Cum se rezolvă scăderea fracțiilor. Adunarea și scăderea fracțiilor cu numitori diferiți

Conținutul lecției

Adunarea fracțiilor cu numitori similari

Există două tipuri de adunări de fracții:

1. Adunarea fracțiilor cu numitori similari;
2. Adunarea fracțiilor cu numitori diferiți.

Mai întâi, să studiem adunarea fracțiilor cu numitori similari. Totul este simplu aici. Pentru a adăuga fracții cu aceiași numitori, trebuie să adăugați numărătorii lor și să lăsați numitorul neschimbat.

De exemplu, să adăugăm fracțiile și . Adăugați numărătorii și lăsați numitorul neschimbat:

Acest exemplu poate fi ușor de înțeles dacă ne amintim de pizza, care este împărțită în patru părți. Dacă adăugați pizza la pizza, obțineți pizza:

Exemplul 2. Adăugați fracții și .

Răspunsul s-a dovedit a fi o fracție improprie. Când vine sfârșitul sarcinii, se obișnuiește să scapi de fracțiile improprii. Pentru a scăpa de o fracție necorespunzătoare, trebuie să selectați întreaga parte a acesteia. În cazul nostru, întreaga parte este ușor izolată - doi împărțiți la doi vor fi unul:

Acest exemplu poate fi ușor de înțeles dacă ne amintim despre o pizza care este împărțită în două părți. Dacă adăugați mai multă pizza la pizza, obțineți o pizza întreagă:

Exemplul 3. Adăugați fracții și .

Din nou, adunăm numărătorii și lăsăm numitorul neschimbat:

Acest exemplu poate fi ușor de înțeles dacă ne amintim de pizza, care este împărțită în trei părți. Dacă adăugați mai multă pizza la pizza, obțineți pizza:

Exemplul 4. Găsiți valoarea unei expresii

Acest exemplu este rezolvat exact în același mod ca și cele precedente. Număratorii trebuie adăugați și numitorul lăsat neschimbat:

Să încercăm să descriem soluția noastră folosind un desen. Dacă adăugați pizza la o pizza și adăugați mai multă pizza, obțineți 1 pizza întreagă și încă o pizza.

După cum puteți vedea, nu este nimic complicat în adunarea fracțiilor cu aceiași numitori. Este suficient să înțelegeți următoarele reguli:

1. Pentru a adăuga fracții cu aceiași numitori, trebuie să adăugați numărătorii lor și să lăsați numitorul neschimbat;

Adunarea fracțiilor cu numitori diferiți

Acum să învățăm cum să adunăm fracții cu numitori diferiți. Când se adună fracții, numitorii fracțiilor trebuie să fie aceiași. Dar nu sunt întotdeauna la fel.

De exemplu, fracțiile pot fi adăugate deoarece au aceiași numitori.

Dar fracțiile nu pot fi adăugate imediat, deoarece aceste fracții au numitori diferiți. În astfel de cazuri, fracțiile trebuie reduse la același numitor (comun).

Există mai multe moduri de a reduce fracțiile la același numitor. Astăzi ne vom uita doar la una dintre ele, deoarece celelalte metode pot părea complicate pentru un începător.

Esența acestei metode este că mai întâi este căutat LCM-ul numitorilor ambelor fracții. LCM este apoi împărțit la numitorul primei fracții pentru a obține primul factor suplimentar. Ei fac același lucru cu a doua fracție - LCM este împărțit la numitorul celei de-a doua fracții și se obține un al doilea factor suplimentar.

Numătorii și numitorii fracțiilor sunt apoi înmulțiți cu factorii lor suplimentari. Ca urmare a acestor acțiuni, fracțiile care au numitori diferiți sunt convertite în fracții care au aceiași numitori. Și știm deja cum să adunăm astfel de fracții.

Exemplul 1. Să adăugăm fracțiile și

În primul rând, găsim cel mai mic multiplu comun al numitorilor ambelor fracții. Numitorul primei fracții este numărul 3, iar numitorul celei de-a doua fracții este numărul 2. Cel mai mic multiplu comun al acestor numere este 6

LCM (2 și 3) = 6

Acum să revenim la fracții și . Mai întâi, împărțiți LCM la numitorul primei fracții și obțineți primul factor suplimentar. LCM este numărul 6, iar numitorul primei fracții este numărul 3. Împărțind 6 la 3, obținem 2.

Numărul rezultat 2 este primul multiplicator suplimentar. O notăm până la prima fracție. Pentru a face acest lucru, faceți o mică linie oblică peste fracție și notați factorul suplimentar găsit deasupra ei:

Facem același lucru cu a doua fracție. Împărțim LCM la numitorul celei de-a doua fracții și obținem al doilea factor suplimentar. LCM este numărul 6, iar numitorul celei de-a doua fracții este numărul 2. Împărțind 6 la 2, obținem 3.

Numărul 3 rezultat este al doilea multiplicator suplimentar. O scriem la a doua fracție. Din nou, facem o linie oblică mică peste a doua fracție și notăm factorul suplimentar găsit deasupra ei:

Acum avem totul pregătit pentru adăugare. Rămâne să înmulțiți numărătorii și numitorii fracțiilor cu factorii suplimentari ai acestora:

Privește cu atenție la ce am ajuns. Am ajuns la concluzia că fracțiile care aveau numitori diferiți s-au transformat în fracții care aveau aceiași numitori. Și știm deja cum să adunăm astfel de fracții. Să luăm acest exemplu până la capăt:

Acest lucru completează exemplul. Se dovedește a adăuga.

Să încercăm să descriem soluția noastră folosind un desen. Dacă adăugați pizza la o pizza, obțineți o pizza întreagă și o altă șesime dintr-o pizza:

Reducerea fracțiilor la același numitor (comun) poate fi, de asemenea, descrisă folosind o imagine. Reducând fracțiile și la un numitor comun, am obținut fracțiile și . Aceste două fracții vor fi reprezentate de aceleași bucăți de pizza. Singura diferență va fi că de data aceasta vor fi împărțite în părți egale (reduse la același numitor).

Primul desen reprezintă o fracție (patru piese din șase), iar al doilea desen reprezintă o fracție (trei piese din șase). Adăugând aceste piese obținem (șapte bucăți din șase). Această fracție este improprie, așa că am evidențiat întreaga parte a ei. Drept urmare, am primit (o pizza întreagă și o altă pizza a șasea).

Vă rugăm să rețineți că am descris acest exemplu prea detaliat. ÎN institutii de invatamant Nu este obișnuit să scrieți atât de detaliat. Trebuie să puteți găsi rapid LCM-ul ambilor numitori și factori suplimentari la aceștia, precum și să înmulțiți rapid factorii suplimentari găsiți cu numărătorii și numitorii dvs. Dacă am fi la școală, ar trebui să scriem acest exemplu după cum urmează:

Dar există și o altă față a monedei. Dacă nu luați note detaliate în primele etape ale studiului matematicii, atunci încep să apară întrebări de acest fel. „De unde vine acel număr?”, „De ce fracțiile se transformă brusc în fracții complet diferite? «.

Pentru a facilita adăugarea fracțiilor cu numitori diferiți, puteți folosi următoarele instrucțiuni pas cu pas:

1. Aflați LCM al numitorilor fracțiilor;
2. Împărțiți LCM la numitorul fiecărei fracții și obțineți un factor suplimentar pentru fiecare fracție;
3. Înmulțiți numărătorii și numitorii fracțiilor cu factorii suplimentari ai acestora;
4. Adaugă fracții care au aceiași numitori;
5. Dacă răspunsul se dovedește a fi o fracție necorespunzătoare, atunci selectați întreaga sa parte;

Exemplul 2. Găsiți valoarea unei expresii .

Să folosim instrucțiunile de mai sus.

Pasul 1. Aflați LCM al numitorilor fracțiilor

Aflați LCM al numitorilor ambelor fracții. Numitorii fracțiilor sunt numerele 2, 3 și 4

Pasul 2. Împărțiți LCM la numitorul fiecărei fracții și obțineți un factor suplimentar pentru fiecare fracție

Împărțiți LCM la numitorul primei fracții. LCM este numărul 12, iar numitorul primei fracții este numărul 2. Împărțim 12 la 2, obținem 6. Primul factor suplimentar este 6. Îl scriem deasupra primei fracții:

Acum împărțim LCM la numitorul celei de-a doua fracții. LCM este numărul 12, iar numitorul celei de-a doua fracții este numărul 3. Împărțim 12 la 3, obținem 4. Obținem al doilea factor suplimentar 4. Îl scriem deasupra celei de-a doua fracții:

Acum împărțim LCM la numitorul celei de-a treia fracții. LCM este numărul 12, iar numitorul celei de-a treia fracții este numărul 4. Împărțim 12 la 4, obținem 3. Obținem al treilea factor suplimentar 3. Îl scriem deasupra celei de-a treia fracții:

Pasul 3. Înmulțiți numărătorii și numitorii fracțiilor cu factorii suplimentari ai acestora

Înmulțim numărătorii și numitorii cu factorii lor suplimentari:

Pasul 4. Adaugă fracții cu aceiași numitori

Am ajuns la concluzia că fracțiile care aveau numitori diferiți s-au transformat în fracții care aveau aceiași numitori (comuni). Tot ce rămâne este să adunăm aceste fracții. Adaugă:

Adăugarea nu se potrivea pe o singură linie, așa că am mutat expresia rămasă pe următoarea linie. Acest lucru este permis la matematică. Când o expresie nu se încadrează pe o linie, este mutată pe următoarea linie și este necesar să se pună un semn egal (=) la sfârșitul primei rânduri și la începutul noii linii. Semnul egal de pe a doua linie indică faptul că aceasta este o continuare a expresiei care a fost pe prima linie.

Pasul 5. Dacă răspunsul se dovedește a fi o fracție necorespunzătoare, atunci evidențiați întreaga parte a acestuia

Răspunsul nostru s-a dovedit a fi o fracție improprie. Trebuie să evidențiem o întreagă parte din ea. Subliniem:

Am primit un răspuns

Scăderea fracțiilor cu numitori similari

Există două tipuri de scădere de fracții:

1. Scăderea fracțiilor cu numitori similari
2. Scăderea fracțiilor cu numitori diferiți

În primul rând, să învățăm cum să scădem fracții cu numitori similari.

Pentru a scădea altul dintr-o fracție, trebuie să scădeți numărătorul celei de-a doua fracții de la numărătorul primei fracții și să lăsați numitorul neschimbat.

De exemplu, să găsim valoarea expresiei . Pentru a rezolva acest exemplu, trebuie să scădeți numărătorul celei de-a doua fracții din numărătorul primei fracții și să lăsați numitorul neschimbat. Să facem asta:

Acest exemplu poate fi ușor de înțeles dacă ne amintim de pizza, care este împărțită în patru părți. Dacă tăiați pizza dintr-o pizza, obțineți pizza:

Exemplul 2. Găsiți valoarea expresiei.

Din nou, de la numărătorul primei fracții, scădeți numărătorul celei de-a doua fracții și lăsați numitorul neschimbat:

Acest exemplu poate fi ușor de înțeles dacă ne amintim de pizza, care este împărțită în trei părți. Dacă tăiați pizza dintr-o pizza, obțineți pizza:

Exemplul 3. Găsiți valoarea unei expresii

Acest exemplu este rezolvat exact în același mod ca și cele precedente. Din numărătorul primei fracții trebuie să scădeți numărătorii fracțiilor rămase:

După cum puteți vedea, nu este nimic complicat în scăderea fracțiilor cu aceiași numitori. Este suficient să înțelegeți următoarele reguli:

1. Pentru a scădea altul dintr-o fracție, trebuie să scădeți numărătorul celei de-a doua fracții de la numărătorul primei fracții și să lăsați numitorul neschimbat;
2. Dacă răspunsul se dovedește a fi o fracție necorespunzătoare, atunci trebuie să evidențiați întreaga parte a acestuia.

Scăderea fracțiilor cu numitori diferiți

De exemplu, puteți scădea o fracție dintr-o fracție deoarece fracțiile au aceiași numitori. Dar nu puteți scădea o fracție dintr-o fracție, deoarece aceste fracții au numitori diferiți. În astfel de cazuri, fracțiile trebuie reduse la același numitor (comun).

Numitorul comun se găsește folosind același principiu pe care l-am folosit atunci când adunăm fracții cu numitori diferiți. În primul rând, găsiți LCM al numitorilor ambelor fracții. Apoi LCM se împarte la numitorul primei fracții și se obține primul factor suplimentar, care se scrie deasupra primei fracții. În mod similar, LCM este împărțit la numitorul celei de-a doua fracții și se obține un al doilea factor suplimentar, care este scris deasupra celei de-a doua fracții.

Fracțiile sunt apoi înmulțite cu factorii lor suplimentari. Ca rezultat al acestor operații, fracțiile care au numitori diferiți sunt convertite în fracții care au aceiași numitori. Și știm deja cum să scădem astfel de fracții.

Exemplul 1. Găsiți sensul expresiei:

Aceste fracții au numitori diferiți, așa că trebuie să le reduceți la același numitor (comun).

Mai întâi găsim LCM al numitorilor ambelor fracții. Numitorul primei fracții este numărul 3, iar numitorul celei de-a doua fracții este numărul 4. Cel mai mic multiplu comun al acestor numere este 12

LCM (3 și 4) = 12

Acum să revenim la fracții și

Să găsim un factor suplimentar pentru prima fracție. Pentru a face acest lucru, împărțiți LCM la numitorul primei fracții. LCM este numărul 12, iar numitorul primei fracții este numărul 3. Împărțiți 12 la 3, obținem 4. Scrieți un patru deasupra primei fracții:

Facem același lucru cu a doua fracție. Împărțiți LCM la numitorul celei de-a doua fracții. LCM este numărul 12, iar numitorul celei de-a doua fracții este numărul 4. Împărțiți 12 la 4, obținem 3. Scrieți un trei peste a doua fracție:

Acum suntem pregătiți pentru scădere. Rămâne să înmulțim fracțiile cu factorii lor suplimentari:

Am ajuns la concluzia că fracțiile care aveau numitori diferiți s-au transformat în fracții care aveau aceiași numitori. Și știm deja cum să scădem astfel de fracții. Să luăm acest exemplu până la capăt:

Am primit un răspuns

Să încercăm să descriem soluția noastră folosind un desen. Dacă tăiați pizza dintr-o pizza, obțineți pizza

Aceasta este versiunea detaliată a soluției. Dacă am fi la școală, ar trebui să rezolvăm mai scurt acest exemplu. O astfel de soluție ar arăta astfel:

Reducerea fracțiilor la un numitor comun poate fi reprezentată și folosind o imagine. Reducând aceste fracții la un numitor comun, am obținut fracțiile și . Aceste fracții vor fi reprezentate de aceleași felii de pizza, dar de data aceasta vor fi împărțite în părți egale (reduse la același numitor):

Prima imagine arată o fracție (opt bucăți din douăsprezece), iar a doua imagine arată o fracție (trei bucăți din douăsprezece). Tăiind trei bucăți din opt bucăți, obținem cinci bucăți din douăsprezece. Fracția descrie aceste cinci piese.

Exemplul 2. Găsiți valoarea unei expresii

Aceste fracții au numitori diferiți, așa că mai întâi trebuie să le reduceți la același numitor (comun).

Să găsim LCM al numitorilor acestor fracții.

Numitorii fracțiilor sunt numerele 10, 3 și 5. Cel mai mic multiplu comun al acestor numere este 30

LCM(10, 3, 5) = 30

Acum găsim factori suplimentari pentru fiecare fracție. Pentru a face acest lucru, împărțiți LCM la numitorul fiecărei fracții.

Să găsim un factor suplimentar pentru prima fracție. LCM este numărul 30, iar numitorul primei fracții este numărul 10. Împărțim 30 la 10, obținem primul factor suplimentar 3. Îl scriem deasupra primei fracții:

Acum găsim un factor suplimentar pentru a doua fracție. Împărțiți LCM la numitorul celei de-a doua fracții. LCM este numărul 30, iar numitorul celei de-a doua fracții este numărul 3. Împărțim 30 la 3, obținem al doilea factor suplimentar 10. Îl scriem deasupra celei de-a doua fracții:

Acum găsim un factor suplimentar pentru a treia fracție. Împărțiți LCM la numitorul celei de-a treia fracții. LCM este numărul 30, iar numitorul celei de-a treia fracții este numărul 5. Împărțim 30 la 5, obținem al treilea factor suplimentar 6. Îl scriem deasupra celei de-a treia fracții:

Acum totul este gata pentru scădere. Rămâne să înmulțim fracțiile cu factorii lor suplimentari:

Am ajuns la concluzia că fracțiile care aveau numitori diferiți s-au transformat în fracții care aveau aceiași numitori (comuni). Și știm deja cum să scădem astfel de fracții. Să terminăm acest exemplu.

Continuarea exemplului nu se va potrivi pe o linie, așa că mutam continuarea pe următoarea linie. Nu uitați de semnul egal (=) pe noua linie:

Răspunsul s-a dovedit a fi o fracțiune obișnuită și totul pare să ni se potrivească, dar este prea greoi și urât. Ar trebui să o simplificăm. Ce se poate face? Puteți scurta această fracție.

Pentru a reduce o fracție, trebuie să împărțiți numărătorul și numitorul acesteia la (GCD) numerelor 20 și 30.

Deci, găsim mcd-ul numerelor 20 și 30:

Acum revenim la exemplul nostru și împărțim numărătorul și numitorul fracției la mcd găsit, adică la 10

Am primit un răspuns

Înmulțirea unei fracții cu un număr

Pentru a înmulți o fracție cu un număr, trebuie să înmulțiți numărătorul fracției cu acel număr și să lăsați numitorul neschimbat.

Exemplul 1. Înmulțiți o fracție cu numărul 1.

Înmulțiți numărătorul fracției cu numărul 1

Înregistrarea poate fi înțeleasă ca durând o jumătate de dată. De exemplu, dacă iei pizza o dată, primești pizza

Din legile înmulțirii știm că dacă multiplicandul și factorul sunt schimbate, produsul nu se va schimba. Dacă expresia este scrisă ca , atunci produsul va fi tot egal cu . Din nou, regula pentru înmulțirea unui număr întreg și a unei fracții funcționează:

Această notație poate fi înțeleasă ca luând jumătate din unu. De exemplu, dacă există 1 pizza întreagă și luăm jumătate din ea, atunci vom avea pizza:

Exemplul 2. Găsiți valoarea unei expresii

Înmulțiți numărătorul fracției cu 4

Răspunsul a fost o fracție improprie. Să evidențiem întreaga parte a acesteia:

Expresia poate fi înțeleasă ca luând două sferturi de 4 ori. De exemplu, dacă iei 4 pizza, vei primi două pizza întregi

Și dacă schimbăm multiplicandul și multiplicatorul, obținem expresia . De asemenea, va fi egal cu 2. Această expresie poate fi înțeleasă ca luând două pizza din patru pizza întregi:

Numărul înmulțit cu fracția și numitorul fracției se rezolvă dacă au un factor comun mai mare decât unu.

De exemplu, o expresie poate fi evaluată în două moduri.

Prima cale. Înmulțiți numărul 4 cu numărătorul fracției și lăsați numitorul fracției neschimbat:

A doua cale. Cele patru fiind înmulțite și cele patru din numitorul fracției pot fi reduse. Acești patru pot fi reduse cu 4, deoarece cel mai mare divizor comun pentru doi patru este patru însuși:

Am obținut același rezultat 3. După reducerea celor patru, în locul lor se formează numere noi: două. Dar înmulțirea unuia cu trei și apoi împărțirea la unu nu schimbă nimic. Prin urmare, soluția poate fi scrisă pe scurt:

Reducerea poate fi efectuată chiar și atunci când am decis să folosim prima metodă, dar la etapa înmulțirii numărului 4 și numărătorului 3 am decis să folosim reducerea:

Dar, de exemplu, expresia poate fi calculată numai în primul mod - înmulțiți 7 cu numitorul fracției și lăsați numitorul neschimbat:

Acest lucru se datorează faptului că numărul 7 și numitorul fracției nu au un divizor comun mai mare de unu și, în consecință, nu se anulează.

Unii elevi scurtează din greșeală numărul înmulțit și numărătorul fracției. Nu poți face asta. De exemplu, următoarea intrare nu este corectă:

Reducerea unei fracții înseamnă că atât numărătorul cât și numitorul va fi împărțit la același număr. În situația cu expresia, împărțirea se efectuează numai la numărător, deoarece scrierea aceasta este la fel cu scrierea . Vedem că împărțirea se efectuează numai la numărător și nu are loc nicio împărțire la numitor.

Înmulțirea fracțiilor

Pentru a înmulți fracțiile, trebuie să le înmulțiți numărătorii și numitorii. Dacă răspunsul se dovedește a fi o fracție necorespunzătoare, trebuie să evidențiați întreaga parte a acestuia.

Exemplul 1. Găsiți valoarea expresiei.

Am primit un răspuns. Este recomandabil să reduceți această fracție. Fracția poate fi redusă cu 2. Apoi soluția finală va lua următoarea formă:

Expresia poate fi înțeleasă ca luând o pizza dintr-o jumătate de pizza. Să presupunem că avem jumătate de pizza:

Cum să iau două treimi din această jumătate? Mai întâi trebuie să împărțiți această jumătate în trei părți egale:

Și ia două din aceste trei bucăți:

Vom face pizza. Amintiți-vă cum arată o pizza, împărțită în trei părți:

O bucată din această pizza și cele două bucăți pe care le-am luat vor avea aceleași dimensiuni:

Cu alte cuvinte, vorbim de pizza de aceeași dimensiune. Prin urmare, valoarea expresiei este

Exemplul 2. Găsiți valoarea unei expresii

Înmulțiți numărătorul primei fracții cu numărătorul celei de-a doua fracții și numitorul primei fracții cu numitorul celei de-a doua fracții:

Răspunsul a fost o fracție improprie. Să evidențiem întreaga parte a acesteia:

Exemplul 3. Găsiți valoarea unei expresii

Înmulțiți numărătorul primei fracții cu numărătorul celei de-a doua fracții și numitorul primei fracții cu numitorul celei de-a doua fracții:

Răspunsul s-a dovedit a fi o fracție obișnuită, dar ar fi bine dacă ar fi scurtat. Pentru a reduce această fracție, trebuie să împărțiți numărătorul și numitorul acestei fracții la cel mai mare divizor comun (MCD) al numerelor 105 și 450.

Deci, să găsim mcd-ul numerelor 105 și 450:

Acum împărțim numărătorul și numitorul răspunsului nostru la mcd-ul pe care l-am găsit acum, adică la 15

Reprezentarea unui număr întreg sub formă de fracție

Orice număr întreg poate fi reprezentat ca o fracție. De exemplu, numărul 5 poate fi reprezentat ca . Acest lucru nu va schimba sensul lui cinci, deoarece expresia înseamnă „numărul cinci împărțit la unu”, iar acesta, după cum știm, este egal cu cinci:

Numerele reciproce

Acum ne vom familiariza cu foarte subiect interesantîn matematică. Se numește „numere inverse”.

Definiţie. Inversa la număro este un număr care, atunci când este înmulțit cuo dă unul.

Să înlocuim în această definiție în locul variabilei o numărul 5 și încercați să citiți definiția:

Inversa la număr 5 este un număr care, atunci când este înmulțit cu 5 dă unul.

Este posibil să găsim un număr care, înmulțit cu 5, dă unul? Se dovedește că este posibil. Să ne imaginăm cinci ca o fracție:

Apoi înmulțiți această fracție cu ea însăși, schimbați doar numărătorul și numitorul. Cu alte cuvinte, să înmulțim fracția cu ea însăși, doar cu capul în jos:

Ce se va întâmpla ca urmare a acestui fapt? Dacă continuăm să rezolvăm acest exemplu, obținem unul:

Aceasta înseamnă că inversul numărului 5 este numărul , deoarece atunci când înmulțiți 5 cu obțineți unul.

Reciproca unui număr poate fi găsită și pentru orice alt întreg.

Puteți găsi, de asemenea, reciproca oricărei alte fracții. Pentru a face acest lucru, doar întoarceți-l.

Împărțirea unei fracții la un număr

Să presupunem că avem jumătate de pizza:

Să o împărțim în mod egal între doi. Câtă pizza va primi fiecare persoană?

Se poate observa că după împărțirea jumătății de pizza s-au obținut două bucăți egale, fiecare dintre acestea constituind o pizza. Deci toată lumea primește o pizza.

Acum că am învățat cum să adunăm și să înmulțim fracții individuale, ne putem uita la structuri mai complexe. De exemplu, ce se întâmplă dacă aceeași problemă implică adunarea, scăderea și înmulțirea fracțiilor?

În primul rând, trebuie să convertiți toate fracțiile în unele necorespunzătoare. Apoi efectuăm secvențial acțiunile necesare - în aceeași ordine ca și pentru numerele obișnuite. Anume:

1. Exponentiarea se face mai intai - scapa de toate expresiile care contin exponenti;
2. Apoi - împărțirea și înmulțirea;
3. Ultimul pas este adunarea și scăderea.

Desigur, dacă există paranteze în expresie, ordinea operațiilor se schimbă - tot ceea ce se află în paranteze trebuie numărat mai întâi. Și amintiți-vă despre fracțiile improprii: trebuie să evidențiați întreaga parte numai atunci când toate celelalte acțiuni au fost deja finalizate.

Să convertim toate fracțiile din prima expresie în cele improprii și apoi să efectuăm următorii pași:

Acum să găsim valoarea celei de-a doua expresii. Nu există fracții cu o parte întreagă, dar există paranteze, așa că mai întâi facem adunarea și abia apoi împărțirea. Rețineți că 14 = 7 · 2. Apoi:

În cele din urmă, luați în considerare al treilea exemplu. Există paranteze și un grad aici - este mai bine să le numărați separat. Având în vedere că 9 = 3 3, avem:

Atenție la ultimul exemplu. Pentru a ridica o fracție la o putere, trebuie să ridicați separat numărătorul la această putere și separat, numitorul.

Puteți decide altfel. Dacă ne amintim definiția unui grad, problema se va reduce la înmulțirea obișnuită a fracțiilor:

Fracții cu mai multe etaje

Până acum am considerat doar fracții „pure”, când numărătorul și numitorul sunt numere obișnuite. Acest lucru este destul de consistent cu definiția unei fracții numerice dată în prima lecție.

Dar dacă puneți un obiect mai complex la numărător sau numitor? De exemplu, o altă fracție numerică? Astfel de construcții apar destul de des, mai ales când se lucrează cu expresii lungi. Iată câteva exemple:

Există o singură regulă pentru a lucra cu fracții cu mai multe niveluri: trebuie să scapi de ele imediat. Îndepărtarea podelelor „în plus” este destul de simplă, dacă vă amintiți că bara oblică înseamnă operația standard de împărțire. Prin urmare, orice fracție poate fi rescrisă după cum urmează:

Folosind acest fapt și urmând procedura, putem reduce cu ușurință orice fracție cu mai multe etaje la una obișnuită. Aruncă o privire la exemple:

Sarcină. Convertiți fracțiile cu mai multe etaje în fracții obișnuite:

În fiecare caz, rescriem fracția principală, înlocuind linia despărțitoare cu un semn de diviziune. De asemenea, amintiți-vă că orice număr întreg poate fi reprezentat ca o fracție cu numitorul 1. Adică 12 = 12/1; 3 = 3/1. Primim:

În ultimul exemplu, fracțiile au fost anulate înainte de înmulțirea finală.

Specificul lucrului cu fracții cu mai multe niveluri

Există o subtilitate în fracțiile cu mai multe niveluri care trebuie reținută întotdeauna, altfel puteți obține răspunsul greșit, chiar dacă toate calculele au fost corecte. Aruncă o privire:

1. Numătorul conține un singur număr 7, iar numitorul conține fracția 12/5;
2. Numătorul conține fracția 7/12, iar numitorul conține numărul separat 5.

Deci, pentru o înregistrare am primit două interpretări complet diferite. Dacă numărați, răspunsurile vor fi și ele diferite:

Pentru a vă asigura că înregistrarea este întotdeauna citită fără ambiguitate, utilizați o regulă simplă: linia de despărțire a fracției principale trebuie să fie mai lungă decât linia fracției imbricate. De preferat de mai multe ori.

Dacă urmați această regulă, atunci fracțiile de mai sus ar trebui scrise după cum urmează:

Da, probabil că este inestetic și ocupă prea mult spațiu. Dar vei număra corect. În cele din urmă, câteva exemple în care apar efectiv fracții cu mai multe etaje:

Sarcină. Găsiți semnificațiile expresiilor:

Deci, să lucrăm cu primul exemplu. Să convertim toate fracțiile în fracții improprii și apoi să efectuăm operații de adunare și împărțire:

Să facem același lucru cu al doilea exemplu. Să convertim toate fracțiile în fracții improprii și să efectuăm operațiile necesare. Pentru a nu plictisi cititorul, voi omite câteva calcule evidente. Avem:

Datorită faptului că numărătorul și numitorul fracțiilor de bază conțin sume, regula de scriere a fracțiilor cu mai multe etaje este respectată automat. De asemenea, în ultimul exemplu, am lăsat intenționat 46/1 sub formă de fracție pentru a efectua împărțirea.

De asemenea, voi observa că în ambele exemple bara de fracțiuni înlocuiește de fapt parantezele: în primul rând, am găsit suma și abia apoi coeficientul.

Unii vor spune că trecerea la fracții improprii în al doilea exemplu a fost în mod clar redundantă. Poate că acest lucru este adevărat. Dar făcând acest lucru ne asigurăm împotriva greșelilor, pentru că data viitoare exemplul se poate dovedi mult mai complicat. Alegeți singur ceea ce este mai important: viteza sau fiabilitatea.

Una dintre cele mai importante științe, a cărei aplicare poate fi văzută în discipline precum chimia, fizica și chiar biologia, este matematica. Studierea acestei științe vă permite să dezvoltați unele calități mentale și să vă îmbunătățiți capacitatea de concentrare. Unul dintre subiectele care merită o atenție deosebită la cursul de Matematică este adunarea și scăderea fracțiilor. Mulți studenți le este greu să studieze. Poate că articolul nostru vă va ajuta să înțelegeți mai bine acest subiect.

Cum se scad fracțiile ai căror numitori sunt aceiași

Fracțiile sunt aceleași numere cu care puteți efectua diverse operații. Diferența lor față de numerele întregi constă în prezența unui numitor. De aceea, atunci când efectuați operații cu fracții, trebuie să studiați unele dintre caracteristicile și regulile acestora. Cel mai simplu caz este scăderea fracții obișnuite, ai căror numitori sunt reprezentați ca același număr. Efectuarea acestei acțiuni nu va fi dificilă dacă cunoașteți o regulă simplă:

• Pentru a scădea o secundă dintr-o fracție, este necesar să se scadă numărătorul fracției scăzute din numărătorul fracției care se reduce. Scriem acest număr în numărătorul diferenței și lăsăm numitorul același: k/m - b/m = (k-b)/m.

Exemple de scădere a fracțiilor ai căror numitori sunt aceiași

7/19 - 3/19 = (7 - 3)/19 = 4/19.

Din numărătorul fracției „7” scădem numărătorul fracției „3” de scăzut, obținem „4”. Scriem acest număr la numărătorul răspunsului, iar la numitor punem același număr care era în numitorii primei și celei de-a doua fracții - „19”.

Imaginea de mai jos prezintă mai multe exemple similare.

Să luăm în considerare un exemplu mai complex în care se scad fracțiile cu numitori similari:

29/47 - 3/47 - 8/47 - 2/47 - 7/47 = (29 - 3 - 8 - 2 - 7)/47 = 9/47.

Din numărătorul fracției „29” fiind redus prin scăderea pe rând a numărătorilor tuturor fracțiilor ulterioare - „3”, „8”, „2”, „7”. Drept urmare, obținem rezultatul „9”, pe care îl notăm la numărătorul răspunsului, iar la numitor notăm numărul care se află în numitorii tuturor acestor fracții - „47”.

Adunarea fracțiilor care au același numitor

Adunarea și scăderea fracțiilor obișnuite urmează același principiu.

• Pentru a adăuga fracții ai căror numitori sunt aceiași, trebuie să adăugați numărătorii. Numărul rezultat este numărătorul sumei, iar numitorul va rămâne același: k/m + b/m = (k + b)/m.

Să vedem cum arată asta folosind un exemplu:

1/4 + 2/4 = 3/4.

La numărătorul primului termen al fracției - „1” - adăugați numărătorul celui de-al doilea termen al fracției - „2”. Rezultatul - „3” - este scris în numărătorul sumei, iar numitorul rămâne același cu cel prezent în fracții - „4”.

Fracții cu numitori diferiți și scăderea lor

Am considerat deja operația cu fracții care au același numitor. După cum vedem, știind reguli simple, rezolvarea unor astfel de exemple este destul de ușoară. Dar dacă trebuie să efectuați o operație cu fracții care au numitori diferiți? Mulți elevi de liceu sunt derutați de astfel de exemple. Dar și aici, dacă cunoașteți principiul soluției, exemplele nu vă vor mai fi dificile. Există și o regulă aici, fără de care rezolvarea unor astfel de fracții este pur și simplu imposibilă.

Pentru a scădea fracții cu numitori diferiți, acestea trebuie reduse la același cel mai mic numitor.



Vom vorbi mai detaliat despre cum să facem acest lucru.

Proprietatea unei fracții

Pentru a aduce mai multe fracții la același numitor, trebuie să utilizați proprietatea principală a unei fracții în soluție: după împărțirea sau înmulțirea numărătorului și numitorului cu acelasi numar obțineți o fracție egală cu cea dată.

Deci, de exemplu, fracția 2/3 poate avea numitori precum „6”, „9”, „12”, etc., adică poate avea forma oricărui număr care este multiplu al lui „3”. După ce înmulțim numărătorul și numitorul cu „2”, obținem fracția 4/6. După ce înmulțim numărătorul și numitorul fracției inițiale cu „3”, obținem 6/9, iar dacă facem o operație similară cu numărul „4”, obținem 8/12. O egalitate poate fi scrisă după cum urmează:

2/3 = 4/6 = 6/9 = 8/12…

Cum se transformă mai multe fracții la același numitor

Să ne uităm la cum să reducem mai multe fracții la același numitor. De exemplu, să luăm fracțiile prezentate în imaginea de mai jos. Mai întâi trebuie să determinați ce număr poate deveni numitorul pentru toate. Pentru a ușura lucrurile, să factorizăm numitorii existenți.

Numitorul fracției 1/2 și al fracției 2/3 nu pot fi factorizați. Numitorul 7/9 are doi factori 7/9 = 7/(3 x 3), numitorul fracției 5/6 = 5/(2 x 3). Acum trebuie să determinăm care factori vor fi cei mai mici pentru toate aceste patru fracții. Deoarece prima fracție are numărul „2” la numitor, înseamnă că trebuie să fie prezentă la toți numitorii în fracția 7/9 există două triplete, ceea ce înseamnă că ambele trebuie să fie prezente și la numitor; Ținând cont de cele de mai sus, determinăm că numitorul este format din trei factori: 3, 2, 3 și este egal cu 3 x 2 x 3 = 18.



Să luăm în considerare prima fracție - 1/2. Există un „2” în numitorul său, dar nu există o singură cifră „3”, dar ar trebui să fie două. Pentru a face acest lucru, înmulțim numitorul cu două triple, dar, conform proprietății unei fracții, trebuie să înmulțim numărătorul cu două triple:
1/2 = (1 x 3 x 3)/(2 x 3 x 3) = 9/18.

Efectuăm aceleași operații cu fracțiile rămase.

• 2/3 - unul trei și unul doi lipsesc la numitor:
  2/3 = (2 x 3 x 2)/(3 x 3 x 2) = 12/18.
• 7/9 sau 7/(3 x 3) - numitorului lipsește un doi:
  7/9 = (7 x 2)/(9 x 2) = 14/18.
• 5/6 sau 5/(2 x 3) - numitorului lipsește un trei:
  5/6 = (5 x 3)/(6 x 3) = 15/18.

Toate împreună arată așa:



Cum se scad și se adună fracții care au numitori diferiți

După cum am menționat mai sus, pentru a adăuga sau scădea fracții care au numitori diferiți, acestea trebuie reduse la același numitor, iar apoi să se folosească regulile de scădere a fracțiilor care au același numitor, care au fost deja discutate.

Să ne uităm la asta ca exemplu: 4/18 - 3/15.

Aflarea multiplului numerelor 18 și 15:

• Numărul 18 este format din 3 x 2 x 3.
• Numărul 15 este format din 5 x 3.
• Multiplu comun va fi următorii factori: 5 x 3 x 3 x 2 = 90.

După ce a fost găsit numitorul, este necesar să se calculeze factorul care va fi diferit pentru fiecare fracție, adică numărul cu care va fi necesar să se înmulțească nu numai numitorul, ci și numărătorul. Pentru a face acest lucru, împărțiți numărul pe care l-am găsit (multiplu comun) la numitorul fracției pentru care trebuie să fie determinați factori suplimentari.

• 90 împărțit la 15. Numărul rezultat „6” va fi un multiplicator pentru 3/15.
• 90 împărțit la 18. Numărul rezultat „5” va fi un multiplicator pentru 4/18.

Următoarea etapă a soluției noastre este să reducem fiecare fracție la numitorul „90”.

Am vorbit deja despre cum se face acest lucru. Să vedem cum este scris asta într-un exemplu:

(4 x 5)/(18 x 5) - (3 x 6)/(15 x 6) = 20/90 - 18/90 = 2/90 = 1/45.

Dacă fracțiile au numere mici, atunci puteți determina numitorul comun, ca în exemplul prezentat în imaginea de mai jos.



Același lucru este valabil și pentru cei cu numitori diferiți.

Scăderea și având părți întregi

Am discutat deja în detaliu despre scăderea fracțiilor și adunarea lor. Dar cum să scadă dacă o fracție are o parte întreagă? Din nou, să folosim câteva reguli:

• Convertiți toate fracțiile care au o parte întreagă în fracții improprii. Vorbitor în cuvinte simple, scoateți întreaga parte. Pentru a face acest lucru, înmulțiți numărul părții întregi cu numitorul fracției și adăugați produsul rezultat la numărător. Numărul care iese după aceste acțiuni este numărătorul fracției improprie. Numitorul rămâne neschimbat.
• Dacă fracțiile au numitori diferiți, acestea ar trebui reduse la același numitor.
• Efectuați adunarea sau scăderea cu aceiași numitori.
• Când primiți o fracție necorespunzătoare, selectați întreaga parte.



Există un alt mod în care puteți adăuga și scădea fracții cu părți întregi. Pentru a face acest lucru, acțiunile sunt efectuate separat cu părți întregi și acțiunile cu fracții separat, iar rezultatele sunt înregistrate împreună.



Exemplul dat este format din fracții care au același numitor. În cazul în care numitorii sunt diferiți, aceștia trebuie adusi la aceeași valoare și apoi efectuați acțiunile prezentate în exemplu.

Scăderea fracțiilor din numere întregi

Un alt tip de operație cu fracții este cazul în care o fracție trebuie scăzută La prima vedere, un astfel de exemplu pare greu de rezolvat. Totuși, totul este destul de simplu aici. Pentru a o rezolva, trebuie să convertiți numărul întreg într-o fracție și cu același numitor care se află în fracția scăzută. În continuare, efectuăm o scădere similară cu scăderea cu numitori identici. Într-un exemplu arată astfel:

7 - 4/9 = (7 x 9)/9 - 4/9 = 53/9 - 4/9 = 49/9.

Scăderea fracțiilor (nota 6) prezentată în acest articol este baza pentru rezolvarea mai multor exemple complexe, care sunt discutate în clasele ulterioare. Cunoașterea acestui subiect este ulterior utilizată pentru a rezolva funcții, derivate și așa mai departe. Prin urmare, este foarte important să înțelegeți și să înțelegeți operațiile cu fracții discutate mai sus.

Înmulțirea și împărțirea fracțiilor.

Atenţie!
Există suplimentare
materiale în secțiunea specială 555.
Pentru cei care sunt foarte „nu foarte...”
Și pentru cei care „foarte mult...”)

Această operație este mult mai frumoasă decât adunarea-scăderea! Pentru că e mai ușor. Ca o reamintire, pentru a înmulți o fracție cu o fracție, trebuie să înmulțiți numărătorii (acesta va fi numărătorul rezultatului) și numitorii (acesta va fi numitorul). Adică:

De exemplu:

Totul este extrem de simplu. Și vă rog să nu căutați un numitor comun! Nu e nevoie de el aici...

Pentru a împărți o fracție la o fracție, trebuie să inversați doilea(acest lucru este important!) fracționați și înmulțiți-le, adică:

De exemplu:

Dacă întâlniți înmulțiri sau împărțiri cu numere întregi și fracții, este în regulă. Ca și în cazul adunării, facem o fracție dintr-un număr întreg cu unul la numitor - și mergeți mai departe! De exemplu:

În liceu, de multe ori ai de-a face cu fracții cu trei etaje (sau chiar cu patru etaje!). De exemplu:

Cum pot face ca această fracție să arate decent? Da, foarte simplu! Folosiți împărțirea în două puncte:

Dar nu uitați de ordinea împărțirii! Spre deosebire de multiplicare, acest lucru este foarte important aici! Desigur, nu vom confunda 4:2 sau 2:4. Dar este ușor să faci o greșeală într-o fracțiune de trei etaje. Vă rugăm să rețineți, de exemplu:

În primul caz (expresie din stânga):

În a doua (expresie din dreapta):

Simți diferența? 4 și 1/9!

Ce determină ordinea împărțirii? Fie cu paranteze, fie (ca aici) cu lungimea liniilor orizontale. Dezvoltați-vă ochiul. Și dacă nu există paranteze sau liniuțe, cum ar fi:

apoi împărțiți și înmulțiți în ordine, de la stânga la dreapta!

Și o altă tehnică foarte simplă și importantă. În acțiuni cu grade, îți va fi atât de util! Să împărțim unul la orice fracție, de exemplu, la 13/15:

Lovitura s-a răsturnat! Și asta se întâmplă mereu. Când împărțiți 1 la orice fracție, rezultatul este aceeași fracție, doar invers.

Asta e pentru operațiuni cu fracții. Lucrul este destul de simplu, dar dă erori mai mult decât suficiente. Vă rugăm să rețineți sfaturi practice, și vor fi mai puține dintre ele (erori)!

Sfaturi practice:

1. Cel mai important lucru atunci când lucrați cu expresii fracționale este acuratețea și atenția! Acestea nu sunt cuvinte generale, nu sunt urări de bine! Aceasta este o nevoie urgentă! Efectuați toate calculele pentru examenul de stat unificat ca o sarcină cu drepturi depline, concentrată și clară. Este mai bine să scrieți două rânduri suplimentare într-o ciornă decât să dați greșelii atunci când faceți calcule mentale.

2. În exemplele cu diferite tipuri fracții - mergeți la fracții obișnuite.

3. Reducem toate fracțiile până se opresc.

4. Reducem expresiile fracționale cu mai multe niveluri la cele obișnuite folosind împărțirea prin două puncte (urmăm ordinea împărțirii!).

5. Împărțiți o unitate la o fracție în cap, pur și simplu răsturnând fracția.

Iată sarcinile pe care cu siguranță trebuie să le rezolvați. Răspunsurile sunt date după toate sarcinile. Folosiți materialele pe această temă și sfaturi practice. Estimați câte exemple ați reușit să rezolvați corect. Chiar prima dată! Fara calculator! Și trageți concluziile corecte...

Amintiți-vă - răspunsul corect este primit de la a doua (mai ales a treia) oară nu contează! Așa este viața aspră.

Aşa, rezolva in modul examen ! Apropo, aceasta este deja pregătirea pentru examenul de stat unificat. Rezolvăm exemplul, îl verificăm, îl rezolvăm pe următorul. Am decis totul - am verificat din nou de la prima până la sfârșit. Și numai Apoi uita-te la raspunsuri.

Calcula:

Te-ai hotarat?

Căutăm răspunsuri care se potrivesc cu ale dumneavoastră. Le-am notat voit în dezordine, departe de ispită, ca să zic așa... Iată-le, răspunsurile, scrise cu punct și virgulă.

0; 17/22; 3/4; 2/5; 1; 25.

Acum tragem concluzii. Daca totul a iesit, ma bucur pentru tine! Calculele de bază cu fracții nu sunt problema ta! Poți să faci lucruri mai serioase. Dacă nu...

Deci ai una dintre cele două probleme. Sau ambele deodată.) Lipsa de cunoaștere și (sau) neatenție. Dar... Asta rezolvabil probleme.

Daca va place acest site...

Apropo, mai am câteva site-uri interesante pentru tine.)

Puteți exersa rezolvarea exemplelor și puteți afla nivelul dvs. Testare cu verificare instantanee. Să învățăm - cu interes!)

Vă puteți familiariza cu funcțiile și derivatele.

Puteți efectua diverse operații cu fracții, de exemplu, adăugarea de fracții. Adunarea fracțiilor poate fi împărțită în mai multe tipuri. Fiecare tip de adunare de fracții are propriile reguli și algoritm de acțiuni. Să ne uităm la fiecare tip de adaos în detaliu.

Adunarea fracțiilor cu numitori similari.

Să ne uităm la un exemplu despre cum să adunăm fracții cu un numitor comun.

Turiștii au mers pe jos de la punctul A la punctul E. În prima zi, au mers de la punctul A la B sau \(\frac(1)(5)\) tot drumul. În a doua zi au mers de la punctul B la D sau \(\frac(2)(5)\) tot drumul. Cât de departe au călătorit de la începutul călătoriei până la punctul D?

Pentru a găsi distanța de la punctul A la punctul D, trebuie să adăugați fracțiile \(\frac(1)(5) + \frac(2)(5)\).

Adunarea fracțiilor cu numitori similari înseamnă că trebuie să adăugați numărătorii acestor fracții, dar numitorul va rămâne același.

\(\frac(1)(5) + \frac(2)(5) = \frac(1 + 2)(5) = \frac(3)(5)\)

În formă literală, suma fracțiilor cu aceiași numitori va arăta astfel:

\(\bf \frac(a)(c) + \frac(b)(c) = \frac(a + b)(c)\)

Răspuns: turiştii au mers \(\frac(3)(5)\) tot drumul.

Adunarea fracțiilor cu numitori diferiți.

Să ne uităm la un exemplu:

Trebuie să adăugați două fracții \(\frac(3)(4)\) și \(\frac(2)(7)\).

Pentru a adăuga fracții cu numitori diferiți, trebuie mai întâi să găsiți, și apoi folosiți regula pentru adunarea fracțiilor cu numitori similari.

Pentru numitorii 4 și 7, numitorul comun va fi numărul 28. Prima fracție \(\frac(3)(4)\) trebuie înmulțită cu 7. A doua fracție \(\frac(2)(7)\ ) trebuie înmulțit cu 4.

\(\frac(3)(4) + \frac(2)(7) = \frac(3 \times \color(red) (7) + 2 \times \color(red) (4))(4 \ ori \color(red) (7)) = \frac(21 + 8)(28) = \frac(29)(28) = 1\frac(1)(28)\)

În formă literală, obținem următoarea formulă:

\(\bf \frac(a)(b) + \frac(c)(d) = \frac(a \times d + c \times b)(b \times d)\)

Adunarea numerelor mixte sau a fracțiilor mixte.

Adunarea are loc conform legii adunării.

Pentru fracțiile mixte, adăugăm părțile întregi cu părțile întregi și părțile fracționale cu fracțiile.

Dacă părțile fracționale ale numerelor mixte au aceiași numitori, atunci adunăm numărătorii, dar numitorul rămâne același.

Să adăugăm numerele mixte \(3\frac(6)(11)\) și \(1\frac(3)(11)\).

\(3\frac(6)(11) + 1\frac(3)(11) = (\color(red) (3) + \color(blue) (\frac(6)(11))) + ( \color(red) (1) + \color(blue) (\frac(3)(11)))) = (\color(red) (3) + \color(red) (1)) + (\color( albastru) (\frac(6)(11)) + \color(blue) (\frac(3)(11))) = \color(red)(4) + (\color(blue) (\frac(6) + 3)(11))) = \color(red)(4) + \color(blue) (\frac(9)(11)) = \color(red)(4) \color(blue) (\frac (9)(11))\)

Dacă părțile fracționale ale numerelor mixte au numitori diferiți, atunci găsim numitorul comun.

Să efectuăm adunarea numerelor mixte \(7\frac(1)(8)\) și \(2\frac(1)(6)\).

Numitorul este diferit, așa că trebuie să găsim numitorul comun, acesta este egal cu 24. Înmulțiți prima fracție \(7\frac(1)(8)\) cu un factor suplimentar de 3 și a doua fracție \( 2\frac(1)(6)\) cu 4.

\(7\frac(1)(8) + 2\frac(1)(6) = 7\frac(1 \times \color(red) (3))(8 \times \color(red) (3) ) = 2\frac(1\times \color(red) (4))(6\times \color(red) (4)) =7\frac(3)(24) + 2\frac(4)(24 ) = 9\frac(7)(24)\)

Întrebări înrudite:
Cum se adună fracții?
Răspuns: mai întâi trebuie să decideți ce tip de expresie este: fracțiile au aceiași numitori, numitori diferiți sau fracții mixte. În funcție de tipul de expresie, trecem la algoritmul de soluție.

Cum se rezolvă fracții cu numitori diferiți?
Răspuns: trebuie să găsiți numitorul comun și apoi să urmați regula de adunare a fracțiilor cu aceiași numitori.

Cum se rezolvă fracțiile mixte?
Răspuns: adăugăm părți întregi cu numere întregi și părți fracționale cu fracții.

Exemplul #1:
Poate suma a două să rezulte o fracție adecvată? Fracție nepotrivită? Dați exemple.

\(\frac(2)(7) + \frac(3)(7) = \frac(2 + 3)(7) = \frac(5)(7)\)

Fracția \(\frac(5)(7)\) este o fracție proprie, este rezultatul sumei a două fracții proprii \(\frac(2)(7)\) și \(\frac(3) (7)\).

\(\frac(2)(5) + \frac(8)(9) = \frac(2 \times 9 + 8 \times 5)(5 \times 9) =\frac(18 + 40)(45) = \frac(58)(45)\)

Fracția \(\frac(58)(45)\) este o fracție improprie, este rezultatul sumei fracțiilor proprii \(\frac(2)(5)\) și \(\frac(8) (9)\).

Răspuns: Răspunsul la ambele întrebări este da.

Exemplul #2:
Adăugați fracțiile: a) \(\frac(3)(11) + \frac(5)(11)\) b) \(\frac(1)(3) + \frac(2)(9)\) .

a) \(\frac(3)(11) + \frac(5)(11) = \frac(3 + 5)(11) = \frac(8)(11)\)

b) \(\frac(1)(3) + \frac(2)(9) = \frac(1 \times \color(red) (3))(3 \times \color(red) (3)) + \frac(2)(9) = \frac(3)(9) + \frac(2)(9) = \frac(5)(9)\)

Exemplul #3:
Notează-l fracție mixtă ca suma număr naturalși fracția proprie: a) \(1\frac(9)(47)\) b) \(5\frac(1)(3)\)

a) \(1\frac(9)(47) = 1 + \frac(9)(47)\)

b) \(5\frac(1)(3) = 5 + \frac(1)(3)\)

Exemplul #4:
Calculați suma: a) \(8\frac(5)(7) + 2\frac(1)(7)\) b) \(2\frac(9)(13) + \frac(2)(13) ) \) c) \(7\frac(2)(5) + 3\frac(4)(15)\)

a) \(8\frac(5)(7) + 2\frac(1)(7) = (8 + 2) + (\frac(5)(7) + \frac(1)(7)) = 10 + \frac(6)(7) = 10\frac(6)(7)\)

b) \(2\frac(9)(13) + \frac(2)(13) = 2 + (\frac(9)(13) + \frac(2)(13)) = 2\frac(11) )(13)\)

c) \(7\frac(2)(5) + 3\frac(4)(15) = 7\frac(2\times 3)(5\times 3) + 3\frac(4)(15) = 7\frac(6)(15) + 3\frac(4)(15) = (7 + 3)+(\frac(6)(15) + \frac(4)(15)) = 10 + \frac (10)(15) = 10\frac(10)(15) = 10\frac(2)(3)\)

Sarcina #1:
La prânz am mâncat \(\frac(8)(11)\) din tort, iar seara la cină am mâncat \(\frac(3)(11)\). Crezi că tortul a fost mâncat complet sau nu?

Soluţie:
Numitorul fracției este 11, indică în câte părți a fost împărțit tortul. La prânz am mâncat 8 bucăți de tort din 11. La cină am mâncat 3 bucăți de tort din 11. Să adăugăm 8 + 3 = 11, am mâncat bucăți de tort din 11, adică tot tortul.

\(\frac(8)(11) + \frac(3)(11) = \frac(11)(11) = 1\)

Răspuns: s-a mâncat toată prăjitura.