Синус є однією з основних тригонометричних функцій, застосування якої не обмежене лише геометрією. Таблиці обчислення тригонометричних функцій, як і інженерні калькулятори, який завжди під рукою, а обчислення синуса часом необхідне вирішення різних завдань. Взагалі, обчислення синуса допоможе закріпити креслярські навички та знання тригонометричних тотожностей.
Ігри з лінійкою та олівцем
Просте завдання: як знайти синус кута, намальованого на папері? Для вирішення знадобиться звичайна лінійка, трикутник (або циркуль) та олівець. Найпростішим способом обчислити синус кута можна, розділивши дальній катет трикутника з прямим кутом на довгу сторону – гіпотенузу. Таким чином, спочатку потрібно доповнити гострий кут до фігури прямокутного трикутника, прокресливши перпендикулярну до одного з променів лінію на довільній відстані від вершини кута. Потрібно дотриматися кут саме 90 °, для чого нам і знадобиться канцелярський трикутник.
Використання циркуля трохи точніше, але займе більше часу. На одному з променів потрібно відзначити 2 точки на деякій відстані, налаштувати на циркулі радіус, приблизно рівний відстані між точками, і прокреслити півкола з центрами в цих точках до отримання перетинів цих ліній. Поєднавши точки перетину наших кіл між собою, ми отримаємо строгий перпендикуляр до променя нашого кута, залишається лише продовжити лінію до перетину з іншим променем.
В отриманому трикутнику потрібно лінійкою виміряти сторону навпроти кута та довгу сторону на одному з променів. Відношення першого виміру до другого і буде шуканою величиною синуса гострого кута.
Знайти синус для кута більше 90°
Для тупого кута завдання не набагато складніше. Потрібно прокреслити промінь з вершини в протилежний бік за допомогою лінійки для утворення прямої з одним з променів кута, що цікавить нас. З отриманим гострим кутом слід надходити, як описано вище, синуси суміжних кутів, що утворюють разом розгорнутий кут 180°, рівні.
Обчислення синуса за іншими тригонометричними функціями
Також обчислення синуса можливе, якщо відомі значення інших тригонометричних функцій кута чи хоча б довжини сторін трикутника. У цьому нам допоможуть тригонометричні тотожності. Розберемо найпоширеніші приклади.
Як знаходити синус при відомому косинус кута? Перше тригонометричне тотожність, що виходить з теореми Піфагора, свідчить, що сума квадратів синуса і косинуса одного і того ж кута дорівнює одиниці.
Як знаходити синус при відомому тангенсі кута? Тангенс отримують розподілом далекого катета на ближній або поділом синуса на косинус. Таким чином, синусом буде добуток косинуса на тангенс, а квадратом синусу буде квадрат цього добутку. Замінюємо косинус у квадраті на різницю між одиницею та квадратним синусом згідно з першим тригонометричним тотожністю і шляхом нехитрих маніпуляцій наводимо рівняння до обчислення квадратного синуса через тангенс, відповідно, для обчислення синуса доведеться витягти корінь з отриманого результату.
Як знаходити синус за відомого котангенсу кута? Значення котангенсу можна обчислити, розділивши довжину ближнього від кута катета на довжину далекого, а також поділивши косинус на синус, тобто котангенс - функція, обернена до тангенсу щодо числа 1. Для розрахунку синуса можна обчислити тангенс за формулою tg α = 1 / ct скористатися формулою у другому варіанті. Також можна вивести пряму формулу за аналогією з тангенсом, яка виглядатиме таким чином.
Як знаходити синус по трьох сторонах трикутника
Існує формула для знаходження довжини невідомої сторони будь-якого трикутника, не тільки прямокутного, по двох відомих сторонах з використанням тригонометричної функції косинуса протилежного кута. Виглядає вона так.
|BD| - Довжина дуги кола з центром у точці A .
α – кут, виражений у радіанах.
Тангенс ( tg α) - це тригонометрична функція, що залежить від кута між гіпотенузою і катетом прямокутного трикутника, рівна відношенню довжини протилежного катета |BC| до довжини прилеглого катета | AB | .
Котангенс ( ctg α) - це тригонометрична функція, що залежить від кута α між гіпотенузою та катетом прямокутного трикутника, що дорівнює відношенню довжини прилеглого катета |AB| до довжини протилежного катета | BC | .
Тангенс
Де n- ціле.
У західній літературі тангенс позначається так:
.
;
;
.
Графік функції тангенсу, y = tg x
Котангенс
Де n- ціле.
У західній літературі котангенс позначається так:
.
Також прийнято такі позначення:
;
;
.
Графік функції котангенсу, y = ctg x
Властивості тангенсу та котангенсу
Періодичність
Функції y = tg xта y = ctg xперіодичні з періодом π.
Парність
Функції тангенс та котангенс - непарні.
Області визначення та значень, зростання, спадання
Функції тангенс і котангенс безперервні у своїй області визначення (див. доказ безперервності). Основні властивості тангенсу та котангенсу представлені в таблиці ( n- ціле).
| y = tg x | y = ctg x | |
| Область визначення та безперервність | ||
| Область значень | -∞ < y < +∞ | -∞ < y < +∞ |
| Зростання | - | |
| Зменшення | - | |
| Екстремуми | - | - |
| Нулі, y = 0 | ||
| Крапки перетину з віссю ординат, x = 0 | y = 0 | - |
Формули
Вирази через синус та косинус
;
;
;
;
;
Формули тангенсу та котангенс від суми та різниці
Інші формули легко отримати, наприклад
Твір тангенсів
Формула суми та різниці тангенсів
У цій таблиці представлені значення тангенсів та котангенсів при деяких значеннях аргументу. 
Вирази через комплексні числа
Вирази через гіперболічні функції
;
;
Похідні
; .
.
Похідна n-го порядку змінної x від функції :
.
Виведення формул для тангенсу >>>; для котангенсу > > >
Інтеграли
Розкладання до лав
Щоб отримати розкладання тангенсу за ступенями x, потрібно взяти кілька членів розкладання в степеневий ряд для функцій sin xі cos xі розділити ці багаточлени один на одного. При цьому виходять такі формули.
При .
при .
де B n- Числа Бернуллі. Вони визначаються або з рекурентного співвідношення:
;
;
де.
Або за формулою Лапласа: 
Зворотні функції
Зворотними функціями до тангенсу та котангенсу є арктангенс та арккотангенс відповідно.
Арктангенс, arctg
, де n- ціле.
Арккотангенс, arcctg
, де n- ціле.
Використана література:
І.М. Бронштейн, К.А. Семендяєв, Довідник з математики для інженерів та учнів втузів, «Лань», 2009.
Г. Корн, Довідник з математики для науковців та інженерів, 2012.
У цій статті ми покажемо, як даються визначення синуса, косинуса, тангенсу та котангенсу кута та числа в тригонометрії. Тут ми поговоримо про позначення, наведемо приклади записів, дамо графічні ілюстрації. На закінчення проведемо паралель між визначеннями синуса, косинуса, тангенсу та котангенсу в тригонометрії та геометрії.
Навігація на сторінці.
Визначення синуса, косинуса, тангенсу та котангенсу
Простежимо за тим, як формуються уявлення про синус, косінус, тангенс і котангенс в шкільному курсі математики. На уроках геометрії дається визначення синуса, косинуса, тангенсу та котангенсу гострого кута у прямокутному трикутнику. А пізніше вивчається тригонометрія, де йдеться про синус, косінус, тангенс і котангенс кута повороту і числа. Наведемо всі ці визначення, наведемо приклади та дамо необхідні коментарі.
гострого кута в прямокутному трикутнику
З курсу геометрії відомі визначення синуса, косинуса, тангенсу та котангенсу гострого кута у прямокутному трикутнику. Вони даються як відношення сторін прямокутного трикутника. Наведемо їх формулювання.
Визначення.
Синус гострого кута у прямокутному трикутнику- Це відношення протилежного катета до гіпотенузи.
Визначення.
Косинус гострого кута у прямокутному трикутнику- Це відношення прилеглого катета до гіпотенузи.
Визначення.
Тангенс гострого кута у прямокутному трикутнику- Це ставлення протилежного катета до прилеглого.
Визначення.
Котангенс гострого кута у прямокутному трикутнику- Це відношення прилеглого катета до протилежного.
Там же вводяться позначення синуса, косинуса, тангенсу та котангенсу – sin, cos, tg та ctg відповідно.
Наприклад, якщо АВС – прямокутний трикутник з прямим кутом З , то синус гострого кута A дорівнює відношенню протилежного катета BC до гіпотенузи AB , тобто sin A = BC / AB .
Ці визначення дозволяють обчислювати значення синуса, косинуса, тангенсу та котангенсу гострого кута за відомими довжинами сторін прямокутного трикутника, а також за відомими значеннями синуса, косинуса, тангенсу, котангенсу та довжиною однієї зі сторін знаходити довжини інших сторін. Наприклад, якби знали, що у прямокутному трикутнику катет AC дорівнює 3 , а гіпотенуза AB дорівнює 7 , ми могли б обчислити значення косинуса гострого кута A за визначенням: cos∠A=AC/AB=3/7 .
Кута повороту
У тригонометрії на кут починають дивитися ширше - вводять поняття кута повороту. Величина кута повороту, на відміну від гострого кута, не обмежена рамками від 0 до 90 градусів, кут повороту в градусах (і в радіанах) може виражатися будь-яким дійсним числом від −∞ до +∞ .
У цьому вся світлі дають визначення синуса, косинуса, тангенса і котангенса не гострого кута, а кута довільної величини - кута повороту. Вони даються через координати x і y точки A 1 , яку переходить так звана початкова точка A(1, 0) після її повороту на кут α навколо точки O – початку прямокутної декартової системи координат і центру одиничного кола .
Визначення.
Синус кута поворотуα - це ордината точки A 1 тобто sinα = y .
Визначення.
Косинусом кута поворотуα називають абсцис точки A 1 , тобто, cosα=x .
Визначення.
Тангенс кута поворотуα - це відношення ординати точки A 1 до її абсцис, тобто tgα=y/x.
Визначення.
Котангенсом кута поворотуα називають відношення абсциси точки A 1 до її ординати, тобто ctgα=x/y .
Синус і косинус визначені для будь-якого кута α, тому що ми завжди можемо визначити абсцис і ординату точки, яка виходить в результаті повороту початкової точки на кут α. А тангенс та котангенс визначені не для будь-якого кута. Тангенс не визначений для таких кутів α , при яких початкова точка перетворюється на точку з нульовою абсцисою (0, 1) або (0, −1) , а це має місце при кутах 90°+180°·k , k∈Z (π /2+π·k радий). Справді, за таких кутах повороту вираз tgα=y/x немає сенсу, оскільки у ньому присутній розподіл на нуль. Що ж до котангенса, то він не визначений для таких кутів α , при яких початкова точка переходить до точки з нульовою ординатою (1, 0) або (−1, 0) , а це має місце для кутів 180°·k , k ∈Z (π·k радий).
Отже, синус і косинус визначені для будь-яких кутів повороту, тангенс визначений для всіх кутів, крім 90°+180°·k , k∈Z (π/2+π·k рад), а котангенс – для всіх кутів, крім 180° ·k, k∈Z (π·k радий).
У визначеннях фігурують вже відомі нам позначення sin, cos, tg і ctg, вони використовуються і для позначення синуса, косинуса, тангенса та котангенсу кута повороту (іноді можна зустріти позначення tan та cot, що відповідають тангенсу та котангенсу). Так синус кута повороту 30 градусів можна записати як sin30° записам tg(−24°17′) і ctgα відповідають тангенс кута повороту −24 градуси 17 хвилин і котангенс кута повороту α . Нагадаємо, що при записі радіанної міри кута позначення "рад" часто опускають. Наприклад, косинус кута повороту в три піради зазвичай позначають cos3·π.
На закінчення цього пункту варто зазначити, що у розмові про синус, косинус, тангенс і котангенс кута повороту часто опускають словосполучення кут повороту або слово повороту. Тобто замість фрази «синус кута повороту альфа» зазвичай використовують фразу «синус кута альфа» або ще коротше – «синус альфа». Це стосується і косинуса, і тангенса, і котангенса.
Також скажемо, що визначення синуса, косинуса, тангенса і котангенса гострого кута в прямокутному трикутнику узгоджуються з щойно даними визначеннями синуса, косинуса, тангенса і котангенса кута повороту величиною від 0 до 90 градусів. Це ми обґрунтуємо.
Числа
Визначення.
Синусом, косинусом, тангенсом та котангенсом числа t називають число, що дорівнює синусу, косинусу, тангенсу та котангенсу кута повороту в t радіанів відповідно.
Наприклад, косинус числа 8 π за визначенням є число, рівне косинусу кута в 8 π рад. А косинус кута в 8 π рад дорівнює одиниці, тому, косинус числа 8 π дорівнює 1 .
Існує й інший підхід до визначення синуса, косинуса, тангенсу та котангенсу числа. Він полягає в тому, що кожному дійсному числу t ставиться у відповідність точка одиничного кола з центром на початку прямокутної системи координат, синус, косинус, тангенс і котангенс визначаються через координати цієї точки. Зупинимося на цьому детальніше.
Покажемо, як встановлюється відповідність між дійсними числами та точками кола:
- числу 0 ставиться у відповідність початкова точка A(1, 0);
- позитивному числу t ставиться у відповідність точка одиничного кола, в яке ми потрапимо, якщо рухатимемося по колу з початкової точки в напрямку проти годинникової стрілки і пройдемо шлях довжиною t;
- негативному числу t ставиться у відповідність точка одиничного кола, в яке ми потрапимо, якщо рухатимемося по колу з початкової точки в напрямку за годинниковою стрілкою і пройдемо шлях довжиною | t | .
Тепер переходимо до визначення синусу, косинуса, тангенсу і котангенсу числа t . Припустимо, що t відповідає точка кола A 1 (x, y) (наприклад, числу &pi/2; відповідає точка A 1 (0, 1) ).
Визначення.
Синусом числа t називають ординату точки одиничного кола, що відповідає числу t, тобто, sint = y.
Визначення.
Косинусом числа t називають абсцису точки одиничного кола, що відповідає числу t, тобто, cost = x.
Визначення.
Тангенсом числа t називають відношення ординати до абсцисі точки одиничного кола, що відповідає числу t, тобто, tgt=y/x. В іншому рівносильному формулюванні тангенс числа t - це відношення синуса цього числа до косинусу, тобто tgt = sint / cost.
Визначення.
Котангенсом числа t називають відношення абсциси до ординати точки одиничного кола, що відповідає числу t, тобто ctgt=x/y . Інше формулювання таке: тангенс числа t – це відношення косинуса числа t до синуса числа t: ctgt=cost/sint.
Тут відзначимо, що дані визначення узгоджуються з визначенням, даним на початку цього пункту. Дійсно, точка одиничного кола, що відповідає числу t збігається з точкою, отриманої в результаті повороту початкової точки на кут в t радіанів.
Ще варто прояснити такий момент. Допустимо, перед нами запис sin3 . Як зрозуміти, про синус числа 3 або про синус кута повороту в 3 радіана йдеться? Зазвичай це ясно з контексту, інакше це, швидше за все, не має принципового значення.
Тригонометричні функції кутового та числового аргументу
Згідно з даними в попередньому пункті визначенням, кожному куті повороту відповідають цілком певне значення sinα, як і значення cosα. Крім того, всім кутам повороту, відмінним від 90°+180°·k , k∈Z (π/2+π·k рад) відповідають значення tgα , а відмінним від 180°·k , k∈Z (π·k рад ) – значення ctgα. Тому sinα, cosα, tgα та ctgα - це функції кута α. Інакше кажучи – це функції кутового аргумента.
Аналогічно можна говорити про функції синус, косинус, тангенс і котангенс числового аргументу. Справді, кожному дійсному числу t відповідає цілком певне значення sint, як і cost. Крім того, усім числам, відмінним від π/2+π·k , k∈Z відповідають значення tgt , а числам π·k , k∈Z - значення ctgt .
Функції синус, косинус, тангенс та котангенс називають основними тригонометричними функціями.
З контексту зазвичай зрозуміло, з тригонометричними функціями кутового аргументу чи числового аргументу ми маємо справу. Інакше ми можемо вважати незалежну змінну як мірою кута (кутовим аргументом), і числовим аргументом.
Проте, у школі переважно вивчаються числові функції, тобто, функції, аргументи яких, як і відповідні їм значення функції, є числами. Тому якщо йдеться саме про функції, то доцільно вважати тригонометричні функції функціями числових аргументів.
Зв'язок визначень з геометрії та тригонометрії
Якщо розглядати кут повороту величиною від 0 до 90 градусів, то дані в контексті тригонометрії визначення синуса, косинуса, тангенса і котангенса кута повороту повністю узгоджуються з визначеннями синуса, косинуса, тангенса і котангенса гострого кута в прямокутному трикутнику, які даються в курсі геометр. Обґрунтуємо це.
Зобразимо у прямокутній декартовій системі координат Oxy одиничне коло. Зазначимо початкову точку A(1, 0). Повернемо її на кут величиною від 0 до 90 градусів, отримаємо точку A 1 (x, y) . Опустимо з точки А 1 на вісь Ox перпендикуляр A 1 H.
Легко бачити, що в прямокутному трикутнику кут A 1 OH дорівнює куту повороту α , довжина катета OH, що прилягає до цього кута, дорівнює абсцисі точки A 1 , тобто, |OH|=x , довжина протилежного до кута катета A 1 H дорівнює ординаті точки A 1 , тобто, |A 1 H|=y , а довжина гіпотенузи OA 1 дорівнює одиниці, оскільки є радіусом одиничного кола. Тоді за визначенням з геометрії синус гострого кута в прямокутному трикутнику A 1 OH дорівнює відношенню протилежного катета до гіпотенузи, тобто sinα=|A 1 H|/|OA 1 |=y/1=y . А за визначенням із тригонометрії синус кута повороту дорівнює ординаті точки A 1 , тобто, sinα=y . Звідси видно, що визначення синуса гострого кута у прямокутному трикутнику еквівалентне визначенню синуса кута повороту α при від 0 до 90 градусів.
Аналогічно можна показати, що і визначення косинуса, тангенсу та котангенсу гострого кута узгоджуються з визначеннями косинуса, тангенсу та котангенсу кута повороту α .
Список літератури.
- Геометрія. 7-9 класи: навч. для загальноосвіт. установ/[Л. З. Атанасян, У. Ф. Бутузов, З. Б. Кадомцев та інших.]. - 20-те вид. М.: Просвітництво, 2010. – 384 с.: іл. - ISBN 978-5-09-023915-8.
- Погорєлов А. В.Геометрія: Навч. для 7-9 кл. загальноосвіт. установ/ А. В. Погорелов. - 2-ге вид - М.: Просвітництво, 2001. - 224 с.: іл. - ISBN 5-09-010803-X.
- Алгебра та елементарні функції: Навчальний посібник для учнів 9 класу середньої школи/Є. С. Кочетков, Є. С. Кочеткова; За редакцією доктора фізико-математичних наук О. Н. Головіна. - 4-те вид. М: Просвітництво, 1969.
- Алгебра:Навч. для 9 кл. середовищ. шк./Ю. Н. Макарічев, Н. Г. Міндюк, К. І. Нешков, С. Б. Суворова; За ред. З. А. Теляковського.- М.: Просвітництво, 1990.- 272 з.: ил.- ISBN 5-09-002727-7
- Алгебрата початку аналізу: Навч. для 10-11 кл. загальноосвіт. установ / А. Н. Колмогоров, А. М. Абрамов, Ю. П. Дудніцин та ін; За ред. А. Н. Колмогорова. - 14-те вид. - М.: Просвітництво, 2004. - 384 с.: Іл. - ISBN 5-09-013651-3.
- Мордковіч А. Г.Алгебра та початку аналізу. 10 клас. У 2 год. Ч. 1: підручник для загальноосвітніх закладів (профільний рівень)/ А. Г. Мордкович, П. В. Семенов. - 4-те вид., Дод. – М.: Мнемозіна, 2007. – 424 с.: іл. ISBN 978-5-346-00792-0.
- Алгебрата початку математичного аналізу. 10 клас: навч. для загальноосвіт. установ: базовий та профіл. рівні/[Ю. М. Колягін, М. В. Ткачова, Н. Є. Федорова, М. І. Шабунін]; за ред. А. Б. Жижченко. - 3-тє вид. – І.: Просвітництво, 2010. – 368 с.: іл. – ISBN 978-5-09-022771-1.
- Башмаков М. І.Алгебра та початку аналізу: Навч. для 10-11 кл. середовищ. шк. - 3-тє вид. - М: Просвітництво, 1993. - 351 с.: іл. - ISBN 5-09-004617-4.
- Гусєв В. А., Мордкович А. Г.Математика (посібник для вступників у технікуми): Навч. посібник.- М.; Вищ. шк., 1984.-351 с., іл.
Вчителі вважають, що кожен школяр повинен уміти проводити розрахунки, знати тригонометричні формули, але не кожен викладач пояснює, що таке синус і косинус. Який їхній сенс, де вони використовуються? Чому ми говоримо про трикутники, а в підручнику намальовано коло? Спробуємо пов'язати всі факти докупи.
Шкільний предмет
Вивчення тригонометрії починається зазвичай у 7-8 класі середньої школи. У цей час учням пояснюють, що таке синус та косинус, пропонують вирішувати геометричні завдання із застосуванням цих функцій. Пізніше з'являються складніші формули та вирази, які потрібно алгебраїчним способом перетворювати (формули подвійного та половинного кута, статечні функції), проводиться робота з тригонометричним колом.
Проте вчителі які завжди можуть дохідливо пояснити сенс понять і застосування формул. Тому учень часто не бачить сенсу в даному предметі, а завчена інформація швидко забувається. Однак варто один раз пояснити старшокласнику, наприклад, зв'язок між функцією та коливальним рухом, і логічний зв'язок запам'ятається на багато років, а жарти на тему марності предмета відійдуть у минуле.
Використання
Заглянемо заради цікавості у різні розділи фізики. Бажаєте визначити дальність польоту снаряда? Чи вираховуєте силу тертя між об'єктом та якоюсь поверхнею? Розгойдуєте маятник, стежите за променями, що проходять крізь скло, вираховуєте індукцію? Майже у будь-якій формулі фігурують тригонометричні поняття. То що таке синус та косинус?
Визначення
Синус кута є ставленням протилежного катета до гіпотенузи, косинус - прилеглого катета все до тієї ж гіпотенузи. Тут немає нічого складного. Можливо, учнів зазвичай бентежать значення, які вони бачать у тригонометричній таблиці, адже там фігурує квадратне коріння. Так, отримувати з них десяткові дроби не дуже зручно, але хто сказав, що всі числа в математиці мають бути рівними?
Насправді в задачниках по тригонометрії можна знайти забавну підказку: більшість відповідей тут рівні й у найгіршому разі містять корінь із двох або з трьох. Висновок простий: якщо у вас у відповіді вийшов «багатоповерховий» дріб, перевірте ще раз рішення на предмет помилок у розрахунках або в міркуваннях. І ви їх, найімовірніше, знайдете.
Що потрібно запам'ятати
Як і в будь-якій науці, у тригонометрії є такі дані, які потрібно вивчити.
По-перше, слід запам'ятати числові значення для синусів, косінусів прямокутного трикутника 0 та 90, а також 30, 45 та 60 градусів. Ці показники зустрічаються у дев'яти із десяти шкільних завдань. Підглядаючи ці значення у підручнику, ви втратите багато часу, а на контрольній чи іспиті подивитися взагалі буде ніде.
Слід пам'ятати, що значення обох функцій неспроможна перевищувати одиницю. Якщо де-небудь у розрахунках ви отримаєте значення, що виходить за межі діапазону 0-1, зупиніться та вирішіть задачу заново.
Сума квадратів синуса та косинуса дорівнює одиниці. Якщо ви вже знайшли одне з значень, скористайтеся цією формулою для знаходження решти.
Теореми
У базовій тригонометрії існує дві основні теореми: синусів та косінусів.
Перша говорить, що відношення кожної сторони трикутника до синуса протилежного кута однаково. Друга - що квадрат будь-якої сторони можна отримати, якщо скласти квадрати двох сторін, що залишилися, і відняти подвоєний їх твір, помножений на косинус кута, що лежить між ними.
Таким чином, якщо в теорему косінусів підставити значення кута 90 градусів, ми отримаємо ... теорему Піфагора. Тепер, якщо потрібно вирахувати площу фігури, яка не є прямокутним трикутником, можна більше не переживати - дві розглянуті теореми суттєво спростять вирішення задачі.
Цілі і завдання
Вивчення тригонометрії значно спроститься, коли ви усвідомлюєте один простий факт: всі дії, які ви виконуєте, спрямовані на досягнення всього однієї мети. Будь-які параметри трикутника можуть бути знайдені, якщо ви знаєте про нього мінімум інформації - це може бути величина одного кута і довжини двох сторін або, наприклад, три сторони.
Для визначення синуса, косинуса, тангенса будь-якого кута цих даних достатньо, з їх допомогою можна легко вирахувати площу фігури. Практично завжди як відповідь потрібно навести одне зі згаданих значень, а знайти їх можна за одним і тим самим формулами.
Нестиковки щодо тригонометрії
Одним із незрозумілих питань, яких школярі вважають за краще уникати, є виявлення зв'язку між різними поняттями у тригонометрії. Здавалося б, вивчення синусів і косінусів кутів використовуються трикутники, але позначення чомусь часто зустрічаються малюнку з окружностью. Крім того, існує і зовсім незрозумілий хвилеподібний графік під назвою синусоїда, який не має жодної зовнішньої подібності ні з колом, ні з трикутниками.
Більше того, кути вимірюються то в градусах, то в радіанах, а число Пі, яке записується просто як 3,14 (без одиниць виміру), чомусь фігурує у формулах, відповідаючи 180 градусам. Як усе це пов'язано?
Одиниці виміру
Чому число Пі дорівнює саме 3,14? Чи пам'ятаєте ви, що це за значення? Це кількість радіусів, що уміщуються в дузі на половині кола. Якщо діаметр кола - 2 сантиметри, довжина кола становитиме 3,14*2, або 6,28.
Другий момент: можливо, ви помічали подібність слів «радіан» та «радіус». Справа в тому, що один радіан чисельно дорівнює величині кута, відкладеного з центру кола на дугу завдовжки один радіус.
Тепер сумісний отримані знання та зрозуміємо, чому зверху на осі координат у тригонометрії пишеться «Пі навпіл», а ліворуч – «Пі». Це кутова величина, виміряна в радіанах, адже півколо – це 180 градусів, або 3,14 радіана. А там, де є градуси, є синуси та косинуси. Трикутник легко провести від потрібної точки, відклавши відрізки до центру і на вісь координат.
Заглянемо у майбутнє
Тригонометрія, що вивчається в школі, має справу з прямолінійною системою координат, де, хоч як це дивно не звучало, пряма - це пряма.
Але є і складніші способи роботи з простором: сума кутів трикутника тут буде більше 180 градусів, а пряма в нашому уявленні буде виглядати як справжнісінька дуга.
Перейдемо від слів до діла! Візьміть яблуко. Зробіть ножем три надрізи, щоб при погляді зверху виходив трикутник. Вийміть шматок яблука і подивіться на «ребра», де закінчується шкірка. Вони зовсім не прямі. Фрукт у ваших руках умовно можна назвати круглим, а тепер уявіть, якими складними мають бути формули, за допомогою яких можна знайти площу вирізаного шматка. Адже деякі фахівці вирішують такі завдання щодня.
Тригонометричні функції у житті
Чи звертали ви увагу, що найкоротший маршрут літака з точки А до точки Б на поверхні нашої планети має яскраво виражену форму дуги? Причина проста: Земля має форму кулі, а значить, за допомогою трикутників багато чого не обчислиш – тут доводиться використовувати складніші формули.
Не обійтися без синуса/косинусу гострого кута у будь-яких питаннях, пов'язаних із космосом. Цікаво, що тут сходиться безліч факторів: тригонометричні функції потрібні при розрахунках руху планет по колам, еліпсам і різним траєкторіям складніших форм; процесу запуску ракет, супутників, шатлів, відстикування дослідницьких апаратів; спостереженні за далекими зірками та вивченні галактик, до яких людина в найближчому майбутньому дістатися не зможе.
Загалом поле для діяльності людини, яка володіє тригонометрією, дуже широко і, мабуть, з часом лише розширюватиметься.
Висновок
Сьогодні ми дізналися або, принаймні, повторили, що таке синус та косинус. Це поняття, яких не треба боятися – варто захотіти, і ви зрозумієте їхній сенс. Пам'ятайте, що тригонометрія – це не мета, а лише інструмент, який можна використовувати для задоволення реальних людських потреб: будувати будинки, забезпечувати безпеку руху, навіть освоювати простори всесвіту.
Дійсно, сама по собі наука може здаватися нудною, але як тільки ви знайдете в ній спосіб досягнення власних цілей, самореалізації, процес навчання стане цікавим, а ваша особиста мотивація зросте.
В якості домашнього завдання спробуйте знайти способи застосувати тригонометричні функції у сфері діяльності, яка цікава особисто вам. Пофантазуйте, увімкніть уяву, і тоді напевно виявиться, що нові знання знадобляться вам у майбутньому. Та й, крім того, математика корисна для загального розвитку мислення.
