritmetičke progresije dokazao je još starogrčki znanstvenik Diofant još u 3. stoljeću, a kroz to vrijeme dosjetljivi ljudi su se na sav glas služili svojstvima aritmetičke progresije.
Na primjer, zamislite stari Egipat i najveće gradilište tog vremena - izgradnju piramide ... Slika prikazuje jednu njezinu stranu.

Gdje je tu progresija kažete? Pažljivo pogledajte i pronađite uzorak u broju blokova pijeska u svakom redu zida piramide.


Zašto ne aritmetička progresija? Izbrojite koliko je blokova potrebno za izgradnju jednog zida ako su blok opeke postavljene u bazu. Nadam se da nećete brojati pomicanjem prsta po monitoru, sjećate li se zadnje formule i svega što smo rekli o aritmetičkoj progresiji?

U ovom slučaju, napredak izgleda ovako:
Razlika aritmetičke progresije.
Broj članova aritmetičke progresije.
Zamijenimo naše podatke u posljednje formule (brojimo blokove na 2 načina).

Metoda 1.

Metoda 2.

A sada možete izračunati i na monitoru: usporedite dobivene vrijednosti s brojem blokova koji se nalaze u našoj piramidi. Je li se slagalo? Bravo, savladali ste zbroj th članova aritmetičke progresije.
Naravno, ne možete izgraditi piramidu od blokova u bazi, ali od? Pokušajte izračunati koliko je opeka od pijeska potrebno za izgradnju zida s ovim uvjetom.
Jeste li uspjeli?
Točan odgovor je blokovi:

Vježbati

Zadaci:

1. Maša se sprema za ljeto. Svakog dana povećava broj čučnjeva za. Koliko će puta Maša čučnuti u tjednima ako je radila čučnjeve na prvom treningu.
2. Koliki je zbroj svih neparnih brojeva sadržanih u.
3. Drvosječe pri pohranjivanju trupaca slažu ih tako da svaki gornji sloj sadrži jednu kladu manje od prethodnog. Koliko je trupaca u jednom zidu, ako je osnova zidanja trupci.

odgovori:

1. Definirajmo parametre aritmetičke progresije. U ovom slučaju
   (tjedni = dani).

   Odgovor: Za dva tjedna Maša bi trebala čučati jednom dnevno.

2. Prvi neparni broj, zadnji broj.
   Razlika aritmetičke progresije.
   Broj neparnih brojeva u - pola, međutim, tu činjenicu provjerite pomoću formule za pronalaženje -tog člana aritmetičke progresije:

   Brojevi sadrže neparne brojeve.
   Zamjenjujemo dostupne podatke u formulu:

   Odgovor: Zbroj svih neparnih brojeva sadržanih u jednak je.

3. Prisjetite se problema o piramidama. Za naš slučaj, a , budući da je svaki gornji sloj smanjen za jedan dnevnik, postoji samo hrpa slojeva, tj.
   Zamijenite podatke u formuli:

   Odgovor: U zidanju su balvani.

Sumirati

1. - numerički niz u kojem je razlika između susjednih brojeva jednaka i jednaka. Povećava se i smanjuje.
2. Pronalaženje formulečlan aritmetičke progresije zapisuje se formulom - , gdje je broj brojeva u progresiji.
3. Svojstvo članova aritmetičke progresije- - gdje - broj brojeva u progresiji.
4. Zbroj članova aritmetičke progresije može se pronaći na dva načina:
   
   , gdje je broj vrijednosti.

ARITMETIČKA PROGRESIJA. PROSJEČNA RAZINA

Numerički niz

Sjednimo i počnimo pisati neke brojeve. Na primjer:

Možete pisati bilo koje brojeve, a može ih biti koliko god želite. Ali uvijek se može reći koji je od njih prvi, koji je drugi i tako dalje, odnosno možemo ih numerirati. Ovo je primjer niza brojeva.

Numerički niz je skup brojeva od kojih se svakom može dodijeliti jedinstveni broj.

Drugim riječima, svakom broju može se pridružiti određeni prirodni broj, i to samo jedan. I nećemo ovaj broj dodijeliti nijednom drugom broju iz ovog skupa.

Broj s brojem naziva se -ti član niza.

Cijeli niz obično nazivamo nekim slovom (na primjer,), a svaki član ovog niza - istim slovom s indeksom jednakim broju ovog člana: .

Vrlo je zgodno ako se -ti član niza može dati nekom formulom. Na primjer, formula

postavlja slijed:

A formula je sljedeći niz:

Na primjer, aritmetička progresija je niz (prvi član je ovdje jednak, a razlika). Ili (, razlika).

formula n-tog člana

Rekurentnom nazivamo formulu u kojoj, da biste saznali -ti član, morate znati prethodni ili nekoliko prethodnih:

Da bismo pronašli, na primjer, ti član progresije pomoću takve formule, moramo izračunati prethodnih devet. Na primjer, neka. Zatim:

E, sad je jasno koja je formula?

U svakom retku zbrajamo, pomnožimo s nekim brojem. Za što? Vrlo jednostavno: ovo je broj trenutnog člana minus:

Sad je mnogo ugodnije, zar ne? Provjeravamo:

Odlučite sami:

U aritmetičkoj progresiji pronađite formulu za n-ti član i pronađite stoti član.

Riješenje:

Prvi član je jednak. I koja je razlika? I evo što:

(uostalom, zove se razlika jer je jednaka razlici uzastopnih članova progresije).

Dakle, formula je:

Tada je stoti član:

Koliki je zbroj svih prirodnih brojeva od do?

Prema legendi, veliki matematičar Carl Gauss, kao 9-godišnji dječak, izračunao je ovaj iznos u nekoliko minuta. Uočio je da je zbroj prvog i zadnjeg broja jednak, zbroj drugog i predzadnjeg isti, zbroj trećeg i 3. od kraja isti itd. Koliko je takvih parova? Tako je, točno polovica svih brojeva, tj. Tako,

Opća formula za zbroj prvih članova bilo koje aritmetičke progresije bit će:

Primjer:
Nađi zbroj svih dvoznamenkastih višekratnika.

Riješenje:

Prvi takav broj je ovaj. Svaki sljedeći dobiva se dodavanjem broja prethodnom. Dakle, brojevi koji nas zanimaju tvore aritmetičku progresiju s prvim članom i razlikom.

Formula za th član za ovu progresiju je:

Koliko je članova u progresiji ako svi moraju biti dvoznamenkasti?

Vrlo jednostavno: .

Posljednji član progresije bit će jednak. Zatim zbroj:

Odgovor: .

Sada odlučite sami:

1. Svaki dan sportaš pretrči 1 m više nego prethodnog dana. Koliko će kilometara pretrčati u tjednima ako je prvi dan pretrčao km m?
2. Biciklist svaki dan prijeđe više milja od prethodnog. Prvog dana prešao je km. Koliko dana mora putovati da prijeđe kilometar? Koliko će kilometara prijeći zadnjeg dana putovanja?
3. Cijena hladnjaka u trgovini se svake godine snižava za isti iznos. Odredite koliko je cijena hladnjaka padala svake godine ako je, stavljen na prodaju za rublje, šest godina kasnije prodan za rublje.

odgovori:

1. Ovdje je najvažnije prepoznati aritmetičku progresiju i odrediti njezine parametre. U ovom slučaju (tjedni = dani). Morate odrediti zbroj prvih članova ove progresije:
   .
   Odgovor:
2. Ovdje je dano:, potrebno je pronaći.
   Očito, trebate koristiti istu formulu zbroja kao u prethodnom problemu:
   .
   Zamijenite vrijednosti:

   Korijen očito ne odgovara, pa odgovor.
   Izračunajmo prijeđenu udaljenost prošlog dana pomoću formule -tog člana:
   (km).
   Odgovor:

3. Dano: . Pronaći: .
   Ne postaje lakše:
   (trljati).
   Odgovor:

ARITMETIČKA PROGRESIJA. UKRATKO O GLAVNOM

Ovo je numerički niz u kojem je razlika između susjednih brojeva jednaka i jednaka.

Aritmetička progresija je rastuća () i opadajuća ().

Na primjer:

Formula za pronalaženje n-tog člana aritmetičke progresije

je zapisan kao formula, gdje je broj brojeva u progresiji.

Svojstvo članova aritmetičke progresije

Olakšava pronalaženje člana progresije ako su njegovi susjedni članovi poznati - gdje je broj brojeva u progresiji.

Zbroj članova aritmetičke progresije

Postoje dva načina da se pronađe zbroj:

Gdje je broj vrijednosti.

Gdje je broj vrijednosti.

Pa tema je gotova. Ako čitate ove retke, onda ste jako cool.

Jer samo 5% ljudi je u stanju svladati nešto samostalno. A ako ste pročitali do kraja, onda ste u onih 5%!

Sada ono najvažnije.

Shvatili ste teoriju o ovoj temi. I, ponavljam, to je ... to je jednostavno super! Već si bolji od velike većine svojih vršnjaka.

Problem je što to možda neće biti dovoljno...

Za što?

Za uspješno položivši ispit, za upis na institut na proračun i, ŠTO JE NAJVAŽNIJE, doživotno.

Neću vas uvjeravati ni u što, samo ću reći jedno...

Ljudi koji su stekli dobro obrazovanje zarađuju puno više od onih koji ga nisu stekli. Ovo je statistika.

Ali to nije glavna stvar.

Glavno da su SRETNIJI (postoje takve studije). Možda zato što se pred njima otvara mnogo više mogućnosti i život postaje svjetliji? ne znam...

Ali razmislite sami...

Što je potrebno da biste bili bolji od drugih na ispitu i na kraju... sretniji?

PUNITE SVOJU RUKU, RJEŠAVAJUĆI ZADATKE NA OVU TEMU.

Na ispitu vas neće pitati teorija.

Trebat će vam rješavati probleme na vrijeme.

A, ako ih niste riješili (PUNO!), sigurno ćete negdje napraviti glupu pogrešku ili je jednostavno nećete napraviti na vrijeme.

To je kao u sportu - trebaš ponoviti puno puta da bi sigurno pobijedio.

Pronađite kolekciju gdje god želite obavezno s rješenjima, detaljnom analizom i odluči, odluči, odluči!

Možete koristiti naše zadatke (nije nužno) i svakako ih preporučamo.

Kako biste dobili ruku uz pomoć naših zadataka, morate pomoći produžiti vijek trajanja udžbenika YouClever koji upravo čitate.

Kako? Postoje dvije opcije:

1. Otključajte pristup svim skrivenim zadacima u ovom članku - 299 rub.
2. Otvoren pristup svim skrivenim zadacima u svih 99 članaka udžbenika - 999 rub.

Da, imamo 99 takvih članaka u udžbeniku i odmah se otvara pristup svim zadacima i svim skrivenim tekstovima u njima.

U drugom slučaju mi ćemo vam dati simulator "6000 zadataka s rješenjima i odgovorima, za svaku temu, za sve razine složenosti." Definitivno je dovoljno da se uhvatite u koštac s rješavanjem problema na bilo koju temu.

Zapravo, ovo je puno više od običnog simulatora - cijeli program obuke. Ako je potrebno, možete ga koristiti i BESPLATNO.

Pristup svim tekstovima i programima omogućen je tijekom cijelog trajanja stranice.

U zaključku...

Ako vam se ne sviđaju naši zadaci, pronađite druge. Samo nemojte stati s teorijom.

“Razumijem” i “Znam riješiti” potpuno su različite vještine. Trebate oboje.

Pronađite probleme i riješite ih!

Da, da: aritmetička progresija nije igračka za vas :)

Pa prijatelji, ako čitate ovaj tekst, onda mi unutarnja cap-očiglednost govori da još uvijek ne znate što je aritmetička progresija, ali stvarno (ne, ovako: TAOOOO!) želite znati. Stoga vas neću mučiti dugim uvodima i odmah ću prijeći na posao.

Za početak par primjera. Razmotrite nekoliko skupova brojeva:

• 1; 2; 3; 4; ...
• 15; 20; 25; 30; ...
• $\sqrt(2);\ 2\sqrt(2);\ 3\sqrt(2);...$

Što je zajedničko svim ovim setovima? Na prvi pogled ništa. Ali zapravo postoji nešto. Naime: svaki sljedeći element razlikuje se od prethodnog istim brojem.

Prosudite sami. Prvi skup su samo uzastopni brojevi, svaki veći od prethodnog. U drugom slučaju, razlika između susjednih brojeva već je jednaka pet, ali je ta razlika još uvijek konstantna. U trećem slučaju postoje korijeni općenito. Međutim, $2\sqrt(2)=\sqrt(2)+\sqrt(2)$, dok je $3\sqrt(2)=2\sqrt(2)+\sqrt(2)$, tj. u tom slučaju se svaki sljedeći element jednostavno povećava za $\sqrt(2)$ (i nemojte se bojati da je taj broj iracionalan).

Dakle: svi takvi nizovi nazivaju se samo aritmetičkim progresijama. Dajmo strogu definiciju:

Definicija. Niz brojeva u kojem se svaki sljedeći razlikuje od prethodnog za točno isti iznos naziva se aritmetička progresija. Sam iznos za koji se brojevi razlikuju naziva se razlika progresije i najčešće se označava slovom $d$.

Napomena: $\left(((a)_(n)) \right)$ je sama progresija, $d$ je njena razlika.

I samo nekoliko važnih napomena. Prvo, razmatra se samo napredovanje uredno niz brojeva: dopušteno ih je čitati strogo redoslijedom kojim su napisani - i ništa drugo. Ne možete presložiti ili zamijeniti brojeve.

Drugo, sam niz može biti konačan ili beskonačan. Na primjer, skup (1; 2; 3) je očito konačna aritmetička progresija. Ali ako napišete nešto poput (1; 2; 3; 4; ...) - to je već beskonačna progresija. Elipsa iza četiri, takoreći, nagovještava da dosta brojeva ide dalje. Beskonačno mnogo, na primjer. :)

Također bih želio primijetiti da se progresije povećavaju i smanjuju. Već smo vidjeli rastuće - isti skup (1; 2; 3; 4; ...). Evo primjera opadajuće progresije:

• 49; 41; 33; 25; 17; ...
• 17,5; 12; 6,5; 1; −4,5; −10; ...
• $\sqrt(5);\ \sqrt(5)-1;\ \sqrt(5)-2;\ \sqrt(5)-3;...$

Dobro, dobro: posljednji primjer može izgledati previše komplicirano. Ali ostalo, mislim, razumijete. Stoga uvodimo nove definicije:

Definicija. Aritmetička progresija se naziva:

1. raste ako je svaki sljedeći element veći od prethodnog;
2. opadajući, ako je, naprotiv, svaki sljedeći element manji od prethodnog.

Osim toga, postoje takozvani "stacionarni" nizovi - sastoje se od istog broja koji se ponavlja. Na primjer, (3; 3; 3; ...).

Ostaje samo jedno pitanje: kako razlikovati rastuću progresiju od one koja se smanjuje? Srećom, ovdje sve ovisi samo o predznaku broja $d$, tj. razlike u progresiji:

1. Ako je $d \gt 0$, tada progresija raste;
2. Ako je $d \lt 0$, tada progresija očito opada;
3. Konačno, tu je i slučaj $d=0$, u kojem se slučaju cijela progresija svodi na stacionarni niz isti brojevi: (1; 1; 1; 1; ...) itd.

Pokušajmo izračunati razliku $d$ za tri gore navedene opadajuće progresije. Da biste to učinili, dovoljno je uzeti bilo koja dva susjedna elementa (na primjer, prvi i drugi) i od broja s desne strane oduzeti broj s lijeve strane. Izgledat će ovako:

• 41−49=−8;
• 12−17,5=−5,5;
• $\sqrt(5)-1-\sqrt(5)=-1$.

Kao što vidite, u sva tri slučaja razlika je doista bila negativna. I sada kada smo više-manje shvatili definicije, vrijeme je da shvatimo kako se progresije opisuju i koja svojstva imaju.

Članovi progresijske i rekurentne formule

Budući da se elementi naših nizova ne mogu međusobno mijenjati, mogu se numerirati:

\[\lijevo(((a)_(n)) \desno)=\lijevo\( ((a)_(1)),\ ((a)_(2)),((a)_(3 )),... \desno\)\]

Pojedinačni elementi tog skupa nazivaju se članovima progresije. Označavaju se pomoću broja: prvi član, drugi član i tako dalje.

Osim toga, kao što već znamo, susjedni članovi progresije povezani su formulom:

\[((a)_(n))-((a)_(n-1))=d\desna strelica ((a)_(n))=((a)_(n-1))+d \]

Ukratko, da biste pronašli $n$-ti član progresije, trebate znati $n-1$-ti član i razliku $d$. Takva se formula naziva ponavljajućom, jer uz njezinu pomoć možete pronaći bilo koji broj, znajući samo prethodni (i zapravo sve prethodne). Ovo je vrlo nezgodno, pa postoji složenija formula koja svaki izračun svodi na prvi član i razliku:

\[((a)_(n))=((a)_(1))+\lijevo(n-1 \desno)d\]

Vjerojatno ste već naišli na ovu formulu. Vole ga dati u svim vrstama referentnih knjiga i reshebnika. I u svakom razumnom udžbeniku matematike, jedan je od prvih.

Ipak, predlažem da malo vježbate.

Zadatak broj 1. Zapišite prva tri člana aritmetičke progresije $\left(((a)_(n)) \right)$ ako je $((a)_(1))=8,d=-5$.

Riješenje. Dakle, znamo prvi član $((a)_(1))=8$ i razliku progresije $d=-5$. Upotrijebimo upravo danu formulu i zamijenimo $n=1$, $n=2$ i $n=3$:

\[\begin(align) & ((a)_(n))=((a)_(1))+\lijevo(n-1 \desno)d; \\ & ((a)_(1))=((a)_(1))+\lijevo(1-1 \desno)d=((a)_(1))=8; \\ & ((a)_(2))=((a)_(1))+\lijevo(2-1 \desno)d=((a)_(1))+d=8-5= 3; \\ & ((a)_(3))=((a)_(1))+\lijevo(3-1 \desno)d=((a)_(1))+2d=8-10= -2. \\ \end(align)\]

Odgovor: (8; 3; -2)

To je sve! Imajte na umu da se naše napredovanje smanjuje.

Naravno, $n=1$ nije mogao biti zamijenjen - već znamo prvi član. No, zamjenom jedinice uvjerili smo se da i za prvi član naša formula funkcionira. U ostalim slučajevima sve se svodilo na banalnu aritmetiku.

Zadatak broj 2. Napiši prva tri člana aritmetičke progresije ako je njen sedmi član −40, a sedamnaesti član −50.

Riješenje. Stanje problema pišemo uobičajenim terminima:

\[((a)_(7))=-40;\quad ((a)_(17))=-50.\]

\[\lijevo\( \begin(align) & ((a)_(7))=((a)_(1))+6d \\ & ((a)_(17))=((a) _(1))+16d \\ \end(align) \desno.\]

\[\lijevo\( \begin(align) & ((a)_(1))+6d=-40 \\ & ((a)_(1))+16d=-50 \\ \end(align) \pravo.\]

Stavljam znak sustava jer ti zahtjevi moraju biti ispunjeni istovremeno. I sada primjećujemo da ako oduzmemo prvu jednadžbu od druge jednadžbe (imamo pravo na to, jer imamo sustav), dobivamo ovo:

\[\begin(align) & ((a)_(1))+16d-\lijevo(((a)_(1))+6d \desno)=-50-\lijevo(-40 \desno); \\ & ((a)_(1))+16d-((a)_(1))-6d=-50+40; \\ & 10d=-10; \\&d=-1. \\ \end(align)\]

Upravo tako, pronašli smo razliku u progresiji! Ostaje zamijeniti pronađeni broj u bilo kojoj od jednadžbi sustava. Na primjer, u prvom:

\[\begin(matrix) ((a)_(1))+6d=-40;\quad d=-1 \\ \Downarrow \\ ((a)_(1))-6=-40; \\ ((a)_(1))=-40+6=-34. \\ \kraj(matrica)\]

Sada, znajući prvi član i razliku, ostaje pronaći drugi i treći član:

\[\begin(align) & ((a)_(2))=((a)_(1))+d=-34-1=-35; \\ & ((a)_(3))=((a)_(1))+2d=-34-2=-36. \\ \end(align)\]

Spreman! Problem riješen.

Odgovor: (-34; -35; -36)

Obratite pozornost na neobično svojstvo progresije koje smo otkrili: ako uzmemo $n$-ti i $m$-ti član i oduzmemo ih jedan od drugog, tada ćemo dobiti razliku progresije pomnoženu s brojem $n-m$:

\[((a)_(n))-((a)_(m))=d\cdot \lijevo(n-m \desno)\]

Jednostavno, ali vrlo korisno svojstvo, što svakako morate znati - uz njegovu pomoć možete značajno ubrzati rješavanje mnogih problema u progresijama. Ovdje svijetle tome primjer:

Zadatak broj 3. Peti član aritmetičke progresije je 8,4, a deseti član je 14,4. Pronađite petnaesti član ove progresije.

Riješenje. Budući da je $((a)_(5))=8,4$, $((a)_(10))=14,4$, a mi trebamo pronaći $((a)_(15))$, bilježimo sljedeće:

\[\begin(align) & ((a)_(15))-((a)_(10))=5d; \\ & ((a)_(10))-((a)_(5))=5d. \\ \end(align)\]

Ali prema uvjetu $((a)_(10))-((a)_(5))=14.4-8.4=6$, dakle $5d=6$, odakle imamo:

\[\begin(align) & ((a)_(15))-14,4=6; \\ & ((a)_(15))=6+14,4=20,4. \\ \end(align)\]

Odgovor: 20.4

To je sve! Nismo trebali sastavljati nikakve sustave jednadžbi i računati prvi član i razliku - sve je odlučeno u samo par redaka.

Razmotrimo sada drugu vrstu problema - potragu za negativnim i pozitivnim članovima progresije. Nije tajna da ako se progresija povećava, dok je njen prvi član negativan, tada će se prije ili kasnije u njemu pojaviti pozitivni termini. I obrnuto: uvjeti opadajuće progresije će prije ili kasnije postati negativni.

U isto vrijeme, nije uvijek moguće pronaći ovaj trenutak "na čelu", uzastopno sortirajući elemente. Često su problemi osmišljeni na način da bi bez poznavanja formula izračuni trajali nekoliko listova - samo bismo zaspali dok ne nađemo odgovor. Stoga ćemo te probleme pokušati riješiti na brži način.

Zadatak broj 4. Koliko negativnih članova u aritmetičkoj progresiji -38,5; -35,8; …?

Riješenje. Dakle, $((a)_(1))=-38,5$, $((a)_(2))=-35,8$, iz čega odmah nalazimo razliku:

Imajte na umu da je razlika pozitivna, tako da progresija raste. Prvi član je negativan, tako da ćemo doista u nekom trenutku naići na pozitivne brojeve. Pitanje je samo kada će se to dogoditi.

Pokušajmo saznati koliko dugo (tj. do kojeg prirodnog broja $n$) ostaje negativnost članova:

\[\begin(align) & ((a)_(n)) \lt 0\Rightarrow ((a)_(1))+\left(n-1 \right)d \lt 0; \\ & -38,5+\lijevo(n-1 \desno)\cdot 2,7 \lt 0;\kvad \lijevo| \cdot 10 \desno. \\ & -385+27\cdot \lijevo(n-1 \desno) \lt 0; \\ & -385+27n-27 \lt 0; \\ & 27n \lt 412; \\ & n \lt 15\frac(7)(27)\desna strelica ((n)_(\max ))=15. \\ \end(align)\]

Posljednji redak treba pojasniti. Dakle, znamo da je $n \lt 15\frac(7)(27)$. S druge strane, odgovarat će nam samo cjelobrojne vrijednosti broja (štoviše: $n\in \mathbb(N)$), pa je najveći dopušteni broj upravo $n=15$, a nikako 16.

Zadatak broj 5. U aritmetičkoj progresiji $(()_(5))=-150,(()_(6))=-147$. Pronađite broj prvog pozitivnog člana ove progresije.

Ovo bi bio potpuno isti problem kao i prethodni, ali ne znamo $((a)_(1))$. Ali poznati su susjedni članovi: $((a)_(5))$ i $((a)_(6))$, tako da možemo lako pronaći razliku progresije:

Uz to, pokušajmo izraziti peti član u smislu prvog i razlike koristeći standardnu ​​formulu:

\[\begin(align) & ((a)_(n))=((a)_(1))+\lijevo(n-1 \desno)\cdot d; \\ & ((a)_(5))=((a)_(1))+4d; \\ & -150=((a)_(1))+4\cdot 3; \\ & ((a)_(1))=-150-12=-162. \\ \end(align)\]

Sada nastavljamo po analogiji s prethodnim problemom. Saznajemo na kojoj će se točki našeg niza pojaviti pozitivni brojevi:

\[\begin(align) & ((a)_(n))=-162+\lijevo(n-1 \desno)\cdot 3 \gt 0; \\ & -162+3n-3 \gt 0; \\ & 3n \gt 165; \\ & n \gt 55\desna strelica ((n)_(\min ))=56. \\ \end(align)\]

Najmanje cjelobrojno rješenje ove nejednadžbe je broj 56.

Imajte na umu: u zadnji zadatak sve se svelo na strogu nejednakost, pa nam opcija $n=55$ neće odgovarati.

Sada kada smo naučili rješavati jednostavne probleme, prijeđimo na složenije. Ali prvo, naučimo još jedno vrlo korisno svojstvo aritmetičkih progresija, koje će nam uštedjeti puno vremena i nejednakih ćelija u budućnosti. :)

Aritmetička sredina i jednake uvlake

Razmotrimo nekoliko uzastopnih članova rastuće aritmetičke progresije $\left(((a)_(n)) \right)$. Pokušajmo ih označiti na brojevnom pravcu:

Članovi aritmetičke progresije na brojevnom pravcu

Posebno sam primijetio proizvoljne članove $((a)_(n-3)),...,((a)_(n+3))$, a ne bilo koje $((a)_(1)) , \ ((a)_(2)),\ ((a)_(3))$ itd. Jer pravilo, koje ću vam sada reći, vrijedi isto za sve "segmente".

A pravilo je vrlo jednostavno. Sjetimo se rekurzivne formule i zapišimo je za sve označene članove:

\[\begin(align) & ((a)_(n-2))=((a)_(n-3))+d; \\ & ((a)_(n-1))=((a)_(n-2))+d; \\ & ((a)_(n))=((a)_(n-1))+d; \\ & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n+1))+d; \\ \end(align)\]

Međutim, ove se jednakosti mogu prepisati drugačije:

\[\begin(align) & ((a)_(n-1))=((a)_(n))-d; \\ & ((a)_(n-2))=((a)_(n))-2d; \\ & ((a)_(n-3))=((a)_(n))-3d; \\ & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n))+2d; \\ & ((a)_(n+3))=((a)_(n))+3d; \\ \end(align)\]

Pa što onda? Ali činjenica da se pojmovi $((a)_(n-1))$ i $((a)_(n+1))$ nalaze na istoj udaljenosti od $((a)_(n)) $ . A ova udaljenost je jednaka $d$. Isto se može reći za pojmove $((a)_(n-2))$ i $((a)_(n+2))$ - oni su također uklonjeni iz $((a)_(n) )$ za istu udaljenost jednaku $2d$. Možete nastaviti unedogled, ali slika dobro ilustrira značenje

Članovi progresije leže na istoj udaljenosti od središta

Što to znači za nas? To znači da možete pronaći $((a)_(n))$ ako su susjedni brojevi poznati:

\[((a)_(n))=\frac(((a)_(n-1))+((a)_(n+1)))(2)\]

Izveli smo veličanstvenu tvrdnju: svaki član aritmetičke progresije jednak je aritmetičkoj sredini susjednih članova! Štoviše, možemo odstupiti od našeg $((a)_(n))$ ulijevo i udesno ne za jedan korak, već za $k$ koraka — i dalje će formula biti točna:

\[((a)_(n))=\frac(((a)_(n-k))+((a)_(n+k)))(2)\]

Oni. lako možemo pronaći neki $((a)_(150))$ ako znamo $((a)_(100))$ i $((a)_(200))$, jer $(( a)_ (150))=\frac(((a)_(100))+((a)_(200)))(2)$. Na prvi pogled može se činiti da nam ta činjenica ne daje ništa korisno. Međutim, u praksi su mnogi zadaci posebno "izoštreni" za korištenje aritmetičke sredine. Pogledaj:

Zadatak broj 6. Pronađite sve vrijednosti od $x$ tako da su brojevi $-6((x)^(2))$, $x+1$ i $14+4((x)^(2))$ uzastopni članovi aritmetička progresija (u određenom redoslijedu).

Riješenje. Budući da su navedeni brojevi članovi progresije, za njih je zadovoljen uvjet aritmetičke sredine: središnji element$x+1$ se može izraziti kroz susjedne elemente:

\[\begin(align) & x+1=\frac(-6((x)^(2))+14+4((x)^(2)))(2); \\ & x+1=\frac(14-2((x)^(2)))(2); \\ & x+1=7-((x)^(2)); \\ & ((x)^(2))+x-6=0. \\ \end(align)\]

Rezultat je klasična kvadratna jednadžba. Njegovi korijeni: $x=2$ i $x=-3$ su odgovori.

Odgovor: -3; 2.

Zadatak broj 7. Pronađite vrijednosti $$ tako da brojevi $-1;4-3;(()^(2))+1$ čine aritmetičku progresiju (tim redoslijedom).

Riješenje. Opet izražavamo srednji član u smislu aritmetičke sredine susjednih članova:

\[\begin(align) & 4x-3=\frac(x-1+((x)^(2))+1)(2); \\ & 4x-3=\frac(((x)^(2))+x)(2);\kvad \lijevo| \cdot 2\desno.; \\ & 8x-6=((x)^(2))+x; \\ & ((x)^(2))-7x+6=0. \\ \end(align)\]

Još jedna kvadratna jednadžba. I opet dva korijena: $x=6$ i $x=1$.

Odgovor: 1; 6.

Ako u procesu rješavanja problema dobijete neke brutalne brojke ili niste potpuno sigurni u točnost pronađenih odgovora, onda postoji prekrasan trik koji vam omogućuje da provjerite: jesmo li ispravno riješili problem?

Recimo da smo u zadatku 6 dobili odgovore -3 i 2. Kako možemo provjeriti jesu li ti odgovori točni? Uključimo ih u izvorno stanje i vidimo što će se dogoditi. Da vas podsjetim da imamo tri broja ($-6(()^(2))$, $+1$ i $14+4(()^(2))$, koji bi trebali činiti aritmetičku progresiju. Zamijenite $x=-3$:

\[\begin(align) & x=-3\Rightarrow \\ & -6((x)^(2))=-54; \\ &x+1=-2; \\ & 14+4((x)^(2))=50. \end(align)\]

Dobili smo brojeve -54; −2; 50 koji se razlikuju za 52 nedvojbeno je aritmetička progresija. Ista stvar se događa za $x=2$:

\[\begin(align) & x=2\Rightarrow \\ & -6((x)^(2))=-24; \\ &x+1=3; \\ & 14+4((x)^(2))=30. \end(align)\]

Opet progresija, ali s razlikom od 27. Dakle, zadatak je ispravno riješen. Oni koji žele mogu sami provjeriti drugi zadatak, ali odmah ću reći: i tamo je sve točno.

Općenito, dok smo rješavali posljednje probleme, naletjeli smo na još jedan zanimljiva činjenica, što također treba zapamtiti:

Ako su tri broja takva da je drugi prosjek prvog i posljednjeg, tada ti brojevi čine aritmetičku progresiju.

U budućnosti će nam razumijevanje ove izjave omogućiti doslovno "konstruiranje" potrebnih progresija na temelju uvjeta problema. Ali prije nego što se upustimo u takvu "konstrukciju", valja obratiti pozornost na još jednu činjenicu, koja izravno proizlazi iz već razmotrenog.

Grupiranje i zbroj elemenata

Vratimo se ponovno brojevnoj crti. Tu bilježimo nekoliko članova progresije, između kojih možda. vrijedi puno drugih članova:

Na brojevnoj crti označeno 6 elemenata

Pokušajmo izraziti "lijevi rep" u terminima $((a)_(n))$ i $d$, a "desni rep" u terminima $((a)_(k))$ i $ d$. Vrlo je jednostavno:

\[\begin(align) & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n))+2d; \\ & ((a)_(k-1))=((a)_(k))-d; \\ & ((a)_(k-2))=((a)_(k))-2d. \\ \end(align)\]

Sada primijetite da su sljedeći zbrojevi jednaki:

\[\begin(align) & ((a)_(n))+((a)_(k))=S; \\ & ((a)_(n+1))+((a)_(k-1))=((a)_(n))+d+((a)_(k))-d= S; \\ & ((a)_(n+2))+((a)_(k-2))=((a)_(n))+2d+((a)_(k))-2d= S. \end(align)\]

Jednostavno rečeno, ako kao početak uzmemo u obzir dva elementa progresije, koji su ukupno jednaki nekom broju $S$, a zatim od tih elemenata počnemo koračati u suprotnim smjerovima (jedni prema drugima ili obrnuto da se udaljimo), zatim jednaki će biti i zbrojevi elemenata na koje ćemo se spotaknuti$S$. To se najbolje može grafički prikazati:

Iste alineje daju jednake zbrojeve

Razumijevanje ove činjenice omogućit će nam rješavanje problema temeljno više razine složenosti od onih koje smo razmatrali gore. Na primjer, ove:

Zadatak broj 8. Odredite razliku aritmetičke progresije u kojoj je prvi član 66, a umnožak drugog i dvanaestog člana najmanji mogući.

Riješenje. Zapišimo sve što znamo:

\[\begin(align) & ((a)_(1))=66; \\&d=? \\ & ((a)_(2))\cdot ((a)_(12))=\min . \end(align)\]

Dakle, ne znamo razliku progresije $d$. Zapravo, cijelo će se rješenje izgraditi oko razlike, budući da se umnožak $((a)_(2))\cdot ((a)_(12))$ može prepisati na sljedeći način:

\[\begin(align) & ((a)_(2))=((a)_(1))+d=66+d; \\ & ((a)_(12))=((a)_(1))+11d=66+11d; \\ & ((a)_(2))\cdot ((a)_(12))=\lijevo(66+d \desno)\cdot \lijevo(66+11d \desno)= \\ & =11 \cdot \lijevo(d+66 \desno)\cdot \lijevo(d+6 \desno). \end(align)\]

Za one u spremniku: izbacio sam zajednički faktor 11 iz druge zagrade. Dakle, željeni umnožak je kvadratna funkcija u odnosu na varijablu $d$. Stoga, razmotrite funkciju $f\lijevo(d \desno)=11\lijevo(d+66 \desno)\lijevo(d+6 \desno)$ - njen graf će biti parabola s granama prema gore, jer otvorimo li zagrade, dobivamo:

\[\begin(align) & f\left(d \right)=11\left(((d)^(2))+66d+6d+66\cdot 6 \right)= \\ & =11(( d)^(2))+11\cdot 72d+11\cdot 66\cdot 6 \end(align)\]

Kao što vidite, koeficijent s najvećim članom je 11 - to je pozitivan broj, tako da stvarno imamo posla s parabolom s granama prema gore:

graf kvadratne funkcije – parabola

Imajte na umu: ova parabola dobiva svoju najmanju vrijednost na svom vrhu s apscisom $((d)_(0))$. Naravno, ovu apscisu možemo izračunati prema standardnoj shemi (postoji formula $((d)_(0))=(-b)/(2a)\;$), ali bilo bi mnogo razumnije da imajte na umu da željeni vrh leži na osnoj simetriji parabole, pa je točka $((d)_(0))$ jednako udaljena od korijena jednadžbe $f\left(d \right)=0$:

\[\begin(align) & f\left(d\right)=0; \\ & 11\cdot \lijevo(d+66 \desno)\cdot \lijevo(d+6 \desno)=0; \\ & ((d)_(1))=-66;\kvad ((d)_(2))=-6. \\ \end(align)\]

Zato nisam žurio otvoriti zagrade: u izvornom obliku, korijenje je bilo vrlo, vrlo lako pronaći. Dakle, apscisa je jednaka aritmetičkoj sredini brojeva −66 i −6:

\[((d)_(0))=\frac(-66-6)(2)=-36\]

Što nam daje otkriveni broj? S njim traženi proizvod ima najmanju vrijednost (usput, nismo izračunali $((y)_(\min ))$ - to se od nas ne traži). Ujedno, ovaj broj je razlika početne progresije, tj. našli smo odgovor. :)

Odgovor: -36

Zadatak broj 9. Između brojeva $-\frac(1)(2)$ i $-\frac(1)(6)$ umetnite tri broja tako da zajedno sa zadanim brojevima čine aritmetičku progresiju.

Riješenje. Zapravo, trebamo napraviti niz od pet brojeva, pri čemu su prvi i zadnji broj već poznati. Brojeve koji nedostaju označimo varijablama $x$, $y$ i $z$:

\[\lijevo(((a)_(n)) \desno)=\lijevo\( -\frac(1)(2);x;y;z;-\frac(1)(6) \desno\ )\]

Imajte na umu da je broj $y$ "sredina" našeg niza - jednako je udaljen od brojeva $x$ i $z$, te od brojeva $-\frac(1)(2)$ i $-\frac (1)( 6)$. A ako smo od brojeva $x$ i $z$ u ovaj trenutak ne možemo dobiti $y$, onda je situacija drugačija s krajevima progresije. Zapamtite aritmetičku sredinu:

Sada, znajući $y$, pronaći ćemo preostale brojeve. Imajte na umu da se $x$ nalazi između $-\frac(1)(2)$ i $y=-\frac(1)(3)$ upravo pronađeno. Zato

Raspravljajući na sličan način, nalazimo preostali broj:

Spreman! Pronašli smo sva tri broja. Zapišimo ih u odgovor redoslijedom kojim ih treba umetnuti između izvornih brojeva.

Odgovor: $-\frac(5)(12);\ -\frac(1)(3);\ -\frac(1)(4)$

Zadatak broj 10. Između brojeva 2 i 42 upiši nekoliko brojeva koji zajedno sa zadanim brojevima čine aritmetičku progresiju, ako je poznato da je zbroj prvog, drugog i zadnjeg uvrštenog broja 56.

Riješenje. Još više težak zadatak, koji se, međutim, rješava na isti način kao i prethodni - preko aritmetičke sredine. Problem je što ne znamo točno koliko brojeva ubaciti. Stoga, radi određenosti, pretpostavljamo da će nakon umetanja biti točno $n$ brojeva, od kojih je prvi 2, a zadnji 42. U ovom slučaju željena aritmetička progresija može se prikazati kao:

\[\lijevo(((a)_(n)) \desno)=\lijevo\( 2;((a)_(2));((a)_(3));...;(( a)_(n-1));42 \desno\)\]

\[((a)_(2))+((a)_(3))+((a)_(n-1))=56\]

Imajte na umu, međutim, da su brojevi $((a)_(2))$ i $((a)_(n-1))$ dobiveni iz brojeva 2 i 42 koji stoje na rubovima jedan korak jedan prema drugom , tj. u središte niza. A ovo znači to

\[((a)_(2))+((a)_(n-1))=2+42=44\]

Ali tada se gornji izraz može prepisati ovako:

\[\begin(align) & ((a)_(2))+((a)_(3))+((a)_(n-1))=56; \\ & \lijevo(((a)_(2))+((a)_(n-1)) \desno)+((a)_(3))=56; \\ & 44+((a)_(3))=56; \\ & ((a)_(3))=56-44=12. \\ \end(align)\]

Poznavajući $((a)_(3))$ i $((a)_(1))$, lako možemo pronaći razliku progresije:

\[\begin(align) & ((a)_(3))-((a)_(1))=12-2=10; \\ & ((a)_(3))-((a)_(1))=\lijevo(3-1 \desno)\cdot d=2d; \\ & 2d=10\desna strelica d=5. \\ \end(align)\]

Ostaje samo pronaći preostale članove:

\[\begin(align) & ((a)_(1))=2; \\ & ((a)_(2))=2+5=7; \\ & ((a)_(3))=12; \\ & ((a)_(4))=2+3\cdot 5=17; \\ & ((a)_(5))=2+4\cdot 5=22; \\ & ((a)_(6))=2+5\cdot 5=27; \\ & ((a)_(7))=2+6\cdot 5=32; \\ & ((a)_(8))=2+7\cdot 5=37; \\ & ((a)_(9))=2+8\cdot 5=42; \\ \end(align)\]

Tako ćemo već na 9. koraku doći do lijevog kraja niza - broja 42. Ukupno je trebalo umetnuti samo 7 brojeva: 7; 12; 17; 22; 27; 32; 37.

Odgovor: 7; 12; 17; 22; 27; 32; 37

Tekstualni zadaci s napredovanjem

Zaključno, želio bih razmotriti nekoliko relativno jednostavnih problema. Pa one jednostavne: većini učenika koji u školi uče matematiku, a nisu pročitali što je gore napisano, ovi se zadaci mogu činiti kao gesta. Ipak, upravo se takvi zadaci susreću u OGE i USE iz matematike, pa preporučujem da se upoznate s njima.

Zadatak broj 11. Tim je u siječnju izradio 62 dijela, au svakom sljedećem mjesecu proizveli su 14 dijelova više nego u prethodnom. Koliko je dijelova brigada proizvela u studenom?

Riješenje. Očito, broj dijelova, oslikanih po mjesecima, bit će sve veća aritmetička progresija. I:

\[\begin(align) & ((a)_(1))=62;\quad d=14; \\ & ((a)_(n))=62+\lijevo(n-1 \desno)\cdot 14. \\ \end(align)\]

Studeni je 11. mjesec u godini, pa moramo pronaći $((a)_(11))$:

\[((a)_(11))=62+10\cdot 14=202\]

Dakle, u studenom će biti proizvedena 202 dijela.

Zadatak broj 12. Knjigoveška radionica je u siječnju ukoričila 216 knjiga, a svaki mjesec je uvezala 4 knjige više nego prethodni mjesec. Koliko je knjiga uvezano na radionici u prosincu?

Riješenje. Sve isto:

$\begin(align) & ((a)_(1))=216;\quad d=4; \\ & ((a)_(n))=216+\lijevo(n-1 \desno)\cdot 4. \\ \end(align)$

Prosinac je posljednji, 12. mjesec u godini, pa tražimo $((a)_(12))$:

\[((a)_(12))=216+11\cdot 4=260\]

Ovo je odgovor – u prosincu će biti ukoričeno 260 knjiga.

Pa, ako ste dovde pročitali, žurim vam čestitati: uspješno ste završili “tečaj za mladog borca” u aritmetičkim progresijama. Sa sigurnošću možemo prijeći na sljedeću lekciju, gdje ćemo proučavati formulu zbroja progresije, kao i važne i vrlo korisne posljedice iz nje.