Dacă trebuie să ridicați un anumit număr la o putere, puteți utiliza . Acum vom arunca o privire mai atentă la proprietățile puterilor.

Numerele exponenţiale deschid posibilități mari, ne permit să transformăm înmulțirea în adunare, iar adunarea este mult mai ușoară decât înmulțirea.

De exemplu, trebuie să înmulțim 16 cu 64. Produsul înmulțirii acestor două numere este 1024. Dar 16 este 4x4, iar 64 este 4x4x4. Deci de 16 ori 64=4x4x4x4x4 care este tot 1024.

Numărul 16 poate fi reprezentat și ca 2x2x2x2, iar 64 ca 2x2x2x2x2x2, iar dacă înmulțim, obținem din nou 1024.

Acum să folosim regula. 16=4 2 , sau 2 4 , 64=4 3 , sau 2 6 , în timp ce 1024=6 4 =4 5 , sau 2 10 .

Prin urmare, problema noastră poate fi scrisă în alt mod: 4 2 x4 3 =4 5 sau 2 4 x2 6 =2 10 și de fiecare dată obținem 1024.

Putem rezolva o serie de exemple similare și putem vedea că înmulțirea numerelor cu puteri se reduce la adăugarea exponenților, sau un exponent, desigur, cu condiția ca bazele factorilor să fie egale.

Astfel, putem, fără a înmulți, să spunem imediat că 2 4 x2 2 x2 14 \u003d 2 20.

Această regulă este valabilă și la împărțirea numerelor cu puteri, dar în acest caz, e din exponentul dividendului se scade exponentul divizorului. Astfel, 2 5:2 3 =2 2 , care în numere obișnuite este egal cu 32:8=4, adică 2 2 . Să rezumam:

a m x a n \u003d a m + n, a m: a n \u003d a m-n, unde m și n sunt numere întregi.

La prima vedere, ar putea părea că înmulțirea și împărțirea numerelor cu puteri nu foarte convenabil, deoarece mai întâi trebuie să reprezentați numărul în formă exponențială. Nu este dificil să reprezinte numerele 8 și 16 în această formă, adică 2 3 și 2 4, dar cum să faci asta cu numerele 7 și 17? Sau ce să faci în acele cazuri când numărul poate fi reprezentat în formă exponențială, dar bazele expresiilor exponențiale ale numerelor sunt foarte diferite. De exemplu, 8×9 este 2 3 x 3 2 , caz în care nu putem să însumăm exponenții. Nici 2 5 nici 3 5 nu este răspunsul, nici răspunsul nu este între cei doi.

Atunci merită să te deranjezi cu această metodă? Cu siguranță merită. Oferă avantaje uriașe, în special pentru calcule complexe și consumatoare de timp.

Una dintre principalele caracteristici în algebră, și într-adevăr în toată matematica, este o diplomă. Desigur, în secolul 21, toate calculele pot fi efectuate pe un calculator online, dar este mai bine să înveți cum să o faci singur pentru dezvoltarea creierului.

În acest articol, vom lua în considerare cele mai importante aspecte legate de această definiție. Și anume, vom înțelege ce este în general și care sunt principalele sale funcții, ce proprietăți există în matematică.

Să ne uităm la exemple despre cum arată calculul, care sunt formulele de bază. Vom analiza principalele tipuri de cantități și modul în care acestea diferă de alte funcții.

Vom înțelege cum să rezolvăm diverse probleme folosind această valoare. Vom arăta cu exemple cum să ridici la un grad zero, irațional, negativ etc.

Calculator de exponențiere online

Care este gradul unui număr

Ce înseamnă expresia „ridică un număr la o putere”?

Gradul n al unui număr a este produsul factorilor de mărime de n ori la rând.

Matematic arata asa:

a n = a * a * a * …a n .

De exemplu:

• 2 3 = 2 în a treia etapă. = 2 * 2 * 2 = 8;
• 4 2 = 4 în pas. doi = 4 * 4 = 16;
• 5 4 = 5 în pas. patru = 5 * 5 * 5 * 5 = 625;
• 10 5 \u003d 10 în 5 pași. = 10 * 10 * 10 * 10 * 10 = 100000;
• 10 4 \u003d 10 în pași 4. = 10 * 10 * 10 * 10 = 10000.

Mai jos este un tabel cu pătrate și cuburi de la 1 la 10.

Tabelul gradelor de la 1 la 10

Mai jos sunt rezultatele ridicării numerelor naturale la puteri pozitive - „de la 1 la 100”.

Ch-lo	clasa a II-a	clasa a 3-a
1	1	1
2	4	8
3	9	27
4	16	64
5	25	125
6	36	216
7	49	343
8	64	512
9	81	279
10	100	1000

Proprietăți de grad

Care este caracteristica unei astfel de funcții matematice? Să ne uităm la proprietățile de bază.

Oamenii de știință au stabilit următoarele semne caracteristice tuturor gradelor:

• a n * a m = (a) (n+m);
• a n: a m = (a) (n-m);
• (a b) m =(a) (b*m) .

Să verificăm cu exemple:

2 3 * 2 2 = 8 * 4 = 32. Pe de altă parte 2 5 = 2 * 2 * 2 * 2 * 2 = 32.

În mod similar: 2 3: 2 2 = 8 / 4 = 2. Altfel 2 3-2 = 2 1 =2.

(2 3) 2 = 8 2 = 64. Ce se întâmplă dacă este diferit? 2 6 = 2 * 2 * 2 * 2 * 2 * 2 = 32 * 2 = 64.

După cum puteți vedea, regulile funcționează.

Dar cum să fii cu adunare și scădere? Totul este simplu. Se efectuează prima exponențiere și abia apoi adunarea și scăderea.

Să ne uităm la exemple:

• 3 3 + 2 4 = 27 + 16 = 43;
• 5 2 - 3 2 = 25 - 9 = 16

Dar în acest caz, mai întâi trebuie să calculați adunarea, deoarece există acțiuni între paranteze: (5 + 3) 3 = 8 3 = 512.

Cum se produc calcule în cazuri mai complexe? Ordinea este aceeași:

• dacă există paranteze, trebuie să începeți cu ele;
• apoi exponentiarea;
• apoi efectuați operații de înmulțire, împărțire;
• după adunare, scădere.

Există proprietăți specifice care nu sunt caracteristice tuturor gradelor:

1. Rădăcina gradului al n-lea de la numărul a până la gradul m se va scrie astfel: a m / n .
2. La ridicarea unei fracții la o putere: atât numărătorul, cât și numitorul acesteia sunt supuse acestei proceduri.
3. Când se ridică produsul unor numere diferite la o putere, expresia va corespunde produsului dintre aceste numere la o putere dată. Adică: (a * b) n = a n * b n .
4. Când ridicați un număr la o putere negativă, trebuie să împărțiți 1 la un număr în același pas, dar cu semnul „+”.
5. Dacă numitorul unei fracții este într-o putere negativă, atunci această expresie va fi egală cu produsul numărătorului și numitorul într-o putere pozitivă.
6. Orice număr la puterea lui 0 = 1 și la pas. 1 = pentru sine.

Aceste reguli sunt importante în cazuri individuale, le vom analiza mai detaliat mai jos.

Gradul cu exponent negativ

Ce să faci cu un grad negativ, adică atunci când indicatorul este negativ?

Pe baza proprietăților 4 și 5(vezi punctul de mai sus) se dovedește:

A (- n) \u003d 1 / A n, 5 (-2) \u003d 1/5 2 \u003d 1/25.

Si invers:

1 / A (- n) \u003d A n, 1 / 2 (-3) \u003d 2 3 \u003d 8.

Dacă este o fracție?

(A / B) (- n) = (B / A) n , (3 / 5) (-2) = (5 / 3) 2 = 25 / 9.

Grad cu un indicator natural

Este înțeles ca un grad cu exponenți egali cu numere întregi.

Lucruri de amintit:

A 0 = 1, 1 0 = 1; 2 0 = 1; 3,15 0 = 1; (-4) 0 = 1...etc.

A 1 = A, 1 1 = 1; 2 1 = 2; 3 1 = 3... etc.

De asemenea, dacă (-a) 2 n +2 , n=0, 1, 2... atunci rezultatul va fi cu semnul „+”. Dacă un număr negativ este ridicat la o putere impară, atunci invers.

Proprietățile generale și toate caracteristicile specifice descrise mai sus sunt, de asemenea, caracteristice acestora.

Gradul fracționat

Această vedere poate fi scrisă ca o schemă: A m / n. Se citește astfel: rădăcina gradului al n-lea al numărului A la puterea lui m.

Cu un indicator fracțional, puteți face orice: reduceți, descompuneți în părți, ridicați la un alt grad etc.

Gradul cu exponent irațional

Fie α un număr irațional și А ˃ 0.

Pentru a înțelege esența gradului cu un astfel de indicator, Să ne uităm la diferite cazuri posibile:

• A \u003d 1. Rezultatul va fi egal cu 1. Deoarece există o axiomă - 1 este egal cu unul în toate puterile;

А r 1 ˂ А α ˂ А r 2 , r 1 ˂ r 2 sunt numere raționale;

• 0˂А˂1.

În acest caz, invers: А r 2 ˂ А α ˂ А r 1 în aceleași condiții ca la al doilea paragraf.

De exemplu, exponentul este numărul π. Este rațional.

r 1 - în acest caz este egal cu 3;

r 2 - va fi egal cu 4.

Atunci, pentru A = 1, 1 π = 1.

A = 2, apoi 2 3 ˂ 2 π ˂ 2 4 , 8 ˂ 2 π ˂ 16.

A = 1/2, apoi (½) 4 ˂ (½) π ˂ (½) 3 , 1/16 ˂ (½) π ˂ 1/8.

Astfel de grade sunt caracterizate de toate operațiile matematice și proprietățile specifice descrise mai sus.

Concluzie

Să rezumam - pentru ce sunt aceste valori, care sunt avantajele unor astfel de funcții? Desigur, în primul rând, simplifică viața matematicienilor și programatorilor atunci când rezolvă exemple, deoarece permit reducerea la minimum a calculelor, reducerea algoritmilor, sistematizarea datelor și multe altele.

Unde mai pot fi utile aceste cunoștințe? În orice specialitate de lucru: medicină, farmacologie, stomatologie, construcții, tehnologie, inginerie, proiectare etc.

În articolul anterior, am vorbit despre ce sunt monomiile. În acest material, vom analiza modul de rezolvare a exemplelor și problemelor în care sunt utilizate. Aici vom lua în considerare astfel de acțiuni precum scăderea, adunarea, înmulțirea, împărțirea monomiilor și ridicarea lor la o putere cu un exponent natural. Vom arăta cum sunt definite astfel de operațiuni, vom indica regulile de bază pentru implementarea lor și care ar trebui să fie rezultatul. Toate prevederile teoretice, ca de obicei, vor fi ilustrate prin exemple de probleme cu descrieri de soluții.

Cel mai convenabil este să lucrați cu notația standard a monomiilor, prin urmare, prezentăm toate expresiile care vor fi folosite în articol într-o formă standard. Dacă inițial sunt setate diferit, este recomandat să le aduceți mai întâi într-o formă general acceptată.

Reguli pentru adunarea și scăderea monomiilor

Cele mai simple operații care pot fi efectuate cu monomii sunt scăderea și adunarea. În cazul general, rezultatul acestor acțiuni va fi un polinom (un monom este posibil în unele cazuri speciale).

Când adunăm sau scădem monomii, notăm mai întâi suma și diferența corespunzătoare în forma general acceptată, după care simplificăm expresia rezultată. Dacă există termeni similari, trebuie dați, parantezele trebuie deschise. Să explicăm cu un exemplu.

Exemplul 1

Condiție: se adună monomiile − 3 · x și 2 , 72 · x 3 · y 5 · z .

Decizie

Să notăm suma expresiilor originale. Adăugați paranteze și puneți un semn plus între ele. Vom obține următoarele:

(− 3 x) + (2 , 72 x 3 y 5 z)

Când extindem parantezele, obținem - 3 x + 2 , 72 x 3 y 5 z . Acesta este un polinom, scris în formă standard, care va fi rezultatul adunării acestor monomii.

Răspuns:(− 3 x) + (2 , 72 x 3 y 5 z) = − 3 x + 2 , 72 x 3 y 5 z .

Dacă avem trei, patru sau mai mulți termeni dați, efectuăm această acțiune în același mod.

Exemplul 2

Condiție: efectuați operațiile date cu polinoame în ordinea corectă

3 a 2 - (- 4 a c) + a 2 - 7 a 2 + 4 9 - 2 2 3 a c

Decizie

Să începem prin a deschide parantezele.

3 a 2 + 4 a c + a 2 - 7 a 2 + 4 9 - 2 2 3 a c

Vedem că expresia rezultată poate fi simplificată prin reducerea termenilor similari:

3 a 2 + 4 a c + a 2 - 7 a 2 + 4 9 - 2 2 3 a c = = (3 a 2 + a 2 - 7 a 2) + 4 a c - 2 2 3 a c + 4 9 = = - 3 a 2 + 1 1 3 a c + 4 9

Avem un polinom, care va fi rezultatul acestei acțiuni.

Răspuns: 3 a 2 - (- 4 a c) + a 2 - 7 a 2 + 4 9 - 2 2 3 a c = - 3 a 2 + 1 1 3 a c + 4 9

În principiu, putem efectua adunarea și scăderea a două monomii, cu unele restricții, astfel încât să ajungem la un monom. Pentru a face acest lucru, este necesar să se respecte unele condiții privind termenii și monomiile scăzute. Vom descrie cum se face acest lucru într-un articol separat.

Reguli pentru înmulțirea monomiilor

Acțiunea de multiplicare nu impune nicio restricție asupra multiplicatorilor. Monomiile de înmulțit nu trebuie să îndeplinească nicio condiție suplimentară pentru ca rezultatul să fie un monom.

Pentru a efectua înmulțirea monomiilor, trebuie să efectuați următorii pași:

1. Înregistrați corect piesa.
2. Extindeți parantezele din expresia rezultată.
3. Grupați, dacă este posibil, factorii cu aceleași variabile și factori numerici separat.
4. Efectuați acțiunile necesare cu numere și aplicați la factorii rămași proprietatea înmulțirii puterilor cu aceleași baze.

Să vedem cum se face acest lucru în practică.

Exemplul 3

Condiție:înmulţiţi monomiile 2 · x 4 · y · z şi - 7 16 · t 2 · x 2 · z 11 .

Decizie

Să începem cu compoziția lucrării.

Deschidem parantezele din el și obținem următoarele:

2 x 4 y z - 7 16 t 2 x 2 z 11

2 - 7 16 t 2 x 4 x 2 y z 3 z 11

Tot ce trebuie să facem este să înmulțim numerele din primele paranteze și să aplicăm proprietatea puterii celui de-al doilea. Ca rezultat, obținem următoarele:

2 - 7 16 t 2 x 4 x 2 y z 3 z 11 = - 7 8 t 2 x 4 + 2 y z 3 + 11 = = - 7 8 t 2 x 6 y z 14

Răspuns: 2 x 4 y z - 7 16 t 2 x 2 z 11 = - 7 8 t 2 x 6 y z 14 .

Dacă avem trei sau mai multe polinoame în condiție, le înmulțim folosind exact același algoritm. Vom analiza mai detaliat problema înmulțirii monomiilor într-un material separat.

Reguli pentru ridicarea unui monom la putere

Știm că produsul unui anumit număr de factori identici se numește grad cu exponent natural. Numărul lor este indicat de numărul din index. Conform acestei definiții, ridicarea unui monom la o putere echivalează cu înmulțirea numărului indicat de monomii identice. Să vedem cum se face.

Exemplul 4

Condiție: ridică monomul − 2 · a · b 4 la puterea lui 3 .

Decizie

Putem înlocui exponentiația cu înmulțirea a 3 monomii − 2 · a · b 4 . Să scriem și să obținem răspunsul dorit:

(− 2 a b 4) 3 = (− 2 a b 4) (− 2 a b 4) (− 2 a b 4) = = ((− 2) (− 2) (− 2)) (a a a) (b 4 b 4) b 4) = − 8 a 3 b 12

Răspuns:(− 2 a b 4) 3 = − 8 a 3 b 12 .

Dar ce zici când gradul are un exponent mare? Înregistrarea unui număr mare de multiplicatori este incomod. Apoi, pentru a rezolva o astfel de problemă, trebuie să aplicăm proprietățile gradului, și anume proprietatea gradului produsului și proprietatea gradului în grad.

Să rezolvăm problema pe care am citat-o ​​mai sus în modul indicat.

Exemplul 5

Condiție: ridică − 2 · a · b 4 la a treia putere.

Decizie

Cunoscând proprietatea gradului în grad, se poate trece la o expresie de următoarea formă:

(− 2 a b 4) 3 = (− 2) 3 a 3 (b 4) 3 .

După aceea, ridicăm la puterea - 2 și aplicăm proprietatea exponentului:

(− 2) 3 (a) 3 (b 4) 3 = − 8 a 3 b 4 3 = − 8 a 3 b 12 .

Răspuns:− 2 · a · b 4 = − 8 · a 3 · b 12 .

De asemenea, am dedicat un articol separat ridicării unui monom la o putere.

Reguli pentru împărțirea monomiilor

Ultima acțiune cu monomii pe care o vom analiza în acest material este împărțirea unui monom cu un monom. Ca rezultat, ar trebui să obținem o fracție rațională (algebrică) (în unele cazuri, este posibil să obținem un monom). Să clarificăm imediat că împărțirea la zero nu este definită, deoarece împărțirea cu 0 nu este definită.

Pentru a efectua împărțirea, trebuie să scriem monomiile indicate sub forma unei fracții și să o reducem, dacă este posibil.

Exemplul 6

Condiție:împărțiți monomul − 9 x 4 y 3 z 7 la − 6 p 3 t 5 x 2 y 2 .

Decizie

Să începem prin a scrie monomiile sub formă de fracție.

9 x 4 y 3 z 7 - 6 p 3 t 5 x 2 y 2

Această fracție poate fi redusă. După ce facem asta, obținem:

3 x 2 y z 7 2 p 3 t 5

Răspuns:- 9 x 4 y 3 z 7 - 6 p 3 t 5 x 2 y 2 = 3 x 2 y z 7 2 p 3 t 5 .

Condițiile în care, ca urmare a împărțirii monomiilor, obținem un monom sunt prezentate într-un articol separat.

Dacă observați o greșeală în text, vă rugăm să o evidențiați și să apăsați Ctrl+Enter

Materiale suplimentare
Dragi utilizatori, nu uitați să lăsați comentariile, feedback-ul, sugestiile voastre. Toate materialele sunt verificate de un program antivirus.

Mijloace și simulatoare didactice în magazinul online „Integral” pentru clasa a VII-a
Manual pentru manualul Yu.N. Makarycheva Manual pentru manualul A.G. Mordkovici

Scopul lecției: învățați cum să efectuați operații cu puterile unui număr.

Pentru început, să ne amintim conceptul de „putere a unui număr”. O expresie precum $\underbrace( a * a * \ldots * a )_(n)$ poate fi reprezentată ca $a^n$.

Reversul este de asemenea adevărat: $a^n= \underbrace( a * a * \ldots * a )_(n)$.

Această egalitate se numește „înregistrarea gradului ca produs”. Ne va ajuta să stabilim cum să înmulțim și să împărțim puterile.
Tine minte:
A- baza gradului.
n- exponent.
În cazul în care un n=1, ceea ce înseamnă numărul A luată o dată şi respectiv: $a^n= 1$.
În cazul în care un n=0, atunci $a^0= 1$.

De ce se întâmplă acest lucru, putem afla când ne familiarizăm cu regulile de înmulțire și împărțire a puterilor.

reguli de multiplicare

a) Dacă se înmulțesc puteri cu aceeași bază.
Pentru $a^n * a^m$, scriem puterile ca produs: $\underbrace( a * a * \ldots * a )_(n) * \underbrace( a * a * \ldots * a )_ (m)$.
Figura arată că numărul A am luat n+m ori, atunci $a^n * a^m = a^(n + m)$.

Exemplu.
$2^3 * 2^2 = 2^5 = 32$.

Această proprietate este convenabilă de utilizat pentru a simplifica munca atunci când creșteți un număr la o putere mare.
Exemplu.
$2^7= 2^3 * 2^4 = 8 * 16 = 128$.

b) Dacă puterile sunt înmulțite cu o bază diferită, dar cu același exponent.
Pentru $a^n * b^n$, scriem puterile ca produs: $\underbrace( a * a * \ldots * a )_(n) * \underbrace( b * b * \ldots * b )_ (m)$.
Dacă schimbăm factorii și numărăm perechile rezultate, obținem: $\underbrace( (a * b) * (a * b) * \ldots * (a * b) )_(n)$.

Deci $a^n * b^n= (a * b)^n$.

Exemplu.
$3^2 * 2^2 = (3 * 2)^2 = 6^2= 36$.

regulile de împărțire

a) Baza gradului este aceeași, exponenții sunt diferiți.
Luați în considerare împărțirea unui grad cu un exponent mai mare prin împărțirea unui grad cu un exponent mai mic.

Deci, este necesar $\frac(a^n)(a^m)$, Unde n>m.

Scriem gradele sub formă de fracție:

$\frac(\underbrace( a * a * \ldots * a )_(n))(\underbrace( a * a * \ldots * a )_(m))$.

Pentru comoditate, scriem împărțirea ca o fracție simplă.

Acum să reducem fracția.

Rezultă: $\underbrace( a * a * \ldots * a )_(n-m)= a^(n-m)$.
Mijloace, $\frac(a^n)(a^m)=a^(n-m)$.

Această proprietate va ajuta la explicarea situației cu ridicarea unui număr la o putere de zero. Să presupunem că n=m, atunci $a^0= a^(n-n)=\frac(a^n)(a^n) =1$.

Exemple.
$\frac(3^3)(3^2)=3^(3-2)=3^1=3$.

$\frac(2^2)(2^2)=2^(2-2)=2^0=1$.

b) Bazele gradului sunt diferite, indicatorii sunt aceiași.
Să presupunem că aveți nevoie de $\frac(a^n)( b^n)$. Scriem puterile numerelor sub formă de fracție:

$\frac(\underbrace( a * a * \ldots * a )_(n))(\underbrace( b * b * \ldots * b )_(n))$.

Să ne imaginăm pentru comoditate.

Folosind proprietatea fracțiilor, împărțim o fracție mare într-un produs al celor mici, obținem.
$\underbrace( \frac(a)(b) * \frac(a)(b) * \ldots * \frac(a)(b) )_(n)$.
În consecință: $\frac(a^n)( b^n)=(\frac(a)(b))^n$.

Exemplu.
$\frac(4^3)( 2^3)= (\frac(4)(2))^3=2^3=8$.

Una dintre principalele caracteristici în algebră, și într-adevăr în toată matematica, este o diplomă. Desigur, în secolul 21, toate calculele pot fi efectuate pe un calculator online, dar este mai bine să înveți cum să o faci singur pentru dezvoltarea creierului.

În acest articol, vom lua în considerare cele mai importante aspecte legate de această definiție. Și anume, vom înțelege ce este în general și care sunt principalele sale funcții, ce proprietăți există în matematică.

Să ne uităm la exemple despre cum arată calculul, care sunt formulele de bază. Vom analiza principalele tipuri de cantități și modul în care acestea diferă de alte funcții.

Vom înțelege cum să rezolvăm diverse probleme folosind această valoare. Vom arăta cu exemple cum să ridici la un grad zero, irațional, negativ etc.

Calculator de exponențiere online

Care este gradul unui număr

Ce înseamnă expresia „ridică un număr la o putere”?

Gradul n al unui număr a este produsul factorilor de mărime de n ori la rând.

Matematic arata asa:

a n = a * a * a * …a n .

De exemplu:

• 2 3 = 2 în a treia etapă. = 2 * 2 * 2 = 8;
• 4 2 = 4 în pas. doi = 4 * 4 = 16;
• 5 4 = 5 în pas. patru = 5 * 5 * 5 * 5 = 625;
• 10 5 \u003d 10 în 5 pași. = 10 * 10 * 10 * 10 * 10 = 100000;
• 10 4 \u003d 10 în pași 4. = 10 * 10 * 10 * 10 = 10000.

Mai jos este un tabel cu pătrate și cuburi de la 1 la 10.

Tabelul gradelor de la 1 la 10

Mai jos sunt rezultatele ridicării numerelor naturale la puteri pozitive - „de la 1 la 100”.

Ch-lo	clasa a II-a	clasa a 3-a
1	1	1
2	4	8
3	9	27
4	16	64
5	25	125
6	36	216
7	49	343
8	64	512
9	81	279
10	100	1000

Proprietăți de grad

Care este caracteristica unei astfel de funcții matematice? Să ne uităm la proprietățile de bază.

Oamenii de știință au stabilit următoarele semne caracteristice tuturor gradelor:

• a n * a m = (a) (n+m);
• a n: a m = (a) (n-m);
• (a b) m =(a) (b*m) .

Să verificăm cu exemple:

2 3 * 2 2 = 8 * 4 = 32. Pe de altă parte 2 5 = 2 * 2 * 2 * 2 * 2 = 32.

În mod similar: 2 3: 2 2 = 8 / 4 = 2. Altfel 2 3-2 = 2 1 =2.

(2 3) 2 = 8 2 = 64. Ce se întâmplă dacă este diferit? 2 6 = 2 * 2 * 2 * 2 * 2 * 2 = 32 * 2 = 64.

După cum puteți vedea, regulile funcționează.

Dar cum să fii cu adunare și scădere? Totul este simplu. Se efectuează prima exponențiere și abia apoi adunarea și scăderea.

Să ne uităm la exemple:

• 3 3 + 2 4 = 27 + 16 = 43;
• 5 2 - 3 2 = 25 - 9 = 16

Dar în acest caz, mai întâi trebuie să calculați adunarea, deoarece există acțiuni între paranteze: (5 + 3) 3 = 8 3 = 512.

Cum se produc calcule în cazuri mai complexe? Ordinea este aceeași:

• dacă există paranteze, trebuie să începeți cu ele;
• apoi exponentiarea;
• apoi efectuați operații de înmulțire, împărțire;
• după adunare, scădere.

Există proprietăți specifice care nu sunt caracteristice tuturor gradelor:

1. Rădăcina gradului al n-lea de la numărul a până la gradul m se va scrie astfel: a m / n .
2. La ridicarea unei fracții la o putere: atât numărătorul, cât și numitorul acesteia sunt supuse acestei proceduri.
3. Când se ridică produsul unor numere diferite la o putere, expresia va corespunde produsului dintre aceste numere la o putere dată. Adică: (a * b) n = a n * b n .
4. Când ridicați un număr la o putere negativă, trebuie să împărțiți 1 la un număr în același pas, dar cu semnul „+”.
5. Dacă numitorul unei fracții este într-o putere negativă, atunci această expresie va fi egală cu produsul numărătorului și numitorul într-o putere pozitivă.
6. Orice număr la puterea lui 0 = 1 și la pas. 1 = pentru sine.

Aceste reguli sunt importante în cazuri individuale, le vom analiza mai detaliat mai jos.

Gradul cu exponent negativ

Ce să faci cu un grad negativ, adică atunci când indicatorul este negativ?

Pe baza proprietăților 4 și 5(vezi punctul de mai sus) se dovedește:

A (- n) \u003d 1 / A n, 5 (-2) \u003d 1/5 2 \u003d 1/25.

Si invers:

1 / A (- n) \u003d A n, 1 / 2 (-3) \u003d 2 3 \u003d 8.

Dacă este o fracție?

(A / B) (- n) = (B / A) n , (3 / 5) (-2) = (5 / 3) 2 = 25 / 9.

Grad cu un indicator natural

Este înțeles ca un grad cu exponenți egali cu numere întregi.

Lucruri de amintit:

A 0 = 1, 1 0 = 1; 2 0 = 1; 3,15 0 = 1; (-4) 0 = 1...etc.

A 1 = A, 1 1 = 1; 2 1 = 2; 3 1 = 3... etc.

De asemenea, dacă (-a) 2 n +2 , n=0, 1, 2... atunci rezultatul va fi cu semnul „+”. Dacă un număr negativ este ridicat la o putere impară, atunci invers.

Proprietățile generale și toate caracteristicile specifice descrise mai sus sunt, de asemenea, caracteristice acestora.

Gradul fracționat

Această vedere poate fi scrisă ca o schemă: A m / n. Se citește astfel: rădăcina gradului al n-lea al numărului A la puterea lui m.

Cu un indicator fracțional, puteți face orice: reduceți, descompuneți în părți, ridicați la un alt grad etc.

Gradul cu exponent irațional

Fie α un număr irațional și А ˃ 0.

Pentru a înțelege esența gradului cu un astfel de indicator, Să ne uităm la diferite cazuri posibile:

• A \u003d 1. Rezultatul va fi egal cu 1. Deoarece există o axiomă - 1 este egal cu unul în toate puterile;

А r 1 ˂ А α ˂ А r 2 , r 1 ˂ r 2 sunt numere raționale;

• 0˂А˂1.

În acest caz, invers: А r 2 ˂ А α ˂ А r 1 în aceleași condiții ca la al doilea paragraf.

De exemplu, exponentul este numărul π. Este rațional.

r 1 - în acest caz este egal cu 3;

r 2 - va fi egal cu 4.

Atunci, pentru A = 1, 1 π = 1.

A = 2, apoi 2 3 ˂ 2 π ˂ 2 4 , 8 ˂ 2 π ˂ 16.

A = 1/2, apoi (½) 4 ˂ (½) π ˂ (½) 3 , 1/16 ˂ (½) π ˂ 1/8.

Astfel de grade sunt caracterizate de toate operațiile matematice și proprietățile specifice descrise mai sus.

Concluzie

Pentru a rezuma - pentru ce sunt aceste valori, care sunt avantajele unor astfel de funcții? Desigur, în primul rând, simplifică viața matematicienilor și programatorilor atunci când rezolvă exemple, deoarece permit reducerea la minimum a calculelor, reducerea algoritmilor, sistematizarea datelor și multe altele.

Unde mai pot fi utile aceste cunoștințe? În orice specialitate de lucru: medicină, farmacologie, stomatologie, construcții, tehnologie, inginerie, proiectare etc.

Expresii, conversie de expresii

Expresii de putere (expresii cu puteri) și transformarea lor

În acest articol, vom vorbi despre transformarea expresiilor cu puteri. În primul rând, ne vom concentra asupra transformărilor care sunt efectuate cu expresii de orice fel, inclusiv expresii de putere, cum ar fi parantezele de deschidere, reducând termeni similari. Și apoi vom analiza transformările inerente în mod specific expresiilor cu grade: lucrul cu baza și exponentul, utilizarea proprietăților gradelor etc.

Navigare în pagină.

Ce sunt expresiile de putere?

Termenul „expresii de putere” nu se găsește practic în manualele școlare de matematică, dar apare adesea în colecții de sarcini, special concepute pentru a pregăti examenul de stat unificat și OGE, de exemplu. După analizarea sarcinilor în care este necesară efectuarea oricăror acțiuni cu expresii de putere, devine clar că expresiile de putere sunt înțelese ca expresii care conțin grade în intrările lor. Prin urmare, pentru tine, poți lua următoarea definiție:

Definiție.

Expresii de putere sunt expresii care conțin puteri.

Să aducem exemple de expresii de putere. Mai mult, îi vom reprezenta în funcție de modul în care se desfășoară dezvoltarea opiniilor de la o diplomă cu indicator natural la una cu un indicator real.

După cum știți, mai întâi există o cunoaștere a gradului unui număr cu exponent natural, în acest stadiu primele expresii de putere cele mai simple de tip 3 2 , 7 5 +1 , (2+1) 5 , (−0, 1) 4 , 3 a 2 −a+a 2 , x 3−1 , (a 2) 3 etc.

Puțin mai târziu, se studiază puterea unui număr cu exponent întreg, ceea ce duce la apariția expresiilor de putere cu puteri întregi negative, precum următoarele: 3 −2, , a −2 +2 b −3 + c 2 .

La clasele superioare se întorc din nou la grade. Acolo, se introduce un grad cu un exponent rațional, ceea ce duce la apariția expresiilor de putere corespunzătoare: , etc. În sfârșit, se consideră grade cu exponenți iraționali și expresii care îi conțin: , .

Problema nu se limitează la expresiile de putere enumerate: mai departe variabila pătrunde în exponent și există, de exemplu, astfel de expresii 2 x 2 +1 sau . Și după ce ne-am familiarizat cu, încep să apară expresii cu puteri și logaritmi, de exemplu, x 2 lgx −5 x lgx.

Deci, ne-am dat seama de întrebarea ce sunt expresiile puterii. În continuare, vom învăța cum să le transformăm.

Principalele tipuri de transformări ale expresiilor puterii

Cu expresii de putere, puteți efectua oricare dintre transformările de bază ale identității expresiilor. De exemplu, puteți extinde paranteze, puteți înlocui expresiile numerice cu valorile lor, puteți adăuga termeni similari și așa mai departe. Desigur, în acest caz este necesar să urmați procedura acceptată pentru efectuarea acțiunilor. Să dăm exemple.

Calculați valoarea expresiei puterii 2 3 ·(4 2 −12) .

După ordinea acțiunilor, mai întâi efectuăm acțiunile dintre paranteze. Acolo, în primul rând, înlocuim puterea lui 4 2 cu valoarea sa 16 (vezi dacă este necesar), iar în al doilea rând, calculăm diferența 16−12=4 . Noi avem 2 3 (4 2 −12)=2 3 (16−12)=2 3 4.

În expresia rezultată înlocuim puterea lui 2 3 cu valoarea ei 8 , după care calculăm produsul 8·4=32 . Aceasta este valoarea dorită.

Asa de, 2 3 (4 2 −12)=2 3 (16−12)=2 3 4=8 4=32.

2 3 (4 2 −12)=32 .

Simplificați expresiile puterii 3 a 4 b −7 −1+2 a 4 b −7.

Evident, această expresie conține termeni similari 3 · a 4 · b − 7 și 2 · a 4 · b − 7 , și îi putem reduce: .

3 a 4 b −7 −1+2 a 4 b −7 =5 a 4 b −7 −1 .

Exprimați o expresie cu puteri ca produs.

Pentru a face față sarcinii, permite reprezentarea numărului 9 ca o putere a 3 2 și utilizarea ulterioară a formulei de înmulțire prescurtate, diferența de pătrate:

Există, de asemenea, o serie de transformări identice inerente expresiilor puterii. În continuare, le vom analiza.

Lucrul cu baza și exponent

Există grade, în baza și/sau indicatorul cărora nu sunt doar numere sau variabile, ci câteva expresii. Ca exemplu, să scriem (2+0.3 7) 5−3.7 și (a (a+1)−a 2) 2 (x+1) .

Când lucrați cu astfel de expresii, este posibil să înlocuiți atât expresia din baza gradului, cât și expresia din indicator cu o expresie identică egală pe DPV a variabilelor sale. Cu alte cuvinte, conform regulilor cunoscute de noi, putem converti separat baza gradului și separat - indicatorul. Este clar că în urma acestei transformări se obține o expresie identic egală cu cea inițială.

Astfel de transformări ne permit să simplificăm expresiile cu puteri sau să atingem alte scopuri de care avem nevoie. De exemplu, în expresia puterii (2+0.3 7) 5−3.7 menționată mai sus, puteți efectua operații cu numere în bază și exponent, ceea ce vă va permite să mergeți la puterea lui 4,1 1,3. Și după ce deschidem parantezele și aducem termeni similari în baza gradului (a·(a+1)−a 2) 2·(x+1) obținem o expresie a puterii de o formă mai simplă a 2·(x+1). ).

Utilizarea proprietăților puterii

Unul dintre principalele instrumente de transformare a expresiilor cu puteri este egalitățile, reflectarea. Să le amintim pe cele principale. Pentru orice numere pozitive a și b și numere reale arbitrare r și s, sunt valabile următoarele proprietăți de putere:

• a r a s =a r+s ;
• a r:a s =a r−s ;
• (a b) r = a r b r ;
• (a:b) r =a r:b r ;
• (a r) s =a r s .

Rețineți că pentru exponenții naturali, întregi și pozitivi, restricțiile asupra numerelor a și b pot să nu fie atât de stricte. De exemplu, pentru numerele naturale m și n, egalitatea a m ·a n =a m+n este adevărată nu numai pentru a pozitiv, ci și pentru cele negative și pentru a=0 .

La școală, atenția principală în transformarea expresiilor puterii este concentrată tocmai pe capacitatea de a alege proprietatea potrivită și de a o aplica corect. În acest caz, bazele gradelor sunt de obicei pozitive, ceea ce vă permite să utilizați proprietățile gradelor fără restricții. Același lucru este valabil și pentru transformarea expresiilor care conțin variabile în bazele de grade - gama de valori acceptabile ale variabilelor este de obicei astfel încât bazele iau numai valori pozitive pe el, ceea ce vă permite să utilizați liber proprietățile de grade. În general, trebuie să vă întrebați în mod constant dacă este posibil să aplicați vreo proprietate a gradelor în acest caz, deoarece utilizarea incorectă a proprietăților poate duce la o îngustare a ODZ și la alte probleme. Aceste puncte sunt discutate în detaliu și cu exemple în articolul transformarea expresiilor folosind proprietățile gradelor. Aici ne limităm la câteva exemple simple.

Exprimați expresia a 2,5 ·(a 2) −3:a −5,5 ca o putere cu baza a .

Mai întâi, transformăm cel de-al doilea factor (a 2) −3 prin proprietatea de a ridica o putere la o putere: (a 2) −3 =a 2 (−3) =a −6. În acest caz, expresia puterii inițiale va lua forma a 2.5 ·a −6:a −5.5 . Evident, rămâne să folosim proprietățile înmulțirii și împărțirii puterilor cu aceeași bază, avem
a 2,5 a -6:a -5,5 =
a 2,5−6:a−5,5 =a−3,5:a−5,5 =
a −3,5−(−5,5) =a 2 .

a 2,5 (a 2) -3: a -5,5 \u003d a 2.

Proprietățile puterii sunt utilizate atunci când se transformă expresiile de putere atât de la stânga la dreapta, cât și de la dreapta la stânga.

Găsiți valoarea expresiei puterii.

Egalitatea (a·b) r =a r ·b r , aplicată de la dreapta la stânga, vă permite să treceți de la expresia originală la produsul formei și mai departe. Și atunci când înmulțiți puteri cu aceeași bază, indicatorii se adună: .

A fost posibil să se realizeze transformarea expresiei originale într-un alt mod:

.

Având în vedere o expresie de putere a 1.5 −a 0.5 −6 , introduceți o nouă variabilă t=a 0.5 .

Gradul a 1,5 poate fi reprezentat ca un 0,5 3 și în continuare pe baza proprietății gradului în gradul (a r) s =a r s aplicat de la dreapta la stânga, se transformă în forma (a 0,5) 3 . Prin urmare, a 1,5 -a 0,5 -6=(a 0,5) 3 -a 0,5 -6. Acum este ușor să introducem o nouă variabilă t=a 0.5 , obținem t 3 −t−6 .

Conversia fracțiilor care conțin puteri

Expresiile puterii pot conține fracții cu puteri sau pot reprezenta astfel de fracții. Oricare dintre transformările de bază ale fracțiilor care sunt inerente fracțiilor de orice fel sunt pe deplin aplicabile acestor fracții. Adică, fracțiile care conțin grade pot fi reduse, reduse la un nou numitor, se pot lucra separat cu numărătorul lor și separat cu numitorul etc. Pentru a ilustra cuvintele de mai sus, luați în considerare soluțiile mai multor exemple.

Simplificați expresia puterii .

Această expresie a puterii este o fracție. Să lucrăm cu numărătorul și numitorul. La numărător, deschidem parantezele și simplificăm expresia obținută după aceea folosind proprietățile puterilor, iar la numitor prezentăm termeni similari:

Și schimbăm și semnul numitorului punând un minus în fața fracției: .

.

Reducerea fracțiilor care conțin puteri la un nou numitor se realizează în mod similar cu reducerea fracțiilor raționale la un nou numitor. În același timp, se găsește și un factor suplimentar și se înmulțesc numărătorul și numitorul fracției cu acesta. La efectuarea acestei acțiuni, merită să ne amintim că reducerea la un nou numitor poate duce la o îngustare a DPV. Pentru a preveni acest lucru, este necesar ca factorul suplimentar să nu dispară pentru nicio valoare a variabilelor din variabilele ODZ pentru expresia originală.

Aduceți fracțiile la un nou numitor: a) la numitorul a, b) la numitor.

a) În acest caz, este destul de ușor să ne dăm seama ce factor suplimentar ajută la obținerea rezultatului dorit. Acesta este un multiplicator a 0,3, deoarece a 0,7 a 0,3 = a 0,7+0,3 = a . Rețineți că în intervalul de valori acceptabile ale variabilei a (aceasta este mulțimea tuturor numerelor reale pozitive), gradul a 0,3 nu dispare, prin urmare, avem dreptul de a înmulți numărătorul și numitorul fracției date. prin acest factor suplimentar:

b) Privind mai atent la numitor, constatăm că

iar înmulțirea acestei expresii cu va da suma cuburilor și, adică . Și acesta este noul numitor la care trebuie să aducem fracția originală.

Așa că am găsit un factor suplimentar. Expresia nu dispare în intervalul de valori acceptabile ale variabilelor x și y, prin urmare, putem înmulți numărătorul și numitorul fracției cu acesta:

A) , b) .

De asemenea, nu este nimic nou în reducerea fracțiilor care conțin grade: numărătorul și numitorul sunt reprezentați ca un anumit număr de factori, iar aceiași factori ai numărătorului și numitorului sunt reduse.

Reduceți fracția: a) , b).

a) În primul rând, numărătorul și numitorul pot fi reduse cu numerele 30 și 45, care este egal cu 15. De asemenea, evident, puteți reduce cu x 0,5 +1 și cu . Iată ce avem:

b) În acest caz, aceiași factori din numărător și numitor nu sunt vizibili imediat. Pentru a le obține, trebuie să efectuați transformări preliminare. În acest caz, ele constau în descompunerea numitorului în factori conform formulei diferenței de pătrate:

A)

b) .

Reducerea fracțiilor la un nou numitor și reducerea fracțiilor sunt utilizate în principal pentru a efectua operații pe fracții. Acțiunile sunt efectuate conform regulilor cunoscute. La adunarea (scăderea) fracțiilor, acestea sunt reduse la un numitor comun, după care se adună (se scad) numărătorii, iar numitorul rămâne același. Rezultatul este o fracție al cărei numărător este produsul numărătorilor, iar numitorul este produsul numitorilor. Împărțirea cu o fracție este înmulțirea cu reciproca ei.

Urmareste pasii .

În primul rând, scădem fracțiile dintre paranteze. Pentru a face acest lucru, îi aducem la un numitor comun, care este , apoi scădeți numărătorii:

Acum înmulțim fracțiile:

Evident, este posibilă o reducere cu puterea x 1/2, după care avem .

De asemenea, puteți simplifica expresia puterii în numitor folosind formula diferenței de pătrate: .

Simplificați expresia puterii .

Evident, această fracție poate fi redusă cu (x 2,7 +1) 2, aceasta dă fracția . Este clar că trebuie făcut altceva cu puterile lui x. Pentru a face acest lucru, convertim fracția rezultată într-un produs. Acest lucru ne oferă posibilitatea de a folosi proprietatea de a împărți puterile cu aceleași baze: . Și la sfârșitul procesului, trecem de la ultimul produs la fracțiune.

.

Și adăugăm că este posibil și în multe cazuri de dorit să se transfere factori cu exponenți negativi de la numărător la numitor sau de la numitor la numărător prin schimbarea semnului exponentului. Astfel de transformări simplifică adesea acțiunile ulterioare. De exemplu, o expresie de putere poate fi înlocuită cu.

Conversia expresiilor cu rădăcini și puteri

Adesea în expresiile în care sunt necesare unele transformări, alături de grade cu exponenți fracționari, există și rădăcini. Pentru a converti o astfel de expresie în forma dorită, în cele mai multe cazuri este suficient să mergeți doar la rădăcini sau doar la puteri. Dar, deoarece este mai convenabil să lucrezi cu grade, de obicei se mută de la rădăcini la grade. Cu toate acestea, este recomandabil să efectuați o astfel de tranziție atunci când ODZ de variabile pentru expresia originală vă permite să înlocuiți rădăcinile cu grade fără a fi nevoie să accesați modulul sau să împărțiți ODZ-ul în mai multe intervale (am discutat acest lucru în detaliu în articol, trecerea de la rădăcini la puteri și invers După ce te familiarizezi cu gradul cu un exponent rațional, se introduce un grad cu un indicator irațional, ceea ce face posibil să se vorbească despre un grad cu un indicator real arbitrar. În această etapă, scoala incepe sa studieze functie exponentiala, care este dat analitic de grad, în baza căruia există un număr, iar în indicator - o variabilă. Așadar, ne confruntăm cu expresii exponențiale care conțin numere în baza gradului, iar în exponent - expresii cu variabile și, firește, apare nevoia de a efectua transformări ale unor astfel de expresii.

Trebuie spus că transformarea expresiilor de tipul indicat trebuie de obicei efectuată la rezolvare ecuații exponențialeși inegalități exponențiale, iar aceste transformări sunt destul de simple. În marea majoritate a cazurilor, acestea se bazează pe proprietățile gradului și vizează mai ales introducerea unei noi variabile în viitor. Ecuația ne va permite să le demonstrăm 5 2 x+1 −3 5 x 7 x −14 7 2 x−1 =0.

În primul rând, exponenții, în ai căror exponenți se găsește suma unei variabile (sau expresii cu variabile) și a unui număr, sunt înlocuiți cu produse. Acest lucru se aplică primului și ultimului termeni ai expresiei din partea stângă:
5 2 x 5 1 −3 5 x 7 x −14 7 2 x 7 −1 =0,
5 5 2 x −3 5 x 7 x −2 7 2 x =0.

În continuare, ambele părți ale egalității sunt împărțite la expresia 7 2 x , care ia doar valori pozitive pe ODV ale variabilei x pentru ecuația originală (aceasta este o tehnică standard pentru rezolvarea ecuațiilor de acest fel, nu suntem vorbind despre asta acum, așa că concentrează-te pe transformările ulterioare ale expresiilor cu puteri ):

Acum fracțiile cu puteri sunt anulate, ceea ce dă .

În cele din urmă, raportul puterilor cu aceiași exponenți este înlocuit cu puteri ale rapoartelor, ceea ce duce la ecuația , care este echivalent cu . Transformările efectuate ne permit să introducem o nouă variabilă, care reduce soluția ecuației exponențiale inițiale la soluția ecuației pătratice

I. V. Boikov, L. D. Romanova Culegere de sarcini pentru pregătirea pentru examen. Partea 1. Penza 2003.

Secțiuni: Matematică

Tip de lecție: lectie de generalizare si sistematizare a cunostintelor

Obiective:

educational- repetați definiția gradului, regulile de înmulțire și împărțire a gradelor, ridicarea unui grad la un grad, consolidarea capacității de a rezolva exemple care conțin grade,

în curs de dezvoltare- dezvoltarea gândirii logice a elevilor, interes pentru materialul studiat,

educand- promovarea unei atitudini responsabile față de învățare, a unei culturi a comunicării, a simțului colectivismului.

Echipament: computer, proiector multimedia, tablă interactivă, prezentare „Grade” pentru numărare orală, fișe de sarcini, fișe.

Planul lecției:

Organizarea timpului.

Repetarea regulilor

Numărarea verbală.

Referință istorică.

Lucru la tablă.

Fizkultminutka.

Lucrați la tabla interactivă.

Muncă independentă.

Teme pentru acasă.

Rezumând lecția.

În timpul orelor

I. Moment organizatoric

Prezentarea temei și a obiectivelor lecției.

În lecțiile anterioare, ați descoperit lumea minunată a gradelor, ați învățat cum să înmulțiți și să împărțiți grade și să le ridicați la putere. Astăzi trebuie să consolidăm cunoștințele dobândite prin rezolvarea de exemple.

II. Repetarea regulilor(oral)

1. Dați definiția gradului cu un indicator natural? (prin puterea numărului A cu un exponent natural mai mare de 1 se numește produs n multiplicatori, fiecare dintre care este egal cu A.)
2. Cum se înmulțesc două puteri? (Pentru a înmulți puteri cu aceeași bază, trebuie să lăsați baza aceeași și să adăugați exponenții.)
3. Cum să împărțim gradul cu grad? (Pentru a împărți puterile cu aceeași bază, trebuie să lăsați baza aceeași și să scădeți exponenții.)
4. Cum să ridici un produs la putere? (Pentru a ridica un produs la o putere, trebuie să ridicați fiecare factor la acea putere)
5. Cum să ridici o diplomă la un grad? (Pentru a ridica o putere la o putere, trebuie să lăsați baza aceeași și să înmulțiți exponenții)

III. Numărarea verbală(prin multimedia)

IV. Referință istorică

Toate problemele sunt din papirusul lui Ahmes, care a fost scris în jurul anului 1650 î.Hr. e. legate de practicarea construcției, delimitarea terenurilor etc. Sarcinile sunt grupate pe teme. În cea mai mare parte, acestea sunt sarcini pentru găsirea ariilor unui triunghi, patrulatere și cerc, diferite operații cu numere întregi și fracții, împărțire proporțională, găsire de rapoarte, există și ridicare în diferite grade, rezolvarea ecuațiilor de gradul I și II. cu unul necunoscut.

Nu există absolut nicio explicație sau dovezi. Rezultatul dorit este fie dat direct, fie un scurt algoritm pentru calculul acestuia. Această metodă de prezentare, tipică științei țărilor din Orientul antic, sugerează că acolo matematica s-a dezvoltat prin intermediul generalizărilor și conjecturilor care nu au format nicio teorie generală. Cu toate acestea, există o serie de dovezi în papirus că matematicienii egipteni au fost capabili să extragă rădăcini și să ridice la o putere, să rezolve ecuații și chiar să posede rudimentele algebrei.

V. Lucrări la tablă

Găsiți valoarea expresiei într-un mod rațional:

Calculați valoarea expresiei:



VI. Minut de educație fizică

6. pentru ochi
7. pentru gat
8. pentru mâini
9. pentru trunchi
10. pentru picioare

VII. Rezolvarea problemelor(cu afișaj interactiv cu tablă albă)

Este rădăcina ecuației un număr pozitiv?

xn--i1abbnckbmcl9fb.xn--p1ai

Formule de puteri și rădăcini.

Formule de putere utilizat în procesul de reducere și simplificare a expresiilor complexe, în rezolvarea ecuațiilor și inegalităților.

Număr c este o n-a-a putere a unui număr A când:



Operațiuni cu puteri.

1. Înmulțind grade cu aceeași bază, indicatorii lor se adună:

2. În împărțirea gradelor cu aceeași bază, indicatorii acestora se scad:



3. Gradul produsului a 2 sau mai mulți factori este egal cu produsul gradelor acestor factori:

(abc…) n = a n b n c n …

4. Gradul unei fracții este egal cu raportul dintre gradele dividendului și divizorului:

5. Ridicarea unei puteri la o putere, exponenții se înmulțesc:

Fiecare formulă de mai sus este corectă în direcțiile de la stânga la dreapta și invers.

Operații cu rădăcini.

1. Rădăcina produsului mai multor factori este egală cu produsul rădăcinilor acestor factori:

2. Rădăcina raportului este egală cu raportul dintre dividend și divizorul rădăcinilor:



3. Când ridicați o rădăcină la o putere, este suficient să ridicați numărul rădăcinii la această putere:



4. Dacă creștem gradul rădăcinii în n o dată şi în acelaşi timp ridică la n Puterea este un număr de rădăcină, atunci valoarea rădăcinii nu se va schimba:



5. Dacă scădem gradul rădăcinii în n rădăcină în același timp n gradul de la numărul radical, atunci valoarea rădăcinii nu se va schimba:



Gradul unui anumit număr cu un exponent nepozitiv (întreg) este definit ca unul împărțit la gradul aceluiași număr cu un exponent egal cu valoarea absolută a exponentului nepozitiv:



Formulă a m :a n = a m - n poate fi folosit nu numai pentru m > n, dar și la m 4:a 7 = a 4 - 7 = a -3 .

Pentru a formula a m :a n = a m - n a devenit corect la m=n, aveți nevoie de prezența gradului zero.

Puterea oricărui număr diferit de zero cu exponent zero este egală cu unu.

Pentru a ridica un număr real Aîntr-o măsură m/n, trebuie să extrageți rădăcina n-gradul de la m puterea acestui număr A:



Formule de grade.

6. A - n = - împărțirea gradelor;

7. - împărțirea gradelor;

8. a 1/n = ;

Grade ale regulii de acțiune cu grade

1. Gradul produsului a doi sau mai multor factori este egal cu produsul gradelor acestor factori (cu același indicator):

(abc…) n = a n b n c n …

Exemplul 1. (7 2 10) 2 = 7 2 2 2 10 2 = 49 4 100 = 19600. Exemplul 2. (x 2 –a 2) 3 = [(x + a)(x - a)] 3 =( x + a) 3 (x - a) 3

În practică, transformarea inversă este mai importantă:

a n b n c n … = (abc …) n

acestea. produsul acelorași puteri a mai multor mărimi este egal cu aceeași putere a produsului acestor mărimi.

Exemplul 3 Exemplul 4. (a + b) 2 (a 2 - ab + b 2) 2 \u003d [(a ​​​​+ b) (a 2 - ab + b 2)] 2 \u003d (a 3 + b 3) 2

2. Gradul câtului (fracției) este egal cu câtul împărțirii aceluiași grad al divizibilului la același grad al divizorului:

Exemplul 5 Exemplul 6

Transformare inversă:. Exemplul 7 . Exemplul 8 .

3. La înmulțirea puterilor cu aceleași baze, se adaugă exponenții:

Exemplul 9.2 2 2 5 =2 2+5 =2 7 =128. Exemplul 10. (a - 4c + x) 2 (a - 4c + x) 3 = (a - 4c + x) 5 .

4. La împărțirea puterilor cu aceeași bază, din exponentul dividendului se scade exponentul divizorului.

Exemplul 11. 12 5:12 3 =12 5-3 =12 2 =144. Exemplul 12. (x-y) 3:(x-y) 2 = x-y.

5. La ridicarea unui grad la o putere, exponenții se înmulțesc:

Exemplul 13. (2 3) 2 =2 6 =64. Exemplul 14

www.maths.yfa1.ru

Grade și rădăcini

Operații cu puteri și rădăcini. Gradul cu negativ ,

zero și fracțional indicator. Despre expresii care nu au sens.

Operațiuni cu puteri.

1. La înmulțirea puterilor cu aceeași bază, indicatorii acestora se adună:

a m · a n = a m + n .

2. La împărțirea gradelor cu aceeași bază, indicatorii lor scazut .



3. Gradul produsului a doi sau mai multor factori este egal cu produsul gradelor acestor factori.

4. Gradul raportului (fracției) este egal cu raportul dintre gradele dividendului (numărătorul) și divizorului (numitorului):

(a/b) n = un n / b n .

5. Când se ridică un grad la o putere, indicatorii lor sunt înmulțiți:

Toate formulele de mai sus sunt citite și executate în ambele direcții de la stânga la dreapta și invers.

EXEMPLU (2 3 5 / 15)² = 2 ² 3 ² 5 ² / 15 ² = 900 / 225 = 4 .

Operații cu rădăcini. În toate formulele de mai jos, simbolul înseamnă rădăcină aritmetică(expresia radicală este pozitivă).

1. Rădăcina produsului mai multor factori este egală cu produsul rădăcinilor acestor factori:

2. Rădăcina raportului este egală cu raportul dintre rădăcinile dividendului și divizorului:



3. Când ridici o rădăcină la o putere, este suficient să ridici la această putere numărul rădăcinii:



4. Dacă creșteți gradul rădăcinii de m ori și ridicați simultan numărul rădăcinii la gradul m --lea, atunci valoarea rădăcinii nu se va schimba:



5. Dacă reduceți gradul rădăcinii de m ori și, în același timp, extrageți rădăcina gradului m-lea din numărul radical, atunci valoarea rădăcinii nu se va modifica:





Extinderea conceptului de grad. Până acum, am luat în considerare grade doar cu un indicator natural; dar operaţiile cu puteri şi rădăcini pot duce şi la negativ, zeroși fracționat indicatori. Toți acești exponenți necesită o definiție suplimentară.

Gradul cu exponent negativ. Gradul unui anumit număr cu un exponent negativ (întreg) este definit ca unul împărțit la gradul aceluiași număr cu un exponent egal cu valoarea absolută a exponentului negativ:



Acum formula a m : un n = a m - n poate fi folosit nu numai pentru m, mai mult decât n, dar și la m, mai puțin decât n .

EXEMPLU A 4: A 7 = a 4 - 7 = a - 3 .

Dacă vrem formula a m : un n = a m - n a fost corect la m = n, avem nevoie de o definiție a gradului zero.

Gradul cu exponent zero. Gradul oricărui număr diferit de zero cu exponent zero este 1.

EXEMPLE. 2 0 = 1, ( – 5) 0 = 1, (– 3 / 5) 0 = 1.

Gradul cu exponent fracționar. Pentru a ridica un număr real a la puterea m / n, trebuie să extrageți rădăcina gradului al n-lea din puterea a m a acestui număr a:



Despre expresii care nu au sens. Există mai multe astfel de expresii.

Unde A ≠ 0 , nu exista.

Într-adevăr, dacă presupunem că X este un anumit număr, atunci, în conformitate cu definiția operației de împărțire, avem: A = 0· X, adică A= 0, ceea ce contrazice condiția: A ≠ 0

- orice număr.

Într-adevăr, dacă presupunem că această expresie este egală cu un anumit număr X, atunci conform definiției operației de împărțire avem: 0 = 0 X. Dar această egalitate este valabilă pentru orice număr x, ceea ce urma să fie dovedit.

0 0 - orice număr.



Soluție. Luați în considerare trei cazuri principale:

1) X = 0 – această valoare nu satisface această ecuație

2) când X> 0 obținem: x/x= 1, adică 1 = 1, de unde urmează,

ce X- orice număr; dar ținând cont de faptul că

cazul nostru X> 0, răspunsul este X > 0 ;

proprietăți de grad

Vă reamintim că în această lecție înțelegem proprietăți de grad cu indicatori naturali și zero. Gradele cu indicatori raționali și proprietățile acestora vor fi discutate în lecțiile pentru clasa a 8-a.

Un exponent cu un exponent natural are câteva proprietăți importante care vă permit să simplificați calculele în exemplele de exponent.

Proprietatea #1
Produsul puterilor

La înmulțirea puterilor cu aceeași bază, baza rămâne neschimbată și se adaugă exponenții.

a m a n \u003d a m + n, unde „a” este orice număr și „m”, „n” sunt orice numere naturale.

Această proprietate a puterilor afectează și produsul a trei sau mai multe puteri.

• Simplificați expresia.
  b b 2 b 3 b 4 b 5 = b 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = b 15
• Prezentă ca diplomă.
  6 15 36 = 6 15 6 2 = 6 15 6 2 = 6 17
• Prezentă ca diplomă.
  (0,8) 3 (0,8) 12 = (0,8) 3 + 12 = (0,8) 15

Vă rugăm să rețineți că în proprietatea indicată era vorba doar de înmulțirea puterilor cu aceleași baze.. Nu se aplică la adăugarea lor.

Nu puteți înlocui suma (3 3 + 3 2) cu 3 5 . Acest lucru este de înțeles dacă
calculați (3 3 + 3 2) = (27 + 9) = 36 și 3 5 = 243

Proprietatea #2
Diplome private

La împărțirea puterilor cu aceeași bază, baza rămâne neschimbată, iar exponentul divizorului este scăzut din exponentul dividendului.

• Scrieți coeficientul ca putere
  (2b) 5: (2b) 3 = (2b) 5 − 3 = (2b) 2
• Calculati.

11 3 - 2 4 2 - 1 = 11 4 = 44
Exemplu. Rezolvați ecuația. Folosim proprietatea gradelor parțiale.
3 8: t = 3 4

Răspuns: t = 3 4 = 81

Folosind proprietățile nr. 1 și nr. 2, puteți simplifica cu ușurință expresiile și efectuați calcule.

Exemplu. Simplificați expresia.
4 5m + 6 4 m + 2: 4 4m + 3 = 4 5m + 6 + m + 2: 4 4m + 3 = 4 6m + 8 − 4m − 3 = 4 2m + 5

Exemplu. Găsiți valoarea unei expresii folosind proprietățile gradului.

2 11 − 5 = 2 6 = 64

Vă rugăm să rețineți că proprietatea 2 s-a ocupat doar de împărțirea puterilor pe aceleași baze.

Nu puteți înlocui diferența (4 3 −4 2) cu 4 1 . Acest lucru este de înțeles dacă calculezi (4 3 −4 2) = (64 − 16) = 48 și 4 1 = 4

Proprietatea #3
Exponentiatie

Când ridicați o putere la o putere, baza puterii rămâne neschimbată, iar exponenții sunt înmulțiți.

(a n) m \u003d a n m, unde „a” este orice număr și „m”, „n” sunt orice numere naturale.

Exemplu.
(a 4) 6 = a 4 6 = a 24

Exemplu. Exprimă 3 20 ca putere cu baza 3 2 .

Prin proprietatea exponentiatiei Se știe că exponenții sunt înmulțiți atunci când sunt ridicați la o putere, ceea ce înseamnă:

Proprietăți 4
Gradul de produs

Când se ridică o putere la puterea unui produs, fiecare factor este ridicat la acea putere și rezultatele sunt înmulțite.

(a b) n \u003d a n b n, unde „a”, „b” sunt orice numere raționale; „n” este orice număr natural.

• Exemplul 1
  (6 a 2 b 3 c) 2 = 6 2 a 2 2 b 3 2 s 1 2 = 36 a 4 b 6 s 2
• Exemplul 2
  (−x 2 y) 6 = ((−1) 6 x 2 6 y 1 6) = x 12 y 6

Vă rugăm să rețineți că proprietatea nr. 4, ca și alte proprietăți ale gradelor, se aplică și în ordine inversă.

(a n b n)= (a b) n

Adică, pentru a înmulți grade cu aceiași exponenți, puteți înmulți bazele și lăsați exponentul neschimbat.

• Exemplu. Calculati.
  2 4 5 4 = (2 5) 4 = 10 4 = 10.000
• Exemplu. Calculati.
  0,5 16 2 16 = (0,5 2) 16 = 1

În exemple mai complexe, pot exista cazuri când înmulțirea și împărțirea trebuie efectuate pe puteri cu baze diferite și exponenți diferiți. În acest caz, vă sfătuim să faceți următoarele.

De exemplu, 4 5 3 2 = 4 3 4 2 3 2 = 4 3 (4 3) 2 = 64 12 2 = 64 144 = 9216

Exemplu de exponențiere a unei fracții zecimale.

4 21 (−0,25) 20 = 4 4 20 (−0,25) 20 = 4 (4 (−0,25)) 20 = 4 (−1) 20 = 4 1 = 4

Proprietăți 5
Puterea coeficientului (fracțiilor)

Pentru a crește un coeficient la o putere, puteți crește dividendul și divizorul separat la această putere și puteți împărți primul rezultat la al doilea.

(a: b) n \u003d a n: b n, unde "a", "b" sunt orice numere raționale, b ≠ 0, n este orice număr natural.

• Exemplu. Exprimați expresia ca puteri parțiale.
  (5: 3) 12 = 5 12: 3 12

Vă reamintim că un coeficient poate fi reprezentat ca o fracție. Prin urmare, ne vom opri asupra subiectului ridicării unei fracții la o putere mai detaliat pe pagina următoare.

Pe canalul de youtube al site-ului nostru pentru a fi la curent cu toate noile lecții video.

Mai întâi, să ne amintim formulele de bază ale gradelor și proprietățile lor.

Produsul unui număr A se întâmplă de n ori, putem scrie această expresie ca a a … a=a n

1. a 0 = 1 (a ≠ 0)

3. a n a m = a n + m

4. (a n) m = a nm

5. a n b n = (ab) n

7. a n / a m \u003d a n - m

Putere sau ecuații exponențiale- acestea sunt ecuații în care variabilele sunt în puteri (sau exponenți), iar baza este un număr.

Exemple de ecuații exponențiale:

În acest exemplu, numărul 6 este baza, este întotdeauna în partea de jos și variabila X grad sau măsură.

Să dăm mai multe exemple de ecuații exponențiale.
2 x *5=10
16x-4x-6=0

Acum să vedem cum se rezolvă ecuațiile exponențiale?

Să luăm o ecuație simplă:

2 x = 2 3

Un astfel de exemplu poate fi rezolvat chiar și în minte. Se poate observa că x=3. La urma urmei, pentru ca părțile din stânga și din dreapta să fie egale, trebuie să puneți numărul 3 în loc de x.
Acum să vedem cum ar trebui luată această decizie:

2 x = 2 3
x = 3

Pentru a rezolva această ecuație, am eliminat aceleași temeiuri(adică doi) și a notat ce a mai rămas, acestea sunt grade. Am primit răspunsul pe care îl căutam.

Acum să rezumăm soluția noastră.

Algoritm pentru rezolvarea ecuației exponențiale:
1. Trebuie verificat aceeași fie că bazele ecuației din dreapta și din stânga. Dacă motivele nu sunt aceleași, căutăm opțiuni pentru a rezolva acest exemplu.
2. După ce bazele sunt aceleași, echivala grad și rezolvați noua ecuație rezultată.

Acum să rezolvăm câteva exemple:

Să începem simplu.

Bazele din stânga și din dreapta sunt egale cu numărul 2, ceea ce înseamnă că putem arunca baza și echivalăm gradele lor.

x+2=4 Cea mai simplă ecuație a rezultat.
x=4 - 2
x=2
Răspuns: x=2

În exemplul următor, puteți vedea că bazele sunt diferite, acestea sunt 3 și 9.

3 3x - 9 x + 8 = 0

Pentru început, le transferăm pe cele nouă în partea dreaptă, obținem:

Acum trebuie să faci aceleași baze. Știm că 9=3 2 . Să folosim formula puterii (a n) m = a nm .

3 3x \u003d (3 2) x + 8

Obținem 9 x + 8 \u003d (3 2) x + 8 \u003d 3 2 x + 16

3 3x \u003d 3 2x + 16 acum este clar că bazele din stânga și din dreapta sunt aceleași și egale cu trei, ceea ce înseamnă că le putem elimina și echivala gradele.

3x=2x+16 are cea mai simplă ecuație
3x - 2x=16
x=16
Răspuns: x=16.

Să ne uităm la următorul exemplu:

2 2x+4 - 10 4 x = 2 4

În primul rând, ne uităm la baze, bazele sunt diferite două și patru. Și trebuie să fim la fel. Transformăm cvadruplul după formula (a n) m = a nm .

4 x = (2 2) x = 2 2x

Și folosim, de asemenea, o formulă a n a m = a n + m:

2 2x+4 = 2 2x 2 4

Adăugați la ecuație:

2 2x 2 4 - 10 2 2x = 24

Am dat un exemplu din aceleași motive. Dar alte numere 10 și 24 interferează cu noi. Ce să facem cu ele? Dacă te uiți cu atenție, poți vedea că în partea stângă repetăm ​​2 2x, iată răspunsul - putem pune 2 2x din paranteze:

2 2x (2 4 - 10) = 24

Să calculăm expresia dintre paranteze:

2 4 - 10 = 16 - 10 = 6

Împărțim întreaga ecuație la 6:

Imaginează-ți 4=2 2:

2 2x \u003d 2 2 baze sunt aceleași, aruncați-le și egalați gradele.
2x \u003d 2 s-a dovedit a fi cea mai simplă ecuație. Împărțim la 2, obținem
x = 1
Răspuns: x = 1.

Să rezolvăm ecuația:

9 x - 12*3 x +27= 0

Să transformăm:
9 x = (3 2) x = 3 2x

Obtinem ecuatia:
3 2x - 12 3 x +27 = 0

Bazele noastre sunt aceleași, egale cu trei. În acest exemplu, este clar că primul triplu are un grad de două ori (2x) decât al doilea (doar x). În acest caz, puteți decide metoda de substitutie. Numărul cu gradul cel mai mic se înlocuiește cu:

Atunci 3 2x \u003d (3 x) 2 \u003d t 2

Inlocuim toate gradele cu x din ecuatie cu t:

t2 - 12t+27 = 0
Obținem o ecuație pătratică. Rezolvăm prin discriminant, obținem:
D=144-108=36
t1 = 9
t2 = 3

Înapoi la Variabilă X.

Luăm t 1:
t 1 \u003d 9 \u003d 3 x

Acesta este,

3 x = 9
3 x = 3 2
x 1 = 2

S-a găsit o rădăcină. Îl căutăm pe al doilea, din t 2:
t 2 \u003d 3 \u003d 3 x
3 x = 3 1
x 2 = 1
Răspuns: x 1 \u003d 2; x 2 = 1.

Pe site puteti in sectiunea AJUTA LA DECIDE sa puneti intrebari de interes, cu siguranta iti vom raspunde.

Alăturați-vă unui grup

Să luăm în considerare subiectul transformării expresiilor cu puteri, dar mai întâi ne vom opri asupra unui număr de transformări care pot fi efectuate cu orice expresii, inclusiv cu cele de putere. Vom învăța cum să deschidem paranteze, să dăm termeni similari, să lucrăm cu baza și cu exponentul, să folosim proprietățile gradelor.

Ce sunt expresiile de putere?

În cursul școlar, puțini oameni folosesc sintagma „expresii de putere”, dar acest termen se găsește constant în colecțiile de pregătire pentru examen. În cele mai multe cazuri, expresia denotă expresii care conțin grade în intrările lor. Aceasta este ceea ce vom reflecta în definiția noastră.

Definiția 1

Exprimarea puterii este o expresie care conține grade.

Dăm mai multe exemple de expresii de putere, începând cu un grad cu un exponent natural și terminând cu un grad cu un exponent real.

Cele mai simple expresii de putere pot fi considerate puteri ale unui număr cu exponent natural: 3 2 , 7 5 + 1 , (2 + 1) 5 , (− 0 , 1) 4 , 2 2 3 3 , 3 a 2 − a + a 2 , x 3 − 1 , (a 2) 3 . La fel ca și puteri cu exponent zero: 5 0 , (a + 1) 0 , 3 + 5 2 − 3 , 2 0 . Și puteri cu puteri întregi negative: (0 , 5) 2 + (0 , 5) - 2 2 .

Este puțin mai dificil să lucrezi cu un grad care are exponenți raționali și iraționali: 264 1 4 - 3 3 3 1 2 , 2 3 , 5 2 - 2 2 - 1 , 5 , 1 a 1 4 a 1 2 - 2 a - 1 6 · b 1 2 , x π · x 1 - π , 2 3 3 + 5 .

Indicatorul poate fi o variabilă 3 x - 54 - 7 3 x - 58 sau un logaritm x 2 l g x − 5 x l g x.

Ne-am ocupat de întrebarea ce sunt expresiile puterii. Acum să aruncăm o privire asupra transformării lor.

Principalele tipuri de transformări ale expresiilor puterii

În primul rând, vom lua în considerare transformările identitare de bază ale expresiilor care pot fi efectuate cu expresii de putere.

Exemplul 1

Calculați valoarea expresiei puterii 2 3 (4 2 − 12).

Decizie

Vom efectua toate transformările în conformitate cu ordinea acțiunilor. În acest caz, vom începe prin a efectua acțiunile dintre paranteze: vom înlocui gradul cu o valoare digitală și vom calcula diferența dintre cele două numere. Noi avem 2 3 (4 2 − 12) = 2 3 (16 − 12) = 2 3 4.

Rămâne să înlocuim gradul 2 3 intelesul sau 8 și calculați produsul 8 4 = 32. Iată răspunsul nostru.

Răspuns: 2 3 (4 2 − 12) = 32 .

Exemplul 2

Simplificați expresia cu puteri 3 a 4 b − 7 − 1 + 2 a 4 b − 7.

Decizie

Expresia dată nouă în starea problemei conține termeni similari, pe care îi putem aduce: 3 a 4 b − 7 − 1 + 2 a 4 b − 7 = 5 a 4 b − 7 − 1.

Răspuns: 3 a 4 b − 7 − 1 + 2 a 4 b − 7 = 5 a 4 b − 7 − 1 .

Exemplul 3

Exprimați o expresie cu puteri de 9 - b 3 · π - 1 2 ca produs.

Decizie

Să reprezentăm numărul 9 ca putere 3 2 și aplicați formula de înmulțire prescurtată:

9 - b 3 π - 1 2 = 3 2 - b 3 π - 1 2 = = 3 - b 3 π - 1 3 + b 3 π - 1

Răspuns: 9 - b 3 π - 1 2 = 3 - b 3 π - 1 3 + b 3 π - 1 .

Și acum să trecem la analiza transformărilor identice care pot fi aplicate în mod specific expresiilor de putere.

Lucrul cu baza și exponent

Gradul în bază sau exponent poate avea numere, variabile și unele expresii. De exemplu, (2 + 0 , 3 7) 5 − 3 , 7și . Este dificil să lucrezi cu astfel de înregistrări. Este mult mai ușor să înlocuiți expresia din baza gradului sau expresia din exponent cu o expresie identică egală.

Transformările gradului și ale indicatorului se realizează după regulile cunoscute de noi separat unul de celălalt. Cel mai important este că în urma transformărilor se obține o expresie identică cu cea originală.

Scopul transformărilor este de a simplifica expresia originală sau de a obține o soluție a problemei. De exemplu, în exemplul pe care l-am dat mai sus, (2 + 0 , 3 7) 5 − 3 , 7 puteți efectua operații pentru a ajunge la grad 4 , 1 1 , 3 . Deschizând parantezele, putem aduce termeni asemănători în baza gradului (a (a + 1) − a 2) 2 (x + 1)și obțineți o expresie a puterii într-o formă mai simplă a 2 (x + 1).

Utilizarea proprietăților puterii

Proprietățile grade, scrise ca egalități, sunt unul dintre principalele instrumente de transformare a expresiilor cu grade. Vă prezentăm aici pe cele principale, având în vedere că Ași b sunt numere pozitive și rși s- numere reale arbitrare:

Definiția 2

• a r a s = a r + s ;
• a r: a s = a r − s ;
• (a b) r = a r b r ;
• (a: b) r = a r: b r ;
• (a r) s = a r s .

În cazurile în care avem de-a face cu exponenți naturali, întregi, pozitivi, restricțiile asupra numerelor a și b pot fi mult mai puțin stricte. Deci, de exemplu, dacă luăm în considerare egalitatea a m a n = a m + n, Unde mși n sunt numere naturale, atunci va fi valabil pentru orice valori ale lui a, atât pozitive, cât și negative, precum și pentru a = 0.

Puteți aplica proprietățile gradelor fără restricții în cazurile în care bazele gradelor sunt pozitive sau conțin variabile al căror interval de valori acceptabile este astfel încât bazele să ia numai valori pozitive pe el. De fapt, în cadrul programului școlar de matematică, sarcina elevului este să aleagă proprietatea potrivită și să o aplice corect.

Atunci când vă pregătiți pentru admiterea la universități, pot exista sarcini în care aplicarea incorectă a proprietăților va duce la o îngustare a ODZ și la alte dificultăți cu soluția. În această secțiune, vom lua în considerare doar două astfel de cazuri. Mai multe informații despre subiect puteți găsi în subiectul „Transformarea expresiilor folosind proprietățile exponentului”.

Exemplul 4

Reprezentați expresia a 2 , 5 (a 2) - 3: a - 5 , 5 ca grad cu o bază A.

Decizie

Pentru început, folosim proprietatea de exponențiere și transformăm al doilea factor folosindu-l (a 2) − 3. Apoi folosim proprietățile înmulțirii și împărțirii puterilor cu aceeași bază:

a 2 , 5 a − 6: a − 5 , 5 = a 2 , 5 − 6: a − 5 , 5 = a − 3 , 5: a − 5 , 5 = a − 3 , 5 − (− 5 , 5 ) = a 2 .

Răspuns: a 2 , 5 (a 2) − 3: a − 5 , 5 = a 2 .

Transformarea expresiilor puterii în funcție de proprietatea gradelor se poate face atât de la stânga la dreapta, cât și în sens invers.

Exemplul 5

Aflați valoarea expresiei puterii 3 1 3 · 7 1 3 · 21 2 3 .

Decizie

Dacă aplicăm egalitatea (a b) r = a r b r, de la dreapta la stânga, atunci obținem un produs de forma 3 7 1 3 21 2 3 și apoi 21 1 3 21 2 3 . Să adăugăm exponenții atunci când înmulțim puteri cu aceleași baze: 21 1 3 21 2 3 \u003d 21 1 3 + 2 3 \u003d 21 1 \u003d 21.

Există o altă modalitate de a face transformări:

3 1 3 7 1 3 21 2 3 = 3 1 3 7 1 3 (3 7) 2 3 = 3 1 3 7 1 3 3 2 3 7 2 3 = = 3 1 3 3 2 3 7 1 3 7 2 3 = 3 1 3 + 2 3 7 1 3 + 2 3 = 3 1 7 1 = 21

Răspuns: 3 1 3 7 1 3 21 2 3 = 3 1 7 1 = 21

Exemplul 6

Dată o expresie de putere a 1 , 5 − a 0 , 5 − 6, introduceți o nouă variabilă t = a 0, 5.

Decizie

Imaginează-ți gradul a 1, 5 la fel de a 0, 5 3. Utilizarea proprietății grad într-un grad (a r) s = a r s de la dreapta la stânga și obțineți (a 0 , 5) 3: a 1 , 5 - a 0 , 5 - 6 = (a 0 , 5) 3 - a 0 , 5 - 6 . În expresia rezultată, puteți introduce cu ușurință o nouă variabilă t = a 0, 5: obține t 3 − t − 6.

Răspuns: t 3 − t − 6 .

Conversia fracțiilor care conțin puteri

De obicei avem de-a face cu două variante de expresii de putere cu fracții: expresia este o fracție cu un grad sau conține o astfel de fracție. Toate transformările de fracții de bază sunt aplicabile unor astfel de expresii fără restricții. Ele pot fi reduse, aduse la un nou numitor, pot lucra separat cu numărătorul și numitorul. Să ilustrăm acest lucru cu exemple.

Exemplul 7

Simplificați expresia puterii 3 5 2 3 5 1 3 - 5 - 2 3 1 + 2 x 2 - 3 - 3 x 2 .

Decizie

Avem de-a face cu o fracție, așa că vom efectua transformări atât la numărător, cât și la numitor:

3 5 2 3 5 1 3 - 5 - 2 3 1 + 2 x 2 - 3 - 3 x 2 = 3 5 2 3 5 1 3 - 3 5 2 3 5 - 2 3 - 2 - x 2 = = 3 5 2 3 + 1 3 - 3 5 2 3 + - 2 3 - 2 - x 2 = 3 5 1 - 3 5 0 - 2 - x 2

Pune un minus în fața fracției pentru a schimba semnul numitorului: 12 - 2 - x 2 = - 12 2 + x 2

Răspuns: 3 5 2 3 5 1 3 - 5 - 2 3 1 + 2 x 2 - 3 - 3 x 2 = - 12 2 + x 2

Fracțiile care conțin puteri sunt reduse la un nou numitor în același mod ca și fracțiile raționale. Pentru a face acest lucru, trebuie să găsiți un factor suplimentar și să înmulțiți numărătorul și numitorul fracției cu acesta. Este necesar să selectați un factor suplimentar, astfel încât să nu dispară pentru nicio valoare a variabilelor din variabilele ODZ pentru expresia originală.

Exemplul 8

Aduceți fracțiile la un nou numitor: a) a + 1 a 0, 7 la numitor A, b) 1 x 2 3 - 2 x 1 3 y 1 6 + 4 y 1 3 la numitorul x + 8 y 1 2 .

Decizie

a) Alegem un factor care ne va permite să reducem la un nou numitor. a 0 , 7 a 0 , 3 = a 0 , 7 + 0 , 3 = a , prin urmare, ca factor suplimentar, luăm a 0, 3. Gama de valori admisibile ale variabilei a include setul tuturor numerelor reale pozitive. În acest domeniu, gradul a 0, 3 nu merge la zero.

Să înmulțim numărătorul și numitorul unei fracții cu a 0, 3:

a + 1 a 0, 7 = a + 1 a 0, 3 a 0, 7 a 0, 3 = a + 1 a 0, 3 a

b) Acordați atenție numitorului:

x 2 3 - 2 x 1 3 y 1 6 + 4 y 1 3 = = x 1 3 2 - x 1 3 2 y 1 6 + 2 y 1 6 2

Înmulțiți această expresie cu x 1 3 + 2 · y 1 6 , obținem suma cuburilor x 1 3 și 2 · y 1 6 , adică. x + 8 · y 1 2 . Acesta este noul nostru numitor, la care trebuie să aducem fracția originală.

Deci am găsit un factor suplimentar x 1 3 + 2 · y 1 6 . Pe intervalul de valori acceptabile ale variabilelor Xși y expresia x 1 3 + 2 y 1 6 nu dispare, așa că putem înmulți numărătorul și numitorul fracției cu ea:
1 x 2 3 - 2 x 1 3 y 1 6 + 4 y 1 3 = = x 1 3 + 2 y 1 6 x 1 3 + 2 y 1 6 x 2 3 - 2 x 1 3 y 1 6 + 4 y 1 3 = = x 1 3 + 2 y 1 6 x 1 3 3 + 2 y 1 6 3 = x 1 3 + 2 y 1 6 x + 8 y 1 2

Răspuns: a) a + 1 a 0, 7 = a + 1 a 0, 3 a, b) 1 x 2 3 - 2 x 1 3 y 1 6 + 4 y 1 3 = x 1 3 + 2 y 1 6 x + 8 y 1 2 .

Exemplul 9

Reduceți fracția: a) 30 x 3 (x 0, 5 + 1) x + 2 x 1 1 3 - 5 3 45 x 0, 5 + 1 2 x + 2 x 1 1 3 - 5 3, b) a 1 4 - b 1 4 a 1 2 - b 1 2.

Decizie

a) Folosiți cel mai mare numitor comun (MCG) cu care numărătorul și numitorul pot fi reduse. Pentru numerele 30 și 45, acesta este 15. De asemenea, putem reduce x 0, 5 + 1 iar pe x + 2 x 1 1 3 - 5 3 .

Primim:

30 x 3 (x 0 , 5 + 1) x + 2 x 1 1 3 - 5 3 45 x 0 , 5 + 1 2 x + 2 x 1 1 3 - 5 3 = 2 x 3 3 (x 0 , 5 + 1)

b) Aici prezenţa unor factori identici nu este evidentă. Va trebui să efectuați câteva transformări pentru a obține aceiași factori la numărător și numitor. Pentru a face acest lucru, extindem numitorul folosind formula diferenței de pătrate:

a 1 4 - b 1 4 a 1 2 - b 1 2 = a 1 4 - b 1 4 a 1 4 2 - b 1 2 2 = = a 1 4 - b 1 4 a 1 4 + b 1 4 a 1 4 - b 1 4 = 1 a 1 4 + b 1 4

Răspuns: a) 30 x 3 (x 0, 5 + 1) x + 2 x 1 1 3 - 5 3 45 x 0, 5 + 1 2 x + 2 x 1 1 3 - 5 3 = 2 · x 3 3 · (x 0 , 5 + 1) , b) a 1 4 - b 1 4 a 1 2 - b 1 2 = 1 a 1 4 + b 1 4 .

Principalele operațiuni cu fracții includ reducerea la un nou numitor și reducerea fracțiilor. Ambele acțiuni sunt efectuate în conformitate cu o serie de reguli. La adunarea și scăderea fracțiilor, fracțiile sunt mai întâi reduse la un numitor comun, după care se efectuează acțiuni (adunare sau scădere) cu numărători. Numitorul rămâne același. Rezultatul acțiunilor noastre este o nouă fracție, al cărei numărător este produsul numărătorilor, iar numitorul este produsul numitorilor.

Exemplul 10

Efectuați pașii x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 - x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 · 1 x 1 2 .

Decizie

Să începem prin a scădea fracțiile care sunt între paranteze. Să le aducem la un numitor comun:

x 1 2 - 1 x 1 2 + 1

Să scădem numărătorii:

x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 - x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2 = = x 1 2 + 1 x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 - x 1 2 - 1 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 1 x 1 2 = = x 1 2 + 1 2 - x 1 2 - 1 2 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2 = = x 1 2 2 + 2 x 1 2 + 1 - x 1 2 2 - 2 x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2 = = 4 x 1 2 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2

Acum înmulțim fracțiile:

4 x 1 2 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2 = = 4 x 1 2 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 x 1 2

Să reducem cu un grad x 1 2, obținem 4 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 .

În plus, puteți simplifica expresia puterii în numitor folosind formula pentru diferența de pătrate: pătrate: 4 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 = 4 x 1 2 2 - 1 2 = 4 x - 1.

Răspuns: x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 - x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2 = 4 x - 1

Exemplul 11

Simplificați expresia puterii x 3 4 x 2 , 7 + 1 2 x - 5 8 x 2 , 7 + 1 3 .
Decizie

Putem reduce fracția cu (x 2 , 7 + 1) 2. Obținem o fracție x 3 4 x - 5 8 x 2, 7 + 1.

Să continuăm transformările x puterilor x 3 4 x - 5 8 · 1 x 2 , 7 + 1 . Acum puteți folosi proprietatea diviziunii puterii cu aceleași baze: x 3 4 x - 5 8 1 x 2, 7 + 1 = x 3 4 - - 5 8 1 x 2, 7 + 1 = x 1 1 8 1 x 2 , 7 + 1 .

Trecem de la ultimul produs la fracția x 1 3 8 x 2, 7 + 1.

Răspuns: x 3 4 x 2 , 7 + 1 2 x - 5 8 x 2 , 7 + 1 3 = x 1 3 8 x 2 , 7 + 1 .

În cele mai multe cazuri, este mai convenabil să transferați multiplicatori cu exponenți negativi de la numărător la numitor și invers prin schimbarea semnului exponentului. Această acțiune simplifică decizia ulterioară. Să dăm un exemplu: expresia puterii (x + 1) - 0 , 2 3 · x - 1 poate fi înlocuită cu x 3 · (x + 1) 0 , 2 .

Conversia expresiilor cu rădăcini și puteri

În sarcini, există expresii de putere care conțin nu numai grade cu exponenți fracționari, ci și rădăcini. Este de dorit să se reducă astfel de expresii doar la rădăcini sau doar la puteri. Trecerea la grade este de preferat, deoarece este mai ușor de lucrat cu acestea. O astfel de tranziție este deosebit de avantajoasă atunci când DPV-ul variabilelor pentru expresia originală vă permite să înlocuiți rădăcinile cu puteri fără a fi nevoie să accesați modulul sau să împărțiți DPV-ul în mai multe intervale.

Exemplul 12

Exprimați expresia x 1 9 x x 3 6 ca putere.

Decizie

Interval valid al unei variabile X este determinată de două inegalități x ≥ 0şi x · x 3 ≥ 0 , care definesc mulţimea [ 0 , + ∞) .

Pe acest set, avem dreptul de a trece de la rădăcini la puteri:

x 1 9 x x 3 6 = x 1 9 x x 1 3 1 6

Folosind proprietățile gradelor, simplificăm expresia puterii rezultată.

x 1 9 x x 1 3 1 6 = x 1 9 x 1 6 x 1 3 1 6 = x 1 9 x 1 6 x 1 1 3 6 = = x 1 9 x 1 6 x 1 18 = x 1 9 + 1 6 + 1 18 = x 1 3

Răspuns: x 1 9 x x 3 6 = x 1 3 .

Conversia puterilor cu variabile în exponent

Aceste transformări sunt destul de simplu de făcut dacă utilizați corect proprietățile gradului. De exemplu, 5 2 x + 1 − 3 5 x 7 x − 14 7 2 x − 1 = 0.

Putem înlocui produsul gradului, în termenii căruia se găsește suma unei variabile și a unui număr. În partea stângă, acest lucru se poate face cu primul și ultimul termen din partea stângă a expresiei:

5 2 x 5 1 − 3 5 x 7 x − 14 7 2 x 7 − 1 = 0 , 5 5 2 x − 3 5 x 7 x − 2 7 2 x = 0 .

Acum să împărțim ambele părți ale ecuației cu 7 2 x. Această expresie pe ODZ a variabilei x ia numai valori pozitive:

5 5 - 3 5 x 7 x - 2 7 2 x 7 2 x = 0 7 2 x , 5 5 2 x 7 2 x - 3 5 x 7 x 7 2 x - 2 7 2 x 7 2 x = 0 , 5 5 2 x 7 2 x - 3 5 x 7 x 7 x 7 x - 2 7 2 x 7 2 x = 0

Să reducem fracțiile cu puteri, obținem: 5 5 2 x 7 2 x - 3 5 x 7 x - 2 = 0 .

În cele din urmă, raportul puterilor cu aceiași exponenți este înlocuit cu puteri ale rapoartelor, ceea ce duce la ecuația 5 5 7 2 x - 3 5 7 x - 2 = 0 , care este echivalent cu 5 5 7 x 2 - 3 5 7 x - 2 = 0 .

Introducem o nouă variabilă t = 5 7 x , care reduce soluția ecuației exponențiale inițiale la soluția ecuației pătratice 5 · t 2 − 3 · t − 2 = 0 .

Conversia expresiilor cu puteri și logaritmi

În probleme se găsesc și expresii care conțin puteri și logaritmi. Exemple de astfel de expresii sunt: ​​1 4 1 - 5 log 2 3 sau log 3 27 9 + 5 (1 - log 3 5) log 5 3 . Transformarea unor astfel de expresii se realizează folosind abordările de mai sus și proprietățile logaritmilor, pe care le-am analizat în detaliu în subiectul „Transformarea expresiilor logaritmice”.

Dacă observați o greșeală în text, vă rugăm să o evidențiați și să apăsați Ctrl+Enter