Презентація з математики "Тетраедр та паралелепіпед. Побудова перерізів"

Назад вперед

Увага! Попередній перегляд слайдів використовується виключно для ознайомлення та може не давати уявлення про всі можливості презентації. Якщо вас зацікавила ця робота, будь ласка, завантажте повну версію.

Цілі уроку:

• навчити будувати перерізи тетраедра та паралелепіпеда площиною;
• формувати вміння аналізувати, порівнювати, узагальнювати, робити висновки;
• розвивати навички самостійної діяльності у учнів, вміння працювати у групі.

Обладнання:проектор, інтерактивна дошка, роздатковий матеріал.

Тип уроку:урок вивчення нового матеріалу.

Методи та прийоми, що використовуються на уроці:наочний, практичний, проблемно-пошуковий, груповий, елементи дослідницької діяльності.

Хід уроку

I. Організаційний момент.

Вчитель повідомляє тему та мету уроку ( слайд 1).

ІІ. Актуалізація знань.

Вчитель:Виконуючи домашнє завдання, вам потрібно було знайти точки зустрічі прямих і площин, слід січої площини на площині грані багатогранника. Прокоментуйте, що для цього потрібно зробити.

(Учні коментують домашнє завдання ( слайди 2-3).

Вчитель:Щоб перейти до вивчення нової теми, повторимо теоретичний матеріал, відповівши на запитання:

1. Що називається січною площиною ( слайд 4)? (Учні дають визначення.)
2. Що називається перетином багатогранника ( слайд 5)? (Формулюється визначення.)
3. Що потрібно зробити для того, щоб побудувати переріз багатогранника площиною?
   Побудова перерізу зводиться до побудови ліній перетину січної площини та площин граней багатогранника.
4. Чи обов'язково січна площина має перетнути площини всіх граней багатогранника?

Вчитель:Давайте проведемо невелике дослідження і відповімо на запитання: "Яка фігура може вийти в перетині тетраедра або паралелепіпеда площиною?"

(Учні, працюючи у групах, шукають у відповідь поставлене питання.)

(За кілька хвилин вони формулюють свої припущення, і йде демонстрація слайдів 6-7.)

Вчитель:Давайте повторимо правила, про які необхідно пам'ятати при побудові перерізів багатогранника (учні згадують і формулюють потрібні аксіоми, теореми, властивості):

• Якщо дві точки належать січній площині та площині деякої грані багатогранника, то пряма, що проходить через дані точки, буде слідом січної площини на площині грані.
• Якщо січна площина паралельна прямій, що лежить у деякій площині, і перетинає цю площину, то лінія перетину цих площин паралельна даній прямій.
• При перетині двох паралельних площин січною площиною виходять паралельні прямі.
• Якщо січна площина паралельна до деякої площини, то ці дві площини перетинають третю площину по прямих, паралельних між собою.
• Якщо у січної площини і площин двох перетинаються граней є загальна точка, вона лежить на прямий, що містить загальне ребро даних граней.

Вчитель:Знайдіть помилки на цих кресленнях, обґрунтуйте своє твердження ( слайди8-9).

Вчитель:Отже, хлопці, ми підготували теоретичну базу, щоб навчитися будувати перерізи багатогранників площиною, зокрема перетину тетраедра та паралелепіпеда. Велику частину завдань ви виконуватимете самостійно, працюючи в групах, тому у кожного з вас є робочі листи із заготовками креслень багатогранників, на яких ви будуватимете перерізи. При необхідності, ви можете звертатися за консультацією до вчителя або старшого групи.

Отже, до вашої уваги пропонується перше завдання: (слайд 10) побудуйте перетин тетраедра площиною, що проходить через задані точки M, N, K. (У перетині виходить трикутник, перевірка - слайд 11.)

Вчитель:Розглянемо друге завдання: Дан тетраедр DABC Побудуйте перетин тетраедра площиною MNK, якщо M ∈DC, N∈AD, K∈AB. ( Слайд 12)

(Провести розв'язання задачі разом із класом, коментуючи побудову.)

(Завдання 3- Самостійна робота в групах ( слайд 14). Перевірка - слайд 15.)

Завдання 4: Побудуйте перетин тетраедра площиною MNK, де M та N – середини ребер AB та BC ( слайд 16). (Перевірка на слайді 17.)

Вчитель: Переходимо до наступної частини уроку Розглянемо завдання на побудову перерізів паралелепіпеда площиною. Ми з'ясували, що в перерізі паралелепіпеда площиною може бути трикутник, чотирикутник, п'ятикутник або шестикутник. Правила побудови перерізів ті самі. Пропоную перейти до наступного завдання, яке ви вирішите самостійно.

(Демонструється слайд 18)

Завдання 5

Побудуйте перетин паралелепіпеда ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 площиною MNK, якщо M∈AA 1 , N ∈BB 1 , K∈CC 1 . (Перевірка на слайді 19).

Завдання 6: (Слайд 20) Побудуйте перетин паралелепіпеда ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 площиною PTO, якщо P, T, O належать відповідно ребрам АA 1 , ВB 1 , СC 1 .

(Рішення обговорюється, учні будують перетин на індивідуальних аркушах та записують хід побудови ( слайд 21).)

1. TO ∩ BC = M
2. TP ∩ AB = N
3. NM ∩ AD = L
4. NM ∩ CD = F
5. PL, FO
6. PTOFL - шуканий переріз.

Завдання 7: (слайд 22)Побудуйте перетин паралелепіпеда площиною KMN, якщо K ∈ A 1 D 1 , N ∈BC , M ∈ AB.

Рішення: ( слайд 23)

1. MN∩AD=Q;
2. QK∩AA 1 =P;
3. NE || PK; KF || MN;

MPKFEN – шуканий переріз.

Творчі завдання (картки за варіантами):

1. У правильній трикутній піраміді SАВС через вершину С та середину ребра SА проведіть переріз піраміди, паралельний SB. На ребрі АВ взято точку F так, що АF: FВ = 3:1. Через точку F та середину ребра SС проведено пряму. Чи буде ця пряма паралельна площині перерізу?
2. АB 1 С - переріз прямокутного паралелепіпеда АВСDA 1 B 1 C 1 D 1 . Через точки Е, F, К, які є відповідно серединами ребер DD 1 , A 1 D 1 D 1 C 1 проведено другий переріз. Доведіть, що трикутники ЕFК і АB 1 C подібні, і встановіть, які кути цих трикутників рівні між собою.

ІІІ. Підсумок урока.

Отже, ми познайомилися з правилами побудови перерізів тетраедра та паралелепіпеда, розглянули види перерізів, вирішували найпростіші завдання на побудову перерізів. На наступному уроці ми продовжимо вивчення теми, розглянемо складніші завдання.

А тепер підіб'ємо підсумок уроку, відповівши на наші традиційні питання ( слайд 24):

• «Мені сподобався (не сподобався) урок, тому що…»
• "Сьогодні на уроці я навчився ...."
• «Мені хочеться, щоб…»
• «У цей урок я додав(ла) б …»

(Виставлення оцінок за урок.)

IV. Завдання додому.

п.14 105, 106. ( слайд 25)

Додаткове завдання до 105: Знайдіть відношення, в якому площину MNK ділить ребро AB, якщо CN: ND = 2:1, BM = MD та точка K – середина медіани AL трикутника ABC.

(Закінчити виконання творчого завдання.)

• Цілі і завдання.
• Вступ.
• Концепція січній площині.
• Визначення перерізу.
• Правила побудови перерізів.
• Види перерізів тетраедра.
• Види перерізів паралелепіпеда.
• Завдання побудувати переріз тетраедра з поясненням.
• Завдання на побудову перерізу тетраедра з питань, що наводять.
• Другий варіант вирішення попередньої задачі.
• Завдання на побудову перерізу паралелепіпеда.
• Побажання учням.

Мета роботи:

Завдання:

• Познайомитись із правилами побудови перерізів.
• Виробити навички побудови перерізів тетраедра та паралелепіпеда при різних випадках завдання січної площини.
• Сформувати вміння застосовувати правила побудови перерізів під час вирішення завдань на теми «Многогранники».

Для вирішення багатьох геометричних завдань необхідно будувати їх перерізурізними площинами.

Сікучою площиноюПаралелепіпеда (тетраедра) називається будь-яка площина, по обидва боки від якої є точки даного паралелепіпеда (тетраедра).

Сікуча площина перетинає грані тетраедра (паралелепіпеда) по відрізкам.

L

Багатокутник , сторонами якого є дані відрізки, називається перетином тетраедра (паралелепіпеда).

Для побудови перерізу потрібно побудувати точки перетину січної площини з ребрами та з'єднати їх відрізками.

При цьому необхідно враховувати таке:

1. З'єднувати можна лише дві точки, що лежать

у площині однієї грані.

2. Січна площина перетинає паралельні грані по паралельним відрізкам.

3. Якщо в площині грані відзначено лише одну точку, що належить площині перерізу, треба побудувати додаткову точку. Для цього необхідно знайти точки перетину вже збудованих прямих з іншими прямими, що лежать у тих же гранях.

Які багатокутники можуть вийти у перетині?

Тетраедр має 4 грані

У перерізах можуть вийти:

• Чотирикутники

• Трикутники

Паралелепіпед має 6 граней

• Трикутники

• П'ятикутники

У його перерізах

можуть вийти:

• Чотирикутники

• Шестикутники

Побудувати перетин тетраедра DABC площиною, що проходить через точки M , N , K

• Проведемо пряму через

точки М та К, т.к. вони лежать

на одній грані (А DC).

2. Проведемо пряму через точки К і N, т.к. вони лежать у одній грані (З DB).

3. Аналогічно розмірковуючи, проводимо пряму MN.

4. Трикутник MNK -

шуканий перетин.

проходить через точки E , F , K .

1. Проводимо До F.

2. Проводимо FE.

3. Продовжимо EF , продовжимо AC .

5. Проводимо MK.

7. Проводимо EL

EFKL – шукане

Побудувати перетин тетраедра площиною,

проходить через точки E , F , K .

З точкою F

F і K , Е та К

Побудувати перетин тетраедра площиною,

проходить через крапки E , F , K .

Спосіб №2.

Спосіб №1.

Висновок: незалежно від способу побудови перерізу однакові.

Побудувати перерізи паралелепіпеда площиною, що проходить через точки 1, М, N

7. Продовжимо MN та BD .

2. Продовжимо MN, ВА

10. B 1 Е ∩ D 1 D=P , PN

Побудувати перетин паралелепіпеда площиною,

проходить через крапки M,A,D.

3. ME//AD, т.к. (ABC)//(A 1 B 1 C 1)

5. AEMD - перетин.

ВИ БАГАТО ДІЗНАЛИСЯ

І БАГАТО ПОБАЧИЛИ!

ТАК ВПЕРЕД, Хлопці:

ДЕРЗАЙТЕ І ТВОРІТЬ!

СПАСИБІ ЗА УВАГУ.

Побудова перерізів тетраедра та паралелепіпеда Ткачова Вікторія Вікторівна, вчитель математики школи № 183 із поглибленим вивченням англійської мови. Санкт-Петербург, 2011р. Зміст: 1. Цілі та завдання 2. Введення 3. Поняття січої площини 4. Визначення перерізу 5. Правила побудови перерізів 6. Види перерізів тетраедра 7. Види перерізів паралелепіпеда 8. Завдання на побудову перерізу тетраедра з поясненням 9. Завдання на побудову сеч з поясненням 10. Завдання на побудову перерізу тетраедра з навідних питань 11. Другий варіант розв'язання попередньої задачі 12. Завдання на побудову перерізу паралелепіпеда 13. Завдання на побудову перерізу паралелепіпеда 14. Джерела інформації 15. Побажання учням простих учень Завдання: Познайомити з правилами побудови перерізів.  Виробити навички побудови перерізів тетраедра і паралелепіпеда при різних випадках завдання площини, що сить. Сформувати вміння застосовувати правила побудови перерізів під час вирішення завдань на теми «Многогранники». Для вирішення багатьох геометричних завдань необхідно будувати їх перерізи різними площинами. Сікучою площиною паралелепіпеда (тетраедра) називається будь-яка площина, по обидва боки від якої є точки даного паралелепіпеда (тетраедра). L Сікуча площина перетинає грані тетраедра (паралелепіпеда) по відрізках. L Багатокутник, сторонами якого є дані відрізки, називається перетином тетраедра (паралелепіпеда). Для побудови перерізу потрібно побудувати точки перетину січної площини з ребрами та з'єднати їх відрізками. При цьому необхідно враховувати наступне: 1. З'єднувати можна лише дві точки, що лежать у площині однієї грані. 2. Січна площина перетинає паралельні грані по паралельним відрізкам. 3. Якщо в площині грані відзначено лише одну точку, що належить площині перерізу, треба побудувати додаткову точку. Для цього необхідно знайти точки перетину вже збудованих прямих з іншими прямими, що лежать у тих же гранях. Які багатокутники можуть вийти у перетині? Тетраедр має 4 грані У перерізах можуть вийти: Трикутники Чотирьохкутники Паралелепіпед має 6 граней Трикутники П'ятикутники У його перетинах можуть вийти: Чотирикутники Шестикутники Простір D ,N через точки М та К, т.к. вони лежать у одній грані (АDC). N K BB C C 2. Проведемо пряму через точки К та N, т.к. вони лежать у одній грані (СDB). 3. Аналогічно розмірковуючи, проводимо пряму MN. 4. Трикутник MNK – шуканий переріз. Побудувати переріз тетраедра площиною, що проходить через точки E, F, K. 1. Проводимо КF. 2. Проводимо FE. 3. Продовжимо EF, продовжимо AC. D F 4. EF  AC = М 5. Проводимо MK. E  M  C 6. MK AB=L A L K Правила B 7. Проводимо EL EFKL – шуканий перетин Побудувати перетин тетраедра площиною, що проходить через точки E, F, K. З якою прямою точкою, що лежить у Які можна З'єднатися Які відразу ті самі точки чи можна продовжити, щоб отримати точки, що лежать в одній з'єднати? з'єднати отриману додаткову точку? грані, назвіть перетин. додаткову точку? D іЕ АС ЕLFK FСЕК іточкою K, і FК F L C M A E K B Правила Другий спосіб Побудувати перетин тетраедра площиною, що проходить через точки E, F, K. D F L C A E K B Правила Перший спосіб Про Спосіб №1. Спосіб №2. Висновок: незалежно від способу побудови перерізу однакові. Побудувати переріз паралелепіпеда площиною, що проходить через точки M,A,D. В1 D1 E A1 С1 В А 1. AD 2. MD 3. ME//AD, т.к. (ABC)//(A1B1C1) 4. AE 5. AEMD – переріз. М D С Побудувати перерізи паралелепіпеда площиною, що проходить через точки В1, М, N Правила В1 D1 С1 A1 P К В D А Е N С O M 1. MN 3.MN ∩ BA=O 2.Продовжимо 4. В1О MN,ВА 5 В1О ∩ А1А=К 6. КМ 7. Продовжимо MN та BD. 8. MN ∩ BD=E 9. В1E 10. B1Е ∩ D1D=P , PN Джерела інформації 1. Геометрія 10-11: підручник для загальноосвіт. установ / Л.С.Атанасян, В.Ф.Бутузов та ін., М.Освіта 2. Завдання до уроків геометрії 7-11 класи / Б.Г.Зів, С.-Петербург, НВО «Світ та сім'я», вид -В «Акація». 3. Математика: Великий довідник для школярів та вступників до ВНЗ / Д.І.Авер'янов, П.І.Алтинов – М.: Дрофа ВИ БАГАТО ДІЗНАЛИСЯ І БАГАТО ПОБАЧИЛИ! ТАК ВПЕРЕД, Хлопці: ДЕРЗАЙТЕ І ТВОРІТЬ! СПАСИБІ ЗА УВАГУ.