Curs

Forma trigonometrică a unui număr complex

Plan

1. Reprezentarea geometrică a numerelor complexe.

2. Notarea trigonometrică a numerelor complexe.

3. Acţiuni asupra numerelor complexe în formă trigonometrică.

Reprezentarea geometrică a numerelor complexe.

a) Numerele complexe sunt reprezentate prin puncte pe un plan conform următoarei reguli: o + bi = M ( o ; b ) (Fig. 1).

Figura 1

b) Un număr complex poate fi reprezentat printr-un vector care începe în punctDESPRE iar sfârșitul într-un punct dat (Fig. 2).

Figura 2

Exemplul 7. Construiți puncte reprezentând numere complexe:1; - i ; - 1 + i ; 2 – 3 i (Fig. 3).

Figura 3

Notarea trigonometrică a numerelor complexe.

Număr complexz = o + bi poate fi specificat folosind vectorul rază cu coordonate( o ; b ) (Fig. 4).

Figura 4

Definiţie . Lungimea vectorului , reprezentând un număr complexz , se numește modulul acestui număr și se notează saur .

Pentru orice număr complexz modulul acestuiar = | z | este determinată în mod unic de formulă .

Definiţie . Mărimea unghiului dintre direcția pozitivă a axei reale și vector , reprezentând un număr complex, se numește argumentul acestui număr complex și se noteazăO rg z sauφ .

Argumentul numărului complexz = 0 nedefinit. Argumentul numărului complexz≠ 0 – o cantitate cu mai multe valori și este determinată într-un termen2πk (k = 0; - 1; 1; - 2; 2; …): Arg z = arg z + 2πk , Undearg z – valoarea principală a argumentului cuprins în interval(-π; π] , adică-π < arg z ≤ π (uneori o valoare aparținând intervalului este luată ca valoare principală a argumentului .

Această formulă cândr =1 numită adesea formula lui Moivre:

(cos φ + i sin φ) n = cos (nφ) + i sin (nφ), n  N .

Exemplul 11: Calculați(1 + i ) 100 .

Să scriem un număr complex1 + i în formă trigonometrică.

a = 1, b = 1 .

cos φ = , sin φ = , φ = .

(1+i) 100 = [ (cos + eu păcătuiesc )] 100 = ( ) 100 (cos 100 + i păcat ·100) = = 2 50 (cos 25π + i sin 25π) = 2 50 (cos π + i sin π) = - 2 50 .

4) Extragerea rădăcinii pătrate a unui număr complex.

Când luăm rădăcina pătrată a unui număr complexo + bi avem doua cazuri:

Dacăb >o , Asta ;

Pentru a determina poziția unui punct pe un plan, puteți utiliza coordonatele polare [g, (r), Unde G este distanța punctului de la origine și (pag- unghiul care face raza - vectorul acestui punct cu directia pozitiva a axei Oh. Direcția pozitivă a schimbării unghiului (pag Direcția luată în considerare este în sens invers acelor de ceasornic. Profitând de legătura dintre coordonatele carteziene și polare: x = g cos avg,y = g sin (p,

obţinem forma trigonometrică a scrierii unui număr complex

z - r(sin (p + i sin

Unde G

Xi + y2, (p este argumentul unui număr complex, care se găsește din

l X . y y

formule cos(p --, sin^9 ​​= - sau datorită faptului că tg(p --, (p-arctg

Rețineți că atunci când alegeți valori mier din ultima ecuaţie este necesar să se ţină cont de semne x și y.

Exemplul 47. Scrieți un număr complex sub formă trigonometrică 2 = -1 + l/Z / .

Soluţie. Să găsim modulul și argumentul unui număr complex:

= yj 1 + 3 = 2 . Colţ mier găsim din relaţii cos (pag = -, sin(p = - . Apoi

primim cos(p = -, suup

u/z g~

• - -. Evident, punctul z = -1 + V3-/ este situat
• 2 La 3

in al doilea trimestru: (pag= 120°

Înlocuind

2 k.. cos--h; păcat

în formula (1) găsit 27Г L

Comentariu. Argumentul unui număr complex nu este definit în mod unic, ci într-un termen care este un multiplu al 2p. Apoi prin sp^g denota

valoarea argumentului inclusă în (p 0 %2 Apoi

A)^r = + 2kk.

Folosind celebra formulă Euler e, obținem forma exponențială a scrierii unui număr complex.

Avem r = g(co^(p + i?,p(p)=ge,

Operații pe numere complexe

• 1. Suma a două numere complexe r, = X] + y x/ și g 2 - x 2 +y 2 / se determină după formula r! +2 2 = (x, +^2) + (^1 + ^2)‘ r
• 2. Operația de scădere a numerelor complexe este definită ca operația inversă de adunare. Număr complex g = g x - g 2, Dacă g 2 + g = g x,

este diferența numerelor complexe 2 și g 2. Atunci r = (x, - x 2) + (y, - la 2) /.

• 3. Produsul a două numere complexe g x= x, +y, -z și 2 2 = x 2+ U2‘r este determinat de formula
• *1*2 =(* +U„0(X 2+ T 2 -0= X 1 X 2 Y 1 2 -1 +x Y2 " * + U1 U2 " ^ =

= (хх 2 ~УУ 2)+(Х У2 + Х 2У)-"-

În special, a-a= (x + y-y)(x-y /)= x 2 + y 2.

Puteți obține formule pentru înmulțirea numerelor complexe în forme exponențiale și trigonometrice. Avem:

• 1^2 - G x e 1 = )G 2 e > = G]G 2 cOs((P + medie 2) + isin
• 4. Împărțirea numerelor complexe este definită ca operație inversă

înmulțire, adică număr G-- numit coeficientul diviziunii r! pe g 2,

Dacă g x -1 2 ? 2 . Apoi

X + Ti _ (*і + IU 2 ~ 1 U2 ) x 2 + ІУ2 ( 2 + ^У 2)( 2 ~ 1 У 2)

x,x 2 + /y,x 2 - ix x y 2 - i 2 y x y 2 (x x x 2 + y x y 2)+ /(- x,y 2 + X 2 Y])

2 2 x 2 + Y 2

1 e

i(r g

• - 1U e "(1 Fg) - I.сОї((Р -ср 1)+ І- (pag-,)] >2 >2
• 5. Ridicarea unui număr complex la o putere întreagă pozitivă se face cel mai bine dacă numărul este scris în forme exponențiale sau trigonometrice.

Într-adevăr, dacă g = ge 1 atunci

=(ge,) = g p e t = G"(co8 psr+іт gkr).

Formula g" =r n (cosn(p+este n(p) numită formula lui Moivre.

6. Extracția rădăcinilor p- A-a putere a unui număr complex este definită ca operația inversă de ridicare la o putere p, p- 1,2,3,... adică. număr complex = y[g numită rădăcină p- puterea a unui număr complex

g, dacă G = g x. Din această definiţie rezultă că g - g", A g x= l/g. (r-psr x, O sr^-sr/n, care rezultă din formula lui Moivre scrisă pentru numărul = r/*+ іьіпп(р).

După cum sa menționat mai sus, argumentul unui număr complex nu este definit în mod unic, ci până la un termen care este un multiplu de 2 şi. De aceea = (p + 2 buc, iar argumentul numărului r, în funcție de La, să notăm (r kși hui

dem calcula folosind formula (r k= - + . Este clar că există n com-

numere complexe, n-a cărei putere este egală cu numărul 2. Aceste numere au unul

și același modul egal y[g, iar argumentele acestor numere se obţin prin La = 0, 1, p - 1. Astfel, în formă trigonometrică rădăcină i-a grade se calculează folosind formula:

(p + 2kp . . Miercuri + 2kp

, La = 0, 1, 77-1,

.(p+2ktg

iar în formă exponenţială – conform formulei l[g - y[ge p

Exemplul 48. Efectuați operații pe numere complexe în formă algebrică:

a) (1-/H/2) 3 (3 + /)

• (1 - /l/2) 3 (z + /) = (1 - zl/2/ + 6/ 2 - 2 l/2 / ? 3)(3 + /) =
• (1 - Zl/2/ - 6 + 2l/2/DZ + /)=(- 5 - l/2/DZ + /) =

15-Zl/2/-5/-l/2/ 2 = -15 - Zl/2/-5/+ l/2 = (-15 +l/2)-(5 +Zl/2)/;

Exemplul 49. Ridicați numărul r = Uz - / la a cincea putere.

Soluţie. Obținem forma trigonometrică de scriere a numărului r.

G = l/3 + 1 =2, C08 (p --, 5ІІ7 (pag =

• (1 - 2/X2 + /)
• (z-,)

O - 2.-X2 + o

• 12+ 4/-9/
• 2 +і - 4/ - 2/ 2 2 - 3/ + 2 4 - 3/ 3 + і
• (z-O " (z-O

Z/ 2 12-51 + 3 15 - 5/

• (3-i) ’з+/
• 9 + 1 z_±.
• 5 2 1 "

De aici O--, A g = 2

Primim Moivre: eu -2

/ ^ _ 7G, . ?G

• -SS-- ІБІП -

• --b / -

= -(l/w + g)= -2.

Exemplul 50: Găsiți toate valorile

Soluție, r = 2, a mier găsim din ecuație sob(p = -,zt--.

Acest punct 1 - /d/z este situat în al patrulea trimestru, i.e. f =--. Apoi

• 1 - 2
• ( ( UG L

Găsim valorile rădăcinii din expresie

V1 - /l/z = l/2

• --+ 2А:/г ---ь 2 kk
• 3 . . 3

S08--1- și 81P-

La la - 0 avem 2 0 = l/2

Puteți găsi valorile rădăcinii numărului 2 prin reprezentarea numărului pe afișaj

-* CĂTRE/ 3 + 2 cl

La La= 1 avem o altă valoare rădăcină:

• 7G. 7G_
• ---ь27г ---ь2;г
• 3. . h

7G . . 7G L-С05- + 181П - 6 6

• --N-

co? - 7G + /5SH - I"

l/3__t_

forma telial. Deoarece r= 2, a mier= , atunci g = 2e 3 , a y[g = y/2e 2

Operații pe numere complexe scrise în formă algebrică

Forma algebrică a unui număr complex z =(o,b).se numește expresie algebrică a formei

z = o + bi.

Operatii aritmetice pe numere complexe z 1 =a 1 +b 1 iŞi z 2 =a 2 +b 2 i, scrise sub formă algebrică, se realizează după cum urmează.

1. Suma (diferența) numerelor complexe

z 1 ± z 2 = (o 1 ±a 2) + (b 1 ±b 2)∙i,

aceste. adunarea (scăderea) se efectuează conform regulii de adunare a polinoamelor cu reducerea termenilor similari.

2. Produsul numerelor complexe

z 1 ∙z 2 = (o 1 ∙a 2 -b 1 ∙b 2) + (o 1 ∙b 2 +a 2 ∙b 1)∙i,

aceste. înmulţirea se realizează după regula obişnuită de înmulţire a polinoamelor, ţinând cont de faptul că i 2 = 1.

3. Împărțirea a două numere complexe se efectuează după următoarea regulă:

, (z 2 ≠ 0),

aceste. împărțirea se realizează prin înmulțirea dividendului și a divizorului cu numărul conjugat al divizorului.

Exponentiația numerelor complexe este definită după cum urmează:

Este ușor să arăți asta

Exemple.

1. Aflați suma numerelor complexe z 1 = 2 – iŞi z 2 = – 4 + 3i.

z 1 + z 2 = (2 + (–1)∙i)+ (–4 + 3i) = (2 + (–4)) + ((–1) + 3) i = –2+2i.

2. Aflați produsul numerelor complexe z 1 = 2 – 3iŞi z 2 = –4 + 5i.

= (2 – 3i) ∙ (–4 + 5i) = 2 ∙(–4) + (-4) ∙(–3i)+ 2∙5i– 3eu∙ 5eu = 7+22i.

3. Găsiți coeficientul z din diviziune z 1 = 3 – 2na z 2 = 3 – i.

z = .

4. Rezolvați ecuația: , xŞi y Î R.

(2x+y) + (x+y)eu = 2 + 3i.

Datorită egalității numerelor complexe avem:

unde x =–1 , y= 4.

5. Calculați: i 2 ,i 3 ,i 4 ,i 5 ,i 6 ,i -1 ,i -2 .

6. Calculaţi dacă .

.

7. Calculați un număr reciprocă a numărului z=3-i.

Numere complexe în formă trigonometrică

Plan complex numit plan cu coordonate carteziene ( x, y), dacă fiecare punct cu coordonatele ( a, b) este asociat cu un număr complex z = a + bi. În acest caz, se numește axa absciselor axa reală, iar axa ordonatelor este imaginar. Apoi fiecare număr complex a+bi reprezentat geometric pe un plan ca punct A (a, b) sau vector.

Prin urmare, poziția punctului O(și, prin urmare, un număr complex z) poate fi specificat prin lungimea vectorului | | = rși unghi j, format din vectorul | | cu direcția pozitivă a axei reale. Se numește lungimea vectorului modulul unui număr complexși se notează cu | z |=r, și unghiul j numit argument de număr complex si este desemnat j = arg z.

Este clar că | z| ³ 0 și | z | = 0 Û z = 0.

Din fig. 2 este clar că .

Argumentul unui număr complex este determinat în mod ambiguu, dar cu o precizie de 2 pk,kÎ Z.

Din fig. 2 este de asemenea clar că dacă z=a+biŞi j=arg z, Că

cos j =, păcat j =, tg j = .

Dacă zÎRŞi z> 0, atunci arg z = 0 +2pk;

Dacă z ОRŞi z< 0, atunci arg z = p + 2pk;

Dacă z = 0,arg z nedefinit.

Valoarea principală a argumentului este determinată pe intervalul 0 £ arg z£2 p,

sau -p£ arg z £ p.

Exemple:

1. Aflați modulul numerelor complexe z 1 = 4 – 3iŞi z 2 = –2–2i.

2. Definiți zone pe planul complex definit de condițiile:

1) | z | = 5; 2) | z| 6 GBP; 3) | z – (2+i) | 3 lire sterline; 4) 6 GBP | z – i| £7.

Solutii si raspunsuri:

1) | z| = 5 Û Û - ecuația unui cerc cu raza 5 și centru la origine.

2) Un cerc cu raza 6 cu centrul la origine.

3) Cerc cu raza 3 cu centrul în punct z 0 = 2 + i.

4) Un inel delimitat de cercuri cu raze 6 și 7 cu un centru într-un punct z 0 = i.

3. Aflați modulul și argumentul numerelor: 1) ; 2) .

1) ; O = 1, b = Þ ,

Þ j 1 = .

2) z 2 = –2 – 2i; a =–2, b =-2 Þ ,

.

Sugestie: Când determinați argumentul principal, utilizați planul complex.

Astfel: z 1 = .

2) , r 2 = 1, j 2 = , .

3) , r 3 = 1, j 3 = , .

4) , r 4 = 1, j 4 = , .

3.1. Coordonatele polare

Deseori folosit într-un avion sistemul de coordonate polare . Se definește dacă este dat un punct O, numit pol, și raza care emană din pol (pentru noi aceasta este axa Ox) – axa polară. Poziția punctului M este fixată de două numere: raza (sau raza vector) și unghiul φ dintre axa polară și vector. Unghiul φ se numește unghi polar; măsurată în radiani și numărată în sens invers acelor de ceasornic de la axa polară.

Poziția unui punct în sistemul de coordonate polar este dată de o pereche ordonată de numere (r; φ). La Pol r = 0, iar φ nu este definit. Pentru toate celelalte puncte r > 0, iar φ este definit până la un termen care este un multiplu de 2π. În acest caz, perechile de numere (r; φ) și (r 1 ; φ 1) sunt asociate cu același punct dacă .

Pentru un sistem de coordonate dreptunghiular xOy Coordonatele carteziene ale unui punct sunt ușor de exprimat în termeni de coordonatele sale polare, după cum urmează:

3.2. Interpretarea geometrică a numărului complex

Să considerăm un sistem de coordonate dreptunghiular cartezian pe plan xOy.

Orice număr complex z=(a, b) este asociat cu un punct din planul cu coordonate ( x, y), Unde coordonata x = a, i.e. partea reală a numărului complex, iar coordonata y = bi este partea imaginară.

Un plan ale cărui puncte sunt numere complexe este un plan complex.

În figură, numărul complex z = (a, b) corespunde unui punct M(x, y).

Exercita.Desenați numere complexe pe planul de coordonate:

3.3. Forma trigonometrică a unui număr complex

Un număr complex din plan are coordonatele unui punct M(x;y). În acest caz:

Scrierea unui număr complex - forma trigonometrică a unui număr complex.

Se numește numărul r modul număr complex z si este desemnat . Modulul este un număr real nenegativ. Pentru .

Modulul este zero dacă și numai dacă z = 0, adică a = b = 0.

Se numește numărul φ argument z si este desemnat. Argumentul z este definit ambiguu, ca și unghiul polar din sistemul de coordonate polar, și anume până la un termen care este multiplu de 2π.

Apoi acceptăm: , unde φ este cea mai mică valoare a argumentului. Este evident că

.

La studierea mai profundă a temei se introduce un argument auxiliar φ*, astfel încât

Exemplul 1. Aflați forma trigonometrică a unui număr complex.

Soluţie. 1) luați în considerare modulul: ;

2) căutând φ: ;

3) forma trigonometrică:

Exemplul 2. Găsiți forma algebrică a unui număr complex .

Aici este suficient să înlocuiți valorile funcții trigonometriceși transformați expresia:

Exemplul 3. Găsiți modulul și argumentul unui număr complex;

1) ;

2) ; φ – în 4 sferturi:

3.4. Operații cu numere complexe în formă trigonometrică

· Adunarea și scăderea Este mai convenabil să faci cu numere complexe în formă algebrică:

· Multiplicare– folosind transformări trigonometrice simple se poate demonstra că La înmulțire, modulele de numere sunt înmulțite și se adaugă argumentele: ;

2.3. Forma trigonometrică a numerelor complexe

Fie specificat vectorul pe plan complex prin numărul .

Să notăm cu φ unghiul dintre semiaxa pozitivă Ox și vector (unghiul φ este considerat pozitiv dacă se măsoară în sens invers acelor de ceasornic, iar negativ în caz contrar).

Să notăm lungimea vectorului cu r. Apoi . Notăm și noi

Scrierea unui număr complex diferit de zero z sub forma

se numește forma trigonometrică a numărului complex z. Numărul r se numește modulul numărului complex z, iar numărul φ se numește argumentul acestui număr complex și se notează cu Arg z.

Forma trigonometrică de scriere a unui număr complex - (formula lui Euler) - formă exponențială de scriere a unui număr complex:

Numărul complex z are infinit de argumente: dacă φ0 este orice argument al numărului z, atunci toate celelalte pot fi găsite folosind formula

Pentru un număr complex, argumentul și forma trigonometrică nu sunt definite.

Astfel, argumentul unui număr complex diferit de zero este orice soluție a sistemului de ecuații:

(3)

Valoarea φ a argumentului unui număr complex z, care satisface inegalitățile, se numește valoare principală și se notează cu arg z.

Argumentele Arg z și arg z sunt legate prin

, (4)

Formula (5) este o consecință a sistemului (3), prin urmare toate argumentele unui număr complex satisfac egalitatea (5), dar nu toate soluțiile φ ale ecuației (5) sunt argumente ale numărului z.

Valoarea principală a argumentului unui număr complex diferit de zero se găsește după formulele:

Formulele pentru înmulțirea și împărțirea numerelor complexe în formă trigonometrică sunt următoarele:

. (7)

Când se ridică un număr complex la o putere naturală, se utilizează formula Moivre:

La extragerea rădăcinii unui număr complex, se utilizează formula:

, (9)

unde k=0, 1, 2, …, n-1.

Problema 54. Calculați unde .

Să prezentăm soluția acestei expresii în formă exponențială a scrierii unui număr complex: .

Dacă, atunci.

Apoi, . Prin urmare, atunci Şi , Unde .

Răspuns: , la .

Problema 55. Scrieți numere complexe în formă trigonometrică:

A) ; b) ; V) ; G) ; d) ; e) ; și) .

Deoarece forma trigonometrică a unui număr complex este , atunci:

a) Într-un număr complex: .

,

De aceea

b) , Unde ,

G) , Unde ,

e) .

şi) , A , Asta .

De aceea

Răspuns: ; 4; ; ; ; ; .

Problema 56. Aflați forma trigonometrică a unui număr complex

.

Lasă .

Apoi, , .

Din moment ce şi , , apoi , și

Prin urmare, , prin urmare

Răspuns: , Unde .

Problema 57. Folosind forma trigonometrică a unui număr complex, efectuați următoarele acțiuni: .

Să ne imaginăm numerele și în formă trigonometrică.

1), unde Apoi

Găsiți valoarea argumentului principal:

Să înlocuim valorile și în expresie, obținem

2) , unde atunci

Apoi

3) Să găsim coeficientul

Presupunând k=0, 1, 2, obținem trei valori diferite ale rădăcinii dorite:

Dacă, atunci

dacă, atunci

dacă, atunci .

Raspuns::

:

: .

Problema 58. Fie , , , numere complexe diferite și . Demonstrează asta

a) număr este un număr real pozitiv;

b) egalitatea este valabilă:

a) Să reprezentăm aceste numere complexe în formă trigonometrică:

Pentru că .

Să presupunem că. Apoi

.

Ultima expresie este un număr pozitiv, deoarece semnele sinusului conțin numere din interval.

din moment ce numărul reale si pozitive. Într-adevăr, dacă a și b sunt numere complexe și sunt reale și mai mari decât zero, atunci .

In plus,

prin urmare, egalitatea cerută este dovedită.

Problema 59. Scrieți numărul în formă algebrică .

Să reprezentăm numărul în formă trigonometrică și apoi să îi găsim forma algebrică. Avem . Pentru obținem sistemul:

Aceasta implică egalitatea: .

Aplicând formula lui Moivre: ,

primim

Se găsește forma trigonometrică a numărului dat.

Să scriem acum acest număr în formă algebrică:

.

Răspuns: .

Problema 60. Aflați suma , ,

Să luăm în considerare suma

Aplicând formula lui Moivre, găsim

Această sumă este suma a n termeni ai unei progresii geometrice cu numitorul iar primul membru .

Aplicând formula pentru suma termenilor unei astfel de progresii, avem

Izolând partea imaginară în ultima expresie, găsim

Izolând partea reală, obținem și următoarea formulă: , , .

Problema 61. Aflați suma:

O) ; b) .

Conform formulei lui Newton pentru exponențiere, avem

Folosind formula lui Moivre găsim:

Echivalând părțile reale și imaginare ale expresiilor rezultate pentru , avem:

Şi .

Aceste formule pot fi scrise în formă compactă după cum urmează:

,

, unde este partea întreagă a numărului a.

Problema 62. Aflați toate , pentru care .

Deoarece , apoi, folosind formula

, Pentru a extrage rădăcinile, obținem ,

Prin urmare, , ,

, .

Punctele corespunzătoare numerelor sunt situate la vârfurile unui pătrat înscris într-un cerc de rază 2 cu centrul în punctul (0;0) (Fig. 30).

Răspuns: , ,

, .

Problema 63. Rezolvați ecuația , .

După condiție; prin urmare, această ecuație nu are rădăcină și, prin urmare, este echivalentă cu ecuația.

Pentru ca numărul z să fie rădăcina unei ecuații date, numărul trebuie să fie rădăcina gradul al n-lea de la numărul 1.

De aici concluzionăm că ecuația originală are rădăcini determinate din egalități

,

Astfel,

,

adică ,

Răspuns: .

Problema 64. Rezolvați ecuația din mulțimea numerelor complexe.

Deoarece numărul nu este rădăcina acestei ecuații, atunci pentru această ecuație este echivalentă cu ecuația

Adică ecuația.

Toate rădăcinile acestei ecuații sunt obținute din formula (vezi problema 62):

; ; ; ; .

Problema 65. Desenați pe planul complex o mulțime de puncte care satisfac inegalitățile: . (a doua modalitate de a rezolva problema 45)

Lasă .

Numerele complexe cu module identice corespund punctelor din plan situate pe un cerc centrat la origine, deci inegalitatea satisface toate punctele unui inel deschis delimitate de cercuri cu un centru comun la origine și razele și (Fig. 31). Fie ca un punct al planului complex să corespundă numărului w0. Număr , are un modul de câteva ori mai mic decât modulul w0 și un argument mai mare decât argumentul w0. Din punct de vedere geometric, punctul corespunzător lui w1 poate fi obținut folosind o homotezie cu un centru la origine și un coeficient, precum și o rotație față de origine printr-un unghi în sens invers acelor de ceasornic. Ca urmare a aplicării acestor două transformări la punctele inelului (Fig. 31), acesta din urmă se va transforma într-un inel delimitat de cercuri cu același centru și raze 1 și 2 (Fig. 32).

Conversie implementat folosind transferul paralel la un vector. Transferând inelul cu centrul în punct către vectorul indicat, obținem un inel de aceeași dimensiune cu centrul în punct (Fig. 22).

Metoda propusă, care utilizează ideea transformărilor geometrice ale unui plan, este probabil mai puțin convenabilă de descris, dar este foarte elegantă și eficientă.

Problema 66. Aflați dacă .

Să , atunci și . Egalitatea inițială va lua forma . Din condiția de egalitate a două numere complexe obținem , , din care , . Astfel, .

Să scriem numărul z în formă trigonometrică:

, Unde , . Conform formulei lui Moivre, găsim .

Răspuns: – 64.

Problema 67. Pentru un număr complex, găsiți toate numerele complexe astfel încât , și .

Să reprezentăm numărul în formă trigonometrică:

. De aici, . Pentru numărul pe care îl obținem , poate fi egal cu sau .

În primul caz , în al doilea

.

Raspuns: , .

Problema 68. Aflați suma unor astfel de numere care . Vă rugăm să indicați unul dintre aceste numere.

Rețineți că din formularea problemei se poate înțelege că suma rădăcinilor ecuației poate fi găsită fără a calcula rădăcinile în sine. Într-adevăr, suma rădăcinilor ecuației este coeficientul pentru , luat cu semnul opus (teorema generalizată a lui Vieta), adică.

Elevii, documentația școlară, trag concluzii despre gradul de stăpânire a acestui concept. Rezumați studiul trăsăturilor gândirii matematice și procesul de formare a conceptului de număr complex. Descrierea metodelor. Diagnostic: stadiul I. Conversația a fost purtată cu un profesor de matematică care predă algebră și geometrie în clasa a X-a. Conversația a avut loc după ce a trecut ceva timp de la început...

Rezonanță” (!)), care include și o evaluare a propriului comportament. 4. Evaluarea critică a înțelegerii situației (îndoieli). 5. În sfârșit, utilizarea recomandărilor din psihologia juridică (luând în considerare de către un avocat). aspecte psihologice acţiuni profesionale efectuate - pregătire profesională şi psihologică). Să luăm acum în considerare analiza psihologică a faptelor juridice. ...

Matematica substituției trigonometrice și testarea eficacității metodologiei de predare elaborate. Etapele lucrării: 1. Elaborarea unui curs opțional pe tema: „Aplicarea substituției trigonometrice la rezolvarea problemelor algebrice” cu elevii din clasele cu matematică avansată. 2. Desfășurarea cursului opțional dezvoltat. 3. Efectuarea unui test de diagnostic...

Sarcinile cognitive sunt destinate doar să completeze mijloacele didactice existente și trebuie să fie într-o combinație adecvată cu toate mijloacele și elementele tradiționale ale procesului educațional. Diferenţă sarcini educaționaleîn predarea ştiinţelor umaniste din cele exacte, din probleme de matematică, singura diferenţă este că în problemele istorice nu există formule, algoritmi stricti etc., ceea ce le complică rezolvarea. ...