ვარიაციის სერია აგებულია. მონაცემთა დაჯგუფება და განაწილების სერიის აგება

ამ თავის დაუფლების შედეგად სტუდენტმა უნდა: ვიცი

• ვარიაციული ინდიკატორები და მათი ურთიერთობა;
• მახასიათებლების განაწილების ძირითადი კანონები;
• თანხმობის კრიტერიუმების არსი; შეძლებს
• ცვალებადობისა და მორგების მაჩვენებლების გამოთვლა;
• განაწილების მახასიათებლების განსაზღვრა;
• სტატისტიკური განაწილების სერიების ძირითადი რიცხვითი მახასიათებლების შეფასება;

საკუთარი

• განაწილების სერიების სტატისტიკური ანალიზის მეთოდები;
• დისპერსიული ანალიზის საფუძვლები;
• სტატისტიკური განაწილების სერიების შემოწმების მეთოდები განაწილების ძირითად კანონებთან შესაბამისობაში.

ვარიაციის ინდიკატორები

სხვადასხვა სტატისტიკური პოპულაციის თავისებურებების სტატისტიკური შესწავლისას დიდი ინტერესია პოპულაციის ცალკეული სტატისტიკური ერთეულების მახასიათებლის ცვალებადობის, ასევე ამ მახასიათებლის მიხედვით ერთეულების განაწილების ხასიათის შესწავლა. Ვარიაცია -ეს არის განსხვავებები თვისების ინდივიდუალურ მნიშვნელობებში შესწავლილი პოპულაციის ერთეულებს შორის. ვარიაციის შესწავლას დიდი პრაქტიკული მნიშვნელობა აქვს. ცვალებადობის ხარისხით შეიძლება ვიმსჯელოთ ნიშან-თვისების ცვალებადობის საზღვრებზე, ამ მახასიათებლის პოპულაციის ჰომოგენურობაზე, საშუალოს ტიპურობაზე, ვარიაციის განმსაზღვრელ ფაქტორთა ურთიერთობაზე. ვარიაციის ინდიკატორები გამოიყენება სტატისტიკური პოპულაციების დასახასიათებლად და დასალაგებლად.

სტატისტიკური განაწილების სერიების სახით შედგენილი სტატისტიკური დაკვირვების მასალების შეჯამებისა და დაჯგუფების შედეგები წარმოადგენს შესწავლილი პოპულაციის ერთეულების მოწესრიგებულ განაწილებას ჯგუფებად დაჯგუფების (ცვლადი) ატრიბუტის მიხედვით. თუ დაჯგუფების საფუძვლად ხარისხობრივი მახასიათებელია მიღებული, მაშინ ასეთი განაწილების სერია ეწოდება ატრიბუტული(განაწილება პროფესიის, სქესის, ფერის და ა.შ.). თუ განაწილების სერია აგებულია რაოდენობრივ საფუძველზე, მაშინ ასეთ სერიას უწოდებენ ვარიაციული(განაწილება სიმაღლის, წონის, ზომის მიხედვით ხელფასებიდა ა.შ.). ვარიაციის სერიის აგება ნიშნავს მოსახლეობის ერთეულების რაოდენობრივი განაწილების დალაგებას დამახასიათებელი მნიშვნელობების მიხედვით, ამ მნიშვნელობებით მოსახლეობის ერთეულების რაოდენობის დათვლას (სიხშირე), შედეგების დალაგებას ცხრილში.

ვარიანტის სიხშირის ნაცვლად, შესაძლებელია გამოვიყენოთ მისი თანაფარდობა დაკვირვების მთლიან მოცულობასთან, რომელსაც სიხშირე (ფარდობითი სიხშირე) ეწოდება.

არსებობს ვარიაციის სერიების ორი ტიპი: დისკრეტული და ინტერვალი. დისკრეტული სერია- ეს არის ისეთი ვარიაციული სერია, რომლის აგება ემყარება უწყვეტი ცვლილების მქონე ნიშნებს (დისკრეტული ნიშნები). ეს უკანასკნელი მოიცავს საწარმოში დასაქმებულთა რაოდენობას, სახელფასო კატეგორიას, ოჯახში ბავშვების რაოდენობას და ა.შ. დისკრეტული ვარიაციული სერია არის ცხრილი, რომელიც შედგება ორი სვეტისგან. პირველ სვეტში მითითებულია ატრიბუტის სპეციფიკური მნიშვნელობა, ხოლო მეორე - პოპულაციის ერთეულების რაოდენობა ატრიბუტის კონკრეტული მნიშვნელობით. თუ ნიშანს აქვს მუდმივი ცვლილება (შემოსავლის ოდენობა, სამუშაო გამოცდილება, საწარმოს ძირითადი საშუალებების ღირებულება და ა. ინტერვალის ვარიაციის სერია.ინტერვალის ვარიაციის სერიის აგებისას ცხრილს ასევე აქვს ორი სვეტი. პირველი მიუთითებს მახასიათებლის მნიშვნელობას ინტერვალში "-დან -მდე" (ოფციები), მეორე - ინტერვალში შემავალი ერთეულების რაოდენობას (სიხშირე). სიხშირე (განმეორების სიხშირე) - ატრიბუტის მნიშვნელობების კონკრეტული ვარიანტის გამეორებების რაოდენობა. ინტერვალები შეიძლება იყოს დახურული და ღია. დახურული ინტერვალები შეზღუდულია ორივე მხრიდან, ე.ი. აქვს საზღვარი ქვედა ("დან") და ზედა ("დან"). ღია ინტერვალებს აქვს ერთი საზღვარი: ზედა ან ქვედა. თუ ოფციები განლაგებულია აღმავალი ან კლებადი თანმიმდევრობით, მაშინ რიგები გამოიძახება რეიტინგული.

ვარიაციული სერიებისთვის, არსებობს ორი ტიპის სიხშირეზე რეაგირების ვარიანტი: კუმულაციური სიხშირე და კუმულაციური სიხშირე. კუმულაციური სიხშირე გვიჩვენებს რამდენ დაკვირვებას აიღო მახასიათებლის მნიშვნელობა მითითებულ მნიშვნელობაზე ნაკლები მნიშვნელობებით. კუმულაციური სიხშირე განისაზღვრება მოცემული ჯგუფისთვის დამახასიათებელი სიხშირის მნიშვნელობების შეჯამებით წინა ჯგუფის ყველა სიხშირეზე. დაგროვილი სიხშირე ახასიათებს დაკვირვების ერთეულების პროპორციას, რომლებშიც მახასიათებლის მნიშვნელობები არ აღემატება დღის ჯგუფის ზედა ზღვარს. ამრიგად, დაგროვილი სიხშირე აჩვენებს ვარიანტის სპეციფიკურ წონას აგრეგატში, რომლის მნიშვნელობა არ აღემატება მოცემულს. სიხშირე, სიხშირე, აბსოლუტური და ფარდობითი სიმკვრივეები, კუმულაციური სიხშირე და სიხშირე არის ვარიანტის სიდიდის მახასიათებლები.

პოპულაციის სტატისტიკური ერთეულების ნიშნის ცვალებადობა, ისევე როგორც განაწილების ბუნება, შესწავლილია ვარიაციის სერიის ინდიკატორებისა და მახასიათებლების გამოყენებით, რომელიც მოიცავს სერიის საშუალო დონეს, საშუალო ხაზოვან გადახრას, სტანდარტულ გადახრას, დისპერსიას. , რხევის კოეფიციენტები, ვარიაცია, ასიმეტრია, ქურთოზი და ა.შ.

სადისტრიბუციო ცენტრის დასახასიათებლად გამოიყენება საშუალო მნიშვნელობები. საშუალო არის განზოგადებული სტატისტიკური მახასიათებელი, რომელშიც რაოდენობრივად არის განსაზღვრული ნიშან-თვისების ტიპიური დონე, რომელსაც ფლობენ შესწავლილი პოპულაციის წევრები. თუმცა, შეიძლება იყოს შემთხვევები, როდესაც არითმეტიკული საშუალებები ემთხვევა განაწილების განსხვავებულ ბუნებას, ამიტომ, როგორც ვარიაციული სერიის სტატისტიკური მახასიათებლები, გამოითვლება ეგრეთ წოდებული სტრუქტურული საშუალოები - რეჟიმი, მედიანა, აგრეთვე კვანტილები, რომლებიც ყოფენ განაწილებას. სერიები თანაბარ ნაწილებად (კვარტილები, დეცილები, პროცენტები და ა.შ.).

მოდა -ეს არის ფუნქციის მნიშვნელობა, რომელიც უფრო ხშირად გვხვდება განაწილების სერიაში, ვიდრე მისი სხვა მნიშვნელობები. დისკრეტული სერიებისთვის, ეს არის ყველაზე მაღალი სიხშირის ვარიანტი. ინტერვალის ვარიაციის სერიებში, რეჟიმის დასადგენად, პირველ რიგში, საჭიროა განისაზღვროს ის ინტერვალი, რომელშიც ის მდებარეობს, ე.წ. ცვალებად სერიაში თანაბარი ინტერვალებით, მოდალური ინტერვალი განისაზღვრება უმაღლესი სიხშირით, სერიებში არათანაბარი ინტერვალებით - მაგრამ უმაღლესი სიმკვრივეგანაწილება. შემდეგ, თანაბარი ინტერვალებით რიგებში რეჟიმის დასადგენად, გამოიყენეთ ფორმულა

სადაც Mo არის მოდის ღირებულება; x Mo - მოდალური ინტერვალის ქვედა ზღვარი; თ-მოდალური ინტერვალის სიგანე; / Mo - მოდალური ინტერვალის სიხშირე; / Mo j - პრემოდალური ინტერვალის სიხშირე; / Mo+1 არის პოსტმოდალური ინტერვალის სიხშირე და ამ გამოთვლის ფორმულაში არათანაბარი ინტერვალების მქონე სერიებისთვის, სიხშირეების ნაცვლად / Mo, / Mo, / Mo გამოყენებული უნდა იყოს განაწილების სიმკვრივეები. გონება 0 _| , გონება 0> UMO+"

თუ არსებობს ერთი რეჟიმი, მაშინ შემთხვევითი ცვლადის ალბათობის განაწილებას ეწოდება უნიმოდალური; თუ არსებობს ერთზე მეტი რეჟიმი, მას ეწოდება მულტიმოდალური (პოლიმოდალური, მულტიმოდალური), ორი რეჟიმის შემთხვევაში - ბიმოდალური. როგორც წესი, მულტიმოდალობა მიუთითებს იმაზე, რომ შესასწავლი განაწილება არ შეესაბამება ნორმალურ განაწილების კანონს. ერთგვაროვანი პოპულაციები, როგორც წესი, ხასიათდება უნიმოდალური განაწილებით. Multivertex ასევე მიუთითებს შესწავლილი პოპულაციის ჰეტეროგენულობაზე. ორი ან მეტი წვერის გამოჩენა აუცილებელს ხდის მონაცემების გადაჯგუფებას უფრო ჰომოგენური ჯგუფების იზოლირებისთვის.

ინტერვალის ვარიაციის სერიაში, რეჟიმი შეიძლება განისაზღვროს გრაფიკულად ჰისტოგრამის გამოყენებით. ამისათვის, ორი გადამკვეთი ხაზი იხაზება ჰისტოგრამის უმაღლესი სვეტის ზედა წერტილებიდან ორი მიმდებარე სვეტის ზედა წერტილებამდე. შემდეგ, მათი გადაკვეთის ადგილიდან, პერპენდიკულარი ქვეითდება აბსცისის ღერძზე. პერპენდიკულარულის შესაბამისი აბსცისაზე ფუნქციის მნიშვნელობა არის რეჟიმი. ხშირ შემთხვევაში, პოპულაციის განზოგადებულ ინდიკატორად დახასიათებისას უპირატესობა ენიჭება რეჟიმს და არა საშუალო არითმეტიკულს.

მედიანა -ეს არის მახასიათებლის ცენტრალური მნიშვნელობა; მას ფლობს რანჟირებული განაწილების სერიის ცენტრალური წევრი. დისკრეტულ სერიებში, მედიანის მნიშვნელობის საპოვნელად, ჯერ დგინდება მისი სერიული ნომერი. ამისათვის, კენტი რაოდენობის ერთეულებით, ერთი ემატება ყველა სიხშირის ჯამს, რიცხვი იყოფა ორზე. თუ არის 1-ების ლუწი რიცხვი, სერიაში იქნება 2 მედიანა 1, ასე რომ, ამ შემთხვევაში მედიანა განისაზღვრება, როგორც 2 მედიანური 1-ის მნიშვნელობების საშუალო. ამრიგად, დისკრეტული ვარიაციის სერიის მედიანა არის მნიშვნელობა, რომელიც ყოფს სერიას ორ ნაწილად, რომლებიც შეიცავს იგივე რაოდენობის ვარიანტებს.

ინტერვალის სერიაში, მედიანის რიგითი რიცხვის დადგენის შემდეგ, მედიანური ინტერვალი იპოვება დაგროვილი სიხშირეებით (სიხშირეებით), შემდეგ კი მედიანის გამოთვლის ფორმულის გამოყენებით განისაზღვრება თავად მედიანის მნიშვნელობა:

სადაც მე არის მედიანის მნიშვნელობა; x მე -მედიანური ინტერვალის ქვედა ზღვარი; თ-შუალედური ინტერვალის სიგანე; - განაწილების სერიის სიხშირეების ჯამი; /D - პრემედიანი ინტერვალის დაგროვილი სიხშირე; / მე - მედიანური ინტერვალის სიხშირე.

მედიანა შეგიძლიათ იხილოთ გრაფიკულად კუმულაციის გამოყენებით. ამისათვის კუმულაციის დაგროვილი სიხშირეების (სიხშირეების) შკალაზე, მედიანის რიგითი რიცხვის შესაბამისი წერტილიდან, აბსცისის ღერძის პარალელურად იხაზება სწორი ხაზი, სანამ არ გადაიკვეთება კუმულაციასთან. გარდა ამისა, მითითებული სწორი ხაზის კუმულატთან გადაკვეთის ადგილიდან, პერპენდიკულარი ეშვება აბსცისის ღერძზე. ნიშან-თვისების მნიშვნელობა x ღერძზე, რომელიც შეესაბამება შედგენილ ორდინატს (პერპენდიკულარულს) არის მედიანა.

მედიანა ხასიათდება შემდეგი თვისებებით.

• 1. ეს არ არის დამოკიდებული იმ ატრიბუტების მნიშვნელობებზე, რომლებიც მდებარეობს მის ორივე მხარეს.
• 2. მას აქვს მინიმალურობის თვისება, რაც ნიშნავს, რომ ატრიბუტის მნიშვნელობების აბსოლუტური გადახრების ჯამი მედიანადან არის მინიმალური მნიშვნელობა ატრიბუტის მნიშვნელობების სხვა მნიშვნელობიდან გადახრასთან შედარებით.
• 3. ორი განაწილების ცნობილ მედიანასთან გაერთიანებისას შეუძლებელია ახალი განაწილების მედიანური მნიშვნელობის წინასწარ წინასწარ განსაზღვრა.

მედიანის ეს თვისებები ფართოდ გამოიყენება მასობრივი მომსახურების პუნქტების ადგილმდებარეობის დიზაინში - სკოლები, კლინიკები, ბენზინგასამართი სადგურები, წყლის ტუმბოები და ა.შ. მაგალითად, თუ ქალაქის გარკვეულ კვარტალში იგეგმება პოლიკლინიკის აშენება, მაშინ უფრო მიზანშეწონილია მისი განთავსება კვარტალის ისეთ წერტილში, რომელიც ორად ყოფს არა კვარტალის სიგრძეს, არამედ მცხოვრებთა რაოდენობას.

რეჟიმის, მედიანისა და საშუალო არითმეტიკული თანაფარდობა მიუთითებს მახასიათებლის აგრეგატში განაწილების ბუნებაზე, საშუალებას გაძლევთ შეაფასოთ განაწილების სიმეტრია. Თუ x მე მაშინ არის სერიის მარჯვენა ასიმეტრია. ნორმალური განაწილებით X -მე - მო.

კ. პირსონმა, სხვადასხვა ტიპის მრუდების გასწორების საფუძველზე, დაადგინა, რომ ზომიერად ასიმეტრიული განაწილებისთვის, არითმეტიკული საშუალოს, მედიანასა და რეჟიმს შორის მართებულია შემდეგი სავარაუდო მიმართებები:

სადაც მე არის მედიანის მნიშვნელობა; Mo - მოდის ღირებულება; x არითმი - საშუალო არითმეტიკული მნიშვნელობა.

თუ საჭიროა ვარიაციის სერიის სტრუქტურის უფრო დეტალურად შესწავლა, მაშინ გამოითვლება დამახასიათებელი მნიშვნელობები, მედიანის მსგავსი. ასეთი მახასიათებლების მნიშვნელობები ყოფს ყველა განაწილების ერთეულს თანაბარ რიცხვებად, მათ უწოდებენ კვანტილებს ან გრადიენტებს. კვანტილები იყოფა კვარტლებად, დეცილებად, პროცენტულებად და ა.შ.

მეოთხედი მოსახლეობას ყოფს ოთხ თანაბარ ნაწილად. პირველი მეოთხედი გამოითვლება მედიანას მსგავსად, პირველი კვარტლის გამოთვლის ფორმულის გამოყენებით, წინასწარ განსაზღვრული პირველი კვარტალური ინტერვალით:

სადაც Qi არის პირველი მეოთხედის მნიშვნელობა; xQ ^ -პირველი მეოთხედის ინტერვალის ქვედა ზღვარი; თ- პირველი კვარტალური ინტერვალის სიგანე; /, - ინტერვალის სერიის სიხშირეები;

დაგროვილი სიხშირე პირველი მეოთხედის ინტერვალის წინა ინტერვალში; Jq ( - პირველი მეოთხედის ინტერვალის სიხშირე.

პირველი მეოთხედი აჩვენებს, რომ მოსახლეობის ერთეულების 25% ნაკლებია მის ღირებულებაზე, ხოლო 75% მეტია. მეორე მეოთხედი უდრის მედიანას, ე.ი. Q2 =მე.

ანალოგიით, მესამე კვარტალი გამოითვლება, მანამდე იპოვა მესამე კვარტალური ინტერვალი:

სად არის მესამე მეოთხედის ინტერვალის ქვედა ზღვარი; თ- მესამე მეოთხედის ინტერვალის სიგანე; /, - ინტერვალის სერიის სიხშირეები; /X"-დაგროვილი სიხშირე წინა ინტერვალში

გ

მესამე მეოთხედი ინტერვალი; Jq - მესამე მეოთხედის ინტერვალის სიხშირე.

მესამე მეოთხედი აჩვენებს, რომ მოსახლეობის 75% მის ღირებულებაზე ნაკლებია, ხოლო 25% მეტია.

განსხვავება მესამე და პირველ კვარტალებს შორის არის კვარტლთაშორისი ინტერვალი:

სადაც Aq არის ინტერკვატური ინტერვალის მნიშვნელობა; Q 3 -მესამე მეოთხედის ღირებულება; Q, - პირველი მეოთხედის მნიშვნელობა.

დეცილები მოსახლეობას ყოფენ 10 თანაბარ ნაწილად. დეცილი არის მახასიათებლის მნიშვნელობა განაწილების სერიაში, რომელიც შეესაბამება მოსახლეობის მეათედს. კვარტილების ანალოგიით, პირველი დეცილი აჩვენებს, რომ მოსახლეობის ერთეულების 10% მის ღირებულებაზე ნაკლებია, ხოლო 90% მეტია, ხოლო მეცხრე დეცილი ცხადყოფს, რომ მოსახლეობის ერთეულების 90% მის ღირებულებაზე ნაკლებია, ხოლო 10% არის. მეტი. მეცხრე და პირველი დეცილების შეფარდება, ე.ი. დეცილური კოეფიციენტი, რომელიც ფართოდ გამოიყენება შემოსავლების დიფერენციაციის შესწავლისას ყველაზე მდიდარი მოსახლეობის 10% და ყველაზე ნაკლებად მდიდარი მოსახლეობის 10% შემოსავლის დონის თანაფარდობის გასაზომად. პროცენტული მაჩვენებელი ყოფს რეიტინგულ მოსახლეობას 100 თანაბარ ნაწილად. პროცენტების გამოთვლა, მნიშვნელობა და გამოყენება დეცილების მსგავსია.

კვარტილები, დეცილები და სხვა სტრუქტურული მახასიათებლები შეიძლება განისაზღვროს გრაფიკულად მედიანასთან ანალოგიით კუმულაციის გამოყენებით.

ვარიაციის ზომის გასაზომად გამოიყენება შემდეგი ინდიკატორები: ვარიაციის დიაპაზონი, საშუალო წრფივი გადახრა, სტანდარტული გადახრა და ვარიაცია. ვარიაციის დიაპაზონის სიდიდე მთლიანად დამოკიდებულია სერიის უკიდურესი წევრების განაწილების შემთხვევითობაზე. ეს მაჩვენებელი საინტერესოა იმ შემთხვევებში, როდესაც მნიშვნელოვანია იცოდეთ რა არის ატრიბუტის მნიშვნელობებში რყევების ამპლიტუდა:

სადაც R-ვარიაციის დიაპაზონის მნიშვნელობა; x max - მახასიათებლის მაქსიმალური მნიშვნელობა; x tt -ატრიბუტის მინიმალური მნიშვნელობა.

ვარიაციის დიაპაზონის გამოთვლისას სერიების წევრების დიდი უმრავლესობის მნიშვნელობა არ არის გათვალისწინებული, ხოლო ვარიაცია ასოცირდება სერიის წევრის თითოეულ მნიშვნელობასთან. ეს ნაკლოვანება მოკლებულია ინდიკატორებს, რომლებიც მიიღება ინდივიდუალური ნიშან-თვისებების მნიშვნელობების გადახრებიდან მათი საშუალო მნიშვნელობიდან: საშუალო წრფივი გადახრა და სტანდარტული გადახრა. არსებობს პირდაპირი კავშირი საშუალოდან ცალკეულ გადახრებსა და კონკრეტული მახასიათებლის რყევებს შორის. რაც უფრო ძლიერია არასტაბილურობა, მით მეტია გადახრების აბსოლუტური ზომა საშუალოდან.

საშუალო წრფივი გადახრა არის ინდივიდუალური ვარიანტების გადახრების აბსოლუტური მნიშვნელობების საშუალო არითმეტიკული საშუალო მნიშვნელობიდან.

საშუალო ხაზოვანი გადახრა დაუჯგუფებელი მონაცემებისთვის

სადაც / pr - საშუალო წრფივი გადახრის მნიშვნელობა; x, - - მახასიათებლის მნიშვნელობა; X - P -მოსახლეობის ერთეულების რაოდენობა.

დაჯგუფებული სერიების საშუალო წრფივი გადახრა

სადაც / vz - საშუალო წრფივი გადახრის მნიშვნელობა; x, - მახასიათებლის მნიშვნელობა; X -თვისების საშუალო მნიშვნელობა შესწავლილი პოპულაციისთვის; / - მოსახლეობის ერთეულების რაოდენობა ცალკეულ ჯგუფში.

გადახრის ნიშნები ამ შემთხვევაში იგნორირებულია, წინააღმდეგ შემთხვევაში ყველა გადახრის ჯამი იქნება ნულის ტოლი. საშუალო წრფივი გადახრა, რომელიც დამოკიდებულია გაანალიზებული მონაცემების დაჯგუფებაზე, გამოითვლება სხვადასხვა ფორმულების გამოყენებით: დაჯგუფებული და არაჯგუფური მონაცემებისთვის. საშუალო წრფივი გადახრა, თავისი პირობითობის გამო, ცვალებადობის სხვა მაჩვენებლებისგან განცალკევებით, პრაქტიკაში შედარებით იშვიათად გამოიყენება (კერძოდ, სახელშეკრულებო ვალდებულებების შესრულების დასახასიათებლად მიწოდების ერთგვაროვნების თვალსაზრისით; საგარეო სავაჭრო ბრუნვის ანალიზში, თანამშრომლების შემადგენლობა, წარმოების რიტმი, პროდუქციის ხარისხი, წარმოების ტექნოლოგიური მახასიათებლების გათვალისწინებით და ა.შ.).

სტანდარტული გადახრა ახასიათებს, თუ რამდენად განსხვავდება შესწავლილი ნიშან-თვისების ინდივიდუალური მნიშვნელობები საშუალოდ პოპულაციის საშუალო მნიშვნელობიდან და გამოიხატება შესწავლილი მახასიათებლის ერთეულებში. სტანდარტული გადახრა, როგორც ვარიაციის ერთ-ერთი მთავარი საზომი, ფართოდ გამოიყენება ერთგვაროვან პოპულაციაში ნიშან-თვისების ცვალებადობის საზღვრების შესაფასებლად, ნორმალური განაწილების მრუდის ორდინატების მნიშვნელობების განსაზღვრისას, აგრეთვე. გამოთვლები, რომლებიც დაკავშირებულია ნიმუშზე დაკვირვების ორგანიზებასთან და ნიმუშის მახასიათებლების სიზუსტის დადგენასთან. დაუჯგუფებელი მონაცემების სტანდარტული გადახრა გამოითვლება შემდეგი ალგორითმის მიხედვით: საშუალოდან ყოველი გადახრა იკვრება, ყველა კვადრატი ჯამდება, რის შემდეგაც კვადრატების ჯამი იყოფა სერიების წევრთა რაოდენობაზე და კვადრატული ფესვი აღებულია. კოეფიციენტი:

სადაც Iip - სტანდარტული გადახრის მნიშვნელობა; Xj-მახასიათებლის ღირებულება; X- ატრიბუტის საშუალო მნიშვნელობა შესწავლილი პოპულაციისთვის; P -მოსახლეობის ერთეულების რაოდენობა.

დაჯგუფებული გაანალიზებული მონაცემებისთვის, მონაცემთა სტანდარტული გადახრა გამოითვლება შეწონილი ფორმულის გამოყენებით

სადაც - სტანდარტული გადახრის მნიშვნელობა; Xj-მახასიათებლის ღირებულება; X -თვისების საშუალო მნიშვნელობა შესწავლილი პოპულაციისთვის; fx-მოსახლეობის ერთეულების რაოდენობა კონკრეტულ ჯგუფში.

ფესვის ქვეშ გამოსახულებას ორივე შემთხვევაში დისპერსიას უწოდებენ. ამრიგად, ვარიაცია გამოითვლება, როგორც ნიშან-თვისებების მნიშვნელობების გადახრების საშუალო კვადრატი მათი საშუალო მნიშვნელობიდან. შეუწონავი (მარტივი) მახასიათებლის მნიშვნელობებისთვის, განსხვავება განისაზღვრება შემდეგნაირად:

შეწონილი დამახასიათებელი მნიშვნელობებისთვის

ასევე არსებობს დისპერსიის გამოთვლის სპეციალური გამარტივებული გზა: ზოგადი თვალსაზრისით

შეუწონავი (მარტივი) მახასიათებლების მნიშვნელობებისთვის შეწონილი დამახასიათებელი მნიშვნელობებისთვის
პირობითი ნულიდან დათვლის მეთოდის გამოყენებით

სადაც a 2 - დისპერსიის მნიშვნელობა; x, - - მახასიათებლის მნიშვნელობა; X -მახასიათებლის საშუალო მნიშვნელობა, თ-ჯგუფის ინტერვალის მნიშვნელობა, t 1 -წონა (A =

დისპერსიას აქვს დამოუკიდებელი გამოხატულება სტატისტიკაში და ვარიაციის ერთ-ერთი ყველაზე მნიშვნელოვანი მაჩვენებელია. იგი იზომება შესასწავლი ნიშან-თვისების საზომი ერთეულების კვადრატის შესაბამისი ერთეულებით.

დისპერსიას აქვს შემდეგი თვისებები.

• 1. მუდმივი მნიშვნელობის დისპერსია არის ნული.
• 2. ფუნქციის ყველა მნიშვნელობის შემცირება A-ს იგივე მნიშვნელობით არ ცვლის დისპერსიის მნიშვნელობას. ეს ნიშნავს, რომ გადახრების საშუალო კვადრატი შეიძლება გამოითვალოს არა ატრიბუტის მოცემული მნიშვნელობებით, არამედ მათი გადახრებიდან გარკვეული მუდმივი რიცხვიდან.
• 3. ფუნქციის ყველა მნიშვნელობის შემცირება კჯერ ამცირებს დისპერსიას შიგნით კ 2-ჯერ, ხოლო სტანდარტული გადახრა - in კჯერ, ე.ი. ყველა მახასიათებლის მნიშვნელობა შეიძლება დაიყოს რაიმე მუდმივ რიცხვზე (ვთქვათ, სერიის ინტერვალის მნიშვნელობით), გამოვთვალოთ სტანდარტული გადახრა და შემდეგ გავამრავლოთ იგი მუდმივ რიცხვზე.
• 4. თუ გამოვთვლით გადახრების საშუალო კვადრატს რომელიმე მნიშვნელობიდან და ზეგარკვეულწილად განსხვავდება საშუალო არითმეტიკისგან, მაშინ ის ყოველთვის იქნება მეტი არითმეტიკული საშუალოდან გამოთვლილი გადახრების საშუალო კვადრატზე. ამ შემთხვევაში, გადახრების საშუალო კვადრატი უფრო დიდი იქნება კარგად განსაზღვრული მნიშვნელობით - საშუალო და ამ პირობით აღებულ მნიშვნელობას შორის სხვაობის კვადრატით.

ალტერნატიული მახასიათებლის ვარიაცია არის შესწავლილი ქონების არსებობა ან არარსებობა მოსახლეობის ერთეულებში. რაოდენობრივად ალტერნატიული ატრიბუტის ცვალებადობა გამოიხატება ორი მნიშვნელობით: შესწავლილი თვისების არსებობა ერთეულში აღინიშნება ერთით (1), ხოლო მისი არარსებობა აღინიშნება ნულით (0). ერთეულების პროპორცია, რომლებსაც აქვთ შესასწავლი თვისება, აღინიშნება P-ით, ხოლო ერთეულების პროპორცია, რომლებსაც არ გააჩნიათ ეს თვისება, აღინიშნება გ.ამრიგად, ალტერნატიული ატრიბუტის ვარიაცია უდრის იმ ერთეულების პროპორციის ნამრავლს, რომლებსაც აქვთ მოცემული თვისება (P) იმ ერთეულების პროპორციით, რომლებსაც არ გააჩნიათ ეს თვისება. (G).მოსახლეობის ყველაზე დიდი ცვალებადობა მიიღწევა იმ შემთხვევებში, როდესაც მოსახლეობის ნაწილს, რომელიც შეადგენს მოსახლეობის მთლიანი მოცულობის 50%-ს, აქვს თვისება, ხოლო მოსახლეობის მეორე ნაწილს, ასევე 50%-ის ტოლი არ აქვს. ეს ფუნქცია, ხოლო დისპერსიას აღწევს მაქსიმალურ მნიშვნელობას 0.25, მ .ე. P = 0.5, G= 1 - P \u003d 1 - 0.5 \u003d 0.5 და o 2 \u003d 0.5 0.5 \u003d 0.25. ამ ინდიკატორის ქვედა ზღვარი ნულის ტოლია, რაც შეესაბამება სიტუაციას, რომელშიც არ არის ვარიაცია აგრეგატში. პრაქტიკული გამოყენებაალტერნატიული ნიშნის ვარიაცია შედგება სინჯის აღებისას ნდობის ინტერვალების აგებაში.

რაც უფრო მცირეა დისპერსიის მნიშვნელობა და სტანდარტული გადახრა, მით უფრო ჰომოგენური იქნება პოპულაცია და მით უფრო ტიპიური იქნება საშუალო. სტატისტიკის პრაქტიკაში ხშირად ხდება საჭირო სხვადასხვა მახასიათებლების ვარიაციების შედარება. მაგალითად, საინტერესოა მუშაკთა ასაკისა და მათი კვალიფიკაციის ვარიაციების შედარება, სამსახურის ხანგრძლივობისა და ხელფასის, ხარჯებისა და მოგების, სამსახურის ხანგრძლივობისა და შრომის პროდუქტიულობის და ა.შ. ასეთი შედარებისთვის, მახასიათებლების აბსოლუტური ცვალებადობის ინდიკატორები შეუსაბამოა: შეუძლებელია სამუშაო გამოცდილების ცვალებადობის შედარება, გამოხატული წლების განმავლობაში, ხელფასის ცვალებადობასთან, გამოხატული რუბლით. ასეთი შედარებების განსახორციელებლად, ისევე როგორც რამდენიმე პოპულაციაში ერთი და იმავე ატრიბუტის რყევების შედარებისთვის, სხვადასხვა არითმეტიკული საშუალებებით, გამოიყენება ვარიაციის ინდიკატორები - რხევის კოეფიციენტი, ცვალებადობის წრფივი კოეფიციენტი და ცვალებადობის კოეფიციენტი, რომელიც აჩვენებს ზომას. უკიდურესი მნიშვნელობების რყევები საშუალოზე.

რხევის ფაქტორი:

სადაც V R -რხევის კოეფიციენტის მნიშვნელობა; რ- ვარიაციის დიაპაზონის მნიშვნელობა; X -

ცვალებადობის ხაზოვანი კოეფიციენტი“.

სადაც vj-ცვალებადობის წრფივი კოეფიციენტის მნიშვნელობა; ᲛᲔ-საშუალო წრფივი გადახრის მნიშვნელობა; X -ნიშნის საშუალო მნიშვნელობა შესწავლილი პოპულაციისთვის.

ცვალებადობის კოეფიციენტი:

სადაც ვა-ცვალებადობის კოეფიციენტის მნიშვნელობა; a - სტანდარტული გადახრის მნიშვნელობა; X -ნიშნის საშუალო მნიშვნელობა შესწავლილი პოპულაციისთვის.

რხევის კოეფიციენტი არის ცვალებადობის დიაპაზონის პროცენტი შესასწავლი ნიშან-თვისების საშუალო მნიშვნელობამდე, ხოლო ცვალებადობის წრფივი კოეფიციენტი არის საშუალო წრფივი გადახრის თანაფარდობა შესასწავლი თვისების საშუალო მნიშვნელობასთან, გამოხატული პროცენტულად. ვარიაციის კოეფიციენტი არის სტანდარტული გადახრის პროცენტი შესასწავლი თვისების საშუალო მნიშვნელობამდე. ფარდობითი მნიშვნელობის სახით, გამოხატული პროცენტულად, ვარიაციის კოეფიციენტი გამოიყენება სხვადასხვა ნიშან-თვისებების ცვალებადობის ხარისხის შესადარებლად. ვარიაციის კოეფიციენტის გამოყენებით ფასდება სტატისტიკური პოპულაციის ჰომოგენურობა. თუ ვარიაციის კოეფიციენტი 33%-ზე ნაკლებია, მაშინ შესწავლილი პოპულაცია ერთგვაროვანია, ვარიაცია კი სუსტი. თუ ვარიაციის კოეფიციენტი 33%-ზე მეტია, მაშინ შესწავლილი პოპულაცია ჰეტეროგენულია, ვარიაცია ძლიერია და საშუალო მნიშვნელობა ატიპიურია და არ შეიძლება გამოყენებულ იქნას ამ პოპულაციის განზოგადების ინდიკატორად. გარდა ამისა, ვარიაციის კოეფიციენტები გამოიყენება სხვადასხვა პოპულაციაში ერთი მახასიათებლის რყევის შესადარებლად. მაგალითად, ორ საწარმოში მუშაკთა სტაჟის ცვალებადობის შესაფასებლად. რაც უფრო დიდია კოეფიციენტის მნიშვნელობა, მით უფრო მნიშვნელოვანია მახასიათებლის ცვალებადობა.

გამოთვლილი კვარტლების საფუძველზე, ასევე შესაძლებელია კვარტალური ვარიაციის ფარდობითი ინდიკატორის გამოთვლა ფორმულის გამოყენებით

სადაც ქ 2 და

კვარტლთაშორისი დიაპაზონი განისაზღვრება ფორმულით

მეოთხედი გადახრა გამოიყენება ვარიაციის დიაპაზონის ნაცვლად, რათა თავიდან იქნას აცილებული უკიდურესი მნიშვნელობების გამოყენებასთან დაკავშირებული უარყოფითი მხარეები:

არათანაბარი ინტერვალის ვარიაციული სერიებისთვის ასევე გამოითვლება განაწილების სიმკვრივე. იგი განისაზღვრება, როგორც შესაბამისი სიხშირის ან სიხშირის კოეფიციენტი გაყოფილი ინტერვალის მნიშვნელობაზე. არათანაბარი ინტერვალის სერიებში გამოიყენება აბსოლუტური და ფარდობითი განაწილების სიმკვრივეები. აბსოლუტური განაწილების სიმკვრივე არის სიხშირე ინტერვალის სიგრძის ერთეულზე. ფარდობითი განაწილების სიმკვრივე - სიხშირე ინტერვალის სიგრძის ერთეულზე.

ყოველივე ზემოთქმული მართალია განაწილების სერიებისთვის, რომელთა განაწილების კანონი კარგად არის აღწერილი ნორმალური განაწილების კანონით ან ახლოსაა მასთან.

მოდით ვუწოდოთ სხვადასხვა ნიმუშის მნიშვნელობები პარამეტრებიმნიშვნელობების სერია და აღნიშნავს: X 1 , X 2,…. უპირველეს ყოვლისა, მოდით გავაკეთოთ დიაპაზონივარიანტები, ე.ი. დაალაგეთ ისინი აღმავალი ან კლებადობით. თითოეული ვარიანტისთვის მითითებულია საკუთარი წონა, ე.ი. რიცხვი, რომელიც ახასიათებს ამ ვარიანტის წვლილს მთლიან მოსახლეობაში. სიხშირეები ან სიხშირეები მოქმედებს როგორც წონა.

სიხშირე n i ვარიანტი x iე.წ. რიცხვი, რომელიც გვიჩვენებს რამდენჯერ ჩნდება ეს ვარიანტი განხილულ ნიმუშ პოპულაციაში.

სიხშირე ან ფარდობითი სიხშირე w i ვარიანტი x iეწოდება რიცხვს, რომელიც ტოლია ვარიანტის სიხშირის თანაფარდობას ყველა ვარიანტის სიხშირეების ჯამს. სიხშირე გვიჩვენებს შერჩევის პოპულაციის ერთეულების რომელ ნაწილს აქვს მოცემული ვარიანტი.

ოპციების თანმიმდევრობას მათი შესაბამისი წონებით (სიხშირეები ან სიხშირეები), რომლებიც დაწერილია აღმავალი (ან კლებადი) თანმიმდევრობით, ე.წ. ვარიაციული სერია.

ვარიაციული სერიები არის დისკრეტული და ინტერვალური.

დისკრეტული ვარიაციული სერიებისთვის მითითებულია ატრიბუტის წერტილის მნიშვნელობები, ინტერვალის სერიებისთვის ატრიბუტების მნიშვნელობები მითითებულია ინტერვალების სახით. ვარიაციის სერიას შეუძლია აჩვენოს სიხშირეების ან ფარდობითი სიხშირეების (სიხშირეების) განაწილება, იმისდა მიხედვით, თუ რა მნიშვნელობაა მითითებული თითოეული ვარიანტისთვის - სიხშირე ან სიხშირე.

სიხშირის განაწილების დისკრეტული ვარიაციის სერიაროგორც ჩანს:

სიხშირეები გვხვდება ფორმულით, i = 1, 2, ..., მ.

ვ 1 +ვ 2 + … + ვმ = 1.

მაგალითი 4.1. მოცემული რიცხვების ნაკრებისთვის

4, 6, 6, 3, 4, 9, 6, 4, 6, 6

სიხშირისა და სიხშირის განაწილების დისკრეტული ვარიაციული სერიის შექმნა.

გადაწყვეტილება . მოსახლეობის მოცულობა არის ნ= 10. დისკრეტული სიხშირის განაწილების სერიას აქვს ფორმა

ინტერვალის სერიებს აქვთ ჩაწერის მსგავსი ფორმა.

სიხშირის განაწილების ინტერვალის ვარიაციების სერიაიწერება როგორც:

ყველა სიხშირის ჯამი არის საერთო რაოდენობადაკვირვებები, ე.ი. მთლიანი მოცულობა: ნ = ნ 1 +ნ 2 + … + ნმ .

ფარდობითი სიხშირეების (სიხშირეების) განაწილების ინტერვალის ვარიაციების სერიაროგორც ჩანს:

სიხშირე გვხვდება ფორმულით, i = 1, 2, ..., მ.

ყველა სიხშირის ჯამი ერთის ტოლია: ვ 1 +ვ 2 + … + ვმ = 1.

პრაქტიკაში ყველაზე ხშირად გამოიყენება ინტერვალის სერიები. თუ არსებობს უამრავი სტატისტიკური ნიმუშის მონაცემები და მათი მნიშვნელობები განსხვავდება ერთმანეთისგან თვითნებურად მცირე რაოდენობით, მაშინ ამ მონაცემების დისკრეტული სერია იქნება საკმაოდ შრომატევადი და მოუხერხებელი შემდგომი კვლევისთვის. ამ შემთხვევაში გამოიყენება მონაცემთა დაჯგუფება, ე.ი. ატრიბუტის ყველა მნიშვნელობის შემცველი ინტერვალი დაყოფილია რამდენიმე ნაწილობრივ ინტერვალად და, თითოეული ინტერვალისთვის სიხშირის გამოთვლის შემდეგ, მიიღება ინტერვალის სერია. მოდით უფრო დეტალურად ჩამოვწეროთ ინტერვალის სერიის აგების სქემა, თუ ვივარაუდებთ, რომ ნაწილობრივი ინტერვალების სიგრძე იგივე იქნება.

2.2 ინტერვალის სერიის აგება

ინტერვალის სერიის შესაქმნელად დაგჭირდებათ:

ინტერვალების რაოდენობის განსაზღვრა;

ინტერვალების სიგრძის განსაზღვრა;

განსაზღვრეთ ინტერვალების მდებარეობა ღერძზე.

დადგენისთვის ინტერვალების რაოდენობა კ არსებობს სტურგესის ფორმულა, რომლის მიხედვითაც

,

სადაც ნ- მთლიანობის მოცულობა.

მაგალითად, თუ არსებობს 100 მახასიათებლის (ვარიანტის) მნიშვნელობა, მაშინ რეკომენდებულია ინტერვალების ტოლი ინტერვალების აღება ინტერვალის სერიის ასაგებად.

თუმცა, პრაქტიკაში ძალიან ხშირად, ინტერვალების რაოდენობას თავად მკვლევარი ირჩევს, იმის გათვალისწინებით, რომ ეს რიცხვი არ უნდა იყოს ძალიან დიდი, რათა სერია არ იყოს შრომატევადი, მაგრამ ასევე არც ისე მცირე, რომ არ დაკარგოს ზოგიერთი თვისება. განაწილება.

ინტერვალის სიგრძე თ განისაზღვრება შემდეგი ფორმულით:

,

სადაც xმაქს და x min არის პარამეტრების ყველაზე დიდი და უმცირესი მნიშვნელობები, შესაბამისად.

ღირებულება დაურეკა დიდი მასშტაბითრიგი.

ინტერვალების თავად ასაგებად, ისინი სხვადასხვა გზით მოქმედებენ. Ერთ - ერთი ყველაზე მარტივი გზებიარის შემდეგი. მნიშვნელობა მიიღება როგორც პირველი ინტერვალის დასაწყისი
. შემდეგ შუალედების დანარჩენი საზღვრები იპოვება ფორმულით. ცხადია, ბოლო ინტერვალის დასასრული ა m+1 უნდა აკმაყოფილებდეს პირობას

ინტერვალების ყველა საზღვრის აღმოჩენის შემდეგ, განისაზღვრება ამ ინტერვალების სიხშირეები (ან სიხშირეები). ამ პრობლემის გადასაჭრელად, ისინი ათვალიერებენ ყველა ვარიანტს და განსაზღვრავენ იმ ვარიანტების რაოდენობას, რომლებიც ხვდება კონკრეტულ ინტერვალში. ჩვენ განვიხილავთ ინტერვალის სერიის სრულ კონსტრუქციას მაგალითის გამოყენებით.

მაგალითი 4.2. შემდეგი სტატისტიკისთვის, დაწერილი აღმავალი თანმიმდევრობით, შექმენით ინტერვალის სერია ინტერვალების რაოდენობით 5-ის ტოლი:

11, 12, 12, 14, 14, 15, 21, 21, 22, 23, 25, 38, 38, 39, 42, 42, 44, 45, 50, 50, 55, 56, 58, 60, 62, 63, 65, 68, 68, 68, 70, 75, 78, 78, 78, 78, 80, 80, 86, 88, 90, 91, 91, 91, 91, 91, 93, 93, 95, 96.

გადაწყვეტილება. სულ ნ=50 ვარიანტის მნიშვნელობა.

პრობლემურ მდგომარეობაში მითითებულია ინტერვალების რაოდენობა, ე.ი. კ=5.

ინტერვალების სიგრძე არის
.

მოდით განვსაზღვროთ ინტერვალების საზღვრები:

ა 1 = 11 − 8,5 = 2,5; ა 2 = 2,5 + 17 = 19,5; ა 3 = 19,5 + 17 = 36,5;

ა 4 = 36,5 + 17 = 53,5; ა 5 = 53,5 + 17 = 70,5; ა 6 = 70,5 + 17 = 87,5;

ა 7 = 87,5 +17 = 104,5.

ინტერვალების სიხშირის დასადგენად, ჩვენ ვითვლით იმ ვარიანტების რაოდენობას, რომლებიც შედის ამ ინტერვალში. მაგალითად, ვარიანტები 11, 12, 12, 14, 14, 15 პირველ ინტერვალში ხვდება 2,5-დან 19,5-მდე.მათი რიცხვია 6, შესაბამისად, პირველი ინტერვალის სიხშირეა. ნ 1=6. პირველი ინტერვალის სიხშირე არის . ვარიაციები 21, 21, 22, 23, 25, რომელთა რიცხვი 5-ია, მეორე ინტერვალში ხვდება 19,5-დან 36,5-მდე, ამიტომ მეორე ინტერვალის სიხშირე არის ნ 2 =5 და სიხშირე . ყველა ინტერვალისთვის მსგავსი სიხშირეების და სიხშირის აღმოჩენის შემდეგ, ჩვენ ვიღებთ შემდეგ ინტერვალურ სერიებს.

სიხშირის განაწილების ინტერვალის სერიას აქვს ფორმა:

სიხშირეების ჯამია 6+5+9+11+8+11=50.

სიხშირის განაწილების ინტერვალის სერიას აქვს ფორმა:

სიხშირეების ჯამია 0,12+0,1+0,18+0,22+0,16+0,22=1. ■

ინტერვალური სერიების აგებისას, განსახილველი პრობლემის სპეციფიკური პირობებიდან გამომდინარე, შეიძლება გამოყენებულ იქნას სხვა წესები, კერძოდ,

1. ინტერვალის ვარიაციის სერია შეიძლება შედგებოდეს სხვადასხვა სიგრძის ნაწილობრივი ინტერვალებისგან. ინტერვალების არათანაბარი სიგრძე შესაძლებელს ხდის გამოვყოთ სტატისტიკური პოპულაციის თვისებები მახასიათებლის არათანაბარი განაწილებით. მაგალითად, თუ ინტერვალების საზღვრები განსაზღვრავს ქალაქებში მცხოვრებთა რაოდენობას, მაშინ ამ პრობლემაში მიზანშეწონილია გამოიყენოთ სიგრძით არათანაბარი ინტერვალები. ცხადია, პატარა ქალაქებისთვის ასევე მნიშვნელოვანია მოსახლეობის რაოდენობის მცირე განსხვავება, დიდი ქალაქებისთვის კი ათეულობით და ასეულობით მცხოვრებთა სხვაობა არ არის მნიშვნელოვანი. ინტერვალის სერიანაწილობრივი ინტერვალების არათანაბარი სიგრძით შესწავლილია ძირითადად სტატისტიკის ზოგად თეორიაში და მათი განხილვა სცილდება წინამდებარე სახელმძღვანელოს ფარგლებს.

2. მათემატიკურ სტატისტიკაში ზოგჯერ განიხილება ინტერვალური სერიები, რისთვისაც მარცხენა საზღვარიპირველი ინტერვალის ტოლია –∞, ხოლო ბოლო ინტერვალის მარჯვენა საზღვარი არის +∞. ეს კეთდება იმისთვის, რომ სტატისტიკური განაწილება უფრო ახლოს იყოს თეორიულთან.

3. ინტერვალური სერიების აგებისას შეიძლება აღმოჩნდეს, რომ ზოგიერთი ვარიანტის მნიშვნელობა ზუსტად ემთხვევა ინტერვალის ზღვარს. ამ შემთხვევაში საუკეთესო რამ არის შემდეგი. თუ არსებობს მხოლოდ ერთი ასეთი დამთხვევა, მაშინ ჩათვალეთ, რომ განხილული ვარიანტი თავისი სიხშირით მოხვდა ინტერვალის სერიის შუათან უფრო ახლოს ინტერვალში, თუ რამდენიმე ასეთი ვარიანტია, მაშინ ან ყველა მათგანი მიეკუთვნება ინტერვალებს. ამ ვარიანტის მარჯვნივ, ან ყველა მარცხნივ.

4. ინტერვალების რაოდენობის და მათი სიგრძის დადგენის შემდეგ, ინტერვალების განლაგება შეიძლება სხვა გზითაც. იპოვეთ ოფციონის ყველა განხილული მნიშვნელობის არითმეტიკული საშუალო Xშდრ. და შექმენით პირველი ინტერვალი ისე, რომ ეს ნიმუშის საშუალო იყოს გარკვეული ინტერვალის შიგნით. ამრიგად, ჩვენ ვიღებთ ინტერვალს Xშდრ. - 0,5 თადრე Xსაშუალო + 0,5 თ. შემდეგ მარცხნივ და მარჯვნივ, ვამატებთ ინტერვალის სიგრძეს, ვაშენებთ დარჩენილ ინტერვალებს xწთ და x max არ მოხვდება პირველ და ბოლო ინტერვალებში, შესაბამისად.

5. ინტერვალური სერიები დიდი რაოდენობით ინტერვალებით მოხერხებულად იწერება ვერტიკალურად, ე.ი. ჩაწერეთ ინტერვალები არა პირველ სტრიქონში, არამედ პირველ სვეტში, ხოლო სიხშირეები (ან სიხშირეები) მეორე სვეტში.

ნიმუშის მონაცემები შეიძლება ჩაითვალოს ზოგიერთი შემთხვევითი ცვლადის მნიშვნელობებად X. შემთხვევით ცვლადს აქვს თავისი განაწილების კანონი. ალბათობის თეორიიდან ცნობილია, რომ დისკრეტული შემთხვევითი ცვლადის განაწილების კანონი შეიძლება განისაზღვროს როგორც განაწილების სერია, ხოლო უწყვეტისთვის, განაწილების სიმკვრივის ფუნქციის გამოყენებით. თუმცა, არსებობს უნივერსალური განაწილების კანონი, რომელიც მოქმედებს როგორც დისკრეტულ, ასევე უწყვეტ შემთხვევით ცვლადებზე. ეს განაწილების კანონი მოცემულია როგორც განაწილების ფუნქცია ფ(x) = პ(X<x). ნიმუშის მონაცემებისთვის შეგიძლიათ მიუთითოთ განაწილების ფუნქციის ანალოგი - ემპირიული განაწილების ფუნქცია.

ტესტის ამოხსნის მაგალითი მათემატიკური სტატისტიკაში

დავალება 1

საწყისი მონაცემები : 30 კაცისგან შემდგარმა გარკვეული ჯგუფის სტუდენტებმა ჩააბარეს გამოცდა კურსში „ინფორმატიკა“. სტუდენტების მიერ მიღებული შეფასებები ქმნიან რიცხვების შემდეგ სერიას:

I. ვარიაციული სერიების შედგენა

	მ x	ვ x	მ x ნაკ	ვ x ნაკ
სულ:

II. სტატისტიკური ინფორმაციის გრაფიკული წარმოდგენა.

III. ნიმუშის რიცხვითი მახასიათებლები.

1. საშუალო არითმეტიკული

2. გეომეტრიული საშუალო

3. მოდა

4. მედიანა

222222333333333 | 3 34444444445555

5. ნიმუშის ვარიაცია

7. ცვალებადობის კოეფიციენტი

8. ასიმეტრია

9. ასიმეტრიის კოეფიციენტი

10. კურტოზი

11. კურტოზის კოეფიციენტი

დავალება 2

საწყისი მონაცემები : გარკვეული ჯგუფის მოსწავლეებმა დაწერეს დასკვნითი ტესტი. ჯგუფი შედგება 30 ადამიანისგან. სტუდენტების მიერ მიღებული ქულები ქმნიან რიცხვების შემდეგ სერიას

გადაწყვეტილება

I. ვინაიდან ნიშანი იღებს მრავალ განსხვავებულ მნიშვნელობას, ჩვენ ავაშენებთ მას ინტერვალის ვარიაციის სერიას. ამისათვის ჩვენ ჯერ დავაყენეთ ინტერვალის მნიშვნელობა თ. მოდით გამოვიყენოთ სტურგერის ფორმულა

მოდით გავაკეთოთ ინტერვალების მასშტაბი. ამ შემთხვევაში, პირველი ინტერვალის ზედა საზღვრისთვის ჩვენ ავიღებთ ფორმულით განსაზღვრულ მნიშვნელობას:

შემდგომი ინტერვალების ზედა საზღვრები განისაზღვრება შემდეგი რეკურსიული ფორმულით:

, მაშინ

ჩვენ ვასრულებთ ინტერვალების შკალის აგებას, ვინაიდან შემდეგი ინტერვალის ზედა ზღვარი გახდა ნიმუშის მაქსიმალურ მნიშვნელობაზე მეტი ან ტოლი.
.

II. ინტერვალის ვარიაციის სერიის გრაფიკული ჩვენება

III. ნიმუშის რიცხვითი მახასიათებლები

ნიმუშის რიცხობრივი მახასიათებლების დასადგენად შევადგენთ დამხმარე ცხრილს

ჯამი:

1. საშუალო არითმეტიკული

2. გეომეტრიული საშუალო

3. მოდა

4. მედიანა

10 11 12 12 13 13 13 13 14 14 14 14 15 15 15 |15 15 15 16 16 16 16 16 17 17 18 19 19 20 20

5. ნიმუშის ვარიაცია

6. ნიმუშის სტანდარტული გადახრა

7. ცვალებადობის კოეფიციენტი

8. ასიმეტრია

9. ასიმეტრიის კოეფიციენტი

10. კურტოზი

11. კურტოზის კოეფიციენტი

დავალება 3

მდგომარეობა : ამმეტრის სკალის გაყოფის მნიშვნელობა არის 0,1 ა. ჩვენებები მრგვალდება უახლოეს მთელ განყოფილებამდე. იპოვეთ ალბათობა იმისა, რომ წაკითხვისას დაშვებული იქნება 0,02 A-ზე მეტი შეცდომა.

გადაწყვეტილება.

დამრგვალების შეცდომა შეიძლება ჩაითვალოს შემთხვევით ცვლადად X, რომელიც თანაბრად ნაწილდება ორ მიმდებარე მთელ რიცხვს შორის ინტერვალში. ერთგვაროვანი განაწილების სიმკვრივე

,

სადაც
- ინტერვალის სიგრძე, რომელიც შეიცავს შესაძლო მნიშვნელობებს X; ამ ინტერვალის გარეთ
ამ პრობლემაში შესაძლო მნიშვნელობების შემცველი ინტერვალის სიგრძე X, უდრის 0,1-ს, ასე

წაკითხვის შეცდომა გადააჭარბებს 0.02-ს, თუ იგი ჩართულია ინტერვალში (0.02; 0.08). მაშინ

პასუხი: რ=0,6

დავალება 4

საწყისი მონაცემები: მათემატიკური მოლოდინი და ნორმალურად განაწილებული მახასიათებლის სტანდარტული გადახრა Xარის შესაბამისად 10 და 2. იპოვეთ ალბათობა, რომ ტესტის შედეგად Xმიიღებს მნიშვნელობას, რომელიც შეიცავს ინტერვალში (12, 14).

გადაწყვეტილება.

მოდით გამოვიყენოთ ფორმულა

და თეორიული სიხშირეები

გადაწყვეტილება

X-სთვის, მისი მათემატიკური მოლოდინი M(X) და ვარიაცია D(X). გადაწყვეტილება. იპოვეთ შემთხვევითი ცვლადის განაწილების ფუნქცია F(x)... შერჩევის შეცდომა). შევადგინოთ ვარიაციული რიგიინტერვალის სიგანე იქნება: თითოეული მნიშვნელობისთვის რიგიმოდით გამოვთვალოთ რამდენი...

ამოხსნა: გამყოფი განტოლება

გადაწყვეტილება

ფორმაში, რათა იპოვოთ პირადი გადაწყვეტილებებიარაჰომოგენური განტოლება შედგენასისტემა მოვაგვაროთ მიღებული სისტემა... ; +47; +61; +10; -რვა. აშენების ინტერვალი ვარიაციული რიგი. მიეცით საშუალო სტატისტიკური შეფასებები...

გამოსავალი: გამოვთვალოთ ჯაჭვის და ძირითადი აბსოლუტური ზრდის ტემპები, ზრდის ტემპები, ზრდის ტემპები. მიღებული მნიშვნელობები შეჯამებულია ცხრილში 1

გადაწყვეტილება

წარმოების მოცულობა. გადაწყვეტილება: ინტერვალის საშუალო არითმეტიკული ვარიაციული რიგიგამოითვლება შემდეგნაირად: თითო... შერჩევის ზღვრული შეცდომა 0,954 ალბათობით (t=2) იქნება: Δ w = t*μ = 2*0.0146 = 0.02927 განვსაზღვროთ საზღვრები...

გადაწყვეტილება. ნიშანი

გადაწყვეტილება

ვისი სამუშაო გამოცდილების შესახებ და შეადგინანიმუში. ამ თანამშრომლების სამუშაო დღის ნიმუშის საშუალო სტაჟი და შეადგინანიმუში. ნიმუშის საშუალო ხანგრძლივობა... 1.16, მნიშვნელოვნების დონე α = 0.05. გადაწყვეტილება. ვარიაციული რიგიამ ნიმუშს აქვს ფორმა: 0.71 ...

სამუშაო სასწავლო გეგმა ბიოლოგიაში 10-11 კლასებისთვის შედგენილი პოლიკარპოვა ს.ვ.

სამუშაო სასწავლო გეგმა

შეჯვარების უმარტივესი სქემები» 5 ლ.რ. " გადაწყვეტილებაელემენტარული გენეტიკური პრობლემები“ 6 ლ.რ. " გადაწყვეტილებაელემენტარული გენეტიკური პრობლემები“ 7 ლ.რ. „..., 110, 115, 112, 110. შედგენა ვარიაციული რიგი, დახატე ვარიაციულიმრუდი, იპოვნეთ მახასიათებლის საშუალო მნიშვნელობა ...

სტატისტიკური განაწილების სერია- ეს არის მოსახლეობის ერთეულების მოწესრიგებული განაწილება ჯგუფებად გარკვეული განსხვავებული ატრიბუტის მიხედვით.
განაწილების სერიის ფორმირების მახასიათებლის მიხედვით, არსებობს ატრიბუტებისა და ვარიაციების განაწილების სერიები.

საერთო მახასიათებლის არსებობა არის სტატისტიკური პოპულაციის ფორმირების საფუძველი, რომელიც არის კვლევის ობიექტების საერთო მახასიათებლების აღწერის ან გაზომვის შედეგები.

სტატისტიკაში შესწავლის საგანი არის ცვალებადი (ცვალებად) მახასიათებლები ან სტატისტიკური მახასიათებლები.

სტატისტიკური მახასიათებლების სახეები.

განაწილების სერიებს უწოდებენ ატრიბუტების სერიას.ხარისხობრივ ნიადაგზე აშენებული. ატრიბუტული- ეს არის ნიშანი, რომელსაც აქვს სახელი (მაგალითად, პროფესია: მკერავი, მასწავლებელი და ა.შ.).
ჩვეულებრივია განაწილების სერიების მოწყობა ცხრილების სახით. მაგიდაზე. 2.8 გვიჩვენებს განაწილების ატრიბუტების სერიას.
ცხრილი 2.8 - იურისტების მიერ გაწეული იურიდიული დახმარების სახეობების განაწილება რუსეთის ფედერაციის ერთ-ერთი რეგიონის მოქალაქეებისთვის.

ვარიაციების სერიაარის მახასიათებლების მნიშვნელობები (ან მნიშვნელობების დიაპაზონი) და მათი სიხშირეები.
ვარიაციების სერიები განაწილების სერიებიააგებულია რაოდენობრივ საფუძველზე. ნებისმიერი ვარიაციის სერია შედგება ორი ელემენტისგან: ვარიანტები და სიხშირეები.
ვარიანტები არის ფუნქციის ინდივიდუალური მნიშვნელობები, რომელსაც იგი იღებს ვარიაციის სერიაში.
სიხშირეები არის ცალკეული ვარიანტების რიცხვი ან ვარიაციის სერიის თითოეული ჯგუფი, ე.ი. ეს არის რიცხვები, რომლებიც გვიჩვენებს, რამდენად ხშირად ხდება გარკვეული ვარიანტები განაწილების სერიაში. ყველა სიხშირის ჯამი განსაზღვრავს მთელი მოსახლეობის ზომას, მის მოცულობას.
სიხშირეებს უწოდებენ სიხშირეებს, რომლებიც გამოხატულია ერთეულის წილადებში ან მთლიანის პროცენტულად. შესაბამისად, სიხშირეების ჯამი უდრის 1 ან 100%-ს. ვარიაციული სერია საშუალებას გვაძლევს შევაფასოთ განაწილების კანონის ფორმა რეალურ მონაცემებზე დაყრდნობით.

თვისების ცვალებადობის ბუნებიდან გამომდინარე, არსებობს დისკრეტული და ინტერვალური ვარიაციის სერია.
დისკრეტული ვარიაციული სერიის მაგალითი მოცემულია ცხრილში. 2.9.
ცხრილი 2.9 - ოჯახების განაწილება ოთახების რაოდენობის მიხედვით ცალკეულ ბინებში 1989 წელს რუსეთის ფედერაციაში.

ცხრილის პირველ სვეტში წარმოდგენილია დისკრეტული ვარიაციის სერიის ვარიანტები, მეორე სვეტი შეიცავს ვარიაციის სერიის სიხშირეებს, ხოლო მესამე სვეტი შეიცავს სიხშირის ინდიკატორებს.

ვარიაციების სერია

ზოგად პოპულაციაში გარკვეული რაოდენობრივი ნიშან-თვისება გამოკვლეულია. მისგან შემთხვევით ამოღებულია მოცულობის ნიმუში ნ, ანუ ნიმუშში ელემენტების რაოდენობა არის ნ. სტატისტიკური დამუშავების პირველ ეტაპზე, დიაპაზონინიმუშები, ე.ი. ნომრის შეკვეთა x 1, x 2, ..., x nაღმავალი. თითოეული დაკვირვებული მნიშვნელობა x iდაურეკა ვარიანტი. სიხშირე მ იარის მნიშვნელობის დაკვირვების რაოდენობა x iნიმუშში. შედარებითი სიხშირე (სიხშირე) w iარის სიხშირის თანაფარდობა მ ინიმუშის ზომამდე ნ: .
ვარიაციული სერიის შესწავლისას ასევე გამოიყენება კუმულაციური სიხშირისა და კუმულაციური სიხშირის ცნებები. დაე იყოს xრაღაც ნომერი. შემდეგ ვარიანტების რაოდენობა , რომლის ღირებულებები ნაკლებია x, ეწოდება დაგროვილი სიხშირე: x i-სთვის ნეწოდება დაგროვილი სიხშირე w i max.
ატრიბუტს ეწოდება დისკრეტულად ცვლადი, თუ მისი ინდივიდუალური მნიშვნელობები (ვარიანტები) განსხვავდება ერთმანეთისგან გარკვეული სასრული რაოდენობით (ჩვეულებრივ, მთელი რიცხვით). ასეთი მახასიათებლის ვარიაციულ სერიას ეწოდება დისკრეტული ვარიაციული სერია.

ცხრილი 1. სიხშირეების დისკრეტული ვარიაციული სერიის ზოგადი ხედი

მახასიათებლების მნიშვნელობები	x i	x 1	x2	…	x n
სიხშირეები	მ ი	მ 1	მ2	…	m n

ატრიბუტს უწოდებენ მუდმივად ცვალებადი, თუ მისი მნიშვნელობები განსხვავდება ერთმანეთისგან თვითნებურად მცირე რაოდენობით, ე.ი. ნიშანს შეუძლია მიიღოს ნებისმიერი მნიშვნელობა გარკვეულ ინტერვალში. ასეთი მახასიათებლის უწყვეტ ვარიაციის სერიას ინტერვალის სერია ეწოდება.

ცხრილი 2. სიხშირეების ინტერვალის ცვალებადობის სერიის ზოგადი ხედი

ცხრილი 3. ვარიაციების სერიის გრაფიკული გამოსახულებები

მწკრივი	პოლიგონი ან ჰისტოგრამა		ემპირიული განაწილების ფუნქცია
დისკრეტული
ინტერვალი

დაკვირვების შედეგების დათვალიერებისას, დგინდება, თუ რამდენი მნიშვნელობის ვარიანტი მოხვდა თითოეულ კონკრეტულ ინტერვალში. ვარაუდობენ, რომ თითოეული ინტერვალი ეკუთვნის მის ერთ-ერთ ბოლოს: ან ყველა შემთხვევაში მარცხნივ (უფრო ხშირად), ან ყველა შემთხვევაში მარჯვნივ და სიხშირეები ან სიხშირეები აჩვენებენ მითითებულ საზღვრებში მოცემული ვარიანტების რაოდენობას. Განსხვავებები a i – a i +1ეწოდება ნაწილობრივი ინტერვალები. შემდგომი გამოთვლების გასამარტივებლად, ინტერვალის ვარიაციის სერია შეიძლება შეიცვალოს პირობითად დისკრეტულით. ამ შემთხვევაში, საშუალო მნიშვნელობა მე-ის ინტერვალი აღებულია როგორც ვარიანტი x iდა შესაბამისი ინტერვალის სიხშირე მ ი- ამ ინტერვალის სიხშირისთვის.
ვარიაციული სერიების გრაფიკული წარმოდგენისთვის ყველაზე ხშირად გამოიყენება მრავალკუთხედი, ჰისტოგრამა, კუმულაციური მრუდი და ემპირიული განაწილების ფუნქცია.

მაგიდაზე. 2.3 (რუსეთის მოსახლეობის დაჯგუფება ერთ სულ მოსახლეზე საშუალო შემოსავლის ზომის მიხედვით 1994 წლის აპრილში) წარმოდგენილია. ინტერვალის ვარიაციის სერია.
მოსახერხებელია განაწილების სერიის ანალიზი გრაფიკული გამოსახულების გამოყენებით, რაც ასევე საშუალებას იძლევა განვსაჯოთ განაწილების ფორმა. ვარიაციული სერიის სიხშირეების ცვლილების ბუნების ვიზუალური წარმოდგენა მოცემულია პოლიგონი და ჰისტოგრამა.
მრავალკუთხედი გამოიყენება დისკრეტული ვარიაციული სერიების ჩვენებისას.
მაგალითად, გრაფიკულად გამოვსახოთ საბინაო მარაგის განაწილება ბინების ტიპების მიხედვით (ცხრილი 2.10).
ცხრილი 2.10 - ურბანული ტერიტორიის საცხოვრებელი ფართის განაწილება ბინების ტიპების მიხედვით (პირობითი ფიგურები).

ბრინჯი. საბინაო განაწილების პოლიგონი

y-ღერძზე არა მხოლოდ სიხშირეების მნიშვნელობები, არამედ ვარიაციული სერიის სიხშირეების დახატვა შესაძლებელია.
ჰისტოგრამა აღებულია ინტერვალის ცვალებადობის სერიის საჩვენებლად. ჰისტოგრამის აგებისას, ინტერვალების მნიშვნელობები გამოსახულია აბსცისის ღერძზე, ხოლო სიხშირეები გამოსახულია შესაბამის ინტერვალებზე აგებული მართკუთხედებით. სვეტების სიმაღლე თანაბარი ინტერვალების შემთხვევაში სიხშირეების პროპორციული უნდა იყოს. ჰისტოგრამა არის გრაფიკი, რომელშიც სერია ნაჩვენებია ერთმანეთის მიმდებარე ზოლების სახით.
მოდით გრაფიკულად გამოვსახოთ ცხრილში მოცემული ინტერვალის განაწილების სერია. 2.11.
ცხრილი 2.11 - ოჯახების განაწილება საცხოვრებელი ფართის სიდიდის მიხედვით ერთ ადამიანზე (პირობითი ფიგურები).

N p / გვ	ოჯახების ჯგუფები ერთ ადამიანზე საცხოვრებელი ფართის სიდიდის მიხედვით	ოჯახების რაოდენობა მოცემული ზომის საცხოვრებელი ფართით	ოჯახების დაგროვილი რაოდენობა
1	3 – 5	10	10
2	5 – 7	20	30
3	7 – 9	40	70
4	9 – 11	30	100
5	11 – 13	15	115
სულ		115	----

ბრინჯი. 2.2. ოჯახების განაწილების ჰისტოგრამა ადამიანზე საცხოვრებელი ფართის ზომის მიხედვით

დაგროვილი სერიის მონაცემების გამოყენებით (ცხრილი 2.11) ვაშენებთ განაწილების კუმულატიური.

ბრინჯი. 2.3. ოჯახების კუმულაციური განაწილება ადამიანზე საცხოვრებელი ფართის ზომის მიხედვით

ვარიაციური სერიების კუმულაციის სახით წარმოდგენა განსაკუთრებით ეფექტურია ვარიაციული სერიებისთვის, რომელთა სიხშირეები გამოიხატება წილადების ან სერიის სიხშირეების ჯამის პროცენტების სახით.
თუ ცულებს შევცვლით ცვალებადობის სერიის გრაფიკულ გამოსახულებაში კუმულაციის სახით, მაშინ მივიღებთ ოგივუ. ნახ. 2.4 გვიჩვენებს ოგივას, რომელიც აგებულია ცხრილში მოცემული მონაცემების საფუძველზე. 2.11.
ჰისტოგრამა შეიძლება გარდაიქმნას განაწილების მრავალკუთხედად მართკუთხედების გვერდების შუა წერტილების აღმოჩენით და შემდეგ ამ წერტილების სწორი ხაზებით შეერთებით. შედეგად მიღებული განაწილების პოლიგონი ნაჩვენებია ნახ. 2.2 წერტილოვანი ხაზი.
არათანაბარი ინტერვალებით ვარიაციული სერიის განაწილების ჰისტოგრამის აგებისას, ორდინატთა ღერძის გასწვრივ, გამოსახულია არა სიხშირეები, არამედ მახასიათებლის განაწილების სიმკვრივე შესაბამის ინტერვალებში.
განაწილების სიმკვრივე არის სიხშირე, რომელიც გამოითვლება ერთეულის ინტერვალის სიგანეზე, ე.ი. რამდენი ერთეულია თითოეულ ჯგუფში ერთეულის ინტერვალის მნიშვნელობაზე. განაწილების სიმკვრივის გამოთვლის მაგალითი მოცემულია ცხრილში. 2.12.
ცხრილი 2.12 - საწარმოთა განაწილება დასაქმებულთა რაოდენობის მიხედვით (ციფრები პირობითია)

N p / გვ	საწარმოთა ჯგუფები დასაქმებულთა რაოდენობის მიხედვით, პერს.	საწარმოთა რაოდენობა	ინტერვალის ზომა, პერს.	განაწილების სიმკვრივე
	მაგრამ	1	2	3=1/2
1	20-მდე	15	20	0,75
2	20 – 80	27	60	0,25
3	80 – 150	35	70	0,5
4	150 – 300	60	150	0,4
5	300 – 500	10	200	0,05
	სულ	147	----	----

ვარიაციის სერიების გრაფიკული წარმოდგენისთვის ასევე შეიძლება გამოყენებულ იქნას კუმულაციური მრუდი. კუმულაციის (ჯამების მრუდის) დახმარებით ნაჩვენებია დაგროვილი სიხშირეების სერია. კუმულაციური სიხშირეები განისაზღვრება ჯგუფების მიხედვით სიხშირეების თანმიმდევრული შეჯამებით და აჩვენებს, თუ რამდენ ერთეულს აქვს მახასიათებლის მნიშვნელობები, რომლებიც არ აღემატება განხილულ მნიშვნელობას.

ბრინჯი. 2.4. Ogiva ოჯახების განაწილება ადამიანზე საცხოვრებელი ფართის ზომის მიხედვით

ინტერვალის ვარიაციის სერიის კუმულაციის აგებისას, სერიის ვარიანტები გამოსახულია აბსცისის ღერძის გასწვრივ, ხოლო დაგროვილი სიხშირეები ორდინატთა ღერძის გასწვრივ.

უწყვეტი ვარიაციის სერია

უწყვეტი ვარიაციული სერია არის რიგი, რომელიც აგებულია რაოდენობრივი სტატისტიკური ნიშნის საფუძველზე. მაგალითი. მსჯავრდებულთა დაავადების საშუალო ხანგრძლივობა (დღეები ერთ ადამიანზე) მიმდინარე წლის შემოდგომა-ზამთრის პერიოდში იყო:

7,0	6,0	5,9	9,4	6,5	7,3	7,6	9,3	5,8	7,2
7,1	8,3	7,5	6,8	7,1	9,2	6,1	8,5	7,4	7,8
10,2	9,4	8,8	8,3	7,9	9,2	8,9	9,0	8,7	8,5

ობიექტთა ან ფენომენთა ერთობლიობა, რომელიც გაერთიანებულია ხარისხობრივი ან რაოდენობრივი ხასიათის რაიმე საერთო მახასიათებლით ან თვისებით, ეწოდება დაკვირვების ობიექტი .

სტატისტიკური დაკვირვების ნებისმიერი ობიექტი შედგება ცალკეული ელემენტებისაგან - დაკვირვების ერთეულები .

სტატისტიკური დაკვირვების შედეგები არის რიცხვითი ინფორმაცია - მონაცემები . Სტატისტიკური მონაცემები - ეს არის ინფორმაცია იმის შესახებ, თუ რა ღირებულებები აქვს მკვლევარის ინტერესის მახასიათებელს სტატისტიკურ პოპულაციაში.

თუ მახასიათებლის მნიშვნელობები გამოიხატება რიცხვებად, მაშინ ფუნქციას ეწოდება რაოდენობრივი .

თუ მახასიათებელი ახასიათებს პოპულაციის ელემენტების ზოგიერთ თვისებას ან მდგომარეობას, მაშინ მახასიათებელი ეწოდება ხარისხიანი .

თუ მოსახლეობის ყველა ელემენტი ექვემდებარება შესწავლას (უწყვეტი დაკვირვება), მაშინ სტატისტიკური პოპულაცია ე.წ. გენერალი.

თუ საერთო პოპულაციის ელემენტების ნაწილი ექვემდებარება კვლევას, მაშინ სტატისტიკური პოპულაცია ეწოდება შერჩევითი (შერჩევითი) . პოპულაციის ნიმუში შედგენილია შემთხვევით ისე, რომ n ნიმუშის თითოეულ წევრს ჰქონდეს თანაბარი შანსი შერჩევის.

ატრიბუტის მნიშვნელობები იცვლება (ვარიაცია) პოპულაციის ერთი ელემენტიდან მეორეზე გადასვლისას, ამიტომ სტატისტიკაში ატრიბუტის სხვადასხვა მნიშვნელობებსაც უწოდებენ. პარამეტრები . ოფციები ჩვეულებრივ აღინიშნება მცირე ლათინური ასოებით x, y, z.

ვარიანტის რიგითი რიცხვი (მახასიათებელი მნიშვნელობა) ეწოდება წოდება . x 1 - 1-ლი ვარიანტი (მახასიათებლის 1-ლი მნიშვნელობა), x 2 - მე-2 ვარიანტი (ფუნქციის მე-2 მნიშვნელობა), x i - მე-ე ვარიანტი (მახასიათებლის i-ე მნიშვნელობა).

ატრიბუტების მნიშვნელობების (ვარიანტების) სერია, რომლებიც დალაგებულია აღმავალი ან კლებადი თანმიმდევრობით მათი შესაბამისი წონებით, ეწოდება ვარიაციის სერია (დისტრიბუციის სერია).

როგორც სასწორები ჩნდება სიხშირეები ან სიხშირეები.

სიხშირე(მ ი) გვიჩვენებს რამდენჯერ გვხვდება ესა თუ ის ვარიანტი (ფუნქციური მნიშვნელობა) სტატისტიკურ პოპულაციაში.

სიხშირე ან ფარდობითი სიხშირე(w i) გვიჩვენებს მოსახლეობის ერთეულების რა პროპორციას აქვს ესა თუ ის ვარიანტი. სიხშირე გამოითვლება როგორც ამა თუ იმ ვარიანტის სიხშირის თანაფარდობა სერიის ყველა სიხშირის ჯამს.

. (6.1)

ყველა სიხშირის ჯამი არის 1.

. (6.2)

ვარიაციული სერიები არის დისკრეტული და ინტერვალური.

დისკრეტული ვარიაციის სერიაისინი, როგორც წესი, აგებულია იმ შემთხვევაში, თუ შესასწავლი მახასიათებლის მნიშვნელობები შეიძლება განსხვავდებოდეს ერთმანეთისგან მინიმუმ გარკვეული სასრული მნიშვნელობით.

დისკრეტულ ვარიაციულ სერიებში მითითებულია მახასიათებლის წერტილოვანი მნიშვნელობები.

დისკრეტული ვარიაციების სერიის ზოგადი ხედი ნაჩვენებია ცხრილში 6.1.

ცხრილი 6.1

სადაც i = 1, 2, ..., ლ.

ინტერვალის ვარიაციის სერიებში თითოეულ ინტერვალში განასხვავებენ ინტერვალის ზედა და ქვედა საზღვრებს.

ინტერვალის ზედა და ქვედა ზღვრებს შორის განსხვავება ე.წ ინტერვალის სხვაობა ან ინტერვალის სიგრძე (ზომა). .

პირველი ინტერვალის k 1 მნიშვნელობა განისაზღვრება ფორმულით:

k 1 = a 2 - a 1;

მეორე: k 2 = a 3 - a 2; …

ბოლო: k l = a l - a l -1 .

Ზოგადად ინტერვალის სხვაობა k i გამოითვლება ფორმულით:

k i \u003d x i (მაქს) - x i (წთ) . (6.3)

თუ ინტერვალს აქვს ორივე საზღვარი, მაშინ მას უწოდებენ დახურული .

პირველი და ბოლო ინტერვალი შეიძლება იყოს გახსნა , ე.ი. აქვს მხოლოდ ერთი საზღვარი.

მაგალითად, პირველი ინტერვალი შეიძლება იყოს მითითებული, როგორც "100-მდე", მეორე - "100-110", ... , ბოლო - "190-200", ბოლო - "200 და მეტი". აშკარაა, რომ პირველ ინტერვალს არ აქვს ქვედა ზღვარი, ხოლო ბოლოს არ აქვს ზედა ზღვარი, ორივე ღიაა.

ხშირად ღია ინტერვალები პირობითად უნდა დაიხუროს. ამისათვის, როგორც წესი, პირველი ინტერვალის მნიშვნელობა აღებულია მეორის მნიშვნელობის ტოლფასი, ხოლო უკანასკნელის მნიშვნელობა - წინა უკანასკნელის მნიშვნელობა. ჩვენს მაგალითში მეორე ინტერვალის მნიშვნელობა არის 110-100=10, შესაბამისად, პირველი ინტერვალის ქვედა ზღვარი პირობითად იქნება 100-10=90; ბოლო ინტერვალის მნიშვნელობა არის 200-190=10, შესაბამისად, ბოლო ინტერვალის ზედა ზღვარი პირობითად იქნება 200+10=210.

გარდა ამისა, სხვადასხვა სიგრძის ინტერვალები შეიძლება მოხდეს ინტერვალის ვარიაციის სერიაში. თუ ვარიაციის სერიის ინტერვალებს აქვთ იგივე სიგრძე (ინტერვალური განსხვავება), მათ უწოდებენ თანაბარი ზომით , წინააღმდეგ შემთხვევაში - არათანაბარი.

ინტერვალის ვარიაციის სერიის აგებისას ხშირად ჩნდება ინტერვალების ზომის არჩევის პრობლემა (ინტერვალური განსხვავება).

ინტერვალების ოპტიმალური ზომის დასადგენად (იმ შემთხვევაში, თუ სერია აგებულია თანაბარი ინტერვალებით), გამოიყენეთ Sturges-ის ფორმულა:

, (6.4)

სადაც n არის მოსახლეობის ერთეულების რაოდენობა,

x (max) და x (min) - სერიის ვარიანტების ყველაზე დიდი და უმცირესი მნიშვნელობები.

ვარიაციული სერიების დასახასიათებლად სიხშირეებთან და სიხშირეებთან ერთად გამოიყენება დაგროვილი სიხშირეები და სიხშირეები.

კუმულაციური სიხშირეები (სიხშირეები)აჩვენეთ მოსახლეობის რამდენი ერთეული (მათი რა ნაწილი) არ აღემატება მოცემულ მნიშვნელობას (ვარიანტი) x.

დაგროვილი სიხშირეები ( v i) დისკრეტული სერიის მიხედვით მონაცემები შეიძლება გამოითვალოს შემდეგი ფორმულის გამოყენებით:

. (6.5)

ინტერვალის ვარიაციის სერიებისთვის, ეს არის ყველა ინტერვალის სიხშირეების (სიხშირეების) ჯამი, რომელიც არ აღემატება ამ ერთს.

დისკრეტული ვარიაციული სერია შეიძლება გრაფიკულად იყოს წარმოდგენილი გამოყენებით სიხშირეების ან სიხშირეების მრავალკუთხედის განაწილება.

განაწილების პოლიგონის აგებისას, ატრიბუტის (ვარიანტების) მნიშვნელობები გამოსახულია აბსცისის ღერძის გასწვრივ, ხოლო სიხშირეები ან სიხშირეები გამოსახულია ორდინატთა ღერძის გასწვრივ. დამახასიათებელი მნიშვნელობებისა და მათი შესაბამისი სიხშირეების (სიხშირეების) კვეთაზე გამოსახულია წერტილები, რომლებიც, თავის მხრივ, დაკავშირებულია სეგმენტებით. ამგვარად მიღებულ გაწყვეტილ ხაზს ეწოდება სიხშირეების განაწილების პოლიგონი (სიხშირეები).

x k

x2

x 1 x i

ბრინჯი. 6.1.

ინტერვალის ვარიაციული სერიები შეიძლება გრაფიკულად იყოს წარმოდგენილი გამოყენებით ჰისტოგრამები, ე.ი. სვეტოვანი დიაგრამა.

აბსცისის გასწვრივ ჰისტოგრამის აგებისას გამოსახულია შესწავლილი მახასიათებლის მნიშვნელობები (ინტერვალის საზღვრები).

იმ შემთხვევაში, თუ ინტერვალები იგივე ზომისაა, სიხშირეები ან სიხშირეები შეიძლება დაისახოს y ღერძის გასწვრივ.

თუ ინტერვალებს განსხვავებული მნიშვნელობები აქვთ, აუცილებელია y-ღერძის გასწვრივ აბსოლუტური ან ფარდობითი განაწილების სიმკვრივის მნიშვნელობების გამოსახვა.

აბსოლუტური სიმკვრივე- ინტერვალის სიხშირის თანაფარდობა ინტერვალის ზომასთან:

; (6.6)

სადაც: f(a) i - i-ის ინტერვალის აბსოლუტური სიმკვრივე;

m i - i-ის ინტერვალის სიხშირე;

k i - i-ის ინტერვალის მნიშვნელობა (ინტერვალური სხვაობა).

აბსოლუტური სიმჭიდროვე გვიჩვენებს მოსახლეობის რამდენი ერთეულია ერთეულ ინტერვალზე.

შედარებითი სიმკვრივე- ინტერვალის სიხშირის თანაფარდობა ინტერვალის ზომასთან:

; (6.7)

სადაც: f(o) i - i-ის ინტერვალის ფარდობითი სიმკვრივე;

w i - i-ის ინტერვალის სიხშირე.

ფარდობითი სიმკვრივე გვიჩვენებს მოსახლეობის ერთეულების რა ნაწილი მოდის ინტერვალურ ერთეულზე.

ლ

a 1 x i

a 2

როგორც დისკრეტული, ასევე ინტერვალური ვარიაციის სერიები შეიძლება გრაფიკულად იყოს წარმოდგენილი როგორც კუმულაცია და ოგივი.

აშენებისას გროვდებადისკრეტული სერიის მონაცემების მიხედვით, აბსციზა აჩვენებს ატრიბუტის მნიშვნელობებს (ოფციები), ხოლო ორდინატი აჩვენებს დაგროვილ სიხშირეებს ან სიხშირეებს. მახასიათებლის მნიშვნელობების (ოფციები) და მათ შესაბამისი დაგროვილი სიხშირეების (სიხშირეების) კვეთაზე აგებულია წერტილები, რომლებიც, თავის მხრივ, დაკავშირებულია სეგმენტებით ან მრუდით. ამგვარად მიღებულ გაწყვეტილ ხაზს (მრუდს) ეწოდება კუმულატიური (კუმულაციური მრუდი).

კუმულატის აგებისას ინტერვალის სერიის მონაცემების მიხედვით, ინტერვალების საზღვრები გამოსახულია აბსცისის გასწვრივ. წერტილების აბსციები არის ინტერვალების ზედა საზღვრები. ორდინატები ქმნიან შესაბამისი ინტერვალების დაგროვილ სიხშირეებს (სიხშირეებს). ხშირად ემატება კიდევ ერთი წერტილი, რომლის აბსციზა არის პირველი ინტერვალის ქვედა ზღვარი, ხოლო ორდინატი არის ნული. წერტილების დაკავშირება სეგმენტებით ან მრუდით, მივიღებთ კუმულაციას.

ოგივააგებულია კუმულაციის მსგავსად, ერთადერთი განსხვავებით, რომ დაგროვილი სიხშირეების (სიხშირეების) შესაბამისი წერტილები გამოსახულია აბსცისის ღერძზე, ხოლო დამახასიათებელი მნიშვნელობები (ვარიანტები) გამოსახულია ორდინატთა ღერძის გასწვრივ.