Таблиця найпростіших невизначених інтегралів. Інтеграли для чайників: як вирішувати, правила обчислення, пояснення

Визначення 1

Первинна $F(x)$ для функції $y=f(x)$ на відрізку $$ - це функція , яка є диференційованою в кожній точці цього відрізка і для її похідної виконується така рівність:

Визначення 2

Сукупність всіх первинних заданої функції $ y = f (x) $, визначеної на деякому відрізку, називається невизначеним інтегралом від заданої функції $ y = f (x) $. Невизначений інтеграл позначається символом $\int f(x)dx$.

З таблиці похідних та визначення 2 отримуємо таблицю основних інтегралів.

Приклад 1

Перевірити справедливість формули 7 з таблиці інтегралів:

\[\int tgxdx =-\ln |\cos x|+C,\, \, C=const.\]

Продиференціюємо праву частину: $-\ln |\cos x|+C$.

\[\left(-\ln |\cos x|+C\right)"=-\frac(1)(\cos x) \cdot (-\sin x)=\frac(\sin x)(\cos x) =tgx\]

Приклад 2

Перевірити справедливість формули 8 з таблиці інтегралів:

\[\int ctgxdx =\ln |\sin x|+C,\, \, C=const.\]

Продиференціюємо праву частину: $\ln |sin x|+C$.

\[\left(\ln |\sin x|\right)"=\frac(1)(\sin x) \cdot \cos x=ctgx\]

Похідна вийшла рівною підінтегральною функцією. Отже, формула вірна.

Приклад 3

Перевірити справедливість формули 11" з таблиці інтегралів:

\[\int \frac(dx)(a^(2) +x^(2) ) =\frac(1)(a) arctg\frac(x)(a) +C,\, \, C=const .\]

Продиференціюємо праву частину: $\frac(1)(a) arctg\frac(x)(a) +C$.

\[\left(\frac(1)(a) arctg\frac(x)(a) +C\right)"=\frac(1)(a) \cdot \frac(1)(1+\left( \frac(x)(a) \right)^(2) ) \cdot \frac(1)(a) =\frac(1)(a^(2) ) \cdot \frac(a^(2) ) (a^(2) +x^(2) ) \]

Похідна вийшла рівною підінтегральною функцією. Отже, формула вірна.

Приклад 4

Перевірити справедливість формули 12 з таблиці інтегралів:

\[\int \frac(dx)(a^(2) -x^(2) ) =\frac(1)(2a) \ln \left|\frac(a+x)(a-x) \right|+ C,\, \, C=const.\]

Продиференціюємо праву частину: $\frac(1)(2a) \ln \left|\frac(a+x)(a-x) \right|+C$.

$\left(\frac(1)(2a) \ln \left|\frac(a+x)(a-x) \right|+C\right)"=\frac(1)(2a) \cdot \frac( 1)(\frac(a+x)(a-x) ) \cdot \left(\frac(a+x)(a-x) \right)"=\frac(1)(2a) \cdot \frac(a-x)( a+x) \cdot \frac(a-x+a+x)((a-x)^(2) ) =\frac(1)(2a) \cdot \frac(a-x)(a+x) \cdot \ frac(2a)((a-x)^(2) ) =\frac(1)(a^(2) -x^(2) ) $Виробна вийшла рівною підінтегральною функцією. Отже, формула вірна.

Приклад 5

Перевірити справедливість формули 13" з таблиці інтегралів:

\[\int \frac(dx)(\sqrt(a^(2) -x^(2) ) ) =\arcsin \frac(x)(a) +C,\, \, C=const.\]

Продиференціюємо праву частину: $ \ arcsin \ frac (x) (a) + C $.

\[\left(\arcsin \frac(x)(a) +C\right)"=\frac(1)(\sqrt(1-\left(\frac(x)(a) \right)^(2) ) ) ) \cdot \frac(1)(a) =\frac(a)(\sqrt(a^(2) -x^(2) ) ) \cdot \frac(1)(a) =\frac( 1)(\sqrt(a^(2) -x^(2) ) ) \]

Похідна вийшла рівною підінтегральною функцією. Отже, формула вірна.

Приклад 6

Перевірити справедливість формули 14 з таблиці інтегралів:

\[\int \frac(dx)(\sqrt(x^(2) \pm a^(2) ) ) =\ln |x+\sqrt(x^(2) \pm a^(2) ) |+ C,\, \, C=const.\]

Продиференціюємо праву частину: $\ln |x+\sqrt(x^(2) \pm a^(2) ) |+C$.

\[\left(\ln |x+\sqrt(x^(2) \pm a^(2) ) |+C\right)"=\frac(1)(x+\sqrt(x^(2) \pm a^(2) ) ) \cdot \left(x+\sqrt(x^(2) \pm a^(2) ) \right)"=\frac(1)(x+\sqrt(x^(2) \ pm a^(2) ) ) \cdot \left(1+\frac(1)(2\sqrt(x^(2) \pm a^(2) ) ) \cdot 2x\right)=\] \[ =\frac(1)(x+\sqrt(x^(2) \pm a^(2) ) ) \cdot \frac(\sqrt(x^(2) \pm a^(2) ) +x)( \sqrt(x^(2) \pm a^(2) ) ) =\frac(1)(\sqrt(x^(2) \pm a^(2) ) ) \]

Похідна вийшла рівною підінтегральною функцією. Отже, формула вірна.

Приклад 7

Знайти інтеграл:

\[\int \left(\cos (3x+2)+5x\right) dx.\]

Скористаємося теоремою про інтеграл суми:

\[\int \left(\cos (3x+2)+5x\right) dx=\int \cos (3x+2)dx +\int 5xdx .\]

Скористаємося теоремою про винесення постійного множника за знак інтеграла:

\[\int \cos (3x+2)dx +\int 5xdx =\int \cos (3x+2)dx +5\int xdx .\]

За таблицею інтегралів:

\[\int \cos x dx=\sin x+C;\] \[\int xdx =\frac(x^(2) )(2) +C.\]

При обчисленні першого інтеграла скористаємося правилом 3:

\[\int \cos (3x+2) dx=\frac(1)(3) \sin (3x+2)+C_(1) .\]

Отже,

\[\int \left(\cos (3x+2)+5x\right) dx=\frac(1)(3) \sin (3x+2)+C_(1) +\frac(5x^(2) )(2) +C_(2) =\frac(1)(3) \sin (3x+2)+\frac(5x^(2) )(2) +C,\, \, C=C_(1 ) +C_(2) \]

Перелічимо інтеграли від елементарних функцій, які іноді називають табличними:

Будь-яку з наведених вище формул можна довести, взявши похідну від правої частини (в результаті буде отримано підінтегральну функцію).

Методи інтегрування

Розглянемо деякі основні способи інтегрування. До них відносяться:

1. Метод розкладання(безпосереднього інтегрування).

Цей метод заснований на безпосередньому застосуванні табличних інтегралів, а також на застосуванні властивостей 4 і 5 невизначеного інтеграла (тобто на виносі за дужку постійного співмножника та/або уявлення підінтегральної функції у вигляді суми функцій – розкладання підінтегральної функції на доданки).

приклад 1.Наприклад, для знаходження(dx/x 4) можна безпосередньо скористатися табличним інтегралом дляx n dx. Справді,(dx/x 4) =x -4 dx=x -3 /(-3) +C= -1/3x 3 +C.

приклад 2.Для перебування скористаємося тим самим інтегралом:

Приклад 3.Для знаходження треба взяти

Приклад 4.Щоб знайти, представимо підінтегральну функцію у вигляді та використовуємо табличний інтеграл для показової функції:

Розглянемо використання виносу за дужку постійного співмножника.

Приклад 5.Знайдемо, наприклад . Враховуючи, що отримаємо

Приклад 6.Знайдемо. Оскільки скористаємося табличним інтегралом Отримаємо

У наступних двох прикладах також можна використовувати винос за дужки та табличні інтеграли:

Приклад 7.

(використовуємо та );

Приклад 8.

(використовуємо і ).

Розглянемо складніші приклади, у яких використовується інтеграл суми.

Приклад 9.Наприклад, знайдемо
. Для застосування методу розкладання в чисельнику використовуємо формулу куба суми, а потім отриманий багаточлен почленно розділимо на знаменник.

=((8x 3/2 + 12x+ 6x 1/2 + 1)/(x 3/2))dx=(8 + 12x -1/2 + 6/x+x -3/2)dx= 8 dx+ 12x -1/2 dx+ + 6dx/x+x -3/2 dx=

Слід зазначити, що наприкінці рішення записано одну загальну постійну С (а не окремі при інтегруванні кожного доданка). Надалі також пропонується опускати у процесі рішення постійні від інтегрування окремих доданків до того часу, поки вираз містить хоча б один невизначений інтеграл (записуватимемо одну постійну наприкінці рішення).

Приклад 10Знайдемо . Для вирішення цього завдання розкладемо на множники чисельник (після цього вдасться скоротити знаменник).

Приклад 11.Знайдемо. Тут можна використовувати тригонометричні тотожності.

Іноді, щоб розкласти вираз на доданки, доводиться застосовувати складніші прийоми.

Приклад 12Знайдемо . У підінтегральній функції виділимо цілу частину дробу . Тоді

Приклад 13Знайдемо

2. Метод заміни змінної (метод підстановки)

Метод заснований на наступній формулі: f(x)dx=f((t))`(t)dt, де x =(t) - функція, що диференціюється на аналізованому проміжку.

Доведення. Знайдемо похідні за змінною t від лівої та правої частин формули.

Зазначимо, що у лівій частині перебуває складна функція, проміжним аргументом якої є x = (t). Тому, щоб диференціювати її поt, спочатку диференціюємо інтеграл по x, а потім можемо похідну від проміжного аргументу поt.

( f(x)dx)` t = ( f(x)dx)` x *x` t = f(x) `(t)

Похідна від правої частини:

(f((t))`(t)dt)` t =f((t))`(t) =f(x)`(t)

Так як ці похідні рівні, по наслідок з теореми Лагранжа ліва і права частини формули, що доводиться, відрізняються на деяку постійну. Оскільки самі невизначені інтеграли визначені з точністю до невизначеного постійного доданку, то зазначену постійну в остаточному записі можна опустити. Доведено.

Вдала заміна змінної дозволяє спростити вихідний інтеграл, а найпростіших випадках звести його до табличного. У застосуванні цього методу розрізняють методи лінійної та нелінійної підстановки.

а) Метод лінійної підстановкирозглянемо з прикладу.

приклад 1.
. Нехай t = 1 - 2x, тоді

dx=d(½ - ½t) = - ½dt

Слід зазначити, що нову змінну можна виписувати явно. У разі говорять про перетворення функції під знаком диференціала чи запровадження постійних і змінних під знак диференціала, - тобто. про неявної заміни змінної.

приклад 2.Наприклад, знайдемо cos(3x + 2)dx. За властивостями диференціала dx = (1/3) d (3x) = (1/3) d (3x + 2), тоді cos (3x + 2) dx = (1/3) cos (3x + 2) d (3x + + 2) = (1/3)cos(3x + 2)d(3x + 2) = (1/3)sin(3x + 2) +C.

В обох розглянутих прикладах для знаходження інтегралів було використано лінійну підстановку t=kx+b(k0).

У випадку справедлива наступна теорема.

Теорема про лінійну підстановку. Нехай F(х) - деяка первісна для функції f(х). Тодіf(kx+b)dx= (1/k)F(kx+b) +C, де k та b - деякі постійні,k0.

Доведення.

За визначенням інтеграла f(kx+b)d(kx+b) =F(kx+b) +C. Hod(kx+b)= (kx+b)`dx=kdx. Винесемо постійний множникkза знак інтеграла:kf(kx+b)dx=F(kx+b) +C. Тепер можна розділити ліву та праву частини рівності наkи отримати доказне твердження з точністю до позначення постійного доданку.

Ця теорема стверджує, що якщо визначення інтеграла f(x)dx= F(x) + C замість аргументу х підставити вираз (kx+b), то це призведе до появи додаткового множника 1/kперед первісної.

З використанням доведеної теореми вирішимо такі приклади.

Приклад 3.

Знайдемо . Тут kx + b = 3 -x, тобто. k = -1, b = 3. Тоді

Приклад 4.

Знайдемо. Тут kx + b = 4x + 3, тобто k = 4, b = 3. Тоді

Приклад 5.

Знайдемо . Тут kx + b = -2 x + 7, тобто. k = -2, b = 7. Тоді

.

Приклад 6.Знайдемо
. Тут kx + b = 2x + 0, тобто k = 2, b = 0.

.

Порівняємо отриманий результат прикладом 8, який був вирішений методом розкладання. Вирішуючи це завдання іншим методом, ми отримали відповідь
. Порівняємо отримані результати. Таким чином, ці вирази відрізняються один від одного на постійне доданок , тобто. отримані відповіді не суперечать одна одній.

Приклад 7.Знайдемо
. Виділимо у знаменнику повний квадрат.

У деяких випадках заміна змінної не зводить інтеграл безпосередньо до табличного, але може спростити рішення, уможлививши застосування на наступному кроці методу розкладання.

Приклад 8.Наприклад, знайдемо . Замінимо t = x + 2 тоді dt = d (x + 2) = dx. Тоді

,

де С = С 1 - 6 (при підстановці замість tвиразу (x + 2) замість перших двох доданків отримаємо ½x 2 -2x - 6).

Приклад 9.Знайдемо
. Нехай t = 2x + 1, тоді dt = 2dx; dx = ½dt; x = (t-1) / 2.

Підставимо замість tвираз (2x+ 1), розкриємо дужки і наведемо подібні.

Зазначимо, що у перетворень ми перейшли до іншого постійному доданку, т.к. групу постійних доданків у процесі перетворень можна було опустити.

б) Метод нелінійної підстановкирозглянемо з прикладу.

приклад 1.
. Нехай t = -x2. Далі можна було б виразити х через t, потім знайти вираз для dxі реалізувати заміну змінної в шуканому інтегралі. Але в цьому випадку простіше вчинити по-іншому. Знайдемо dt=d(-x 2) = -2xdx. Зазначимо, що вираз xdx є помножувачем підінтегрального виразу шуканого інтеграла. Виразимо його з отриманої рівності xdx = - ½ dt. Тоді

= (- ½)e t dt = (- ½) e t dt = (- ½)e t + C = (- ½)
+ C

Розглянемо ще кілька прикладів.

приклад 2.Знайдемо . Нехай t = 1-x2. Тоді

Приклад 3.Знайдемо . Нехай t =. Тоді

;

Приклад 4.У разі нелінійної підстановки також зручно використовувати неявну заміну змінної.

Наприклад, знайдемо
. Запишемо xdx = = (-1/4) d (3 - 2x 2) (неявно замінили змінної t = 3 - 2x 2). Тоді

Приклад 5.Знайдемо . Тут також введемо змінну під знак диференціалу: (Неявна заміна t = 3 + 5x 3). Тоді

Приклад 6.Знайдемо . Оскільки ,

Приклад 7.Знайдемо. Оскільки, то

Розглянемо кілька прикладів, у яких виникає потреба поєднувати різні підстановки.

Приклад 8.Знайдемо
. Нехай t = 2x + 1, тоді x = (t-1) / 2; dx = ½dt.

Приклад 9.Знайдемо
. Нехай t = x-2, тоді x = t + 2; dx = dt.

Визначення первинної функції

• Функцію у = F (x)називають первинною для функції у = f (x)на заданому проміжку Х,якщо для всіх х ∈Хвиконується рівність: F′(x) = f(x)

Можна прочитати двома способами:

1. f похідна функції F
2. F первісна для функції f

Властивість первісних

• Якщо F(x)- первісна для функції f(x)на заданому проміжку, то функція f(x) має нескінченно багато первісних, і всі ці первісні можна записати у вигляді F(x) + Зде С - довільна постійна.

Геометрична інтерпретація

• Графіки всіх первісних даної функції f(x)виходять з графіка будь-якої однієї первісної паралельними переносами вздовж осі у.

Правила обчислення первісних

1. Первісна сума дорівнює сумі первісних. Якщо F(x)- первісна для f(x), а G(x) - первісна для g(x), то F(x) + G(x)- первісна для f(x) + g(x).
2. Постійний множник можна виносити за знак похідної. Якщо F(x)- первісна для f(x), і k- Постійна, то k·F(x)- первісна для k·f(x).
3. Якщо F(x)- первісна для f(x), і k, b- постійні, причому k ≠ 0, то 1/k · F(kx + b)- первісна для f(kx + b).

Запам'ятай!

Будь-яка функція F(x) = х 2 + З , де С - довільна постійна, і тільки така функція, є первинною для функції f(x) = 2х.

• Наприклад:

  F"(x) = (х 2 + 1)" = 2x = f(x);

  f(x) = 2х,т.к. F"(x) = (х 2 - 1)" = 2x = f(x);

  f(x) = 2х,т.к. F"(x) = (х 2 -3)" = 2x = f(x);

Зв'язок між графіками функції та її первісною:

1. Якщо графік функції f(x)>0на проміжку, то графік її первісної F(x)зростає у цьому проміжку.
2. Якщо графік функції f(x) на проміжку, то графік її первісної F(x)зменшується на цьому проміжку.
3. Якщо f(x)=0, то графік її первісної F(x)у цій точці змінюється із зростаючого на спадний (або навпаки).

Для позначення первинної використовують знак невизначеного інтеграла, тобто інтеграла без зазначення меж інтегрування.

Невизначений інтеграл

Визначення:

• Невизначеним інтегралом від функції f(x) називається вираз F(x) + З, тобто сукупність всіх первісних цієї функції f(x). Позначається невизначений інтеграл так: f(x) dx = F(x) + C

• f(x)- називають підінтегральною функцією;
• f(x) dx- називають підінтегральним виразом;
• x- називають змінною інтеграцією;
• F(x)- Одна з первісних функцій f(x);
• З- Довільна постійна.

Властивості невизначеного інтеграла

1. Похідна невизначеного інтеграла дорівнює підінтегральної функції: (\int f(x) dx)\prime= f(x) .
2. Постійний множник підінтегрального виразу можна виносити за знак інтеграла: \int k \cdot f(x) dx = k \cdot \int f(x) dx.
3. Інтеграл від суми (різниці) функцій дорівнює сумі (різниці) інтегралів від цих функцій: \int (f(x) \pm g(x)) dx = \int f(x) dx \pm \int g(x) dx.
4. Якщо k, b- постійні, причому k ≠ 0, то \int f(kx + b) dx = \frac ( 1 ) ( k ) \cdot F(kx + b) + C.

Таблиця первісних та невизначених інтегралів

Функція f(x)	Первісна F(x) + C	Невизначені інтеграли \int f(x) dx = F(x) + C
0	C	\int 0 dx = C
f(x) = k	F(x) = kx + C	\int kdx = kx + C
f(x) = x^m, m\not =-1	F(x) = \frac ( x^ ( m+1 ) ) ( m+1 ) + C	\int x ( ^m ) dx = \frac ( x^ ( m+1 ) ) ( m+1 ) + C
f(x) = \frac ( 1 ) ( x )	F(x) = l n \lvert x \rvert + C	\int \frac ( dx ) ( x ) = l n \lvert x \rvert + C
f(x) = e^x	F(x) = e^x + C	\int e (^x) dx = e^x + C
f(x) = a^x	F(x) = \frac ( a^x ) ( l na ) + C	\int a (^x) dx = \frac(a^x) (l na ) + C
f(x) = \sin x	F(x) = -\cos x + C	\int \sin x dx = -\cos x + C
f(x) = \cos x	F(x) =\sin x + C	\int \cos x dx = \sin x + C
f(x) = \frac ( 1 ) ( \sin ( ^2 ) x )	F(x) = -\ctg x + C	\int \frac ( dx ) ( \sin ( ^2 ) x ) = -\ctg x + C
f(x) = \frac ( 1 ) ( \cos ( ^2 ) x )	F(x) = \tg x + C	\int \frac ( dx ) ( \sin ( ^2 ) x ) = \tg x + C
f(x) = \sqrt (x)	F(x) =\frac ( 2x \sqrt ( x ) ) ( 3 ) + C
f(x) =\frac ( 1 ) ( \sqrt ( x ) )	F(x) =2\sqrt (x) + C
f(x) =\frac ( 1 ) ( \sqrt ( 1-x^2 ) )	F(x)=\arcsin x + C	\int \frac ( dx ) ( \sqrt ( 1-x^2 ) ) =\arcsin x + C
f(x) =\frac ( 1 ) ( \sqrt ( 1+x^2 ) )	F(x)=\arctg x + C	\int \frac ( dx ) ( \sqrt ( 1+x^2 ) ) =\arctg x + C
f(x)=\frac ( 1 ) ( \sqrt ( a^2-x^2 ) )	F(x)=\arcsin \frac (x) (a) + C	\int \frac ( dx ) ( \sqrt ( a^2-x^2 ) ) =\arcsin \frac ( x ) ( a ) + C
f(x)=\frac ( 1 ) ( \sqrt ( a^2+x^2 ) )	F(x)=\arctg \frac (x) (a) + C	\int \frac ( dx ) ( \sqrt ( a^2+x^2 ) ) = \frac ( 1 ) ( a ) \arctg \frac ( x ) ( a ) + C
f(x) =\frac ( 1 ) ( 1+x^2 )	F(x)=arctg + C	\int \frac ( dx ) ( 1+x^2 ) =\arctg + C
f(x)=\frac ( 1 ) ( \sqrt ( x^2-a^2 ) ) (a \not= 0)	F(x)=\frac ( 1 ) ( 2a ) l n \lvert \frac ( x-a ) ( x+a ) \rvert + C	\int \frac ( dx ) ( \sqrt ( x^2-a^2 ) ) =\frac ( 1 ) ( 2a ) l n \lvert \frac ( x-a ) ( x+a ) \rvert + C
f(x)=\tg x	F(x)= - l n \lvert \cos x \rvert + C	\int \tg x dx = - l n \lvert \cos x \rvert + C
f(x)=\ctg x	F(x)= l n \lvert \sin x \rvert + C	\int \ctg x dx = l n \lvert \sin x \rvert + C
f(x)=\frac ( 1 ) ( \sin x )	F(x)= l n \lvert \tg \frac ( x ) ( 2 ) \rvert + C	\int \frac ( dx ) ( \sin x ) = l n \lvert \tg \frac ( x ) ( 2 ) \rvert + C
f(x)=\frac ( 1 ) ( \cos x )	F(x)= l n \lvert \tg (\frac ( x ) ( 2 ) +\frac ( \pi ) ( 4 )) \rvert + C	\int \frac ( dx ) ( \cos x ) = l n \lvert \tg (\frac ( x ) ( 2 ) +\frac ( \pi ) ( 4 )) \rvert + C

Формула Ньютона-Лейбніца

Нехай f(х)дана функція, Fїї довільна первісна.

\int_ ( a ) ^ ( b ) f(x) dx =F(x)|_ ( a ) ^ ( b )= F(b) - F(a)

де F(x)- первісна для f(x)

Тобто, інтеграл функції f(x)на інтервалі дорівнює різниці первісних у точках bі a.

Площа криволінійної трапеції

Криволінійною трапецією називається фігура, обмежена графіком невід'ємної та безперервної на відрізку функції f, віссю Ox та прямими x = aі x = b.

Площа криволінійної трапеції знаходять за формулою Ньютона-Лейбніца:

S = \ int_ (a) ^ (b) f (x) dx

Таблиця первісних ("інтегралів"). Таблиця інтегралів. Табличні невизначені інтеграли. (Найпростіші інтеграли та інтеграли з параметром). Формули інтегрування частинами. Формула Ньютона-Лейбніца.

Таблиця первісних ("інтегралів"). Табличні невизначені інтеграли. (Найпростіші інтеграли та інтеграли з параметром).
Інтеграл статечної функції.	Інтеграл статечної функції.
Інтеграл, що зводиться до інтегралу статечної функції, якщо загнати їх під знак диференціала.
	Інтеграли експоненти, де a-постійне число.
Інтеграл складної експонентної функції.	Інтеграл експонентної функції.
Інтеграл, що дорівнює натуральному логорифму.	Інтеграл: "Довгий логарифм".
	Інтеграл: "Довгий логарифм".
Інтеграл: "Високий логарифм".	Інтеграл, де х у чисельнику заводиться під символ диференціала (константу під знаком можна як додавати, так і віднімати), в результаті схожий з інтегралом, рівним натуральному логорифму.
Інтеграл: "Високий логарифм".
Інтеграл косинуса.	Інтеграл синусу.
Інтеграл, що дорівнює тангенсу.	Інтеграл, рівний котангенсу.
Інтеграл, рівний як арксинусу, так і арккосинусу
Інтеграл, рівний як арксинусу, і арккосинусу.	Інтеграл, рівний як арктангенсу, і арккотангенсу.
Інтеграл дорівнює косекансу.	Інтеграл, що дорівнює секансу.
Інтеграл, рівний арксеканс.	Інтеграл, рівний аркосекансу.
Інтеграл, рівний арксеканс.	Інтеграл, рівний арксеканс.
Інтеграл, що дорівнює гіперболічному синусу.	Інтеграл, що дорівнює гіперболічному косинусу.
Інтеграл, рівний гіперболічному синусу, де sinhx – гіперболічний синус в ангійській версії.	Інтеграл, рівний гіперболічному косинусу, де sinhx – гіперболічний синус в англійській версії.
Інтеграл, що дорівнює гіперболічному тангенсу.	Інтеграл, що дорівнює гіперболічному котангенсу.
Інтеграл, що дорівнює гіперболічному секансу.	Інтеграл, що дорівнює гіперболічному косекансу.

Формули інтегрування частинами. Правила інтегрування.

Формули інтегрування частинами. Формула Ньютона-Лейбніца. Правила інтегрування.
Інтегрування твору (функції) на постійну:
Інтегрування суми функцій:
невизначені інтеграли:
Формула інтегрування частинами певні інтеграли:
Формула Ньютона-Лейбніца певні інтеграли:	Де F(a),F(b)-значення первісних у точках b та a відповідно.

Таблиця похідних. Табличні похідні. Похідна робота. Похідна приватна. Похідна складна функція.

Якщо x – незалежна змінна, то:

Таблиця похідних. Табличні похідні. "Таблиця похідний" - так, на жаль, саме так їх і шукають в інтернеті
	Похідна статечної функції
	Похідна експоненти
Похідна складної експоненційної функції	Похідна експоненційна функція
Похідна логарифмічна функція	Похідна натуральна логарифма
	Похідна натурального логарифму функції
Похідна синуса	Похідна косинуса
Похідна косеканса	Похідна секанса
Похідна арксинуса	Похідна арккосинусу
Похідна арксинуса	Похідна арккосинусу
Похідна тангенса	Похідна котангенса
Похідна арктангенса	Похідна арккотангенса
Похідна арктангенса	Похідна арккотангенса
Похідна арксеканса	Похідна аркосеканса
Похідна арксеканса	Похідна аркосеканса
Похідна гіперболічного синуса Похідна гіперболічного синуса в англійській версії	Похідна гіперболічного косинуса Похідна гіперболічного косинуса в англійській версії
Похідна гіперболічного тангенсу	Похідна гіперболічного котангенсу
Похідна гіперболічного секансу	Похідна гіперболічного косекансу

Правила диференціювання. Похідна робота. Похідна приватна. Похідна складна функція.
Похідна робота (функції) на постійну:
Похідна суми (функцій):
Похідна робота (функцій):
Похідна приватного (функцій):
Похідна складної функції:

Властивості логарифмів. Основні формули логарифмів. Десяткові (lg) та натуральні логарифми (ln).

Основне логарифмічне тотожність
Покажемо як можна будь-яку функцію виду a b зробити експоненційною. Оскільки функція виду їх називається експоненційною, то
Будь-яка функція виду a b може бути представлена ​​у вигляді ступеня десяти

Натуральний логарифм ln (логарифм на основі е = 2,718281828459045…) ln(e)=1; ln(1)=0

Ряд Тейлора. Розкладання функції у ряд Тейлора.

Виявляється, більшість практично зустрічаютьсяматематичних функцій можуть бути з будь-якою точністю представлені на околицях деякої точки у вигляді статечних рядів, що містять ступеня змінної в порядку зростання. Наприклад, на околиці точки х=1:

При використанні рядів, званих рядами Тейлора,змішані функції, що містять, скажімо, алгебраїчні, тригонометричні та експоненційні функції, можуть бути виражені у вигляді суто алгебраїчних функцій. За допомогою рядів часто можна швидко здійснити диференціювання та інтегрування.

Ряд Тейлора на околиці точки a має види:

1) , Де f (x) - функція, що має при х = а похідні всіх порядків. R n - залишковий член у ряді Тейлора визначається виразом

2)

k-тий коефіцієнт (при х k) ряду визначається формулою

3) Приватним випадком низки Тейлора є ряд Маклорена (=Макларена) (Розкладання відбувається навколо точки а = 0)

при a=0

члени ряду визначаються за формулою

Умови застосування рядів Тейлора.

1. Для того, щоб функція f(x) могла бути розкладена в ряд Тейлора на інтервалі (-R;R) необхідно і достатньо, щоб залишковий член у формулі Тейлора (Маклорена) для цієї функції прагнув до нуля при k →∞ на вказаному інтервалі (-R;R).

2. Необхідно щоб існували похідні для цієї функції в точці, на околиці якої ми збираємося будувати ряд Тейлора.

Властивості рядів Тейлора.

Якщо f є аналітична функція, то її ряд Тейлора в будь-якій точці області визначення f сходить до f в деякій околиці а.

Існують нескінченно диференційовані функції, ряд Тейлора яких сходиться, але при цьому відрізняється від функції у будь-якій околиці а. Наприклад:

Ряди Тейлора застосовуються при апроксимації (наближення - науковий метод, що полягає у заміні одних об'єктів іншими, у тому чи іншому сенсі близькими до вихідних, але більш простими) функції багаточленів. Зокрема, лінеаризація ((від linearis - лінійний), один з методів наближеного уявлення замкнутих нелінійних систем, при якому дослідження нелінійної системи замінюється аналізом лінійної системи, у певному сенсі еквівалентної вихідної.) рівнянь відбувається шляхом розкладання в ряд Тейлора та відсікання всіх членів вище першого порядку.

Таким чином, практично будь-яку функцію можна представити у вигляді полінома із заданою точністю.

Приклади деяких поширених розкладів статечних функцій у ряди Маклорена (=Макларена, Тейлора на околицях точки 0) і Тейлора на околицях точки 1. Перші члени розкладів основних функцій у ряди Тейлора та Макларена.

Приклади деяких поширених розкладів статечних функцій у ряди Маклорена(=Макларена, Тейлора на околицях точки 0)

Приклади деяких поширених розкладів у ряди Тейлора на околицях точки 1

Безпосереднє інтегрування з використанням таблиці первісних (таблиці невизначених інтегралів)

Таблиця первісних

Знайти первинну по відомому диференціалу функції ми можемо у разі, якщо використовуємо властивості невизначеного інтеграла. З таблиці основних елементарних функцій, використовуючи рівності ∫ d F (x) = ∫ F "(x) d x = ∫ f (x) d x = F (x) + C та ∫ k · f (x) d x = k · ∫ f (x) d x можна скласти таблицю первісних.

Запишемо таблицю похідних як диференціалів.

Постійна y=C C" = 0 Ступенева функція y = x p. (x p) " = p · x p - 1	Постійна y=C d(C) = 0 · d x Ступінна функція y = x p. d (x p) = p · x p - 1 · d x
(a x) " = a x · ln a	Показова функція y = a x. d(a x) = a x · ln α · d x Зокрема, при a = e маємо y = e x d(e x) = e x · d x
log a x " = 1 x · ln a	Логарифмічні функції y = log a x . d (log a x) = d x x · ln a Зокрема, при a = e маємо y = ln x d (ln x) = d x x
Тригонометричні функції. sin x " = cos x (cos x) " = - sin x (t g x) " = 1 c o s 2 x (c t g x) " = - 1 sin 2 x	Тригонометричні функції. d sin x = cos x · d x d (cos x) = - sin x · d x d (t g x) = d x c o s 2 x d (c t g x) = - d x sin 2 x
a r c sin x " = 1 1 - x 2 a r c cos x " = - 1 1 - x 2 a r c t g x " = 1 1 + x 2 a r c c t g x " = - 1 1 + x 2	Зворотні тригонометричні функції. d a r c sin x = d x 1 - x 2 d a r c cos x = - d x 1 - x 2 d a r c t g x = d x 1 + x 2 d a r c c t g x = - d x 1 + x 2

Проілюструємо описане вище прикладом. Знайдемо невизначений інтеграл статечної функції f(x) = xp.

Відповідно до таблиці диференціалів d (x p) = p · x p - 1 · d x. За властивостями невизначеного інтеграла маємо ∫ d (x p) = ∫ p · x p - 1 · d x = p · ∫ x p - 1 · d x = x p + C . Отже, ∫ x p - 1 · d x = x p p + C p , p ≠ 0 .Другий варіант запису виглядає наступним чином: ∫ x p · d x = x p + 1 p + 1 + C p + 1 = x p + 1 p + 1 + C 1 , p ≠ - 1 .

Приймемо рівним - 1 , знайдемо безліч первісних статечних функцій f (x) = x p: ∫ x p · d x = ∫ x - 1 · d x = ∫ d x x .

Тепер нам знадобиться таблиця диференціалів для натурального логарифму d (ln x) = d x x , x > 0, отже ∫ d (ln x) = ∫ d x x = ln x. Тому ∫ d x x = ln x, x > 0 .

Таблиця первісних (невизначених інтегралів)

У лівому стовпці таблиці розміщені формули, які звуться основних первісних. У правому стовпці формули є основними, але можуть використовуватися при знаходженні невизначених інтегралів. Їх можна перевірити диференціюванням.

Безпосереднє інтегрування

Для виконання безпосереднього інтегрування ми будемо використовувати таблиці первісних, правила інтегрування ∫ f (k · x + b) d x = 1 k · F (k · x + b) + C , а також властивості невизначених інтегралів ∫ k · f (x) d x = k · ∫ f (x) d x ∫ (f (x) ± g (x)) d x = ∫ f (x) d x ± ∫ g (x) d x

Таблицю основних інтегралів та властивості інтегралів можна використовувати лише після легкого перетворення підінтегрального виразу.

Приклад 1

Знайдемо інтеграл ∫ 3 sin x 2 + cos x 2 2 d x

Рішення

Виносимо з-під знака інтеграла коефіцієнт 3:

∫ 3 sin x 2 + cos x 2 2 d x = 3 ∫ sin x 2 + cos x 2 2 d x

За формулами тригонометрії перетворимо підінтегральну функцію:

3 ∫ sin x 2 + cos x 2 2 d x = 3 ∫ sin x 2 2 + 2 sin x 2 cos x 2 + cos x 2 2 d x = = 3 ∫ 1 + 2 sin x 2 cos x 2 d x = 3 ∫ 1 + sin x d x

Оскільки інтеграл суми дорівнює сумі інтегралів, то
3 ∫ 1 + sin x d x = 3 ∫ 1 · d x + ∫ sin x d x

Використовуємо дані з таблиці первісних: 3 ∫ 1 · d x + ∫ sin x d x = 3 (1 · x + C 1 - cos x + C 2) = = п у с т ь 3 С 1 + С 2 = С = 3 x - 3 cos x + C

Відповідь:∫ 3 sin x 2 + cos x 2 2 d x = 3 x - 3 cos x + C.

Приклад 2

Необхідно знайти безліч первісних функцій f(x) = 2 3 4 x - 7 .

Рішення

Використовуємо таблицю первісних для показової функції: a x · d x = a x ln a + C . Це означає, що ∫ 2 x · d x = 2 x ln 2 + C .

Використовуємо правило інтегрування f (k · x + b) d x = 1 k · F (k · x + b) + C .

Отримуємо ∫ 2 3 4 x - 7 · d x = 1 3 4 · 2 3 4 x - 7 ln 2 + C = 4 3 · 2 3 4 x - 7 ln 2 + C .

Відповідь: f(x) = 2 3 4 x - 7 = 4 3 · 2 3 4 x - 7 ln 2 + C

Використовуючи таблицю первісних, властивості та правило інтегрування, ми можемо знайти масу невизначених інтегралів. Це можливо у випадках, коли можна перетворити підінтегральну функцію.

Для знаходження інтеграла від функції логарифму, функції тангенсу та котангенсу та інших застосовуються спеціальні методи, які ми розглянемо в розділі «Основні методи інтегрування».

Якщо ви помітили помилку в тексті, будь ласка, виділіть її та натисніть Ctrl+Enter