აშენდა რიგები რაოდენობით, უწოდებენ ვარიაციული.
სადისტრიბუციო სერია შედგება პარამეტრები(მახასიათებელი ღირებულებები) და სიხშირეები(ჯგუფების რაოდენობა). ფარდობითი მნიშვნელობებით გამოხატული სიხშირეები (წილები, პროცენტები) ეწოდება სიხშირეები. ყველა სიხშირის ჯამს უწოდებენ განაწილების სერიის მოცულობას.
ტიპის მიხედვით, განაწილების სერიები იყოფა დისკრეტული(აშენებულია ფუნქციის უწყვეტ მნიშვნელობებზე) და ინტერვალი(აშენებულია უწყვეტი მახასიათებლების მნიშვნელობებზე).
ვარიაციების სერიაწარმოადგენს ორ სვეტს (ან მწკრივს); რომელთაგან ერთი შეიცავს ინდივიდუალური ღირებულებებიცვლადი თვისება, რომელსაც უწოდებენ ვარიანტებს და აღინიშნება X-ით; ხოლო მეორეში - აბსოლუტური რიცხვები, რომლებიც გვიჩვენებს რამდენჯერ (რამდენჯერ) ხდება თითოეული ვარიანტი. მეორე სვეტის ინდიკატორებს სიხშირეებს უწოდებენ და პირობითად აღინიშნება f-ით. კიდევ ერთხელ აღვნიშნავთ, რომ მეორე სვეტში ასევე შეიძლება გამოყენებულ იქნას ფარდობითი ინდიკატორები, რომლებიც ახასიათებენ ცალკეული ვარიანტების სიხშირის პროპორციას სიხშირეების მთლიან რაოდენობაში. ამ ფარდობით მაჩვენებლებს სიხშირეებს უწოდებენ და პირობითად აღინიშნება ω-ით ყველა სიხშირის ჯამი ამ შემთხვევაში ერთის ტოლია. თუმცა, სიხშირეები ასევე შეიძლება გამოხატული იყოს პროცენტულად და შემდეგ ყველა სიხშირის ჯამი იძლევა 100%.
თუ ვარიანტები ვარიაციის სერიაგამოხატული როგორც დისკრეტული სიდიდეები, მაშინ ასეთი ვარიაციული სერია ეწოდება დისკრეტული.
უწყვეტი მახასიათებლებისთვის, ვარიაციის სერიები აგებულია როგორც ინტერვალი, ანუ მათში ატრიბუტის მნიშვნელობები გამოიხატება "...-დან ...". ამ შემთხვევაში, ასეთ ინტერვალში ატრიბუტის მინიმალურ მნიშვნელობებს უწოდებენ ინტერვალის ქვედა ზღვარს, ხოლო მაქსიმუმს - ზედა ზღვარს.
ინტერვალის ვარიაციული სერიები ასევე აგებულია დისკრეტული მახასიათებლებისთვის, რომლებიც განსხვავდება ფართო დიაპაზონში. ინტერვალის სერია შეიძლება იყოს თანაბარიდა არათანაბარიინტერვალებით.
განვიხილოთ, როგორ განისაზღვრება თანაბარი ინტერვალების მნიშვნელობა. მოდით შემოგთავაზოთ შემდეგი აღნიშვნა:
მე- ინტერვალის მნიშვნელობა;
- ატრიბუტის მაქსიმალური მნიშვნელობა მოსახლეობის ერთეულებისთვის;
- ატრიბუტის მინიმალური მნიშვნელობა მოსახლეობის ერთეულებისთვის;
n-გამოყოფილი ჯგუფების რაოდენობა.
თუ n ცნობილია.
თუ გამოყოფილი ჯგუფების რაოდენობა ძნელია წინასწარ განსაზღვრული, მაშინ 1926 წელს სტერჯესის მიერ შემოთავაზებული ფორმულა შეიძლება რეკომენდებული იყოს ინტერვალის ოპტიმალური ზომის გამოსათვლელად პოპულაციის საკმარისი ზომით:
n = 1+ 3.322 log N, სადაც N არის ერთეულების რაოდენობა პოპულაციაში.
არათანაბარი ინტერვალების მნიშვნელობა განისაზღვრება თითოეულ ინდივიდუალურ შემთხვევაში, კვლევის ობიექტის მახასიათებლების გათვალისწინებით.
ნიმუშის სტატისტიკური განაწილებაგამოიძახეთ ოფციების სია და მათი შესაბამისი სიხშირეები (ან შედარებითი სიხშირეები).
ნიმუშის სტატისტიკური განაწილება შეიძლება განისაზღვროს ცხრილის სახით, რომლის პირველ სვეტში არის ვარიანტები, ხოლო მეორეში - ამ ვარიანტების შესაბამისი სიხშირეები. ნი, ან შედარებითი სიხშირეები პი .
ნიმუშის სტატისტიკური განაწილება
ვარიაციის სერიებს უწოდებენ ინტერვალურ სერიებს, რომლებშიც მათი ფორმირების საფუძვლიანი მახასიათებლების მნიშვნელობები გამოხატულია გარკვეულ საზღვრებში (ინტერვალებში). სიხშირეები ამ შემთხვევაში არ ეხება ატრიბუტის ცალკეულ მნიშვნელობებს, არამედ მთელ ინტერვალს.
ინტერვალური განაწილების სერიები აგებულია უწყვეტი რაოდენობრივი მახასიათებლების მიხედვით, ასევე დისკრეტული მახასიათებლების მიხედვით, რომლებიც იცვლება მნიშვნელოვანი დიაპაზონში.
ინტერვალის სერია შეიძლება წარმოდგენილი იყოს ნიმუშის სტატისტიკური განაწილებით, ინტერვალებისა და მათი შესაბამისი სიხშირეების მითითებით. ამ შემთხვევაში, ამ ინტერვალში მოხვედრილი ვარიანტის სიხშირეების ჯამი მიიღება როგორც ინტერვალის სიხშირე.
რაოდენობრივი უწყვეტი მახასიათებლების მიხედვით დაჯგუფებისას მნიშვნელოვანია ინტერვალის ზომის განსაზღვრა.
სინჯის საშუალო და ნიმუშის დისპერსიის გარდა, ასევე გამოიყენება ვარიაციის სერიის სხვა მახასიათებლები.
მოდადაასახელეთ ვარიანტი, რომელსაც აქვს ყველაზე მაღალი სიხშირე.
- შესავალი გაკვეთილი უფასოდ;
- გამოცდილი მასწავლებლების დიდი რაოდენობა (მშობლიური და რუსულენოვანი);
- კურსები არა კონკრეტული პერიოდისთვის (თვე, ექვსი თვე, წელი), არამედ გაკვეთილების გარკვეული რაოდენობა (5, 10, 20, 50);
- 10000-ზე მეტი კმაყოფილი მომხმარებელი.
- ერთი გაკვეთილის ღირებულება რუსულენოვან მასწავლებელთან - 600 რუბლიდანმშობლიურ ენაზე - 1500 რუბლიდან
ვარიაციის სერიის კონცეფცია.სტატისტიკური დაკვირვების მასალების სისტემატიზაციის პირველი ნაბიჯი არის იმ ერთეულების რაოდენობის დათვლა, რომლებსაც აქვთ ამა თუ იმ თვისება. ერთეულები მათი რაოდენობრივი ატრიბუტის აღმავალი ან კლებადობით დალაგებით და კონკრეტული ატრიბუტის მნიშვნელობის მქონე ერთეულების რაოდენობის დათვლით, მივიღებთ ვარიაციის სერიას. ვარიაციების სერია ახასიათებს გარკვეული სტატისტიკური პოპულაციის ერთეულების განაწილებას ზოგიერთი რაოდენობრივი ატრიბუტის მიხედვით.
ვარიაციების სერია შედგება ორი სვეტისგან, მარცხენა სვეტი შეიცავს ცვლადის ატრიბუტის მნიშვნელობებს, რომელსაც ეწოდება ვარიანტები და აღინიშნება (x), ხოლო მარჯვენა სვეტი შეიცავს აბსოლუტურ რიცხვებს, რომლებიც გვიჩვენებს რამდენჯერ ხდება თითოეული ვარიანტი. ამ სვეტის მნიშვნელობებს ეწოდება სიხშირეები და აღინიშნება (f).
სქემატურად, ვარიაციების სერია შეიძლება წარმოდგენილი იყოს ცხრილის 5.1 სახით:
ცხრილი 5.1
ვარიაციის სერიის ტიპი
|
ვარიანტები (x) |
სიხშირეები (f) |
მარჯვენა სვეტში ასევე შეიძლება გამოყენებულ იქნას ფარდობითი ინდიკატორები, რომლებიც ახასიათებენ ცალკეული ვარიანტების სიხშირის პროპორციას სიხშირეების მთლიან რაოდენობაში. ამ ფარდობით მაჩვენებლებს სიხშირეებს უწოდებენ და პირობითად აღინიშნება, ე.ი. . ყველა სიხშირის ჯამი ერთის ტოლია. სიხშირეები ასევე შეიძლება გამოხატული იყოს პროცენტულად და მაშინ მათი ჯამი იქნება 100%-ის ტოლი.
ცვლადი ნიშნები შეიძლება იყოს განსხვავებული ხასიათისა. ზოგიერთი ნიშნის ვარიანტები გამოიხატება მთელი რიცხვებით, მაგალითად, ბინაში ოთახების რაოდენობა, გამოქვეყნებული წიგნების რაოდენობა და ა.შ. ამ ნიშნებს უწოდებენ წყვეტილს, ან დისკრეტულს. სხვა მახასიათებლების ვარიანტებს შეუძლიათ მიიღონ ნებისმიერი მნიშვნელობა გარკვეული საზღვრებში, როგორიცაა დაგეგმილი მიზნების შესრულება, ხელფასიდა ა.შ ამ ნიშნებს უწყვეტი ეწოდება.
დისკრეტული ვარიაციის სერია.თუ ვარიაციული სერიის ვარიანტები გამოიხატება როგორც დისკრეტული მნიშვნელობები, მაშინ ასეთ ვარიაციულ სერიას ეწოდება დისკრეტული, მისი გარეგნობაწარმოდგენილია ცხრილში. 5.2:
ცხრილი 5.2
სტუდენტების განაწილება გამოცდაზე მიღებული ქულების მიხედვით
|
რეიტინგი (x) |
სტუდენტების რაოდენობა (ვ) |
მთლიანი პროცენტით () |
დისკრეტულ სერიებში განაწილების ბუნება გრაფიკულად არის გამოსახული, როგორც განაწილების პოლიგონი, ნახ.5.1.
ბრინჯი. 5.1. სტუდენტების განაწილება გამოცდაზე მიღებული ქულების მიხედვით.
ინტერვალის ვარიაციის სერია.უწყვეტი მახასიათებლებისთვის, ვარიაციის სერიები აგებულია ინტერვალის სერიებად, ე.ი. მათში ფუნქციების მნიშვნელობები გამოიხატება ინტერვალებით "დან დამდე". ამ შემთხვევაში, მახასიათებლის მინიმალურ მნიშვნელობას ასეთ ინტერვალში ეწოდება ინტერვალის ქვედა ზღვარი, ხოლო მაქსიმალურ მნიშვნელობას - ინტერვალის ზედა ზღვარი.
ინტერვალის ვარიაციული სერიები აგებულია როგორც უწყვეტი ფუნქციებისთვის (დისკრეტული) და მათთვის, ვინც განსხვავდება დიდი დიაპაზონში. ინტერვალის რიგები შეიძლება იყოს თანაბარი და არათანაბარი ინტერვალებით. ეკონომიკურ პრაქტიკაში, უმეტესწილად, გამოიყენება არათანაბარი ინტერვალები, თანდათან იზრდება ან მცირდება. ასეთი საჭიროება ჩნდება განსაკუთრებით იმ შემთხვევებში, როდესაც ნიშნის რყევა ხორციელდება არათანაბრად და დიდ საზღვრებში.
განვიხილოთ ინტერვალის სერიის ტიპი თანაბარი ინტერვალებით, ცხრილი. 5.3:
ცხრილი 5.3
მუშაკთა განაწილება პროდუქციის მიხედვით
|
გამომავალი, tr. (X) |
მუშაკთა რაოდენობა (f) |
კუმულაციური სიხშირე (f´) |
ინტერვალის განაწილების სერია გრაფიკულად არის გამოსახული ჰისტოგრამის სახით, სურ.5.2.
სურ.5.2. მუშაკთა განაწილება პროდუქციის მიხედვით
დაგროვილი (კუმულაციური) სიხშირე.პრაქტიკაში საჭიროა დისტრიბუციის სერიის გარდაქმნა კუმულაციური რიგები,აგებულია დაგროვილ სიხშირეებზე. ისინი შეიძლება გამოყენებულ იქნას სტრუქტურული საშუალოების დასადგენად, რაც ხელს უწყობს განაწილების სერიის მონაცემების ანალიზს.
კუმულაციური სიხშირეები განისაზღვრება განაწილების სერიის შემდგომი ჯგუფების ამ ინდიკატორების პირველი ჯგუფის სიხშირეებზე (ან სიხშირეებზე) თანმიმდევრული დამატებით. კუმულაციები და ოგივები გამოიყენება განაწილების სერიების საილუსტრაციოდ. მათი ასაშენებლად, აბსცისის ღერძზე აღინიშნება დისკრეტული მახასიათებლის მნიშვნელობები (ან ინტერვალების ბოლოები), ხოლო სიხშირეების მზარდი ჯამები (კუმულაცია) აღინიშნება ორდინატთა ღერძზე, ნახ.5.3.
ბრინჯი. 5.3. მუშაკთა კუმულაციური განაწილება განვითარების მიხედვით
თუ სიხშირეების და ვარიანტების სასწორები ერთმანეთს ენაცვლება, ე.ი. ასახავს დაგროვილ სიხშირეებს აბსცისის ღერძზე და ოფციონების მნიშვნელობებს ორდინატთა ღერძზე, შემდეგ მრუდს, რომელიც ახასიათებს სიხშირეების ცვლილებას ჯგუფიდან ჯგუფში, დაერქმევა განაწილების გამოსახულებას, ნახ. 5.4.
ბრინჯი. 5.4. Ogiva მუშათა განაწილება წარმოებისთვის
თანაბარი ინტერვალებით ვარიაციების სერიები წარმოადგენს სტატისტიკური განაწილების სერიების ერთ-ერთ ყველაზე მნიშვნელოვან მოთხოვნას, რაც უზრუნველყოფს მათ შედარებას დროსა და სივრცეში.
განაწილების სიმკვრივე.თუმცა, ამ სერიებში ინდივიდუალური არათანაბარი ინტერვალების სიხშირე პირდაპირ შედარებადი არ არის. ასეთ შემთხვევებში, აუცილებელი შედარებაობის უზრუნველსაყოფად, გამოითვლება განაწილების სიმკვრივე, ე.ი. დაადგინეთ რამდენი ერთეულია თითოეულ ჯგუფში ინტერვალის მნიშვნელობის ერთეულზე.
არათანაბარი ინტერვალებით ვარიაციული სერიის განაწილების გრაფიკის აგებისას, მართკუთხედების სიმაღლე განისაზღვრება არა სიხშირეების, არამედ შესწავლილი ნიშან-თვისების მნიშვნელობების განაწილების სიმკვრივის მაჩვენებლების პროპორციულად შესაბამის ინტერვალებში. .
ვარიაციების სერიის შედგენა და მისი გრაფიკული გამოსახულებაარის პირველი საფეხური საწყისი მონაცემების დამუშავებისა და პირველი საფეხური შესწავლილი პოპულაციის ანალიზში. შემდეგი ნაბიჯივარიაციული სერიების ანალიზში არის ძირითადი განზოგადებული ინდიკატორების განსაზღვრა, რომელსაც უწოდებენ სერიის მახასიათებლებს. ამ მახასიათებლებმა უნდა მისცეს წარმოდგენა ატრიბუტის საშუალო მნიშვნელობის შესახებ მოსახლეობის ერთეულებში.
საშუალო ღირებულება. საშუალო მნიშვნელობა არის შესწავლილი ნიშან-თვისების განზოგადებული მახასიათებელი შესწავლილ პოპულაციაში, რომელიც ასახავს მის ტიპურ დონეს პოპულაციის ერთეულზე კონკრეტული ადგილისა და დროის პირობებში.
საშუალო მნიშვნელობა ყოველთვის დასახელებულია, აქვს იგივე განზომილება, როგორც მოსახლეობის ცალკეული ერთეულების ატრიბუტი.
საშუალო მნიშვნელობების გამოთვლამდე აუცილებელია შესწავლილი პოპულაციის ერთეულების დაჯგუფება, ხარისხობრივად ერთგვაროვანი ჯგუფების გამოყოფით.
მთლიანი მოსახლეობისთვის გამოთვლილ საშუალოს ზოგადი საშუალო ეწოდება, ხოლო თითოეული ჯგუფისთვის - ჯგუფის საშუალო.
არსებობს ორი სახის საშუალო: სიმძლავრე (საშუალო არითმეტიკული, ჰარმონიული საშუალო, გეომეტრიული საშუალო, ფესვი საშუალო კვადრატული); სტრუქტურული (რეჟიმი, მედიანა, კვარტილები, დეცილები).
გაანგარიშებისთვის საშუალო არჩევანი დამოკიდებულია მიზანზე.
სიმძლავრის საშუალო ტიპები და მათი გაანგარიშების მეთოდები.შეგროვებული მასალის სტატისტიკური დამუშავების პრაქტიკაში ჩნდება სხვადასხვა პრობლემები, რომელთა გადაწყვეტისთვის საჭიროა სხვადასხვა საშუალო მაჩვენებელი.
მათემატიკური სტატისტიკა იღებს სხვადასხვა საშუალებებს სიმძლავრის საშუალო ფორმულებიდან:
სად არის საშუალო მნიშვნელობა; x - ინდივიდუალური ოფციები (ფუნქციური მნიშვნელობები); z - ექსპონენტი (z = 1 - საშუალო არითმეტიკული, z = 0 გეომეტრიული საშუალო, z = - 1 - ჰარმონიული საშუალო, z = 2 - საშუალო კვადრატული).
თუმცა, საკითხი, თუ რა ტიპის საშუალო უნდა იყოს გამოყენებული თითოეულ ცალკეულ შემთხვევაში, წყდება შესწავლილი მოსახლეობის კონკრეტული ანალიზით.
სტატისტიკაში ყველაზე გავრცელებული საშუალო ტიპია საშუალო არითმეტიკული. იგი გამოითვლება იმ შემთხვევებში, როდესაც საშუალო ატრიბუტის მოცულობა ყალიბდება, როგორც მისი მნიშვნელობების ჯამი შესწავლილი სტატისტიკური პოპულაციის ცალკეული ერთეულებისთვის.
საწყისი მონაცემების ბუნებიდან გამომდინარე, საშუალო არითმეტიკული განისაზღვრება სხვადასხვა გზით:
თუ მონაცემები არ არის დაჯგუფებული, მაშინ გაანგარიშება ხორციელდება მარტივი საშუალო მნიშვნელობის ფორმულის მიხედვით
საშუალო არითმეტიკულის გამოთვლა დისკრეტულ სერიაშიხდება ფორმულის მიხედვით 3.4.
საშუალო არითმეტიკულის გამოთვლა ინტერვალის სერიაში.ინტერვალის ვარიაციის სერიაში, სადაც ინტერვალის შუა პირობითად აღებულია, როგორც მახასიათებლის მნიშვნელობა თითოეულ ჯგუფში, საშუალო არითმეტიკული შეიძლება განსხვავდებოდეს დაუჯგუფებელი მონაცემებიდან გამოთვლილი საშუალოსგან. უფრო მეტიც, რაც უფრო დიდია ინტერვალი ჯგუფებში, მით მეტია დაჯგუფებული მონაცემებიდან გამოთვლილი საშუალოს შესაძლო გადახრები დაუჯგუფებელი მონაცემებიდან გამოთვლილი საშუალოდან.
ინტერვალის ვარიაციული სერიის საშუალო გაანგარიშებისას, საჭირო გამოთვლების შესასრულებლად, ინტერვალებიდან მათ შუა წერტილებზე გადადის. და შემდეგ გამოთვალეთ საშუალო მნიშვნელობა საშუალო შეწონილი არითმეტიკული ფორმულით.
საშუალო არითმეტიკული თვისებები.საშუალო არითმეტიკას აქვს გარკვეული თვისებები, რაც საშუალებას გვაძლევს გავამარტივოთ გამოთვლები, განვიხილოთ ისინი.
1. მუდმივი რიცხვების საშუალო არითმეტიკული ტოლია ამ მუდმივი რიცხვის.
თუ x = a. მერე 
.
2. თუ ყველა ვარიანტის წონა პროპორციულად შეიცვალა, ე.ი. გაიზარდოს ან შემცირდეს იმავე რაოდენობის ჯერ, მაშინ ახალი სერიის საშუალო არითმეტიკული არ შეიცვლება აქედან.
თუ ყველა წონა f მცირდება k-ჯერ, მაშინ 
.
3. ცალკეული ვარიანტების საშუალოდან დადებითი და უარყოფითი გადახრების ჯამი, გამრავლებული წონებზე, უდრის ნულს, ე.ი. 
თუ , მაშინ . აქედან.
თუ ყველა ვარიანტი მცირდება ან გაზრდილია გარკვეული რიცხვით, მაშინ ახალი სერიის საშუალო არითმეტიკული იგივე ოდენობით შემცირდება ან გაიზრდება.
შეამცირეთ ყველა ვარიანტი xზე ა, ე.ი. x´ = x– ა.
მერე 
საწყისი სერიის არითმეტიკული საშუალო შეიძლება მივიღოთ შემცირებულ საშუალოზე ადრე გამოკლებული ვარიანტების რიცხვის დამატებით. ა, ე.ი. .
5. თუ ყველა ვარიანტი შემცირებულია ან გაიზარდა კჯერ, მაშინ ახალი სერიის საშუალო არითმეტიკული შემცირდება ან გაიზრდება იგივე ოდენობით, ე.ი. in კერთხელ.
დაე მერე 
.
აქედან გამომდინარე, ე.ი. ორიგინალური სერიის საშუალოს მისაღებად, ახალი სერიის საშუალო არითმეტიკული (შემცირებული ვარიანტებით) უნდა გაიზარდოს კერთხელ.
საშუალო ჰარმონიული.ჰარმონიული საშუალო არის არითმეტიკული საშუალოს ორმხრივი. იგი გამოიყენება, როდესაც სტატისტიკური ინფორმაცია არ შეიცავს სიხშირეებს პოპულაციის ცალკეული ვარიანტებისთვის, მაგრამ წარმოდგენილია როგორც მათი პროდუქტი (M = xf). ჰარმონიული საშუალო გამოითვლება ფორმულით 3.5
|
|
ჰარმონიული საშუალოს პრაქტიკული გამოყენება არის ზოგიერთი ინდექსის, კერძოდ, ფასების ინდექსის გამოთვლა.
გეომეტრიული საშუალო.გეომეტრიული საშუალო გამოყენებისას, ატრიბუტის ინდივიდუალური მნიშვნელობები, როგორც წესი, არის დინამიკის ფარდობითი მნიშვნელობები, რომლებიც აგებულია ჯაჭვის მნიშვნელობების სახით, როგორც თანაფარდობა დინამიკის სერიაში თითოეული დონის წინა დონესთან. . საშუალო ამგვარად ახასიათებს საშუალო ზრდის ტემპს.
გეომეტრიული საშუალო ასევე გამოიყენება ატრიბუტის მაქსიმალური და მინიმალური მნიშვნელობებიდან თანაბარი მანძილის დასადგენად. მაგალითად, სადაზღვევო კომპანია დებს ხელშეკრულებებს ავტოდაზღვევის მომსახურების გაწევაზე. სპეციფიკიდან გამომდინარე დაზღვეული მოვლენა დაზღვევის გადახდაშეიძლება განსხვავდებოდეს 10000-დან 100000 დოლარამდე წელიწადში. დაზღვევის საშუალო ანაზღაურება არის აშშ დოლარი.
გეომეტრიული საშუალო არის მნიშვნელობა, რომელიც გამოიყენება თანაფარდობების საშუალოდ ან განაწილების სერიებში, წარმოდგენილი გეომეტრიული პროგრესიის სახით, როდესაც z = 0. ეს საშუალო მოსახერხებელია გამოსაყენებლად, როდესაც ყურადღება ექცევა არა აბსოლუტურ განსხვავებებს, არამედ თანაფარდობებს. ორი ნომერი.
გაანგარიშების ფორმულები შემდეგია
სად არის საშუალო მახასიათებლის ვარიანტები; - ოფციონის პროდუქტი; ვ- ვარიანტების სიხშირე.
გეომეტრიული საშუალო გამოიყენება საშუალო წლიური ზრდის ტემპების გამოსათვლელად.
საშუალო კვადრატი.ფესვის საშუალო კვადრატის ფორმულა გამოიყენება განაწილების სერიაში ნიშან-თვისების ინდივიდუალური მნიშვნელობების რყევის ხარისხის გასაზომად საშუალო არითმეტიკულის გარშემო. ასე რომ, ვარიაციის ინდიკატორების გაანგარიშებისას, საშუალო გამოითვლება არითმეტიკული საშუალოდან თვისების ინდივიდუალური მნიშვნელობების გადახრების კვადრატებიდან.
საშუალო კვადრატული მნიშვნელობა გამოითვლება ფორმულით
|
|
ეკონომიკურ კვლევაში, ფესვის საშუალო კვადრატის შეცვლილი ფორმა ფართოდ გამოიყენება ნიშან-თვისების ვარიაციის ინდიკატორების გამოსათვლელად, როგორიცაა ვარიაცია, სტანდარტული გადახრა.
უმრავლესობის წესი.ძალაუფლების კანონის საშუალო მაჩვენებლებს შორის არსებობს შემდეგი კავშირი - რაც უფრო დიდია მაჩვენებელი, მით მეტია საშუალო მნიშვნელობა, ცხრილი 5.4:
ცხრილი 5.4
ურთიერთობა საშუალოებს შორის
|
z მნიშვნელობა |
||||
|
თანაფარდობა საშუალოებს შორის |
ამ კავშირს მაჟორის წესს უწოდებენ.
სტრუქტურული საშუალო.მოსახლეობის სტრუქტურის დასახასიათებლად გამოიყენება სპეციალური ინდიკატორები, რომლებსაც შეიძლება ეწოდოს სტრუქტურული საშუალო. ეს ზომები მოიცავს მოდს, მედიანას, კვარტილებს და დეცილებს.
მოდა.რეჟიმი (Mo) არის მახასიათებლის ყველაზე ხშირად წარმოქმნილი მნიშვნელობა პოპულაციის ერთეულებში. რეჟიმი არის ატრიბუტის მნიშვნელობა, რომელიც შეესაბამება თეორიული განაწილების მრუდის მაქსიმალურ წერტილს.
მოდა ფართოდ გამოიყენება კომერციულ პრაქტიკაში მომხმარებელთა მოთხოვნის შესწავლისას (დიდი მოთხოვნადი ტანსაცმლისა და ფეხსაცმლის ზომის განსაზღვრისას), ფასების რეგისტრაციაში. სულ რამდენიმე მოდიფიკაცია შეიძლება იყოს.
რეჟიმის გაანგარიშება დისკრეტულ სერიაში.დისკრეტულ სერიაში რეჟიმი არის ყველაზე მაღალი სიხშირის ვარიანტი. განვიხილოთ რეჟიმის პოვნა დისკრეტულ სერიაში.
მოდის გაანგარიშება ინტერვალის სერიაში.ინტერვალის ვარიაციის სერიაში მოდალური ინტერვალის ცენტრალურ ვარიანტად მიჩნეულია დაახლოებით რეჟიმი, ე.ი. ინტერვალი, რომელსაც აქვს ყველაზე მაღალი სიხშირე (სიხშირე). ინტერვალის ფარგლებში აუცილებელია ვიპოვოთ ატრიბუტის მნიშვნელობა, რომელიც არის რეჟიმი. ინტერვალის სერიებისთვის რეჟიმი განისაზღვრება ფორმულით
|
|
სად არის მოდალური ინტერვალის ქვედა ზღვარი; არის მოდალური ინტერვალის მნიშვნელობა; არის მოდალური ინტერვალის შესაბამისი სიხშირე; არის სიხშირე, რომელიც წინ უსწრებს მოდალურ ინტერვალს; არის მოდალის შემდგომი ინტერვალის სიხშირე.
მედიანური.მედიანა () არის მახასიათებლის მნიშვნელობა რანჟირებული სერიის შუა ერთეულში. რანჟირებული სერია არის სერია, რომელშიც დამახასიათებელი მნიშვნელობები იწერება აღმავალი ან კლებადობით. ან მედიანა არის მნიშვნელობა, რომელიც ყოფს მოწესრიგებული ვარიაციული სერიის რაოდენობას ორ თანაბარ ნაწილად: ერთ ნაწილს აქვს ცვლადი მახასიათებლის მნიშვნელობა, რომელიც საშუალო ვარიანტზე ნაკლებია, ხოლო მეორეს დიდი.
მედიანას საპოვნელად ჯერ მისი სერიული ნომერი განისაზღვრება. ამისათვის, კენტი რაოდენობის ერთეულებით, ერთი ემატება ყველა სიხშირის ჯამს და ყველაფერი იყოფა ორზე. ერთეულების ლუწი რაოდენობით, მედიანა გვხვდება, როგორც ერთეულის ატრიბუტის მნიშვნელობა, რომლის სერიული ნომერი განისაზღვრება სიხშირეების ჯამით გაყოფილი ორზე. მედიანის რიგითი რიცხვის ცოდნა, დაგროვილი სიხშირეებიდან ადვილია მისი მნიშვნელობის პოვნა.
მედიანის გაანგარიშება დისკრეტულ სერიაში.შერჩევის კვლევის მიხედვით მიღებული იქნა მონაცემები ოჯახების განაწილების შესახებ ბავშვების რაოდენობის მიხედვით, ცხრილი. 5.5. მედიანას დასადგენად ჯერ დაადგინეთ მისი რიგითი რიცხვი
= 
შემდეგ ვაშენებთ კუმულაციური სიხშირეების სერიას ( სერიული ნომრით და კუმულაციური სიხშირით ვპოულობთ მედიანას. კუმულაციური სიხშირე 33 აჩვენებს, რომ 33 ოჯახში ბავშვების რაოდენობა არ აღემატება 1 ბავშვს, მაგრამ ვინაიდან მედიანური რიცხვი არის 50, მედიანა იქნება 34-დან 55 ოჯახამდე.
ცხრილი 5.5
ოჯახების რაოდენობის განაწილება ბავშვების რაოდენობის მიხედვით
|
შვილების რაოდენობა ოჯახში |
ოჯახების რაოდენობა, არის მედიანური ინტერვალის მნიშვნელობა; სიმძლავრის საშუალების ყველა განხილულ ფორმას აქვს მნიშვნელოვანი თვისება (სტრუქტურული საშუალებებისგან განსხვავებით) - საშუალოს განსაზღვრის ფორმულა მოიცავს სერიის ყველა მნიშვნელობას, ე.ი. საშუალო ზომაზე გავლენას ახდენს თითოეული ვარიანტის მნიშვნელობა. ერთის მხრივ, ეს ძალიან დადებითი თვისებაა. ამ შემთხვევაში მხედველობაში მიიღება ყველა მიზეზის ეფექტი, რომელიც გავლენას ახდენს შესწავლილი მოსახლეობის ყველა ერთეულზე. მეორეს მხრივ, თუნდაც ერთმა დაკვირვებამ, რომელიც შემთხვევით იქნა შეტანილი საწყის მონაცემებში, შეიძლება მნიშვნელოვნად დაამახინჯოს განსახილველ პოპულაციაში შესწავლილი ნიშან-თვისების განვითარების დონის იდეა (განსაკუთრებით მოკლე სერიებში). მეოთხედები და დეცილები.ვარიაციულ სერიებში მედიანის პოვნის ანალოგიით, შეგიძლიათ იპოვოთ მახასიათებლის მნიშვნელობა ნებისმიერ რანჟირებულ სერიის ერთეულში თანმიმდევრობით. ასე რომ, კერძოდ, შეგიძლიათ იპოვოთ მახასიათებლის მნიშვნელობა ერთეულებისთვის, რომლებიც ყოფენ სერიას 4 თანაბარ ნაწილად, 10-ად და ა.შ. მეოთხედი.ვარიანტებს, რომლებიც რიგებს ყოფს ოთხ თანაბარ ნაწილად, ეწოდება კვარტილები. ამავდროულად, განასხვავებენ შემდეგს: ქვედა (ან პირველი) მეოთხედი (Q1) - რანჟირებული სერიის ერთეულის მახასიათებლის მნიშვნელობა, რომელიც ყოფს პოპულაციას ¼-დან ¾-მდე და ზედა (ან მესამე) თანაფარდობით. ) მეოთხედი (Q3) - რანჟირებული სერიის ერთეულის მახასიათებლის მნიშვნელობა, რომელიც ყოფს პოპულაციას ¾-დან ¼-მდე თანაფარდობით. მეორე მეოთხედი არის მედიანა Q2 = Me. ქვედა და ზედა კვარტილები ინტერვალის სერიაში გამოითვლება მედიანის მსგავსი ფორმულის გამოყენებით. სად არის ქვედა და ზედა კვარტილების შემცველი ინტერვალის ქვედა ზღვარი; არის ქვედა ან ზედა კვარტილის შემცველი ინტერვალის წინა ინტერვალის კუმულაციური სიხშირე; - მეოთხედის ინტერვალების სიხშირე (ქვედა და ზედა) Q1 და Q3 შემცველი ინტერვალები განისაზღვრება დაგროვილი სიხშირეებიდან (ან სიხშირეებიდან). დეცილები.კვარტილების გარდა, გამოითვლება დეცილები - ვარიანტები, რომლებიც ყოფს რანჟირებულ სერიას 10 თანაბარ ნაწილად. ისინი აღინიშნება D-ით, პირველი დეცილი D1 ყოფს სერიებს 1/10 და 9/10 თანაფარდობით, მეორე D2 - 2/10 და 8/10 და ა.შ. ისინი გამოითვლება ისე, როგორც მედიანა და კვარტილები. როგორც მედიანა, ასევე კვარტილები და დეცილები მიეკუთვნება ეგრეთ წოდებულ რიგით სტატისტიკას, რომელიც გაგებულია, როგორც ვარიანტი, რომელიც იკავებს გარკვეულ რიგით ადგილს რანჟირებულ სერიაში. |
განაწილების სერიის ფორმირების მახასიათებლის მიხედვით, არსებობს ატრიბუტებისა და ვარიაციების განაწილების სერიები.
საერთო მახასიათებლის არსებობა არის სტატისტიკური პოპულაციის ფორმირების საფუძველი, რომელიც წარმოადგენს კვლევის ობიექტების საერთო მახასიათებლების აღწერის ან გაზომვის შედეგებს.
სტატისტიკაში შესწავლის საგანი არის ცვალებადი (ცვალებად) მახასიათებლები ან სტატისტიკური მახასიათებლები.
სტატისტიკური მახასიათებლების სახეები.
განაწილების სერიებს უწოდებენ ატრიბუტების სერიას.აშენებული ხარისხის ნიადაგზე. ატრიბუტული- ეს არის ნიშანი, რომელსაც აქვს სახელი (მაგალითად, პროფესია: მკერავი, მასწავლებელი და ა.შ.).
ჩვეულებრივია განაწილების სერიების მოწყობა ცხრილების სახით. მაგიდაზე. 2.8 გვიჩვენებს განაწილების ატრიბუტების სერიას.
ცხრილი 2.8 - იურისტების მიერ გაწეული იურიდიული დახმარების სახეობების განაწილება რუსეთის ფედერაციის ერთ-ერთი რეგიონის მოქალაქეებისთვის.
ვარიაციების სერიები განაწილების სერიებიააგებულია რაოდენობრივ საფუძველზე. ნებისმიერი ვარიაციის სერია შედგება ორი ელემენტისგან: ვარიანტები და სიხშირეები.
ვარიანტები არის ფუნქციის ინდივიდუალური მნიშვნელობები, რომელსაც იგი იღებს ვარიაციის სერიაში.
სიხშირეები არის ცალკეული ვარიანტების რიცხვი ან ვარიაციის სერიის თითოეული ჯგუფი, ე.ი. ეს არის რიცხვები, რომლებიც გვიჩვენებს, რამდენად ხშირად ხდება გარკვეული ვარიანტები განაწილების სერიაში. ყველა სიხშირის ჯამი განსაზღვრავს მთელი მოსახლეობის ზომას, მის მოცულობას.
სიხშირეებს უწოდებენ სიხშირეებს, რომლებიც გამოხატულია ერთეულის წილადებში ან მთლიანის პროცენტულად. შესაბამისად, სიხშირეების ჯამი უდრის 1 ან 100%-ს. ვარიაციული სერია საშუალებას გვაძლევს შევაფასოთ განაწილების კანონის ფორმა რეალურ მონაცემებზე დაყრდნობით.
თვისების ცვალებადობის ბუნებიდან გამომდინარე, არსებობს დისკრეტული და ინტერვალური ვარიაციის სერია.
დისკრეტული ვარიაციული სერიის მაგალითი მოცემულია ცხრილში. 2.9.
ცხრილი 2.9 - ოჯახების განაწილება ოთახების რაოდენობის მიხედვით ცალკეულ ბინებში 1989 წელს რუსეთის ფედერაციაში.
ვარიაციების სერია
ზოგად პოპულაციაში გარკვეული რაოდენობრივი მახასიათებელი გამოკვლეულია. მისგან შემთხვევით ამოღებულია მოცულობის ნიმუში ნ, ანუ ნიმუშში ელემენტების რაოდენობა არის ნ. სტატისტიკური დამუშავების პირველ ეტაპზე, დიაპაზონინიმუშები, ე.ი. ნომრის შეკვეთა x 1, x 2, ..., x nაღმავალი. თითოეული დაკვირვებული მნიშვნელობა x iდაურეკა ვარიანტი. სიხშირე მ იარის მნიშვნელობის დაკვირვების რაოდენობა x iნიმუშში. შედარებითი სიხშირე (სიხშირე) w iარის სიხშირის თანაფარდობა მ ინიმუშის ზომამდე ნ: .ვარიაციული სერიის შესწავლისას ასევე გამოიყენება კუმულაციური სიხშირისა და კუმულაციური სიხშირის ცნებები. დაე იყოს xრაღაც ნომერი. შემდეგ ვარიანტების რაოდენობა , რომლის ღირებულებები ნაკლებია x, ეწოდება დაგროვილი სიხშირე: x i-სთვის
ატრიბუტს ეწოდება დისკრეტულად ცვლადი, თუ მისი ინდივიდუალური მნიშვნელობები (ვარიანტები) განსხვავდება ერთმანეთისგან გარკვეული სასრული რაოდენობით (ჩვეულებრივ, მთელი რიცხვით). ასეთი მახასიათებლის ვარიაციულ სერიას ეწოდება დისკრეტული ვარიაციული სერია.
ცხრილი 1. სიხშირეების დისკრეტული ვარიაციული სერიის ზოგადი ხედი
| მახასიათებლების მნიშვნელობები | x i | x 1 | x2 | … | x n |
| სიხშირეები | მ ი | მ 1 | მ2 | … | m n |
ატრიბუტს უწოდებენ მუდმივად ცვალებადი, თუ მისი მნიშვნელობები განსხვავდება ერთმანეთისგან თვითნებურად მცირე რაოდენობით, ე.ი. ნიშანს შეუძლია მიიღოს ნებისმიერი მნიშვნელობა გარკვეულ ინტერვალში. ასეთი მახასიათებლის უწყვეტ ვარიაციის სერიას ინტერვალის სერია ეწოდება.
ცხრილი 2. სიხშირეების ინტერვალის ცვალებადობის სერიის ზოგადი ხედი
ცხრილი 3. ვარიაციების სერიის გრაფიკული გამოსახულებები
| მწკრივი | პოლიგონი ან ჰისტოგრამა | ემპირიული განაწილების ფუნქცია | |
| დისკრეტული |  |  |  |
| ინტერვალი |  |  |  |
ვარიაციული სერიების გრაფიკული წარმოდგენისთვის ყველაზე ხშირად გამოიყენება მრავალკუთხედი, ჰისტოგრამა, კუმულაციური მრუდი და ემპირიული განაწილების ფუნქცია.
მაგიდაზე. 2.3 (რუსეთის მოსახლეობის დაჯგუფება ერთ სულ მოსახლეზე საშუალო შემოსავლის ზომის მიხედვით 1994 წლის აპრილში) წარმოდგენილია. ინტერვალის ვარიაციის სერია.
მოსახერხებელია განაწილების სერიის ანალიზი გრაფიკული გამოსახულების გამოყენებით, რაც ასევე შესაძლებელს ხდის განაწილების ფორმის მსჯელობას. ვარიაციული სერიის სიხშირეების ცვლილების ბუნების ვიზუალური წარმოდგენა მოცემულია პოლიგონი და ჰისტოგრამა.
მრავალკუთხედი გამოიყენება დისკრეტული ვარიაციული სერიების ჩვენებისას.
მაგალითად, გრაფიკულად გამოვსახოთ საბინაო მარაგის განაწილება ბინების ტიპების მიხედვით (ცხრილი 2.10).
ცხრილი 2.10 - ურბანული ტერიტორიის საცხოვრებელი ფართის განაწილება ბინების ტიპების მიხედვით (პირობითი ფიგურები).
ბრინჯი. საბინაო განაწილების პოლიგონი
y-ღერძზე არა მხოლოდ სიხშირეების მნიშვნელობები, არამედ ვარიაციული სერიის სიხშირეების დახატვა შესაძლებელია.
ჰისტოგრამა აღებულია ინტერვალის ცვალებადობის სერიის საჩვენებლად. ჰისტოგრამის აგებისას, ინტერვალების მნიშვნელობები გამოსახულია აბსცისის ღერძზე, ხოლო სიხშირეები გამოსახულია შესაბამის ინტერვალებზე აგებული მართკუთხედებით. სვეტების სიმაღლე თანაბარი ინტერვალების შემთხვევაში სიხშირეების პროპორციული უნდა იყოს. ჰისტოგრამა არის გრაფიკი, რომელშიც სერია ნაჩვენებია ერთმანეთის მიმდებარე ზოლების სახით.
მოდით გრაფიკულად გამოვსახოთ ცხრილში მოცემული ინტერვალის განაწილების სერია. 2.11.
ცხრილი 2.11 - ოჯახების განაწილება საცხოვრებელი ფართის სიდიდის მიხედვით ერთ ადამიანზე (პირობითი ფიგურები).
| N p / გვ | ოჯახების ჯგუფები ერთ ადამიანზე საცხოვრებელი ფართის სიდიდის მიხედვით | ოჯახების რაოდენობა მოცემული ზომის საცხოვრებელი ფართით | ოჯახების დაგროვილი რაოდენობა |
| 1 | 3 – 5 | 10 | 10 |
| 2 | 5 – 7 | 20 | 30 |
| 3 | 7 – 9 | 40 | 70 |
| 4 | 9 – 11 | 30 | 100 |
| 5 | 11 – 13 | 15 | 115 |
| სულ | 115 | ---- | |
ბრინჯი. 2.2. ოჯახების განაწილების ჰისტოგრამა ადამიანზე საცხოვრებელი ფართის ზომის მიხედვით
დაგროვილი სერიის მონაცემების გამოყენებით (ცხრილი 2.11) ვაშენებთ განაწილების კუმულატიური.
ბრინჯი. 2.3. ოჯახების კუმულაციური განაწილება ადამიანზე საცხოვრებელი ფართის ზომის მიხედვით
ვარიაციური სერიების კუმულაციის სახით წარმოდგენა განსაკუთრებით ეფექტურია ვარიაციული სერიებისთვის, რომელთა სიხშირეები გამოიხატება წილადების ან სერიის სიხშირეების ჯამის პროცენტების სახით.
თუ ცულებს შევცვლით ცვალებადობის სერიის გრაფიკულ გამოსახულებაში კუმულაციის სახით, მაშინ მივიღებთ ოგივუ. ნახ. 2.4 გვიჩვენებს ოგივას, რომელიც აგებულია ცხრილში მოცემული მონაცემების საფუძველზე. 2.11.
ჰისტოგრამა შეიძლება გარდაიქმნას განაწილების მრავალკუთხედად მართკუთხედების გვერდების შუა წერტილების აღმოჩენით და შემდეგ ამ წერტილების სწორი ხაზებით შეერთებით. შედეგად მიღებული განაწილების პოლიგონი ნაჩვენებია ნახ. 2.2 წერტილოვანი ხაზი.
არათანაბარი ინტერვალებით ვარიაციული სერიის განაწილების ჰისტოგრამის აგებისას, ორდინატთა ღერძის გასწვრივ, გამოსახულია არა სიხშირეები, არამედ მახასიათებლის განაწილების სიმკვრივე შესაბამის ინტერვალებში.
განაწილების სიმკვრივე არის სიხშირე, რომელიც გამოითვლება ერთეულის ინტერვალის სიგანეზე, ე.ი. რამდენი ერთეულია თითოეულ ჯგუფში ერთეულის ინტერვალის მნიშვნელობაზე. განაწილების სიმკვრივის გამოთვლის მაგალითი მოცემულია ცხრილში. 2.12.
ცხრილი 2.12 - საწარმოთა განაწილება დასაქმებულთა რაოდენობის მიხედვით (ციფრები პირობითია)
| N p / გვ | საწარმოთა ჯგუფები დასაქმებულთა რაოდენობის მიხედვით, პერს. | საწარმოთა რაოდენობა | ინტერვალის ზომა, პერს. | განაწილების სიმკვრივე |
| მაგრამ | 1 | 2 | 3=1/2 | |
| 1 | 20-მდე | 15 | 20 | 0,75 |
| 2 | 20 – 80 | 27 | 60 | 0,25 |
| 3 | 80 – 150 | 35 | 70 | 0,5 |
| 4 | 150 – 300 | 60 | 150 | 0,4 |
| 5 | 300 – 500 | 10 | 200 | 0,05 |
| სულ | 147 | ---- | ---- |
ვარიაციის სერიების გრაფიკული წარმოდგენისთვის ასევე შეიძლება გამოყენებულ იქნას კუმულაციური მრუდი. კუმულაციის (ჯამების მრუდის) დახმარებით ნაჩვენებია დაგროვილი სიხშირეების სერია. კუმულაციური სიხშირეები განისაზღვრება ჯგუფების მიხედვით სიხშირეების თანმიმდევრული შეჯამებით და აჩვენებს, თუ რამდენ ერთეულს აქვს მახასიათებლის მნიშვნელობები, რომლებიც არ აღემატება განხილულ მნიშვნელობას.
ბრინჯი. 2.4. Ogiva ოჯახების განაწილება ადამიანზე საცხოვრებელი ფართის ზომის მიხედვით
ინტერვალის ვარიაციის სერიის კუმულაციის აგებისას, სერიის ვარიანტები გამოსახულია აბსცისის ღერძის გასწვრივ, ხოლო დაგროვილი სიხშირეები ორდინატთა ღერძის გასწვრივ.
უწყვეტი ვარიაციის სერია
უწყვეტი ვარიაციული სერია არის რიგი, რომელიც აგებულია რაოდენობრივი სტატისტიკური ნიშნის საფუძველზე. მაგალითი. მსჯავრდებულთა დაავადების საშუალო ხანგრძლივობა (დღეები ერთ ადამიანზე) მიმდინარე წლის შემოდგომა-ზამთრის პერიოდში იყო:| 7,0 | 6,0 | 5,9 | 9,4 | 6,5 | 7,3 | 7,6 | 9,3 | 5,8 | 7,2 |
| 7,1 | 8,3 | 7,5 | 6,8 | 7,1 | 9,2 | 6,1 | 8,5 | 7,4 | 7,8 |
| 10,2 | 9,4 | 8,8 | 8,3 | 7,9 | 9,2 | 8,9 | 9,0 | 8,7 | 8,5 |
ტესტის ამოხსნის მაგალითი მათემატიკური სტატისტიკაში
დავალება 1
საწყისი მონაცემები : 30 კაცისგან შემდგარმა გარკვეული ჯგუფის სტუდენტებმა ჩააბარეს გამოცდა კურსში „ინფორმატიკა“. სტუდენტების მიერ მიღებული შეფასებები ქმნიან რიცხვების შემდეგ სერიას:
I. ვარიაციული სერიების შედგენა
|
მ x |
ვ x |
მ x ნაკ |
ვ x ნაკ |
|
|
სულ: |
II. სტატისტიკური ინფორმაციის გრაფიკული წარმოდგენა.
III. ნიმუშის რიცხვითი მახასიათებლები.
1. საშუალო არითმეტიკული
2. გეომეტრიული საშუალო
3. მოდა 
4. მედიანა
222222333333333 | 3 34444444445555
5. ნიმუშის ვარიაცია
7. ცვალებადობის კოეფიციენტი
8. ასიმეტრია
9. ასიმეტრიის კოეფიციენტი
10. კურტოზი
11. კურტოზის კოეფიციენტი
დავალება 2
საწყისი მონაცემები : გარკვეული ჯგუფის მოსწავლეებმა დაწერეს დასკვნითი ტესტი. ჯგუფი შედგება 30 ადამიანისგან. სტუდენტების მიერ მიღებული ქულები ქმნიან რიცხვების შემდეგ სერიას
გადაწყვეტილება
I. ვინაიდან ნიშანი იღებს მრავალ განსხვავებულ მნიშვნელობას, ჩვენ ავაშენებთ მას ინტერვალის ვარიაციის სერიას. ამისათვის ჩვენ ჯერ დავაყენეთ ინტერვალის მნიშვნელობა თ. მოდით გამოვიყენოთ სტურგერის ფორმულა
მოდით გავაკეთოთ ინტერვალების მასშტაბი. ამ შემთხვევაში, პირველი ინტერვალის ზედა საზღვრისთვის ჩვენ ავიღებთ ფორმულით განსაზღვრულ მნიშვნელობას:
შემდგომი ინტერვალების ზედა საზღვრები განისაზღვრება შემდეგი რეკურსიული ფორმულით:
, მაშინ
ჩვენ ვასრულებთ ინტერვალების შკალის აგებას, ვინაიდან მომდევნო ინტერვალის ზედა ზღვარი გახდა ნიმუშის მაქსიმალურ მნიშვნელობაზე მეტი ან ტოლი. 
.
|
|
|
|
|
|
II. ინტერვალის ვარიაციის სერიის გრაფიკული ჩვენება
III. ნიმუშის რიცხვითი მახასიათებლები
ნიმუშის რიცხობრივი მახასიათებლების დასადგენად შევადგენთ დამხმარე ცხრილს
|
|
|
|
|
|
|
|
ჯამი: |
1. საშუალო არითმეტიკული
2. გეომეტრიული საშუალო
3. მოდა 
4. მედიანა
10 11 12 12 13 13 13 13 14 14 14 14 15 15 15 |15 15 15 16 16 16 16 16 17 17 18 19 19 20 20
5. ნიმუშის ვარიაცია
6. ნიმუშის სტანდარტული გადახრა
7. ცვალებადობის კოეფიციენტი
8. ასიმეტრია
9. ასიმეტრიის კოეფიციენტი
10. კურტოზი
11. კურტოზის კოეფიციენტი
დავალება 3
მდგომარეობა : ამმეტრის სკალის გაყოფის მნიშვნელობა არის 0,1 ა. ჩვენებები მრგვალდება უახლოეს მთელ განყოფილებამდე. იპოვეთ ალბათობა იმისა, რომ წაკითხვისას დაშვებული იქნება 0,02 A-ზე მეტი შეცდომა.
გადაწყვეტილება.
დამრგვალების შეცდომა შეიძლება ჩაითვალოს შემთხვევით ცვლადად X, რომელიც თანაბრად ნაწილდება ორ მიმდებარე მთელ რიცხვს შორის ინტერვალში. ერთგვაროვანი განაწილების სიმკვრივე
,
სადაც 
- ინტერვალის სიგრძე, რომელიც შეიცავს შესაძლო მნიშვნელობებს X; ამ ინტერვალის გარეთ 
ამ პრობლემაში შესაძლო მნიშვნელობების შემცველი ინტერვალის სიგრძე X, უდრის 0.1-ს, ასე
წაკითხვის შეცდომა გადააჭარბებს 0.02-ს, თუ იგი ჩართულია ინტერვალში (0.02; 0.08). მერე
პასუხი: რ=0,6
დავალება 4
საწყისი მონაცემები: მათემატიკური მოლოდინი და ნორმალურად განაწილებული მახასიათებლის სტანდარტული გადახრა Xარის შესაბამისად 10 და 2. იპოვეთ ალბათობა, რომ ტესტის შედეგად Xმიიღებს მნიშვნელობას, რომელიც შეიცავს ინტერვალში (12, 14).
გადაწყვეტილება.
მოდით გამოვიყენოთ ფორმულა
და თეორიული სიხშირეები 
X-სთვის, მისი მათემატიკური მოლოდინი M(X) და ვარიაცია D(X). გადაწყვეტილება. იპოვეთ შემთხვევითი ცვლადის განაწილების ფუნქცია F(x)... შერჩევის შეცდომა). შევადგინოთ ვარიაციული რიგიინტერვალის სიგანე იქნება: თითოეული მნიშვნელობისთვის რიგიმოდით გამოვთვალოთ რამდენი...
ამოხსნა: გამყოფი განტოლება
გადაწყვეტილებაფორმაში, რათა იპოვოთ პირადი გადაწყვეტილებებიარაერთგვაროვანი განტოლება შედგენასისტემა მოვაგვაროთ მიღებული სისტემა... ; +47; +61; +10; -რვა. აშენების ინტერვალი ვარიაციული რიგი. მიეცით საშუალო სტატისტიკური შეფასებები...
გამოსავალი: გამოვთვალოთ ჯაჭვის და ძირითადი აბსოლუტური ზრდის ტემპები, ზრდის ტემპები, ზრდის ტემპები. მიღებული მნიშვნელობები შეჯამებულია ცხრილში 1
გადაწყვეტილებაწარმოების მოცულობა. გადაწყვეტილება: ინტერვალის საშუალო არითმეტიკული ვარიაციული რიგიგამოითვლება შემდეგნაირად: თითო... შერჩევის ზღვრული შეცდომა 0,954 ალბათობით (t=2) იქნება: Δ w = t*μ = 2*0.0146 = 0.02927 განვსაზღვროთ საზღვრები...
გადაწყვეტილება. ნიშანი
გადაწყვეტილებავისი სამუშაო გამოცდილების შესახებ და შეადგინანიმუში. ამ თანამშრომლების სამუშაო დღის ნიმუშის საშუალო სტაჟი და შეადგინანიმუში. ნიმუშის საშუალო ხანგრძლივობა... 1.16, მნიშვნელოვნების დონე α = 0.05. გადაწყვეტილება. ვარიაციული რიგიამ ნიმუშს აქვს ფორმა: 0.71 ...
სამუშაო სასწავლო გეგმა ბიოლოგიაში 10-11 კლასებისთვის შედგენილი პოლიკარპოვა ს.ვ.
სამუშაო სასწავლო გეგმაშეჯვარების უმარტივესი სქემები» 5 ლ.რ. " გადაწყვეტილებაელემენტარული გენეტიკური პრობლემები“ 6 ლ.რ. " გადაწყვეტილებაელემენტარული გენეტიკური პრობლემები“ 7 ლ.რ. „..., 110, 115, 112, 110. Კოსმეტიკა ვარიაციული რიგი, დახატე ვარიაციულიმრუდი, იპოვნეთ მახასიათებლის საშუალო მნიშვნელობა ...
რიცხვების ჯგუფს, რომელიც გაერთიანებულია რაიმე ატრიბუტით, ეწოდება აგრეგატი.
როგორც ზემოთ აღინიშნა, პირველადი სტატისტიკური სპორტული მასალა არის განსხვავებული რიცხვების ჯგუფი, რომელიც მწვრთნელს არ აძლევს წარმოდგენას ფენომენის ან პროცესის არსზე. გამოწვევა არის ამ პოპულაციის სისტემად გადაქცევა და მისი ინდიკატორების გამოყენება საჭირო ინფორმაციის მისაღებად.
ვარიაციული სერიის შედგენა არის ზუსტად გარკვეული მათემატიკური ფორმირება
მაგალითი 2. 34 მოთხილამურემ დააფიქსირა გულისცემის აღდგენის შემდეგი დრო მანძილის გავლის შემდეგ (წამებში):
81; 78: 84; 90; 78; 74; 84; 85; 81; 84: 79; 84; 74; 84; 84;
85; 81; 84; 78: 81; 74; 84; 81; 84; 85; 81; 78; 81; 81; 84;
როგორც ხედავთ, ნომრების ეს ჯგუფი არ შეიცავს ინფორმაციას.
ვარიაციული სერიის შესადგენად ჯერ ვასრულებთ ოპერაციას რეიტინგში -რიცხვების განლაგება ზრდის ან კლების მიხედვით. მაგალითად, ზრდადი თანმიმდევრობით, რეიტინგი შემდეგნაირად ხდება;
78; 78; 78; 78; 78; 78;
81; 81; 81; 81; 81; 81; 81; 81; 81;
84; 84; 84; 84; 84; 84; 84; 84; 84; 84; 84;
კლებადი მიმდევრობით, რანჟირება იწვევს რიცხვთა ამ ჯგუფს:
84; 84; 84; 84; 84; 84; 84; 84: 84: 84; 84;
81; 81; 81; 81; 8!; 81: 81; 81; 81;
78; 78; 78; 78; 78; 78;
რეიტინგის შემდეგ ცხადი ხდება რიცხვთა ამ ჯგუფის დაწერის ირაციონალური ფორმა – ერთი და იგივე რიცხვები ბევრჯერ მეორდება. მაშასადამე, ბუნებრივი აზრი ჩნდება, რომ ჩანაწერი ისე გარდაიქმნას, რომ მიუთითოს რომელი რიცხვი რამდენჯერ მეორდება. მაგალითად, რეიტინგი ზრდის მიხედვით:
აქ მარცხნივ არის რიცხვი, რომელიც მიუთითებს სპორტსმენის პულსის აღდგენის დროზე, მარჯვნივ არის ამ წაკითხვის გამეორებების რაოდენობა ამ 34 სპორტსმენის ჯგუფში.
მათემატიკური სიმბოლოების ზემოაღნიშნული ცნებების შესაბამისად, გაზომვების განხილული ჯგუფი აღინიშნა რაიმე ასოთი, მაგალითად x. მოცემულ ჯგუფში რიცხვების გაზრდის რიგითობა: x 1 -74 s; x 2 - 78 წ; x 3 - 81 წ; x 4 - 84 წ; x 5 - 85 წ; x 6 -x n - 90 s, თითოეული განხილული რიცხვი შეიძლება აღინიშნოს X i სიმბოლოთი.
განხილული გაზომვების გამეორებების რაოდენობა აღვნიშნოთ ასო n-ით. შემდეგ:
n 1 =4; n 2 =6; n 3 =9; n4=11; n 5 =3;n 6 =n n =1 და გამეორებების თითოეული რაოდენობა შეიძლება აღვნიშნოთ როგორც n i.
მიღებული გაზომვების საერთო რაოდენობა, როგორც მაგალითის მდგომარეობიდან გამომდინარეობს, არის 34. ეს ნიშნავს, რომ ყველა n-ის ჯამი არის 34. ან სიმბოლურ გამოხატულებაში:
ეს ჯამი ავღნიშნოთ ერთი ასოთი - n. შემდეგ განხილული მაგალითის საწყისი მონაცემები შეიძლება ჩაიწეროს ამ ფორმით (ცხრილი 1).
შედეგად მიღებული რიცხვების ჯგუფი არის ქაოტურად გაფანტული წაკითხვის ტრანსფორმირებული სერია, რომელიც მიღებულია ტრენერის მიერ მუშაობის დასაწყისში.
ცხრილი 1
| x i | n i |
| n=34 |
ასეთი ჯგუფი არის გარკვეული სისტემა, რომლის პარამეტრები ახასიათებს გაზომვებს. რიცხვები, რომლებიც წარმოადგენენ გაზომვების შედეგებს (x i) ეწოდება პარამეტრები; ნი - მათი გამეორებების რაოდენობა - ეძახიან სიხშირეები; n - ყველა სიხშირის ჯამი - დიახ აგრეგატის მოცულობა.
შედეგად სისტემა ე.წ ვარიაციის სერია.ზოგჯერ ამ სერიებს ემპირიულს ან სტატისტიკურს უწოდებენ.
ადვილი მისახვედრია, რომ შესაძლებელია ცვალებადობის სერიის სპეციალური შემთხვევა, როდესაც ყველა სიხშირე უდრის ერთს n i ==1, ანუ თითოეული გაზომვა რიცხვების მოცემულ ჯგუფში მოხდა მხოლოდ ერთხელ.
შედეგად მიღებული ვარიაციული სერია, ისევე როგორც ნებისმიერი სხვა, შეიძლება წარმოდგენილი იყოს გრაფიკულად. შედეგად მიღებული სერიის გამოსათვლელად, ჯერ უნდა შეთანხმდეთ მასშტაბზე ჰორიზონტალურ და ვერტიკალურ ღერძებზე.
ამ პრობლემაში, ჰორიზონტალურ ღერძზე ჩვენ გამოვსახავთ პულსის აღდგენის დროის მნიშვნელობებს (x 1) ისე, რომ სიგრძის ერთეული, რომელიც არჩეულია თვითნებურად, შეესაბამებოდეს ერთი წამის მნიშვნელობას. ჩვენ დავიწყებთ ამ მნიშვნელობების გადადებას 70 წამიდან, პირობითად უკან დავიხევთ ორი ღერძის გადაკვეთიდან 0.
ვერტიკალურ ღერძზე ჩვენ ვხაზავთ ჩვენი სერიის სიხშირეების მნიშვნელობებს (n i), ვიღებთ მასშტაბს: სიგრძის ერთეული უდრის სიხშირის ერთეულს.
ამგვარად მოვამზადეთ გრაფიკის შედგენის პირობები, ჩვენ ვაგრძელებთ მუშაობას მიღებულ ვარიაციულ სერიებთან.
რიცხვების პირველი წყვილი x 1 \u003d 74, n 1 \u003d 4 გამოსახულია გრაფიკზე შემდეგნაირად: x ღერძზე; იპოვე x 1 =74 და აღვადგინოთ პერპენდიკულარი ამ წერტილიდან, n ღერძზე ვპოულობთ n 1 =4 და მისგან ვხაზავთ ჰორიზონტალურ ხაზს მანამ სანამ არ გადაიკვეთება ადრე აღდგენილ პერპენდიკულართან. ორივე ხაზი - ვერტიკალური და ჰორიზონტალური - დამხმარე ხაზებია და ამიტომ ნახაზზე გამოიყენება წერტილოვანი ხაზით. მათი გადაკვეთის წერტილი ამ გრაფიკის მასშტაბში არის X 1 =74 და n 1 =4 თანაფარდობა.
გრაფიკის ყველა სხვა წერტილი ანალოგიურად არის გამოსახული. შემდეგ ისინი დაკავშირებულია ხაზის სეგმენტებით. იმისათვის, რომ გრაფიკს ჰქონდეს დახურული ფორმა, ჩვენ ვაკავშირებთ უკიდურეს წერტილებს ჰორიზონტალური ღერძის მეზობელ წერტილებთან სეგმენტებთან.
შედეგად მიღებული ფიგურა არის ჩვენი ვარიაციების სერიის გრაფიკი (ნახ. 1).
სავსებით ნათელია, რომ თითოეული ვარიაციის სერია წარმოდგენილია საკუთარი გრაფიკით.
ბრინჯი. 1. ვარიაციის სერიის გრაფიკული გამოსახულება.
ნახ. 1 ჩანს:
1) ყველა გამოკვლეულიდან ყველაზე დიდი ჯგუფი შედგებოდა სპორტსმენებისგან, რომელთა პულსის აღდგენის დრო იყო 84 წმ;
2) ბევრისთვის ეს დრო არის 81 წმ;
3) ყველაზე პატარა ჯგუფი შედგებოდა სპორტსმენებისგან, რომელთა პულსის აღდგენის მოკლე დრო - 74 წმ და გრძელი - 90 წმ.
ამგვარად, ტესტების სერიის დასრულების შემდეგ, მიღებული რიცხვების რანჟირება და ვარიაციის რიგის შედგენა უნდა მოხდეს, რაც გარკვეული მათემატიკური სისტემაა. სიცხადისთვის, ვარიაციების სერია შეიძლება ილუსტრირებული იყოს გრაფიკით.
ზემოხსენებული ვარიაციების სერიას ასევე უწოდებენ დისკრეტულიშემდეგი - ერთი, რომელშიც თითოეული ვარიანტი გამოიხატება ერთი რიცხვით.
მოდი კიდევ რამდენიმე მაგალითი მოვიყვანოთ ვარიაციული სერიების შედგენის შესახებ.
მაგალითი 3 12 მსროლელმა, რომელიც ასრულებდა მიდრეკილ ვარჯიშს 10 გასროლით, აჩვენა შემდეგი შედეგები (ქულები):
94; 91; 96; 94; 94; 92; 91; 92; 91; 95; 94; 94.
ვარიაციული სერიის შესაქმნელად, ჩვენ დავახარისხებთ ამ რიცხვებს;
94; 94; 94; 94; 94;
რეიტინგის შემდეგ, ჩვენ ვადგენთ ვარიაციების სერიას (ცხრილი 3).
